Séquence 1     Activités numériquesSommaire1. Formulaire p.62. Le second degré p.93. Systèmes d’équations linéaires p.164....
1 Formulaire                             A           Fractions - Racines carrées - Puissances                       Attent...
B         Calculs algébriques - Identités remarquables              développer                            Calculs algébriq...
Valeur absolue                                          x si x ≥ 0                                    Soit r ≥ 0          ...
2 Le second degré         A           Polynômes du second degré    Note                                  1. Définitions   ...
Exemple 2                          −x2 + x + 6 = 0                                         1                            x ...
Δ>0                         Δ=0                           Δ<0Positionde la pa-rabole parrapport àl’axe des                ...
2− 4               2+ 4                                                                Δ = 4 + 12 = 16.      x1 =    = −1 ...
Exemple 8          Le trinôme est un carré parfait                                          Résoudre dans ‫ ޒ‬les deux équ...
a   Solution     Désignons par x le nombre d’amis prévus au départ.                                                       ...
Exercice 2   Sans calculer Δ, résoudre dans ‫ ޒ‬les équations sui-             vantes :             (E 1 ) ( x − 2 008 )(1...
3           Systèmes d’équations                                       linéaires                              A        Sys...
a   Solution                                                                        Coefficients                          ...
Parallélisme                                                            y                      ̈ Équations  réduites      ...
a   Solution   On va résoudre ( S ) en utilisant deux méthodes :                                        ̈ Méthode par subs...
C        Exercices d’application                      a   À vous de jouer…                                            Exer...
Inéquations linéaires       4                     Programmation linéaire               A              Inéquations linéaire...
Étape 4                  Tout point M( x ; y ) situé en dessous   Tout point M( x ; y ) situé au-des-                     ...
C       Programmation linéaire                 Exemple 15          Une couturière fabrique des pantalons suivant deux     ...
ᕢ Soit Ᏸ la droite d’équation 2x + 3y = 30, ou en-                                                                        ...
ᕣ a) Le bénéfice b est tel que b = 60 x + 40y                                         b) Soit Δ la droite d’équation 240 =...
ᕣ Exprimer en fonction de x et y la dépense d cor-                                                    respondant à l’achat...
ÿx + 3y ≥ 21 ⇔                                         droite Δ’ de      1                                            dép...
D      Exercices d’application                      a   À vous de jouer…                                       Exercice 10...
Déterminer graphiquement tous les couples ( x ; y )  qui permettent de réaliser un chiffre d’affaires de  1 920 000 euros....
5 Corrigés des exercices                                       Exercice 1      ᕡ ̈ P ( x ) = x 2 + 12x + 35 = 0.          ...
Exercice 2   ̈   (E 1 )   ( x − 2 008 )(1 789x + 1) = 0Surtout ne pas développer.                  x − 2 008 = 0 ou 1 789x...
Exercice 3   ̈   (I1 )       x 2 + 12x + 35 ≥ 0.                      Méthode 2                                Dans l’exer...
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  1. 1. Séquence 1 Activités numériquesSommaire1. Formulaire p.62. Le second degré p.93. Systèmes d’équations linéaires p.164. Inéquations linéaires - Programmation linéaire p.215. Corrigés des exercices p.30 Séquence 1 5 Cned – Académie en ligne
