cour logique flou

1. Maria Rifqi-Berger
1
Présentation du cours
 Théorie
 Bases de la théorie des sous-ensembles flous
 Pratique
 Utiliser la théorie (exercices)
 Applications FisPro

2. Maria Rifqi-Berger
2
Bibliographie
 « La logique floue », B. Bouchon-Meunier, Que-
sais-je? PUF, N° 2702.
 « Logique floue – exercices corrigés et exemples
d'applications », B. Bouchon-Meunier, L. Foulloy
et M. Ramdani, Cépaduès éd., 1998.
 « La logique floue et ses applications », B.
Bouchon-Meunier, Addison Wesley éd., 1995
 « Fuzzy sets, uncertainty and information », G.
Klir and T. Folger, Prentice Hall ed., 1988.

3. Maria Rifqi-Berger
3
Plan du cours
 Introduction
 Présentation du cours
 Définitions de base
 Sous-ensemble flou (sef)
 Caractéristiques de sef
 Opérations sur les sefs
 Quelques applications commerciales de la
logique floue

4. Maria Rifqi-Berger
4
Introduction
 L'imprécision du monde réel
 Le flou est partout
 Le flou est humain
 Le flou est plus souple
 Théorie des sous-ensembles flous
 « mesurer une gradation dans l'appartenance à un
ensemble »
 Une théorie mathématique formelle pour la prise en
compte de l'imprécision et des incertitudes
 Article fondateur: « Fuzzy Sets », L. A. Zadeh, in
Information and Control, 1965.

5. Maria Rifqi-Berger
5
Gestion des imprécisions -
Approche conventionnelle
 Dissoudre le flou puis traiter des
données précises
 informations floues  informations précises
 part importante d'arbitraire
 analyse de la sensibilité indispensable
 plusieurs jeux de données traités un par
un
 comparaison des résultats

6. Maria Rifqi-Berger
6
Gestion des imprécisions -
Approche floue
 Traiter des données floues puis
dissoudre le flou
 Garder le flou comme une information
 Reporter la dissolution du flou le plus tard
possible et sur la décision uniquement
 Accroissement de la fiabilité et de la
stabilité du système

7. Maria Rifqi-Berger
7
Gestion des imprécisions
 Théorie des ensembles flous introduite par Lotfi
Zadeh en 1965.
 Modèle mathématique pour représenter
l'imprécision et l'incertitude.
 Idée des ensembles flous facile à comprendre :
Freine dans 32m50
ou
Freine bientôt
 La précision n'est pas toujours utile.
 Capable d'interpréter des informations
imprécises et d'agir.

8. Maria Rifqi-Berger
8
Ensembles classiques / Ensembles
flous
 ensemble classique = ensemble des objets satisfaisant
des propriétés précises
 Exemple : ensemble des nombres compris entre 6 et 8
fonction caractéristique : m : R  {0, 1}
m(x) = 1 si 6  x  8
0 sinon.
 ensemble flou = ensemble des objets satisfaisant des
propriétés imprécises
 Exemple : ensemble des nombres proches de 7
fonction d'appartenance : : X  [0, 1]
(x) pas unique.
 différence majeure : unicité fonction caractéristique /
infinité fonction d'appartenance

9. Maria Rifqi-Berger
9
Théorie des sous-ensembles flous
X ensemble de référence
A sous-ensemble flou de X défini par une fonction
d'appartenance 
X  [0, 1]
Caractéristiques
 Noyau : éléments appartenant de façon absolue
Noy(A) = {x X / (x) = 1}
 Support : éléments appartenant au moins un peu
Supp(A) = {x X / (x)  0}

10. Maria Rifqi-Berger
10
 Infinité de fonctions d'appartenance possibles
 flexibilité, ajustement maximal pour une situation
donnée
 Ensemble flou = toujours et seulement des fonctions
 Toute fonction X  [0, 1] est un ensemble flou dans
le sens mathématique. D'un point de vue sémantique,
il faut qu'une telle fonction soit interprétable à l'aide de
propriétés imprécises décrivant les éléments de X.
Théorie des sous-ensembles flous

11. Maria Rifqi-Berger
11
Probabilité / Flou
ensembles flous = déguisement pour les
statistiques ?
NON
A B
 p(B) = 0.9
Quelle bouteille boirez-vous ?

