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érie 3 :
------------------------------------------------------------------------------------S
1ière année
Maths et Inf
2014/2015
Exercice 1
Matière: Algèbre linéaire
Responsable: Mr
Université d Oum’
Matrices






=
01
12
A 





=
21
10
B .
BA + , BA× , AB × , 2
A 2
B .
).(2)( 222
BABABA ×++=+ ?






=
12
01
A 





=
21
02
B .
On considère les matrices
a. Calculer
b. A-t-on
Mêmes questions pour les matrices
et
et
et
1)
2)
Soit la matrice 𝐴 de définie par : 𝐴 = (
13 −8 −12
12 −7 −12
6 −4 −5
)
1. Montrer que 𝐴 est inversible et calculer son inverse 𝐴−1
.
2. En déduire 𝐴 𝑛
, pour tout 𝑛 entier.
Exercice 3
Soit 𝐴 la matrice de définie par : 𝐴 = (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
)
1. Calculer 𝐴2
.
2. Trouver un polynôme 𝑃 de degré 2 tel que 𝑃( 𝐴) = 𝑂.
3. En déduire 𝐴−1
.
4. Retrouver 𝐴−1
par une autre méthode.
Exercice 4
Calculer les déterminants des matrices suivantes :
7 11
−8 4


1 0 6
3 4 15
5 6 21




1 0 2
3 4 5
5 6 7




1 0 −1
2 3 5
4 1 3






0 1 2 3
1 2 3 0
2 3 0 1
3 0 1 2








0 1 1 0
1 0 0 1
1 1 0 1
1 1 1 0








1 2 1 2
1 3 1 3
2 1 0 6
1 1 1 7




Exercice 2
1
Elbouaghi Algérie.
Djeddi K amel.E-mail:djeddi.kamel@gmail.com
Exercice 5
Soit 𝛽 = ( 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) la base canonique de ℝ3
.
Soit 𝑢 l’endomorphisme de ℝ3
dont la matrice dans la base canonique est :
𝐴 = (
1 4 4
−1 −3 −3
0 2 3
)
Soient 𝑎 = 𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3, 𝑏 = 2𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3 et 𝑐 = 2𝑒1 − 2𝑒2 + 𝑒3 trois vecteurs de ℝ3
1. Montrer que 𝛽′
= ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) est une base de ℝ3
.
2. Déterminer la matrice de passage 𝑃 de 𝛽 à 𝛽′
. Calculer 𝑃−1
.
3. Déterminer la matrice 𝑅 de 𝑢 dans la base 𝛽′
.
4.
a) Calculer 𝑃−1
𝐴𝑃 en fonction de 𝑅
b) Calculer 𝑅4
c) En déduire les valeurs de 𝐴4𝑛
.
Exercice 6










−
−
−
=
211
121
112
A 33IAB += .
2
B B .
2
A A .
A
On considère les matrices1)
a. Exprimer en fonction de
b. En déduire en fonction de
c. La matrice est-elle inversible ?
et on pose










−
−
−
−
=
2111
1211
1121
1112
A 43IAB += .2) Mêmes questions pour les matrices et
2
Correction de l’exercice 1
1) 





=
01
12
A 





=
21
10
B
BA + , BA× , AB × , 2
A et 2
B .
♦ 





=+
22
22
BA , 





=×
10
41
BA , 





=×
14
01
AB , 





=
12
252
A , 





=
52
212
B
b. 222
.2)( BBAABA +×+≠+ : ABBA ×≠×
♦ )()()( 2
BABABA +×+=+ 





=+⇒
88
88
)( 2
BA
♦ 





=+×+
84
128
.2 22
BBAA
2) 