  2. 2. 1 Formulaire A Fractions - Racines carrées - Puissances Attention Fractions Racines carrées ̈ On ne peut addition- ner que des frac- a a ×c a ÷c a ×b = a × b tions qui ont même = = b b ×c b ÷c ( a ≥ 0 et b ≥ 0 ) dénominateur. a ac a b a +b a a ̈ = + = = ( a ≥ 0 et b > 0 ) b b d d d b b c a c a ×c a × = a n = ( a )n b = a b d b ×d ̈ ( a ≥ 0 et n entier ) c bc a c a d a ×d a si a ≥ 0 : = × = a2 = =a b d b c b ×c −a si a ≤ 0 Attention Puissances ̈ Ne pas confondre Soit a et b deux réels non nuls. 2−3 et −23 Soit m et n deux entiers relatifs. 1 1 2−3 = 3 = 2 8 a −n = 1 ( ab )n = an × bn ( am )n = amn n et −23 = −8 a ̈ 00 n’existe pas. am × an = am + n ⎛a⎞ n an am = = am –n ⎜b⎟ ⎝ ⎠ n bn a Cas particuliers a 0 = 1 (a ≠ 0 ) 0n = 0 (n ≠ 0 ) 1n = 1−n = 1 6 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  3. 3. B Calculs algébriques - Identités remarquables développer Calculs algébriques Identités remarquables a (b + c ) = ab + ac a(b + c ) = ab + ac (a + b )2 = a2 + 2ab + b2 factoriser Produit en croix (bd ≠ 0 ) (a − b )2 = a2 – 2ab + b2 a c Ne pas oublier le dou-̈ a 2 + b 2 ne se factorise pas. = ⇔ ad = bc b d ble produit 2ab. ab = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0 (a − b )(a + b ) = a2 − b2 C Ordre dans ‫ - ޒ‬Valeur absoluea ≤b ⇔a −b ≤0 Ordre dans ‫ޒ‬a ≤b ⇔b −a ≥0 Pour tout c réel : a ≤ b ⇔ a + c ≤ b + c Addition ⎧a ≤ bPoint méthode Si ⎨ alors a + c ≤ b + d ⎩c ≤ d Pour comparer 2 nombres on peut étu- si c > 0 alors ac ≤ bc Si a ≤ b et dier le signe de leur Multiplica- si c < 0 alors ac ≥ bc différence (ce n’est tion ⎧0 ≤ a ≤ x ≤ b pas la seule métho- Si ⎨ alors 0 ≤ ac ≤ xy ≤ bd de…) ⎪0 ≤ c ≤ y ≤ d ⎩ Carrés Si 0 ≤ a et  0 ≤ b alors a ≤ b ⇔ a2 ≤ b2 2 2 Si a ≤ 0 et  b ≤ 0 alors a ≤ b ⇔ a ≥ b x3 x2 1 1 Si 0 < a et  0 < b alors a ≤ b ⇔ ≤ b a Inverses 1 1 Si a < 0 et  b < 0 alors a ≤ b ⇔ ≤ x b a 1 Racines carrées Si 0 ≤ a et 0 ≤ b alors a ≤ b ⇔ a ≤ b illustration Comparai- 3 2 son de a, Si 0 < a < 1 alors a < a < a < 1 graphique a2 et a3 O 1 (a > 0 ) Si 1 < a alors 1 < a < a2 < a3 Séquence 1 7 Cned – Académie en ligne
  4. 4. Valeur absolue x si x ≥ 0 Soit r ≥ 0 x = − x si x ≤ 0 x = r ⇔ x = r ou x = −r x ≥ 0 et − x = x x ≤r ⇔ x ∈ [ −r ; r ] x x xy = x × y ; = (y ≠ 0) y y x ≥ r ⇔ x ≤ −r ou x ≥ r xn = x n (n entier ) x − c ≤ r ⇔ x ∈ [c − r ; c + r ] x = y ⇔ x = y ou x = −y x − c ≥ r ⇔ x ≤ c − r ou x ≥ c + r Représentation graphique. x Յr x–c Յ r x уr x–c у r –r O r c–r c c+r 8 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  5. 5. 2 Le second degré A Polynômes du second degré Note 1. Définitions On parle souvent, par ̈ Un polynôme P du second degré (on dit le plus sou- abus de langage, du vent trinôme) peut s’écrire, pour tout x réel, sous la trinôme ax 2 + bx + c . forme P ( x ) = ax 2 + bx + c avec a, b, c réels et a ≠ 0. ̈ Les racines du trinôme ax 2 + bx + c sont, si elles exis- 2 tent, les solutions de l’équation ax + bx + c = 0. 2 ̈ Le discriminant du trinôme ax + bx + c est le nom- Attention 2 bre réel, noté Δ, défini par Δ = b – 4ac. Le coefficient a de x2 ̈ Tout trinôme P ( x ) = ax 2 + bx + c peut s’écrire sous est toujours non nul. forme canonique : b P ( x ) = a( x − α )2 + β avec α = − et β = P ( α ) 2a Exemple 1 Soit P(x) = –2x2 – 3x + 5 Calculer le discriminant du trinôme P ( x ). a Solution P ( x ) est un trinôme où a = −2, b = −3, c = 5. Δ = b2 − 4ac = ( −3)2 − 4( −2)(5) = 9 + 40. Δ = 49 2. Équation ax 2 + bx +c = 0 (avec a ≠ 0). Factorisation Δ = b 2 – 4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0Solutions (ou racines) 2 solutions distinctes 1 racine double pas de racinede ax 2 + bx + c = 0 −b − Δ α=− b x1 = 2a 2a (on a posé α = x1 = x2) −b + Δ x2 = 2a 2Factorisation de 2 ⎛ b⎞ pas de a( x − x1 )( x − x2 ) a( x − α ) = a ⎜ x + ⎟ax 2 + bx + c ⎝ 2a ⎠ factorisation Séquence 1 9 Cned – Académie en ligne
  6. 6. Exemple 2 −x2 + x + 6 = 0 1 x 2 − 2x + 3 = 0 ̈ ̈ 2x 2 + 2x + = 0 ̈ 2 Δ = 12 − 4( −1)( 6 ) = 25 ⎛ 1⎞ Δ = 22 − 4(2)⎜ ⎟ = 0 Δ = ( −2)2 − 4(1)( 3) = −8 −1 − 5 ⎝ 2⎠ x1 = =3 Δ < 0, pas de racine −2 2 1 α=− =− −1 + 5 4 2 x2 = = −2 −2 ⎧ 1⎫ ᏿ = ⎨− ⎬ ⎩ 2⎭ ᏿ =∅ ᏿ = { −2 ; 3} 2 1 ⎛ 1⎞ ̈ − x 2 + x + 6 = −( x − 3 )( x + 2 ) ̈ 2x 2 + 2x + = 2⎜ x + ⎟ ̈ Pas de factorisation 2 ⎝ 2⎠ 3. Représentation graphique d’une fonction trinôme La courbe représentative de la fonction trinôme f défi- nie par f(x) = ax 2 + bx + c (avec a ≠ 0 ) est une parabo- b le ᏼ de sommet S(α ; β ) avec α = − et β = f ( α ) 2a (pour l’allure de la parabole voir le paragraphe suivant). B Signe du trinôme P(x) = ax2 + bx + c avec a ≠ 0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 Position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses. x1 x2 α x x x Signe de a > 0 P(x) + 0 – 0 + P(x) + 0 + P(x) + P(x). signe de –a signe de a signe de a signe de a 10 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  7. 7. Δ>0 Δ=0 Δ<0Positionde la pa-rabole parrapport àl’axe des x1 x2 αabscisses. x x x P(x) – 0 + 0 – P(x) – 0 – P(x) –Signe de a <0P(x). signe de –a signe de a signe de a signe de a Exemple 3 Résoudre dans ‫ ޒ‬l’inéquation : 1 3x 2 + x − 1 < 0. 2 2 2 a Solution ⎛ 1⎞ 1 49 ⎛ 7⎞ Δ = ⎜ ⎟ − 4( 3)( −1) = + 12 = d’où Δ = ⎜ ⎟ . ⎝ 2⎠ 4 4 ⎝ 2⎠ 1 7 1 7 − − − + 2 2 = − 8 = −2 1 x1 = et x2 = 2 2 = . 6 12 3 6 2 2 1 Allure de la parabole d’équation y = 3x + x − 1. 2 ⎤ 2 1⎡ 1 ᏿ = ⎥− ; ⎢ 2 3 2 ⎦ 3 2⎣ 2 y Exemple 4 Soit ᏼ la parabole d’équation y = x − x − 2 et Ᏸ la 4 B droite d’équation y = x + 1. ᏼ Étudier les positions relatives des deux courbes. 3 a Solution On cherche à situer la parabole par rapport à la droite 2 (au-dessus ; en dessous). Pour cela on étudie le si- 1 gne de la différence d ( x ) = x 2 − x − 2 − ( x + 1). A x On a donc d ( x ) = x 2 − 2x − 3. –1 O 1 2 3 Ᏸ Séquence 1 11 Cned – Académie en ligne