12. Maria Rifqi-Berger
12
 A contient par exemple de l'eau vaseuse, pas de l'acide
chlorydrique.
 A est proche d'un liquide tout à fait potable.
 Sur 100 bouteilles B, 90 sont potables, 10 sont
dégoûtantes voire fatales.
 Il vaut mieux boire de l'eau vaseuse que de prendre le
risque de mourir.
2 philosophies différentes
Probabilité / Flou

13. Maria Rifqi-Berger
13
La théorie des sous-ensembles flous
 Une extension de la théorie des ensembles classiques
 Une théorie plus générale qui englobe la théorie des
ensembles classiques
 La theorie des ensembles classiques et un cas particulier
 Des choix sont à faire pour conserver certaines des propriétés
existantes dans la théorie des ensembles classiques
 Toutes les propriétés ne peuvent pas être conservées en même
temps
 La logique floue: application de la théorie des sous-
ensembles flous pour la modélisation du raisonnement
 Extension de la logique classique
 La commande floue: utilisation de la logique floue pour le
contrôle de systèmes automatiques
 Cas particulier de la logique floue

14. Maria Rifqi-Berger
14
1
0
Jeune
X
15 20 30 35
Exemples de sous-ensembles flous
 X={moto,auto,train} (moyens de transport)
 A: sous-ensemble de X des moyens de transport rapides
 A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 / train
 X=[0, 130] (ensemble des âges)
 A: sous-ensemble de X des âges jeunes

15. Maria Rifqi-Berger
15
Caractéristiques d'un sef
 Soit X un univers, et A un sous-ensemble flou de
fonction d'appartenance fA.
 Noyau de A :
 Noy(A) = {x  X | fA(x)=1}
 Support de A :
 Supp(A) = {x  X | fA(x)>0}
 Hauteur de A :
 h(A) = supx  X fA(x)
 Cardinalité de A:
 |A| = x  X fA(x)

16. Maria Rifqi-Berger
16
Opérations sur les sefs (1)
 Extension des opérations de la théorie des
ensembles classiques: =, , , , complément
 Soient A et B deux sefs de X, de f.d'a. fA et fB.
 Égalité de sefs:
 A = B ssi x  X, fA (x) = fB(x)
 Inclusion de sefs:
 A  B ssi x  X, fA (x) < fB(x)
 Intersection de sefs: A  B:
 x  X, fA∩ B (x) = min(fA (x), fB(x))
 Union de sefs: A  B:
 x  X, fA  B (x) = max(fA (x), fB(x))

17. Maria Rifqi-Berger
17
Opérations sur les sefs (2)
 Certaines propriétés de la théorie des
ensembles classiques sont vérifiées (à faire en
exercice):
 A U∅ = A, A ∩ ∅ = ∅, A U X = X, A ∩ X = A
 Associativité de ∩ et de U :
 (A U B) U C = A U(B U C)
 Commutativité de ∩ et de U :
 A∩B = B∩A
 Distributivité de ∩ par rapport à U :
 A∩(B U C) = (A∩B) U(A∩C)
 A U(B∩C) = (A U B)∩(A U C)

18. Maria Rifqi-Berger
18
Opérations sur les sefs (3)
 Complément Ac d'un sous-ensemble flou
 x  X, fAc (x) = 1 – fA(x)
 Certaines propriétés de la théorie des ensembles
classiques sont vérifiées (à faire en exercice):
 (Ac)c = A
 (A∩B)c = Ac U Bc
 (A U B)c = Ac ∩ Bc
 D'autres propriétés ne le sont pas (généralement):
 Ac ∩A ≠∅ (contradiction)
 Ac U A ≠ X (tiers exclu).

19. Maria Rifqi-Berger
19
Opérations sur les sefs (4)
 Autres extensions des opérations de la théorie
des ensembles classiques: ∩ et U
 Ces opérations sont en fait des fonctions
mathématiques F:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, F(x,y)  [0,1].
 L'intersection peut être réalisée en prenant
comme opérateur une t-norme (opérateur ET)
 L'union peut être réalisée en prenant comme
opérateur une t-conorme (opérateur OU)

20. Maria Rifqi-Berger
20
 Justification des choix des opérateurs
 Les opérateurs min et max sont les seuls
opérateurs qui soient commutatifs, associatifs,
mutuellement distributifs, continus et doublement
non décroissants
 D'autres opérateurs sont possibles :
 conjonction normes triangulaires (t-normes)
 disjonction conormes triangulaires (t-conormes)
 Propriétés communes : associativité,
commutativité, monotonie, élément neutre.
Opérations sur les sefs (5)

21. Maria Rifqi-Berger
21
Normes triangulaires (t-normes)
 Soit une fonction ⊤:[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, z  [0,1]:
 ⊤(x,y) = ⊤(y,x) (commutativité)
 ⊤(x, ⊤(y,z)) = ⊤( ⊤(x,y),z) (associativité)
 ⊤(x,y) ⊤(z,t) si x  z et y  t (monotonie)
 ⊤(x,1) = x (1 est élément neutre)
 Exemples de telles fonctions :
 min(x,y), x⋅y, max(x+y-1,0)
 ⊤ est une t-norme
 Utilisée pour l'intersection ou la conjonction

