Econométrie

1. Introduction à l’économétrie
des séries temporelles:
La non-stationnarité

2. La non-stationnarité:
 Définition:
Une série temporelle Yt est non-stationnaire si la loi de
probabilité est variante dans le temps, c’est-à-dire, si la
distribution (Ys+1, Ys+2, …, Ys+т) est dépendante de s, quel
que soit T.
Le couple (Xt, Yt) est conjointement non stationnaire si la
distribution de (Xs+1, Ys+1, Xs+2, Ys+2, …, Xs+т, Ys+т)
dépend de s, quel que soit T.
 2 principales formes de non-stationnarité
Les tendances
Les ruptures

3. Les tendances:
 Définition:
C’est un mouvement à LT persistant associé à une
variable . Une variable de série temporelle ayant une
tendance fluctue autour de celle-ci.

4. 2 exemples contraires:
-Exemple de tendance:
Taux d’inflation aux Etats-
Unis entre 1960 à 2004
-Exemple de non tendance :
Variation journalière en
pourcentage de l’indice
composite de la Bourse de
New York entre 1990 à2006

5. Les 2 types de tendances:
 Tendances déterministes:
La tendance déterministe est une fonction non aléatoire du
temps.
Par exemple: une tendance déterministe peut être une
fonction linéaire du temps. Si l’inflation augmente de 0.1%
par trimestre, la tendance déterministe peut s’écrire 0.1t, où
t est mesuré en trimestres.
 Tendances stochastiques:
Elle est aléatoire et va varier dans le temps. Prenons
l’exemple d’avant, avec le taux d’inflation aux Etats-Unis,
où une hausse prolongée est suivie d’une baisse prolongée
dans les années 1980.

6. Les tendances stochastiques:
 Pourquoi ce concentrer sur celles-ci?
 La marche aléatoire: Lorsque l’observation de demain est égale à
l’observation d’aujourd’hui plus une variation non prédictible (ut).
 Cas général: Une série temporelle suit une marche aléatoire si la
variation de Y est idd:
Yt = Yt-1 + ut
Avec E(Yt|Yt-1, Yt-2, …)= Yt-1,
et E(ut|Yt-1, Yt-2, …)= 0
 La marche aléatoire avec dérive: On introduit un terme de dérive au
modèle de marche aléatoire. (ici βο)
Yt= βο + Yt-1 + ut
Avec E(ut|Yt-1, Yt-2, …)= 0,
et βο est la dérive de la marche aléatoire, ainsi si βο > 0 alors Yt croit!

7. Les 2 manières de démontrer que
Yt est non-stationnaire:
 1ère méthode: Déterminer la variance de Yt.
Comme Yt et ut sont non corrélées, alors
var(Yt) = var (Yt-1) + var(ut), ainsi la condition de non stationnarité de Yt
est vérifiée que si var(ut)≠ 0
 2ème méthode: Supposer que Y₀ = 0
-Calculer Y1 qui donne Y1 = Y₀ + u1 = u1
-Puis, calculer Y2 qui donne Y2 = Y1 + u1 = u1 + u2
-Etc…, jusqu’à Yt = u1 + u2+…+ ut
-Ainsi, si ut est non corrélé à Yt, var(Yt)= var(u1 + u2 +…+ ut)=tσ2u
-Donc, la variance de Yt dépend de t (elle croît avec t), et la distribution de
Yt va aussi dépendre de t. ALORS, Yt est non stationnaire!

8. La non-stationnarité des tendances stochastiques
dans les modèles autorégressifs et les racines
unitaires:
 Avec AR(1): Il existe une tendance stochastique si β₁= 1,
et plus généralement si β₁≥ 1. Au contraire, le paramètre
autorégressif est stationnaire si β₁ est compris entre -1 et
1, et plus généralement si |β₁|<1, dans le cas où ut est
stationnaire.
 Avec AR(p): Si une série temporelle suit un AR(p)
comportant une racine égale à 1, alors elle admet une
racine unitaire autorégressive ou racine unitaire.
Ainsi, une série temporelle qui admet une racine unitaire
comporte une tendance stochastique.