  8. 8. 2− 4 2+ 4 Δ = 4 + 12 = 16. x1 = = −1 et x2 = = 3. –1 3 2 2 Allure de la parabole d’équation y = x 2 − 2x − 3. Conclusion • ᏼ est au-dessus de Ᏸ sur ] − ∞ ; − 1[ et sur ]3 ; + ∞[ ; • ᏼ est en dessous de Ᏸ sur ]− 1 ; 3[ ; • ᏼ coupe Ᏸ aux points A( −1 ; 0 ) et B( 3 ; 4 ). C Équations où le calcul de Δ n’est pas nécessaire Exemple 5 Équation produit Résoudre dans ‫ ޒ‬l’équation ( −2x + 3)(5 + x ) = 0. a Solution −2x + 3 = 0 ou 5 + x = 0 3 Ne pas développer (on obtien- x= ou x = −5. drait : −2x 2 − 7x + 15 = 0 2 et Δ = 169 ) ⎧ 3⎫ ᏿ = ⎨−5 ; ⎬ ⎩ 2⎭ Exemple 6 Équation incomplète ax2 + bx = 0 2 Résoudre dans ‫ ޒ‬l’équation 3x − 5x = 0. a Solution x ( 3x − 5) = 0 d’où x = 0 ou 3x − 5 = 0. ⎧ 5⎫ On met x en facteur. ᏿ = ⎨0 ; ⎬ ⎩ 3⎭ Exemple 7 Équation incomplète ax2 + c = 0 Résoudre dans ‫ ޒ‬les deux équations suivantes : (E 1 ) x 2 − 5 = 0 ; (E 2 ) 2x 2 + 1 = 0. a Solution (E 1 ) est une différence (E 2 ) est une somme de Rappel de deux carrés. deux carrés. 2 x − 5 = ( x − 5 )( x + 5 ). On a donc, pour tout x a 2 − b 2 = (a − b )(a + b ) réel, 2x 2 + 1 > 0. 2 x − 5 = 0 ⇔ x − 5 = 0 L’équation 2x 2 + 1 = 0 Si a et c sont de même signe, ou x + 5 = 0. n’a pas de solution. alors ax + c = 0 n’a pas de so- 2 ᏿ =∅ lution. ᏿ = { − 5 ; 5 }. 12 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  9. 9. Exemple 8 Le trinôme est un carré parfait Résoudre dans ‫ ޒ‬les deux équations suivantes : 1 (E 3 ) x 2 + x + = 0 ; (E 4 ) 4 x 2 − 12x + 9 = 0. 4 1 a Solution (E 3 ) x 2 + x + = (E 4 ) 4 x 2 − 12x + 9 = 4 ⎛ 2 (2x − 3)2 1⎞ ⎜ x + 2⎟ ⎝ ⎠ 3 (2x − 3)2 = 0 ⇔ x = . 2 2 ⎛ 1⎞ 1 ⎜ x + 2⎟ = 0 ⇔ x = − 2 . ⎝ ⎠ ⎧ 1⎫ ⎧3 ⎫ ᏿ = ⎨− ⎬ ᏿ =⎨ ⎬ ⎩ 2⎭ ⎩2⎭ D Situations du second degré Exemple 9 Résolution d’une équation « bicarrée » Résoudre dans ‫ ޒ‬l’équation (E ) 4 x 4 − 17x 2 − 15 = 0. Solution a En posant x 2 = X l’équation (E ) s’écrit sous la formeUne équation bicarrée est de la 4 X 2 − 17X − 15 = 0, avec X ≥ 0.f o r m e : ax 4 + bx 2 + c = 0 a v e ca ≠ 0. Δ = ( −17 )2 − 4( 4 )( −15) = 529 et Δ = 232. 17 − 23 6 3 17 + 23 X1 = = − = − et X2 = = 5.Point méthode 8 8 4 8 3 Pour résoudre une • x 2 = − est impossible. 4 équation bicarrée on 2 pose x 2 = X . • x = 5 ⇔ x = − 5 ou x = 5. ᏿ = {− 5 ; 5 } Exemple 10 Étude d’une situation concrète Plusieurs amis décident de partir ensemble en voyage. Le séjour coûte en tout 3 600 €. En amenant trois personnes supplémentaires, la part de chacun serait diminuée de 60 €. Déterminer le nombre d’amis au départ et calculer alors la part initiale de chacun d’eux. Séquence 1 13 Cned – Académie en ligne
  10. 10. a Solution Désignons par x le nombre d’amis prévus au départ. On peut présenter la situation dans un tableau. Nombre de Part de chacun, personnes en € 3 600 Situation initiale x La part ini- x tiale est di- Si 3 personnes minuée de x +3 3 600 3 600 supplémentaires = − 60 60 € x +3 x Résolvons 3 600 = 3 600 − 60 qui s’écrit aussi : x +3 x 3 600 3 600 − 60x = . x +3 x Le produit en croix nous donne : 3 600x = ( x + 3)( 3 600 − 60x ). Attention En simplifiant par 60 on obtient : 60x = ( x + 3)( 60 − x ). 2 2 Dans une situation D’où x + 3x − 180 = 0. Δ = 9 + 720 = 729 et 729 = 27 . concrète il arrive que −3 − 27 −3 + 27 toutes les solutions x1 = = −15 ; x2 = = 12. 2 2 possibles ne convien- nent pas. Seule la racine positive x2 convient. 3 600 3 600 Pour x = 12 on a = = 300. x 12 Au départ il y a 12 amis, la part initiale étant égale à 300 €. E Exercices d’application a À vous de jouer… Exercice 1 On considère les trinômes P, Q et R définis par : 1 P ( x ) = x 2 + 12x + 35 ; Q( x ) = − x 2 + 2x − ; 2 R ( x ) = 2x 2 − 4 x + 3. ᕡ Résoudre dans ‫ ޒ‬les trois équations suivantes : P ( x ) = 0 ; Q( x ) = 0 ; R ( x ) = 0. ᕢ Mettre, si possible, les trinômes P, Q, R sous forme d’un produit de facteurs du premier degré. 14 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  11. 