Méthode des éléments finis

1. méthode des éléments finis en
finance:
Réalisé par :
kadimi ElMehdi
Wahidi Mouad
Encadrant: Mr. Rachid ELLAIA

2. PLAN:
1. INTRODUCTION
2. TRANSFORMATION D’UN PROBLEME CONTINUE EN UN
PROBLEME VARIATIONELLE:
3. FORMULATION VARIATIONNELLE D’UNE EPD:
4. CALCUL NUMERIQUE D’UNE SOLUTION APPROCHEE:
5. CAS UNIDIMENSIONNEL:
6. APPLICATION DE LA METHODE EN FINANCE:
7. CONCLUSION

3. INTRODUCTION:
transformation
Ex: MMC Ex: système d’équations
Une théorie continue
insoluble
Une théorie discrète
Simple systèmes

4. TRANSFORMATION D’UN PROBLEME
CONTINUE EN UN PROBLEME
VARIATIONELLE:
Cas d’un problème en dimension 1:
Considérons le problème (P) en une dimension d'espace avec conditions
aux limites :
(P) -u’’(x) = f(x) sur [0;1]
u(0) = u(1) = 0 .
où f ∈ L([0;1]),

5. TRANSFORMATION D’UN PROBLEME
CONTINUE EN UN PROBLEME
VARIATIONELLE :
Cas d’un problème en dimension 1:
• Si u est solution de (p); ∀s ∈ L²([0;1]) Avec s(0)=s(1)=0
‫׬‬
0
1
−𝑢′′
𝑥 ∗ 𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = ‫׬‬
0
1
𝑓 𝑥 ∗ 𝑠 𝑥 .
On en déduit :
‫׬‬
𝟎
𝟏
𝒖′ 𝒙 ∗ 𝒔′ 𝒙 𝒅𝒙 = ‫׬‬
𝟎
𝟏
𝒇 𝒙 ∗ 𝒔 𝒙 𝒅𝒙 .

6. TRANSFORMATION D’UN PROBLEME
CONTINUE EN UN PROBLEME
VARIATIONELLE :
Cas d’un problème en dimension 1:
• Alors, le problème variationnel associé à (P) s’écrit sous la forme :
(PV): ‫׬‬
0
1
𝑢′
𝑥 ∗ 𝑠′
𝑥 𝑑𝑥 = ‫׬‬
0
1
𝑓 𝑥 ∗ 𝑠 𝑥 𝑑𝑥
u(0) = u(1) = 0
∀s ∈ L²([0;1]), et s(0) = s(1) = 0.

7. TRANSFORMATION D’UN PROBLEME
CONTINUE EN UN PROBLEME
VARIATIONELLE :
THEOREME DE LAX-MILGRAM:
soit a(.) une forme bilinéaire, et soit L() une forme linéaire sur L²([0,1]);
∃ u ∈ L²([0,1]); a(u,v) = L(v) ; ∀v ∈ L²([0,1])
admet une solution unique sur L²([0,1]),

8. FORMULATION VARIATIONNELLE
D’UNE EPD:
• Soit A un opérateur elliptique et soit (p) un problème au limite de type:
(p): Au = f
CL
• La formule variationnelle s’écrit sous la forme :
∃ u ∈ L²([0,1]); a(u,v) = L(v) ; ∀v ∈ V

9. CALCUL NUMERIQUE D’UNE
SOLUTION APPROCHEE:
• Soit V’ un s-espace de V (dim(V’)=n),
• soit (r1,____,rn) une base de V’, V=L²([0,1])
Donc : ∃ u’ ∈ V’; a(u’,v’) = L(v’) ; ∀v’ ∈ L²([0,1])
Ce qui est équivalent à: a(u’,ri)=L(rj) avec : j=1,___,n

10. CALCUL NUMERIQUE D’UNE
SOLUTION APPROCHEE:
• Puisque v’ est dans V’, donc par combinaison:
u’=σ 𝜷𝒊 ∗ 𝒓𝒊 avec : βi ∈ IR
• Par linéarité on obtient :
σ 𝜷𝒊 ∗ 𝒂 𝒓𝒊, 𝒓𝒋 = 𝑳(𝒓𝒋) , j=1,___,n
• Alors βi sont solutions des n équations linéaires du système: AU = F
Avec A=
β1
:
β𝑛
, F=
𝐿(𝑟1)
:
𝐿(𝑟𝑛)

11. Cas unidimensionnel:
Eléments finis de degré un:
Introduisons une discrétisation de l'intervalle [0, 1] en N sous-intervalles ou
éléments :
Ti = [xi−1, xi ]
V0’ est l'espace des fonctions continues affines par morceaux (affines
sur les segments Ti et nulles aux extrémités 0 et 1).

