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Université de Blida 1
Faculté des Sciences
Première année LMD, TC-SM
Matière : Maths 1
Année : 2022-2023
Rappels
1 Valeur absolue d’un réel
Soit a un réel. La valeur absolue de a est égale à la distance de ce nombre à 0 et on la note
|a|. De façon générale,
|a| =

a si a ≥ 0,
−a si a  0.
Exemples :
1. |2| = 2.
2. | − 3| = 3.
3. |3x − 2| =

3x − 2 si x ≥ 2
3
,
2 − 3x si x  2
3
.
Propriétés Soient a et b deux nombres réels et n est un entier. On a
1. |a| ≥ 0.
2. |a| = 0 ⇔ a = 0.
3. −|a| ≤ a ≤ |a|
4. |a| = |b| ⇒ (a = b ∨ a = −b).
5. |ab| = |a||b|.
6.
a
b
=
|a|
|b|
, (b 6= 0)
7. |an
| = |a|n
8.
√
a2 = |a|.
9. ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|.
10. |a − b| ≥ |a| − |b|.
11. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b, (b ∈ R+
)
12. |a| ≥ b ⇔ a ≤ −b ∨ a ≥ b
2 Partie entière d’un réel
Pour tout nombre réel x, la partie entière de x, notée E(x), est le plus grand entier relatif n
inférieur ou égal à x.
Exemples
1. E(2, 3) = 2 2. E(−2) = −2 3. E(−2, 6) = −3. 4. E(−37, 21) = −38.
Propriétés Soient x un réel et n un entier relatif
1. E(x) ≤ x  E(x) + 1.
2. x − 1  E(x) ≤ x.
3. E(n) = n.
4. E(x + n) = E(x) + n.
5. nE(x) ≤ E(nx)
6. ∀x  1, E(1
x
) = 0.
Exemples :
1. E(x) = 5 ⇔ 5 ≤ x  6
2. E(x) = −6 ⇔ −6 ≤ x  −5
3. E(3) = 3
4. E(−36) = −36.
5. E(
√
2) = 1.
6. Si x = 3, 5 et n = 10. Alors
(a) E(x + n) = E(x) + n = 13
(b) nE(x) = 30 et E(nx) = E(35) = 35.
7. E 1
7

