Algebre 1 (annales)

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Université Mohammed V – Agdal
Faculté des Sciences Juridiques,
Économiques et Sociales
RABAT

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http://www.fsjesr.ac.ma

Filière de Science Économiques et de Gestion
Semestre d’étude :
Module M10 :
Matière :

S3
Méthodes Quantitatives II
Mathématiques II

Mathématiques II
Annales :
2004-2005 à 2007-2008 & 2009-2010
Sujets d'examens dont certains sont avec correction

Salma DASSER

Dernière mise à jour
Juin 2010

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Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre
Module
Matière

:
:
:

S3
M 10 (Méthodes Quantitatives II)
Mathématiques II

Objectif du cours
Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et le calcul
matriciel ainsi qu’en termes de résolution de systèmes linéaires.
Calcul dans Թ
Notions élémentaires sur les ensembles

Pré-reqcuis recommandé

Mode d’évaluation
Contrôle final (2h)
contrôle de rattrapage (1h30)

Déroulement du cours
Cours magistraux (25h)
Travaux dirigés (15h)

Support du cours
Polycopié du cours
Séries d’exercices corrigés

Contenu du cours
Chapitre 1 : espaces vectoriels réels
I- LCI et LCE
II- Structure d’espace vectoriel réel
III- Sous espaces vectoriels
IV- Combinaison linéaire - Système générateur
V- Système libre - système lié
VI- Ordre et rang d’un système de vecteurs
VII- Base d’un espace vectoriel
VIII- Espace vectoriel de dimension fini
Chapitre 2 : applications linéaires
I- Définitions et généralités
II- Opérations sur les applications linéaires
III- Image et image réciproque
IV- Noyau et image d’une application linéaire
V- Applications linéaires injectives et surjectives
VI- Rang d’une application linéaire
Chapitre 3 : Matrices
I- Généralités (définition, matrices particulières)
II- Matrices carrées
1. Matrice diagonale, Matrice triangulaire
2. Matrice symétrique, Matrice antisymétrique
III- Opérations sur les matrices
1. Addition, Multiplication, Puissance

2. Propriétés de l’ensemble des matrices
3. Matrice inversible
IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
V- Matrice associée à un système de vecteurs
VI- Matrice d’une application linéaire
VII- Changement de base
Chapitre 4 : déterminants
I- Calcul d’un déterminant d’ordre n
II- Propriétés des déterminants
III- Inversion d’une matrice par la méthode des
cofacteurs
IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application
linéaire
Chapitre 5 : systèmes linéaires
I- Généralités (définition, écriture, rang)
II- Résolution d’un système linéaire triangulaire
III- Résolution d’un système linéaire de Cramer
1. Par l’inversion de la matrice du système
2. Par la méthode de Cramer
IV- Résolution d’un système linéaire non de Cramer
1. Système avec second membre
2. Cas particulier d’un système homogène

[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II]

Année académique : 2004-2005

Session : Automne-hiver

................................................................................................................................
.................................................................................................
Contrôle continu ................................................................................................................................. 2
................................................................................................................................
...................................................................................................
Contrôle final ................................................................................................................................... 10
......................................................................................................................
................................................................
Contrôle de rattrapage ...................................................................................................................... 12

Professeure Salma DASSER

Session Automne-hiver 2004

[1]

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CONTROLE CONTINU
Durée : 1h30
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

Sciences Economiques et de Gestion
S3
Mathématiques II
Automne – hiver, 2004-2005
C&D
Salma DASSER

Les documents et les portables ne sont pas autorisés.
La calculatrice est à usage strictement personnel.
Toute réponse doit être justifiée.
La présentation de la copie est notée sur 2 points.

Exercice 1 : (2 points)
On considère l’application linéaire f définie de IR3 vers IR 2 par :

∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = ( x + em . y + z, em .x + y + em .z ) ,
A-t-on Ker ( f ) = {(0,0,0)} ?

m∈ IR

Soit (G,∗) un groupe et f un endomorphisme de (G,∗) .
Montrer que l’ensemble H = {x ∈ G / f ( x) = x} est un sous groupe de (G,∗) .
Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 et V2 définis par :

{

}

V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x + y + z = 0 et V2 = {( x, y, z ) ∈ IR3 / x = y = z}
1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels V1 et V2 .
2) Déterminer V1 ∩ V2 . A-t-on V1 ⊕ V2 = IR3 ?

1,5 pts
2,5 pts

(Les parties I et II peuvent être traitées séparément)
3
I) Dans IR , on considère les vecteurs v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1, a) et v3 = (1, a, a) .
Discuter suivant le paramètre a ∈ IR :
1) La dépendance des vecteurs v1 , v2 et v3 .
3 pts
2) Le rang du système S = {v1 , v2 , v3 }.

2 pts

3

II) On considère l’endomorphisme f de IR défini par :

∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = ( x + y + z, x + y + mz, x + my + mz) ,
( m ∈ IR )
1) Pour m = 1 , déterminer une base de Ker ( f ) et en déduire le rang de f .
2) Pour m = −1 , déterminer une base de Im f et en déduire le rang de f .
3) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m ∈ IR , l’application f est-elle bijective ?


1,5 pts
1,5 pts
3 pts


[2]


Correction du contrôle continu

Exercice 1
Enoncé :
On considère l’application linéaire f définie de IR3 vers IR2 par :

∀( x, y, z ) ∈ IR 3 : f (( x, y, z )) = ( x + em . y + z , e m .x + y + e m .z ) , m ∈ IR
A-t-on Ker ( f ) = {(0,0,0)} ?
Solution :
On suppose que Ker ( f ) = {(0,0,0)} .
Si Ker ( f ) = {(0,0,0)} , alors f est injective (car une application linéaire f de E vers F est
injective ssi Ker ( f ) = {0 E }).

f est injective implique que dim IR3 ≤ dim IR2 ( car si une application linéaire f de E vers
F est injective alors dim E ≤ dim F ).
Ce qui absurde car on sait que dim IR3 (= 3) > dim IR2 = 2)
Ou bien :
( x, y, z ) ∈ Ker ( f )
ssi
f (( x, y, z )) = (0,0,0)
ssi
ssi
ssi

( x + em . y + z, em .x + y + em .z ) = (0,0,0)
e1  x + e m . y + z = 0

e2 e m .x + y + e m .z = 0
e m .e1 − e2 
(e 2 m − 1). y = 0

e m .e2 − e1 (e 2 m − 1).( x + z ) = 0

Si (e2 m − 1) ≠ 0 (m ≠ 0) alors
y=0


( x + z ) = 0
ssi
( x, y, z ) = ( z ,0, z ),
z ∈ IR
ssi
( x, y, z ) = z.(−1,0,1)
ssi
∃!α (= z ) ∈ IR /( x, y, z ) = α .(−1,0,1)
Ker ( f ) =< (−1,0,1) > et alors
Ker ( f ) ≠ {(0,0,0)}

( x, y, z ) ∈ Ker ( f )

D’où

ssi

Si (e2 m − 1) = 0 (m = 0) alors
( x, y, z ) ∈ Ker ( f )
ssi
f (( x, y, z )) = (0,0,0)
ssi
( x + y + z, x + y + z ) = (0,0,0)
ssi
x+ y+z =0
ssi
x = −y − z
ssi
( x, y, z ) = (− y − z, y, z ),
y, z ∈ IR
ssi
( x, y, z ) = y.(−1,1,0) + z.(−1,0,1)
ssi
∃!α (= y), β (= z ) ∈ IR /( x, y, z ) = α .(−1,1,0) + β .(−1,0,1)
D’où Ker ( f ) =< (−1,1,0), (−1,0,1) > et alors
Ker ( f ) ≠ {(0,0,0)}



[3]



Exercice 2
Enoncé :
Soit (G,∗) un groupe et f un endomorphisme de (G,∗) .
Montrer que l’ensemble H = {x ∈ G / f ( x) = x} est un sous groupe de (G,∗) .
Solution :
Montrons que H = {x ∈ G / f ( x) = x} est un sous groupe de (G,∗) .
H ≠Ο :
e ∈ H ( e étant l’élément neutre de (G,∗) ) car :
/
f (e) = e ( f est un endomorphisme ⇒ f (e) = e )
∀x ∈ H :
x'∈ H ( x' étant le symétrique de x dans le groupe (G,∗) ) car :
f ( x' ) = ( f ( x))'
( f est un endomorphisme ⇒ f ( x' ) = ( f ( x))' )
⇒
f ( x' ) = x'
( x ∈ H ⇒ f ( x) = x )
∀x, y ∈ H :
x + y ∈ H car :
f ( x + y ) = f ( x) + f ( y )
( f est un endomorphisme)
⇒
f ( x + y) = x + y
( x, y ∈ H ⇒ f ( x) = x et f ( y) = y )
H = {x ∈ G / f ( x) = x} est alors un sous groupe de (G,∗) .

Exercice 3
Enoncé :
Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 et V2 définis par :

{

}

{

V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x + y + z = 0 et V2 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x = y = z
Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels V1 et V2 .

}

Déterminer V1 ∩ V2 . A-t-on V1 ⊕ V2 = IR3 ?
Solution :

{

}

{

1) Déterminons une base de V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x + y + z = 0 et V2 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x = y = z

{

}

}

a. V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x + y + z = 0

∀( x, y, z ) ∈ V1 : x + y + z = 0
⇔
⇔

z = −x − y
( x, y, z ) = ( x, y,− x − y ),

⇔
⇔

( x, y, z ) = x.(1,0,−1) + y.(0,1,−1)
∃!α (= x), β (= y ) ∈ IR /( x, y, z ) = α .(1,0,−1) + β .(0,1,−1)

x, y ∈ IR

{(1,0,−1), (0,1,−1)} est alors une base de V1 .



[4]



Remarque : Cette base n’est pas unique. On peut en trouver d’autres :
Par exemple :

∀( x, y, z ) ∈ V1 : x + y + z = 0
⇔
⇔

x = −y − z
( x, y, z ) = (− y − z, y, z ),

y, z ∈ IR

⇔
( x, y, z ) = y.(−1,1,0) + z.(−1,0,1)
⇔
∃!α (= y ), β (= z ) ∈ IR /( x, y, z ) = α .(−1,1,0) + β .(−1,0,1)
{(−1,1,0), (−1,0,1)} est alors une autre base de V1 .

{

}

b. V2 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x = y = z
∀( x, y, z ) ∈ V2 : x = y = z
⇔
⇔
⇔
{(1,1,1)} est alors une base de V2 .

( x, y, z ) = ( x, x, x),
( x, y, z ) = x.(1,1,1)

x ∈ IR

∃!α (= x) ∈ IR /( x, y, z ) = α .(1,1,1)

2)
a. Déterminons V1 ∩ V2
( x, y, z ) ∈ V1 ∩ V2

( x, y, z ) ∈ V1 et ( x, y, z ) ∈ V2

⇔

x + y + z = 0 et x = y = z

⇔

On en conclut que V1 ∩V2 = {(0,0,0)}

⇔

x= y=z=0

⇔

( x, y, z ) = (0,0,0)

b. Vérifions si V1 ⊕ V2 = IR3 .

V1 ⊕ V2 = IR3 ⇔ ∀( x, y, z ) ∈ IR3 : ∃!( x1 , y1 , z1 ) ∈ V1 et ( x2 , y2 , z2 ) ∈ V2 /( x, y, z ) = ( x1 , y1 , z1 ) + ( x2 , y2 , z2 )
Or {u1 = (1,0,−1), u2 = (0,1,−1)} est une base de V1 ,
ce qui implique que : ∀( x1 , y1 , z1 ) ∈ V1 ∃!α1 ,α 2 ∈ IR /( x1 , y1 , z1 ) = α1u1 + α 2u2
et {u3 = (1,1,1)} est une base de V2 ,
ce qui implique que : ∀( x2 , y2 , z2 ) ∈ V2 ∃!α 3 ∈ IR /( x2 , y2 , z2 ) = α 3u3
On en déduit alors que :
V1 ⊕ V2 = IR 3 ⇔ ∀( x, y , z ) ∈ IR 3 : ∃!α1 , α 2 , α 3 ∈ IR /( x, y , z ) = α1.u1 + α 2 .u2 + α 3 .u3
⇔ (u1 , u 2 , u3 ) est une base de IR 3

Il suffit alors de vérifier que {u1 , u2 , u3 } est une base de IR3 .

{u1 , u2 , u3} est une base de IR3 ssi {u1 , u2 , u3} est un système libre
(car Ordre {u1 , u2 , u3 } = dim IR 3 = 3 )



[5]



{u1 , u2 , u3} est un système libre ssi α1.u1 + α 2 .u2 + α 3.u3 = (0,0,0) ⇒ α1 = α 2 = α 3 = 0
α1.u1 + α 2 .u2 + α 3 .u3 = (0,0,0) ⇒ α1.(1,0,−1) + α 2 .(0,1,−1) + α 3 .(1,1,1) = (0,0,0)
⇒ (α1 + α 3 ,α 2 + α 3 ,−α1 − α 2 + α 3 ) = (0,0,0)
e1 
α1 + α 3 = 0 e1 + e2 + e3 3α 3 = 0


⇒ e2 
e1  α1 = −α 3 = 0 ⇒ α1 = α 2 = α 3 = 0
α 2 + α3 = 0 ⇒
e3 − α1 − α 2 + α 3 = 0
e2  α 2 = −α 3 = 0



{u1 , u2 , u3} est alors un système libre donc une base de IR3 et V1 ⊕ V2 = IR3 .
Exercice 4

Enoncé :
I) Dans IR3 , on considère les vecteurs v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1, a) et v3 = (1, a, a) .
Discuter suivant le paramètre a ∈ IR :
1) La dépendance des vecteurs v1 , v2 et v3 .
2) Le rang du système S = {v1 , v2 , v3 }.

