1. érie 3 :
------------------------------------------------------------------------------------S
1ière année
Maths et Inf
2014/2015
Exercice 1
Matière: Algèbre linéaire
Responsable: Mr
Université d Oum’
Matrices
=
01
12
A
=
21
10
B .
BA + , BA× , AB × , 2
A 2
B .
).(2)( 222
BABABA ×++=+ ?
=
12
01
A
=
21
02
B .
On considère les matrices
a. Calculer
b. A-t-on
Mêmes questions pour les matrices
et
et
et
1)
2)
Soit la matrice 𝐴 de définie par : 𝐴 = (
13 −8 −12
12 −7 −12
6 −4 −5
)
1. Montrer que 𝐴 est inversible et calculer son inverse 𝐴−1
.
2. En déduire 𝐴 𝑛
, pour tout 𝑛 entier.
Exercice 3
Soit 𝐴 la matrice de définie par : 𝐴 = (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
)
1. Calculer 𝐴2
.
2. Trouver un polynôme 𝑃 de degré 2 tel que 𝑃( 𝐴) = 𝑂.
3. En déduire 𝐴−1
.
4. Retrouver 𝐴−1
par une autre méthode.
Exercice 4
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
7 11
−8 4
1 0 6
3 4 15
5 6 21
1 0 2
3 4 5
5 6 7
1 0 −1
2 3 5
4 1 3
0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2
0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 0
1 2 1 2
1 3 1 3
2 1 0 6
1 1 1 7
Exercice 2
1
Elbouaghi Algérie.
Djeddi K amel.E-mail:djeddi.kamel@gmail.com
2. Exercice 5
Soit 𝛽 = ( 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) la base canonique de ℝ3
.
Soit 𝑢 l’endomorphisme de ℝ3
dont la matrice dans la base canonique est :
𝐴 = (
1 4 4
−1 −3 −3
0 2 3
)
Soient 𝑎 = 𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3, 𝑏 = 2𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3 et 𝑐 = 2𝑒1 − 2𝑒2 + 𝑒3 trois vecteurs de ℝ3
1. Montrer que 𝛽′
= ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) est une base de ℝ3
.
2. Déterminer la matrice de passage 𝑃 de 𝛽 à 𝛽′
. Calculer 𝑃−1
.
3. Déterminer la matrice 𝑅 de 𝑢 dans la base 𝛽′
.
4.
a) Calculer 𝑃−1
𝐴𝑃 en fonction de 𝑅
b) Calculer 𝑅4
c) En déduire les valeurs de 𝐴4𝑛
.
Exercice 6
−
−
−
=
211
121
112
A 33IAB += .
2
B B .
2
A A .
A
On considère les matrices1)
a. Exprimer en fonction de
b. En déduire en fonction de
c. La matrice est-elle inversible ?
et on pose
−
−
−
−
=
2111
1211
1121
1112
A 43IAB += .2) Mêmes questions pour les matrices et
2
3. Correction de l’exercice 1
1)
=
01
12
A
=
21
10
B
BA + , BA× , AB × , 2
A et 2
B .
♦
=+
22
22
BA ,
=×
10
41
BA ,
=×
14
01
AB ,
=
12
252
A ,
=
52
212
B
b. 222
.2)( BBAABA +×+≠+ : ABBA ×≠×
♦ )()()( 2
BABABA +×+=+
=+⇒
88
88
)( 2
BA
♦
=+×+
84
128
.2 22
BBAA
2)
=
12
01
A et
=
21
02
B
a. Calcul de BA + , BA× , AB × , 2
A et 2
B .
♦
=+
33
03
BA ,
=×
25
02
BA ,
=×
25
02
AB ,
=
14
012
A ,
=
44
042
B
b. 222
.2)( BBAABA +×+=+ : ABBA ×=×
♦ )()()( 2
BABABA +×+=+
=+⇒
918
09
)( 2
BA
♦
=+×+
918
09
.2 22
BBAA
a. Calcul de
et
3
Corrections
E-mail:djeddi.kamel@gmail.com
5. 𝐴𝑋 = 𝑌 ⇔ (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
) (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) = {
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3
𝑥1 dans la
𝑥1et 𝑥2 soit on intervertit la ligne 1 avec une ligne où il y a un 𝑥1
Ici il y a un problème pour appliquer le pivot de Gauss parce qu’il n’y a pas de
termes en première ligne, il y a deux façons d’arranger ce problème, soit
on intervertit , c’est
ce que nous allons faire.