11. Exercice 2 Sans calculer Δ, résoudre dans ‫ ޒ‬les équations sui- vantes : (E 1 ) ( x − 2 008 )(1 789x + 1) = 0 ; (E 2 ) 121x 2 − 143x = 0 ; (E 3 ) 25x2 + 20x + 4 = 0 ; (E 4 ) (2x − 3)2 − 5 = 0.Exercice 3 Résoudre dans ‫ ޒ‬les trois inéquations suivantes : (I1 ) x 2 + 12x + 35 ≥ 0 ; (I2 ) − x 2 + 3x − 5 < 0 ; (I3 ) (2x − 3)( 4 − x ) > 0.Exercice 4 Résoudre dans ‫ ޒ‬les deux équations bicarrées sui- vantes : (B1 ) x 4 + 7x 2 + 10 = 0 ; (B2 ) x 4 − 11x 2 + 18 = 0.Exercice 5 Soit ᏼ la parabole représentant la fonction trinôme définie sur ‫ ޒ‬par f ( x ) = − x 2 − 4 x + 3. ᕡ Déterminer les coordonnées du sommet S de la pa- rabole ᏼ. ᕢ Déterminer les coordonnées des points où ᏼ cou- pe l’axe des abscisses et situer ᏼ par rapport à cet axe. ᕣ Situer ᏼ par rapport à la droite Ᏸ d’équation y = −2x . Séquence 1 15 Cned – Académie en ligne
  12. 12. 3 Systèmes d’équations linéaires A Systèmes de deux équations à deux inconnues (dit "2 ϫ 2") 1. Résolution algébrique - Méthode dite de « substitution » Exemple 11 Résoudre, par la méthode de substitu- tion, le système (S) suivant : ⎧−2x + 3y − 9 = 0 L1 ⎪ (S ) ⎨ ⎪ 6x + 8y − 7 = 0 L2 ⎩ 2 a Solution En isolant y dans L1 on obtient : y = x + 3. 3 ⎧ 2 ⎧ 2 ⎪y = x + 3 ⎪y = x + 3 Point méthode ⎪ 3 ⎪ 3 (S ) ⇔ ⎨ ⇔⎨ ⎛2 ⎞ 34 On isole l’une des in- ⎪6x + 8 x + 3 − 7 = 0 ⎪ x + 17 = 0 ⎪ ⎜3 ⎟ ⎪3 connues (soit x, soit y) ⎩ ⎝ ⎠ ⎩ dans l’une des équa- ⎧ 2 tions et on la rempla- ⎪y = x + 3 ⎧ 3 ce dans l’autre. ⎪ 3 ⎪x = − (S ) ⇔ ⎨ ⇔⎨ 2 ⎪ x = − 3 × 17 = − 3 ⎪y = 2 ⎪ ⎩ ⎩ 34 2 Le système ( S ) possède un couple solution unique. ⎧⎛ 3 ⎪ ⎞⎫⎪ ᏿ = ⎨⎜ − ; 2⎟ ⎬ ⎪⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ 2. Résolution algébrique - Méthode des combinaisons linéaires On reprend le même exemple 11. 16 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  13. 13. a Solution Coefficients multiplicateursPoint méthode En multipliant L1 par ⎧−2x + 3y − 9 = 0 ⎪ –8 3 –8, L2 par 3 et en (S ) ⎨ faisant la somme, les ⎪ 6x + 8y − 7 = 0 ⎩ 3 1 « termes en y » s’an- nulent. ⎧16x − 24y + 72 = 0 ⎪ ⎧−6 x + 9y − 27 = 0 ⎪ Pour éliminer x, on (S ) ⎨ (S ) ⎨ choisit 3 et 1. ⎩18x + 24 y − 21 = 0 ⎪ ⎩ 6x + 8y − 7 = 0 ⎪ 34 x + 51 = 0 17y − 34 = 0 On obtient un nouveau système : ⎧−8 L1 + 3 L2 ⎪ (S ) ⎨ ⎧ 3 ⎩3 L1 + 1 L2 ⎪ ⎧34 x + 51 = 0 ⎪ x = − ( S ) ⎨ ⇔⎨ 2 ⎪17y − 34 = 0 ⎪ ⎩ ⎩y = 2 ⎧⎛ 3 ⎪ ⎞⎪⎫ ᏿ = ⎨⎜ − ; 2⎟ ⎬ ⎪⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ 3. Résolution graphique On reprend encore le même exemple 11. a Solution ̈ −2x + 3y − 9 = 0 est l’équation cartésienne d’une droite (d1 ). ̈ 6x + 8y − 7 = 0 est l’équation cartésienne d’une Mémo droite (d2 ). Toute droite (d) a une équation carté- sienne de la forme Déterminons les équations réduites de (d1 ) et (d2 ). ax + by + c = 0 2 −2x + 3y − 9 = 0 ⇔ 3y = 2x + 9 ⇔ y = x + 3. avec (a ; b ) ≠ (0 ; 0). 3 ̈ Si b ≠ 0 ,alors (d) 3 7 6x + 8y − 7 = 0 ⇔ 8y = −6x + 7 ⇔ y = − x + . n’est pas parallèle à 4 8 l’axe des ordonnées Traçons (d1 ) et (d2 ) dans un repère du plan. et son équation ré- duite est y = mx + p. x –3 0 3 x –1,5 0,5 2,5 ̈ Si b = 0 , alors (d) (d1) (d2) y 1 3 5 y 2 0,5 –1 est parallèle à l’axe des ordonnées et a pour équation x = k. Voir le graphique en page suivante. Séquence 1 17 Cned – Académie en ligne
  14. 14. Parallélisme y ̈ Équations réduites 5 (d1) La droite (d) d’équation y = mx + p a pour coefficient point b 4 directeur m = − . solution a (d ) y = mx + p 3 (d ) y = m x + p K 3 2 (d ) //(d ) ⇔ m = m 1 ̈ Équations cartésiennes (d ) ax + by + c = 0 x (d ) a x + b y + c = 0 –3 –2 3 –1 O 1 2 3 – 2 (d ) //(d ) ⇔ ab − a b = 0 –1 (d2) Attention Résoudre le système ( S ) revient à chercher les coor- données du point d’intersection, s’il existe, des droi- Un graphique ne per- tes (d ) et (d2 ). 1 met pas de connaître avec certitude les ⎛ 3 ⎞ coordonnées d’un Les droites (d1 ) et (d2 ) se coupent en K ⎜ − ; 2⎟ . ⎝ 2 ⎠ point d’intersection. ⎧⎛ 3 ⎞⎫ ⎪ ⎪ ᏿ = ⎨⎜ − ; 2⎟ ⎬ . ⎪⎝ 2 ⎠ ⎪ ⎩ ⎭ ̈ Remarque En calculant ab − a b = ( −2)( 8 ) − ( 6 )( 3) = −34 on peut affirmer que (d1) et (d2) ne sont pas parallèles : elles sont donc sécantes et le système possède une solution unique. B Systèmes de trois équations à trois inconnues (dit « 3 ϫ 3 ») Exemple 12 Résoudre le système : Point méthode La résolution d’un ⎧ x − y + 2z = 6 [E ] 1 système « 3 ϫ 3 » ⎪ ⎪ ( S ) ⎨4 x + 2y − z = −3 [E 2 ] peut se ramener à ⎪ celle d’un système ⎪3x + 3y − 2z = −7 [E 3 ] ⎩ « 2 ϫ 2 ». 18 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  15. 