Correction brevet blanc mars 2007

1. MATHÉMATIQUES : CORRECTION DU BREVET BLANC DE MARS 2007
ACTIVITÉS NUMÉRIQUES :
Exercice n°1 :
5 3×2×4 5 2 15 8 7
1°) A= − =−= − =
4 4×3×3 4 3 12 12 12
   
6 −10 6 −5×2×3×2 −4
11 6 11 21
−7 × = − ×= ×= =
B=
3 3 3 3
25 25 25 3×5×5 5
3×1,2 10−10 −107 −3 −3 −2
× −7 =18×10 =18×10 =1,8×10×10 =1,8×10 =0,018
C=
2°)
0,2 10
Exercice n°2 :
A=3×4−6  7−9−  100×7=12−6  7−9−  100× 7=3−6  7−10  7=3−16  7
2
B=3× 2  −5 2 =9×2−25=18−25=−7 donc B est bien un nombre entier .
2
E=2 x3  − 2 x3  x4 
Exercice n°3 :
E=4 x 2 2×2 x ×39− 2 x 2 8 x3 x12=4 x 2 12 x9−2 x 2 −11 x−12=2 x 2 x−3
1°)
E=2 x 3[2 x 3− x4]=2 x3 2 x3−x −4 =2 x 3 x−1
2°)
2 x 3 x−1=0 est une équation se présentant sous la forme d'un produit nul .
3°)
Or un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul .
2 x 3 x−1=0 lorsque 2 x + 3 = 0 ou lorsque x – 1 = 0
Donc
−3
x= x=1
2
−3
2 x 3 x−1=0 sont donc x=
Les solutions de l'équation et x = 1 .
2
Exercice n°4 :
1°) Baisser un prix de 15 % revient à multiplier ce prix par 1 – 0,15 c'est à dire par 0,85 .
Donc si on note x le prix initial d'un produit et y le prix de ce même produit après la baisse de 15 %
alors on a y = 0,85 x .
2°) Si le prix initial d'un ordinateur portable est x = 1200 alors son prix final après la baisse de 15 % est
y = 0,85×1200=1020 . Le nouveau prix est donc de 1020 € .
3°) Si le prix final d'une clé USB est y = 34 alors son prix avant la baisse de 15 % était x tel que 34 = 0,85 x .
34
=40 . Le prix initial de la clé USB était de 40 € .
Donc x =
0,85
Exercice n°5 :
Notes 6 8 10 13 14 17
Effectifs 3 5 6 7 5 1
E.C.C 3 8 14 21 26 27

2. 3×65×86×107×135×141×17 296
M= = ≃11
1°) La moyenne de la classe est M tel que
356751 27
2°) La médiane de cette série de 27 notes est la 14ème note donc c'est la note 10 . L'étendue vaut 17 – 6 = 11 .
ACTIVITÉS GÉOMÉTRIQUES :
Exercice n°1 :
CE 2 =10,4 2=108,16 et CD 2DE 2=9,6 24 2=92,1616=108,16
1.
Je constate que CE² = CD² + DE² donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est
rectangle en D et par définition, CD⊥ DE 
2. Je sais que  AB⊥ BC par codage et CD ⊥ DE
Or, si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles sont parallèles entre elles
Donc, (AB) // (DE)
3. Je sais que (AE) et (BD) sont sécantes en C et (AB) // (DE) donc, d'après le théorème de Thalès, on a :
9,6 10,4 4 12×4 48
CD CE DE
= = = =5
= = AB=
donc, d'où
12 CA AB 9,6 9,6
CB CA AB
La mesure de [AB] est 5 cm
Exercice n°2 :
1. voir ci-contre
2.
E
a) Je sais que F est le symétrique de O par rapport à C .
A B
Or, dans la symétrie centrale, le centre de symétrie est le milieu
du segment formé par un point et son symétrique
O
Donc, C milieu de [OF] c'est à dire OC = OF
Je sais que le point G image de C par la translation qui
C
D
transforme B en O donc,   .
BO=CG
G F
J'en déduis en particulier que BO = CG .
Je sais que ABCD rectangle de centre O
Or, si un quadrilatère est un rectangle alors ses diagonales ont même milieu et sont isométriques
Donc, AO = OC = OB = OD
Je sais que OC = OF, que BO = CG et que AO = OC = OB = OD .
Donc OC = CF = CG .
Or, si des points sont équidistants d'un même point alors ils sont sur un cercle de centre ce point
Donc, C, F et G sont sur un cercle de centre C et de rayon OC .
b) Je sais que C est le milieu de [OF] et que O et F sont sur le cercle de centre C
Donc, par définition, [OF] est un diamètre du cercle de centre C .
Je sais que [OF] est un diamètre du cercle de centre C et que G est un point de ce cercle .
Or, si dans un cercle, on joint les extrémités d'un diamètre à un point du cercle alors le triangle obtenu
est rectangle en ce point .
Donc le triangle OFG est rectangle en G .
Exercice n°3:
1. Voir ci-contre .
2. Dans le triangle ABC rectangle en A tel que : AC = 3 et BC = 6, j'utilise le
C
théorème de Pythagore : CB 2 =CA 2 AB 2 d'où
AB 2 =6 2−32 =36−9=27 c'est à dire AB = 27 =3  3
La valeur exacte de AB est 3  3 cm .
3. Dans le triangle ABC rectangle en A, j'utilise la trigonométrie :

