processus de Wiener

1. Chapitre 5

2. Contenu
Introduction
La propriété de Markov
Processus stochastique en temps continu
Processus de Wiener
Processus de Wiener général
Les processus d’Itô
Le processus de cours des actions
Le modèle en temps discret
Simulation Monté Carlo
Les paramètres
Le Lemme d’Itô
Application

3. Introduction
Les particules dans l’air, les molécules dans un liquide se
propagent d’une manière aléatoire;
L’évolution ne peut être prédite à l’avance;
Le changement de direction de la molécule s’effectue suite
au contact de la molécule avec un paroi
On parle d’un processus stochastique ou une variable
évolue d’une manière aléatoire dans le temps;
Les processus stochastiques se divisent en deux catégories:
en temps discret ou les changements s’effectuent en des
dates discrètes;
En temps continue les valeurs de variables peuvent être
déterminées à n’importe quel moment

4. La propriété de Markov
Un processus de Markov est un cas particulier du
processus stochastique;
Seule la valeur présente d’une variable permet d’anticiper
la valeur future et non pas les valeurs passées;
 ex, jouer de basketball.
Les cours des actions sont généralement censés suivre un
processus de Markov, les prix passés ne sont pas
pertinents , seule le prix actuel est utile;
La propriété de Markov est cohérente avec la forme faible
d’efficience;

5. Exemple de chaine de Markov
Un jouer de basketball a 90% de chance d’inscrire un point
si le tire actuel est réussi,
Si le tir actuel est échoué il a 20% de le réussir
Récapitulatif
Tir actuel réussi P =90% q = 1-90% = 10%
Tir actuel échoué p = 20% q = 1-20% = 80%
L’anticipation du prochain tir ne dépend que du tir actuel et
non pas des tirs passés;
Cette suite de séquence peut construire une chaîne de
Markov

6. EA
 Tir actuel réussi probabilité pour le prochain tir est de
85%
 Tir actuel échoué, proba pour le prohcian tir est de 5%
 Donnez la prob d’échec et de réussite pour les deux
scenarios
 Donnez la meme probabilité pour le deuxième
prochain tir?
 Dernier tir réussi = prob R = 0,85 P(E)= 0,15
 Deuxiéme tir = P(R)= 0,85 P(E) = 0,15
 Apérs deux tirs, quelle est la prob d’avoir deux tir
réussis = 0,85*0,85 0,05*0,85
 Prob(RE) = 0,85*0,15 0,05*0,15

7. Matrice de transition
Réussis Echoué
Réussis 90% 10%
Echoué 20% 80%

8. Les processus stochastiques en
temps continu
Soit une variable qui suit un processus de Markov, sa
valeur actuelle est 10;
La variation de cette variable dans une année suit une loi
normale (0;1) d’une manière générale (µ;σ), dans deux ans
on aura toujours le même processus markovien Ф(0;√2)
Dans 6 mois la variable va suivre la loi (0; √0.5)
D’une maniere générale la variation durant n’importe
quelle durée de longueur T suit une loi (0; √T)
Pour un intervalle de courte durée ∆t la loi sera ɸ(0;√∆t)
Exemple: soit le cours d’une action suit un processus
markovien (0;1), quelle sera la loi que va suivre le cours
d’ici 3 mois, 3 ans?

9.  Soit Xi une v.A qi suit une loi normale de moyenne 50
et d’écart type = 70
 La loi normal centrée réduite est une VA détréminé par
 (Xi – 50)/70 N(0;1)
 P(0,01) P(0,2)

10. Les processus de Wiener
Le processus de Wiener standard est un cas particulier de
Markov avec un accroissement espéré nul et une variance
égale 1
Un processus de Wiener vérifie deux propriétés:
Propriété 1: la variation ∆z = ε√∆t avec ε suit une loi
normale Ф(0;1)
Propriété 2: les valeurs ∆z pour deux courts intervalles de
longueur ∆t ne sont pas liés et sont indépendants
Yi = moyenne de Y + bruit
Yi = 80 + bruit= 82