=
12
01
A et 





=
21
02
B
a. Calcul de BA + , BA× , AB × , 2
A et 2
B .
♦ 





=+
33
03
BA , 





=×
25
02
BA , 





=×
25
02
AB , 





=
14
012
A , 





=
44
042
B
b. 222
.2)( BBAABA +×+=+ : ABBA ×=×
♦ )()()( 2
BABABA +×+=+ 





=+⇒
918
09
)( 2
BA
♦ 





=+×+
918
09
.2 22
BBAA
a. Calcul de
et
3
Corrections
E-mail:djeddi.kamel@gmail.com
Correction de l’exercice 2
𝑌 = 𝐴𝑋 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝑌
⇔ {
13𝑥1 − 8𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦1
12𝑥1 − 7𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦2
6𝑥1 − 4𝑥2 − 5𝑥3 = 𝑦3
⇔ 13𝐿2 − 12𝐿1
2𝐿3 − 𝐿2
{
13𝑥1 − 8𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦1
5𝑥2 − 12𝑥3 = 13𝑦2 − 12𝑦1
−𝑥2 + 2𝑥3 = 2𝑦3 − 𝑦2
⇔
5𝐿3 + 𝐿2
{
13𝑥1 − 8𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦1
5𝑥2 − 12𝑥3 = 13𝑦2 − 12𝑦1
−2𝑥3 = 10𝑦3 − 5𝑦2 + 13𝑦2 − 12𝑦1
⇔ {
13𝑥1 = 𝑦1 + 8𝑥2 + 12𝑥3
5𝑥2 = 13𝑦2 − 12𝑦1 + 12𝑥3
𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3
⇔ {
13𝑥1 = 𝑦1 + 8𝑥2 + 12(6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3)
5𝑥2 = 13𝑦2 − 12𝑦1 + 12(6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3) = 60𝑦1 − 35𝑦2 − 60𝑦3
𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3
⇔ {
13𝑥1 = 73𝑦1 − 48𝑦2 − 60𝑦3 + 8(12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3)
𝑥2 = 12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3
𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3
⇔ {
13𝑥1 = 169𝑦1 − 104𝑦2 − 156𝑦3
𝑥2 = 12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3
𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3
⇔ {
𝑥1 = 13𝑦1 − 8𝑦2 − 12𝑦3
𝑥2 = 12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3
𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3
⇔ (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
13 −8 −12
12 −7 −12
6 −4 −5
) (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
)
Donc 𝐴−1
= (
13 −8 −12
12 −7 −12
6 −4 −5
) = 𝐴
Le mieux aurait été de changer les rôles de 𝑥1 et 𝑥3 dans le premier système.
𝐴2
= 𝐼 donc 𝐴2𝑛
= 𝐴2 𝑛
= 𝐼 𝑛
= 𝐼 et 𝐴2𝑛+1
= 𝐴2𝑛
𝐴 = 𝐴.
Correction de l’exercice 3
1. et 2.
𝐴2
= (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
) (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
) = (
2 1 1
1 2 1
1 1 2
) = 𝐴 + 2𝐼 donc 𝑃( 𝑋) = 𝑋2
− 𝑋 − 2
𝐴2
− 𝐴 = 2𝐼 ⇔ 𝐴( 𝐴 − 𝐼) = 2𝐼 ⇔ 𝐴 ×
𝐴−𝐼
2
= 𝐼 donc 𝐴−1
=
𝐴−𝐼
2
=
1
2
(
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
)
4
𝐴𝑋 = 𝑌 ⇔ (
0 1 1
1 0 1
1 1 0
) (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) = {
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3
𝑥1 dans la
𝑥1et 𝑥2 soit on intervertit la ligne 1 avec une ligne où il y a un 𝑥1
Ici il y a un problème pour appliquer le pivot de Gauss parce qu’il n’y a pas de
termes en première ligne, il y a deux façons d’arranger ce problème, soit
on intervertit , c’est
ce que nous allons faire.
𝐿1
𝐿2
𝐿3
{
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3
⇔
𝐿2
𝐿1
𝐿3
{
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3
⇔
𝐿1
𝐿2
𝐿3 − 𝐿1
{
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
𝑥2 − 𝑥3 = −𝑦2 + 𝑦3
⇔
𝐿1
𝐿2
𝐿3 − 𝐿2
{
𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2
𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1
−2𝑥3 = −𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦3
⇔ {
𝑥1 = −𝑥3+ 𝑦2
𝑥2 = −𝑥3 + 𝑦1
𝑥3 =
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3
⇔
{
𝑥1 = − (
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3) + 𝑦2
𝑥2 = − (
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3) + 𝑦1
𝑥3 =
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3
⇔
{
𝑥1 = −
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 +
1
2
𝑦3
𝑥2 =
1
2
𝑦1 −
1
2
𝑦2 +
1
2
𝑦3
𝑥3 =
1
2
𝑦1 +
1
2
𝑦2 −
1
2
𝑦3
⇔ (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
)
=
(
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2)
(
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) Donc 𝐴−1
=
(
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2
1
2
1
2
1
2
−
1
2)
Correction de l’exercice 4
1. Le déterminant de la matrice
a b
c d
est
a b
c d
= ad −bc
7 11
−8 4
= 7×4−11×(−8) = 116.
2. Nous allons voir différentes méthodes pour calculer les déterminants.
Première méthode. Règle de Sarrus. Pour le matrice 3×3 il existe une formule qui permet de calculer
directement le déterminant.