A B
côté adjacent à C CA 3
O
cos  = = =0,5
ACB=
hypoténuse BC 6
donc la valeur du cosinus de l'angle  est 0,5 et celle de l'angle
ACB
 est 60° .
E
ACB

3. 4. a) Je sais que E est sur la médiatrice de [CB]
Or, si un point est sur la médiatrice d'un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment
Donc EC = EB et par définition, CBE est un triangle isocèle en E .
De plus, l'angle  est 60°
ACB
Or, si un triangle isocèle a un angle de 60°, alors c'est un triangle équilatéral .
Donc finalement , CBE est un triangle équilatéral .
b) Je sais que CBE est un triangle équilatéral donc, par définition , BC = BE
Je sais que ABC triangle rectangle en A donc  AB⊥ AC  et  AB⊥ EC  par extension .
Bilan : Je sais que  AB⊥ EC et BC = BE
Or, si une droite passe par un point équidistant des extrémités d'un segment et est perpendiculaire à
.........ce segment alors c'est la médiatrice de ce segment
Donc, la droite (BA) est la médiatrice du segment [EC] .
PROBLÈME :
Partie A :
1°)
Nombre de DVD loués en 6 mois
4 8 10 12 15
Prix en euros payé avec
Case I
l'option A
12 30 36 45
24
Case II
21 27 33 37,50
l'option B
30
Case III
36 36 36 36
L'option C
36
A A A ou B B C
Nom de l'option la plus avantageuse
Case I : Si chaque DVD se loue pour 3 € , la location de 8 DVD coûte 3 ×8 =24 €
Case II : Après un abonnement facturé 15 € chaque DVD se loue pour 1,50 € donc la location de 10 DVD revient
finalement à 151,5×10=1515=30 €
Case III : Le forfait de 36 € permet de louer autant de DVD que l'on veut , donc louer 12 DVD coûte 36 € tout
simplement .
2°) On appelle x le nombre de DVD loués par Nicolas pendant 6 mois .
a) Si chaque DVD se loue pour 3 € , la location de x DVD coûte la somme A ( x ) = 3×x=3 x
b) Après un abonnement facturé 15 € chaque DVD se loue pour 1,50 € donc la location de x DVD coûte
finalement la somme B ( x ) = 151,5× x=151,5 x
Partie B :
1°) La fonction f est une fonction linéaire car f ( x ) = 3 x . Elle est donc représentée graphiquement par une
droite ( D f ) qui passe par l'origine O du repère .

4. De plus lorsque x = 10 on a f ( x ) = 30 donc le point E ( 10 ; 30 ) appartient à ( D f ) et donc ( D f ) est la
droite ( OE ) .
La fonction g est une fonction affine car g ( x ) = 1,5 x + 15 . Elle est donc représentée graphiquement par
une droite ( D g ) qui passe par le point de coordonnées P ( 0 ; 15 ) .
De plus lorsque x = 10 on a g ( x ) = 30 donc le point E ( 10 ; 30 ) appartient à ( D g ) et donc
( D g ) est la droite ( PE ) .
Les droites sont tracées en annexe .
2°) Les représentations graphiques de f et g se coupent en E .
a) Les coordonnées de E sont ( 10 ; 30 ) .
b) E est un point situé sur la droite qui représente la fonction f associée à l'option A .
Mais E est aussi situé sur la droite qui représente la fonction g associée à l'option B .
Ses coordonnées nous indiquent donc que la location de 10 DVD reviendra à 30 € aussi bien avec l'option A
qu'avec l'option B .
Les options A et B sont équivalentes pour 10 DVD loués .
3°) Graphiquement , Nicolas va dépenser 33 € avec l'option A s'il loue 11 DVD .
3×11=33
On retrouve ce résultat par le calcul en calculant f ( 11 ) . f ( 11 ) =
4°) Graphiquement , Nicolas pourra louer 6 DVD avec l'option B s'il dispose d'une somme de 24 € .
g  x=24 .
On retrouve ce résultat par le calcul en résolvant l'équation
9
g  x=24 signifie x= =6 .
1,5 x15=24 c'est à dire 1,5 x=9 et donc
1,5
5°) La lecture attentive du graphique indique que :
i) Si le nombre de DVD loués par Nicolas est inférieur à 10 , l'option A se révèle être la moins coûteuse pour
lui puisque dans ces cas là , ( D f ) est située au dessous de ( D g ) et de ( D h ) .
ii) Si Nicolas loue 10 DVD l'option A et l'option B sont équivalentes ( elles reviennent chacune à 30 € )
tout en étant plus avantageuse que l'option C à 36 € .
iii ) Si Nicolas loue entre 11 et 13 DVD , l'option B est alors la moins coûteuse puisque dans ces cas là ,
( D g ) est située au dessous de ( D f ) et de ( D h ) .
iv) Si Nicolas loue 14 DVD , il peut choisir aussi bien l'option B que l'option C .
v) Si Nicolas loue 15 DVD ou plus , il devra choisir l'option C pour obtenir le coût le plus avantageux .
Dans ces cas là , ( D h ) est située au dessous de ( D f ) et de ( D g ) .