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Stat 
descriptive 
Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
Cours 1 
Statistique descriptive 
Ismaël Castillo 
École des Ponts, 9 Octobre 2012
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Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
1 Introduction 
2 Séries numériques 
Variables discrètes / continues 
Représentation graphique 
Statistiques 
3 Deux séries numériques 
Statistiques 
Régression : Introduction 
QQ-plots
Stat 
descriptive 
Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
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graphique 
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Statistiques 
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QQ-plots 
1. Introduction 
Objectifs 
Définir les quantités statistiques basiques 
Présenter les outils graphiques de la stat. descriptive 
On travaillera sur le jeu de données x1; : : : ; xn sans faire d’hypothèse a priori sur 
l’existence éventuelle d’un modèle probabiliste sous-jacent
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numériques 
Variables 
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continues 
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Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
2. Séries numériques 
L’objet de base = les données 
x1; : : : ; xn 
Dans ce premier cours, on considère le cas xi 2 R 
On parle de série numérique. 
On distinguera deux types de variables 
les variables discrètes 
I On dit qu’une série numérique correspond à une variable discrète si le 
nombre de valeurs différentes prises par x1; : : : ; xn est petit devant n 
les variables continues 
I les autres, typiquement x1; : : : ; xn correspond à n valeurs distinctes.
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Séries 
numériques 
Variables 
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Représentation 
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Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
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Histogrammes 
L’histogramme représente graphiquement le nombre de données par unité/bloc 
Histogramme, cas discret 
h(x) = 
Xn 
i=1 
1x=xi 
0 5 10 15 20 
rpois(100,lambda=5) 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
Remarque : L’histogramme normalisé est donné par h(x) = 1 
n 
Pni 
=1 1x=xi .
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Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
Histogrammes 
Histogramme, cas continu 
On se donne 
I Un nombre k de classes 
I Une partition de R en k intervalles I1; : : : ; Ik 
nj = 
Xk 
j=1 
1xi2Ij 
Alors 
h(x) = 
1 
n 
nj 
jIj j 
; si x 2 Ij 
Histogram of x 
x 
Density 
-1 0 1 2 3 4 5 
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
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graphique 
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numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
Histogrammes, choix du nombre de classes 
Les choix de k et de la partition I1; : : : ; Ik sont délicats. 
Souvent, on prend 
Une partition uniforme 
On cherche à avoir au moins 5 points par intervalle 
Histogram of x 
x 
Density 
-2 -1 0 1 2 3 4 5 
0.0 0.1 0.2 0.3 
Histogram of x 
x 
Density 
-1 0 1 2 3 4 5 
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 
Histogram of x 
x 
Density 
-1 0 1 2 3 4 5 
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
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Régression : 
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QQ-plots 
Fonction de répartition empirique 
Série numérique x1; : : : ; xn 
Definition 
La valeur en x de la fonction de répartition empirique associée à (x1; : : : ; xn) est 
la proportion d’éléments de la série plus petits que x 
^Fn(x) = 
1 
n 
Xn 
i=1 
1xix 
Propriétés 
^Fn : R ! [0; 1] 
^Fn est en escalier, croissante 
^Fn vaut 0 pour x  mini xi et 1 pour x  maxi xi
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QQ-plots 
Fonction de répartition empirique 
0 2 4 6 8 10 12 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 
x 
Fn(x) 
Exemple 1 : variable discrète 
n = 100 x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi P(5)
Stat 
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Fonction de répartition empirique 
0 2 4 6 8 10 12 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 
x 
Fn(x) 
Exemple 1 : variable discrète 
n = 100 x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi P(5)
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QQ-plots 
Fonction de répartition empirique 
0 1 2 3 4 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 
ecdf(x2) 
x 
Fn(x) 
Exemple 2 : variable continue 
n = 100 
x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi N(2; 1)
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QQ-plots 
Fonction de répartition empirique 
0 1 2 3 4 
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 
ecdf(x2) 
x 
Fn(x) 
Exemple 2 : variable continue 
n = 100 
x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi N(2; 1)
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Statistiques 
Une statistique est une fonction des données, à valeurs dans Rp 
S(x1; : : : ; xn) 2 Rp 
Exemple S(x1; : : : ; xn) = max(x1; : : : ; xn) 
Les statistiques sont des aspects des données 
Idéalement, on cherche un petit nombre de statistiques qui va résumer les 
données x1; : : : ; xn. On distingue les 
statistiques de position 
statistiques de dispersion 
statistiques d’ordre (et quantiles) 
: : :
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QQ-plots 
Statistiques de position de x1; : : : ; xn 
Moyenne x 
x = 
1 
n 
Xn 
i=1 
xi 
Médiane Medx C’est un nombre m qui sépare les données rangées dans l’ordre en 
deux ensembles de même taille. 
