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COMPLEMENT DE COURS.



Loi Binomiale conditionnée par une autre loi.
Définition : Nous dirons qu’une variable aléatoire Y est conditionnée par une variable
aléatoire X si un des paramètres de la variable Y est donné par la variable X.

Dans ces pages nous étudierons successivement les cas ou une loi binomiale est conditionnée
par une autre loi binomiale, par une loi de poisson et par une loi binomiale négative.


Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale.
Soit X une loi binomiale de paramètres (n,p).
Soit Y une loi binomiale de paramètres (m,α).

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le
paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Etudions la loi de probabilité de Z.
X prenant toutes les valeurs de 0 à n, m prendra une valeur comprise entre 0 et n et par
conséquent Z prendra ses valeurs dans 0, n .
(X = k)    k ∈ 0, n            étant un système complet d’événements, on a :

p ( Z = k ) = p (Y = k )
               n
           = ∑ p ( Y = k ) / ( X = i )  × p ( X = i )
                                       
              i=0
               n
           = ∑ Cikα k (1 − α )i − k × Cn p i (1 − p ) n −i
                                       i

              i=k
               n
           = ∑ Cnk Cn− k α k (1 − α )i − k p i (1 − p ) n −i
                    i
                      −k
              i=k
                    n−k
           = Cn ∑ Cn − kα k (1 − α )i p i + k (1 − p ) n −i − k
              k    i

                    i =0
                           n−k
           = Cn α k p k ∑ Cn − k (1 − α )i p i (1 − p ) n − k −i
              k            i

                           i=0
                                                   n− k
           = Cn α k p k (1 − α ) p + 1 − p 
              k
                                           
           = Cn ( pα ) (1 − pα )
              k            k           n−k




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Nous voyons alors que Z est une loi binomiale de paramètres (n,pα).

Nous retiendrons :

                                                α
Théorème : Une loi binomiale de paramètre (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi
                                                                                  α
binomiale de paramètre (n,p) est assimilable à une loi binomiale de paramètre (n,pα).

Exemple.
Une opératrice doit téléphoner à 20 clients pour leur transmettre une information. Elle sait que
                                                                  1
dans la journée, la probabilité d’avoir chacun des 20 clients est alors que le soir la
                                                                  5
                             2
probabilité de les avoir est .Elle décide d’appeler tous les clients dans la journée et de ne
                             3
rappeler le soir seulement les clients qu’elle n’a pas pu avoir dans la journée.
Calculer la probabilité que moins de deux clients n’aient pas pu être contactés.

Solution.
Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas répondu dans la
journée, Y est la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas répondu le soir et
Z la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas eu l’information, nous voyons
que Z prend pour valeur la valeur donnée par Y conditionnée par X.
                                                                            4
Il est bien évident que X est régit par une loi binomiale de paramètres  20,  alors que Y est
                                                                            5
régit par une loi binomiale dont le premier paramètre dépend du nombre de clients n’ayant pas
                                                      1
répondu dans la journée et l’autre paramètre est .
                                                      3
                                                                              4
D’après le théorème précédent, Z sera une loi binomiale de paramètres  20,  .
                                                                           15 
On aura donc :
 p ( Z ≤ 2 ) = p ( Z = 0 ) + p ( Z = 1) + p ( Z = 2 )
                        0   20          1     19              2   18
               4   11   1  4   11   2  4   11 
          = C     + C20     + C20    
              0
              20
               15   15     15   15     15   15 
                                 20 ×19  4   11 
                   20             19               2     18
             11       4  11 
          =   + 20 ×   +               
             15      15  15     2  15   15 
             2496402873758011934969
          =
            36947297000885009765625
            0.06756659




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Loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson.

Soit X une loi de Poisson de paramètre λ.
Soit Y une loi binomiale de paramètre ( m,α ) .

Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le
paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Etudions la loi de probabilité de Z.
X prenant toutes les valeurs de 0; +∞ , m prendra une valeur dans 0; +∞ et par conséquent
Z prendra ses valeurs dans 0, +∞
( X = k ) k ∈ 0, +∞                 étant un système complet d’événement, on a :
p ( Z = k ) = p (Y = k )
              +∞
           = ∑ p (Y = k / X = i ) . p ( X = i )
             i =1
              +∞
                                                     λi
           = ∑ Cikα k (1 − α )
                                        i −k
                                               e−λ
             i=k                                      i!
              +∞
                                                     λ (i+ k )
           = ∑ Cik+ kα k (1 − α ) e− λ
                                          i

             i=0                                    ( i + k )!
                                ( i + k )! 1 − α i λ i
                               +∞
           =α e k −λ
                         λ ∑
                           k
                                          ( )
                           i = 0 i !.k !          ( i + k )!
                         λk     +∞
                                                    λi
           = α k e−λ           ∑ (1 − α )
                                                i