22. Maria Rifqi-Berger
22
Normes triangulaires (t-conormes)
 Soit une fonction :[0,1]×[0,1]  [0,1] telle que
x, y, z  [0,1]:
 (x,y) = (y,x) (commutativité)
 (x, (y,z)) = ((x,y), z) (associativité)
 (x,y)  (z,t) si x  z et y  t (monotonie)
 (x,0) = x (0 est élément neutre)
 Exemples de telle fonction:
 max(x,y), x+y-x⋅y, min(x+y,1)
  est une t-conorme
 Utilisée pour l'union

23. Maria Rifqi-Berger
23
Dualité t-norme / t-conorme
 Le choix d'une t-norme et celui d'une t-conorme est lié
 Etant donné un opérateur de complémentation
 par exemple: fc = 1-f
 Déf.: Une t-norme et une t-conorme sont duales si et
seulement si :
 1 – ⊤(x,y) = (1-x, 1-y)
 1 – (x,y) = ⊤(1-x, 1-y)
 En terme de sous-ensembles, la dualité permet de
conserver les lois de De Morgan
 Ainsi, par exemple, le min et le max sont duaux :
 on a : 1 – min(x,y) = max(1-x, 1-y) ainsi que 1 – max(x,y) =
min(1-x, 1-y)
 On montre que (à faire en exercice)
 les opérateurs probabilistes sont duaux
 les opérateurs de Lukasiewicz sont duaux

24. Maria Rifqi-Berger
24
Exemples
 X={moto,auto,train} (moyens de transport)
 Transport rapide: A= 0.7 / moto + 0,5 / auto + 1.0 /
train
 Transport familial: B= 0.1 / moto + 1.0 / auto + 0.6 /
train
 X=[0, 130] (ensemble des âges)
1
0
Jeune
X
15 20 30 35 70
55
Salarié

25. Maria Rifqi-Berger
25
 Une -coupe (alpha-coupe) d'un sef A est un
sous-ensemble classique A extrait du sef A,
défini en fonction d'un seuil   [0,1] fixé :
 soit   [0,1],  x  X, x  A si et seulement si
fA(x) 
 A est un sous-ensemble classique de X. (fA
prend ses valeurs dans {0,1}).
 On vérifie que (à faire en exercice):
 Si  >  ' alors A  A' et si B  A alors B  A
 (A ∩ B) = A ∩ B , et (A  B)  = A   B 
  x  X, fA(x) = sup]0,1]  f(x) (i.e. on peut
reconstruire A à partir de ses -coupes).
Caractéristiques d'un sef (2): -coupes

26. Maria Rifqi-Berger
26
Relations entre sous-ensembles
flous
 Relation: notion fondamentale des
mathématiques classiques
 Basée sur le produit cartésien d'ensembles
 Les relations établissent des liens entre
éléments
 soit d'un même ensemble
 soit d'ensembles différents
 Elles permettent de construire des applications
 une application est une relation particulière

27. Maria Rifqi-Berger
27
Produit cartésien de sefs
 Cas où l'on désire combiner l'information venant
de plusieurs ensembles de référence
 Soit X1 et X2, deux univers de référence et X leur
produit cartésien (classique), X=X1×X2, dont les
éléments sont les couples (x1,x2), x1X1 et x2X2
 Déf.: Soient A1 et A2 respectivement définis sur
X1 et X2, on définit le produit cartésien A=A1×A2
comme un sef de X, de fonction d'appartenance:
 x  X, x=(x1,x2), fA(x)=min( fA1(x1), fA2(x2) )

28. Maria Rifqi-Berger
28
X2
X1
A2
A1
x2 (x2 , x1)
x1
Produit cartésien

29. Maria Rifqi-Berger
29
Exemple d'application du produit
cartésien
 X1={moto,auto,train} (moyens de transport)
 Transport rapide: A1= 0.7 / moto + 0,5 / auto +
1.0 / train
 X2={pasCher, cher} (prix)
 Prix souhaité: A2= 0.7 / pasCher + 0.4 / cher
 Donnez la fonction d'appartenance du
produit cartésien (transport rapide, prix
souhaité)