12. Cas unidimensionnel:
• L'espace V0’ est de dimension N − 1 et il est engendré par la base de
Lagrange qui est formée des N − 1 fonctions wi ∈ V0’ définies par :
wi(xj)= δij = 1 si i=j
∀ i = 2,………,N
0 sinon

13. Cas unidimensionnel:
Donc les fonctions de la base de Lagrange s’écrivent sous la forme suivante:
wi(x) =
𝑥𝑖 −𝑥
𝑥𝑖 −𝑥𝑖−1
si x ∈[xi-1,xi]
𝑥𝑖 −𝑥
𝑥𝑖 −𝑥𝑖+1
si x ∈[xi,xi+1]
0 sinon

14. Cas unidimensionnel:
Ecriture du problème approché:
D’après le théorème de Lax-Milgran, le problème approché dans V0’ :
න
𝟎
𝟏
𝒖′
𝒙 ∗ 𝒗′
𝒙 𝒅𝒙 = න
𝟎
𝟏
𝒇 𝒙 ∗ 𝒗′
𝒙 𝒅𝒙
Avec: v’(x) =σ𝒊=𝟐
𝑵
𝒗′ 𝒙𝒊 ∗ 𝒘𝒊 (𝒙)
Si u’ est solution du problème approché  u’(x) =σ𝒊=𝟐
𝑵
𝒖′ 𝒙𝒊 ∗ 𝒘𝒊 (𝒙)

15. Cas unidimensionnel:
Donc le problème approché devient:
σ𝒋=𝟐
𝑵
(‫׬‬
𝟎
𝟏
𝒘′
𝒋 𝒙 ∗ 𝒘′
𝒊 𝒙 𝒅𝒙) ∗ 𝒖𝒋 = ‫׬‬
𝟎
𝟏
𝒇 𝒙 ∗ 𝒘𝒊 𝒙 𝒅𝒙
Posons:
Fi = ‫׬‬
𝟎
𝟏
𝒇 𝒙 ∗ 𝒘𝒊 𝒙 𝒅𝒙
Aij = ‫׬‬
𝟎
𝟏
𝒘′𝒊 𝒙 ∗ 𝒘′𝒋 𝒙 𝒅𝒙

16. Cas unidimensionnel:
Remarque:
le problème approché prend la forme d'un système linéaire de (N−1)
équations à (N−)1 inconnues, qui peut s'écrire sous la forme matricielle
suivante :
AU = F

17. Cas unidimensionnel:
Calcul des coefficients de la matrice:
Considérons par exemple l'élément Ti = [xi , xi+1]. Sur cet élément, Pour
calculer la matrice A il y a deux cas :
• Si i=j: Aii= ‫׬‬
𝒙𝒊−𝟏
𝒙𝒊 𝟏
𝒙𝒊−𝒙𝒊−𝟏
𝟐
𝒅𝒙 + ‫׬‬
𝒙𝒊
𝒙𝒊+𝟏 𝟏
𝒙𝒊−𝒙𝒊+𝟏
𝟐
𝒅𝒙 =
𝟐
𝒉
• Si j=i+1 ou i=j+1: Ai,i+1= ‫׬‬
𝒙𝒊
𝒙𝒊+𝟏 𝟏
𝒙𝒊−𝒙𝒊+𝟏
∗
𝟏
𝒙𝒊−𝒙𝒊+𝟏
𝒅𝒙 =
−𝟏
𝒉

18. Cas unidimensionnel:
Donc par conséquence la matrice A s’écrit sous la forme:
A=
2
ℎ
−
1
ℎ
… .0
−
1
ℎ
… −
1
ℎ
0 −
1
ℎ
2
ℎ

19. APPLICATION DE LA
METHODE EN FINANCE:
En finance, la méthode des éléments finis peut être utilisée pour
résoudre des équations différentielles dans lesquelles la variation
des prix des actifs financiers est considérée comme une
fonction continue dans le temps et dans l'espace.