                          k!    i =0                i!
                                   (1 − α ) λ 
                                                         i
                         λk     +∞
           =α e k −λ
                              ∑  i! 
                          k ! i =0
                         λk
           = α k e−λ           eλ −αλ
                          k!
                    λk
           =αk           e −αλ
                    k!
                      (αλ )
                               k
                −αλ
           =e
                 k!
Nous voyons alors que Z est une loi de Poisson de paramètre αλ.

Nous retiendrons :
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Théorème : Une loi binomiale de paramètre (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi
de Poisson de paramètre λ est assimilable à une loi de Poisson de paramètre αλ.




Exemple.
Un ascenseur dessert plusieurs étages d’un immeuble, à chaque voyage, le nombre de
personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussé suit une loi de Poisson de
                                                                                   1
paramètre λ=5 . Chaque personne, qui monte dans cet ascenseur, a une probabilité de
                                                                                   3
descendre au premier étage. Calculer la probabilité pour qu’à un voyage donné, il y ait 2
personnes qui descendent au premier étage.


Solution.

Chaque personne dans l’ascenseur a une probabilité 1/3 de descendre au premier étage et ceci
indépendamment des autres personnes. Nous sommes en présence d’une loi binomiale dont le
premier paramètre dépend d’une loi de Poisson (de paramètre λ = 5) et dont le second
paramètre est 1/3. D’après ce qui précède la composée des deux sera une loi de Poisson de
paramètre 5/3. La probabilité que deux personnes descendent au premier étage sera donc :
                       2
                   5
                 5  
 p ( Z = 2) = e 3  
               −    3
                         0.2623
                    2!




Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative.
Soit X une loi binomiale négative de paramètre (r,p).
Soit Y une loi binomiale de paramètre ( m,α ) .




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Une loi binomiale négative de paramètre (r,p) est une variable aléatoire qui à toute suite
d’événements indépendants à deux alternatives (symboliquement dénommées succès de
probabilité p ou échec de probabilité 1-p) associe le nombre d’échec avant le rème succès.
La loi de probabilité de la loi binomiale négative est p ( X = k ) = Ckr+1−1 p r (1 − p )k
                                                                        −
                                                                         r



Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X.

Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le
paramètre m est la valeur donnée par la variable X.

Etudions la loi de probabilité de Z.
X prenant toutes les valeurs de 0; +∞ , m prendra une valeur dans 0; +∞ et par conséquent
Z prendra ses valeurs dans 0, +∞ .
(X = k)       k ∈ 0, +∞           étant un système complet d’événements, on a :

p ( Z = k ) = p (Y = k )
                +∞
             = ∑ p ( Z = k / X = i ). p ( X = i )
                i =1
                +∞
             = ∑ Cikα k (1 − α )                 .Cir+−r1−1 (1 − p ) p r
                                         i −k                      i

                i=k
                +∞
             = ∑ Cik+ kα k (1 − α ) .Cir+−k1+ r −1 (1 − p )
                                             i                         i+k
                                                                             pr
                i=0
                                       +∞
                                             (k + i )!(i + k + r − 1)!
             = α k p r (1 − p )        ∑                               (1 − α )(1 − p ) 
                                   k                                                       i

                                              k !i !(r − 1)!(k + i )!                   
                                       i=0
                                       +∞
                                             (k + r − 1)!(i + k + r − 1)!
             = α k p r (1 − p )        ∑                                  (1 − α )(1 − p ) 
                                   k                                                          i

                                              k !i !(r − 1)!(k + r − 1)!                   
                                       i=0
                                                   +∞
             = α k p r (1 − p ) Ckr+1 −1 ∑ Cik++kr+−r1−1 (1 − α )(1 − p ) 
                                   −
                                   k                                                          i
                                     r                                    
                                                   i =0


Compte tenu de la formule:
                                                           +∞
                                                                                      1
                                                           ∑C     n
                                                                  n+ k   .x k =
                                                                                  (1 − x )
                                                                                             n +1
                                                           k =0

(Voir complément de cours sur les séries entières)
Nous obtenons:
                                                       1
 p ( Z = k ) = α k p r (1 − p ) k .Ckr+1−1
                                      −