On considère l’endomorphisme f de IR3 défini par :

∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = ( x + y + z, x + y + mz, x + my + mz ) ,
( m ∈ IR )
1) Pour m = 1 , déterminer une base de Ker ( f ) et en déduire le rang de f .
2) Pour m = −1 , déterminer une base de Im f et en déduire le rang de f .
3) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m ∈ IR , l’application f est-elle bijective ?
Solution :
I) v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1, a) et v3 = (1, a, a) .
1) Discutons la dépendance des vecteurs v1 , v2 et v3 , suivant le paramètre a ∈ IR .

{v1, v2 , v3} est un système libre ssi

α1.v1 + α 2 .v2 + α 3 .v3 = (0,0,0) ⇒ α1 = α 2 = α 3 = 0

α1.v1 + α 2 .v2 + α 3 .v3 = (0,0,0) ⇒ α1.(1,1,1) + α 2 .(1,1, a) + α 3 .(1, a, a) = (0,0,0)
⇒ (α1 + α 2 + α 3 ,α1 + α 2 + aα 3 ,α1 + aα 2 + aα 3 ) = (0,0,0)
e1  α1 + α 2 + α 3 = 0

⇒ e2  α1 + α 2 + aα 3 = 0
e3 α1 + aα 2 + aα 3 = 0

e1 α1 + α 2 + α 3 = 0

⇒ e1 − e2  (1 − a )α 3 = 0
e2 − e3  (1 − a )α 2 = 0




[6]



Si (1 − a) ≠ 0 (a ≠ 1) alors
α1 + α 2 + α 3 = 0

α1.v1 + α 2 .v2 + α 3 .v3 = (0,0,0) ⇒ 
α3 = 0

α2 = 0

{v1, v2 , v3} est alors un système libre.

⇒ α1 = α 2 = α 3 = 0

Si (1 − a) = 0 (a = 1) alors
α1 + α 2 + α 3 = 0

α1.v1 + α 2 .v2 + α 3 .v3 = (0,0,0) ⇒ 
α 3 ∈ IR

α 2 ∈ IR

{v1, v2 , v3} est alors un système lié car ( v1 = v2 = v3 )

⇒ α1 + α 2 + α 3 = 0

∃(α1 ,α 2 ,α 3 ) = (1,0,−1) ≠ (0,0,0) / α1.v1 + α 2 .v2 + α 3 .v3 = (0,0,0)
2) Discutons le rang du système S = {v1 , v2 , v3 }, suivant le paramètre a ∈ IR : 1 ≤ rg ( S ) ≤ 3
Si (1 − a) ≠ 0 (a ≠ 1) alors S = {v1 , v2 , v3 } est un système libre et rg ( S ) = 3
Si (1 − a) = 0 (a = 1) alors S = {v1 , v1 , v1} et rg ( S ) = 1
II) ∀( x, y, z ) ∈ IR3 :

f (( x, y, z )) = ( x + y + z, x + y + mz, x + my + mz) ,

1) Pour m = 1

( x, y, z ) ∈ Ker ( f )
ssi
ssi
ssi
ssi
ssi
ssi

( m∈ IR )

f (( x, y, z )) = ( x + y + z, x + y + z, x + y + z )
ssi
f (( x, y, z )) = (0,0,0)
( x + y + z, x + y + z, x + y + z ) = (0,0,0)
x+ y+z =0
x = −y − z
( x, y, z ) = (− y − z, y, z ),
y, z ∈ IR
( x, y, z ) = y.(−1,1,0) + z.(−1,0,1)
∃!α (= y), β (= z ) ∈ IR /( x, y, z ) = α .(−1,1,0) + β .(−1,0,1)

{(−1,1,0), (−1,0,1)} est alors une base de Ker ( f )

et dim Ker ( f ) = 2

On sait que rg ( f ) + dim Ker ( f ) = dim IR3 ⇒ rg ( f ) = 1
Remarque : Ker ( f ) = V1 (cf. Exercice 3) et alors Ker ( f ) =< (−1,1,0), (−1,0,1) > .
2) Pour m = −1

f (( x, y, z )) = ( x + y + z, x + y − z, x − y − z )

On sait que si {e1 , e2 , e3 } est une base de IR3 alors Im( f ) =< f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) > et

dim Im( f ) = rg { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} .



[7]



Pour déterminer une base de Im( f ) , il suffit alors d’extraire du système { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} un

système libre d’ordre égal au rg { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )}

 f (e1 ) = (1,1,1)

On considère la base canonique {e1 , e2 , e3 } de IR :  f (e2 ) = (1,1,−1)
 f (e ) = (1,−1,−1)
 3
3

On commence par déterminer le rg { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} : 1 ≤ rg { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} ≤ 3

rg { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} = 3 ssi { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} est un système libre
{ f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} est un système libre ssi
α1. f (e1 ) + α 2 . f (e2 ) + α 3. f (e3 ) = (0,0,0) ⇒ α1 = α 2 = α 3 = 0
α1. f (e1 ) + α 2 . f (e2 ) + α 3 . f (e3 ) = (0,0,0)
⇒ α1.(1,1,1) + α 2 .(1,1,−1) + α 3 .(1,−1,−1) = (0,0,0)
⇒ (α1 + α 2 + α 3 ,α1 + α 2 − α 3 ,α1 − α 2 − α 3 ) = (0,0,0)
e1 α1 + α 2 + α 3 = 0

⇒ e2 α1 + α 2 − α 3 = 0
e3 α1 − α 2 − α 3 = 0

e1 α1 + α 2 + α 3 = 0

⇒ e1 − e2 
2α 3 = 0
e2 − e3 
2α 2 = 0

α1.v1 + α 2 .v2 + α 3 .v3 = (0,0,0) ⇒ α1 = α 2 = α 3 = 0

{ f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} est alors un système libre et rg{ f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} = 3
{ f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} est alors une base de Im( f ) et dim Im( f ) = 3 . D’où Im( f ) = IR3
Remarque : { f (e1 ), f (e2 ), f (e3 )} = {v1, v2 , v3 } , avec a = −1

Comme (a ≠ 1) alors S = {v1 , v2 , v3 } est un système libre et rg ( S ) = 3 (cf. I- 2))
3) Déterminons les valeurs du paramètre m∈ IR pour lesquelles l’application f est bijective.
On sait qu’une application linéaire définie d’un espace vectoriel E vers un espace vectoriel F de
même dimension est bijective ssi elle injective ssi elle est surjective.
Pour montrer que l’endomorphisme f est bijectif, il suffit alors de montrer qu’il est injectif ou
surjectif.
f est injective ssi Ker ( f ) = {(0,0,0)}.
Pour montrer que f est injective, il suffit alors de déterminer le noyau de f suivant les valeurs
du paramètre m∈ IR .



[8]


( x, y, z ) ∈ Ker ( f )

ssi
ssi
ssi

ssi


f (( x, y, z )) = (0,0,0)
( x + y + z, x + y + mz, x + my + mz) = (0,0,0)
e1  x + y + z = 0

e2  x + y + mz = 0
e3  x + my + mz = 0

e1  x + y + z = 0

e1 − e2  (1 − m) z = 0
e2 − e3  (1 − m) y = 0


Si (1 − m) ≠ 0 (m ≠ 1) alors

( x, y, z ) ∈ Ker ( f )
D’où

ssi

Ker ( f ) = {(0,0,0)}

Si (1 − m) = 0 (m = 1) alors

x + y + z = 0

z=0


y=0


ssi

x= y=z=0

Ker ( f ) =< (−1,1,0), (−1,0,1) > (cf. 1))



[9]

RABAT

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CONTROLE FINAL
Durée : 2h
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
C&D
Salma DASSER


Soit E l’ensemble des matrices M de M (3) qui ont la forme suivante :
c
b 
a + b


M = c
a+c
c  , a, b, c ∈ IR
 b
c
a + b


1) Montrer que toute matrice M de E peut s’écrire sous la forme M = aI + bJ + cK , où les matrices I ,
J et K sont à déterminer.
0,5 pt
2) En déduire que E est un sous espace vectoriel de M (3) dont on donnera une base. 1 pt
1
 1 −1


3) La matrice  − 1
1 − 1 est-elle dans E ?
 1 −1
1



0,5 pt

On considère les vecteurs u1 = (1,0,0,1) , u2 = (0,1,1,0) , u3 = (0,−1,1,0) et u4 = (−1,0,0,1) .
1) Montrer que B' = {u1 , u2 , u3 , u4 } est une base de IR 4 .

1 pt

4

2) On considère l’endomorphisme f de IR défini par :

∀( x, y, z, t ) ∈ IR 4 :

f ( x, y, z, t ) = ( x − t , y − z, z + y, t + x)
a. Que représente la matrice PBB ' pour f , B étant la base canonique de IR 4 ?
b. En déduire que M ( f / B' , B' ) = M ( f / B, B) .

1pt
1 pt

 (m − 1) x + 2 y + 2 z = m − 1

On considère le système linéaire ( S )  2 x + ( m + 1) y + z = m − 2 , m ∈ IR
− 2 x − 3 y + (m − 3) z = m − 3

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système ( S ) est-il de Cramer ?
2) Le résoudre pour m = 3 .


3 pts
2 pts


[10]


Contrôle final

I) On considère l’endomorphisme f de IR 3 défini par :

∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = ( x + my + mz, mx + y + mz, mx + my + z )
( m∈ IR )
1) Discuter, selon le paramètre m , le rang de f .
3 pts
2) Pour m = −1 / 2 , déterminer une base de Ker ( f ) et une base de Im f . 2 pts
II) Dans IR 3 , on considère les vecteurs v1 = (−2a, a,2a) , v2 = (a,−2a,2a) et v3 = (2a,2a, a) , a ∈ IR .
1) Montrer que si a ≠ 0 alors B' = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR 3 . 1,5 pt

2) On prend a = 1 / 3
2
a. Calculer ( PBB ' ) , B étant la base canonique de IR 3 .
b. En déduire PB ' B .

1 pt
0,5 pt

III) On prend m = 1 et a = 1 / 3 .
1) Ecrire M ( f / B, B) .
2) Déterminer M ( f / B' , B) , M ( f / B, B' ) et M ( f / B' , B' ) .


0,5 pt
1,5 pts


[11]

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

RABAT

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


CONTROLE DE RATTRAPAGE
Durée : 1h30
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
C&D
Salma DASSER


a2

ab

ab b

Montrer que :

ac

a−b−c
2a
2b
b−c−a

c
bc = 0

2

et

c2

bc

2c

2c

2a
2b

= (a + b + c)3

c−a−b

On considère le système linéaire

− 2 x + y + 2 z = 1

( S ) x − 2 y + 2 z = 1
 2x + 2 y + z = 5


1) Ecrire le système (S ) sous sa forme matricielle
2

A. X = b

−1

2) Calculer A et en déduire A .
3) En déduire la solution du système ( S ) .
4) Résoudre le système ( S ) par la méthode des déterminants de Cramer.

Dans IR 4 , on considère les sous ensembles V1 et V2 définis par :

{

}

{

0,5 pt
1 pt
0,5 pt
1 pt

}

V1 = ( x, y, z , t ) ∈ IR 4 / x − y = z − t = 0 et V2 = ( x, y, z , t ) ∈ IR 4 / x − t = y − z = m ,( m∈ IR )
1) Vérifier que V1 est un sous espace vectoriel de IR 4 et en donner une base.
1 pt
2) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , V2 est-il un sous espace vectoriel de IR 4 ?
3) Pour m = 0
a. Trouver une base de V2 .
b. A-t-on V1 ⊕ V2 = IR ?
4

1 pt
1 pt
2 pt



[12]


Contrôle de rattrapage

1) Dans IR 3 muni de sa base canonique B = {e1 , e2 , e3 } , on considère les vecteurs :

e'1 = e1 + e2 + e3 , e'2 = e2 et e'3 = e3

a. Vérifier que B' = {e'1 , e'2 , e'3 } est une base de IR 3 .

1 pt

b. Déterminer les matrices de passage PBB ' et PB ' B .

1,5 pts

2) On considère l’endomorphisme f de IR 3 défini par :

∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = (ax + by + cz, bx + cy + az, cx + ay + bz )
a. Ecrire M ( f / B, B) .
0,5 pt
1 pt
b. Déterminer M ( f / B' , B' ) .
3) On prend a = b
a. Calculer det A' , A' = M ( f / B' , B' )
b. En déduire det A , A = M ( f / B, B)
c. Retrouver det A par un calcul direct du déterminant.

0,5 pt
0,5 pt
1 pt

4) On prend a = b et c = −2a
a. Déterminer le rang de f .
b. f est-il un automorphisme ?

1 pt
0,5 pt

5) On prend a = b = −1 / 2 et c = 1
a. Déterminer une base de Ker ( f ) et une base de Im f .
b. En déduire le rang de f .

( a, b, c ∈ IR * )

2 pts
0,5 pt



[13]

[S1, Module M4, Matière : Instruments d’analyse économique]



Contrôle final ................................................................................................................................... 15
...................................................................................................................................
................................................................................................
......................................................................................................................
................................................................



[14]

RABAT

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


CONTROLE FINAL
Durée : 1h30
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A&B
Salma DASSER


 a b 

L'ensemble E = 
 c d  ∈ M (2) / a + d = b + c  est-il un sous espace vectoriel de M (2) ?