.
Donc
5
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13 −a13a22a31 −a11a32a23 −a12a21a33
Donc
1 0 6
3 4 15
5 6 21
= 1×4×21+0×15×5+3×6×6−5×4×6−6×15×1−3×0×21 = −18
Attention ! La règle de Sarrus ne s’applique qu’aux matrices 3×3.
3. Deuxième méthode. Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire.
Si dans une matrice on change un ligne Li en Li −λLj
avec les colonnes.
alors le déterminant reste le même.
Même chose
L1 1 0 2
L2 3 4 5
L3 5 6 7
=
1 0 2
L2←L2−3L1 0 4 −1
L3←L3−5L1 0 6 −3
=
1 0 2
0 4 −1
L3←L3−3
2 L2
0 0 −3
2
= 1×4×(−3
2) = −6
cients sur la diagonale.
On a utilisé le fait que le déterminant d’une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit
des coeffi
4. Troisième méthode. Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
par rapport à la deuxième colonne.
1 0 −1
2 3 5
4 1 3
= (−0)×
2 5
4 3
+(+3)×
1 −1
4 3
+(−1)×
1 −1
2 5
= 0+3×7−1×7 = 14
Nous allons
développer
Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les
opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la
colonne qui a le plus de 0.
5. On fait apparaître des 0 sur la première colonne puis on développe par rapport à cette colonne.
∆ =
L1 0 1 2 3
L2 1 2 3 0
L3 2 3 0 1
L4 3 0 1 2
=
0 1 2 3
1 2 3 0
L3←L3−2L2 0 −1 −6 1
L4←L4−3L2 0 −6 −8 2
= −
1 2 3
−1 −6 1
−6 −8 2
Pour calculer le déterminant 3×3 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe.
−∆ =
L1 1 2 3
L2 −1 −6 1
L3 −6 −8 2
=
1 2 3
L2←L2+L1 0 −4 4
L3←L3+6L1 0 4 20
= 1
−4 4
4 20
= −96
6
Donc ∆ = 96.
6. La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en faire apparaître davantage sur la dernière colonne, puis
on développe par rapport à la dernière colonne.
∆ =
L1 0 1 1 0
L2 1 0 0 1
L3 1 1 0 1
L4 1 1 1 0
=
0 1 1 0
1 0 0 1
L3←L3−L2 0 1 0 0
1 1 1 0
=
0 1 1
0 1 0
1 1 1
On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne :
∆ =
0 1 1
0 1 0
1 1 1
= 1×
1 1
1 0
= −1
7. Toujours la même méthode, on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on développe par
rapport à cette colonne.
∆ =
L1 1 2 1 2
L2 1 3 1 3
L3 2 1 0 6
L4 1 1 1 7
=
1 2 1 2
L2←L2−L1 0 1 0 1
L3←L3−2L1 0 −3 −2 2
L4←L4−L1 0 −1 0 5
=
1 0 1
−3 −2 2
−1 0 5
On développe par rapport à la deuxième colonne :
∆ = −2×
1 1
−1 5
= −12
Correction de l’exercice 5
det( 𝑎, 𝑏, 𝑐) = |
1 2 2
−1 −1 −2
1 1 1
| =
𝐶3 − 𝐶2
|
1 2 2
−1 −1 −2
0 0 −1
|
= − |
1 2
−1 −1
| = −(−1 + 2) = −1 ≠ 0
Donc ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) est une base de ℝ3
1.
2.
𝑃 = (
1 2 2
−1 −1 −2
1 1 1
)
𝑃𝑋 = 𝑌 ⇔ (
1 2 2
−1 −1 −2
1 1 1
) (
𝑥1
𝑥2
𝑥3
) = (
𝑦1
𝑦2
𝑦3
) ⇔
𝐿1
𝐿2
𝐿3
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑦1
−𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 𝑦2
𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦3
7
⇔
𝐿1
𝐿2 + 𝐿1
𝐿3 + 𝐿2
{
𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑦1
𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2
−𝑥3 = 𝑦2 + 𝑦3
⇔ {
𝑥1 = −2𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑦1
𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑥3 = −𝑦2 − 𝑦3
⇔ {
𝑥1 = −2𝑦1 − 2𝑦2 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑦1
𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑥3 = −𝑦2 − 𝑦3
⇔ {
𝑥1 = −𝑦1 + 2𝑦3
𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2
𝑥3 = −𝑦2 − 𝑦3
Donc
𝑃−1
= (
−1 0 2
1 1 0
0 −1 −1
)
3. Les coordonnées de 𝑢( 𝑎) dans la base 𝛽 sont
(
1 4 4
−1 −3 −3
0 2 3
) (
1
−1
1
) = (
1
−1
1
)
Donc 𝑢( 𝑎) = 𝑎
Les coordonnées de 𝑢( 𝑏) dans la base 𝛽 sont
(
1 4 4
−1 −3 −3
0 2 3
) (
2
−1
1
) = (
2
−2
1
)
Donc 𝑢( 𝑏) = 𝑐
Les coordonnées de 𝑢( 𝑐) dans la base 𝛽 sont
(
1 4 4
−1 −3 −3
0 2 3
) (
2
−2
1
) = (
−2
1
−1
)
Donc 𝑢( 𝑐) = −𝑏
Par conséquent
𝑅 = (
1 0 0
0 0 −1
0 1 0
)
4.
a)
𝑃−1
𝐴𝑃 = (
−1 0 2
1 1 0
0 −1 −1
) (
1 4 4
−1 −3 −3
0 2 3
) (
1 2 2
−1 −1 −2
1 1 1
)
= (
−1 0 2
1 1 0
0 −1 −1
) (
1 2 −2
−1 −2 1
1 1 −1
) = (
1 0 0
0 0 −1
0 1 0
) = 𝑅
8
b)
𝑅2
= (
1 0 0
0 0 −1
0 1 0
) (
1 0 0
0 0 −1
0 1 0
) = (
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
)
𝑅4
= 𝑅2
𝑅2
= (
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
) (
1 0 0
0 −1 0
0 0 −1
) = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) = 𝐼
c) 𝑅 = 𝑃−1
𝐴𝑃 ⇔ 𝐴 = 𝑃𝑅𝑃−1
𝐴4
= 𝑃𝑅𝑃−1
𝑃𝑅𝑃−1
𝑃𝑅𝑃−1
𝑃𝑅𝑃−1
= 𝑃𝑅4
𝑃−1
= 𝑃𝐼𝑃−1
= 𝐼
Donc
𝐴4𝑛
= ( 𝐴4) 𝑛
= 𝐼 𝑛
= 𝐼
Correction de l’exercice 6
1)










