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Chapitre 1 : Dénombrement


I) Notions d’arrangement, de combinaisons et de permutations

Exercice introductif : une boîte contient 15 balles vertes, 10 balles jaunes, et 5 balles rouges.
On tire 3 balles au hasard de l’urne, combien cela fait-il de possibilités si les tirages sont :
1) successifs et avec remise ?
2) successifs mais sans remise ?
3) simultanés ?


1) Tirage successif avec remise


303 = 27 000 possibilités de tirages


 Dans le cas général on dit que np est un arrangement de p éléments parmi n avec
 répétition.


2) Tirage successif sans remise


30 x 29 x 28 = 24 360 possibilités de tirages


 Dans le cas général on dit que Anp est un arrangement de p éléments parmi n sans

                        n!
 répétition. On a An =(n−p)! pour tout n≥p.
                    p




                      30!   30× × × × × = × ×
                               29 28 27 ... 1 30 29 28
Dans l’exemple A30 =(30− )!=
                3
                        3      27× × ×
                                  28 ... 1


3) Tirage simultané




                             Cours de Monsieur LOMBARDOT                                           1
A30 30×29×28 =4060 tirages
         3
C30 =
 3         =
        3!    3×2×1


                                       n
 Dans le cas général on dit que Cnp ou   est une combinaison de p éléments parmi n, ou
                                        p
 encore le nombre de façons qu’il y a de choisir p objets parmi n sans tenir compte de

                                   p
                   A
 l’ordre. On a Cn = n =
                 p                      n!
                                  p! p!(n− p)! pour tout n≥p.


 Dans le cas général on dit que n! est une permutation de n objets ou encore le nombre de
 façons de ranger n objet dans un certain ordre. On a           n! n× − × −)××
                                                                  = (n 1) (n 2 ... 1

 Remarque : 0!=1


La plupart des calculatrices ont la fonction factorielle dans leurs menus. Par contre, si n est
trop grand, vous ne pourrez pas calculer n! et il faudra dans ce cas utiliser la formule de
Stirling :
            n

n!= nn × 2π ×n                    avec e≈ ,71828
                                         2

        e
Propriétés importantes des combinaisons (à connaître par cœur) :
    •       Cn =Cn =1
             0   n


    •       Cn =Cn −1=n
             1   n


    •       Cn =Cn −k
             k   n


    •       k× n = × n −1
              C k n C k −1

    •       Cn = n−1 + n −1
             k Ck− 1 Ck


                                       k=n
            (a+ )                  ∑k
                              n
    •          b                  = Cn .a .b
                                       k=0
                                                  k   n−k



            k =n

            ∑ =2
                              n
    •        C        k
                      n
            k =0

                 n
            ∑ ×
                          k        n−k       n
    •        C Ck=0
                          a        b      C
                                         = a +b


                                          Cours de Monsieur LOMBARDOT                        2
4) Exercices d’application


Exercice : démontrez la formule du triangle de Pascal. Rappel : Cn = n−1 + n −1
                                                                 k Ck− 1 Ck




Exercice : combien de triangles non aplatis peut-on former à partir des 9 points suivants :




Exercice : afin de tester le sens chromatique d’une personne daltonienne, on lui présente une
série de 6 cartons dont 2 sont rouges et 4 sont verts. Les cartons d’une même couleur sont
indiscernables. Combien de séries différentes peut-on lui présenter ?


Exercice : le traitement d’un malade nécessite la prise de 2 sirops différents et de 3 sortes de
cachets. Le médecin dispose de 4 sortes de sirops et de 5 sortes de cachets qui ont des effets
analogues. De combien de façons différentes peut-il rédiger son ordonnance, sachant toutefois
que l’un des sirops dont il dispose ne doit pas être pris en même temps que l’un des cachets
dont il dispose ?


Exercice : une boîte contient 7 vrais billets de montants tous différents et 6 faux, également
de montants tous différents. On tire au hasard, successivement et sans remise, 5 billets.
Combien de résultats amènent 4 vrais billets et 1 faux ?


Exercice : Sur une étagère se trouvent mélangées 7 paires de chaussures noires, 4 paires de
chaussures colorées et 3 paires de chaussures blanches. Chaque paire de chaussure est
différente. Il fait noir et on choisit deux chaussures au hasard.
a) Combien de choix cela représente-t-il ?
b) Combien de ces choix correspondent à deux chaussures de même couleur ?
c) Combien de ces choix correspondent à un pied droit et un pied gauche ?
d) Combien de ces choix correspondent à de vraies paires de chaussures ?



                             Cours de Monsieur LOMBARDOT                                      3
Exercice : il y a quelques années en France, les plaques d’immatriculation ne comportaient
que 4 chiffres (dont le 1er différent de 0), 2 lettres distinctes (et différentes de I et de O) puis le
numéro du département. Combien cela représentait-il de possibilités pour chaque
département ?