(Si oui, on donnera une base et la dimension de E )
Sur IR3 , on définit l’endomorphisme f par :

∀X = ( x, y, z ) ∈ IR3 :

f ( X ) = f (( x, y, z )) = (− y + z ,− x + z, z )

1) On considère les ensembles V1 et V2 définis par :

V1 = {X ∈ IR3 / f ( X ) = X }
et
V2 = {X ∈ IR3 / f ( X ) = − X }
a. Montrer que V1 et V2 sont deux sous espaces vectoriels de IR3 .
b. Déterminer une base de V1 et une base de V2 .
c. A-t-on V1 ⊕ V2 = IR3 ?
2) On considère dans IR3 les vecteurs :
u = (a − 1,2 − a,1) , v = (2 − a, a − 1,1) et w = (a, a,0) ,
a ∈ IR
a. Vérifier que ∀a ∈ IR : u ∈ V1 , v ∈ V1 et w ∈V2 .
b. Pour quelles valeurs du paramètre a ∈ IR , {u , v, w} est-elle une base de IR3 ?
3) On prend a = 1
a. Vérifier que {u , v, w} est une base de IR3 .
b. Ecrire les matrices de passage PBB ' et PB ' B .
c. En déduire les matrices M (id IR3 / B ' , B ) et M (id IR3 / B , B ' ) .
d. Déterminer la matrice M ( f / B' , B' ) .


1 pt
1 pt
1 pt

0,5 pt
1 pt
0,5 pt
1,5 pt
0,5 pt
1 pt


[15]


N.B.

Contrôle final

Les parties I, II et III peuvent être traitées indépendamment.

0
1 2m 
m


m
0 0 
1
,
m ∈ IR
I) Dans M (4) , on considère la matrice A = 
0 2(1 + m) m 1 


m
0
0 m


2
2,5 pts
1) Montrer que det A = m(2 − m)(1 + m) .
2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre m ∈ IR .
1 pt
II) On considère l’application linéaire f définie de IR 4 vers IR 4 par :

∀( x, y, z, t ) ∈ IR 4 :

f (( x, y, z, t )) = (mx + z + 2mt, x + my, (2m + 2) y + mz + t , mx + mt )

1) Ecrire la matrices M ( f / B, B) .
2) On prend m = −1
a. Donner une base de Im( f ) et une base de Ker ( f ) .
b. En déduire le rang de f .

III) On considère le système linéaire

0,5 pt
2 pts
0,5 pt

mx + z + 2mt = m
 x + my = m − 1

( S )
2my + 2 y + mz + t = m
mx + mt = m − 1


1) Ecrire le système ( S ) sous la forme matricielle A. X = b .
2) On prend m = 1
a. Vérifier que le système est de Cramer.
b. Résoudre le système ( S ) .
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer)


0,5 pt
1 pt
2 pts


[16]

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

RABAT

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


Durée : 1h30
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A&B
Salma DASSER



 a b 

 ∈ M (2) / a + d = b + c  est-il un sous espace vectoriel de M (2) ?

d


1) L'ensemble E1 = 

 c

(Si oui, on donnera une base et la dimension de E1 )

2 pts

 a b 

 ∈ M (2) / ad = bc 

 c d 


2) Même question pour E2 = 


2 pts

N.B.

Les parties I, II, III et IV peuvent être traitées indépendamment.

 1 1 m


I) Dans M (3) , on considère la matrice A =  1 m 1  ,
m 1 m



m ∈ IR

1) Montrer que la matrice A est inversible si et seulement si m ∉ {− 1,1}.
2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre m ∈ IR .

1,5 pts
1,5 pts

II) On considère l’application linéaire f définie de IR3 vers IR3 par :

∀( x, y, z ) ∈ IR3 :
1)
2)
3)
4)

f (( x, y, z )) = ( x + y + mz, x + my + z, mx + y + mz )

Calculer l’image de la base canonique B de IR3 par f .
En déduire une base de Im( f ) selon les valeurs du paramètre m .
Déterminer le noyau de f , selon les valeurs du paramètre m .
En déduire le rang de f , selon les valeurs du paramètre m .


0,5 pt
2 pts
2 pts
1 pt


[17]



III) On prend m = −1
1) Donner une base de Ker ( f ) et une base de Im( f ) . 1 pt
2) A-t-on Ker ( f ) ⊕ Im( f ) = IR3 ?

1 pt

3

3) En déduire une base B ' de IR .
4) Déterminer les matrices de passage PBB ' et PB ' B .
5) Donner les matrices M ( f / B, B) et M ( f / B' , B' ) .

IV) On considère le système linéaire

0,5 pt
1,5 pts
1 pt

 x + y + mz = m + 1

( S ) x + my + z = m + 1
mx + y + mz = m + 1


0,5 pt
1) Ecrire le système ( S ) sous la forme matricielle A. X = b .
2) On prend m = 2
3) Vérifier que le système est de Cramer.
0,5 pt
4) Résoudre le système ( S ) .
1,5 pts



[18]




................................................................................................................................
...................................................................................................
Contrôle final ................................................................................................................................... 20
......................................................................................................................
................................................................



[19]

RABAT

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


CONTROLE FINAL
Durée : 2h
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A&B
Salma DASSER


Les parties I, II, III, IV et V peuvent être traitées indépendamment.

I) Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 et V2 suivants :

{

}

V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / x − y + z = 0, x − y + 2 z = 0 et V2 = (1,−1,1), (1,−2,2), ( −1,1,−1)
1) Trouver une base de chacun des sous espaces vectoriels ci-dessus.
2) A-t-on V1 ⊕ V2 = IR3 ?

1 pt
2 pts

 1 1 1


II) Dans M (3) , on donne la matrice M = 1 1 0 
1 0 0 


1) Montrer que la matrice M est inversible.
0,5 pt
−1
2) Calculer sa matrice inverse M .
1 pt
3
3) Dans IR , on considère les vecteurs v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,0) et v3 = (1,0,0) .
a. Que représente la matrice M pour le système {v1 , v2 , v3 }?
b. En déduire que B' = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 .

0,5 pt
0,5 pt

c. Déduire des questions précédentes les matrices de passage PBB ' et PB ' B , B étant la base
canonique de IR3 .

0,5 pt

2
0
1



III) Dans M (3) , on donne la matrice C =  2m − 2 m + 1 m − 1 , m ∈ IR
 2−m
0 1− m


1) Montrer que la matrice C est inversible si et seulement si m ∉ {0,−1}.
1 pt
2) Discuter le rang de la matrice C selon les valeurs du paramètre m .
2 pts



[20]



Contrôle final

 x + my + z = m(m + 1)

( S )mx + y + (m − 1) z = 0
x − y + 2z = m + 1


1) Pour quelle(s) du paramètre m , le système (S ) est-il de Cramer?
1,5 pts
2) On prend m = 1
a. Vérifier que le système (S ) est de Cramer.
0,5 pt
b. Résoudre le système (S ) .
1,5 pt
3) On prend m = −1 .
a. Quel est le rang du système (S ) ?
0,5 pt
1 pt

2
0
1



V) Dans M (3) , on considère la matrice C =  2m − 2 m + 1 m − 1 ,
m ∈ IR
 2−m
0 1− m


Soit f l'endomorphisme dont la matrice relativement à la base B' = {v1 , v2 , v3 } est égale à C :

C = M ( f / B' , B' ) . ( B' est la base du II)3)b. : v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,0) et v3 = (1,0,0) ).
1) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f .
(Sans écrire l'expression analytique de f ).

1 pt

2) Donner les matrices de passage PBB ' et PB ' B , B étant la base canonique de IR3 .

1 pt

1
 1 m


1 m − 1 ,
3) En déduire que M ( f / B, B ) = A =  m
 1 −1
2


( A est la matrice du système ( S ) du IV).
4) Déterminer le rang de la matrice A suivant le paramètre m .
5) Pour m = −1 , donner une base de Im( f ) et une base de ker( f ) .


1 pt

1 pt
2 pts


[21]

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

RABAT

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


Durée : 1h30
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A&B
Salma DASSER


I) Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 , V2 et V3 suivants :

{

}

V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / − x + 2 y + 2 z = 0,2 x + y + z = 0,−2 x − 3 y − 3 z = 0 ,
V2 = ( −1,2,−2), ( 2,1,−3) et V3 = ( −3,1,1)
1,5 pts

2) A-t-on
a. V1 ⊕ V3 = IR 3 ?

1 pt

b.

V2 ⊕ V3 = IR (On peut remarquer que V3 ∩ V2 = V3 )?

1,5pt

c.

V1 ⊕ V2 = IR3 ?

2 pts

3

II) Sur IR3 , on définit l’endomorphisme f par :

∀( x, y, z ) ∈ IR3 : f (( x, y, z )) = ((m − 1) x + 2 y + 2 z,2 x + (m + 1) y + z,−2 x − 3 y + (m − 3) z )
1) Dans IR3 , on considère les vecteurs v1 = (0,1,−1) , v2 = (1,−2,2) et v3 = (4,−3,1) .
a. Vérifier que B' = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 .

0,5 pt

b. Déterminer par un calcul direct C = M ( f / B' , B' ) .
c. Discuter le rang de la matrice C selon les valeurs du paramètre m .
d. En déduire le rang de f , suivant le paramètre m .

2 pts
1 pt
0,5 pt

2) Pour m = 0 , donner une base de Im( f ) et une base de ker( f ) .

2
2 
m −1


III) Dans M (3) , on donne la matrice A =  2
m +1
1 ,
 −2
− 3 m − 3



2 pts

m ∈ IR

1) Montrer que la matrice A est inversible si et seulement si m ∉ {0,1,2}.
2) Discuter le rang de la matrice A selon les valeurs du paramètre m .
3) Comparer rg ( A) et rg (C ) , pour m ∈ IR ?, avec C = M ( f / B' , B' ) (voir II)2)c.).


1,5 pt
2 pts
0,5 pt


[22]



Contrôle final

(m − 1) x + 2 y + 2 z = b

( S )2 x + (m + 1) y + z = −b
− 2 x − 3 y + (m − 3) z = b


1) On prend m = −1 et b = 2 .
a. Vérifier que le système (S ) est de Cramer.
2) On prend b = 0 .
a. Pour quelle(s) du paramètre m , le système ( S ) est-il de Cramer?
b. On prend m = 0 .
i. Quel est le rang du système ( S ) .
ii. Résoudre le système ( S ) .


0,5 pt
1,5 pt

0,5 pt
0,5 pt
1 pt


[23]




Contrôle final ................................................................................................................................... 25
...................................................................................................................................
................................................................................................
......................................................................................................................
................................................................



[24]

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

RABAT

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


CONTROLE FINAL
Durée : 2h
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A&B
Salma DASSER



Partie I

(3 points)

−1 
1
1 − m


♦ Dans M (3) , on donne la matrice Am =  1
1− m
1  , m ∈ IR
 −1
1
1− m


1) Calculer le rang des matrices A2 ( m = 2 ) et A−1 ( m = −1 ).

2) Montrer que la matrice Am est inversible si et seulement si m ∉ {2,−1} .

Partie II

2 pts
1 pt

(6 points)

(1 − m) x + y − z = m(2 − m)

♦ On considère le système linéaire ( S m )  x + (1 − m) y + z = m( 2 − m)
− x + y + (1 − m) z = m(2 − m)

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système ( Sm ) est-il de Cramer ?

1,5 pt

2) Résoudre le système ( Sm ) pour :
a.
b.
c.

m=0
m =1
m = −1

1,5 pt
1,5 pt
1,5 pt

(Utiliser uniquement la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la
résolution de tout système de Cramer)



[25]


Partie III

Contrôle final

(3 points)

♦ Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 , V2 et V3 suivants :

{

{

}

V1 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / 2 x + y − z = 0, x + 2 y + z = 0 et − x + y + 2 z = 0

}

V2 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / 2 x + y − z = 0, x + 2 y + z = 0 et V3 = {( x, y , z ) ∈ IR 3 / 2 x + y − z = 0}
3
2) A-t-on V1 ⊕ V2 = IR ? V1 ⊕ V3 = IR 3 ?

Partie IV

1,5 pts
1,5 pts

(8 points)

♦ Soit f l'endomorphisme de IR3 dont la matrice relativement à la base canonique B de IR3 est donnée

1
−1 
1 − m


par :
M ( f / B, B ) = Am =  1
1− m
1 
 −1
1
1− m



1,5 pts
2 pts

3) Dans IR3 , on donne les vecteurs v1 = (1,−1,1) , v2 = (1,1,0) et v3 = (0,1,1) .

b. Déterminer les matrices de passage PBB ' et PB ' B .
4) On prend m = 0 .
a. Déterminer par un calcul direct M ( f / B' , B' ) .
b. Retrouver M ( f / B' , B' ) par la formule de changement de base.


0,5 pt
1,5 pt
1,5 pts
1 pt


[26]


Correction du contrôle final

Partie 1
Enoncé :
−1 
1
1 − m


Dans M (3) , on donne la matrice Am =  1
1− m
1 ,
m ∈ IR
 −1

1
1− m

1) Calculer le rang des matrices A2 ( m = 2 ) et A−1 ( m = −1 ).
2) Montrer que la matrice Am est inversible si et seulement si m ∉ {2,−1}.

Solution :
1) Calcul du rang de Am pour

a. m = −1 :

 2 1 − 1


A−1 =  1 2 1  ,
−1 1 2 



1 ≤ rg ( A−1 ) ≤ 3

La méthode "matricielle":
rg ( A−1 ) = 3 ssi la matrice A−1 est inversible. On calcule alors son déterminant :
2 1 −1
det A−1 = 1 2 1 = 0 puisque L2 = L1 + L3 ou C2 = C1 + C3
−1 1 2
Donc rg ( A−1 ) < 3
On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice A−1 :
2 1 
La matrice 
 est une matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la
1 2 
2 1 
matrice A−1 ( det 
 = 3(≠ 0) ).
1 2 
Donc rg ( A−1 ) = 2 .

b. m = 2 :

 − 1 1 − 1


A2 =  1 − 1 1  ,
 − 1 1 − 1



1 ≤ rg ( A2 ) ≤ 3

La méthode "vectorielle":
On considère le système S formé de vecteurs lignes de la matrice A2 : rg ( A2 ) = rg ( S )
S = {u, v, w}, avec u = (−1,1,−1) , v = (1,−1,1) et w = (−1,1,−1) .
rg ( S ) = 3 ssi le système S est libre :
Puisque u = w = (−1,1,−1) alors le système S = {u, v, w} n’est pas libre
Donc 1 ≤ rg ( S ) ≤ 2 .


