Vib 1 agm

Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans
COURS DE MECANIQUE - VIBRATIONS
1ère année
Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL
Chapitre 6.
VIBRATIONS - OSCILLATEURS HARMONIQUES
Université du Maine - UFR Sciences et Techniques
Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans
A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral
afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation
usuelles d'un document écrit.

Chapitre 6 : Vibrations - Oscillateur harmonique DEUST VAS1
Catherine Potel - 6.1 - Université du Maine - Le Mans
Les points importants de ce chapitre sont :
Distinction entre mouvement libre/mouvement forcé, régime
transitoire/régime permanent, fréquence propre/fréquence de
résonance/fréquence d'excitation,
régime apériodique/critique/pseudo-périodique
I INTRODUCTION
1 Généralités
Une vibration est le mouvement d'un système mécanique qui reste voisin d'un état de repos.
Un tel mouvement peut
- soit être provoqué par une excitation : on parle alors de vibrations forcées ;
- soit être le résultat d'une action imposée à un instant donné (telle que déplacer le système
de sa position de repos, ou lui imposer une impulsion initiale) : on parle alors d'oscillations
libres.
En général, les systèmes mécaniques présentent de l'amortissement et les vibrations libres
décroissent au cours du temps pour devenir plus ou moins insignifiantes. Au contraire, les
vibrations forcées subsistent tant qu'il y a excitation.
Un système mécanique non amorti possède des vibrations libres particulières qui ont la
particularité d'être périodiques par rapport au temps : c'est ce que l'on appelle les vibrations
propres. Les fréquences correspondantes sont les fréquences propres du système. Le
mouvement libre le plus général pour un système est une combinaison de ces vibrations
propres : ce n'est pas en général un mouvement périodique.
Rappel : Une fonction f est périodique de période T si et seulement si :
( ) ( )
x
f
T
x
f
,
x f =
+
∈
∀ D . (6.1)
Exemples : les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période 2π, la fonction tangente
est périodique de période π.
Nous allons développer ces idées générales par l'étude du cas particulier fondamental de
l'oscillateur à un seul degré de liberté. Nous étudierons tour à tour les mouvements libres de
cet oscillateur quand il n'est pas amorti, puis avec de l'amortissement. Nous étudierons ensuite
les vibrations forcées de cet oscillateur, en distinguant à nouveau le cas non amorti et le cas
amorti. On mettra en particulier en évidence le phénomène de résonance.
Un exemple pratique d'un tel oscillateur est celui de la suspension d'un véhicule automobile.
2 Schématisation
Beaucoup de mécanismes, comme une voiture (figure 6.1), peuvent se ramener à un système
masse-ressort dont on étudie les vibrations.
⇔
a)
1ère étape :
pas d'amortissement
⇒ oscillations libres non amorties
⇔
b)
2ème étape :
avec amortissement
⇒ oscillations libres amorties
V
→
⇔
sol inégal F
V
→
V
→
⇔
sol inégal F c
)
3ème étape :
vibrations forcées
⇒ oscillations forcées, amorties
ou non
Figure 6.1 : Etapes de schématisation d'un mécanisme par un système masse-ressort
Le déplacement de la roue, dû à l'inégalité du sol et à la vitesse d'avancement de la voiture,
peut s'exprimer comme un déplacement imposé dépendant du temps, provoquant ainsi une
oscillation forcée du mécanisme de suspension. On verra comment exprimer cette excitation
en fonction du temps t .
L'application du Principe Fondamental de la Dynamique permet d'obtenir une équation
différentielle du second ordre à coefficients constants, avec ou sans second membre, que
l'on résout pour obtenir la loi horaire cherchée :
0
=
x
c
+
x
b
+
x
a &
&
& ,
ou (t)
f
=
x
c
+
x
b
+
x
a &
&
& , avec ( ) 3
c
b,
a, ∈ .
(6.2-a)
(6.2-b)
L'exemple du mouvement du pendule circulaire, étudié au chapitre 4, § III.1, conduit à
l'équation
0
g
a =
θ
+
θ
&
& , (6.3)
qui est de la forme (6.2-a) avec 0
b = .