−
−
−
=
211
121
112
A , 33IAB +=
a. 2
B en fonction de B :










=⇒+=
111
111
111
3 3 BIAB
♦










=
111
111
111
B : ⇒










=×=
333
333
333
2
BBB BB .32
=
b. 2
A en fonction de A .
♦ 33 33 IBAIAB −=⇒+=
♦ Les matrices B et 3).3( I− commutent : BIBBI ).3().3().3( 33 −=−×=×−
( ) ( ) ( ) 2
3
2
3
2
3
2
.32.3.3 BBIIIBA +×−×+−=−=⇒
( ) BIBBIBBIIBA .3.9.3.6.9.6.9.3 33
2
3
2
3
2
−=+−=+−=−=⇒ , car BB .32
=
ABIBIA .3).3.(3.3.9 33
2
−=+−−=−=⇒ , BIA +−= 3.3
Donc AA .32
−=
c. La matrice A n'est pas inversible :
On suppose que la matrice A est inversible
On a alors 3
1
IAA =× −
et AA .32
−=
Donc 3
11
.3.3 IAAAAAA −=⇒×−=×× −−
Or 3.3 IA −≠ , donc la matrice A n'est pas inversible.
9
2)














−
−
−
−
=
2111
1211
1121
1112
A , 43IAB +=
a. 2
B en fonction de B :














=⇒+=
1111
1111
1111
1111
3 4 BIAB
♦














=
1111
1111
1111
1111
B : ⇒














=×=
4444
4444
4444
4444
2
BBB BB .42
=
b. 2
A en fonction de A .
♦ 44 33 IBAIAB −=⇒+=
♦ Les matrices B et 4).3( I− commutent : BIBBI ).3().3().3( 44 −=−×=×−
( ) ( ) ( ) 2
4
2
4
2
4
2
.32.3.3 BBIIIBA +×−×+−=−=⇒
BIBBIBBIA .2.9.4.6.9.6.9 44
2
4
2
−=+−=+−=⇒ , car BB .42
=
AIBIIBIIA .23).3).(2(3.2.63 44434
2
−=+−−+=−+=⇒ , BIA +−= 4.3
Donc AIA .23 4
2
−=
c. La matrice A est inversible :
44444
2
4
2
).2(
3
1
.).2(.
3
1
3.2.23 IIAAIIAAIAAAIA =