[27]



On cherche parmi les vecteurs du système S , 2 vecteurs linéairement indépendants :
Les systèmes d’ordre 2 extraits du système S sont : {u, v} , {u, w} et {v, w} :
u = −v alors le système {u, v} n’est pas libre
u = w alors le système {u, w}n’est pas libre
w = −v alors le système {v, w} n’est pas libre
Donc rg ( S ) = 1
Donc rg ( A2 ) = 1 .
1− m
1
2) La matrice Am est inversible ssi det Am = 1
1− m
−1

1

−1
1 ≠ 0:
1− m

Calcul du det Am :
1− m
1
1
1− m
−1

−1
1− m
1
1 L3 → L3 + L2 1
1− m
1− m

1

0

−1
1− m
1
−1
1 = ( 2 − m) 1
1− m 1

2−m 2−m

0

1

1

1− m
1
−1
1− m 2 −1
1− m 2
Or 1
1 − m 1 C2 → C2 − C3 1
− m 1 suivant L3
1
−m
0
1
1
0
0
1


1− 9
m1 =

2
2 ⇒ m1 = −1
Et
= m(m − 1) − 2 = m − m − 2 : ∆ m = 9 ⇒ 

1
−m
m2 = 2
m = 1 + 9
 2
2

2
Donc det Am = −(1 + m)( m − 2)
1− m

2

det Am = 0 ⇔ (m = −1) ou (m = 2)
Donc La matrice Am est alors inversible ssi (m ≠ −1) et (m ≠ 2)

Partie 2
Enoncé :
(1 − m) x + y − z = m(2 − m)

( S m ) x + (1 − m) y + z = m(2 − m)
− x + y + (1 − m) z = m(2 − m)

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système ( S m ) est-il de Cramer ?

2) Résoudre le système ( S m ) pour :
a. m = 0
b. m = 1
c. m = −1
(Utiliser uniquement la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de
Cramer pour la résolution de tout système de Cramer)



[28]



Solution :
1) Les valeurs du paramètre m pour lesquelles le système ( Sm ) est de Cramer :
Le système ( Sm ) s’écrit sous la forme matricielle suivante Am . X = b , avec
1
−1 
1 − m
 x
 m( 2 − m) 


 


Am =  1
1− m
1  , X =  y  et bm =  m(2 − m) 
 −1
z
 m( 2 − m) 
1
1− m


 


−1 
1
1 − m


La matrice du système ( Sm ) est égale à la matrice Am =  1
1− m
1 
 −1
1
1− m


Le système ( Sm ) est de Cramer ssi sa matrice Am est inversible.

Am est inversible si et seulement si m ∉ {2,−1} (d’après I)

Donc Le système ( Sm ) est de Cramer ssi m ∉ {2,−1} .

2) Résolutions du système ( Sm ) pour m = 0 , m = 1 et m = 2 :
x + y − z = 0

( S0 ) x + y + z = 0
− x + y + z = 0


a. m = 0 :

Le système ( S0 ) est de Cramer car 0 ∉ {2,−1} .

( S0 ) est un système de Cramer homogène.

(0,0,0) est alors l’unique solution du système ( S0 ) .
y − z = 1

b. m = 1 :
( S1 ) x + z = 1
− x + y = 1

Le système ( S1 ) est de Cramer car 1 ∉ {2,−1}.
Résolution du système ( S1 ) par la méthode des déterminants de Cramer :
1
 0 1 − 1
 


b1 = 1 et A1 =  1 0 1  : ∆ = det A1 = −2 car
1
−1 1 0 
 


1 1 −1
0 1 −1
∆ x = 1 0 1 = −1 ,
∆ y = 1 1 1 = −3
1 1

0

−1 1

0

det Am = −(1 + m)( m − 2) 2

et

0
∆z = 1

1 1
0 1 = −1

−1 1 1

1 3 1
( , , ) est alors l’unique solution du système ( S1 )
2 2 2



[29]


c.


 2 x + y − z = −3

( S −1 ) x + 2 y + z = −3
− x + y + 2 z = −3


m = −1 :

(1) 2 x + y − z = −3

( x, y, z ) est alors solution du système ( S−1 ) ssi ((2)  x + 2 y + z = −3 .
(2) − (3) 2 x + y − z = 0

D’où l’impossibilité de résoudre le système ( S−1 ) : 2 x + y − z = −3 et 2 x + y − z = 0
La solution du système ( S−1 ) est alors égal à φ .

Partie 3
Enoncé :
Dans IR3 , on considère les sous espaces vectoriels V1 , V2 et V3 suivants :

{

}


{

}

V2 = ( x, y, z ) ∈ IR / 2 x + y − z = 0, x + 2 y + z = 0 et V3 = {( x, y , z ) ∈ IR / 2 x + y − z = 0}
2) A-t-on V1 ⊕ V2 = IR3 ? V1 ⊕ V3 = IR 3 ?
3

3

Solution :
1) Cherchons une base de chacun des sous espaces vectoriels.

{

}

(1)  2 x + y − z = 0
(1) + (2) 3 x + 3 y = 0
 y = −x



X = ( x, y, z ) ∈ V1 ssi (2)  x + 2 y + z = 0 ssi (1) − (3) 3 x − 3 z = 0
ssi  z = x
 x ∈ IR
(3) − x + y + 2 z = 0
(3) − x + y + 2 z = 0



Donc X = ( x, y, z ) ∈ V1 ssi ( x, y, z ) = ( x,− x, x) = x(1,−1,1) , x ∈ IR .

{(1,−1,1)} est alors une base de V1 ,

dimV1 = 1 et V1 =< (1,−1,1) > .

{

}

V2 = ( x, y, z ) ∈ IR3 / 2 x + y − z = 0, x + 2 y + z = 0

2 x + y − z = 0
X = ( x, y, z ) ∈ V2 ssi ( x, y, z ) est solution du système linéaire 
x + 2 y + z = 0
2 x + y − z = 0
( x, y, z ) est solution du système linéaire 
ssi ( x, y, z ) est solution du
x + 2y + z = 0

 2x + y − z = 0

système linéaire  x + 2 y + z = 0 car − x + y + 2 z = ( x + 2 y + z ) − (2 x + y − z )
− x + y + 2 z = 0

Donc V2 = V1

{(1,−1,1)} est alors une base de V2 ,

dimV2 = 1 et V2 =< (1,−1,1) > .



[30]


{


}

V3 = ( x, y , z ) ∈ IR 3 / 2 x + y − z = 0

2x + y − z = 0
ssi
z = 2 x + y , ( x, y ∈ IR )
( x, y, z ) = ( x, y,2 x + y ) = x.(1,0,2) + y.(0,1,1) , ( x, y ∈ IR )
{(1,0,2), (0,1,1)} est alors une base de V3 , dimV3 = 2 et V3 =< (1,0,2), (0,1,1) > .

X = ( x, y, z ) ∈ V2 ssi
X = ( x, y, z ) ∈ V2 ssi

2)

V1 ⊕ V2 = IR3 ?
V2 = V1 =< (1,−1,1) > et dimV2 = dimV2 = 1

V1 ⊕ V2 ≠ IR3 car dimV1 + dimV2 ≠ dim IR3 ou bien V1 ∩ V2 = V1 = V2 ≠ {(0,0,0)}

V1 ⊕ V3 = IR 3 ?

 2x + y − z = 0

V1 ⊆ V3 car ( x, y, z ) ∈ V1 ⇒  x + 2 y + z = 0 ⇒ 2 x + y − z = 0 ⇒ ( x, y, z ) ∈ V3
− x + y + 2 z = 0

Donc V1 ∩ V3 = V1
3
Donc V1 ⊕ V2 ≠ IR car V1 ∩V3 ≠ {(0,0,0)} même si dim V1 + dim V3 = dim IR 3

Partie 4
Enoncé :
Soit f l'endomorphisme de IR3 dont la matrice relativement à la base canonique B de IR3 est
−1 
1
1 − m


M ( f / B, B ) = Am =  1
donnée par :
1− m
1 
 −1
1
1− m


4) Vérifier que B' = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 .

5) Déterminer les matrices de passage PBB' et PB ' B .
6) On prend m = 0 .
Solution :
♦ Soit f l'endomorphisme de IR3 dont la matrice relativement à la base canonique B de IR3 est
donnée par :

1
−1 
1 − m


M ( f / B, B ) = Am =  1
1− m
1 
 −1
1
1− m





[31]



1) Le rang de f , suivant le paramètre m :
M ( f / B, B) = Am , donc rg ( f ) = rg ( Am ) .
Or, (d’après I)
la matrice Am est inversible si et seulement si m ∉ {2,−1} , donc rg ( Am ) = 3 si m ∉ {2,−1}

rg ( A−1 ) = 2 et rg ( A2 ) = 1
Donc
Si m ∉ {2,−1} alors rg ( f ) = 3
Si m = −1 alors rg ( f ) = 2
Si m = 2 alors rg ( f ) = 1
 2 1 − 1


2) m = −1 : M ( f / B, B ) = A−1 =  1 2 1  et f ( x, y, z ) = (2 x + y − z, x + 2 y + z ,− x + y + 2 z )
−1 1 2 



Déterminons une base de Im( f ) :

Im( f ) = f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) , B = {e1 , e2 , e3 } étant la base canonique de IR3 .

u1 = f (e1 ) = (2,1,−1)

u2 = f (e2 ) = (1,2,1) :
u = f (e ) = (−1,1,2)
3
 3
On pose S = {u1 , u2 , u3 } :

Im f =< u1 , u2 , u3 >

rg ( S ) = dim(Im f )
Déterminons le rang du système S = {u1 , u2 , u3 } :
1 ≤ rg ( S ) ≤ 3
rg ( S ) < 3 car le système S = {u1 , u2 , u3 } n’est pas libre :

{u1, u2 } est libre, donc rg ( S ) = 2

u1 = u2 − u3

ou bien rg ( S ) = rg ( A−1 ) = 2 (d’après I) , donc rg ( S ) = 2
dim(Im f ) = 2
{(2,1,−1), (1,2,1)} est alors une base de Im f :

{

}

Déterminons une base de Ker ( f ) : Ker ( f ) = ( x, y, z ) ∈ IR3 / f ( x, y, z ) = (0,0,0)

{

}

Ker ( f ) = ( x, y, z ) ∈ IR / 2 x + y − z = 0, x + 2 y + z = 0 et − x + y + 2 z = 0
Donc Ker ( f ) = V1
3

{(1,−1,1)} est alors une base de ker( f ) ,

dim Ker ( f ) = 1 et ker( f ) =< (1,−1,1) > .


B' = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 ssi M ( B' / B) est inversible

 1 1 0


M ( B' / B) =  − 1 1 1  :
 1 0 1



1 1 0
1 1 0
1 1
− 1 1 1 L2 → L2 − L3 − 2 1 0 suivant L3
=3
−2 1
1 0 1
1 0 1



[32]



Donc B' = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 .
b. Déterminer les matrices de passage PBB' et PB ' B .

PBB ' = M ( B' / B) , donc

PBB '

PB ' B = (PBB ' ) . Calculons (PBB ' ) :
=3
−1

det PBB'

 1 1 0


= −1 1 1
 1 0 1



 1
+
 0


 1
C ( PBB ' ) =  −
 0


+1
 1

1

t
C ( PBB ' ) =  2
−1


1
1
0
1
0
1

−1

−1 1

−

1

+

−

1

1 0
1 1
1

0

−1 1

−1 1 

1 0

  1 2 − 1

1 1  
−
 =  −1 1 1 
1 0  

 1 −1 2 


1 1
+
−1 1 


+

−1 1 

1 − 1
1
2


 1 −1 1 

1 t
1
−1
(PBB ' ) =
C ( PBB ' ) ⇒ (PBB ' ) = . 2 1 − 1
det PBB '
3
2
−1 1

1 1 
 1
−


3 3 
 3
2
1
1
− 
Donc PB 'B = 
 3
3
3
 1 1
2 
−

3 
 3 3
−1

 1 1 − 1


4) On prend m = 0 : M ( f / B, B ) = A0 =  1 1 1 
−1 1 1 


v1 = (1,−1,1) , v2 = (1,1,0) et v3 = (0,1,1)
 f (v1 ) = M ( f / B, B ).v1
 f (v1 ) = (−1,1,−1) = −v1


 f (v2 ) = M ( f / B, B ).v2 ⇒  f (v2 ) = (2,2,0) = 2.v2 ⇒
 f (v ) = M ( f / B, B ).v
 f (v ) = (0,2,2) = 2.v
3
3
 3
 3


 −1 0 0 


M ( f / B ' , B' ) =  0 2 0 
 0 0 2




[33]




M ( f / B' , B' ) = PB ' B .M ( f / B, B).PBB ' .
 1 1 − 1
 1 1 0




M ( f / B, B ) =  1 1 1  , PBB ' =  − 1 1 1  ,
−1 1 1 
 1 0 1





PB 'B

1 1 
 1
−


3 3 
 3
2
1
1
=
− 
 3
3
3
 1 1
2 
−

3 
 3 3

 −1 0 0


Donc M ( f / B' , B' ) =  0 2 0 
 0 0 2





[34]

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

RABAT

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


Durée : 1h30
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A&B
Salma DASSER



Partie I (4 points)

 1 m − m


♦ Dans M (3) , on donne la matrice Am =  m 1
m ,
1 m m 



m ∈ IR

1) Montrer que la matrice Am est inversible si et seulement si m ∉ {− 1,0,1} .