                                           [1 − (1 − α )(1 − p)]
                                        r                       k +r


                                                   r                         k
                  r −1             p                  α −α p 
             =C   k + r −1                                       
                              α + p −α p              α + p −α p 
                                                   r                              k
                  r −1             p                       p     
             =C   k + r −1                           1 −         
                              α + p −α p              α + p −α p 

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      p     
Nous voyons alors que Z est une loi binomiale négative de paramètres  r ,        .
                                                                      α + p −α p 
Nous retiendrons :

Théorème : Une loi binomiale de paramètres (m,α) dont le paramètre m résulte d’une
loi binomiale négative de paramètres (r,p) est assimilable à une loi binomiale négative de
                   p     
paramètres  r ,          .
             α + p −α p 




Exemple.
Un animateur radiophonique téléphone à ses auditeurs pour leur poser une question leur
permettant de gagner un voyage dans un pays de rêve. La probabilité que l’auditeur réponde
                               1
correctement à la question est . Si l’auditeur ne répond pas à la question, l’animateur lui
                               4
pose une seconde question pour lui permettre de gagner un lot de consolation. La probabilité
                                                                         1
que l’auditeur réponde correctement à la seconde question est alors de . L’animateur arrête
                                                                         3
le jeu lorsque 10 voyages ont été gagnés. Quelle est alors la probabilité que 7 lots de
consolation aient été gagnés.

Solution.
L’animateur va poser des questions permettant de gagner des voyages jusqu'à ce que 10
voyages aient été gagnés. La question permettant de gagner un lot de consolation ne sera
posée qu’aux personnes n’ayant pas répondu correctement à la première question. Nous
sommes donc intéressés par le nombre de personnes n’ayant pas répondu à la première
question avant que 10 voyages aient été gagnés. Le nombre d’échecs à la première question
sera donc donné par une loi binomiale négative X de paramètre r=10 et p =1/4. Les personnes
ayant mal répondu à la première question auront une probabilité 1/3 de répondre à la
deuxième question et ceci indépendamment les unes des autres. Nous aurons donc affaire à
une loi binomiale Y dont le premier paramètre est déterminé par X et le deuxième paramètre
est donné par α = 1/3. D’après le théorème précédent, la composée de ces deux opérations
nous donne une loi binomiale négative Z dont le premier paramètre est 10 et le second est :
                   1
      p            4          1
            =              = .
α + p −α p 1 + 1 − 1 . 1 2
               3 4 3 4
La probabilité que 7 lots de consolation aient été gagnés sera donc :
                            10    7
                         1 1       16!        715
p ( Z = 7) = C
             10 −1
             7 +10 −1   .  .  =          7
                                               =
                          2   2  9!.7!.2     8192