x(1)  x(2)  : : : j : : :  x(n1)  x(n) 
Il y a deux cas 
n = 2p + 1 impair x(1)  : : : x(p)  x(p+1)  x(p+2)  : : :  x(2p+1) 
Medx = x(p+1) 
n = 2p pair x(1)  : : :  x(p)  m  x(p+1)  : : :  x(2p) 
Medx = 
x(p) + x(p+1) 
2 
Remarque. Lorsque n est pair, il y a en général plusieurs nombres qui 
conviennent. Le choix ci-dessus est habituel.
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Exercices et exemples 
Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au 
sein des données.
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Exercices et exemples 
Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au 
sein des données. 
Exercice. Calculer moyenne, médiane et mode de 
s = (2;1; 0; 5; 8) 
t = (4; 1;3; 5; 3; 3;3; 6) 
x = (1; 1; 2; 3; 3; 3; 3; 9; 20)
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Exercices et exemples 
Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au 
sein des données. 
Exercice. Calculer moyenne, médiane et mode de 
s = (2;1; 0; 5; 8) 
t = (4; 1;3; 5; 3; 3;3; 6) 
x = (1; 1; 2; 3; 3; 3; 3; 9; 20) 
s = 2 Medx = 0 Modex =  
t = 1 Medx = 2 Modex =  
x = 5 Medx = 3 Modex = 3
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Exercices et exemples 
Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au 
sein des données. 
Exercice. Calculer moyenne, médiane et mode de 
s = (2;1; 0; 5; 8) 
t = (4; 1;3; 5; 3; 3;3; 6) 
x = (1; 1; 2; 3; 3; 3; 3; 9; 20) 
s = 2 Medx = 0 Modex =  
t = 1 Medx = 2 Modex =  
x = 5 Medx = 3 Modex = 3 
Illustration phénomène moyenne/médiane 
Salaire net moyen 2008 en France : 2069 euros/mois 
Salaire net médian 2008 en France : 1655 euros/mois
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Exemple 
Exemple : moyenne/médiane pour un échantillon de loi de Cauchy 
-20 0 20 40 60 80 
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 
y 
z 
Exemple : Loi de Cauchy 
n = 50 
x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi C(0; 1)
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Exemple 
Exemple : moyenne/médiane pour un échantillon de loi de Cauchy 
-20 0 20 40 60 80 
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 
y 
z 
Exemple : Loi de Cauchy 
n = 50 
x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi C(0; 1) 
Moyenne = 4.54 
Médiane = 0.27
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Statistiques de dispersion de x1; : : : ; xn 
Variance vx 
vx = 
1 
n 
Xn 
i=1 
(xi  x)2 
Écart-type sx 
sx = 
p 
vx 
Premier quartile Q1 : médiane des données  Medx 
Troisième quartile Q3 : médiane des données  Medx 
Écart inter-quartile : Q3  Q1 
Remarque : Le deuxième quartile est la médiane des données
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Exercices 
Exercice 1 : Moyenne et médiane d’échantillons 
Exercice 2 : Lesquelles des quantités précédentes sont invariantes par permutation 
des données, par translation des données d’une même quantité  ? Que 
deviennent-elles si on multiplie les données par   0 ? 
Exercice 3 : Distribution exactement symétrique 
On dit que x1; : : : ; xn est (exactement) symétrique par rapport au réel  si 
8a  0, la fréquence de  + a est égale à celle de   a. 
Calculer la moyenne et la médiane d’une série symétrique par rapport à .