9. Les 3 problèmes liés aux
tendances stochastiques:
 1er problème: Les paramètres autorégressifs sont
biaisés vers zéro.
 2ème problème: Les distributions non normales des
statistiques t.
 3ème problème: La régression fallacieuse.(R studio)

10. Détection des tendances stochastiques
:
test de racine unitaire
 2 méthodes :
Formelle
Test d’hypothèse
H0 : tendance stochastique
H1 : stationnarité
 Test de Dickey-Fuller
(Tester la présence de tendances
stochastiques)
Informelle
Étude approfondie des graphes &
des paramètres d’autocorrélation

11. Test de Dickey-Fuller
 Le test de DF est le test le plus utilisé et l’un des
plus fiables.
 Le test de DF est un test unilatéral.
 La statistique de DF est calculée à partir des
erreurs-types homoscédastiques.

12. Test de Dickey-Fuller
Modèle AR(1)
H0 : β1 = 1
H1 : β1 < 1
Yt = β0 + Yt-1 + ut
H0 : δ = β1 – 1 = 0
H1 : δ < 0
ΔYt = β0 + δYt-1 + ut

13. Programmation sous R

14. Test de Dickey-Fuller
Modèle AR(p)
 Statistique de Dickey-Fuller augmentée (DFA)
H0 : δ = 0
H1 : β1 < 1
ΔYt = β0 + δYt-1 + γ1ΔYt-1 + γ2ΔYt-2 + ...+ γpΔYt-p + ut
ΔYt = β0 + αt + δYt-1 + γ1ΔYt-1 + γ2ΔYt-2 +...+ γpΔYt-p + ut

15. Programmation sous R

16. Test de racine unitaire vs. Tendance
linéaire déterministe
Jusqu’à présent :
H0 : racine unitaire vs. :H1 stationnarité
Ce type d’hypothèse alternative :
 Approprié aux séries économiques comme le taux
d’inflation (car pas de croissance à LT)
(Retenir une hypothèse alternative de stationnarité pure)
 Inapproprié pour les séries comme le PIB Japonais
(Retenir une hypothèse alternative de stationnarité autour d’une valeur
déterministe)
Attention : tendance déterministe pas forcément linéaire.
Quadratique ou linéaire avec point de rupture etc..

17. Valeur critiques de la statistique DFA
 Statistique DFA : pas de distribution normale
(donc pas d’utilisation des valeurs usuelles)
 Utilisation d’un ensemble spécifique de valeurs critiques
basée sous l’hypothèse de la statistique DF sous l’hypothèse
nulle.
Régrésseurs
déterministes
10% 5% 1%
Constante - 2.57 - 2.86 - 3.43
Constante et
tendances
déterministes
- 3.12 - 3.41 - 3.96

18. Régression :
Test : le coefficient de Inf t – 1 nul ?
Statistique t de DFA = - 0.11 / 0.04 = - 2,69
Valeur critique au seuil de 5 % = - 2.86
Pas de rejet de l’hypothèse nulle de racine unitaire
Inflation : tendance stochastique plutôt que déterministe

19.  Régression DFA de l’équation d’ordre 4
(choix arbitraire, AIC retient le retard 3)
Régression DFA d’ordre 4 :
Statistique t de DFA = - 2.69
Rejet de H0 au seuil de 5 %
t DFA 5 % = - 2.86
Régression DFA d’ordre 3 :
Statistique t de DFA = - 2.72
Rejet de H0 au seuil de 5 %
 Idem, rejet de l’hypothèse nulle pour les modèles
DFA(3) & DFA(4) au seuil de 10 % ( t DFA 10 % = - 2.57)

20. Les ruptures:
 Définition:
Les ruptures peuvent provenir, soit quand on observe un
changement discret des paramètres de la fonction de
régression théorique, soit lorsqu’on observe une
évolution graduelle de ces paramètres sur une longue
période de temps.
 Les tests des ruptures:
Pour mettre en pratique ces tests, cela va dépendre de la
connaissance ou non des dates auxquelles on suppose qu’une
rupture a eu lieu. Ainsi, on peut faire un test d’une rupture à
une date connue ou à une date inconnue.

21. Test de rupture
Test de rupture à une date connue
Test de Chow
 On utilise un modèle ARE(1,1)
 τ : date de rupture supposée
 Dt(τ) : variable binaire tel que
 Dt(τ) = 0 si t ≤ τ et Dt(τ) = 1 si t > τ

22. Test de rupture
Test de rupture à une date connue
Test de Chow
 H0 : γ0 = γ1 = γ2
 H1 : au moins un paramètre parmi les γ doit être
non nul.
Yt = β0 + β1Yt-1 + δ1Xt-1 + γ0Dt(τ) + γ1(Dt(τ) × Yt-1)
+ γ2(Dt(τ) × Xt-1) + ut

23. Test de rupture
Test de rupture à une date inconnue
Statistique de vraisemblance de Quandt RVQ
 τ : date de rupture supposée
 τ : compris entre τ0 et τ1
 En pratique : τ0 = 0,15T et τ1 = 0,85T
 La statistique RVQ correspond à la valeur de la
statistique F parmi toutes les valeurs de F entre τ0 et
τ1.