15. a Solution On va résoudre ( S ) en utilisant deux méthodes : ̈ Méthode par substitution ; ̈ Méthode par combinaisons. Méthode par substitution Méthode par combinaisonsÉtape 1 Étape 1On exprime l’une des inconnues en fonc- On élimine l’une des inconnues (par exem-tion des deux autres. ple z) pour obtenir un système 2 × 2 où les inconnues sont x et y .[E 1 ] x = y − 2z + 6 ⎧ x − y + 2z = 6 1 1Étape 2 ⎪On remplace, dans les deux autres équa- ⎨4 x + 2y − z = −3 2 ⎪3x + 3y − 2z = −7 1tions, l’inconnue par son expression en ⎩fonction des deux autres. x − y + 2z = 6 x − y + 2z = 6[E 2 ] 4( y − 2z + 6 ) + 2y − z = −3 + + 3x + 3y − 2z = −7 8x + 4y − 2z = −6 6y − 9z = −27 ⇔ 2y − 3z = −9 4 x + 2y = −1 9x + 3y = 0[E 3 ] 3( y − 2z + 6 ) + 3y − 2z = −7 6y − 8z = −25 Étape 2Étape 3 On résout par combinaisons le nouveau système ( S ) obtenu.On résout le nouveau système ( S ) obtenu. ⎧ ⎪4 x + 2y = −1 1 3 ⎧ 3z − 9 ( S ) ⎨ ⎪y= ⎩3x + y = 0 ⎪ −2 −4 ⎧2y − 3z = −9 ⎪ ⎪ 2( S ) ⎨ ⇔⎨ 4 x + 2y = −1 12x + 6y = −3 ⎩6y − 8z = −25 ⎪6 ⎛ 3z − 9 ⎞ − 8z = −25 + ⎪ + ⎪ ⎝⎜ 2 ⎟ ⎠ −6x − 2y = 0 −12x − 4y = 0 ⎩ ⎧ 3z − 9 ⎧ 3 −2x = −1 2y = −3 ⎪y = ⎪y = −⇔⎨ 2 ⇔⎨ 2 1 3 ⎪z = 2 ⎪z = 2 d’où x = ; y =− ⎩ ⎩ 2 2 3 1 dans [E 2 ] z = 4 x + 2y + 3 = 2.On obtient x = − − 4 + 6 = . 2 2Étape 4 Étape 3On vérifie la solution obtenue On vérifie la solution obtenue. 1 3 1 3[E 1 ] + + 4 = 6 vrai [E 1 ] + + 4 = 6 vrai 2 2 2 2[E 2 ] 2 − 3 − 2 = −3 vrai [E 2 ] 2 − 3 − 2 = −3 vrai 3 9[E 3 ] − − 4 = −7 vrai 3 9 2 2 [E 3 ] − − 4 = −7 vrai 2 2Étape 5 Conclusion Étape 4 ConclusionLe système ( S ) admet un triplet solution. Le système ( S ) admet un triplet solution. ⎧⎛ 1 ⎪ 3 ⎞⎫⎪ ᏿ = ⎨⎜ ; − ; 2⎟ ⎬ ⎧⎛ 1 ⎞⎫ ⎪⎝ 2 2 ⎠⎪ ⎪ 3 ⎪ ⎩ ⎭ ᏿ = ⎨⎜ ; − ; 2⎟ ⎬ ⎪⎝ 2 ⎩ 2 ⎠⎪ ⎭ Séquence 1 19 Cned – Académie en ligne
  16. 16. C Exercices d’application a À vous de jouer… Exercice 6 Résoudre les systèmes suivants et interpréter graphi- quement les résultats : Calculer d’abord ab − a b. ⎧ ⎧−3x + 5y = −3 ⎪−3x + 5y = −3 ⎪ ( S1 ) ⎨ ( S2 ) ⎨ 1 5 ⎩ x + 3y = 5 ⎪ ⎪ x − y =1 ⎩2 6 ⎧4 x − y = 3 ⎪ ( S3 ) ⎨ 2 1 1 ⎪ x− y = ⎩3 6 2 Exercice 7 Le plan étant muni d’un repère, on considère les trois points A( −3 ; − 1), B( 0 ; 3), C (2 ; − 2). Faire une figure et déterminer une équation de cha- cune des droites ( AB ),(BC ),( AC ). Exercice 8 Résoudre les systèmes : ⎧1 2 Pour (S 2 ) on posera : ⎧ x − y = 10 ⎪ ⎪ − y = −4 ⎪ 1 ( S1 ) ⎨ 2 2 ( S2 ) ⎨ x = X et y 2 = Y . ⎩ x − y = 40 ⎪ ⎪ 2 + 3y 2 = 2 x ⎪ ⎩x Exercice 9 Résoudre les systèmes suivants : ̈ Résoudre (S1) par combinaisons. ⎧2x − y + z = 0 ⎧x y z ̈ Pour (S 2 ) on pose : ⎪ ⎪ = = ( S1 ) ⎨− x + 4y + 2z = −1 ( S2 ) ⎨ 3 4 5 x y z ⎪3x − 4y + 6z = −4 ⎪5x − 4y + 3z = 7 = = =t ⎩ 3 4 5 ⎩ et on détermine d’abord t. 20 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  17. 17. Inéquations linéaires 4 Programmation linéaire A Inéquations linéaires à deux inconnues Exemple 13 Résoudre graphiquement les deux inéqua- tions suivantes : (I1 ) x − 3y − 6 ≥ 0 ; (I2 ) 3x + 2y − 7 ≥ 0. ( I1 ) x − 3 y − 6 ≥ 0 ( I2 ) 3 x + 2 y − 7 ≥ 0Étape 1 1 3 7On isole l’inconnue y. y ≤ x −2 y ≥− x+ 3 2 2Étape 2 1 3 7On trace la droite (d) (d1) a pour équation y = 3 x − 2 (d2) a pour équation y = − x + 2 2d’équation y = mx + p. x 0 2 3 x –1 1 3Il est conseillé de choi- 4sir 3 points pour tracer y –2 − –1 y 5 2 –1une droite. 3Étape 3 y yOn détermine le demi-plan qui convient. 5 5 y > mx + p 4 4 y = mx + p demi-plan solution 3 3 y < mx + p 2 2On colorie le demi-plan 1 1solution. x x –1 O 1 2 3 –1 O 1 2 3 –1 –1 –2 –2 (d2) (d1) demi-plan solution Séquence 1 21 Cned – Académie en ligne
  18. 18. Étape 4 Tout point M( x ; y ) situé en dessous Tout point M( x ; y ) situé au-des- Conclusion. de (ou sur) (d1 ) a des coordonnées sus de (ou sur) (d2 ) a des coordon- vérifiant l’inéquation (I1 ). nées vérifiant l’inéquation (I2 ). Cet ensemble est colorié sur le gra- Cet ensemble est colorié sur le gra- phique (frontière incluse). phique (frontière incluse). B Systèmes d’inéquations linéaires à deux inconnues Exemple 14 Résoudre graphiquement le système : ⎧ x − 3y − 6 ≥ 0 ⎪ (S ) ⎨ ⎪3x + 2y − 7 ≥ 0 ⎩ a Solution Le système ( S ) est formé des deux inéquations de l’exemple 13. Point méthode Il suffit de faire un seul graphique sur lequel on indi- quera la région solution. On résout séparé- y ment chacune des inéquations du sys- 5 tème. 4 Étape 1 On trace : (d 1) x − 3y − 6 = 0 3 (d 2 ) 3x + 2y − 7 = 0 2 Étape 2 On détermine chaque demi-plan solution. 1 Étape 3 6 On détermine la région solution. 