30. Maria Rifqi-Berger
30
Relations floues
 Une relation floue R entre 2 ensembles de références X
et Y, est un sous-ensemble flou de XxY de fonction
d'appartenance fR
 Si X et Y sont finis, R peut être représentée par la matrice M(R)
des valeurs de sa fonction d'appartenance
 Exemple: la relation « est préféré à » sur XxX avec X={Train,
Voiture, Moto, Avion}
 La composition de 2 relations floues R1 sur XxY et R2
sur YxZ définit une relation floue R=R1˚ R2 sur XxZ de
f.a. définie par:
 (x,z) XxZ, fR(x,z)= sup y  Y min(fR1(x,y), fR2(y,z))

31. Maria Rifqi-Berger
31
 Transitivité : propriété très utilisée pour des
relations
 si A ressemble à B, et que B ressemble à C, alors
est-ce que A ressemble à C ?
 si x < y et que y < z alors x < z
 Une relation floue R sur X est dite transitive si
elle vérifie RR  R.
 En particulier, si on utilise la composition max-
min, on dira que la relation floue R est max-min
transitive si:
 (x,z) XxZ, fR(x,z)  sup y  Y min(fR(x,y),
fR(y,z))
Relation floue transitive

32. Maria Rifqi-Berger
32
Principe d'extension (1)
 Principe d'extension: utilisé pour étendre
une fonction classique aux sefs.

33. Maria Rifqi-Berger
33
Entrée précise

34. Maria Rifqi-Berger
34
Entrée floue

35. Maria Rifqi-Berger
35
Principe d'extension (2)
 Idée: possédant une fonction sur un univers
classique X, permettre son utilisation avec des
sefs de X.
 Définition: Étant donné un sef A de X, et une
application  de X vers Y, le principe d'extension
permet de définir un sef B de Y associé à A par  :
 yY, fB(y)= sup{x  X | y= (x)}fA(x) si -1(y)≠∅
0 sinon
 Le sef B est l'image du sef A par la fonction .

36. Maria Rifqi-Berger
36
Exemple d'application du principe
d'extension (1)
 X={camion, caravane, voiture, moto} (moyens de
transport)
 Y={Rapide, Lente, Normale} (mesures des vitesses)
 On définit la fonction  qui associe une vitesse à un
moyen de transport :
 (camion)=L, (caravane)=L, (voiture)=N, (moto)=R
 Nouveau véhicule: side-car= 0.5|moto + 0.4|voiture +
0.1|caravane
 Mesure de la vitesse d'un side-car?
 fB(L)= max(fsc(camion),fsc(caravane))=max(0, 0.1)= 0.1
 fB(N)= fsc(voiture)= 0.4
 fB(R)= fsc(moto)= 0.5

37. Maria Rifqi-Berger
37
Exemples d'application du principe
d'extension (2)
 Fonction mathématique classique: (x)= x2
 A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a.
fB qui correspond à la A2.
 y Y, fB(y)= sup{x  X | y=x2} fA(x) si -1(y)≠∅
0 sinon
 Mesure de surprise: (p)= -log(p)
 A un sef de [0,1] de f. a. fA, le sef B de [0,1[ de f.a.
fB qui correspond à la valeur floue de surprise
causée par A.

38. Maria Rifqi-Berger
38
Raisonnement flou
Variables linguistiques et propositions floues
Variables linguistiques
Proposition floue générale
Implication floue
Raisonnement Flou
Modus ponens classique
Modus ponens généralisé
Application du Modus ponens généralisé

39. Maria Rifqi-Berger
39
Variable linguistique
 Une variable linguistique est représentée par un triplet
(V, XV, TV)
 V : nom de la variable (age, taille, température, longueur,...)
 XV : univers des valeurs prises par V (ℝ,...)
 TV = {A1, A2, ...} : ensemble de sous-ensembles flous de XV,
utilisés pour caractériser V.
 Par exemple: (Age-Personne, [0,130], {Très-jeune,
Jeune, Agé})
1
0
Age
Très-jeune Jeune Agé

40. Maria Rifqi-Berger
40
Proposition floue
 Proposition floue élémentaire : qualification « V
est A » d'une variable linguistique (V, XV, TV)
 Par exemple: « Age-personne est jeune »
 Proposition floue générale : composition de
propositions floues élémentaires de variables
linguistiques qui peuvent être distinctes
 Soit « V est A » p.f.e. de (V, XV, TV), et « W est B »
p.f.e. de (W, XW, TW),
 Exemples de proposition floue générale :
« V est A et W est B »
« V est A ou W est B »