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QQ-plots 
Statistiques d’ordre et quantiles de x1; : : : ; xn 
Il est souvent utile de ranger les données dans l’ordre 
x(1) = min 
1in 
xi ; x(n) = max 
1in 
xi 
Il existe une permutation  2 n telle que 
x(1)  x(2)      x(n) 
On note x(k) = x(k) la statistique d’ordre de rang k.
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Régression : 
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QQ-plots 
Statistiques d’ordre et quantiles de x1; : : : ; xn 
Il est souvent utile de ranger les données dans l’ordre 
x(1) = min 
1in 
xi ; x(n) = max 
1in 
xi 
Il existe une permutation  2 n telle que 
x(1)  x(2)      x(n) 
On note x(k) = x(k) la statistique d’ordre de rang k. 
Le quantile d’ordre  noté qx 
est 
x(m); avec m = bnc 
On peut redéfinir quartiles et médiane par 
Q1 = qx 
0:25; Medx = qx 
0:5; Q3 = qx 
0:75 
Remarque : peut différer très légèrement de la définition précédente mais pas grave
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QQ-plots 
Box plots (boîtes à moustaches) 
Un résumé pratique des données x1; : : : ; xn est donné par 
Medx , la médiane de l’échantillon 
Q1;Q3, premier et troisième quartiles 
A;B limites en dehors desquelles les données seront considérées comme 
aberrantes (atypiques, outliers). Souvent, 
A = minfxi : xi  Q1  1:5(Q3  Q1)g 
B = maxfxi : xi  Q3 + 1:5(Q3  Q1) 
Intérêts 
Résumé des données 
Comparaison d’échantillons
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QQ-plots 
Box plots (boîtes à moustaches) 
-2 -1 0 1 
Exemple 1 : loi normale 
n = 50 
x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi N(0; 1) 
Remarque. Si on prend les quartiles théoriques pour une loi N(0; 1), la proba pour un tirage x1 de ne pas 
être dans [A; B] est 0:7%
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QQ-plots 
Box plots, exemples 
-15 -10 -5 0 5 10 
Exemple 1 : loi de Cauchy 
n = 50 
x1; : : : ; xn tirés 
selon une loi C(0; 1)
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QQ-plots 
Comparaison de deux séries numériques 
On dispose de deux séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn qu’on veut comparer 
Exemples 
Etude du lien éventuel entre x et y 
I Taille et poids d’un même individu 
I Température et niveau de pollution à Paris un même jour 
Savoir si x proche d’une distribution théorique donnée (ex. normale)
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QQ-plots 
Covariance et corrélation 
La covariance des séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn notée sx;y est 
sx;y = 
1 
n 
Xn 
i=1 
(xi  x)(yi  y)
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QQ-plots 
Covariance et corrélation 
La covariance des séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn notée sx;y est 
sx;y = 
1 
n 
Xn 
i=1 
(xi  x)(yi  y) 
Le coefficient de corrélation linéaire x;y de x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn est 
xy = 
sxy 
sx sy
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Introduction 
QQ-plots 
Covariance et corrélation 
La covariance des séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn notée sx;y est 
sx;y = 
1 
n 
Xn 
i=1 
(xi  x)(yi  y) 
Le coefficient de corrélation linéaire x;y de x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn est 
xy = 
sxy 
sx sy 
Proposition 
Pour toutes séries x et y, 
1  xy  1 
Cas d’égalité : jxy j = 1 si et seulement si les séries sont réliées par un relation 
affine : il existe a; b avec xi = ayi + b pour tout i = 1; : : : ; n.
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Introduction 
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Covariance et corrélation 
Exercice : Démontrer la Proposition
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QQ-plots 
Nuage de points 
Le nuage de points associé aux séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn est la représentation 
des points de coordonnées (xi ; yi ) dans le plan. 
Parfois, on effectue un transformation préalable des données 
Exemple : nuage de points (log(xi ); log(yi ))
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QQ-plots 
Droite de régression 
Pour un nuage de points (xi ; yi )i=1;:::;n, notons 
Mi le point de coordonnées (xi ; yi ) 
 la droite d’équation y = ax + b 
M0 
i le point de coordonnées (xi ; axi + b) 
(projection verticale de Mi sur la droite ) 
Droite de régression de Y sur X 
C’est la droite qui minimise la quantité 
Xn 
i=1 
i )2; 
d(Mi ;M0 
avec d(M;N) distance euclidienne entre les points M et N.
