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Lycée officiel Kobayate Examen 1 Année scolaire :2018/2019
Professeur:Hassan Abas Classe : 2S Date : Lundi 28/1/2019
Matière :mathématique Durée : 120min Note sur :20 District :
AkkarNuméro du lycée dans le CRDP : 635 Gouvernât : Akkar
I (5 points)
On considère l’équation ( 𝐸 𝑚
): 𝑥2
+ (2𝑚 − 1) 𝑥 − 1 = 0, 𝑒𝑡 𝑠𝑜𝑖𝑡 𝑥′
𝑒𝑡 𝑥′′
ses
racines lorsqu’elles existent.
on note 𝑃 = 𝑥′
𝑥′′
𝑒𝑡 𝑆 = 𝑥′
+ 𝑥′′
.
Pour 𝑥 est l’inconnue de l’équation ( 𝐸 𝑚
) et 𝑚 est un paramètre réel :
1. Résoudre les équations ( 𝐸0
) et ( 𝐸1
2
) correspondant à 𝑚 = 0; 𝑚 =
1
2
respectivement.
2. Démontrer que ( 𝐸 𝑚
) admet des racines quelle que soit la valeur de
𝑚.
3.
a. Sans calculer les racines 𝑥′
et 𝑥′′, trouver en fonction de 𝑚,
l’expression de :
2𝑥′
+ 2𝑥′′
; 2𝑥′( 𝑥′′
+ 1) + 2𝑥′′
; 𝑥′2
𝑥′′
+ 𝑥′
𝑥′′2
.
b. Déduire la valeur de 𝑚 dans le cas où 2𝑥′
= −𝑥′
𝑥′′
− 2𝑥′′.
4. Trouver en fonction de 𝑃 𝑒𝑡 𝑆 l’expression :
𝑥′
−1
𝑥′′
+
𝑥′′
−1
𝑥′
.
5. Sans calculer 𝑥′
𝑒𝑡 𝑥′′
, Trouver la valeur de 𝑚, dans le cas où les
points A et B d’abscisses respectifs 𝑥′ 𝑒𝑡 𝑥′′ , sont symétriques par
rapport au point I d’abscisse
−5
6
.
II (𝟕
𝟏
𝟐
points)
Partie A :
a. Résoudre chacune des équations suivantes :
𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−1
2
; 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
√3
2
; 𝑡𝑎𝑛𝑥 −
1
4
= 0 .
b. Résoudre l’équation : 5𝑠𝑖𝑛2
𝑥 − 8𝑐𝑜𝑠𝑥 + 8 = 0.
c. Résoudre géométriquement l’équation :𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
Partie B :
a. Montrer que : 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥 = 𝑠𝑖𝑛2𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1).
b. Montrer que : 𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) − 𝑠𝑖𝑛2
𝑥 = 𝑐𝑜𝑠2𝑥(2𝑐𝑜𝑠𝑥 + 1).
c. Déduire les solutions de l’équation :
𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑥(2𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠𝑥) − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥
= tan (−𝑥 +
𝜋
3
).
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Partie C :
Sachant que 𝑠𝑖𝑛𝑎 =
3
5
et 𝑎 ∈ [
𝜋
2
; 𝜋].
a. Calculer 𝑠𝑖𝑛2𝑎.
b. Déduire la valeur de 𝑠𝑖𝑛3𝑎.
III (𝟕
𝟏
𝟐
points)
On considère le tétraèdre COAB ci-dessus tel que : 𝐴𝑂𝐵̂ = 𝐴𝑂𝐶̂ = 90°
.
OA=OB=1=
𝑂𝐶
2
𝑒𝑡 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶.
M est le milieu de [AB].
Partie A :
1.
a. Calculer AB ; AC et BC.
b. Vérifier que BOC est un triangle rectangle en O.
2.
a. Démontrer que (AB) est perpendiculaire au plan (OCM).
b. Déduire que (ABC) et (OCM) sont perpendiculaires.
3. Soit E est le projeté orthogonal de O sur (CM).
a. Démontrer que (OE) est perpendiculaire au plan (ABC).
b. Déduire que E est l’orthocentre de ABC.
4.
a. Calculer OM.
b. Calculer l’angle entre les deux plans (OAB) et (ABC).
Partie B :
L’espace est rapporté au repère ( 𝑂; 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ ) .
Soit 𝑄(0;
7
2
;
−5
2
).
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1. Déterminer les coordonnées des points : O ; A ; B ; C et M.
2. Déterminer les coordonnées du centre de gravité H de ABC.
3. Montrer que les points B ; C et Q sont alignées.
4. Déterminer les coordonnées du point S de l’espace tel que :
𝐵𝑆⃗⃗⃗⃗⃗ = 3𝑆𝐶⃗⃗⃗⃗ −
1
2
𝑆𝑂⃗⃗⃗⃗⃗ .
5. Montrer qu’ils existent deux réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽 tels que :
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝛼𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝛽𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .( 𝑂𝑛 𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑟 𝛼 𝑒𝑡 𝛽).
6. Trouver les deux réels 𝛼 𝑒𝑡 𝛽.
Bonne chance
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Micro-barème.
N˚ Réponse Note
I
1
( 𝐸0
): 𝑥2
− 𝑥 − 1 = 0; 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠
1 − √5
2
𝑒𝑡
1 + √5
2
(𝐸1
2
): 𝑥2
− 1 = 0; 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠 ∶ −1 𝑒𝑡 1.
