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Cours MEF : Les structures treillis
Etude des Treillis
FF
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Premier thème du parcours
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Cours MEF : Les structures treillis
Les Treillis Poutres reliées par des rotules
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2 variables nodales  approximation linéaire
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 
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E ESu u dx u ES u dxδ δ δ− = =∫ ∫
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α
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j
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α α α
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

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  • 1. Cours MEF : Les structures treillis Etude des Treillis FF Supports du cours Site web : https://pedagogie.ec-nantes.fr/meefi/ Premier thème du parcours Présentation de l’élément barre Étude des structures treillis
  • 2. Cours MEF : Les structures treillis Les Treillis Poutres reliées par des rotules Traction - compression FF « PFD » On isole une tranche dx  f x  N+ dx N dN Modèle barre ] [0,x Sudx dN fdxρ∀ ∈ = +&&l « Comportement » ,xN ESu= ] [ ,0, xxx Su ESu fρ∀ ∈ − =&&l Les conditions aux limites , ( )x d tESu N= Dσ∂ uD∂( )d tu u= sur sur "EDP" Équations aux Dérivées Partielles
  • 3. Cours MEF : Les structures treillis Les Treillis Poutres reliées par des rotules Traction - compressionFF ( ) 2 ,x2 d o E ES u dx= ∫ l dEδ− « PTV » Principe des Travaux Virtuels 0 lu(M,t)  Fo  f  lF A Wδ δ= Modèle barre xx xx o Sdxσ δε−∫ l , , xx x xx xx x u E Eu δε δ σ ε =  = = avec ,x ,x + + +o o o o o u Su u dx ESu u dx f u dx F u F uδ ρ δ δ δ δ δ∀ = −∫ ∫ ∫ l l l l l&& Formulation variationnelle
  • 4. Cours MEF : Les structures treillis Les Treillis Poutres reliées par des rotules Traction - compressionFF Equivalence des formulations ] [ 2 2 0, 0 u x Su ES f x ρ ∂ ∀ ∈ − − = ∂ &&lEL "EDP" CL "PTV"P uδ≡ 2 2 0 ( ) 0 u P P Su ES f dx x ρ ∂ ∀ − − = ∂ ∫ l && 1ère Forme intégrale Formulation forte 2 2 00 0 u u P u P ES dx P ES ES dx x x xx ∂ ∂ ∂ ∂  = − ∂ ∂ ∂∂   ∫ ∫ ll l 00 0 0 + P u u P P Sudx ES dx P ES Pfdx x x x ρ ∂ ∂ ∂  ∀ = + ∂ ∂ ∂  ∫ ∫ ∫ ll l l &&
  • 5. Cours MEF : Les structures treillis Les Treillis Poutres reliées par des rotules Traction - compressionFF Elément fini "Barre " ji (e)  xo x=  ui uj 2 variables nodales  approximation linéaire ( )1 ( , ) 1 2 ( )2 1 , t x t t a u a a x x a   = + = < >     Maths Identification nodale ( ) ( , ) ( ) 1 , ti x t tje e ux x u u   = < − >    l l Physique { }eu N U= < > N x x e 1 ( ) = −1 l N 1 1 10 x/ l e N x x e 2 ( ) = l x/ l e N 2 1 10 Approximation nodale Fonctions d’interpolation
  • 6. Cours MEF : Les structures treillis Elément fini "Barre " Les Treillis Poutres reliées par des rotules Traction - compressionFF Matrice raideur élémentaire ,x ,x ,x ,x e e T d o o E ESu u dx u ES u dxδ δ δ− = =∫ ∫ l l Matrice raideur élémentaire [ ] , , e T e x x o K N ES N dx= < > < >∫ l [ ] 1 1 1 1 e e ES K −  =  − l ,x , i x j u u N u    = < >      { } { }, , e T T d e x x e o E U N ES N dx Uδ δ− = < > < >∫ l
  • 7. Cours MEF : Les structures treillis Elément fini "Barre " Les Treillis Poutres reliées par des rotules Traction - compressionFF Changement de base en 2D α  xo  yo j i (e) ui vi x  { } T e i i j jU u v u v= { } [ ] [ ]{ } { } [ ]{ } 1 1 1 2 1 T T d e e e e T e e E U U U U ES P P K −    =  = −l ( ) j i j i j ie e u uES ES N u u C S v v α α −   = − = < >   −  l l [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]e e A AES K A A  − =   − l [ ] 2 2 C C S A C S S α α α α α α   =     avec Pour les contraintes Pour l’énergie                     =       j j i i j i v u v u SC SC u u αα αα 00 00 { } [ ]{ } T e eU P U= u u C S v α α   = < >    
  • 8. Cours MEF : Les structures treillis Elément fini "Barre " Les Treillis Poutres reliées par des rotules Traction - compressionFF a  xo  yo F 2a { } { }1 1 2 2 3 3 T U u v u v u v= Analyse d’un treillis N° nœuds  vecteur des déplacements nodaux 6 DDL Conditions aux limites Système réduit sur { } { }2 3 3 T red u uU v= { } { }1 1 20 0 T YF X Y F= 6 inconnues Résolution du système matriciel { }2 3 3u u v { }1 1 2X Y Ypuis ( )j i e ES N u u= − l Assemblage des matrices élémentaires [ ]{ } { }K U F= 6 équations Post – traitement Efforts sur les éléments Efforts aux noeuds Lois de comportement Equilibre de chaque élément (4 équations)
  • 9. Cours MEF : Les structures treillis A vous de jouer Traitez les exemples et exercices de cours Vous verrez L’étude des treillis par la MEF est plus simple que par la RDM et plus la structure est hyperstatique plus c’est simple
  • 10. Cours MEF : Les structures treillis A vous de jouer Traitez les exemples et exercices de cours Vous verrez L’étude des treillis par la MEF est plus simple que par la RDM et plus la structure est hyperstatique plus c’est simple