𝐿1
𝐿2
𝐿3
{
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3
⇔
𝐿2
𝐿1
𝐿3
{
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3
⇔
𝐿1
𝐿2
𝐿3 − 𝐿1
{
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥2 − 𝑥3 = −𝑦2 + 𝑦3
⇔
𝐿1
𝐿2
𝐿3 − 𝐿2
{
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
−2𝑥3 = −𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦3
⇔ {
𝑥1 = −𝑥3+ 𝑦2
𝑥2 = −𝑥3 + 𝑦1
𝑥3 =
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3
⇔
{
𝑥1 = − (
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3) + 𝑦2
𝑥2 = − (
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3) + 𝑦1
𝑥3 =
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3
⇔
{
𝑥1 = −
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 +
1
2
𝑦3
𝑥2 =
1
2
𝑦1 −
1
2
𝑦2 +
1
2
𝑦3
𝑥3 =
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3
⇔ (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
=
(
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2)
(
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) Donc 𝐴−1
=
(
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2)
Correction de l’exercice 4
1. Le déterminant de la matrice
a b
c d
est
a b
c d
= ad −bc
7 11
−8 4
= 7×4−11×(−8) = 116.
2. Nous allons voir différentes méthodes pour calculer les déterminants.
Première méthode. Règle de Sarrus. Pour le matrice 3×3 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant.
.
Donc
5
6. a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13 −a13a22a31 −a11a32a23 −a12a21a33
Donc
1 0 6
3 4 15
5 6 21
= 1×4×21+0×15×5+3×6×6−5×4×6−6×15×1−3×0×21 = −18
Attention ! La règle de Sarrus ne s’applique qu’aux matrices 3×3.
3. Deuxième méthode. Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligne Li en Li −λLj
avec les colonnes.
alors le déterminant reste le même.
Même chose
L1 1 0 2
L2 3 4 5
L3 5 6 7
=
1 0 2
L2←L2−3L1 0 4 −1
L3←L3−5L1 0 6 −3
=
1 0 2
0 4 −1
L3←L3−3
2 L2
0 0 −3
2
= 1×4×(−3
2) = −6
cients sur la diagonale.
On a utilisé le fait que le déterminant d’une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit
des coeffi
4. Troisième méthode. Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
par rapport à la deuxième colonne.
1 0 −1
2 3 5
4 1 3
= (−0)×
2 5
4 3
+(+3)×
1 −1
4 3
+(−1)×
1 −1
2 5
= 0+3×7−1×7 = 14
Nous allons
développer
Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les
opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0.
5. On fait apparaître des 0 sur la première colonne puis on développe par rapport à cette colonne.
∆ =
L1 0 1 2 3
L2 1 2 3 0
L3 2 3 0 1
L4 3 0 1 2
=
0 1 2 3
1 2 3 0
L3←L3−2L2 0 −1 −6 1
L4←L4−3L2 0 −6 −8 2
= −
1 2 3
−1 −6 1
−6 −8 2
Pour calculer le déterminant 3×3 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
−∆ =
L1 1 2 3
L2 −1 −6 1
L3 −6 −8 2
=
1 2 3
L2←L2+L1 0 −4 4
L3←L3+6L1 0 4 20
= 1
−4 4
4 20
= −96
6
7. Donc ∆ = 96.
6. La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en faire apparaître davantage sur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne.
∆ =
L1 0 1 1 0
L2 1 0 0 1
L3 1 1 0 1
L4 1 1 1 0
=
0 1 1 0
1 0 0 1
L3←L3−L2 0 1 0 0
1 1 1 0
=
0 1 1
0 1 0
1 1 1
On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne :
∆ =
0 1 1
0 1 0
1 1 1
= 1×
1 1
1 0
= −1
7. Toujours la même méthode, on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on développe par
rapport à cette colonne.
∆ =
L1 1 2 1 2
L2 1 3 1 3
L3 2 1 0 6
L4 1 1 1 7
=
1 2 1 2
L2←L2−L1 0 1 0 1
L3←L3−2L1 0 −3 −2 2
L4←L4−L1 0 −1 0 5
=
1 0 1
−3 −2 2
−1 0 5
On développe par rapport à la deuxième colonne :
∆ = −2×
1 1
−1 5
= −12
Correction de l’exercice 5
det( 𝑎, 𝑏, 𝑐) = |
1 2 2
−1 −1 −2
1 1 1
| =
𝐶3 − 𝐶2
|
1 2 2
−1 −1 −2
0 0 −1
|
= − |
1 2
−1 −1
| = −(−1 + 2) = −1 ≠ 0
Donc ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) est une base de ℝ3
1.
2.
𝑃 = (
1 2 2
−1 −1 −2
1 1 1
)
𝑃𝑋 = 𝑌 ⇔ (
1 2 2
−1 −1 −2
1 1 1
) (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) ⇔
𝐿1
𝐿2
𝐿3
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑦1
−𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 𝑦2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦3
7