2 pts

2) Discuter le rang de la matrice Am selon les valeurs du paramètre m .

2 pts

Partie II
(4 points)
3
♦ Dans IR , on considère les vecteurs v1 = (1, m,1) , v2 = (m,1, m) et v3 = (−m, m, m) , m ∈ IR .
1) Pour quelles valeurs du paramètre m , {v1 , v2 , v3 } est-elle une base de IR3 ?

1 pt

2) Discuter le rang du système {v1 , v2 , v3 } suivant le paramètre m .

1,5 pts

3) On prend m = 2 . ( B' = {v1 , v2 , v3 } est alors une base de IR ).
3

Déterminer les matrices de passage PBB ' et PB ' B , B étant la base canonique de IR3 .

1,5 pts

Partie III
(8 points)
♦ Soit f m l'endomorphisme de IR3 défini par : f m (( x, y, z )) = ( x + my − mz, mx + y + mz, x + my + mz )
1) Déterminer, suivant le paramètre m , une base de Im( f m ) .

1,5 pt

2) Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f m .

1 pt

3) On prend m = 2 .
a. Vérifier que B' = {(1,2,1), (2,1,2), (−2,2,2)} est une base de IR3 .

0,5 pt
3

b. Donner les matrices de passage PBB ' et PB ' B , B étant la base canonique de IR .
c. En déduire que M ( f 2 / B' , B' ) = M ( f 2 / B, B) .
4) On prend m = −1 .
a. Donner une base de Im( f −1 ) et une base de ker( f −1 ) .
b. Vérifier que Im( f −1 ) ⊕ ker( f −1 ) = IR .
3


1 pt
1 pt
2 pts
1 pt


[35]

Partie IV


(4 points)

 x + my − mz = m + 1

♦ On considère le système linéaire
( S m )mx + y + mz = m + 1
 x + my + mz = m + 1

1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système ( Sm ) est-il de Cramer ?

1 pt

2) Résoudre le système ( Sm ) pour :
a. m = 2
1,5 pt
b. m = −1
1,5 pt
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la résolution de
tout système de Cramer)



[36]


Correction du contrôle de rattrapage

Partie 1
Enoncé :
 1 m − m


Dans M (3) , on donne la matrice Am =  m 1 m  ,
m ∈ IR
1 m m 


1) Montrer que la matrice Am est inversible si et seulement si m ∉ {− 1,0,1} .

2) Discuter le rang de la matrice Am selon les valeurs du paramètre m .
Solution :
1 m −m
1) La matrice Am est inversible ssi det Am = m 1 m ≠ 0 :
1
1 m −m
Calcul de m 1 m :
1

m

m

m

1 m −m
1 m −1
m 1 m = m. m 1 1

m

1

m

m

1

m

1

1 m −1
1
m
−1
1 m −1
o or m 1 1 L2 → L2 + L1 , L3 → L3 + L1 m + 1 1 + m 0 = 2(1 + m) 1 1 0
1

m

1

2

2m

0

1 m

0

1 m −1
1 1
o et 1 1 0 suivant C3 (−1).
=1− m
1 m
1 m 0
1 m −m
o Donc m 1 m = 2m(1 + m)(1 − m)
1

m

m

1− m
1
Solution de l’équation 1
1− m
−1

1

−1
1 =0 :
1− m

1 m −m
o m 1 m = 0 ⇔ (m = −1) ou (m = 0) ou (m = 1)
1

m

m

La matrice Am est alors inversible ssi (m ≠ −1), (m ≠ 0) et (m ≠ 1)



[37]



2) le rang de la matrice Am selon les valeurs du paramètre m ∈ IR :

1 ≤ rg ( Am ) ≤ 3

rg ( Am ) = 3 ssi la matrice Am est inversible.
Donc rg ( Am ) = 3 ssi m ≠ 0 , m ≠ 1 et m ≠ −1
 1 −1 1 


Pour m = −1
:
A−1 =  − 1 1 − 1 ,
1 ≤ rg ( A−1 ) ≤ 3
 1 − 1 − 1


o rg ( A−1 ) = 3 ssi la matrice A−1 est inversible.
o Donc rg ( A−1 ) < 3 car det A−1 = 0 .
o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice A−1 :
1 1 
1 1 
1 − 1 est une matrice inversible de M (2) extraite de A−1 : det 1 − 1 = −2




o Donc rg ( A−1 ) = 2 .

1 0 0


1 ≤ rg ( A0 ) ≤ 3
Pour m = 0 :
A0 =  0 1 0  ,
1 0 0


o rg ( A0 ) = 3 ssi la matrice A0 est inversible.
o Donc rg ( A0 ) < 3 car det A0 = 0 .
o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice A0 :
1 0
0 1 est une matrice inversible de M (2) extraite de A0 :


o Donc rg ( A0 ) = 2 .

1 0
det 
 =1
0 1 

 1 1 − 1


Pour m = 1 :
A1 = 1 1 1  ,
1 ≤ rg ( A1 ) ≤ 3
1 1 1 


o rg ( A1 ) = 3 ssi la matrice A1 est inversible.
o Donc rg ( A1 ) < 3 car det A1 = 0 .
o On cherche une sous matrice carrée inversible d’ordre 2 extraite de la matrice A1 :
1 − 1
1 − 1
det 
1 1  est une matrice inversible de M (2) extraite de A1 :
=2


1 1 
o Donc rg ( A1 ) = 2 .
Résumé :
o Si m ≠ 0 , m ≠ 1 et m ≠ −1 alors rg ( Am ) = 3
o Si m = 0 ou m = 1 ou m = −1 alors rg ( Am ) = 2



[38]



Partie 2
Enoncé :
Dans IR3 , on considère les vecteurs v1 = (1, m,1) , v2 = (m,1, m) et v3 = (−m, m, m) , m ∈ IR .
1) Pour quelles valeurs du paramètre m , {v1 , v2 , v3 } est-elle une base de IR3 ?
2) Discuter le rang du système {v1 , v2 , v3 } suivant le paramètre m .
3) On prend m = 2 . ( B' = {v1 , v2 , v3 } est alors une base de IR3 ).

4) Déterminer les matrices de passage PBB' et PB ' B , B étant la base canonique de IR3 .
Solution :
S = {v1 , v2 , v3 }, avec v1 = (1, m,1) , v2 = (m,1, m) et v3 = (−m, m, m)
1) Cherchons les valeurs de m ∈ IR pour lesquelles {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 .

S = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 si et seulement si M ( S ) / B est inversible, B étant la base
canonique de IR3 :
M ( S ) / B = Am

Donc S = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 si et seulement si Am est inversible.
Or la matrice Am est inversible ssi (m ≠ −1), (m ≠ 0) et (m ≠ 1) (D’après I)

Donc le système S = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 ssi (m ≠ −1), (m ≠ 0) et (m ≠ 1)
2) Discutons rg (S ) suivant les valeurs du paramètre m ∈ IR :

1 ≤ rg ( S ) ≤ 3

M ( S ) / B = Am
rg ( S ) = rg (M ( S / B) ) :
Donc rg ( S ) = rg ( Am )
Or : (D’après I)
o rg ( Am ) = 3 si m ≠ 0 , m ≠ 1 et m ≠ −1
o rg ( Am ) = 2 si m = 0 ou m = 1 ou m = −1
Donc
o Si m ≠ 0 , m ≠ 1 et m ≠ −1 alors rg ( S ) = 3
o Si m = 0 ou m = 1 ou m = −1 alors rg ( S ) = 2
3) On prend m = 2

:

PBB ' = M ( B' / B) ,

v1 = (1,2,1) , v2 = (2,1,2) et v3 = (−2,2,2)
donc

PBB '

1 2 − 2


= 2 1 2 
1 2 2 



PBB ' = A2 , donc PB ' B = (PBB ' )−1 = ( A2 )−1 .



[39]



Calculons (PBB ' )−1 :
o det PBB ' = det A2 = 2 × 2(1 + 2)(1 − 2) = −12
 1
 +
 2


 2
o C ( PBB ' ) =  −
 2


+ 2
 1


2

−

2
−2
2
−2
2

+

−

2 2
1 2

1 −2
1

2

1 −2
2 2

− 2 − 8 6 


o C ( PBB ' ) =  − 2 4 − 6  :
 3
0 − 3


t

o Donc PB 'B

 1

 6
1
=
 6
 1
−
 4

2 1

1 2

 − 2 − 2 3 

1 2 
−
0 
 = −8 4
1 2 
6 − 6 − 3

 

1 2
+
2 1


+

− 2 − 8 6 

1 t
1 
−1
=
C ( PBB ' ) ⇒ (PBB ' ) = − . − 2 4 − 6 
det PBB '
12 
0 − 3
 3


(PBB ' )

−1

2
1
− 
3
2
1 1 
−
3 2 
1 
0

4 

Partie 3
Enoncé :
Soit f m l'endomorphisme de IR3 défini par :
1)
2)
3)

4)

f m (( x, y, z )) = ( x + my − mz, mx + y + mz, x + my + mz )
Déterminer, suivant le paramètre m , une base de Im( f m ) .
Discuter, suivant le paramètre m , le rang de f m .
On prend m = 2 .
a. Vérifier que B' = {(1,2,1), (2,1,2), (−2,2,2)} est une base de IR3 .
b. Donner les matrices de passage PBB' et PB ' B , B étant la base canonique de IR3 .
c. En déduire que M ( f 2 / B' , B' ) = M ( f 2 / B, B) .
On prend m = −1 .
a. Donner une base de Im( f −1 ) et une base de ker( f −1 ) .
b. Vérifier que Im( f −1 ) ⊕ ker( f −1 ) = IR3 .



[40]



f m (( x, y, z )) = ( x + my − mz, mx + y + mz, x + my + mz )

Solution :

1) Une base de Im( f m ) , suivant le paramètre m :
Im( f m ) = f m (e1 ), f m (e2 ), f m (e3 ) , B = {e1 , e2 , e3 } étant la base canonique de IR3 .

dim(Im( f m )) = rg { f m (e1 ), f m (e2 ), f m (e3 )}
 f m (e1 ) = (1, m,1) = v1

 f m (e2 ) = (m,1, m) = v2
 f ( e ) = ( − m, m, m ) = v
3
 m 3

Donc :

dim(Im( f m )) = rg ( S ) ,

avec S = {v1 , v2 , v3 }

Or : (D’après II)
o rg ( S ) = 3 si m ≠ 0 , m ≠ 1 et m ≠ −1
o rg ( S ) = 2 si m = 0 ou m = 1 ou m = −1
Donc
3
o Si m ≠ 0 , m ≠ 1 et m ≠ −1 alors dim(Im f m ) = 3 et Im f m = IR
o Si m = 0 alors dim(Im f 0 ) = 2 :

v1 = (1,0,1) , v2 = (0,1,0) et v3 = (−0,0,0)
{v1, v2 } est une base de Im( f0 ) .

o Si m = 1 alors dim(Im f1 ) = 2 :

v1 = (1,1,1) , v2 = (1,1,1) et v3 = (−1,1,1)
{v1, v3} est une base de Im( f1 ) .

o Si m = −1 alors dim(Im f −1 ) = 2 :

v1 = (1,−1,1) , v2 = (−1,1,−1) et v3 = (1,−1,−1)
{v1, v3} est une base de Im( f −1 ) .

2) Le rang de f , suivant le paramètre m :
rg ( f m ) = Im f m
Donc :
o Si m ≠ 0 , m ≠ 1 et m ≠ −1 alors rg ( f m ) = 3
o Si m = 0 ou m = 1 ou m = −1 alors rg ( f m ) = 2
3) m = 2 :
a. B' = {(1,2,1), (2,1,2), (−2,2,2)} est une base de IR3 .

B' = {v1 , v2 , v3 } , avec m = 2

Or le système S = {v1 , v2 , v3 } est une base de IR3 ssi (m ≠ −1), (m ≠ 0) et (m ≠ 1)
Donc B' = {(1,2,1), (2,1,2), (−2,2,2)} est une base de IR3 .



[41]



b. Les matrices de passage PBB' et PB ' B , B étant la base canonique de IR3 .

PBB ' = M ( B' / B) , donc

Donc, (D’après II) : PB 'B

PBB '

1 2 − 2


= 2 1 2 
1 2 2 



 1

 6
1
=
 6
 1
−
 4

2
1
− 
3
2
1 1 
−
3 2 
1 
0

4 

c. M ( f 2 / B' , B' ) = M ( f 2 / B, B) ?

