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          La fonction quadratique

           Cette section contient les notions essentielles pour
           comprendre les fonctions quadratiques. En
           cliquant sur le bouton «théorie», il vous sera
           possible de choisir le sujet de votre choix.
Théorie
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La fonction quadratique
    Rappel des notions sur les fonctions.

    Secondaire 4 : technico-sciences.

    Références

                      y




                                     x
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La fonction quadratique
Rappel des notions sur les fonctions

Qu’est-ce qu’une fonction?
Une fonction est une relation entre deux ensembles qui associe à
tout élément du premier ensemble un élément unique bien
déterminé du deuxième ensemble.

Pour vérifier si c’est véritablement une fonction dans le plan, on
peut faire le test de la droite verticale, expliqué à la prochaine page.
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La fonction quadratique
Rappel des notions sur les fonctions
Test de la droite verticale

Si une droite verticale passant par tout point de l’axe des « x » coupe
le graphique en au plus un point, alors c’est une fonction.
                              y                y=x



                                           x
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La fonction quadratique
Rappel des notions sur les fonctions
Pour tracer une fonction à partir de son équation, on peut créer
une table de valeurs afin de repérer facilement les coordonnées
dans le plan.

               f(x) = -3x + 6
                                                    y
 Pour x = 0             Pour x = 3
 y = -3(0) + 6          y = -3(3) + 6   (0,6)
 y=6                    y = -3
                                                                        x
      x    0       1    2       3
     f(x) 6        3    0   -3                  (3,-3)
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La fonction quadratique
Rappel des notions sur les fonctions

Dans une fonction de la forme : y = ax + b, «b» est l’endroit où la
droite croise l’axe des y et «a» représente l’inclinaison de la droite.
Si «a» est un nombre négatif, l’inclinaison de la droite sera vers le
bas (de gauche à droite).
                            y         y = 2x
                                             y = 0,5x


                                 (0,-3)     x

                                          y = -x - 3
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La fonction quadratique
La fonction quadratique, aussi appelée « fonction pôlinomiale de
degré 2 », est une fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 à
une variable. La représentation graphique d’une fonction quadratique
dont la règle est de f(x) = a(bx)², où a et b n’égalent pas 0, est une
parabole dont le sommet se situe à l’origine du plan cartésien.

            f(x) = 3(2x)²                      y


  x    -2    -1     0       1   2
f(x) 48      12     0       12 48                                 x
                                     (-2,48)             (2,48)
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La fonction quadratique
Afin de s’assurer que le modèle mathématique qui correspond à cette
table des valeurs est une fonction quadratique, il suffit de vérifier que les
accroissements des accroissements de la variable dépendante sont
constants pour des accroissements constants de la variable indépendante.
Dans l’exemple ci-dessous, pour des accroissements de +1 de la variable
indépendante «x», les accroissements des accroissements de la variable
dépendante sont constants (+24).

                     +1        +1       +1   +1
               x    -2    -1        0    1    2
             f(x) 48      12        0    12 48
                     -36 -12 +12 +36
                       +24 +24    +24
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La fonction quadratique
Il existe une autre forme de la règle de la fonction quadratique de la
forme f(x) = a(bx)². Il suffit d’appliquer la loi des exposants pour en
arriver à une équation équivalente de la forme f(x) = ax².



                        f(x) = 5(3x)²
                        f(x) = 5(3²)(x²)
                        f(x) = 5(9)(x²)
                        f(x) = 45x²
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La fonction quadratique
Le rôle des paramètres de la fonction quadratique

• Lorsque a < 0, la parabole est ouverte vers le bas.
• Lorsque a > 0, la parabole est ouverte vers le haut.

            a<0                               a>0
           y
                                               y



                          x
                                                                   x
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La fonction quadratique
Le rôle des paramètres de la fonction quadratique
• Lorsque |a| > 1, la parabole est moins ouverte que
  lorsque a = 1.
        f   g    h    y
                                                       Si a < 0, les
                                                       paraboles auront la
                                                       même ouverture,
                                                       mais elles seront
                                              x        orientées vers le
         f(x) = x²                                     bas.
         g(x) = 2x²
         h(x) = 4x²
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La fonction quadratique
Le rôle des paramètres de la fonction quadratique
• Lorsque |a| < 1, la parabole est plus ouverte que
  lorsque a = 1.
      g f               y
  h
                                                      Si a < 0, les
                                                      paraboles auront
                                                      la même
                                                      ouverture, mais
         f(x) = x²                             x
                                                      elles seront
         g(x) = 0,5x²                                 orientées vers le
         h(x) = 0,25x²                                bas.
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La fonction quadratique
Comment trouver la règle d’une fonction quadratique?