11. Il découle de la première propriété que ∆z suit une distribution
normale de moyenne nulle et d’écart type √∆t et de variance ∆t,
la deuxième propriété implique que z suit un processus de
Markov;
Soit une variable suit un processus de Wiener initialement
égale à 25, au bout d’une année la valeur de la variable est
distribuée selon la loi normale de moyenne 25 et d’écart type 1
Dans cinq ans la variable sera distribuée selon la loi normale de
moyenne 25 et √5 = 2.236
On constate que l’incertitude augmente avec l’accroissement
du temps;

12.  Le cours d’une action a attaint le prix de 80, et suit une
variataion de 20
 Quel sera le prix d’ici un mois?
 P1m = 80+20(1/12)^0,5
 À t= 1 mois le prix est de 85 quell sera le prix après
deux jours?
 Aprés deux jours le cours sera de
 85 + 20*(2/360)^0,5

13. Le processus de Wiener géneral
Le processus de Wiener standard décrit un paramètre de tendance
appelé drift égale à 0 et un paramètre de variance égale à 1;
Un drift nul signifie que l’espérance de la valeur de z à une date future
quelconque est égale à sa valeur actuelle;
Le paramètre de variance égale 1 signifie que la variance de
l’accroissement de z dans un intervalle de temps de longueur T est
égale à T
Un processus de Wiener général pour une variable x est défini come
suit
dx = adt +bdz
Avec a et b sont des constantes
Si on arrive à determiner dx on peut facilement déduire X2
Dx = X2 –X1 et X1 est déjà connu.
Dt = t2- t1
Dz = ε√∆t

14. Le processus de Wiener géneral
 dx = adt +bdz signifie que X a un drift égal a;
 Si bdz = 0 on aura dx = adt dx/dt= a
 L’intégration de dx par rapport au temps donne
 X =x0 + at avec x0 est la valeur de X à t=0;
 Dans une période de longueur T, la valeur de X augmente de aT;
 A =20 T = 2 X0 = 18 X 2= 18+20*2= 58dh
 Le terme bdz peut être considéré comme l’ajout de bruit à la trajectoire
suivie par x. Cette quantité de bruit est égale à b*la quantité de bruit
apportée par un processus Wiener standard avec une moyenne nulle et un
écart type de √T
 Donc pour un intervalle de temps petit ∆t, la variation
∆x = a∆t +b*ε√∆t
Avec ε suit une loi normale centrée réduite;
∆x suit un processus Wiener général d’espérence a∆t et de variance b^2∆t
Un processus de Wiener général a un drift (cad variation moyenne par unité de temps)
égale a et un paramètre de variance b^2

15. Application 1
Soit une entreprise dont la trésorerie mesurée en million
DH suit un processus de Wiener général avec un drift de 20
et un paramètre de variance 900
Initialement la trésorerie est de 50, après une année la
trésorerie suit une loi normale moyenne 20 et d’écart type
√900 = 30
À l’horizon de 6 mois, la trésorerie suit une loi 20 et un
écart type 30√0.5 soit 21.21
La trésorerie peut aussi devenir négative ce qui peut être
interpréter comme un emprunt que l’entreprise effectue

16. Application 2
Soit le cours d’une action Colorado suit un processus
Wiener avec un drift de 10 et paramètre d’ecart type 11, sa
valeur au 13/05 est 61.50. Le prix d’une action est
distribué selon une loi normale
Quelle sera la loi normale du cours au 14/05
Si le cours suit un processus Wiener général avec un drift
de 60 et un paramètre de variation 30
Quelle sera la loi de distribution d’ici une semaine, un
mois, 3 mois?