M ( f 2 / B' , B' ) = PB ' B .M ( f 2 / B, B).PBB ' :
 1 m − m


Or PBB ' = A2 et M ( f 2 / B, B) = A2 car M ( f m / B, B) =  m 1 m  = Am
1 m m 


−1
Donc M ( f 2 / B' , B' ) = M ( f 2 / B, B) car PB 'B .M ( f 2 / B, B ).PBB ' = ( Am ) . Am . Am = Am

4) m = −1 :

f −1 (( x, y, z )) = ( x − y + z,− x + y − z , x − y − z )

a. Une base de Im( f −1 ) et une base de ker( f −1 ) .
Une base de Im( f −1 ) :
o {(1,−1,1), (1,−1,−1)} est une base de Im( f −1 ) .
ker( f −1 ) :

{

(D’après 1) )

}

o Ker ( f −1 ) = ( x, y, z ) ∈ IR3 / f −1 ( x, y, z ) = (0,0,0)
o ( x, y, z ) ∈ Ker( f −1 )
ssi
( x − y + z,− x + y − z , x − y − z ) = (0,0,0)
x − y + z = 0
x − y + z = 0

o ( x, y, z ) ∈ Ker( f −1 )
ssi
ssi

− x + y − z = 0
x − y − z = 0
x − y − z = 0

(1)  x − y + z = 0
ssi

( 2)  x − y − z = 0
o Donc ( x, y, z ) ∈ Ker( f −1 )
ssi

or

o Donc Ker ( f −1 ) = (1,1,0) ,
o

(1) + (2)  y = x
, x ∈ IR

(1) − (2)  z = 0
( x, y, z ) = ( x, x,0) = x.(1,1,0) , x ∈ IR

dim Ker ( f −1 ) = 1

{(1,1,0)} est alors une base de ker( f −1 ) .



[42]



b. Im( f −1 ) ⊕ ker( f −1 ) = IR3 .
Pour vérifier que Im( f −1 ) ⊕ ker( f −1 ) = IR3 , il suffit de vérifier que la réunion d’une base de

ker( f −1 ) et une base de Im( f −1 ) , est une base de IR3 :

{(1,1,0)} est alors une base de ker( f −1 )
{(1,−1,1), (1,−1,−1)} est une base de Im( f −1 )
Vérifions que S = {(1,−1,1), (1,−1,−1), (1,1,0)} est une base de IR3 :
1 1
1


o M (S / B) =  − 1 − 1 1  :
 1 −1 0


o Calcul du det(M ( S / B) ) :

S est une base de IR3 si et seulement si det(M ( S / B) ) ≠ 0

1
1 1
1
1 1
−2 −2
− 1 − 1 1 L2 → L2 − L1 − 2 − 2 0 suivant C3
=4
1 −1
1 −1 0
1 −1 0

o S = {(1,−1,1), (1,−1,−1), (1,1,0)} est alors une base de IR3 .
3
Donc Im( f −1 ) ⊕ ker( f −1 ) = IR

Partie 4
Enoncé :

 x + my − mz = m + 1

( S m )mx + y + mz = m + 1
 x + my + mz = m + 1


1) Pour quelle(s) valeur(s) du paramètre m , le système ( S m ) est-il de Cramer ?
2) Résoudre le système ( S m ) pour :
a. m = 2
b. m = −1
(Utiliser la méthode d'inversion de la matrice ou la méthode des déterminants de Cramer pour la
résolution de tout système de Cramer)
Solution :
1) Les valeurs du paramètre m pour lesquelles le système ( Sm ) est de Cramer :
Le système ( Sm ) s’écrit sous la forme matricielle suivante Am . X = b , avec
 1 m − m
 x
 m + 1) 


 


Am =  m 1 m  , X =  y  et bm =  m + 1 
1 m m 
z
 m +1 


 





[43]



 1 m − m


La matrice du système ( Sm ) est égale à la matrice Am =  m 1 m 
1 m m 



Le système ( Sm ) est de Cramer ssi sa matrice Am est inversible.

Am est inversible si et seulement si m ∉ {− 1,0,1} : det Am = 2m(1 + m)(1 − m) (d’après I)
Donc Le système ( Sm ) est de Cramer ssi m ∉ {− 1,0,1} .
2) Résolutions du système ( Sm ) pour m = 2 et m = −1 :

m=2 :

x + 2 y − 2z = 3

( S 2 ) 2 x + y + 2 z = 3
x + 2 y + 2z = 3


o Le système ( S2 ) est de Cramer car 2 ∉ {− 1,0,1}.
o Résolution du système ( S2 ) par la méthode des déterminants de Cramer :
 3
1 2 − 2
 


b2 =  3  et A2 =  2 1 2 
 3
1 2 2 
 



∆ = det A2 = −12

car

3 2 −2
∆ x = 3 1 2 = −12 ,
3 2

det Am = 2m(1 + m)(1 − m)
1 3 −2
∆ y = 2 3 2 = −12 et

2

1 3

1 2 3
∆z = 2 1 3 = 0

2

1 2 3

o (1,1,0) est alors l’unique solution du système ( S2 )

m = −1 :

x − y + z = 0

( S −1 )− x + y − z = 0
x − y − z = 0


o ( x, y, z ) est alors solution de ( S−1 ) ssi ( x, y, z ) ∈ Ker( f −1 ) , (d’après III-4)
o Or Ker ( f −1 ) = (1,1,0) , (d’après III-4)
o Donc La solution du système ( S−1 ) est égal au sous espace vectoriel < (1,1,0) >



[44]




................................................................................................................................
...................................................................................................
Contrôle final ................................................................................................................................... 46
......................................................................................................................
................................................................



[45]

RABAT

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


CONTROLE FINAL
Durée : 2h
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A, B & C
Salma DASSER


Les cinq parties peuvent être traitées indépendamment
1) On munit Թଷ de sa base canonique ‫ܤ‬௖ ൌ ሼ݁ଵ , ݁ଶ , ݁ଷ ሽ.
2) On considère les trois sous espaces vectoriels de Թଷ :
ܸଵ ൌ ‫ ,1,1(ۃ‬െ1ሻ; ሺ1,1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻ‫,ۄ‬
ܸଶ ൌ ‫ۃ‬ሺ1, െ1,1ሻ; ሺെ1,1, െ1ሻ‫ۄ‬
ଷ
ܸଷ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թ / 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0, ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0, െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0 ሽ
1) Déterminer une base du sous espace vectoriel ܸଵ . Comparer ܸଵ et Թଷ .
2) Déterminer une base de chacun des sous espaces vectoriel ܸଶ et ܸଷ . Comparer ܸଶ et ܸଷ .

Partie 1 :

(3 points)

݉ 1 െ1
‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1 ݉ 1 ൩ , ݉ ‫ א‬Թ.
െ1 1 ݉
1) Montrer que la matrice ‫ ܣ‬est non inversible ssi ݉ ൌ െ1 ou ݉ ൌ 2.
2) Discuter le rang de la matrice ‫ ܣ‬selon les valeurs du paramètre ݉.

Partie 2 :

1.5 pt
1.5 pt

(3 points)

3) On considère la matrice

1.5 pt
1.5 pt

4) On considère les vecteurs de Թଷ : ‫ݑ‬ଵ ൌ ሺ݉, 1, െ1ሻ , ‫ݑ‬ଶ ൌ ሺ1, ݉, 1ሻ et ‫ݑ‬ଷ ൌ ሺെ1,1, ݉ሻ, ݉ ‫ א‬Թ.
1 pt
1) Que représente la matrice ‫ܣ‬௠ pour le système ܵ ൌ ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ ?
2) Discuter le rang du système ܵ selon les valeurs du paramètre ݉.
2 pts

Partie 3 :

݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ ݉ െ 1
On considère le système linéaire :
ܵ௠ ൝‫ ݔ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ ݉ െ 1
െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ ݖ‬ൌ 1 െ ݉
Pour quelles valeurs du paramètre ݉, le système ܵ௠ est-il de Cramer ?
Pour ݉ ൌ 1, résoudre ሺܵଵ ሻ.
Pour ݉ ൌ 0, résoudre ሺܵை ሻ.

Partie 4 :
5)
1)
2)
3)

(3 points)

(4 points)


1 pt
1 pt
2 pts


[46]


Contrôle final

6) On considère l’endomorphisme ݂௠ de Թଷ défini par :
‫ א )ݖ ,ݕ ,ݔ(׊‬Թଷ :
݂௠ ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݔ ,ݖ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ,ݖ‬െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ݖ‬ሻ
1) Ecrire la matrice ࣧሺ݂௠ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ, ‫ܤ‬௖ étant la base canonique de Թଷ .
0.5 pt
1 pt
2) Pour quelles valeurs du paramètre ݉, l’endomorphisme ݂௠ est-il surjectif ?
3) Pour ݉ ൌ 2, déterminer une base de ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ଶ ሻ et en déduire ‫݃ݎ‬ሺ݂ଶ ሻ.
1.5 pt
1.5 pt
4) Pour ݉ ൌ 1, déterminer une base de ‫݉ܫ‬ሺ݂ଵ ሻ et en déduire ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ଵ ሻ.
5) Vérifier que ‫ ܤ‬ൌ ሼሺ1,1,0ሻ, ሺ1, െ1,1ሻ, ሺ0,1,1ሻሽ est une base de Թଷ .
0.5 pt
1 pt
6) Pour ݉ ൌ 0, déterminer la matrice ࣧሺ݂଴ / ‫ܤ ,ܤ‬ሻ par un calcul direct.
7) Retrouver ࣧሺ݂଴ / ‫ܤ ,ܤ‬ሻ en utilisant la formule de changement de bases.
1 pt

Partie 5 :

(7 points)



[47]


Correction du contrôl final

Partie 1
Enoncé :
On considère les trois sous espaces vectoriels de Թଷ :
1) ܸଵ ൌ ‫ ,1,1(ۃ‬െ1ሻ; ሺ1,1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻ‫ܸ ,ۄ‬ଶ ൌ ‫ۃ‬ሺ1, െ1,1ሻ; ሺെ1,1, െ1ሻ‫ۄ‬
2) ܸଷ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0, ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0, െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0 ሽ
3) Déterminer une base du sous espace vectoriel ܸଵ . Comparer ܸଵ et Թଷ .
4) Déterminer une base de chacun des sous espaces vectoriel ܸଶ et ܸଷ. Comparer ܸଶ et ܸଷ.
Solution :

1) ܸଵ ൌ ‫ۃ‬ሺ1,1, െ1ሻ; ሺ1,1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻ‫: ۄ‬
dim ܸଵ ൌ ‫݃ݎ‬ሺܵሻ , avec ܵ ൌ ሼሺ1,1, െ1ሻ; ሺ1,1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻሽ.
On vérifie que le système ሼሺ1,1, െ1ሻ; ሺ1,1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻሽ est libre.
Donc dim ܸଵ ൌ ‫݃ݎ‬ሺܵሻ ൌ 3 et ሼሺ1,1, െ1ሻ; ሺ1,1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻሽ est alors une base de ܸଵ.
ܸଵ est alors un sous espace vectoriel de Թଷ , de même dimension.
Donc ܸଵ ൌ Թଷ

2)
ܸଶ ൌ ‫ۃ‬ሺ1, െ1,1ሻ; ሺെ1,1, െ1ሻ‫: ۄ‬
dim ܸଶ ൌ ‫݃ݎ‬ሺܵሻ , avec ܵ ൌ ሼሺ1, െ1,1ሻ; ሺെ1,1, െ1ሻሽ.
On vérifie que le système ሼሺ1, െ1,1ሻ; ሺെ1,1, െ1ሻሽ est lié.
ሼሺ1, െ1,1ሻሽ est un système libre extrait de ܵ, donc ‫݃ݎ‬ሺܵሻ ൌ 1
Donc dim ܸଶ ൌ 1 : ሼሺ1, െ1,1ሻሽ est alors une base de ܸଶ et ܸଶ ൌ ‫ۃ‬ሺ1, െ1,1ሻ‫.ۄ‬

ܸଷ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0, ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0, െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0ሽ :
2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0
ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ܸ א‬ଷ ssi ൝ ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0
െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0
ሺ1ሻ ൅ ሺ2ሻ 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0
ሺ1ሻ 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0
‫ ݕ‬ൌ െ‫ݔ‬
ሺ2ሻ ൝‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0 ֞
ሺ2ሻ ൝3‫ ݔ‬൅ 3‫ ݕ‬ൌ 0 ֞ ቊ‫ ݖ‬ൌ ‫ݔ‬
‫אݔ‬Թ
ሺ3ሻ െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0
ሺ1ሻ െ ሺ3ሻ 3‫ ݔ‬െ 3‫ ݖ‬ൌ 0
Une base de ܸଷ est alors donnée par ሼሺ1, െ1,1ሻሽ
Donc ܸଷ ൌ ‫ۃ‬ሺ1, െ1,1ሻ‫ ۄ‬ൌ ܸଶ

Partie 2

݉ 1 െ1
‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1 ݉ 1 ൩ , ݉ ‫ א‬Թ.
െ1 1 ݉
1) Montrer que la matrice ‫ ܣ‬est non inversible ssi ݉ ൌ െ1 ou ݉ ൌ 2.
2) Discuter le rang de la matrice ‫ ܣ‬selon les valeurs du paramètre ݉.

Enoncé :

On considère la matrice



[48]


Solution :

݉ 1
‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1 ݉
െ1 1


െ1
1൩
݉

1) la matrice ‫ ܣ‬est non inversible ssi detሺ‫ܣ‬ሻ ൌ 0 :
݉ 1 െ1
݉
1
െ1
݉ 1 െ1
௅ ՜௅ ା௅
อ 1 ݉ 1 อ ൌ మ మ య อ 0 ݉ ൅ 1 ݉ ൅ 1อ ൌ ሺ݉ ൅ 1ሻ อ 0 1 1 อ
െ1 1 ݉
െ1
1
݉
െ1 1 ݉

݉ 1 െ1
݉
2
െ1
݉
2
஼మ ՜஼మ ି஼య
อ 0 1 1 อൌ
อ0
ቚ ൌ െ݉ሺ1 െ ݉ሻ െ 2 ൌ ݉ଶ െ
0
1 อ ൌ െቚ
െ1 1 െ ݉
െ1 1 ݉
െ1 1 െ ݉ ݉
݉െ2
݉ 1 െ1
Donc อ 1 ݉ 1 อ ൌ ሺ݉ ൅ 1ሻଶ ሺ݉ െ 2ሻ
െ1 1 ݉
La matrice ‫ ܣ‬est alors non inversible ssi : ݉ ൌ െ1 ou ݉ ൌ 2.