Exercice : on choisit 8 cartes d’un jeu de 32.
a) Combien de mains sont possibles ? (une main représente ici un ensemble de 8 cartes non
ordonnées)
b) Combien de mains comportent une dame au moins ?
c) Combien de mains comportent au moins un cœur ou une dame ?
d) Combien de mains ne contiennent que des cartes de 2 couleurs au plus ? (aux cartes, il y a
4 couleurs : pique, carreau, cœur, trèfle)


II) Théorie des ensembles

1) Définition et propriétés des ensembles


 Définition d’un ensemble : un ensemble est une collection d'éléments considérée dans sa
 totalité.


 Système complet d’événements : On dit qu’un système d’événements a1, a2,…an est
 complet si tous ces événements sont incompatibles 2 à 2 et que leur union recouvre toutes
 les issues possibles de l’expérience.


 Définition d’une bijection : Construire une bijection entre un ensemble A et un ensemble B
 consiste à mettre en correspondance parfaite les éléments de A avec ceux de B, ce qui n'est
 possible que si A et B ont, au sens intuitif, « autant d'éléments l'un que l'autre ».


Principales propriétés des ensembles :
    •    A∪A=A∩A=A
    •    A∪ =A
           ∅
    •    A∩ = Ø
           ∅
    •   si A⊂B alors A∪B=B et A∩B=A

                              Cours de Monsieur LOMBARDOT                                            4
•    A∪B=B∪A et A∩B=B∩A
   •    A∪B∩ )= A∪ )∩A∪ )
          ( C (   B (  C

   •    A∩B∪ )= A∩ )∪A∩ )
          ( C (   B (  C

   •    A= ∩ + ∩
          A B A B

   •    A∩ = ∪
          B A B

   •    A∪ = ∩
          B A B



2) Définition et propriétés des cardinaux


Définition d’un cardinal : Le cardinal d'un ensemble E représente son nombre d'éléments.
On le note card(E).


3) Propriétés des cardinaux :



                                            ( )
                                      n
Card(A1∪A2∪ ∪An)=∑ −
                                                  k −1
           ...      1                k =1
                                                           ∑Card(Ai1∩Ai2∩...∩Aik)
                                                     1≤i1<i2<....<ik ≤n

                                n
Card(A1×A2× ×An)=∏
           ...    Card(Ai) =Card(A1)xCard(A2)xCard(A3)x…xCard(An)
                             i =1




4) Exercices d’application


Exercice : on place 4 pions numérotés de 1 à 4 sur 3 cases numérotées de 1 à 3. Chaque case
peut contenir de 0 à 4 pions.
a) Dans combien de cas est-ce qu’une case au moins sera vide ?
b) Dans combien de cas aucune case ne sera vide ?


Exercice : Ecrire à l’aide des opérations ensemblistes « ∩ », « ∪ », «  » et à l’aide des
événements A, B, C ou A1, A2,…, An les événements suivants :
a) Au moins un des événements A, B ou C est réalisé.
b) Un et un seul des événements A ou B se réalise.
c) A et B se réalisent mais pas C.
d) Tous les événements An (avec n≥1) se réalisent.