II OSCILLATIONS LINEAIRES LIBRES NON AMORTIES
1. Définitions
9 Oscillations libres
Si un système, abandonné à lui-même autour d'une situation d'équilibre stable, évolue ensuite
de part et d'autre de cet état, on parle alors d'oscillations libres.
L'état instantané du système est caractérisé par l'évolution d'une grandeur physique mesurable
(déplacement ( )
t
x ou angle ( )
t
θ ) qui rend compte de l'écart du système par rapport à la
position d'équilibre.
9 Oscillations non amorties
Si, pendant la durée des mesures, les phénomènes de dissipation de l'énergie sous forme de
chaleur (frottements) provoquent une diminution de l'amplitude des oscillations, inférieure à
la sensibilité des appareils de mesure, on peut qualifier les oscillations de non amorties.
9 Oscillateur linéaire
L'équation différentielle qui régit l'évolution de la grandeur caractéristique ( )
t
x (ou θ ) est
linéaire.
Rappel : Fonction linéaire (dans )
L'application f de dans est linéaire si et seulement si
( ) ( ) ( ) ( )
2
1
2
1
2
2
1 x
f
x
f
x
x
f
,
x
,
x +
=
+
∈
∀ , (6.4-a)
et ( ) ( )
x
f
x
f
,
x
, λ
=
λ
∈
∀
∈
λ
∀ , (6.4-b)
ce qui peut se résumer par
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
2
1 x
f
x
f
x
x
f
,
,
,
x
,
x λ
+
λ
=
λ
+
λ
∈
λ
λ
∀
∈
∀ . (6.5)
Exemple de fonction linéaire : ( ) x
a
x
f = .
Exemple de fonction non linéaire : ( ) b
x
a
x
f +
= .
2. Forme de l'équation du mouvement
9 L'équation du mouvement, comme on va le voir dans la suite de ce §, est de la forme
0
x
c
x
a =
+
&
& , (6.6)
que l'on écrit préférentiellement
0
x
x
2
0 =
ω
+
&
& , (6.7)
où
a
c
0 =
ω (6.8)
est la pulsation propre (ou pulsation naturelle)
et
0
0
2
T
ω
π
= (6.9)
la période propre.
9 La solution générale de l'équation (6.7) est de la forme (figure 6.2)
( ) ( )
ϕ
+
ω
= t
cos
A
t
x 0 , (6.10)
-15
15
10
t
T0
A
x
-15
15
10
t
T0
A
x
Figure 6.2
où x t
b g est la loi horaire du mouvement, A
son amplitude (de même dimension que x ),
0
ω la pulsation propre (en 1
s
.
rad −
) et ϕ la
phase (en rad).
Les grandeurs A et ϕ sont des constantes
déterminées à partir des conditions initiales.
Remarques.
9 ( )
t
x est la grandeur physique mesurable, mais si un angle est mesuré, il est d'usage
d'utiliser une lettre grecque telle θ , et l'équation (6.7) s'écrit alors
0
2
0 =
θ
ω
+
θ
&
& , (6.11)
ce qui ne change rien à la généralité de l'exposé qui précède.
9 L'équation (6.7) est bien linéaire (voir définitions (6.4) ou (6.5)) : si les fonctions ( )
t
x 1 et
( )
t
x 2 sont solutions de cette équation, ( ) 2
2
1, ∈
λ
λ
∀ , la fonction 2
2
1
1 x
x λ
+
λ est
également solution de l'équation.
9 La solution (6.10) de l'équation (6.7) peut également s'écrire
( ) ( )
1
0
1 t
cos
A
t
x ϕ
−
ω
= , (6.12-a)
( ) ( )
2
0
2 t
sin
A
t
x ϕ
+
ω
= , (6.12-b)
ou encore ( ) ( )
3
0
3 t
sin
A
t
x ϕ
−
ω
= . (6.12-c)
Quelle que soit l'écriture, la solution est bien en définitive toujours la même, mais, a priori, les
constantes A , 1
A , 2
A et 3
A ne sont pas égales entre elles, tout comme les constantes ϕ ,
1
ϕ , 2
ϕ et 3
ϕ ne le sont pas non plus. Il convient de noter de plus qu'écrire i
ϕ
± n'est qu'une

question d'habitude qui n'a aucune incidence sur le résultat final, puisque les arguments i
ϕ
sont algébriques et modulo π
2 .