41. Maria Rifqi-Berger
41
 Proposition classique : valeur de vérité  {0, 1} (FAUX ou
VRAI)
 Proposition floue : la valeur de vérité est un sous-ensemble
flou à valeurs dans [0,1]
 Valeur de vérité pA de « V est A » : fA fonction
d'appartenance de A
 Négation: « V n'est pas A » : pAc= fAc = 1-fA
 Valeur de vérité p d'une proposition floue générale :
agrégation des valeurs de vérité pA et pB de chaque
proposition floue élémentaire
Le type d'agrégation dépend de la composition réalisée (et, ou,...)
 Conjonction « V est A et W est B » : pAB= min(pA, pB)
 Disjonction « V est A ou W est B » : pAB= max(pA, pB)
Valeur de vérité d’une proposition
floue

42. Maria Rifqi-Berger
42
 Règle de production : lien particulier (implication) entre 2
propositions floues
« V est A  W est B » est lue « si V est A alors W est B »
« V est A » est la prémisse
« W est B » est la conclusion
Par exemple: « si Age-personne est Jeune alors Salaire est Bas »
 Valeur de vérité de l'implication « V est A  W est B » :
évaluée par une fonction implicative fI : X x Y  [0,1]
x  X,  y  Y, fI(x, y) = (fA(x), fB(y))
 est une fonction [0,1]x[0,1] [0,1] qui est équivalente à
l'implication classique quand les propositions sont classiques.
Implication floue

43. Maria Rifqi-Berger
43
Principales fonctions d'implication
floue
fI(x, y) = (A(x), B(y))
-

44. Maria Rifqi-Berger
44
Logique classique vs Logique floue

45. Maria Rifqi-Berger
45
Mode de raisonnement classique
 Modus ponens de la logique classique
Règle: Prémisse  Conclusion
Observation: Prémisse-observée
Déduction: Conclusion
 Modus ponens : règle de déduction pour inférer
de la connaissance
Règle: H est humain  H est mortel
Observation: Socrate est humain
Déduction: Socrate est mortel

46. Maria Rifqi-Berger
46
 Modus ponens généralisé : extension du MP aux
propositions floues
 Soient (V, XV, TV) et (W, XW, TW) deux variables
linguistiques
Règle floue: V est A  W est B
fA fB
Observation floue: V est A'
fA'
Déduction: W est B'
fB'
fA, fB, et fA' sont connus, on recherche la valeur de fB'(y),
 y  Y
Mode de raisonnement flou

47. Maria Rifqi-Berger
47
 Règle floue « V est A  W est B »
Implication x  X,  y  Y, fI(x,y)= (fA(x), fB(y))
 Le MPG combine la règle floue avec l'observation « V est
A' » pour construire la conclusion B'
 Opérateur de modus ponens généralisé : fonction T de
[0,1]x[0,1] dans [0,1] pour combiner fI et fA'
T est une t-norme
T est liée à fI pour que le MPG soit compatible avec le modus
ponens classique.
 On a, pour tout y  Y :
fB' = supx  X T(fI(x,y), fA'(x))
Modus ponens généralisé

48. Maria Rifqi-Berger
48
Une règle

49. Maria Rifqi-Berger
49
Plusieurs règles

50. Maria Rifqi-Berger
50
Exemples d'opérateurs de MPG
 Zadeh :  u,v  [0,1], T(u,v) = min(u,v)
Utilisé avec les implications de Mamdani,
Larsen,...
 Lukasiewicz :  u,v  [0,1], T(u,v) =
max(u+v-1,0)
Utilisé avec les implications de Lukasiewicz,
Reichenbach, Mamdani, Larsen,...

51. Maria Rifqi-Berger
51
Applications du modus ponens
généralisé
 Commande floue : ensemble de règles floues + entrée
numérique + sortie numérique
 Contrôle flou de processus
 Phase de défuzzification nécessaire
 Systèmes experts flous : ensemble de règles floues +
entrée floue + sortie floue
 Raisonnement flou, inférence de connaissances
 Pas de défuzzification
 Raisonnement par analogie : ensemble de règles floues +
entrée floue + sortie floue
 B' est à B ce que A' est à A
 ressemblance (A,A') doit être la même que ressemblance(B,B')

52. Maria Rifqi-Berger
52
Imprécisions et incertitudes
 Théorie des sous-ensembles flous
 Modélisation des connaissances imprécises (« environ 20 ans »)
ou vague (« jeune »)
 traitement dans un même cadre des connaissances numériques
et des connaissances symboliques
 Ne permet pas de manipuler dans un même formalisme
imprécisions et incertitudes
 ce qui est très généralement lié: « je suis sûr que nous sommes en
fin d'après-midi » mais « je ne suis pas certain qu'il soit exactement
17h30 »
 De plus, un raisonnement basé sur des connaissances
imprécises engendre souvent des incertitudes
 « Mon train est à 9h32, si je pars de chez moi vers 9h quelle est la
certitude que je puisse l'avoir? »

