1. Chapitre 1 : Dénombrement
I) Notions d’arrangement, de combinaisons et de permutations
Exercice introductif : une boîte contient 15 balles vertes, 10 balles jaunes, et 5 balles rouges.
On tire 3 balles au hasard de l’urne, combien cela fait-il de possibilités si les tirages sont :
1) successifs et avec remise ?
2) successifs mais sans remise ?
3) simultanés ?
1) Tirage successif avec remise
303 = 27 000 possibilités de tirages
Dans le cas général on dit que np est un arrangement de p éléments parmi n avec
répétition.
2) Tirage successif sans remise
30 x 29 x 28 = 24 360 possibilités de tirages
Dans le cas général on dit que Anp est un arrangement de p éléments parmi n sans
n!
répétition. On a An =(n−p)! pour tout n≥p.
p
30! 30× × × × × = × ×
29 28 27 ... 1 30 29 28
Dans l’exemple A30 =(30− )!=
3
3 27× × ×
28 ... 1
3) Tirage simultané
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2. A30 30×29×28 =4060 tirages
3
C30 =
3 =
3! 3×2×1
n
Dans le cas général on dit que Cnp ou   est une combinaison de p éléments parmi n, ou
 p
encore le nombre de façons qu’il y a de choisir p objets parmi n sans tenir compte de
p
A
l’ordre. On a Cn = n =
p n!
p! p!(n− p)! pour tout n≥p.
Dans le cas général on dit que n! est une permutation de n objets ou encore le nombre de
façons de ranger n objet dans un certain ordre. On a n! n× − × −)××
= (n 1) (n 2 ... 1
Remarque : 0!=1
La plupart des calculatrices ont la fonction factorielle dans leurs menus. Par contre, si n est
trop grand, vous ne pourrez pas calculer n! et il faudra dans ce cas utiliser la formule de
Stirling :
n
n!= nn × 2π ×n avec e≈ ,71828
2
e
Propriétés importantes des combinaisons (à connaître par cœur) :
• Cn =Cn =1
0 n
• Cn =Cn −1=n
1 n
• Cn =Cn −k
k n
• k× n = × n −1
C k n C k −1
• Cn = n−1 + n −1
k Ck− 1 Ck
k=n
(a+ ) ∑k
n
• b = Cn .a .b
k=0
k n−k
k =n
∑ =2
n
• C k
n
k =0
n
∑ ×
k n−k n
• C Ck=0
a b C
= a +b
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3. 4) Exercices d’application
Exercice : démontrez la formule du triangle de Pascal. Rappel : Cn = n−1 + n −1
k Ck− 1 Ck
Exercice : combien de triangles non aplatis peut-on former à partir des 9 points suivants :
Exercice : afin de tester le sens chromatique d’une personne daltonienne, on lui présente une
série de 6 cartons dont 2 sont rouges et 4 sont verts. Les cartons d’une même couleur sont
indiscernables. Combien de séries différentes peut-on lui présenter ?
Exercice : le traitement d’un malade nécessite la prise de 2 sirops différents et de 3 sortes de
cachets. Le médecin dispose de 4 sortes de sirops et de 5 sortes de cachets qui ont des effets
analogues. De combien de façons différentes peut-il rédiger son ordonnance, sachant toutefois
que l’un des sirops dont il dispose ne doit pas être pris en même temps que l’un des cachets
dont il dispose ?
Exercice : une boîte contient 7 vrais billets de montants tous différents et 6 faux, également
de montants tous différents. On tire au hasard, successivement et sans remise, 5 billets.
Combien de résultats amènent 4 vrais billets et 1 faux ?
Exercice : Sur une étagère se trouvent mélangées 7 paires de chaussures noires, 4 paires de
chaussures colorées et 3 paires de chaussures blanches. Chaque paire de chaussure est
différente. Il fait noir et on choisit deux chaussures au hasard.
a) Combien de choix cela représente-t-il ?
b) Combien de ces choix correspondent à deux chaussures de même couleur ?
c) Combien de ces choix correspondent à un pied droit et un pied gauche ?
d) Combien de ces choix correspondent à de vraies paires de chaussures ?
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4. Exercice : il y a quelques années en France, les plaques d’immatriculation ne comportaient
que 4 chiffres (dont le 1er différent de 0), 2 lettres distinctes (et différentes de I et de O) puis le
numéro du département. Combien cela représentait-il de possibilités pour chaque
département ?
Exercice : on choisit 8 cartes d’un jeu de 32.
a) Combien de mains sont possibles ? (une main représente ici un ensemble de 8 cartes non
ordonnées)
b) Combien de mains comportent une dame au moins ?
c) Combien de mains comportent au moins un cœur ou une dame ?
d) Combien de mains ne contiennent que des cartes de 2 couleurs au plus ? (aux cartes, il y a
4 couleurs : pique, carreau, cœur, trèfle)
II) Théorie des ensembles
1) Définition et propriétés des ensembles
Définition d’un ensemble : un ensemble est une collection d'éléments considérée dans sa
totalité.
Système complet d’événements : On dit qu’un système d’événements a1, a2,…an est
complet si tous ces événements sont incompatibles 2 à 2 et que leur union recouvre toutes
les issues possibles de l’expérience.
Définition d’une bijection : Construire une bijection entre un ensemble A et un ensemble B
consiste à mettre en correspondance parfaite les éléments de A avec ceux de B, ce qui n'est
possible que si A et B ont, au sens intuitif, « autant d'éléments l'un que l'autre ».
Principales propriétés des ensembles :
• A∪A=A∩A=A
• A∪ =A
∅
• A∩ = Ø
∅
• si A⊂B alors A∪B=B et A∩B=A
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5. • A∪B=B∪A et A∩B=B∩A
• A∪B∩ )= A∪ )∩A∪ )
( C ( B ( C
• A∩B∪ )= A∩ )∪A∩ )
( C ( B ( C
• A= ∩ + ∩
A B A B
• A∩ = ∪
B A B
• A∪ = ∩
B A B
2) Définition et propriétés des cardinaux
Définition d’un cardinal : Le cardinal d'un ensemble E représente son nombre d'éléments.
On le note card(E).
3) Propriétés des cardinaux :
( )
n
Card(A1∪A2∪ ∪An)=∑ −
k −1
... 1 k =1
∑Card(Ai1∩Ai2∩...∩Aik)
1≤i1<i2<....<ik ≤n
n
Card(A1×A2× ×An)=∏
... Card(Ai) =Card(A1)xCard(A2)xCard(A3)x…xCard(An)
i =1
4) Exercices d’application
Exercice : on place 4 pions numérotés de 1 à 4 sur 3 cases numérotées de 1 à 3. Chaque case
peut contenir de 0 à 4 pions.
a) Dans combien de cas est-ce qu’une case au moins sera vide ?
b) Dans combien de cas aucune case ne sera vide ?
Exercice : Ecrire à l’aide des opérations ensemblistes « ∩ », « ∪ », «  » et à l’aide des
événements A, B, C ou A1, A2,…, An les événements suivants :
a) Au moins un des événements A, B ou C est réalisé.
b) Un et un seul des événements A ou B se réalise.
c) A et B se réalisent mais pas C.
d) Tous les événements An (avec n≥1) se réalisent.
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