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  • 1. COMPLEMENT DE COURS. Loi Binomiale conditionnée par une autre loi. Définition : Nous dirons qu’une variable aléatoire Y est conditionnée par une variable aléatoire X si un des paramètres de la variable Y est donné par la variable X. Dans ces pages nous étudierons successivement les cas ou une loi binomiale est conditionnée par une autre loi binomiale, par une loi de poisson et par une loi binomiale négative. Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale. Soit X une loi binomiale de paramètres (n,p). Soit Y une loi binomiale de paramètres (m,α). Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X. Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X. Etudions la loi de probabilité de Z. X prenant toutes les valeurs de 0 à n, m prendra une valeur comprise entre 0 et n et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 0, n . (X = k) k ∈ 0, n étant un système complet d’événements, on a : p ( Z = k ) = p (Y = k ) n = ∑ p ( Y = k ) / ( X = i )  × p ( X = i )   i=0 n = ∑ Cikα k (1 − α )i − k × Cn p i (1 − p ) n −i i i=k n = ∑ Cnk Cn− k α k (1 − α )i − k p i (1 − p ) n −i i −k i=k n−k = Cn ∑ Cn − kα k (1 − α )i p i + k (1 − p ) n −i − k k i i =0 n−k = Cn α k p k ∑ Cn − k (1 − α )i p i (1 − p ) n − k −i k i i=0 n− k = Cn α k p k (1 − α ) p + 1 − p  k   = Cn ( pα ) (1 − pα ) k k n−k http://www.prepa-hec.org / - Ressources gratuites pour la prépa
  • 2. Nous voyons alors que Z est une loi binomiale de paramètres (n,pα). Nous retiendrons : α Théorème : Une loi binomiale de paramètre (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi α binomiale de paramètre (n,p) est assimilable à une loi binomiale de paramètre (n,pα). Exemple. Une opératrice doit téléphoner à 20 clients pour leur transmettre une information. Elle sait que 1 dans la journée, la probabilité d’avoir chacun des 20 clients est alors que le soir la 5 2 probabilité de les avoir est .Elle décide d’appeler tous les clients dans la journée et de ne 3 rappeler le soir seulement les clients qu’elle n’a pas pu avoir dans la journée. Calculer la probabilité que moins de deux clients n’aient pas pu être contactés. Solution. Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas répondu dans la journée, Y est la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas répondu le soir et Z la variable aléatoire donnant le nombre de clients n’ayant pas eu l’information, nous voyons que Z prend pour valeur la valeur donnée par Y conditionnée par X.  4 Il est bien évident que X est régit par une loi binomiale de paramètres  20,  alors que Y est  5 régit par une loi binomiale dont le premier paramètre dépend du nombre de clients n’ayant pas 1 répondu dans la journée et l’autre paramètre est . 3  4 D’après le théorème précédent, Z sera une loi binomiale de paramètres  20,  .  15  On aura donc : p ( Z ≤ 2 ) = p ( Z = 0 ) + p ( Z = 1) + p ( Z = 2 ) 0 20 1 19 2 18  4   11  1  4   11  2  4   11  = C     + C20     + C20     0 20  15   15   15   15   15   15  20 ×19  4   11  20 19 2 18  11  4  11  =   + 20 ×   +      15  15  15  2  15   15  2496402873758011934969 = 36947297000885009765625 0.06756659 http://www.prepa-hec.org / - Ressources gratuites pour la prépa
  • 3. Loi binomiale conditionnée par une loi de Poisson. Soit X une loi de Poisson de paramètre λ. Soit Y une loi binomiale de paramètre ( m,α ) . Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X. Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X. Etudions la loi de probabilité de Z. X prenant toutes les valeurs de 0; +∞ , m prendra une valeur dans 0; +∞ et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 0, +∞ ( X = k ) k ∈ 0, +∞ étant un système complet d’événement, on a : p ( Z = k ) = p (Y = k ) +∞ = ∑ p (Y = k / X = i ) . p ( X = i ) i =1 +∞ λi = ∑ Cikα k (1 − α ) i −k e−λ i=k i! +∞ λ (i+ k ) = ∑ Cik+ kα k (1 − α ) e− λ i i=0 ( i + k )! ( i + k )! 1 − α i λ i +∞ =α e k −λ λ ∑ k ( ) i = 0 i !.k ! ( i + k )! λk +∞ λi = α k e−λ ∑ (1 − α ) i k! i =0 i! (1 − α ) λ  i λk +∞ =α e k −λ ∑  i!  k ! i =0 λk = α k e−λ eλ −αλ k! λk =αk e −αλ k! (αλ ) k −αλ =e k! Nous voyons alors que Z est une loi de Poisson de paramètre αλ. Nous retiendrons : http://www.prepa-hec.org / - Ressources gratuites pour la prépa