+×⇒=+×⇒=+⇒−=
Donc 44 /).2(
3
1
)4( IBAIABMB =×





+=∈∃
Donc la matrice A est inversible et ).2(
3
1
4
1
IAA +=−
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  • 1. érie 3 : ------------------------------------------------------------------------------------S 1ière année Maths et Inf 2014/2015 Exercice 1 Matière: Algèbre linéaire Responsable: Mr Université d Oum’ Matrices       = 01 12 A       = 21 10 B . BA + , BA× , AB × , 2 A 2 B . ).(2)( 222 BABABA ×++=+ ?       = 12 01 A       = 21 02 B . On considère les matrices a. Calculer b. A-t-on Mêmes questions pour les matrices et et et 1) 2) Soit la matrice 𝐴 de définie par : 𝐴 = ( 13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5 ) 1. Montrer que 𝐴 est inversible et calculer son inverse 𝐴−1 . 2. En déduire 𝐴 𝑛 , pour tout 𝑛 entier. Exercice 3 Soit 𝐴 la matrice de définie par : 𝐴 = ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) 1. Calculer 𝐴2 . 2. Trouver un polynôme 𝑃 de degré 2 tel que 𝑃( 𝐴) = 𝑂. 3. En déduire 𝐴−1 . 4. Retrouver 𝐴−1 par une autre méthode. Exercice 4 Calculer les déterminants des matrices suivantes : 7 11 −8 4   1 0 6 3 4 15 5 6 21     1 0 2 3 4 5 5 6 7     1 0 −1 2 3 5 4 1 3       0 1 2 3 1 2 3 0 2 3 0 1 3 0 1 2         0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0         1 2 1 2 1 3 1 3 2 1 0 6 1 1 1 7     Exercice 2 1 Elbouaghi Algérie. Djeddi K amel.E-mail:djeddi.kamel@gmail.com
  • 2. Exercice 5 Soit 𝛽 = ( 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3) la base canonique de ℝ3 . Soit 𝑢 l’endomorphisme de ℝ3 dont la matrice dans la base canonique est : 𝐴 = ( 1 4 4 −1 −3 −3 0 2 3 ) Soient 𝑎 = 𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3, 𝑏 = 2𝑒1 − 𝑒2 + 𝑒3 et 𝑐 = 2𝑒1 − 2𝑒2 + 𝑒3 trois vecteurs de ℝ3 1. Montrer que 𝛽′ = ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) est une base de ℝ3 . 2. Déterminer la matrice de passage 𝑃 de 𝛽 à 𝛽′ . Calculer 𝑃−1 . 3. Déterminer la matrice 𝑅 de 𝑢 dans la base 𝛽′ . 4. a) Calculer 𝑃−1 𝐴𝑃 en fonction de 𝑅 b) Calculer 𝑅4 c) En déduire les valeurs de 𝐴4𝑛 . Exercice 6           − − − = 211 121 112 A 33IAB += . 2 B B . 2 A A . A On considère les matrices1) a. Exprimer en fonction de b. En déduire en fonction de c. La matrice est-elle inversible ? et on pose           − − − − = 2111 1211 1121 1112 A 43IAB += .2) Mêmes questions pour les matrices et 2
  • 3. Correction de l’exercice 1 1)       = 01 12 A       = 21 10 B BA + , BA× , AB × , 2 A et 2 B . ♦       =+ 22 22 BA ,       =× 10 41 BA ,       =× 14 01 AB ,       = 12 252 A ,       = 52 212 B b. 222 .2)( BBAABA +×+≠+ : ABBA ×≠× ♦ )()()( 2 BABABA +×+=+       =+⇒ 88 88 )( 2 BA ♦       =+×+ 84 128 .2 22 BBAA 2)       = 12 01 A et       = 21 02 B a. Calcul de BA + , BA× , AB × , 2 A et 2 B . ♦       =+ 33 03 BA ,       =× 25 02 BA ,       =× 25 02 AB ,       = 14 012 A ,       = 44 042 B b. 222 .2)( BBAABA +×+=+ : ABBA ×=× ♦ )()()( 2 BABABA +×+=+       =+⇒ 918 09 )( 2 BA ♦       =+×+ 918 09 .2 22 BBAA a. Calcul de et 3 Corrections E-mail:djeddi.kamel@gmail.com