20. APPLICATION DE LA METHODE EN
FINANCE:
• La méthode des éléments finis peut être utilisée pour résoudre l'équation de
Black-Scholes, qui décrit l'évolution du prix d'une option européenne d'achat.
L'équation de Black-Scholes est la suivante :
•
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+
1
2
× 𝜎2𝑆2 𝜕2𝑣
𝜕𝑆2 + 𝑟𝑆
𝜕𝑣
𝜕𝑠
− 𝑟𝑣 = 0

21. APPLICATION DE LA METHODE EN
FINANCE:
-S : cours de l’actif sous-jacente à l’instant t
- V = V(t,S) : valeur d’une option, fonction du temps t et de S ;V est noté C (t,S) dans
le cas d’une option d’achat (call) et P(t,S) dans le cas d’une option de vente (put) ;
- - σ : volatilité du prix de l’action ;
- - E : prix d’exercice (appel également strike) de l’option ;
- - T : échéance (maturité) de l’option (date d’exercice) ;
- - r : taux d’intérêt sans risque.

22. APPLICATION DE LA METHODE EN
FINANCE:
• Discrétiser l'équation de Black-Scholes dans le temps et dans l'espace en
divisant l'intervalle de temps [0, T] en N pas de temps égaux et l'intervalle de
prix [0, S_max] en M pas d'espace égaux.
• Approximer les dérivées partielles de l'équation de Black-Scholes à l'aide de la
méthode des différences finies.
• Discrétiser l'équation de Black-Scholes et écrire une équation pour le prix de
l'option à chaque nœud de la grille.

23. APPLICATION DE LA METHODE EN
FINANCE:
• Résoudre le système d'équations à l'aide d'une méthode numérique telle que
la méthode de Gauss-Seidel ou la méthode de Jacobi.
• Itérer jusqu'à ce que le système converge vers une solution.
• Interpoler les prix obtenus pour obtenir le prix de l'option à n'importe quel
prix S.

24. Exercice d’application:
• Supposons que vous envisagez d'investir dans une action de la société ABC
cotée en bourse. Le prix actuel de l'action est de 100 MAD et il est prévu que
le cours de l'action augmentera de 10% par an pendant les 5 prochaines
années. Cependant, il y a également une incertitude quant à la performance
de l'action, avec une probabilité de 20% que le cours de l'action soit inférieur
de 20% aux prévisions. Utilisez la méthode des éléments finis pour évaluer
l'investissement.

25. Exercice d’application:
• 1-Définir les éléments et les nœuds
• 2-Calculer la valeur actuelle du prix de l'action pour chaque élément
Élément 1 : PV = 94,34 MAD
Élément 2 : PV = 95,81 MAD
Élément 3 : PV = 97,33 MAD
Élément 4 : PV = 98,89 MAD
Élément 5 : PV = 100,50 MAD
Élément 1 : PV ajusté = 75,47 MAD
Élément 2 : PV ajusté = 76,95 MAD
Élément 3 : PV ajusté = 78,50 MAD
Élément 4 : PV ajusté = 80,09 MAD
Élément 5 : PV ajusté = 81,74 MAD

26. Exercice d’application:
• 3-Calculer la valeur actuelle nette (VAN)
VAN = (94,34 + 95,81 + 97,33 + 98,89 + 100,50) - 100 = 486,87 MAD
• 4-Prendre en compte l'incertitude
• VAN ajustée = (0,8 x 75,47 + 0,2 x 94,34) + (0,8 x 76,95 + 0,2 x 95,81) +
(0,8 x 78,50 + 0,2 x 97,33) + (0,8 x 80,09 + 0,2 x 98,89) + (0,8 x 81,74 + 0,2
x 100,50) - 100 = 473,94 MAD

27. MERCI POUR VOTRE
ATTENTION