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Introduction 
QQ-plots 
Droite de régression, exemple 
-4 -2 0 2 4 
-5 0 5 
x 
y
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numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
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Deux séries 
numériques 
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Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
Droite de régression, exemple 
-4 -2 0 2 4 
-5 0 5 
x 
y
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numériques 
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continues 
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Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
Droite de régression 
Proposition 
L’équation de la droite de régression de Y sur X est donnée par y = ax + b, avec 
a = 
sxy 
s2 
x 
; b = y  ax 
Exercice 
1 Interpréter géométriquement le coefficient b 
2 Démontrer la proposition 
3 Les droites de régression de Y sur X et de X sur Y coincident-elles ?
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Introduction 
QQ-plots 
Droite de régression, exemple 
-4 -2 0 2 4 
-5 0 5 
x 
y
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numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
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QQ-plots 
Droite de régression, exemple 
-4 -2 0 2 4 
-5 0 5 
x 
y
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Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
QQ-plots 
Premier cas : On cherche à répondre à la question 
Les séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn suivent-elles la même ‘distribution’ ? 
Le QQ-plot est dans ce cas le nuage de points (qy 
j ), où les qy 
j ; qx 
j ; qx 
j sont une 
suite de quantiles de y et x. 
Deuxième cas : On cherche à répondre à la question 
La série observée x1; : : : ; xn se représente-t-elle bien par une certaine loi 
théorique ? 
Le QQ-plot est dans ce cas le nuage de points (q 
j ; qx 
j sont une 
j ; qx 
j ), où les q 
suite de quantiles resp. de la loi théorique et des données x.
Stat 
descriptive 
Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
QQ-plots, exemple, cas 1 
Données précédentes droite de régression 
y = ax + b + 2,   N(0; 1) 
-4 -2 0 2 4 
-5 0 5 
x 
y
Stat 
descriptive 
Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
QQ-plots, exemple, cas 1 
Données précédentes droite de régression 
y = ax + b + 2,   N(0; 1) 
-4 -2 0 2 4 
-5 0 5 
x 
y
Stat 
descriptive 
Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
QQ-plots, exemple, cas 2 
-2 -1 0 1 2 
-1 0 1 2 3 4 
Normal Q-Q Plot 
Theoretical Quantiles 
Sample Quantiles 
Exemple : loi normale 
Échantillon x1; : : : ; xn 
de loi N(0; 1) 
QQ-plot 
Comparaison à la loi 
théorique N(0; 1)
Stat 
descriptive 
Introduction 
Séries 
numériques 
Variables 
discrètes / 
continues 
Représentation 
graphique 
Statistiques 
Deux séries 
numériques 
Statistiques 
Régression : 
Introduction 
QQ-plots 
Un dernier exercice 
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Ponts castillo1 statistique

  • 1. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Cours 1 Statistique descriptive Ismaël Castillo École des Ponts, 9 Octobre 2012
  • 2. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots 1 Introduction 2 Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques 3 Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots
  • 3. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots 1. Introduction Objectifs Définir les quantités statistiques basiques Présenter les outils graphiques de la stat. descriptive On travaillera sur le jeu de données x1; : : : ; xn sans faire d’hypothèse a priori sur l’existence éventuelle d’un modèle probabiliste sous-jacent
  • 4. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots 2. Séries numériques L’objet de base = les données x1; : : : ; xn Dans ce premier cours, on considère le cas xi 2 R On parle de série numérique. On distinguera deux types de variables les variables discrètes I On dit qu’une série numérique correspond à une variable discrète si le nombre de valeurs différentes prises par x1; : : : ; xn est petit devant n les variables continues I les autres, typiquement x1; : : : ; xn correspond à n valeurs distinctes.