0.5×2
2 ∆= (𝑚 − 1)2
+ 4 > 0 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑜𝑛 𝑎 𝑑𝑒𝑢𝑥 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑛𝑒𝑠. 0.5
3
a
2S=2(1-2m). [0.25]
2(P+S)=2(-1+1-2m)=-4m. [0.5]
P.S=-1.(1-2m)=2m-1. [0.5]
b 2S+P=0 ; 2(1-2m)-1=0 ; m=1/4. 0.75
4
𝑥′2+𝑥′′2−𝑆
𝑃
=
𝑆2−2𝑃−𝑆
𝑃
=
𝑆( 𝑆−1)−2𝑃
𝑃
. 1
5
𝑆
2
=
−5
6
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑆 =
−10
6
; 𝑚 =
4
3
. 0.5
II
A
a
𝐶𝑜𝑠𝑥 = cos ( 𝜋 −
𝜋
3
) 𝑒𝑡 𝑥𝜖 {
−2𝜋
3
;
2𝜋
3
} +
{2𝑘𝜋; 𝑘𝜖𝑍}. [0.5]
𝑆𝑖𝑛𝑥 = 𝑆𝑖𝑛
𝜋
3
𝑒𝑡 𝑥𝜖 {
𝜋
3
;
2𝜋
3
} + {2𝑘𝜋; 𝑘𝜖𝑍}.
[0.5]
Calculette : 𝑥 ≅ 14° + 𝑘𝜋 [0.5]
b
−5𝑐𝑜𝑠𝑥2
− 8𝑐𝑜𝑠𝑥 + 13 = 0 [0.25]
-5-8+13=0 donc 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1 𝑜𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
−13
5
[0.5]
𝑥 = 2𝑘𝜋 𝑒𝑡 𝑘𝜖𝑧 𝑜𝑢 𝑥𝜖∅. [0.5+0.25]
C
La première bissectrice coupe le cercle
trigonométrie en deux point M’ et M’’.
En chaque point les sins et les cos sont égaux.
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑥 =
𝜋
4
+ 𝑘𝜋; 𝑘𝜖𝑍.
1
B
a 2sin2xcosx+sin2x=sin2x(2cosx+1). 0.5
b 2cosxcos2x+cos2x=cos2x(2cos+1). 0.5
c
Par simplification : tan2x=tan(-x+π/3). [0.25]
Donc 2x=-x+π/3+kπ ; donc x=π/9+kπ/3 avec k
est un entier. [0.5]
C
a
1-9/25=16/25 ; donc cosa=-4/5
donc sin2a=2.3/5.-4/5=-24/25. 0.75
b
Sin3a=sina.cos2a+cosa.sin2a=
3
5
(1 − 2𝑠𝑖𝑛𝑎2 ) +
−4
5
×
−24
25
=
117
125
1
III A 1
a 𝐴𝐶 = √5; 𝐴𝐵 = √2 ; 𝐵𝐶 = √5 0.25×3
b
Réciproque de Pythagore dans BOC entraine
que 𝐵𝑂𝐶̂ = 90°.
0.25
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2
a
ABC isocèle en C donc (CM) perpen.(AB).
AOB isocèle en O donc (AB) perpen (OM).
Donc (AB) perpen (OCM).
0.75
b
(AB) incluse dans (ABC) donc (ABC) perp
(OCM).
0.25
3
a
(OE) orth (CM).
(AB) perp (COB) qui contient (OE).
donc (OE) orth (AB).
D’où (OE) perp (ABC).
0.5
b
(CM) orth (AB).
(BC) perpen (AOE) car (OE) perp
(ABC) donc (OE) orth (BC) et (OA)
perp (COB)
donc (BC) orth (OA). Donc (BC) orth
(AE).
D’où (CM) perp (AB) et (BC) perp
(AE).
alors E est l’orthocentre de ABC.
0.75
4
a .𝐴𝑂𝑀 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑖𝑠𝑜𝑐𝑒𝑙𝑒 𝑒𝑛 𝑀 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑂𝑀 =
√2
2
0.25
b
(AB) est l’intersection.
(AB) perp (OM).
(AB) perp (CM)
donc 𝑂𝑀𝐶̂ est l’angle.
COM rectangle en O car (OC)
perp(OAB)
donc 𝑡𝑎𝑛𝑂𝑀𝐶̂ =
𝑂𝐶
𝑂𝑀
= 2√2.
Calculette : 𝑂𝑀𝐶̂ =70.52˚
0.5+0.25
B
1
O(0,0,0) ; A(1,0,0) ; B(0,1,0) ; C(0,0,1) ; [0.125×4]
M(1/2,1/2,0). [0.25]
2 H(1/3 ;1/3 ;1/3). 0.5
3
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ (0, −1,1); 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ (0,
5
2
,
−5
2
) 𝑒𝑡 𝐵𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ =
−5
2
𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .
Alors B, C et Q sont alignés. 0.5
4 𝑥 = 0; 𝑦 =
2
7
; 𝑧 =
6
7
. 0.75
5
Oui car tous les points considérés sont dans le
plan (ABC).
0.25
6 𝛼 = 1 𝑒𝑡 𝛽 = −2. 0.25×2