53. Maria Rifqi-Berger
53
Théorie des possibilités
 Introduite en 1978 par L. A. Zadeh (puis popularisée par
Dubois et Prade), en liaison avec la théorie des sous-
ensembles flous :
 But: raisonner sur des connaissances imprécises ou vague, en
introduisant un moyen de prendre en compte des incertitudes
sur les connaissances.
 Incertitudes non-probabilistes sur des événements :
impossibilité d'évaluer correctement leur probabilité de
réalisation.
 « Serais-je en salle 506 lundi 24 Novembre à 14h ? »
 Probabilité: ici, peu réaliste à évaluer
 « Il est relativement possible que je sois dans cette salle, et c'est
même assez certain. »

54. Maria Rifqi-Berger
54
 Soit un ensemble de référence fini X
 On souhaite attribuer à chaque sous-ensemble de X (on
parle alors d'événements) un coefficient compris entre 0
et 1 évaluant à quel point cet événement est possible.
 Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de
possibilité  définie sur P(X), l'ensemble des parties de
X, à valeur dans [0,1], telle que:
 (∅)=0, et (X)=1
 (A,B) P(X)2, (A∪B) = max((A), (B))
Un événement est tout à fait possible si la mesure de sa possibilité
est égale à 1.
Mesure de possibilité

55. Maria Rifqi-Berger
55
Mesure de possibilité : propriétés
 Une mesure de possibilité vérifie:
 (A,B) P(X)2, (A∩B) ≤ min((A), (B))
 En particulier, l'occurrence simultanée de 2
événements possibles peut être impossible
 Monotonie relativement à l'inclusion des parties
de X
 Si A  B alors (A) ≤ (B)
  A  P(X), max((A), (Ac)) = 1
  A  P(X), (A) + (Ac) ≥ 1

56. Maria Rifqi-Berger
56
Mesure de nécessité
 Une mesure de possibilité fournit une information sur
l'occurrence d'un événement mais elle ne suffit pas pour
décrire l'incertitude existante sur cet événement
 (A) = 1 et (Ac)=1 peuvent être vérifiés en même temps:
indétermination complète sur la réalisation de A.
 On attribue à chaque événement un coefficient évaluant
à quel point la réalisation de cet événement est
certaine.
 Pour définir ce coefficient, on introduit une mesure de
nécessité N définie sur P(X), à valeur dans [0,1], telle que :
 N(∅)=0, et N(X)=1
 ∀(A,B)∈ P(X)2, N(A∩B) = min(N(A), N(B))

57. Maria Rifqi-Berger
57
Mesure de nécessité : propriétés
 Une mesure de nécessité vérifie:
 (A,B) P(X)2, N(AB) ≥ max(N(A), N(B))
 Monotonie relativement à l'inclusion des
parties de X
 Si A  B alors N(A) ≤ N(B)
 A  P(X), min(N(A), N(Ac)) = 0
 A  P(X), N(A) + N(Ac) ≤ 1

58. Maria Rifqi-Berger
58
Relations possibilité / nécessité
 Une mesure de nécessité N peut être obtenue à
partir d'une mesure de possibilité  par :
 A  P(X), N(A) = 1 - (Ac)
 Plus un événement A est affecté d'une grande
nécessité, moins son complémentaire Ac est
possible.
 On a de plus:
  A  P(X), (A) ≥ N(A)
  A  P(X), max((A), 1-N(A))=1

59. Maria Rifqi-Berger
59
Distribution de possibilité
 Une mesure de possibilité est totalement définie
 si on attribue un coefficient de possibilité à toute
partie de X.
 si on indique un coefficient seulement aux parties
élémentaires de X, une partie quelconque étant
l'union de parties élémentaires.
 Une distribution de possibilité  est une fonction
définie sur X, à valeur dans [0,1], telle que :
 supxX (x) = 1
 A partir d 'une distribution de possibilité , on
construit une mesure de possibilité  :
 A  P(X), (A) = supxA (x)

60. Maria Rifqi-Berger
60
 Possibilité et nécessité ont été introduites pour quantifier la certitude
sur un événement, elles s'appliquent à des sous-ensembles
ordinaires de X
 Pour des sous-ensembles flous de X, on peut indiquer dans quelle
mesure ils sont possibles et/ou certains, à partir d'une connaissance
préalable donnée sur X.
 Ainsi, étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X, un autre s.e.f.
B de X sera d'autant plus acceptable qu'il sera compatible avec A.
 On évalue alors la possibilité de B relative à A par :
 (B; A)= supxX min (fB(x), fA(x))
 (B; A) mesure le degré maximal avec lequel un élément x de X
peut appartenir à la fois à A et à B.
Possibilité de sous-ensemble flou

61. Maria Rifqi-Berger
61
Nécessité de sous-ensemble flou
 Étant donnée une référence, i.e. un s.e.f. A de X,
un autre s.e.f. B de X sera d'autant plus
acceptable qu'il sera compatible avec A.
 On évalue alors la nécessité de B relative à A
par :
 (B; A)= 1- (Bc; A)= infxX max (fB(x), 1-fA(x))
 N(B; A) mesure le degré avec lequel B est inclus
dans A.