2) le rang de la matrice ‫ ܣ‬selon les valeurs du paramètre ݉ :
Si ݉ ് െ1 et ݉ ് 2 alors la matrice ‫ ܣ‬est inversible, donc ‫݃ݎ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ 3.
െ1 1 െ1
Si ݉ ൌ െ1 alors ‫ିܣ‬ଵ ൌ ൥ 1 െ1 1 ൩ : detሺ‫ିܣ‬ଵ ሻ ൌ 0 et tous les déterminants d’ordre 2
െ1 1 െ1
extraits de la matrice ‫ିܣ‬ଵ sont nuls, donc ‫݃ݎ‬ሺ‫ିܣ‬ଵ ሻ ൌ 1.
2 1 െ1
2 1
Si ݉ ൌ 2 alors ‫ܣ‬ଶ ൌ ൥ 1 2 1 ൩ : detሺ‫ܣ‬ଶ ሻ ൌ 0 et ቚ
ቚ est un déterminant d’ordre 2 non
1 2
െ1 1 2
nul extrait de la matrice ‫ܣ‬ଶ , donc ‫݃ݎ‬ሺ‫ܣ‬ଶ ሻ ൌ 2.

Partie 3

Enoncé :
On considère les vecteurs de Թଷ : ‫ݑ‬ଵ ൌ ሺ݉, 1, െ1ሻ , ‫ݑ‬ଶ ൌ ሺ1, ݉, 1ሻ et ‫ݑ‬ଷ ൌ ሺെ1,1, ݉ሻ, ݉ ‫ א‬Թ.
1) Que représente la matrice ‫ܣ‬௠ pour le système ܵ ൌ ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ ?
2) Discuter le rang du système ܵ selon les valeurs du paramètre ݉.
Solution :

7) ‫ݑ‬ଵ ൌ (݉, 1, െ1ሻ , ‫ݑ‬ଶ ൌ ሺ1, ݉, 1ሻ et ‫ݑ‬ଷ ൌ ሺെ1,1, ݉ሻ
1) ܵ ൌ ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ :
‫ܣ‬௠ ൌ ࣧሺܵ/‫ܤ‬௖ ሻ
2) ‫݃ݎ‬ሺܵሻ ൌ ‫݃ݎ‬ሾࣧሺܵ/‫ܤ‬௖ ሻሿ ൌ ‫݃ݎ‬ሺ‫ܣ‬௠ ሻ, donc, d’après la partie 2 :
Si ݉ ് െ1 et ݉ ് 2 alors ‫݃ݎ‬ሺܵሻ ൌ 3.
Si ݉ ൌ െ1 alors ‫݃ݎ‬ሺܵሻ ൌ 1.
Si ݉ ൌ 2 alors ‫݃ݎ‬ሺܵሻ ൌ 2.



[49]



Partie 4
݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ ݉ െ 1
ܵ௠ ൝‫ ݔ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ ݉ െ 1
െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ ݖ‬ൌ 1 െ ݉
1) Pour quelles valeurs du paramètre ݉, le système ܵ௠ est-il de Cramer ?
2) Pour ݉ ൌ 1, résoudre ሺܵଵ ሻ.
3) Pour ݉ ൌ 0, résoudre ሺܵை ሻ.

Enoncé :


Solution :

݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ ݉ െ 1
ܵ௠ ൝‫ ݔ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ ݉ െ 1
െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ ݖ‬ൌ 1 െ ݉

1) le système ܵ௠ est de Cramer ssi sa matrice est inversible :
le système ܵ௠ s’écrit sous la forme matricielle : ‫ܣ‬௠ . ܺ ൌ ܾ ,
‫ݔ‬
݉ 1 െ1
݉െ1
‫ݕ‬ቇ et ܾ ൌ ൭݉ െ 1൱
avec ‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1 ݉ 1 ൩, ܺ ൌ ቆ
‫ݖ‬
െ1 1 ݉
1െ݉
le système ܵ௠ est de Cramer ssi La matrice ‫ܣ‬௠ est inversible.
le système ܵ௠ est alors de Cramer ssi ݉ ് െ1 et ݉ ് 2, d’après la partie 2.

‫ݔ‬൅‫ݕ‬െ‫ ݖ‬ൌ0
‫ݔ‬
0
‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0 ou encore ‫ܣ‬ଵ . ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭0൱ : système linéaire homogène
2) Pour ݉ ൌ 1 : ܵଵ ൝
‫ݖ‬
െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0
0
‫ݔ‬
0
ܵଵ est un système de cramer, d’après (1), son unique solution est alors donnée par ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭0൱.
‫ݖ‬
0
‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ െ1
‫ݔ‬
െ1
0 1 െ1
3) Pour ݉ ൌ 0 : ܵ଴ ൝‫ ݔ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ െ1 ou encore ‫ܣ‬଴ . ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭െ1൱, avec ‫ܣ‬଴ ൌ ൥ 1 0 1 ൩
‫ݖ‬
െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬ൌ 1
1
െ1 1 0
ଶ
det ‫ܣ‬଴ ൌ െ2 : det ‫ܣ‬௠ ൌ ሺ݉ ൅ 1ሻ ሺ݉ െ 2ሻ, d’après partie 2.
On se propose de résoudre ܵ଴ par la méthode des déterminants de Cramer :
െ1 1 െ1
∆
ଷ
o ∆௫ ൌ อെ1 0 1 อ ൌ 3 ฺ ‫ ݔ‬ൌ ୢୣ୲ೣ஺ ൌ െ ଶ
బ
1 1 0
0 െ1 െ1
∆೤
ଵ
o ∆௬ ൌ อ 1 െ1 1 อ ൌ 1 ฺ ‫ ݕ‬ൌ ୢୣ୲ ஺ ൌ െ ଶ
బ
െ1 1
0
0 1 െ1
∆
ଵ
o ∆௭ ൌ อ 1 0 െ1อ ൌ െ1 ฺ ‫ ݖ‬ൌ ୢୣ୲೥஺ ൌ ଶ
బ
െ1 1 1
ଷ
െଶ
‫ݔ‬
‫ ۇ‬ଵ‫ۊ‬
l’unique solution du système ܵ଴ est alors donnée par :
ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ‫ۈ‬െ ଶ‫.ۋ‬
‫ݖ‬
ଵ
൅ଶ
‫ی ۉ‬



[50]



Partie 5
Enoncé :
On considère l’endomorphisme ݂௠ de Թଷ défini par :
‫ א )ݖ ,ݕ ,ݔ(׊‬Թଷ : ݂௠ ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݔ ,ݖ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ,ݖ‬െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ݖ‬ሻ
1) Ecrire la matrice ࣧሺ݂ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ, ‫ܤ‬௖ étant la base canonique de Թଷ .
௠
2) Pour quelles valeurs du paramètre ݉, l’endomorphisme ݂௠ est-il surjectif ?
3) Pour ݉ ൌ 2, déterminer une base de ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ଶ ሻ et en déduire ‫݃ݎ‬ሺ݂ଶ ሻ.
4) Pour ݉ ൌ 1, déterminer une base de ‫݉ܫ‬ሺ݂ଵ ሻ et en déduire ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ଵ ሻ.
5) Vérifier que ‫ ܤ‬ൌ ሼሺ1,1,0ሻ, ሺ1, െ1,1ሻ, ሺ0,1,1ሻሽ est une base de Թଷ .
6) Pour ݉ ൌ 0, déterminer la matrice ࣧሺ݂଴ / ‫ܤ ,ܤ‬ሻ par un calcul direct.
7) Retrouver ࣧሺ݂଴ / ‫ܤ ,ܤ‬ሻ en utilisant la formule de changement de bases.
Solution :
1)

2)

݉ 1
ࣧሺ݂௠ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ ൌ ൥ 1 ݉
െ1 1

݂௠ ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݔ ,ݖ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ,ݖ‬െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ݖ‬ሻ

െ1
1൩
݉

݂௠ est surjectif ssi ݂௠ est bijectif ssi ࣧሺ݂௠ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ est inversible :
݉ 1 െ1
ࣧሺ݂௠ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ ൌ ൥ 1 ݉ 1 ൩ ൌ ‫ܣ‬௠
െ1 1 ݉
la matrice ‫ܣ‬௠ est inversible ssi ݉ ് െ1 et ݉ ് 2, d’après la partie 2.
݂௠ est alors surjectif ssi ݉ ് െ1 et ݉ ് 2

3) Pour m ൌ 2 : ݂ଶ ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݔ ,ݖ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ,ݖ‬െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ݖ‬ሻ
Kerሺfଶ ሻ :
Kerሺfଶ ሻ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / ݂ଶ ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ0,0,0ሻሽ
Donc : Kerሺfଶ ሻ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬െ ‫ ݖ‬ൌ 0, ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0, െ‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0 ሽ
On remarque alors que Kerሺfଶ ሻ ൌ ܸଷ, voir partie 1.
Or ܸଷ ൌ ‫ۃ‬ሺ1, െ1,1ሻ‫ ۄ‬et une base de ܸଷ est donnée par ሼሺ1, െ1,1ሻሽ, d’après partie 1.
Donc Kerሺfଶ ሻ ൌ ‫ۃ‬ሺ1, െ1,1ሻ‫ ۄ‬et ሼሺ1, െ1,1ሻሽ est une base de Kerሺfଶ ሻ.
‫݃ݎ‬ሺ݂ଶ ሻ :
‫݃ݎ‬ሺ݂ଶ ሻ ൌ dim Թଷ െ dim ker fଶ , donc ‫݃ݎ‬ሺ݂ଶ ሻ ൌ 2
4) Pour m ൌ 1, : déterminer une base de Imሺfଵ ሻ et en déduire Kerሺfଵ ሻ.
Imሺfଵ ሻ :
Imሺfଵ ሻ ൌ ‫݂ۃ‬ଵ ሺ݁ଵ ሻ, ݂ଵ ሺ݁ଶ ሻ, ݂ଵ ሺ݁ଷ ሻ‫ۄ‬
݂ଵ ሺ݁ଵ ሻ ൌ ሺ1,1, െ1ሻ
1 1 െ1
ሻ ൌ ൥ 1 1 1 ൩, donc :
Comme ࣧሺ݂ଵ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖
ቐ݂ଵ ሺ݁ଶ ሻ ൌ ሺ1,1,1ሻ
െ1 1 1
݂ଵ ሺ݁ଷ ሻ ൌ ሺെ1,1,1ሻ
On a alors : Imሺfଵ ሻ ൌ ‫ۃ‬ሺ1,1, െ1ሻ, ሺ1,1,1ሻ, ሺെ1,1,1ሻ‫ۄ‬
On remarque alors que Imሺ݂ଵ ሻ ൌ ܸଶ, voir partie 1.
Or ܸଶ ൌ Թଷ , d’après partie 1.
Donc Imሺfଵ ሻ ൌ Թଷ



[51]



Kerሺfଵ ሻ :
Puisque Imሺ݂ଵ ሻ ൌ Թଷ , l’endomorphisme ݂ଵ est surjectif, donc injectif, d’où Kerሺ݂ଵ ሻ ൌ ሺ0,0,0ሻ.
ou bien : dim ker ݂ଵ ൌ dim Թଷ െ dim ‫݉ܫ‬ሺ݂ଵ ሻ, donc dim ker fଵ ൌ 0 et alors Kerሺ݂ଵ ሻ ൌ ሺ0,0,0ሻ.
5)

B ൌ ሼሺ1,1,0ሻ, ሺ1, െ1,1ሻ, ሺ0,1,1ሻሽ est une base de Թଷ :
On vérifie que le système ሼሺ1,1,0ሻ, ሺ1, െ1,1ሻ, ሺ0,1,1ሻሽ est libre.
αଵ ሺ1,1,0ሻ ൅ αଶ ሺ1, െ1,1ሻ ൅ αଷ ሺ0,1,1ሻ ൌ ሺ0,0,0ሻ ฺ αଵ ൌ αଶ ൌ αଷ ൌ 0 :
αଶ ൌ െαଵ
αଶ ൌ െαଵ
αଵ ൅ αଶ ൌ 0
αଵ െ αଶ ൅ αଷ ൌ 0 ฺ ൝αଵ ൌ 0
ฺ αଵ ൌ αଶ ൌ αଷ ൌ 0
൝αଵ െ αଶ ൅ αଷ ൌ 0 ฺ ൝
αଷ ൌ െαଵ
αଷ ൌ െαଵ
αଶ ൅ αଷ ൌ 0
1 1 0
ou bien ࣧሺB/Bୡ ሻ ൌ ൥1 െ1 1൩ est inversible : det ࣧሺB/Bୡ ሻ ൌ െ3
0 1 1

6) Pour ݉ ൌ 0 :

݂଴ ሺ1,1,0ሻ ൌ ሺ1,1,0ሻ
1
ቐ݂଴ ሺ1, െ1,1ሻ ൌ ሺെ2,2, െ2ሻ ൌ ሺെ2ሻ. ሺ1, െ1,1ሻ ฺ ࣧሺ݂଴ / B, Bሻ ൌ ൥0
0
݂଴ ሺ0,1,1ሻ ൌ ሺ0,1,1ሻ

7)

ࣧሺf଴ / B, Bሻ ൌ ܲ୆஻೎ ൈ ࣧሺ݂଴ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ ൈ ܲ஻೎ ஻ :