Il est possible de déterminer la règle d’une fonction quadratique de
la forme f(x) = ax² à partir de sa table de valeurs. Voici les étapes :

1) Substituer les coordonnées d’un point de la table de valeurs à x et
   à f(x) dans la règle f(x) = ax².

2) Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afin de déterminer la
   valeur de a.

3) Écrire la règle sous la forme f(x) = ax² avec la valeur de a
   déterminée à l’étape 2.
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                                                  Automne 2010




La fonction quadratique
Comment trouver la règle d’une fonction quadratique?



     x    -2   -1    0    1    2         * Il est possible de
                                         faire les mêmes étapes
    f(x) 48    12    0    12 48
                                         à partir d’un
               f(x) = ax²
                                         graphique
      étape 1: 48 = a(-2)²               dont on connaît un
      étape 2: 48 = 4a                   point autre que le
                  a = 12                 sommet.*
      étape 3: f(x) = 12x²




                                                                 Exercices
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                                                     Automne 2010




Exercices
#1   Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)².
     Complète la table de valeurs suivante.




                x    -2   -1     0    1     2
              f(x)
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                                                    Automne 2010




Exercices
#2   Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme
     f(x) = ax².


           a)   f(x) = 4(5x)²

           b)   f(x) = -6(2x)²

           c)   f(x) = 0,5(-4x)²
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Exercices
#3        Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes.


     a)       x    0    1     2     3    4
            f(x) 0      4     16    36 64


     b)       x    -2   -1    0     1    2
            f(x) -10 -2,5     0    -2,5 -10
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Exercices
#4   Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples
     d’une fonction.


         x    -5        2     6    10
       f(x)        0    6     54

      Reproduis et complète la table de valeurs en
      considérant que f est une fonction:

      a) affine (une droite de la forme f(x) = ax+b);

      b) quadratique de la forme f(x) = ax².
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                                                     Automne 2010




Corrigé des exercices
#1   Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)².
     Complète la table de valeurs suivante.




                x    -2   -1     0    1     2
              f(x) 64     16    0     16 64
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                                                    Automne 2010




Corrigé des exercices
#2   Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme
     f(x) = ax².


           a)   f(x) = 4(5x)²      f(x) =100x²

           b)   f(x) = -6(2x)²      f(x) = -24x²

           c)   f(x) = 0,5(-4x)²    f(x) = 8x²
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Corrigé des exercices
#3        Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes.


     a)       x    0    1     2     3    4
                                                     f(x) = 4x²
            f(x) 0      4     16    36 64


     b)       x    -2   -1    0     1    2
                                                     f(x) = -2,5x²
            f(x) -10 -2,5     0    -2,5 -10
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Corrigé des exercices
#4   Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples
     d’une fonction.


     a) Il faut trouver la règle de la fonction affine de la
        forme f(x) = ax + b. Ensuite, on peut déterminer
        les valeurs manquantes algébriquement.

     La règle de la fonction affine est f(x) = 12x – 18.

             x    -5 1,5      2      6    10
           f(x) -78     0     6     54 102
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Corrigé des exercices
#4   Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples
     d’une fonction.


     b) Il faut trouver la règle de la fonction quadratique
        de forme f(x) = ax². Ensuite, on peut déterminer
        les valeurs manquantes algébriquement.

     La règle de la fonction quadratique est f(x) = 1,5x².

             x     -5     0   2     6   10
           f(x)   -37,5   0   6    54   150
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Références
• Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. &
  Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle du
  secondaire, 2ème année, manuel de l’élève B. Technico-
  sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc.