62. Maria Rifqi-Berger
62
Exemple
 On représente le concept de « vitesse rapide » par un s.e.f. Sur l'espace
des vitesses.
 Une moto roule à env. 100km/h.
 Questions:
 Avec qu'elle certitude peut on dire que la moto roule avec une vitesse rapide?
 Avec quel degré env. 100km/h signifie-t-il « vitesse rapide »?
90 100 110
1
0
km/h
Rapide
~100 km/h

63. Maria Rifqi-Berger
63
Exemple : possibilité et nécessité
(env.100; Rapide)= supxX min (fenv.100(x), fRapide(x)) = 0,6
(env.100; Rapide)= infx  X max (fenv.100(x), 1-fRapide(x))= 0
1 Rapide
~100 km/h
90 100 110
1
0
km/h
Rapide
~100 km/h
90 100 110
0
km/h
0,6

64. Maria Rifqi-Berger
64
Apprentissage non supervisé
 Étant donné un ensemble d'exemples (des
points dans un plan, ...)
 On ne connaît pas de classe à associer
aux exemples
 Il faut découvrir des classes, faire des
regroupements d'éléments similaires
 Clustering = construction de paquets

65. Maria Rifqi-Berger
65
Méthodes de C-moyennes
 Une des plus anciennes méthodes de clustering
existantes (1967). Algorithme des C-means.
 Partition d'une population
 Affectation sans équivoque ( ou ) de chaque exemple
à une classe
 L'algorithme:
1. Sélection de c points (au hasard) : centroïdes.
2. Affectation de chaque exemple au centroïde le plus proche
(distance). Constitution de clusters.
3. Calcul de nouveaux centroïdes: on prend la moyenne,
composante par composante, pour tous les exemples d'un cluster.
4. Retour à l'étape 2 jusqu'à stabilisation des frontières entre les
clusters.

66. Maria Rifqi-Berger
66
C-moyennes: étape 1
X
X
X
X
X
O
X
X
X
X
O
X
X
X
X
O
X
X
X
X
X
X
X
X

67. Maria Rifqi-Berger
67
C-moyennes: étape finale
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
O
O
O

68. Maria Rifqi-Berger
68
Méthodes des C-moyennes:
Inconvénients
 Problèmes de prise en compte des variables
non-numériques (nécessité de posséder une
mesure de distance)
 Traduction en valeurs numériques
 Construction de matrices de distances
 Problème du choix du nombre de centroïdes c
 Problème du choix de la normalisation dans le
calcul de la distance (même poids pour chaque
composante)
 Pondération, normalisation, agrégation

69. Maria Rifqi-Berger
69
Méthode des C-moyennes floues
 Généralisation de l'algorithme des C-moyennes
 Partition floue des données
 Fonctions d'appartenance aux clusters
 Problématique : trouver une pseudo-partition
floue et les centres des clusters associés qui
représente le mieux la structure des exemples.
 Utilisation d'un critère permettant de mesurer les
associations fortes à l'intérieur d'un cluster, faibles à
l'extérieur
 Index de performance

70. Maria Rifqi-Berger
70
Rappels
 Pseudo-partition floue
 Ensemble de sous-ensembles flous non vides {A1,
A2,..,An} de X tel que:
xX,
 C-partition floue
 Une c-partition floue (c>0) de X est une famille P ={A1,
A2,..,Ac} de c sous-ensembles flous tels que :
1
)
(
1



x
A
n
i
i

 









c
k
k
i
c
c
i
k
i n
x
A
i
x
A
X
x
1
1
)
(
0
,
et
1
)
(
,

71. Maria Rifqi-Berger
71
C-moyennes floues
Soit X={x1, x2, ..., xn} un ensemble de données où chaque xk peut être
un vecteur: xk=(xk1, xk2,...,xkp)
Étant donné une c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, les c centres v1,
v2,..., vc associés à chaque cluster flou sont calculés par :
Avec mℝ, m > 1, influence des degrés d'appartenance.
 vi: centre du cluster flou Ai
 Moyenne pondérée des données de Ai
 Le poids d'une donnée xk est la puissance mième
de son degré
d'appartenance à Ai.
 