  • 5. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Histogrammes L’histogramme représente graphiquement le nombre de données par unité/bloc Histogramme, cas discret h(x) = Xn i=1 1x=xi 0 5 10 15 20 rpois(100,lambda=5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Remarque : L’histogramme normalisé est donné par h(x) = 1 n Pni =1 1x=xi .
  • 6. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Histogrammes Histogramme, cas continu On se donne I Un nombre k de classes I Une partition de R en k intervalles I1; : : : ; Ik nj = Xk j=1 1xi2Ij Alors h(x) = 1 n nj jIj j ; si x 2 Ij Histogram of x x Density -1 0 1 2 3 4 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
  • 7. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Histogrammes, choix du nombre de classes Les choix de k et de la partition I1; : : : ; Ik sont délicats. Souvent, on prend Une partition uniforme On cherche à avoir au moins 5 points par intervalle Histogram of x x Density -2 -1 0 1 2 3 4 5 0.0 0.1 0.2 0.3 Histogram of x x Density -1 0 1 2 3 4 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 Histogram of x x Density -1 0 1 2 3 4 5 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
  • 8. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Fonction de répartition empirique Série numérique x1; : : : ; xn Definition La valeur en x de la fonction de répartition empirique associée à (x1; : : : ; xn) est la proportion d’éléments de la série plus petits que x ^Fn(x) = 1 n Xn i=1 1xix Propriétés ^Fn : R ! [0; 1] ^Fn est en escalier, croissante ^Fn vaut 0 pour x mini xi et 1 pour x maxi xi
  • 9. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Fonction de répartition empirique 0 2 4 6 8 10 12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Fn(x) Exemple 1 : variable discrète n = 100 x1; : : : ; xn tirés selon une loi P(5)
  • 10. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Fonction de répartition empirique 0 2 4 6 8 10 12 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 x Fn(x) Exemple 1 : variable discrète n = 100 x1; : : : ; xn tirés selon une loi P(5)
  • 11. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Fonction de répartition empirique 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ecdf(x2) x Fn(x) Exemple 2 : variable continue n = 100 x1; : : : ; xn tirés selon une loi N(2; 1)
  • 12. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Fonction de répartition empirique 0 1 2 3 4 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ecdf(x2) x Fn(x) Exemple 2 : variable continue n = 100 x1; : : : ; xn tirés selon une loi N(2; 1)
  • 13. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Statistiques Une statistique est une fonction des données, à valeurs dans Rp S(x1; : : : ; xn) 2 Rp Exemple S(x1; : : : ; xn) = max(x1; : : : ; xn) Les statistiques sont des aspects des données Idéalement, on cherche un petit nombre de statistiques qui va résumer les données x1; : : : ; xn. On distingue les statistiques de position statistiques de dispersion statistiques d’ordre (et quantiles) : : :
  • 14. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Statistiques de position de x1; : : : ; xn Moyenne x x = 1 n Xn i=1 xi Médiane Medx C’est un nombre m qui sépare les données rangées dans l’ordre en deux ensembles de même taille. x(1) x(2) : : : j : : : x(n1) x(n) Il y a deux cas n = 2p + 1 impair x(1) : : : x(p) x(p+1) x(p+2) : : : x(2p+1) Medx = x(p+1) n = 2p pair x(1) : : : x(p) m x(p+1) : : : x(2p) Medx = x(p) + x(p+1) 2 Remarque. Lorsque n est pair, il y a en général plusieurs nombres qui conviennent. Le choix ci-dessus est habituel.
  • 15. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Exercices et exemples Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au sein des données.