  • 4. Correction de l’exercice 2 𝑌 = 𝐴𝑋 ⇔ 𝐴𝑋 = 𝑌 ⇔ { 13𝑥1 − 8𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦1 12𝑥1 − 7𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦2 6𝑥1 − 4𝑥2 − 5𝑥3 = 𝑦3 ⇔ 13𝐿2 − 12𝐿1 2𝐿3 − 𝐿2 { 13𝑥1 − 8𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦1 5𝑥2 − 12𝑥3 = 13𝑦2 − 12𝑦1 −𝑥2 + 2𝑥3 = 2𝑦3 − 𝑦2 ⇔ 5𝐿3 + 𝐿2 { 13𝑥1 − 8𝑥2 − 12𝑥3 = 𝑦1 5𝑥2 − 12𝑥3 = 13𝑦2 − 12𝑦1 −2𝑥3 = 10𝑦3 − 5𝑦2 + 13𝑦2 − 12𝑦1 ⇔ { 13𝑥1 = 𝑦1 + 8𝑥2 + 12𝑥3 5𝑥2 = 13𝑦2 − 12𝑦1 + 12𝑥3 𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3 ⇔ { 13𝑥1 = 𝑦1 + 8𝑥2 + 12(6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3) 5𝑥2 = 13𝑦2 − 12𝑦1 + 12(6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3) = 60𝑦1 − 35𝑦2 − 60𝑦3 𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3 ⇔ { 13𝑥1 = 73𝑦1 − 48𝑦2 − 60𝑦3 + 8(12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3) 𝑥2 = 12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3 𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3 ⇔ { 13𝑥1 = 169𝑦1 − 104𝑦2 − 156𝑦3 𝑥2 = 12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3 𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3 ⇔ { 𝑥1 = 13𝑦1 − 8𝑦2 − 12𝑦3 𝑥2 = 12𝑦1 − 7𝑦2 − 12𝑦3 𝑥3 = 6𝑦1 − 4𝑦2 − 5𝑦3 ⇔ ( 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ) = ( 13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5 ) ( 𝑦1 𝑦2 𝑦3 ) Donc 𝐴−1 = ( 13 −8 −12 12 −7 −12 6 −4 −5 ) = 𝐴 Le mieux aurait été de changer les rôles de 𝑥1 et 𝑥3 dans le premier système. 𝐴2 = 𝐼 donc 𝐴2𝑛 = 𝐴2 𝑛 = 𝐼 𝑛 = 𝐼 et 𝐴2𝑛+1 = 𝐴2𝑛 𝐴 = 𝐴. Correction de l’exercice 3 1. et 2. 𝐴2 = ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) = ( 2 1 1 1 2 1 1 1 2 ) = 𝐴 + 2𝐼 donc 𝑃( 𝑋) = 𝑋2 − 𝑋 − 2 𝐴2 − 𝐴 = 2𝐼 ⇔ 𝐴( 𝐴 − 𝐼) = 2𝐼 ⇔ 𝐴 × 𝐴−𝐼 2 = 𝐼 donc 𝐴−1 = 𝐴−𝐼 2 = 1 2 ( −1 1 1 1 −1 1 1 1 −1 ) 4
  • 5. 𝐴𝑋 = 𝑌 ⇔ ( 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ) ( 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ) = ( 𝑦1 𝑦2 𝑦3 ) = { 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3 𝑥1 dans la 𝑥1et 𝑥2 soit on intervertit la ligne 1 avec une ligne où il y a un 𝑥1 Ici il y a un problème pour appliquer le pivot de Gauss parce qu’il n’y a pas de termes en première ligne, il y a deux façons d’arranger ce problème, soit on intervertit , c’est ce que nous allons faire. 𝐿1 𝐿2 𝐿3 { 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3 ⇔ 𝐿2 𝐿1 𝐿3 { 𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 𝑥1 + 𝑥2 = 𝑦3 ⇔ 𝐿1 𝐿2 𝐿3 − 𝐿1 { 𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 𝑥2 − 𝑥3 = −𝑦2 + 𝑦3 ⇔ 𝐿1 𝐿2 𝐿3 − 𝐿2 { 𝑥1 + 𝑥3 = 𝑦2 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦1 −2𝑥3 = −𝑦1 − 𝑦2 + 𝑦3 ⇔ { 𝑥1 = −𝑥3+ 𝑦2 𝑥2 = −𝑥3 + 𝑦1 𝑥3 = 1 2 𝑦1 + 1 2 𝑦2 − 1 2 𝑦3 ⇔ { 𝑥1 = − ( 1 2 𝑦1 + 1 2 𝑦2 − 1 2 𝑦3) + 𝑦2 𝑥2 = − ( 1 2 𝑦1 + 1 2 𝑦2 − 1 2 𝑦3) + 𝑦1 𝑥3 = 1 2 𝑦1 + 1 2 𝑦2 − 1 2 𝑦3 ⇔ { 𝑥1 = − 1 2 𝑦1 + 1 2 𝑦2 + 1 2 𝑦3 𝑥2 = 1 2 𝑦1 − 1 2 𝑦2 + 1 2 𝑦3 𝑥3 = 1 2 𝑦1 + 1 2 𝑦2 − 1 2 𝑦3 ⇔ ( 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ) = ( − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2) ( 𝑦1 𝑦2 𝑦3 ) Donc 𝐴−1 = ( − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2 1 2 1 2 1 2 − 1 2) Correction de l’exercice 4 1. Le déterminant de la matrice a b c d est a b c d = ad −bc 7 11 −8 4 = 7×4−11×(−8) = 116. 2. Nous allons voir différentes méthodes pour calculer les déterminants. Première méthode. Règle de Sarrus. Pour le matrice 3×3 il existe une formule qui permet de calculer directement le déterminant. . Donc 5