5 x –1 O 1 2 3 4 Étape 4 Ne pas oublier de faire une phra- –1 se de conclusion. région qui –2 convient (d1) Par convention on hachure ce (d2) qui ne convient pas. Conclusion Tout point M( x ; y ) situé dans la région coloriée a des coordonnées vérifiant le sys- tème (frontières incluses). 22 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  19. 19. C Programmation linéaire Exemple 15 Une couturière fabrique des pantalons suivant deux modèles A et B. Elle dispose de 15 m de tissu par se-La programmation linéaire est maine et travaille 40 heures par semaine.la recherche du maximum ou du Le modèle A nécessite 1 m de tissu et 4 h de travail.minimum d’une fonction économi- Le modèle B nécessite 1,5 m de tissu et 2 h de travail.que, compte tenu de certaines On note x le nombre de pantalons du modèle A et ycontraintes représentées par des le nombre de pantalons du modèle B fabriqués paréquations ou des inéquations. semaine. ᕡ Montrer que les productions hebdomadaires de la couturière sont soumises aux contraintes suivantes : ⎧ x ≥ 0 et y ≥ 0 ( x et y entiers ) ⎪ ⎨2x + 3y ≤ 30 ⎪2x + y ≤ 20 ⎩ ᕢ Représenter graphiquement les contraintes de pro- duction dans un repère orthonormal (O ; i , j ). On choisira 1 cm comme unité graphique. ᕣ Sur un pantalon du modèle A la couturière fait un bénéfice de 60 € et sur un pantalon du modèle B un bénéfice de 40 €. On suppose qu’elle vend toute sa production. a) Exprimer, en fonction de x et y, le bénéfice heb- domadaire b qu’elle peut réaliser. b) Représenter sur le graphique précédent les cou- ples ( x ; y ) qui permettent de réaliser un béné- fice de 240 €. c) Déterminer graphiquement le nombre de panta- lons de chaque modèle à fabriquer par semaine pour que le bénéfice soit le plus grand possible. Quel est alors le bénéfice réalisé ? a Solution ᕡ La couturière fabrique un nombre entier de panta- lons ce qui implique x ∈» et y ∈». D’où x ≥ 0 et y ≥ 0. ̈ Contrainte tissu : x + 1,5y ≤ 15, soit 2x + 3y ≤ 30. ̈ Contrainte horaire : 4 x + 2y ≤ 40, soit 2x + y ≤ 20. Voici le système d’inéquations traduisant toutes les contraintes. ⎧ x ≥ 0 et y ≥ 0 ( x et y entiers ) ⎪ ⎨2x + 3y ≤ 30 ⎪2x + y ≤ 20 ⎩ Séquence 1 23 Cned – Académie en ligne
  20. 20. ᕢ Soit Ᏸ la droite d’équation 2x + 3y = 30, ou en- 1 2 core y = − x + 10. 3 Soit Ᏸ 2 la droite d’équation 2x + y = 20, ou en- core y = −2x + 20. On choisit, si possible, des coor- x 0 3 6 x 5 6 10 données entières. Ᏸ1 Ᏸ2 y 10 8 6 y 10 8 0 ̈ x ≥0 est y vérifié pour tout point M droite Δ’ de situé à droite bénéfice maximal de l’axe des 10 y = – 3 x + 16 ordonnées. 2 ̈ y ≥ 0 est vé- rifié pour tout point M situé au-dessus de l’axe des abs- cisses. cette 6 région ̈ point convient solution 2x + 3y ≤ 30 ⇔ I K (8 ; 4) 2 y ≤ − x + 10 3 4 Tout point M K situé en des- 3 sous de Ᏸ 1 Ᏸ1 convient. y=– 3x+6 2 ̈ 2x + y ≤ 20 ⇔ 1 y ≤ −2x + 20 Ᏸ2 Tout point M x O 1 2 4 8 10 Δ’ situé en des- Δ sous de Ᏸ 1 convient. ̈ La région coloriée est appelée « polygone des contraintes ». Conclusion ̈ Ᏸ 1 et Ᏸ 2 se coupent en I (7,5 ; 5). Tout point M( x ; y ) ayant des coordonnées en- L’abscisse de I n’est pas un nom- tières et situé dans la région coloriée a des coor- bre entier. données vérifiant le système des contraintes ̈ C’est en K (8 ; 4) que le béné- (frontières incluses). fice est maximal. 24 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  21. 21. ᕣ a) Le bénéfice b est tel que b = 60 x + 40y b) Soit Δ la droite d’équation 240 = 60x + 40y , soit 3 encore 3x + 2y = 12 ou y = − x + 6. 2 Δ passe par les points ( 0 ; 6 ) et ( 4 ; 0 ). Sur cette droite il n’y a que 3 points à coordonnées entières. Les 3 couples qui permettent de réaliser un béné- fice de 240 € sont : ( 0 ; 6 ) ( 2 ; 3 ) ( 4 ; 0 ).̈ Les droites Δ b sont toutes paral- c) Soit Δb la droite d’équation b = 60x + 40y , ou en- lèles entre elles, et donc à Δ 240, 3 b core y = − x + . car elles ont toutes pour coeffi- 2 40 3 b cient directeur − . Le bénéfice b est maximal lorsque est maximal, 2 40̈ Pour trouver Δ on fait « glis- c’est-à-dire lorsque l’ordonnée à l’origine de Δb est ser », avec une règle, la droite maximale. On cherche donc la droite Δb ayant une Δ parallèlement à elle-même. ordonnée à l’origine maximale et qui coupe le poly- gone des contraintes en au moins un point de coor- données entières. La droite Δb qui convient est celle passant par le point K ( 8 ; 4 ). On calcule bmax = 60 × 8 + 40 × 4 = 640. La couturière réalise un bénéfice maximal de 640 € pour la vente de 8 pantalons