  • 16. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Exercices et exemples Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au sein des données. Exercice. Calculer moyenne, médiane et mode de s = (2;1; 0; 5; 8) t = (4; 1;3; 5; 3; 3;3; 6) x = (1; 1; 2; 3; 3; 3; 3; 9; 20)
  • 17. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Exercices et exemples Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au sein des données. Exercice. Calculer moyenne, médiane et mode de s = (2;1; 0; 5; 8) t = (4; 1;3; 5; 3; 3;3; 6) x = (1; 1; 2; 3; 3; 3; 3; 9; 20) s = 2 Medx = 0 Modex = t = 1 Medx = 2 Modex = x = 5 Medx = 3 Modex = 3
  • 18. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Exercices et exemples Mode Modex (pour des données discrètes) C’est la valeur la plus fréquente au sein des données. Exercice. Calculer moyenne, médiane et mode de s = (2;1; 0; 5; 8) t = (4; 1;3; 5; 3; 3;3; 6) x = (1; 1; 2; 3; 3; 3; 3; 9; 20) s = 2 Medx = 0 Modex = t = 1 Medx = 2 Modex = x = 5 Medx = 3 Modex = 3 Illustration phénomène moyenne/médiane Salaire net moyen 2008 en France : 2069 euros/mois Salaire net médian 2008 en France : 1655 euros/mois
  • 19. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Exemple Exemple : moyenne/médiane pour un échantillon de loi de Cauchy -20 0 20 40 60 80 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 y z Exemple : Loi de Cauchy n = 50 x1; : : : ; xn tirés selon une loi C(0; 1)
  • 20. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Exemple Exemple : moyenne/médiane pour un échantillon de loi de Cauchy -20 0 20 40 60 80 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 y z Exemple : Loi de Cauchy n = 50 x1; : : : ; xn tirés selon une loi C(0; 1) Moyenne = 4.54 Médiane = 0.27
  • 21. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Statistiques de dispersion de x1; : : : ; xn Variance vx vx = 1 n Xn i=1 (xi x)2 Écart-type sx sx = p vx Premier quartile Q1 : médiane des données Medx Troisième quartile Q3 : médiane des données Medx Écart inter-quartile : Q3 Q1 Remarque : Le deuxième quartile est la médiane des données
  • 22. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Exercices Exercice 1 : Moyenne et médiane d’échantillons Exercice 2 : Lesquelles des quantités précédentes sont invariantes par permutation des données, par translation des données d’une même quantité ? Que deviennent-elles si on multiplie les données par 0 ? Exercice 3 : Distribution exactement symétrique On dit que x1; : : : ; xn est (exactement) symétrique par rapport au réel si 8a 0, la fréquence de + a est égale à celle de a. Calculer la moyenne et la médiane d’une série symétrique par rapport à .
  • 23. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Statistiques d’ordre et quantiles de x1; : : : ; xn Il est souvent utile de ranger les données dans l’ordre x(1) = min 1in xi ; x(n) = max 1in xi Il existe une permutation 2 n telle que x(1) x(2) x(n) On note x(k) = x(k) la statistique d’ordre de rang k.
  • 24. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Statistiques d’ordre et quantiles de x1; : : : ; xn Il est souvent utile de ranger les données dans l’ordre x(1) = min 1in xi ; x(n) = max 1in xi Il existe une permutation 2 n telle que x(1) x(2) x(n) On note x(k) = x(k) la statistique d’ordre de rang k. Le quantile d’ordre noté qx est x(m); avec m = bnc On peut redéfinir quartiles et médiane par Q1 = qx 0:25; Medx = qx 0:5; Q3 = qx 0:75 Remarque : peut différer très légèrement de la définition précédente mais pas grave
  • 25. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Box plots (boîtes à moustaches) Un résumé pratique des données x1; : : : ; xn est donné par Medx , la médiane de l’échantillon Q1;Q3, premier et troisième quartiles A;B limites en dehors desquelles les données seront considérées comme aberrantes (atypiques, outliers). Souvent, A = minfxi : xi Q1 1:5(Q3 Q1)g B = maxfxi : xi Q3 + 1:5(Q3 Q1) Intérêts Résumé des données Comparaison d’échantillons
  • 26. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Box plots (boîtes à moustaches) -2 -1 0 1 Exemple 1 : loi normale n = 50 x1; : : : ; xn tirés selon une loi N(0; 1) Remarque. Si on prend les quartiles théoriques pour une loi N(0; 1), la proba pour un tirage x1 de ne pas être dans [A; B] est 0:7%
  • 27. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Box plots, exemples -15 -10 -5 0 5 10 Exemple 1 : loi de Cauchy n = 50 x1; : : : ; xn tirés selon une loi C(0; 1)
  • 28. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Comparaison de deux séries numériques On dispose de deux séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn qu’on veut comparer Exemples Etude du lien éventuel entre x et y I Taille et poids d’un même individu I Température et niveau de pollution à Paris un même jour Savoir si x proche d’une distribution théorique donnée (ex. normale)
  • 29. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Covariance et corrélation La covariance des séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn notée sx;y est sx;y = 1 n Xn i=1 (xi x)(yi y)
  • 30. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Covariance et corrélation La covariance des séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn notée sx;y est sx;y = 1 n Xn i=1 (xi x)(yi y) Le coefficient de corrélation linéaire x;y de x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn est xy = sxy sx sy
  • 31. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Covariance et corrélation La covariance des séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn notée sx;y est sx;y = 1 n Xn i=1 (xi x)(yi y) Le coefficient de corrélation linéaire x;y de x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn est xy = sxy sx sy Proposition Pour toutes séries x et y, 1 xy 1 Cas d’égalité : jxy j = 1 si et seulement si les séries sont réliées par un relation affine : il existe a; b avec xi = ayi + b pour tout i = 1; : : : ; n.