24. Test de rupture
Test de rupture à une date inconnue
Statistique de vraisemblance de Quandt RVQ
 RVQ = max[F(τ0),F(τ0+1),…,F(τ1)]
1. RVQ utilisée pour tester une rupture sur un ensemble ou sous-
ensemble de paramètre.
2. Sous H0, distribution asymptotique de la stat RVQ dépend de q à
tester et de [τ0, τ1].
3. Test RVQ permet de détecter 1 rupture discrète, plusieurs et/ou 1
évolution lente de la fonction de régression.
4. Si 1 point distinct dans fonction de régression, date avec valeur de stat
F plus grande est estimateur consistent de la date de rupture.

25. Eviter les problèmes causés par les
ruptures
• Détecter la source et la nature de la rupture.
- Si date spécifique > détectable par RVQ
- Fonction de régression
Yt = β0 + β1Yt-1 + δ1Xt-1 + γ0Dt(τ) +
γ1(Dt(τ) × Yt-1) + γ2(Dt(τ) × Xt-1) + ut
• Si date distincte et connue, inférence statistique sur
coefficients de régression normalement effectuée en
utilisant valeurs critiques des tests sur statistiques t.

26. Prévisions hors-échantillon et en
pseudo temps réel.
 Méthode de simulation de la performance du modèle
de prévision en temps réel.
 On choisit une date s proche de la fin
 Nouvel échantillon de 1 à s
 Estimation du modèle en prenant les données du nouvel échantillon
& construction des prévisions et erreurs de prévisions associés aux
horizons temporels compris entre s et la fin de l’échantillon initial
 Puis augmentation de l’échantillon d’une observation (s+1), ré-
estimation du modèle de régression
 Calcul des prévisions & erreurs correspondantes, etc jusqu’à avoir fait
toutes les observations « hors échantillon »
 Examen des pseudos erreurs de prévisions pour voir si elles
correspondent à ce qui est attendu en cas de stationnarité.

27.  Prévisions hors échantillon en
pseudos temps réels
Valeurs futures disponibles
Peuvent être comparées aux pseudos
prévisions
Prévisions hors échantillon
(en temps réel pour de réelles
dates futures)
Calculées sans informations sur les
valeurs futures

28.  2e utilisation : Estimation de la REQMP
(racine carrée de l’erreur quadratique moyenne de prévision)
 Prévisions faites avec des données antérieures
Reflètent 2 sources d’incertitude :
 Incertitude liées aux valeurs futures
 Incertitude de l’estimation des coefficients de régression
• 3e utilisation :
 Choix entre 2 ou plusieurs modèles
(2 modèles peuvent sembler équivalents en terme de prévisions mais se
comporter différemment en prévisions hors-échantillon en pseudo temps
réel)
 Si 2 modèles ≠ par construction des PHOPTR, méthode aisée pour
comparer et se concentrer sur la capacité à fournir des prévisions fiables

29. Approche « historique »
Tendances.
Comment est-on passé de croyances plutôt
déterministes à stochastiques ?
Ruptures.
Exemple du Luxembourg, comment explique-
t-on une réorientation de l’économie ?

30. Phénomène des ondes longues
 Les ondes longues = considérées comme un cycle régulier à
long terme.
 Kondratieff
 Publication de ses travaux en plein âge d’or de l’analyse par les faits
empiriques
 les résultats obtenus par Kondratieff l’ont été à partir d’un processus
composé d’une onde longue superposée aux composantes
tendancielle et cyclique.
 On suit une tendance superposée de fluctuations

32. Décomposition
 Théories de la croissance
=> essaient d’expliquer une tendance de long
terme
 Théorie des cycles et des fluctuations
=> analyse des mouvements de divers
agrégats autour de cette tendance

33. Décomposition
 Raison technique de la décomposition
- Les séries sont majoritairement non stationnaires
- Variance, moyenne, covariance non constante
- On ne peut alors utiliser les méthodes MCO
- Il faut alors purger la tendance, rendre la série
stationnaire