du modèle A et de 4 pan- talons du modèle B. Exemple 16 Le patron d’un restaurant prévoit l’achat de mobilier de jardin en vue d’aménager un parc pour ses clients. Il choisit deux modèles, l’un en bois, l’autre en métal. Pour le modèle en bois, le lot comprend une table, trois chaises, quatre fauteuils, le tout pour 2 400 euros. Pour le modèle en métal, le lot comprend une ta- ble, neuf chaises, deux fauteuils, le tout pour 1 600 euros. Le projet est de disposer d’au moins 63 chaises et 30 fauteuils. ᕡ Soit x le nombre de lots en bois et y le nombre de lots en métal achetés par le restaurateur. Écrire le système des contraintes correspondant au problème. ᕢ Déterminer graphiquement l’ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le systè- me des contraintes (unité graphique : 0,5 cm). Séquence 1 25 Cned – Académie en ligne
  22. 22. ᕣ Exprimer en fonction de x et y la dépense d cor- respondant à l’achat de x lots en bois et y lots en métal. ᕤ Déterminer une équation de la droite Δ correspon- dant à une dépense de 24 000 euros et tracer Δ. ᕥ Le restaurateur veut minimiser sa dépense. Com- bien doit-il acheter alors de lots en bois et de lots en métal ? Donner le montant de cette dépense minimale. a Solution ᕡ Le nombre x de lots en bois et le nombre y de lots en métal sont des entiers positifs. D’où x ≥ 0, y ≥ 0, avec x et y entiers. ̈ Contrainte chaises : 3x + 9y ≥ 63, soit x + 3y ≥ 21. ̈ Contrainte fauteuils : 4 x + 2y ≥ 30, soit 2x + y ≥ 15. Voici le système d’inéquations traduisant toutes les contraintes. ⎧ x ≥ 0 et y ≥ 0 ( x et y entiers ) ⎪ ⎨ x + 3y ≥ 21 ⎪2x + y ≥ 15 ⎩ ᕢ Soit D la droite d’équation x + 3y = 21, ou encore 1 1 y = − x + 7. 3 Soit D2 la droite d’équation 2x + y = 15, ou encore y = −2x + 15. x 0 3 6 x 0 3 6 D1 D2 y 7 6 5 y 15 9 3 u Voir le graphique en page suivante. ᕣ La dépense d est telle que d = 2 400 x + 1600y ᕤ La droite Δ correspondant à une dépense de 24 000 euros a pour équation 24 000 = 2 400x + 1 600y , soit encore : 3 y = − x + 15. 2 Cette droite Δ passe par les points : ( 0 ; 15) et (10 ; 0 ). 26 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  23. 23. ÿx + 3y ≥ 21 ⇔ droite Δ’ de 1 dépense minimaley ≥ − x +7 15 3 y = – 3 x + 13Tout point M 2 13situé au-des-sus de D1convient. cettë 9 région2x + y ≥ 15 ⇔ convient pointy ≥ −2x + 15 K solutionTout point M 7 K (4 ; 7)situé au-des-sus de D2 5 Iconvient.̈ Dans cetexemple la ré- 1gion coloriée D1 xest infinie. y = – 3 x + 15 O 1 2 3 4 5 6 10 Δ 2 21 D2 Δ’̈ Un calcul nous montre que Conclusion D 1 et D sont sécantes en Tout point M( x ; y ) ayant des coordonnées en- 2 I (4, 8 ; 5, 4). Les coordonnées tières et situé dans la région coloriée a des coor- de I ne sont pas entières. données vérifiant le système des contraintes (frontières incluses).̈ Les droites Δd sont toutes pa- ᕥ Soit Δ la droite d’équation d = 2 400x + 1 600y d rallèles à Δ 24000 (même coeffi- 3 d ou encore y = − x + . 3 2 1 600 cient directeur − ). d 2 La dépense d est minimale lorsque est mi- 1 600 x 3 4 5 nimal, c’est-à-dire lorsque l’ordonnée à l’origine y 9 7 6 de Δd est minimale. On cherche donc la droite d 21 600 20 800 21 600 Δd ayant une ordonnée à l’origine minimale et qui Ȇ coupe la région coloriée en au moins un point de Min coordonnées entières. La droite Δd qui convient semble être celle passant par le point K ( 4 ; 7 ). Pour en être certain on peut effectuer quelques calculs pour des points voisins de K . On calcule dmin = 2 400 × 4 + 1 600 × 7 = 20 800. La dépense minimale de 20 800 euros est obtenue pour l’achat de 4 lots en bois et 7 lots en métal. Séquence 1 27 Cned – Académie en ligne
  24. 24. D Exercices d’application a À vous de jouer… Exercice 10 Déterminer un système d’inéquations caractérisant tout point M( x ; y ) situé à l’intérieur (ou sur les cô- tés) du triangle ABC défini dans l’exercice 7. Exercice 11 Résoudre graphiquement les systèmes suivants : ⎧x + y ≥ 0 ⎧ x ≥ 0 et y ≥ 0 ⎪ ⎪ ( S1 ) ⎨y ≤ 3 ( S2 ) ⎨2x + y − 6 ≤ 0 ⎪x − y − 1 ≤ 0 ⎪x + y − 4 ≤ 0 ⎩ ⎩ Exercice 12 Un promoteur étudie la construction d’une résiden- ce composée de studios et de petits appartements. Il prévoit pour un studio une surface habitable de 30 m2, une fenêtre et espère le vendre 60 000 euros. Pour un petit appartement, il prévoit une surface habitable de 50 m2, 3 fenêtres et espère le vendre 120 000 euros. ̈ Il veut que la résidence ait au moins 20 logements. ̈ Il dispose de 1 160 m2 de surface habitable et de 60 fenêtres. ̈ Par