Rappel.
( ) ( )
t
sin
2
t
cos 0
0 ω
−
=
π
+
ω , (6.13-a)
( ) ( )
t
sin
2
t
cos 0
0 ω
=
π
−
ω , (6.13-b)
( ) ( )
t
cos
2
t
sin 0
0 ω
=
π
+
ω , (6.13-c)
( ) ( )
t
cos
2
t
sin 0
0 ω
−
=
π
−
ω . (6.13-d)
3. Retour sur le pendule circulaire
Ce système a déjà été étudié au chapitre 4, § III.
O
θ
M
x1
y1
A
x0
y0
x1
r
e
x0
r
e
r
e
0
z
r
ey
0
y1
r
e
P
→
T
→
l
O
θ
M
x1
y1
A
x0
x0
y0
y0
x1
r
ex1
r
e
r
e
x0
r
ex0
x0
r
e
r
e
r
e
0
z
r
e
r
e
0
z
0
z
r
ey
0
r
e
r
ey
0
y
0
y1
r
ey1
r
e
P
→
P
→
T
→
T
→
l
Figure 6.3
Le système de la figure 6.3 est constitué d'un fil
inextensible et sans masse de longueur l
=
OM à
laquelle est accrochée une masse m considérée
comme ponctuelle au point M . La tige est en liaison
pivot sans frottements d'axe ( )
0
z
e
,
O
r
avec le bâti. La
position du fil est repérée par l'axe 1
x
O , faisant un
angle θ avec l'axe 0
x
O (figure 6.3). Le repère
( )
0
0
0 z
y
x
0 e
,
e
,
e
,
O
r
r
r
=
R est galiléen, l'accélération de
la pesanteur étant telle que 0
x
e
g
g
r
r
= .
Les conditions initiales sont les suivantes : à t = 0, le point M est lancé au point A (θ = 0)
avec une certaine vitesse 0
0
v θ
= &
l (&
θ0 0
> par exemple).
™ Système étudié : { }
M
point
le .
™ Inventaire des forces :
- Action de la gravité : { } ( )
P
,
M
M
r
=
→
ϖ , avec
0
sin
g
m
cos
g
m
e
g
m
P
1
x 0
θ
−
θ
=
=
B
r
r
. (6.14)
- Action du fil sur M : { } ( )
T
,
M
M
fil
r
=
→ , avec
0
T
,
e
T
T 1
x >
−
=
r
r
. (6.15)
La résultante des actions mécaniques est donc
( ) T
P
M
ext
r
r
+
=
→
R , (6.16-a)
soit ( )
0
sin
g
m
T
cos
g
m
M
ext
1
θ
−
−
θ
=
→
B
R . (6.16-b)
™ Résultante dynamique :
x Le vecteur position OM est donné par ses composantes sur la base ( )
0
1
1 z
y
x
1 e
,
e
,
e
r
r
r
=
B :
1
x
e
OM
r
l
= . (6.17)
x La vitesse du point M par rapport au repère 0
R s'écrit
( )
0
/
0
t
d
OM
d
/
M
V
B
R
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
r
, (6.18)
soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation
( ) ( ) OM
/
t
d
OM
d
/
M
V 0
1
/
0
1
∧
Ω
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
= B
B
R
B
r
r
, (6.19)
soit ( ) ( ) 1
1
0 y
x
z
0 e
e
e
0
/
M
V
r
&
l
r
l
r
&
r
r
θ
=
∧
θ
+
=
R . (6.20)
x L'accélération du point M par rapport au repère 0
R s'écrit
( ) ( )
0
/
0
0
t
d
/
M
V
d
/
M
B
R
R
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Γ
r
r
, (6.21)
soit, en appliquant la formule de changement de base de dérivation
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
/
0
0 /
M
V
/
t
d
/
M
V
d
/
M
1
R
B
B
R
R
B
r
r
r
r
∧
Ω
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Γ , (6.22)
soit ( ) ( )
1
0
1 y
z
y
0 e
e
e
/
M
r
&
l
r
&
r
&
&
l
r
θ
∧
θ
+
θ
=
Γ R , (6.23)
d'où ( ) 1
1 y
x
2
0 e
e
/
M
r
&
&
l
r
&
l
r
θ
+
θ
−
=
Γ R . (6.24)
x La résultante dynamique du point M par rapport au repère 0
R s'écrit donc :
( ) 1
1 y
x
2
0 e
m
e
m
/
M
d
r
&
&
l
r
&
l
r
θ
+
θ
−
=
R . (6.25)
™ PFD pour le point matériel
( ) ( )
0
/
M
d
M
ext R
R
r
=
→ , (6.26)
soit, en projection sur 1
x
e
r
et sur 1
y
e
r
,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
θ
=
θ
−
θ
−
=
−
θ
.