                            Cours de Monsieur LOMBARDOT                                  5

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  • 1. Chapitre 1 : Dénombrement I) Notions d’arrangement, de combinaisons et de permutations Exercice introductif : une boîte contient 15 balles vertes, 10 balles jaunes, et 5 balles rouges. On tire 3 balles au hasard de l’urne, combien cela fait-il de possibilités si les tirages sont : 1) successifs et avec remise ? 2) successifs mais sans remise ? 3) simultanés ? 1) Tirage successif avec remise 303 = 27 000 possibilités de tirages Dans le cas général on dit que np est un arrangement de p éléments parmi n avec répétition. 2) Tirage successif sans remise 30 x 29 x 28 = 24 360 possibilités de tirages Dans le cas général on dit que Anp est un arrangement de p éléments parmi n sans n! répétition. On a An =(n−p)! pour tout n≥p. p 30! 30× × × × × = × × 29 28 27 ... 1 30 29 28 Dans l’exemple A30 =(30− )!= 3 3 27× × × 28 ... 1 3) Tirage simultané Cours de Monsieur LOMBARDOT 1
  • 2. A30 30×29×28 =4060 tirages 3 C30 = 3 = 3! 3×2×1 n Dans le cas général on dit que Cnp ou   est une combinaison de p éléments parmi n, ou  p encore le nombre de façons qu’il y a de choisir p objets parmi n sans tenir compte de p A l’ordre. On a Cn = n = p n! p! p!(n− p)! pour tout n≥p. Dans le cas général on dit que n! est une permutation de n objets ou encore le nombre de façons de ranger n objet dans un certain ordre. On a n! n× − × −)×× = (n 1) (n 2 ... 1 Remarque : 0!=1 La plupart des calculatrices ont la fonction factorielle dans leurs menus. Par contre, si n est trop grand, vous ne pourrez pas calculer n! et il faudra dans ce cas utiliser la formule de Stirling : n n!= nn × 2π ×n avec e≈ ,71828 2 e Propriétés importantes des combinaisons (à connaître par cœur) : • Cn =Cn =1 0 n • Cn =Cn −1=n 1 n • Cn =Cn −k k n • k× n = × n −1 C k n C k −1 • Cn = n−1 + n −1 k Ck− 1 Ck k=n (a+ ) ∑k n • b = Cn .a .b k=0 k n−k k =n ∑ =2 n • C k n k =0 n ∑ × k n−k n • C Ck=0 a b C = a +b Cours de Monsieur LOMBARDOT 2
  • 3. 4) Exercices d’application Exercice : démontrez la formule du triangle de Pascal. Rappel : Cn = n−1 + n −1 k Ck− 1 Ck Exercice : combien de triangles non aplatis peut-on former à partir des 9 points suivants : Exercice : afin de tester le sens chromatique d’une personne daltonienne, on lui présente une série de 6 cartons dont 2 sont rouges et 4 sont verts. Les cartons d’une même couleur sont indiscernables. Combien de séries différentes peut-on lui présenter ? Exercice : le traitement d’un malade nécessite la prise de 2 sirops différents et de 3 sortes de cachets. Le médecin dispose de 4 sortes de sirops et de 5 sortes de cachets qui ont des effets analogues. De combien de façons différentes peut-il rédiger son ordonnance, sachant toutefois que l’un des sirops dont il dispose ne doit pas être pris en même temps que l’un des cachets dont il dispose ? Exercice : une boîte contient 7 vrais billets de montants tous différents et 6 faux, également de montants tous différents. On tire au hasard, successivement et sans remise, 5 billets. Combien de résultats amènent 4 vrais billets et 1 faux ? Exercice : Sur une étagère se trouvent mélangées 7 paires de chaussures noires, 4 paires de chaussures colorées et 3 paires de chaussures blanches. Chaque paire de chaussure est différente. Il fait noir et on choisit deux chaussures au hasard. a) Combien de choix cela représente-t-il ? b) Combien de ces choix correspondent à deux chaussures de même couleur ? c) Combien de ces choix correspondent à un pied droit et un pied gauche ? d) Combien de ces choix correspondent à de vraies paires de chaussures ? Cours de Monsieur LOMBARDOT 3
  • 4. Exercice : il y a quelques années en France, les plaques d’immatriculation ne comportaient que 4 chiffres (dont le 1er différent de 0), 2 lettres distinctes (et différentes de I et de O) puis le numéro du département. Combien cela représentait-il de possibilités pour chaque département ? Exercice : on choisit 8 cartes d’un jeu de 32. a) Combien de mains sont possibles ? (une main représente ici un ensemble de 8 cartes non ordonnées) b) Combien de mains comportent une dame au moins ? c) Combien de mains comportent au moins un cœur ou une dame ? d) Combien de mains ne contiennent que des cartes de 2 couleurs au plus ? (aux cartes, il y a 4 couleurs : pique, carreau, cœur, trèfle) II) Théorie des ensembles 1) Définition et propriétés des ensembles Définition d’un ensemble : un ensemble est une collection d'éléments considérée dans sa totalité. Système complet d’événements : On dit qu’un système d’événements a1, a2,…an est complet si tous ces événements sont incompatibles 2 à 2 et que leur union recouvre toutes les issues possibles de l’expérience. Définition d’une bijection : Construire une bijection entre un ensemble A et un ensemble B consiste à mettre en correspondance parfaite les éléments de A avec ceux de B, ce qui n'est possible que si A et B ont, au sens intuitif, « autant d'éléments l'un que l'autre ». Principales propriétés des ensembles : • A∪A=A∩A=A • A∪ =A ∅ • A∩ = Ø ∅ • si A⊂B alors A∪B=B et A∩B=A Cours de Monsieur LOMBARDOT 4
  • 5. A∪B=B∪A et A∩B=B∩A • A∪B∩ )= A∪ )∩A∪ ) ( C ( B ( C • A∩B∪ )= A∩ )∪A∩ ) ( C ( B ( C • A= ∩ + ∩ A B A B • A∩ = ∪ B A B • A∪ = ∩ B A B 2) Définition et propriétés des cardinaux Définition d’un cardinal : Le cardinal d'un ensemble E représente son nombre d'éléments. On le note card(E). 3) Propriétés des cardinaux : ( ) n Card(A1∪A2∪ ∪An)=∑ − k −1 ... 1 k =1 ∑Card(Ai1∩Ai2∩...∩Aik) 1≤i1<i2<....<ik ≤n n Card(A1×A2× ×An)=∏ ... Card(Ai) =Card(A1)xCard(A2)xCard(A3)x…xCard(An) i =1 4) Exercices d’application Exercice : on place 4 pions numérotés de 1 à 4 sur 3 cases numérotées de 1 à 3. Chaque case peut contenir de 0 à 4 pions. a) Dans combien de cas est-ce qu’une case au moins sera vide ? b) Dans combien de cas aucune case ne sera vide ? Exercice : Ecrire à l’aide des opérations ensemblistes « ∩ », « ∪ », «  » et à l’aide des événements A, B, C ou A1, A2,…, An les événements suivants : a) Au moins un des événements A, B ou C est réalisé. b) Un et un seul des événements A ou B se réalise. c) A et B se réalisent mais pas C. d) Tous les événements An (avec n≥1) se réalisent. Cours de Monsieur LOMBARDOT 5