Calcul Des Structures Portiques Methode Des Deplacements Jexpoz

CHAPITRE II CALCUL DES PORTIQUES PAR LA MÉTHODE DES DÉPLACEMENTS HEI 4 BTP Hautes Etudes d’Ingénieur 13, rue de Toul 59046 Lille Cedex

[object Object],[object Object],[object Object],I. Définitions II. Conventions de signes sur les éléments poutres II.1 Déplacements des nœuds En un nœud i d’une poutre, le déplacement  i à 3 composantes (ou 3 degrés de liberté) u 2 v 2  2 u 1 v 1  1

II. Conventions de signes sur les éléments poutres ,[object Object],II.2 Eléments de réduction Chaque section droite est sollicitée par un effort normal N, un effort tranchant T et un moment fléchissant µ. Dans les sections extrêmes, les sens positifs sont les suivants: N 2 T 2 µ 2 N 1 T 1 µ 1 X 2 Y 2 M 2 X 1 Y 1 M 1

III. Définition des vecteurs force et déplacement nodaux Pour une poutre 1-2, les vecteurs force {F} et déplacement {  } s’écriront: Notre objectif est d’établir la relation de rigidité d’un élément poutre, c’est-à-dire:  dimension 6x6

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire ,[object Object],[object Object],Soit:

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z * On impose une rotation  1 au nœud 1 en bloquant les autres déplacements Le moment M 1 nécessaire pour produire  1 est (p 21) :  Mt /1=0  M 1 +M 2 +Y 2 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 Il produit un moment M 2 au nœud 2 : M 2 M 1 1 2  1 1 2 Y 1 Y 2

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z * De même, on impose une rotation  2 au nœud 2 en bloquant les autres déplacements Le moment M 2 nécessaire pour produire  2 est :  Mt /2=0  M 1 +M 2 -Y 1 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 Il produit un moment M 1 au nœud 1 : M 2 M 1 2 1  2 2 1 Y 1 Y 2

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local b) Matrice de rigidité due aux efforts selon z * En superposant les deux cas, on obtient:

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y * On impose un déplacement v 1 au nœud 1 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments (2.4 p 23)  Mt /2=0  M 1 +M 2 -Y 1 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 1 2 v 1 M 2 M 1 1 2 Y 1 Y 2

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y * De même, on impose un déplacement v 2 au nœud 2 et on bloque tous les autres déplacements Nous avons des moments  Mt /1=0  M 1 +M 2 +Y 2 L=0  De plus, on a Y 1 +Y 2 =0  Les variations de longueur étant négligeables, on X 1 =X 2 =0 2 1 v 2 M 2 M 1 2 1 Y 1 Y 2

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local c) Matrice de rigidité due aux efforts selon y * En superposant les deux cas, on obtient:

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Conclusion : La matrice de rigidité de l’élément poutre en repère local est obtenue en superposant les cas a), b) et c):

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère local Cas particuliers : La poutre est rigide-articulée ou articulée-rigide (p 63-65) IV.2 En repère global La matrice de rotation est la suivante: Au nœud 1 (par exemple), nous avons les relations:

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global Pour la poutre 1-2, on peut donc écrire : De même, on a : En repère local, la relation de rigidité s’écrit : On cherche à établir la relation de rigidité en repère global, soit :

IV. Détermination de la matrice de rigidité élémentaire IV.1 En repère global On a la relation de rigidité en repère local : et : De plus : La relation de rigidité en repère global s’écrit :   Ou encore : Comme on a :

V. Transformation des chargements en forces nodales La relation {F}=[K e ].{  } qu’on doit résoudre n’est valable que lorsque les forces {F} sont appliquées aux nœuds. Une charge répartie ou concentrée (en travée) doit donc être décomposée en forces nodales appelées forces de blocage . On cherche donc à déterminer  i et  j qui correspondent aux réactions des nœuds au chargement considéré (p 71 à 75). M 2 M 1 Y 1 Y 2 p 2 1 l M 2 M 1 Y 1 Y 2 p 2 1 l

VI. Equation d’équilibre d’un élément poutre Les équations d’équilibre d’un élément poutre chargé entre les nœuds s’écriront: Où  i et  j sont les systèmes de forces extérieures qui sollicitent directement les nœuds i et j : Forces de blocage Forces de raideur

VII. Effet thermique sur les poutres Les expressions en repère local des forces de blocage sont les suivantes : La relation de rigidité avec effet thermique dans les poutres s'écrit alors :

VIII. Tableau de localisation … . … . … . … . … . … . … . … . … . … .    4EI/L 6EI/L 2 12EI/L 3 EA/L j i e

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