= 0
3 Identités remarquables
Soient a et b deux nombres réels. Pour tout entier n non nul, on peut montrer, par récurrence,
la formule du binôme de Newton suivantes :
(a + b)n
=
n
X
k=0
Ck
nan−k
bk
= C0
nan
+ C1
nan−1
b + C2
nan−2
b2
+ C3
nan−3
b3
· · · + Cn−1
n abn−1
+ Cn
n bn
Les coefficients Ck
n sont appelés les coefficients binomiaux où Ck
n =
n!
k!(n − k)!
et n! = n(n−1)!
avec 0! = 1.
On peut aussi déterminer les coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascal.
n = 0 : 1
n = 1 : 1 ↔ 1
n = 2 : 1 ↔ 2 ↔ 1
n = 3 : 1 ↔ 3 ↔ 3 ↔ 1
n = 4 : 1 ↔ 4 ↔ 6 ↔ 4 ↔ 1
n = 5 : 1 5 ↔ 10 ↔ 10 ↔ 5 ↔ 1
Exemples :
1. (a + b)4
= a4
+ 4a3
b + 6a2
b2
+ 4ab3
+ b4
.
2. (a − b)4
= a4
− 4a3
b + 6a2
b2
− 4ab3
+ b4
.
3. (a + b)5
= a5
+ 5a4
b + 10a3
b2
+ 10a2
b3
+ 5ab4
+ b5
.
4. (a − b)5
= a5
− 5a4
b + 10a3
b2
− 10a2
b3
+ 5ab4
− b5
.
4 Identités géométriques
Soient a et b deux nombres réels. Pour tout entier n, on a
an+1
− bn+1
= (a − b)
n
X
k=0
ak
.bn−k
= (a − b)(bn
+ a.bn−1
+ a2
.bn−2
+ · · · + an−1
b + an
)
Exemples :
1. a3
− b3
= (a − b)(b2
+ ab + a2
).
2. a9
− 1 = (a − 1)(a8
+ a7
+ a6
+ a5
+ a4
+ a3
+ a2
+ a)
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  • 1. Université de Blida 1 Faculté des Sciences Première année LMD, TC-SM Matière : Maths 1 Année : 2022-2023 Rappels 1 Valeur absolue d’un réel Soit a un réel. La valeur absolue de a est égale à la distance de ce nombre à 0 et on la note |a|. De façon générale, |a| = a si a ≥ 0, −a si a 0. Exemples : 1. |2| = 2. 2. | − 3| = 3. 3. |3x − 2| = 3x − 2 si x ≥ 2 3 , 2 − 3x si x 2 3 . Propriétés Soient a et b deux nombres réels et n est un entier. On a 1. |a| ≥ 0. 2. |a| = 0 ⇔ a = 0. 3. −|a| ≤ a ≤ |a| 4. |a| = |b| ⇒ (a = b ∨ a = −b). 5. |ab| = |a||b|. 6. a b = |a| |b| , (b 6= 0) 7. |an | = |a|n 8. √ a2 = |a|. 9. ||a| − |b|| ≤ |a + b| ≤ |a| + |b|. 10. |a − b| ≥ |a| − |b|. 11. |a| ≤ b ⇔ −b ≤ a ≤ b, (b ∈ R+ ) 12. |a| ≥ b ⇔ a ≤ −b ∨ a ≥ b 2 Partie entière d’un réel Pour tout nombre réel x, la partie entière de x, notée E(x), est le plus grand entier relatif n inférieur ou égal à x. Exemples 1. E(2, 3) = 2 2. E(−2) = −2 3. E(−2, 6) = −3. 4. E(−37, 21) = −38. Propriétés Soient x un réel et n un entier relatif 1. E(x) ≤ x E(x) + 1. 2. x − 1 E(x) ≤ x. 3. E(n) = n. 4. E(x + n) = E(x) + n. 5. nE(x) ≤ E(nx) 6. ∀x 1, E(1 x ) = 0.
  • 2. Exemples : 1. E(x) = 5 ⇔ 5 ≤ x 6 2. E(x) = −6 ⇔ −6 ≤ x −5 3. E(3) = 3 4. E(−36) = −36. 5. E( √ 2) = 1. 6. Si x = 3, 5 et n = 10. Alors (a) E(x + n) = E(x) + n = 13 (b) nE(x) = 30 et E(nx) = E(35) = 35. 7. E 1 7 = 0 3 Identités remarquables Soient a et b deux nombres réels. Pour tout entier n non nul, on peut montrer, par récurrence, la formule du binôme de Newton suivantes : (a + b)n = n X k=0 Ck nan−k bk = C0 nan + C1 nan−1 b + C2 nan−2 b2 + C3 nan−3 b3 · · · + Cn−1 n abn−1 + Cn n bn Les coefficients Ck n sont appelés les coefficients binomiaux où Ck n = n! k!(n − k)! et n! = n(n−1)! avec 0! = 1. On peut aussi déterminer les coefficients binomiaux grâce au triangle de Pascal. n = 0 : 1 n = 1 : 1 ↔ 1 n = 2 : 1 ↔ 2 ↔ 1 n = 3 : 1 ↔ 3 ↔ 3 ↔ 1 n = 4 : 1 ↔ 4 ↔ 6 ↔ 4 ↔ 1 n = 5 : 1 5 ↔ 10 ↔ 10 ↔ 5 ↔ 1 Exemples : 1. (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 . 2. (a − b)4 = a4 − 4a3 b + 6a2 b2 − 4ab3 + b4 . 3. (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 . 4. (a − b)5 = a5 − 5a4 b + 10a3 b2 − 10a2 b3 + 5ab4 − b5 . 4 Identités géométriques Soient a et b deux nombres réels. Pour tout entier n, on a an+1 − bn+1 = (a − b) n X k=0 ak .bn−k = (a − b)(bn + a.bn−1 + a2 .bn−2 + · · · + an−1 b + an ) Exemples : 1. a3 − b3 = (a − b)(b2 + ab + a2 ). 2. a9 − 1 = (a − 1)(a8 + a7 + a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a) Page 2