m
sin
g
m
,
m
T
cos
g
m 2
&
&
l
&
l (6.27-a)
(6.27-b)
L'équation du mouvement (6.27-b) s'écrit encore
0
sin
g =
θ
+
θ
&
&
l . (6.28)

Dans le cas des petits angles (petites oscillations),
θ
≈
θ
sin , (6.29)
avec θ exprimé en radian. Cette approximation est appelée approximation harmonique.
L'équation (6.28) s'écrit alors, compte tenu de (6.29)
0
g =
θ
+
θ
&
&
l , (6.30)
qui est de la forme (6.6) avec l
=
a et g
c = , et se met préférentiellement sous la forme
où .
g
,
0
0
2
0
l
&
&
=
ω
=
θ
ω
+
θ (6.31-a)
(6.31-b)
L'équation du mouvement (6.31-a) est dite linéarisée.
En résumé, le problème à résoudre (problème bien posé) comprend à la fois l'équation du
mouvement et les conditions initiales, soit
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
θ
=
θ
=
θ
≥
∀
=
θ
ω
+
θ
.
0
t
,
0
,
0
0
,
0
t
,
0
0
2
0
&
&
&
& (6.31-a)
(6.31-c)
™ Solution de l'équation du mouvement linéarisée (problème 6.31)
D'après l'équation (6.10), la solution de l'équation du mouvement (6.31-a) s'écrit
( ) ( )
ϕ
+
ω
=
θ t
cos
A
t 0 , (6.32)
les constantes A et ϕ étant déterminées par les conditions initiales (6.31-c).
L'usage de l'équation (6.32) et de la dérivée par rapport au temps
( ) ( )
ϕ
+
ω
ω
−
=
θ t
sin
A
t 0
0
& , (6.33)
permet d'exprimer les conditions initiales (6.31-c) sous la forme :
à 0
t = ,
( )
( )
⎩
⎨
⎧
ϕ
ω
−
=
θ
=
θ
ϕ
=
=
θ
.
sin
A
0
,
cos
A
0
0
0
0
&
&
(6.34-a)
(6.34-b)
L'équation (6.34-a) conduit
- soit à 0
A = (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à ( ) t
,
0
t ∀
=
θ ),
- soit à ( )
π
π
=
ϕ 2 .
Le choix 2
π
=
ϕ (6.35-a)
et son report dans l'équation (6.34-b) conduisent à
0
0
A ω
θ
−
= & , (6.35-b)
ce qui conduit finalement à
( ) ( ) ( )
t
sin
2
t
cos
t 0
0
0
0
0
0
ω
ω
θ
=
π
+
ω
ω
θ
−
=
θ
&
&
. (6.36)
Remarques.
9 Le choix 2
π
−
=
ϕ aurait conduit à 0
0
A ω
θ
+
= & , dont les reports dans l'équation (6.32)
donnent
( ) ( ) ( )
t
sin
2
t
cos
t 0
0
0
0
0
0
ω
ω
θ
=
π
−
ω
ω
θ
+
=
θ
&
&
,
résultat identique à l'expression (6.36).
9 Le choix de la solution (6.12-b)
( ) ( )
2
0
2 t
sin
A
t ϕ
+
ω
=
θ (6.37-a)
conduit à ( ) ( )
2
0
0
2 t
cos
A
t ϕ
+
ω
ω
−
=
θ
& , (6.37-b)
et aux conditions initiales
à 0
t = ,
( )
( )
⎩
⎨
⎧
ϕ
ω
=
θ
=
θ
ϕ
=
=
θ
.
cos
A
0
,
sin
A
0
0
0
2
0
2
&
&
(6.38-a)
(6.38-b)
L'équation (6.38-a) conduit
- soit à 0
A 2 = (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à ( ) t
,
0
t ∀
=
θ ),
- soit à ( )
π
=
ϕ 0
2 .