  • 6. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 = a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13 −a13a22a31 −a11a32a23 −a12a21a33 Donc 1 0 6 3 4 15 5 6 21 = 1×4×21+0×15×5+3×6×6−5×4×6−6×15×1−3×0×21 = −18 Attention ! La règle de Sarrus ne s’applique qu’aux matrices 3×3. 3. Deuxième méthode. Se ramener à une matrice diagonale ou triangulaire. Si dans une matrice on change un ligne Li en Li −λLj avec les colonnes. alors le déterminant reste le même. Même chose L1 1 0 2 L2 3 4 5 L3 5 6 7 = 1 0 2 L2←L2−3L1 0 4 −1 L3←L3−5L1 0 6 −3 = 1 0 2 0 4 −1 L3←L3−3 2 L2 0 0 −3 2 = 1×4×(−3 2) = −6 cients sur la diagonale. On a utilisé le fait que le déterminant d’une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit des coeffi 4. Troisième méthode. Développement par rapport à une ligne ou une colonne. par rapport à la deuxième colonne. 1 0 −1 2 3 5 4 1 3 = (−0)× 2 5 4 3 +(+3)× 1 −1 4 3 +(−1)× 1 −1 2 5 = 0+3×7−1×7 = 14 Nous allons développer Bien souvent on commence par simplifier la matrice en faisant apparaître un maximum de 0 par les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes. Puis on développe en choisissant la ligne ou la colonne qui a le plus de 0. 5. On fait apparaître des 0 sur la première colonne puis on développe par rapport à cette colonne. ∆ = L1 0 1 2 3 L2 1 2 3 0 L3 2 3 0 1 L4 3 0 1 2 = 0 1 2 3 1 2 3 0 L3←L3−2L2 0 −1 −6 1 L4←L4−3L2 0 −6 −8 2 = − 1 2 3 −1 −6 1 −6 −8 2 Pour calculer le déterminant 3×3 on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on la développe. −∆ = L1 1 2 3 L2 −1 −6 1 L3 −6 −8 2 = 1 2 3 L2←L2+L1 0 −4 4 L3←L3+6L1 0 4 20 = 1 −4 4 4 20 = −96 6
  • 7. Donc ∆ = 96. 6. La matrice a déjà beaucoup de 0 mais on peut en faire apparaître davantage sur la dernière colonne, puis on développe par rapport à la dernière colonne. ∆ = L1 0 1 1 0 L2 1 0 0 1 L3 1 1 0 1 L4 1 1 1 0 = 0 1 1 0 1 0 0 1 L3←L3−L2 0 1 0 0 1 1 1 0 = 0 1 1 0 1 0 1 1 1 On développe ce dernier déterminant par rapport à la première colonne : ∆ = 0 1 1 0 1 0 1 1 1 = 1× 1 1 1 0 = −1 7. Toujours la même méthode, on fait apparaître des 0 sur la première colonne, puis on développe par rapport à cette colonne. ∆ = L1 1 2 1 2 L2 1 3 1 3 L3 2 1 0 6 L4 1 1 1 7 = 1 2 1 2 L2←L2−L1 0 1 0 1 L3←L3−2L1 0 −3 −2 2 L4←L4−L1 0 −1 0 5 = 1 0 1 −3 −2 2 −1 0 5 On développe par rapport à la deuxième colonne : ∆ = −2× 1 1 −1 5 = −12 Correction de l’exercice 5 det( 𝑎, 𝑏, 𝑐) = | 1 2 2 −1 −1 −2 1 1 1 | = 𝐶3 − 𝐶2 | 1 2 2 −1 −1 −2 0 0 −1 | = − | 1 2 −1 −1 | = −(−1 + 2) = −1 ≠ 0 Donc ( 𝑎, 𝑏, 𝑐) est une base de ℝ3 1. 2. 𝑃 = ( 1 2 2 −1 −1 −2 1 1 1 ) 𝑃𝑋 = 𝑌 ⇔ ( 1 2 2 −1 −1 −2 1 1 1 ) ( 𝑥1 𝑥2 𝑥3 ) = ( 𝑦1 𝑦2 𝑦3 ) ⇔ 𝐿1 𝐿2 𝐿3 { 𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑦1 −𝑥1 − 𝑥2 − 2𝑥3 = 𝑦2 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 𝑦3 7