  • 32. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Covariance et corrélation Exercice : Démontrer la Proposition
  • 33. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Nuage de points Le nuage de points associé aux séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn est la représentation des points de coordonnées (xi ; yi ) dans le plan. Parfois, on effectue un transformation préalable des données Exemple : nuage de points (log(xi ); log(yi ))
  • 34. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Droite de régression Pour un nuage de points (xi ; yi )i=1;:::;n, notons Mi le point de coordonnées (xi ; yi ) la droite d’équation y = ax + b M0 i le point de coordonnées (xi ; axi + b) (projection verticale de Mi sur la droite ) Droite de régression de Y sur X C’est la droite qui minimise la quantité Xn i=1 i )2; d(Mi ;M0 avec d(M;N) distance euclidienne entre les points M et N.
  • 35. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Droite de régression, exemple -4 -2 0 2 4 -5 0 5 x y
  • 36. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Droite de régression, exemple -4 -2 0 2 4 -5 0 5 x y
  • 37. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Droite de régression Proposition L’équation de la droite de régression de Y sur X est donnée par y = ax + b, avec a = sxy s2 x ; b = y ax Exercice 1 Interpréter géométriquement le coefficient b 2 Démontrer la proposition 3 Les droites de régression de Y sur X et de X sur Y coincident-elles ?
  • 38. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Droite de régression, exemple -4 -2 0 2 4 -5 0 5 x y
  • 39. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Droite de régression, exemple -4 -2 0 2 4 -5 0 5 x y
  • 40. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots QQ-plots Premier cas : On cherche à répondre à la question Les séries x1; : : : ; xn et y1; : : : ; yn suivent-elles la même ‘distribution’ ? Le QQ-plot est dans ce cas le nuage de points (qy j ), où les qy j ; qx j ; qx j sont une suite de quantiles de y et x. Deuxième cas : On cherche à répondre à la question La série observée x1; : : : ; xn se représente-t-elle bien par une certaine loi théorique ? Le QQ-plot est dans ce cas le nuage de points (q j ; qx j sont une j ; qx j ), où les q suite de quantiles resp. de la loi théorique et des données x.
  • 41. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots QQ-plots, exemple, cas 1 Données précédentes droite de régression y = ax + b + 2, N(0; 1) -4 -2 0 2 4 -5 0 5 x y
  • 42. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots QQ-plots, exemple, cas 1 Données précédentes droite de régression y = ax + b + 2, N(0; 1) -4 -2 0 2 4 -5 0 5 x y
  • 43. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots QQ-plots, exemple, cas 2 -2 -1 0 1 2 -1 0 1 2 3 4 Normal Q-Q Plot Theoretical Quantiles Sample Quantiles Exemple : loi normale Échantillon x1; : : : ; xn de loi N(0; 1) QQ-plot Comparaison à la loi théorique N(0; 1)
  • 44. Stat descriptive Introduction Séries numériques Variables discrètes / continues Représentation graphique Statistiques Deux séries numériques Statistiques Régression : Introduction QQ-plots Un dernier exercice Exercice : Répartition du PIB/habitant Faire l’Exercice 1.1 du polycopié