  • 4. Théorème : Une loi binomiale de paramètre (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi de Poisson de paramètre λ est assimilable à une loi de Poisson de paramètre αλ. Exemple. Un ascenseur dessert plusieurs étages d’un immeuble, à chaque voyage, le nombre de personnes qui montent dans cet ascenseur au rez de chaussé suit une loi de Poisson de 1 paramètre λ=5 . Chaque personne, qui monte dans cet ascenseur, a une probabilité de 3 descendre au premier étage. Calculer la probabilité pour qu’à un voyage donné, il y ait 2 personnes qui descendent au premier étage. Solution. Chaque personne dans l’ascenseur a une probabilité 1/3 de descendre au premier étage et ceci indépendamment des autres personnes. Nous sommes en présence d’une loi binomiale dont le premier paramètre dépend d’une loi de Poisson (de paramètre λ = 5) et dont le second paramètre est 1/3. D’après ce qui précède la composée des deux sera une loi de Poisson de paramètre 5/3. La probabilité que deux personnes descendent au premier étage sera donc : 2 5 5   p ( Z = 2) = e 3   − 3 0.2623 2! Loi binomiale conditionnée par une loi binomiale négative. Soit X une loi binomiale négative de paramètre (r,p). Soit Y une loi binomiale de paramètre ( m,α ) . http://www.prepa-hec.org / - Ressources gratuites pour la prépa
  • 5. Une loi binomiale négative de paramètre (r,p) est une variable aléatoire qui à toute suite d’événements indépendants à deux alternatives (symboliquement dénommées succès de probabilité p ou échec de probabilité 1-p) associe le nombre d’échec avant le rème succès. La loi de probabilité de la loi binomiale négative est p ( X = k ) = Ckr+1−1 p r (1 − p )k − r Supposons que le paramètre m de la loi Y soit donné par la variable aléatoire X. Soit Z la variable aléatoire qui prend pour valeur, la valeur obtenue par la variable Y dont le paramètre m est la valeur donnée par la variable X. Etudions la loi de probabilité de Z. X prenant toutes les valeurs de 0; +∞ , m prendra une valeur dans 0; +∞ et par conséquent Z prendra ses valeurs dans 0, +∞ . (X = k) k ∈ 0, +∞ étant un système complet d’événements, on a : p ( Z = k ) = p (Y = k ) +∞ = ∑ p ( Z = k / X = i ). p ( X = i ) i =1 +∞ = ∑ Cikα k (1 − α ) .Cir+−r1−1 (1 − p ) p r i −k i i=k +∞ = ∑ Cik+ kα k (1 − α ) .Cir+−k1+ r −1 (1 − p ) i i+k pr i=0 +∞ (k + i )!(i + k + r − 1)! = α k p r (1 − p ) ∑ (1 − α )(1 − p )  k i k !i !(r − 1)!(k + i )!   i=0 +∞ (k + r − 1)!(i + k + r − 1)! = α k p r (1 − p ) ∑ (1 − α )(1 − p )  k i k !i !(r − 1)!(k + r − 1)!   i=0 +∞ = α k p r (1 − p ) Ckr+1 −1 ∑ Cik++kr+−r1−1 (1 − α )(1 − p )  − k i r   i =0 Compte tenu de la formule: +∞ 1 ∑C n n+ k .x k = (1 − x ) n +1 k =0 (Voir complément de cours sur les séries entières) Nous obtenons: 1 p ( Z = k ) = α k p r (1 − p ) k .Ckr+1−1 − [1 − (1 − α )(1 − p)] r k +r r k r −1  p   α −α p  =C k + r −1      α + p −α p   α + p −α p  r k r −1  p   p  =C k + r −1   1 −   α + p −α p   α + p −α p  http://www.prepa-hec.org / - Ressources gratuites pour la prépa
  • 6. p  Nous voyons alors que Z est une loi binomiale négative de paramètres  r , .  α + p −α p  Nous retiendrons : Théorème : Une loi binomiale de paramètres (m,α) dont le paramètre m résulte d’une loi binomiale négative de paramètres (r,p) est assimilable à une loi binomiale négative de  p  paramètres  r , .  α + p −α p  Exemple. Un animateur radiophonique téléphone à ses auditeurs pour leur poser une question leur permettant de gagner un voyage dans un pays de rêve. La probabilité que l’auditeur réponde 1 correctement à la question est . Si l’auditeur ne répond pas à la question, l’animateur lui 4 pose une seconde question pour lui permettre de gagner un lot de consolation. La probabilité 1 que l’auditeur réponde correctement à la seconde question est alors de . L’animateur arrête 3 le jeu lorsque 10 voyages ont été gagnés. Quelle est alors la probabilité que 7 lots de consolation aient été gagnés. Solution. L’animateur va poser des questions permettant de gagner des voyages jusqu'à ce que 10 voyages aient été gagnés. La question permettant de gagner un lot de consolation ne sera posée qu’aux personnes n’ayant pas répondu correctement à la première question. Nous sommes donc intéressés par le nombre de personnes n’ayant pas répondu à la première question avant que 10 voyages aient été gagnés. Le nombre d’échecs à la première question sera donc donné par une loi binomiale négative X de paramètre r=10 et p =1/4. Les personnes ayant mal répondu à la première question auront une probabilité 1/3 de répondre à la deuxième question et ceci indépendamment les unes des autres. Nous aurons donc affaire à une loi binomiale Y dont le premier paramètre est déterminé par X et le deuxième paramètre est donné par α = 1/3. D’après le théorème précédent, la composée de ces deux opérations nous donne une loi binomiale négative Z dont le premier paramètre est 10 et le second est : 1 p 4 1 = = . α + p −α p 1 + 1 − 1 . 1 2 3 4 3 4 La probabilité que 7 lots de consolation aient été gagnés sera donc : 10 7 1 1 16! 715 p ( Z = 7) = C 10 −1 7 +10 −1 .  .  = 7 =  2   2  9!.7!.2 8192 http://www.prepa-hec.org / - Ressources gratuites pour la prépa