17. Le processus d’Itô
 Dans le processus de Wiener les paramètres a et b sont
constants dx = adt +bdz
 En général a et b sont des fonctions de la variable x et
du temps t
Dx = a(x;t)dt + b(x;t)dz
 Le drift et le paramètre de variance d’un processus
d’Itô peuvent varié dans le temps
∆x = a(x;t)∆t + b(x;t) ε√∆t
Suite à la chaîne de Markov, Cette relation suppose que le drift et
le paramètre de variance de x sont constant respectivement a(x;t)
et b(x;t)^2 entre t et t+ ∆t et dépendent que de la valeur de x à t
et non des valeurs passées

18. Le processus de cours des actions
 Pour modéliser le cours des actions qui ne versent pas de
dividende, on utilise le processus stochastique;
 On utilise un processus Wiener avec un drift et un
paramètre de variance constants;
 Or Cette vision ne prends pas en compte que l’espérence
de rentabilité exigée par les investisseurs ne dépends pas
du prix de l’action actuel
 Ex: une action cotée à 100$ et une autre cotée à 60$, si la
rentabilité exigée par les investisseurs 20% ne dépend pas
du niveau actuel de prix

19. Le processus de cours des actions
Pour remédier à la constance du drift on va supposer que le
drift constant S sera remplacée par µS
Donc sur un intervalle de temps ∆t, l’espérence
d’augmentation du cours sera µS ∆t
Si la volatilité du cours est égale à 0 on aura
∆S = µS ∆t, si ∆t tend vers 0 on aura:
dS = µS dt d’où dS/S= µdt
Par intégration de cette équation en t= 0 et t= T
On aura ST = S0e^ µ(T-t)
S0 et ST les cours de l’action à t=0 et t=T

20. Le processus de cours des actions
En réalité la volatilité des cours n’est pas nulle, elle est
exprimée en pourcentage pour un intervalle de temps ∆t
La volatilité suit la même loi que le cours de l’action
dS = µSdt + σSdz
dS/S = µdt + σdz c’est le modèle le plus courant
d’évolution des coirs avec µ est le taux de rentabilité
continue et σ est la volatilité du cours;
Dans un espace à risque neutre µ est remplacé par le taux
de l’actif sans risque

21. Application avec simulation de
Monte Carlo
Soit le cours d’une action avec une rentabilité de 15% et
une volatilité de 30%
Le processus décrivant le cours est le suivant:
dS/S = 0.15dt + 0.3*dz
 ∆S/S= 0.15∆t + 0.3ε√∆t
Soit un cours initiale de 100 et ∆t égale à une semaine
Le tableau sur Excel vous montre l’évolution de l’action
sur 10 semaines

22. Le Lemme d’Itô
 En 1951 Kiyosi Itô a pu construire une fonction qui lie la
valeur d’un produit dérivé avec son actif sous jacent:
 Supposons que Dx = a(x;t)dt + b(x;t)dz suit un processus
d’Itô ( cad paramètres sont en fonction de x et t);
 Z est un processus de Wiener standard, le processus x a
un drift égale a et de paramètre de variance b^2
 dG =[δG*a + δG +1/2 *δ2G b^2]dt + δG bdz
δx δt δ2x δx
Premier terme est le drift, le deuxiéme terme et
le paramétre de variance

23. Application
 Soit le prix d’un contrat forward
 F0 = S0e^rT
 F0 représente le prix forward à t =0 et S0 est le cours au
comptant
 Le prix forward à n’importe quel instant t
 F = Se^r(T-t) on supposant que S suit un processus Wiener
standard on peut appliquer le lemme d’Ito
 δF/δS = e^r(T-t); δ2F/δ2S = 0, δF/δt = -rSe^r(T-t)
 dF = [µSe^r(T-t) -rSe^r(T-t)]dt + e^r(T-t) Sσdz
 En remplaçant F par Se^r(T-t) on obtient
 dF= (µ - r)Fdt + σFdz
 Le prix forward suit un taux de croissance égale à µ - r