 







 n
i
m
k
i
k
n
i
m
k
i
i
c
x
A
x
x
A
v
i
1
1
)
(
)
(
,

72. Maria Rifqi-Berger
72
 Soit la c-partition floue P= {A1, A2,..,Ac}, son indice
de performance est défini par:
 Avec ||.||: norme sur ℝp qui permet de mesurer la
distance entre xk et vi
 Plus Jm(P) est faible, meilleure est P
Index de performance d'une
partition floue
  2
1 1
)
(
)
( i
k
n
k
c
i
m
k
i
m v
x
x
A
P
J 
 
 

73. Maria Rifqi-Berger
73
Algorithme de Bezdek (1981)
 Algorithme d'optimisation d'une partition
floue: algorithme des c-moyennes floues
(Fuzzy c-means).
 Hypothèses:
 C connu,
 On possède une distance (mesure),
 Un réel m  ]1,+∞[ est donné,
 Un nombre positif ℇ petit est donné (critère d'arrêt).

74. Maria Rifqi-Berger
74
Algorithme de Bezdek
 Etape 1: Soit t=0, sélectionner une partition floue initiale P(0)
.
 Etape 2: Calculer les c centres v1
(t)
, v2
(t)
,...,vc
(t)
pour P(t)
grâce à (1)
 Etape 3: Mise à jour de P(t)
pour construire P(t+1)
:  xk  X,
 Si alors
 si pour quelque iI ℕc , alors on définit
pour iI par tout nombre réel >0 tel que:
et on définit pour tout iℕc-I
 Etape 4: Comparer P(t)
et P(t+1)
 Si |P(t) - P(t+1)| ≤ ℇ alors on s'arrête, sinon on incrémente t et on retourne à l'étape 2.
On a :
(distance entre les partitions)
c
t
i
k i
v
x 



 ,
0
)
(






























c
j
n
t
j
k
t
i
k
k
t
i
v
x
v
x
x
A
1
1
1
1
2
)
(
2
)
(
)
1
(
)
(
0
)
(

 t
i
k v
x )
(
)
1
(
k
t
i x
A 
0
)
(
)
1
(


k
t
i x
A




I
i
k
t
i x
A 1
)
(
)
1
(
)
(
)
(
max
)
(
)
1
(
,
)
1
(
)
(
k
t
i
k
t
i
k
i
t
t
x
A
x
A
P
P
c
c


 






75. Maria Rifqi-Berger
75
Construction de clusters flous –
Exemple

76. Maria Rifqi-Berger
76
Construction de clusters flous –
Résultat final

77. Maria Rifqi-Berger
77
Arithmétique floue - Intervalles et
nombres flous
 Un sef F est convexe si
(x, y)RxR, z  [x,y], fF(z)min(fF(x), fF(y))
Propriété équivalente au fait que toute –coupe de F est une partie convexe
de R.
 Quantité floue : sef normalisé de R.
 Intervalle flou : quantité floue convexe
 Nombre flou : intervalle flou de fonction d’appartenance semi-continue
supérieurement et de support compact.
a b
m
1
R
0

78. Maria Rifqi-Berger
78
Arithmétique floue – Intervalles flous
de type L-R (1)
 Quantité floue I dont la fonction d’appartenance
dépend de 4 paramètres (m,m’,a,b) et de 2
fonctions L er R telles que :
 L(0)=R(0)=1
 L(1)=0 ou L(x)>0 x avec limx L(x)=0
 R(1)=0 ou R(x)>0 x avec limx R(x)=0
 I=(m,m’,a,b)LR
'
si
'
'
si
1
si
)
(















 








 

m
x
b
m
x
R
m
x
m
m
x
a
x
m
L
x
fI

79. Maria Rifqi-Berger
79
Arithmétique floue – Intervalles flous
de type L-R (2)
 Cas particulier : nombre flou I=(m,a,b) LR
avec m=m’.
 Fonctions L et R particulières :
L(x)=R(x)=max(0,1-x) pour des intervalles
flous trapézoïdaux ou des nombres flous
triangulaires.

80. Maria Rifqi-Berger
80
Arithmétique floue – Opérations sur les
L-R
I=(m,m’,a,b)LR J=(n,n’,c,d)LR alors :
 -I=(-m’,-m,b,a)RL
 I  J = (m+n, m’+n’, a+c, b+d)LR
 I  J = (m-n’, m’-n, a+d, b+c)LR si L=R