• Desraps, R., Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M.,
  Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle
  du secondaire, 2ème année, guide d’accompagnement
  pédagogique. Technico-sciences. Montréal: Chenelière
  Éducation inc.

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Fonction quadratique TS-4

  • 1. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Cette section contient les notions essentielles pour comprendre les fonctions quadratiques. En cliquant sur le bouton «théorie», il vous sera possible de choisir le sujet de votre choix. Théorie Veuillez noter qu’en tout temps, vous pourrez retourner au début de la section en cliquant sur le bouton . Exercices
  • 2. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Rappel des notions sur les fonctions. Secondaire 4 : technico-sciences. Références y x
  • 3. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Rappel des notions sur les fonctions Qu’est-ce qu’une fonction? Une fonction est une relation entre deux ensembles qui associe à tout élément du premier ensemble un élément unique bien déterminé du deuxième ensemble. Pour vérifier si c’est véritablement une fonction dans le plan, on peut faire le test de la droite verticale, expliqué à la prochaine page.
  • 4. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Rappel des notions sur les fonctions Test de la droite verticale Si une droite verticale passant par tout point de l’axe des « x » coupe le graphique en au plus un point, alors c’est une fonction. y y=x x
  • 5. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Rappel des notions sur les fonctions Pour tracer une fonction à partir de son équation, on peut créer une table de valeurs afin de repérer facilement les coordonnées dans le plan. f(x) = -3x + 6 y Pour x = 0 Pour x = 3 y = -3(0) + 6 y = -3(3) + 6 (0,6) y=6 y = -3 x x 0 1 2 3 f(x) 6 3 0 -3 (3,-3)
  • 6. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Rappel des notions sur les fonctions Dans une fonction de la forme : y = ax + b, «b» est l’endroit où la droite croise l’axe des y et «a» représente l’inclinaison de la droite. Si «a» est un nombre négatif, l’inclinaison de la droite sera vers le bas (de gauche à droite). y y = 2x y = 0,5x (0,-3) x y = -x - 3
  • 7. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique La fonction quadratique, aussi appelée « fonction pôlinomiale de degré 2 », est une fonction dont la règle est un polynôme de degré 2 à une variable. La représentation graphique d’une fonction quadratique dont la règle est de f(x) = a(bx)², où a et b n’égalent pas 0, est une parabole dont le sommet se situe à l’origine du plan cartésien. f(x) = 3(2x)² y x -2 -1 0 1 2 f(x) 48 12 0 12 48 x (-2,48) (2,48)
  • 8. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Afin de s’assurer que le modèle mathématique qui correspond à cette table des valeurs est une fonction quadratique, il suffit de vérifier que les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants pour des accroissements constants de la variable indépendante. Dans l’exemple ci-dessous, pour des accroissements de +1 de la variable indépendante «x», les accroissements des accroissements de la variable dépendante sont constants (+24). +1 +1 +1 +1 x -2 -1 0 1 2 f(x) 48 12 0 12 48 -36 -12 +12 +36 +24 +24 +24
  • 9. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Il existe une autre forme de la règle de la fonction quadratique de la forme f(x) = a(bx)². Il suffit d’appliquer la loi des exposants pour en arriver à une équation équivalente de la forme f(x) = ax². f(x) = 5(3x)² f(x) = 5(3²)(x²) f(x) = 5(9)(x²) f(x) = 45x²
  • 10. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Le rôle des paramètres de la fonction quadratique • Lorsque a < 0, la parabole est ouverte vers le bas. • Lorsque a > 0, la parabole est ouverte vers le haut. a<0 a>0 y y x x