0 0
െ2 0൩
0 1

0 1 െ1
ࣧሺ݂଴ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ ൌ ‫ܣ‬଴ , donc ࣧሺ݂଴ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ ൌ ൥ 1 0 1 ൩
െ1 1 0
1 1 0
ܲ஻೎ ஻ ൌ ࣧሺB/Bୡ ሻ, donc ܲ஻೎ ஻ ൌ P ൌ ൥1 െ1 1൩
0 1 1
ିଵ
ିଵ
ܲ୆஻೎ ൌ ൫ܲ஻೎ ஻ ൯ , donc ܲ୆஻೎ ൌ ܲ :
det ܲ ൌ െ3
Calcul de ܲିଵ par la méthode des cofacteurs :
െ1 1
1 1
1 െ1
‫ۍ‬൅ ቚ 1 1ቚ െ ቚ0 1ቚ ൅ ቚ0 1 ቚ‫ې‬
െ2 െ1 1
‫ێ‬
1 0
1 0
1 1 ‫ۑ‬
o ࣝሺܲሻ ൌ ‫ ێ‬െ ቚ
ቚ ൅ቚ
ቚ െቚ
ቚ ‫ ۑ‬ൌ ൥െ1 1 െ1൩
0 1
0 1 ‫ۑ‬
1 1
‫ێ‬
1 െ1 െ2
1 0
1 0
1 1 ‫ۑ‬
‫ێ‬
൅ቚ
ቚ െቚ
ቚ ൅ቚ
ቚ‫ے‬
‫ ۏ‬െ1 1
1 1
1 െ1
o

௧

െ2 െ1 1
െ2 െ1 1
ିଵ
ሾࣝሺܲሻሿ ൌ ൥െ1 1 െ1൩ , donc : ܲିଵ ൌ ൥െ1 1 െ1൩
ଷ
1 െ1 െ2
1 െ1 െ2

On a alors : ࣧሺf଴ / B, Bሻ ൌ

െ2 െ1 1
0 1
1 െ1൩ ൈ ൥ 1 0
1 െ1 െ2
െ1 1

ିଵ
൥െ1
ଷ

1
On retrouve, tout calcul fait : ࣧሺ݂଴ / B, Bሻ ൌ ൥0
0


0 0
െ2 0൩
0 1

െ1
1
1 ൩ ൈ ൥1
0
0

1 0
െ1 1൩
1 1


[52]

‫– اآ ال‬
‫د وا‬

RABAT

‫ا‬
‫وا‬
‫اا ط‬

‫ما‬

‫ا‬

‫آ‬


Durée : 1h30
Filière
Semestre
Module
Matière
Session
Sections
Professeure

:
:
:
:
:
:
:

S3
Mathématiques II
A, B & C
Salma DASSER


Les quatre parties peuvent être traitées indépendamment
On munit Թଷ de sa base canonique ‫ܤ‬௖ ൌ ሼ݁ଵ , ݁ଶ , ݁ଷ ሽ.

݉ 1 ݉
On considère la matrice ‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1 ݉ 1 ൩ .
݉ 1 ݉ଶ
1) Montrer que det ‫ܣ‬௠ ൌ ݉ሺ݉ ൅ 1ሻሺ݉ െ 1ሻଶ.
2) Discuter le rang de la matrice ‫ܣ‬௠ selon les valeurs du paramètre ݉.

Partie 1 :

Partie 2 :

(4 points)

(5 points)

݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ ݖ‬ൌ 0

ܵ௠ ൞‫ ݔ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ ଶ ሺ݉ ൅ 2ሻ݁ ௠ିଶ
ଵ

݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉ଶ ‫ ݖ‬ൌ 0
2) Pour ݉ ൌ 2, résoudre ሺܵଶ ሻ.
3) Pour ݉ ൌ െ2, résoudre ሺܵିଶ ሻ.

2 pts
2 pts

1 pt
2 pts
1 pt

Partie 3 :
(3 points)
On considère les deux sous espaces vectoriels de Թଷ :
ܸଵ ൌ ‫ۃ‬ሺെ1,1, െ1ሻ; ሺ1, െ1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻ‫,ۄ‬
Vଶ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0, ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0,2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 4‫ ݖ‬ൌ 0 ሽ
Déterminer une base et la dimension de chacun des sous espaces vectoriel ܸଵ et ܸଶ .

Partie 4 :
(8 points)
On considère l’endomorphisme ݂௠ de Թଷ défini par :
‫׊‬ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ :
݂௠ ሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ൌ ሺ݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ ݔ ,ݖ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ݔ݉ ,ݖ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉ଶ ‫ݖ‬ሻ
1) Ecrire la matrice ࣧሺ݂௠ / ‫ܤ‬௖ , ‫ܤ‬௖ ሻ, ‫ܤ‬௖ étant la base canonique de Թଷ .
0.5 pt
2) Pour quelles valeurs du paramètre ݉, l’endomorphisme ݂௠ est-il injectif ?
1 pt
3) Pour ݉ ൌ 2, déterminer ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ଶ ሻ et en déduire ‫݉ܫ‬ሺ݂ଶ ሻ.
1.5 pt
4) Pour ݉ ൌ െ1, déterminer une base de ‫݉ܫ‬ሺ݂ିଵ ሻ et une base de ‫ݎ݁ܭ‬ሺ݂ିଵ ሻ.
2 pts
5) On considère les vecteurs : ‫ݑ‬ଵ ൌ ݁ଷ , ‫ݑ‬ଶ ൌ ݁ଵ ൅ ݁ଶ ൅ ݁ଷ et ‫ݑ‬ଷ ൌ ݁ଵ
a. Vérifier que ‫ ܤ‬ൌ ሼ‫ݑ‬ଵ , ‫ݑ‬ଶ , ‫ݑ‬ଷ ሽ est une base de Թଷ .
0.5 pt
b. Déterminer les matrices de passages : ܲ஻೎ ஻ et ܲ஻஻೎ .
1.5 pt
1 pt
c. Pour ݉ ൌ 1, déterminer la matrice ࣧሺ݂ଵ / ‫ܤ ,ܤ‬ሻ.



[53]



Partie 1
݉ 1 ݉
On considère la matrice ‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1 ݉ 1 ൩ .
݉ 1 ݉ଶ
1) Montrer que det ‫ܣ‬௠ ൌ ݉ሺ݉ ൅ 1ሻሺ݉ െ 1ሻଶ.
2) Discuter le rang de la matrice ‫ܣ‬௠ selon les valeurs du paramètre ݉.

Enoncé :

Solution :
1)

݉
det ‫ܣ‬௠ ൌ อ 1
݉
1
อ1
݉
Donc

1
݉
1

݉
‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1
݉

1
݉
1

݉
1൩
݉ଶ

݉
݉െ1 1െ݉
௅ ՜௅ ି௅
1 อൌ భ భ మอ 1
݉
ଶ
݉
݉
1

݉െ1
1
1 อ ൌ ሺ݉ െ 1ሻ อ 1
݉ଶ
݉

െ1 1
1 െ1
0
1
݉
1 อ ൌ஼య ՜஼య ି஼భ อ 1 ݉
0 อ ൌ ሺ݉ଶ െ ݉ሻ ቚ
1
1 ݉ଶ
݉ 1 ݉ଶ െ ݉
det ‫ܣ‬௠ ൌ ݉ሺ݉ ൅ 1ሻሺ݉ െ 1ሻଶ

െ1 1
݉
1อ
1 ݉ଶ

െ1
ቚ ൌ ݉ሺ݉ െ 1ሻሺ݉ ൅ 1ሻ
݉

2) le rang de la matrice ‫ ܣ‬selon les valeurs du paramètre ݉ :
la matrice ‫ ܣ‬est inversible ssi det ‫ܣ‬௠ ് 0 ssi ݉ ് 0 , ݉ ് െ1 et ݉ ് 1.
Si ݉ ് 0 , ݉ ് െ1 et ݉ ് 1 alors la matrice ‫ ܣ‬est inversible, donc ‫݃ݎ‬ሺ‫ܣ‬ሻ ൌ 3.
૙ ૚ 0
0 1
Si ݉ ൌ 0 alors ‫ܣ‬଴ ൌ ൥૚ ૙ 1൩ : detሺ‫ܣ‬଴ ሻ ൌ 0 et ቚ
ቚ est un déterminant d’ordre 2 non nul
1 0
0 1 0
extrait de la matrice ‫ܣ‬଴ , donc ‫݃ݎ‬ሺ‫ܣ‬଴ ሻ ൌ 2.
െ1 1 െ1
െ1 1
Si ݉ ൌ െ1 alors ‫ିܣ‬ଵ ൌ ൥ 1 െ૚ ૚ ൩ : detሺ‫ିܣ‬ଵ ሻ ൌ 0 et ቚ
ቚ est un déterminant
1 1
െ1 ૚
૚
d’ordre 2 non nul extrait de la matrice ‫ିܣ‬ଵ , donc ‫݃ݎ‬ሺ‫ିܣ‬ଵ ሻ ൌ 2.
1 1 1
Si ݉ ൌ 1 alors ‫ܣ‬ଵ ൌ ൥1 1 1൩ : detሺ‫ܣ‬ଵ ሻ ൌ 0 et tous les déterminants d’ordre 2 extraits de la
1 1 1
matrice ‫ܣ‬ଵ sont nuls, donc ‫݃ݎ‬ሺ‫ܣ‬ଵ ሻ ൌ 1.

Partie 2
Enoncé :

݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉‫ ݖ‬ൌ 0

ܵ௠ ቐ‫ ݔ‬൅ ݉‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ ଶ ሺ݉ ൅ 2ሻ݁ ௠ିଶ
ଵ

݉‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ ݉ଶ ‫ ݖ‬ൌ 0
2) Pour ݉ ൌ 2, résoudre ሺܵଶ ሻ.
3) Pour ݉ ൌ െ2, résoudre ሺܵିଶ ሻ.



[54]


Solution :


mx ൅ y ൅ mz ൌ 0

ܵ௠ ቐx ൅ my ൅ z ൌ ଶ ሺm ൅ 2ሻe୫ିଶ
ଵ

mx ൅ y ൅ mଶ z ൌ 0

1) le système ܵ௠ est de Cramer ssi sa matrice est inversible :

le système ܵ௠ s’écrit sous la forme matricielle : ‫ܣ‬௠ . ܺ ൌ ܾ , avec
0
‫ݔ‬
݉ 1 ݉
ଵ
‫ܣ‬௠ ൌ ൥ 1 ݉ 1 ൩,
ܺ ൌ ቆ‫ ݕ‬ቇ
et
ܾ ൌ ቌଶ ሺm ൅ 2ሻe୫ିଶ ቍ
‫ݖ‬
݉ 1 ݉ଶ
0
le système ܵ௠ est de Cramer ssi la matrice ‫ܣ‬௠ est inversible
le système ܵ௠ est alors de Cramer ssi Si ݉ ് 0 , ݉ ് െ1 et ݉ ് 1 , d’après la partie 1.

2x ൅ y ൅ 2z ൌ 0
‫ݔ‬
0
2
x ൅ 2y ൅ z ൌ 2 ou encore ‫ܣ‬ଶ . ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭2൱, avec ‫ܣ‬ଶ ൌ ൥1
2) Pour ݉ ൌ 2 : ܵଶ ൝
‫ݖ‬
2x ൅ y ൅ 4z ൌ 0
0
2

1 2
2 1൩
1 4

det ‫ܣ‬ଶ ൌ 6 : det ‫ܣ‬௠ ൌ ݉ሺ݉ ൅ 1ሻሺ݉ െ 1ሻଶ , d’après partie 1.
On se propose de résoudre ܵଶ par la méthode des déterminants de Cramer :
0 1 2
∆
ଶ
o ∆௫ ൌ อ2 2 1อ ൌ െ4 ฺ ‫ ݔ‬ൌ ୢୣ୲ೣ஺ ൌ െ ଷ
మ
0 1 4
2 0 2
∆೤
ସ
o ∆௬ ൌ อ 1 2 1 อ ൌ 8 ฺ ‫ ݕ‬ൌ
ൌ
ୢୣ୲ ஺మ
ଷ
2 0 4
2 1 0
∆
o ∆௭ ൌ อ1 2 2อ ൌ 0 ฺ ‫ ݖ‬ൌ ೥ ൌ 0
ୢୣ୲ ஺మ
2 1 0
ଶ
െଷ
‫ݔ‬
l’unique solution du système ܵଶ est alors donnée par :
ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൮ ସ ൲.
ଷ
‫ݖ‬
0
െ2x ൅ y െ 2z ൌ 0
‫ݔ‬
0
3) Pour ݉ ൌ െ2 : ܵଵ ൝x െ 2y ൅ z ൌ 0
ou encore ‫ିܣ‬ଶ . ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭0൱ : système linéaire homogène
‫ݖ‬
െ2x ൅ y ൅ 4z ൌ 0
0
ܵିଶ est un système de cramer, d’après (1),

‫ݔ‬
0
son unique solution est alors donnée par ቆ‫ݕ‬ቇ ൌ ൭0൱.
‫ݖ‬
0

Partie 3
Enoncé :
On considère les deux sous espaces vectoriels de Թଷ :
ܸଵ ൌ ‫ۃ‬ሺെ1,1, െ1ሻ; ሺ1, െ1,1ሻ; ሺെ1,1,1ሻ‫,ۄ‬
Vଶ ൌ ሼሺ‫ݖ ,ݕ ,ݔ‬ሻ ‫ א‬Թଷ / 2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 2‫ ݖ‬ൌ 0, ‫ ݔ‬൅ 2‫ ݕ‬൅ ‫ ݖ‬ൌ 0,2‫ ݔ‬൅ ‫ ݕ‬൅ 4‫ ݖ‬ൌ 0 ሽ
Déterminer une base et la dimension de chacun des sous espaces vectoriel ܸଵ et ܸଶ.


[55]

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