  • 8. ⇔ 𝐿1 𝐿2 + 𝐿1 𝐿3 + 𝐿2 { 𝑥1 + 2𝑥2 + 2𝑥3 = 𝑦1 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2 −𝑥3 = 𝑦2 + 𝑦3 ⇔ { 𝑥1 = −2𝑥2 − 2𝑥3 + 𝑦1 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑥3 = −𝑦2 − 𝑦3 ⇔ { 𝑥1 = −2𝑦1 − 2𝑦2 + 2𝑦2 + 2𝑦3 + 𝑦1 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑥3 = −𝑦2 − 𝑦3 ⇔ { 𝑥1 = −𝑦1 + 2𝑦3 𝑥2 = 𝑦1 + 𝑦2 𝑥3 = −𝑦2 − 𝑦3 Donc 𝑃−1 = ( −1 0 2 1 1 0 0 −1 −1 ) 3. Les coordonnées de 𝑢( 𝑎) dans la base 𝛽 sont ( 1 4 4 −1 −3 −3 0 2 3 ) ( 1 −1 1 ) = ( 1 −1 1 ) Donc 𝑢( 𝑎) = 𝑎 Les coordonnées de 𝑢( 𝑏) dans la base 𝛽 sont ( 1 4 4 −1 −3 −3 0 2 3 ) ( 2 −1 1 ) = ( 2 −2 1 ) Donc 𝑢( 𝑏) = 𝑐 Les coordonnées de 𝑢( 𝑐) dans la base 𝛽 sont ( 1 4 4 −1 −3 −3 0 2 3 ) ( 2 −2 1 ) = ( −2 1 −1 ) Donc 𝑢( 𝑐) = −𝑏 Par conséquent 𝑅 = ( 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 ) 4. a) 𝑃−1 𝐴𝑃 = ( −1 0 2 1 1 0 0 −1 −1 ) ( 1 4 4 −1 −3 −3 0 2 3 ) ( 1 2 2 −1 −1 −2 1 1 1 ) = ( −1 0 2 1 1 0 0 −1 −1 ) ( 1 2 −2 −1 −2 1 1 1 −1 ) = ( 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 ) = 𝑅 8
  • 9. b) 𝑅2 = ( 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 ) ( 1 0 0 0 0 −1 0 1 0 ) = ( 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ) 𝑅4 = 𝑅2 𝑅2 = ( 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ) ( 1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 ) = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) = 𝐼 c) 𝑅 = 𝑃−1 𝐴𝑃 ⇔ 𝐴 = 𝑃𝑅𝑃−1 𝐴4 = 𝑃𝑅𝑃−1 𝑃𝑅𝑃−1 𝑃𝑅𝑃−1 𝑃𝑅𝑃−1 = 𝑃𝑅4 𝑃−1 = 𝑃𝐼𝑃−1 = 𝐼 Donc 𝐴4𝑛 = ( 𝐴4) 𝑛 = 𝐼 𝑛 = 𝐼 Correction de l’exercice 6 1)           − − − = 211 121 112 A , 33IAB += a. 2 B en fonction de B :           =⇒+= 111 111 111 3 3 BIAB ♦           = 111 111 111 B : ⇒           =×= 333 333 333 2 BBB BB .32 = b. 2 A en fonction de A . ♦ 33 33 IBAIAB −=⇒+= ♦ Les matrices B et 3).3( I− commutent : BIBBI ).3().3().3( 33 −=−×=×− ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 2 3 2 .32.3.3 BBIIIBA +×−×+−=−=⇒ ( ) BIBBIBBIIBA .3.9.3.6.9.6.9.3 33 2 3 2 3 2 −=+−=+−=−=⇒ , car BB .32 = ABIBIA .3).3.(3.3.9 33 2 −=+−−=−=⇒ , BIA +−= 3.3 Donc AA .32 −= c. La matrice A n'est pas inversible : On suppose que la matrice A est inversible On a alors 3 1 IAA =× − et AA .32 −= Donc 3 11 .3.3 IAAAAAA −=⇒×−=×× −− Or 3.3 IA −≠ , donc la matrice A n'est pas inversible. 9
  • 10. 2)               − − − − = 2111 1211 1121 1112 A , 43IAB += a. 2 B en fonction de B :               =⇒+= 1111 1111 1111 1111 3 4 BIAB ♦               = 1111 1111 1111 1111 B : ⇒               =×= 4444 4444 4444 4444 2 BBB BB .42 = b. 2 A en fonction de A . ♦ 44 33 IBAIAB −=⇒+= ♦ Les matrices B et 4).3( I− commutent : BIBBI ).3().3().3( 44 −=−×=×− ( ) ( ) ( ) 2 4 2 4 2 4 2 .32.3.3 BBIIIBA +×−×+−=−=⇒ BIBBIBBIA .2.9.4.6.9.6.9 44 2 4 2 −=+−=+−=⇒ , car BB .42 = AIBIIBIIA .23).3).(2(3.2.63 44434 2 −=+−−+=−+=⇒ , BIA +−= 4.3 Donc AIA .23 4 2 −= c. La matrice A est inversible : 44444 2 4 2 ).2( 3 1 .).2(. 3 1 3.2.23 IIAAIIAAIAAAIA =      +×⇒=+×⇒=+⇒−= Donc 44 /).2( 3 1 )4( IBAIABMB =×      +=∈∃ Donc la matrice A est inversible et ).2( 3 1 4 1 IAA +=− 10