ailleurs, il ne peut pas vendre plus de 15 stu- dios. Le but de l’exercice est de déterminer le nombre x de studios et le nombre y de petits appartements que le promoteur doit construire pour réaliser un chiffre d’af- faires maximal. ᕡ Déterminer un système d’inéquations portant sur x et y traduisant les contraintes du problème. ᕢ Déterminer graphiquement l’ensemble des points M dont les coordonnées ( x ; y ) vérifient toutes les contraintes précédentes. On choisira un repère or- thonormal ayant pour unité graphique 0,5 cm. ᕣ a) Exprimer en fonction de x et y le chiffre d’affaires C , exprimé en euros, correspondant à la vente de x studios et de y petits appartements. b) Écrire l’équation de la droite ΔC correspondant à un chiffre d’affaires C sous la forme y = ax + b. Tra- cer la droite ΔC dans le cas où C = 1 920 000. 28 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  25. 25. Déterminer graphiquement tous les couples ( x ; y ) qui permettent de réaliser un chiffre d’affaires de 1 920 000 euros.ᕤ Déterminer à l’aide du graphique le nombre x de studios et le nombre y de petits appartements à construire pour permettre au promoteur de réaliser un chiffre d’affaires maximal. Calculer ce chiffre d’affaires maximal. Séquence 1 29 Cned – Académie en ligne
  26. 26. 5 Corrigés des exercices Exercice 1 ᕡ ̈ P ( x ) = x 2 + 12x + 35 = 0. Δ = 122 − 4(1)( 35) = 4. Il y a deux solutions dis- Les trois équations sont de la tinctes. forme ax + bx + c = 0. 2 −12 − 2 −12 + 2 x1 = = −7 et x2 = = −5. a b c 2 2 P (x ) S = { −7 ; − 5} 1 12 35 1 1 ̈ Q( x ) = − x 2 + 2x − = 0. Q (x ) −1 2 − 2 2 1 Δ = ( 2 )2 − 4( −1)( − ) = 2 − 2 = 0. Il y a une ra- cine double. 2 R (x ) 2 −4 3 b 2 2 x1 = x2 = − =− = . 2a −2 2 ⎧ 2⎫ ⎪ ⎪ S=⎨ ⎬ ⎪ 2 ⎪ ⎩ ⎭ ̈ R ( x ) = 2x 2 − 4 x + 3 = 0. Δ = ( −4 )2 − 4(2)( 3) = −8. Δ < 0 et l’équation n’a pas de solution. S =∅ ᕢ ̈ P ( x ) = x 2 + 12x + 35. Comme Δ > 0, on peut fac- toriser P ( x ). a = 1 ; x1 = −7 ; x2 = −5. P(x) = ( x + 7)( x + 5). 1 ̈ Q( x ) = − x 2 + 2x − . Comme Δ = 0, on peut fac- 2 toriser Q(x). 2 a = −1 ; x1 = x2 = 2 2 ⎛ 2⎞ Q(x) = − ⎜ x − ⎟ ⎝ 2 ⎠ ̈ R ( x ) = 2x 2 − 4 x + 3. Δ < 0. R ( x ) ne se factorise pas. 30 Séquence 1Cned – Académie en ligne
  27. 27. Exercice 2 ̈ (E 1 ) ( x − 2 008 )(1 789x + 1) = 0Surtout ne pas développer. x − 2 008 = 0 ou 1 789x + 1 = 0.On aurait Δ = 3 592 3132 . 1 x = 2 008 ou x = − . 1 789 ⎧ 1 ⎫ S = ⎨− ; 2 008 ⎬ ⎩ 1 789 ⎭ ̈ (E 2 ) 121x 2 − 143x = 0. On factorise le trinôme : 121x 2 − 143x = 11x (11x − 13). x = 0 ou 11x − 13 = 0. 13 x = 0 ou x = . 11 ⎧ 13 ⎫ S = ⎨0 ; ⎬ ⎩ 11 ⎭ ̈ (E 3 ) 25x 2 + 20x + 4 = 0.La solution est une solution On reconnaît une identité remarquable.double. 25x 2 + 20x + 4 = (5x + 2)2 . 2 (5x + 2)2 = 0 doù x = − . 5 ⎧ 2⎫ S = ⎨− ⎬ ⎩ 5⎭ ̈ (E 4 ) (2x − 3)2 − 5 = 0. On reconnaît une différence de 2 carrés : (2x − 3)2 − ( 5 )2 = 0. [(2x − 3) − 5 ][(2x − 3) + 5 ] = 0. 2x − 3 − 5 = 0 ou 2x − 3 + 5 = 0. 3+ 5 3− 5 x= ou x = 2 2 ⎧3 − 5 3 + 5 ⎫ ⎪ ⎪ S=⎨ ; ⎬ ⎩ 2 ⎪ 2 ⎭⎪ Séquence 1 31 Cned – Académie en ligne
  28. 28. Exercice 3 ̈ (I1 ) x 2 + 12x + 35 ≥ 0. Méthode 2 Dans l’exercice 1 on a trouvé les racines du trinôme Allure de la parabole d’équation P ( x ) = x 2 + 12x + 35. Ces racines sont −7 et −5. y = x 2 + 12x + 35. Méthode 1 Comme a > 0 (ici a = 1 ) le trinôme est positif à l’extérieur des racines. –7 –5 S = ] − ∞ ; − 7] ∪ [ −5 ; + ∞[ ̈ (I2 ) − x 2 + 3x − 5 < 0. Autre méthode Allure de la parabole d’équation Δ = 32 − 4( −1)( −5) = 9 − 20 = −11. y = − x 2 + 3x − 5. Comme Δ < 0, le trinôme n’admet pas de racine. Comme a < 0 (ici a = −1 ) le trinôme est toujours négatif et l’inéquation toujours vérifiée. S = » = ] − ∞ ; + ∞[ ̈ ( I3 ) (2x − 3)( 4 − x ) > 0. Le trinôme est déjà factorisé : Le trinôme (2x − 3)( 4 − x ) a deux racines qui sont ne pas développer. 3 x1 = et x2 = 4. 2 2 (2x − 3)(4 − x ) = −2x 2 + … Le coefficient de x du trinôme (2x − 3)( 4 − x ) est égal à −2. La parabole d’équation y = (2x − 3)( 4 − x ) a ses branches orientées vers le bas. ⎤3 ⎡ S = ⎥ ; 4⎢ 3 4 ⎦ 2 ⎣ 2 Exercice 4 ̈ (B1 ) x 4 + 7x 2 + 10 = 0. 2 Posons x = X . 2 (B1 ) s’écrit alors : X + 7X + 10 = 0. Point méthode Δ = 49 − 40 = 9. L’équation en X admet deux so- Équation bicarrée : lutions. −7 − 3 −7 + 3 ax 4 + bx 2 + c = 0. X1 = = −5 et X2 = = −2. 2 2 On pose x = X . 2 2 • x = −5 est impossible. • x 2 = −2 est impossible. L’équation en x n’admet pas de racine. S =∅ . 32 Séquence 1Cned – Académie en ligne

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