  • 11. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Le rôle des paramètres de la fonction quadratique • Lorsque |a| > 1, la parabole est moins ouverte que lorsque a = 1. f g h y Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais elles seront x orientées vers le f(x) = x² bas. g(x) = 2x² h(x) = 4x²
  • 12. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Le rôle des paramètres de la fonction quadratique • Lorsque |a| < 1, la parabole est plus ouverte que lorsque a = 1. g f y h Si a < 0, les paraboles auront la même ouverture, mais f(x) = x² x elles seront g(x) = 0,5x² orientées vers le h(x) = 0,25x² bas.
  • 13. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Comment trouver la règle d’une fonction quadratique? Il est possible de déterminer la règle d’une fonction quadratique de la forme f(x) = ax² à partir de sa table de valeurs. Voici les étapes : 1) Substituer les coordonnées d’un point de la table de valeurs à x et à f(x) dans la règle f(x) = ax². 2) Résoudre l’équation obtenue à l’étape 1 afin de déterminer la valeur de a. 3) Écrire la règle sous la forme f(x) = ax² avec la valeur de a déterminée à l’étape 2.
  • 14. UQTR Automne 2010 La fonction quadratique Comment trouver la règle d’une fonction quadratique? x -2 -1 0 1 2 * Il est possible de faire les mêmes étapes f(x) 48 12 0 12 48 à partir d’un f(x) = ax² graphique étape 1: 48 = a(-2)² dont on connaît un étape 2: 48 = 4a point autre que le a = 12 sommet.* étape 3: f(x) = 12x² Exercices
  • 15. UQTR Automne 2010 Exercices #1 Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)². Complète la table de valeurs suivante. x -2 -1 0 1 2 f(x)
  • 16. UQTR Automne 2010 Exercices #2 Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme f(x) = ax². a) f(x) = 4(5x)² b) f(x) = -6(2x)² c) f(x) = 0,5(-4x)²
  • 17. UQTR Automne 2010 Exercices #3 Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes. a) x 0 1 2 3 4 f(x) 0 4 16 36 64 b) x -2 -1 0 1 2 f(x) -10 -2,5 0 -2,5 -10
  • 18. UQTR Automne 2010 Exercices #4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction. x -5 2 6 10 f(x) 0 6 54 Reproduis et complète la table de valeurs en considérant que f est une fonction: a) affine (une droite de la forme f(x) = ax+b); b) quadratique de la forme f(x) = ax².
  • 19. UQTR Automne 2010 Corrigé des exercices #1 Voici la règle d’une fonction quadratique : f(x) = 4(2x)². Complète la table de valeurs suivante. x -2 -1 0 1 2 f(x) 64 16 0 16 64
  • 20. UQTR Automne 2010 Corrigé des exercices #2 Écris les règles des fonctions quadratiques suivantes sous la forme f(x) = ax². a) f(x) = 4(5x)² f(x) =100x² b) f(x) = -6(2x)² f(x) = -24x² c) f(x) = 0,5(-4x)² f(x) = 8x²
  • 21. UQTR Automne 2010 Corrigé des exercices #3 Détermine la règle des fonctions quadratiques suivantes. a) x 0 1 2 3 4 f(x) = 4x² f(x) 0 4 16 36 64 b) x -2 -1 0 1 2 f(x) = -2,5x² f(x) -10 -2,5 0 -2,5 -10
  • 22. UQTR Automne 2010 Corrigé des exercices #4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction. a) Il faut trouver la règle de la fonction affine de la forme f(x) = ax + b. Ensuite, on peut déterminer les valeurs manquantes algébriquement. La règle de la fonction affine est f(x) = 12x – 18. x -5 1,5 2 6 10 f(x) -78 0 6 54 102
  • 23. UQTR Automne 2010 Corrigé des exercices #4 Voici une table de valeurs dans laquelle sont indiqués deux couples d’une fonction. b) Il faut trouver la règle de la fonction quadratique de forme f(x) = ax². Ensuite, on peut déterminer les valeurs manquantes algébriquement. La règle de la fonction quadratique est f(x) = 1,5x². x -5 0 2 6 10 f(x) -37,5 0 6 54 150
  • 24. UQTR Automne 2010 Références • Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle du secondaire, 2ème année, manuel de l’élève B. Technico- sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc. • Desraps, R., Bernier, J-F., Boucher, C., Jacques, M., Marotte, L. & Rodrigue, V. (2010). Intersection, 2ème cycle du secondaire, 2ème année, guide d’accompagnement pédagogique. Technico-sciences. Montréal: Chenelière Éducation inc.