34. L’influence néoclassique
 Années 30 à 80
- Croyance d’une tendance déterministe dans les séries
- Tendance dépendante du temps
est un terme aléatoire qui suit distribution
stationnaire.
Mais on peut aussi envisager des hypothèses de tendance
paraboliques, exponentielles, logistiques de dépendance
de la série par rapport au temps

35. L’influence néoclassique
- Cycles = courts déséquilibres par rapport à une
tendance
- Chocs à une période n’ont aucune incidence sur
l’évolution ultérieure
- Tout mouvement long et permanent est associé à une
tendance.
- Coïncide avec la vision keynésienne, est donc très
populaire

36. L’influence néoclassique
Effets de court terme / transitoires
On ne remet pas en cause le mouvement long
de la tendance
Dissociation entre croissance et cycle

37. La fin du monopole déterministe
 Beveridge et Nelson (1981)
 Mettent en évidence l’hypothèse de tendance
stochastique
 Utilisent pour ceci le modèle (ARIMA)
 La décomposition permet de distinguer 2 éléments :
Marche aléatoire sans dérive Processus stationnaire

38. La fin du monopole déterministe
 Nelson et Plosser (1982)
 Sur la base des travaux de Beveridge et Nelson
 étude sur un ensemble 14 séries macroéconomiques
 PNB réel, nominal, production industrielle par tête,
diverses séries de prix, de salaire et de rendement, la
monnaie et sa vitesse de circulation et le taux de
chômage
 Sur des périodes allant de 60 ans à un siècle

39. La fin du monopole déterministe
 Résulat
 Rejet de l’hypothèse de séries stationnaires autour
d’une tendance déterministe
 une exception, le taux de chômage.
 On peut donc pas rejeter l’hypothèse de tendances
stochastiques

40. La fin du monopole déterministe
 Conséquences
 La variable ne dépend pas du temps
 Mais du niveau de la variable précédente
 Préférable de concevoir les séries économiques
comme une marche aléatoire.
 Après un choc un série a tendance ne va pas revenir sur une
moyenne de long terme, mais s’en éloigner au fur et à mesure

41. Programmation sous R

43. L’effet des ruptures
L’exemple luxembourgeois
-Très particulier
Attention j’ai mis des images.
Pourquoi ?
- Exemple européen, s’étend à la France et à la Belgique
- Changement radical dans la structure économique du pays.
- Afin de faire un lien avec le cours d’intégration économique

44. La situation du pays
 Avant la première guerre mondiale
Pays industrialisé
- l’extraction minière
- sidérurgie

45. La situation du pays
Dépendance économique
- L’Allemagne  partenaire commercial
- Zollverein (union douanière)
- Zulieferer (sous - traitant)
- Capitaux allemands

46. La situation du pays
 Entre les deux guerres
De grands changements
- Le Zollverein tombe
- Nouveaux partenaires commerciaux
nécessaires
- La production chute
- La France ou la Belgique ?
- La Belgique !

47. Les premiers changements
De nombreuses ruptures
- Economique et internationale
Isolement économique
L’UEBL
Effets d’entrainement moindres
Reconfiguration de la production
Capitaux moins nombreux
- Agricole
Le secteur de l’agriculture ne fait pas le poids
Changements dans le secteur viticole

48. La croissance et la stabilité
La sidérurgie
Production massive après la seconde guerre
mondiale
Fierté nationale, représente le pays
Investissements en capital fixe élevés
 Effets importants sur les autres secteurs
L’ouverture économique – UE (1951)
Pays très intégré

49. Le choc sidérurgique
 Milieu des années 70
 Surproduction mondiale
 Baisse importante des prix
 Aggravé par les effets du choc pétrolier de 1973
 Tendances inflationnistes récurrentes
Une crise longue
- Détérioration permanente et irréversible
- 1974 – 1992 baisse de 50% de la production

50. Le choc sidérurgique
 Phénomène mondial
 Effet similaire dans le bassin lorrain
 France et Belgique
 Fermetures de grandes aciéries dans la région
 Problèmes toujours d’actualité aujourd’hui !

51. Restructuration
 Mesures prises
 Plan de diversification
 Développement du secteur tertiaire particulièrement de la place
financière
 Développement d’une industrie de pointe: Satellites, audiovisuel
Recherche d’avantages compétitifs
Restructuration et assainissement de la sidérurgie
- tripartite