Le choix 0
2 =
ϕ (6.39-a)
0
0
2
A ω
θ
= & , (6.39-b)
( ) ( )
t
sin
t 0
0
0
ω
ω
θ
=
θ
&
, (6.40)
qui n'est autre que la solution (6.36).
9 De même que précédemment, le choix π
=
ϕ 2 aurait conduit à 0
0
2
A ω
θ
−
= & , dont les
reports dans l'équation (6.37-a) donnent
( ) ( ) ( )
t
sin
t
sin
t 0
0
0
0
0
0
ω
ω
θ
=
π
−
ω
ω
θ
−
=
θ
&
&
,
résultat identique à l'expression (6.40).
Conclusion.
Le choix de la forme de la solution n'est qu'une question d'habitude et ne change bien
évidemment pas le résultat final, puisque le problème bien posé (6.31) a une solution unique).

4. Cas important du ressort linéaire
a) Ressort horizontal
0 x (t)
T
→ M
O
x
l0
M
x (t)
0
T
→
O
x
l0
a)
b)
c)
l0
O
x
0
ex
→
k
y
z M
g
→
0 x (t)
T
→ M
O
x
l0
0 x (t)
T
→
T
→ M
O
x
l0
M
x (t)
0
T
→
O
x
l0
M
x (t)
0
T
→
T
→
O
x
l0
a)
b)
c)
l0
O
x
0
ex
→
k
y
z M
l0
O
x
0
ex
→
ex
ex
→
k
y
z M
g
→
g
→
Figure 6.4 : Système masse / ressort horizontal. Ressort a)
ni tendu ni comprimé, b) tendu, c) comprimé
Un ressort linéaire de masse
négligeable, de raideur k et de
longueur libre l0 est attaché à
l'une de ses extrémités, au point
O, à un bâti (figure 6.4). La
position d'une masselotte de
masse m, attachée à son autre
extrémité M et supposée
ponctuelle en ce point, est
repérée par son abscisse x(t).
Cette masselotte peut se
déplacer sans frottements sur
un plan horizontal (non
représenté).
A l'instant 0
t = , la masselotte
est écartée d'une distance a
vers la droite ( 0
a > ) et lâchée
sans vitesse initiale.
Au cours du temps, la masselotte oscille de part et d'autre de sa position à l'équilibre, ce qui
étire ou comprime le ressort.
L'action d'un ressort linéaire sur un objet est de la forme (voir chapitre 3, § III.1)
( ) x
0 e
x
k
T
r
l
r
−
−
= , (6.41)
où k est la raideur du ressort (exprimée en 1
m
.
N −
) et 0
l est sa longueur libre (ou à vide)
(figure 6.4).
Il convient de noter que le signe - devant k au second membre de l'équation (6.41)
est toujours présent, que le ressort soit en traction ou en compression.
Ainsi, dans le cas de la figure 6.4-b, le ressort est étiré, 0
x 0 >
− l , donc ( ) 0
x
k 0 <
−
− l , et
( ) x
0 e
x
k
T
r
l
r
−
−
= est bien dirigé vers la gauche. Dans le cas de la figure 6.4-c, le ressort est
comprimé, 0
x 0 <
− l , donc ( ) 0
x
k 0 >
−
− l , et ( ) x
0 e
x
k
T
r
l
r
−
−
= est bien dirigé vers la
droite.
M
point
le .
P
,
M
M
r
=
→
ϖ , avec
y
e
g
m
P
r
r
−
= . (6.43)
- Action du ressort : { } ( )
T
,
M
M
ressort
r
=
→ , avec l'action T
r
donnée par l'équation
(6.41)
( ) x
0 e
x
k
T
r
l
r
−
−
= . (6.41)
- Action du plan : { } ( )
N
,
M
M
plan
r
=
→ , avec
y
e
N
N
r
r
= et 0
N > . (6.44)
( ) N
T
P
M
ext
r
r
r
+
+
=
→
R , (6.45-a)
soit ( )
( )
0
N
g
m
x
k
M
ext
0
+
−
−
−
=
→
l
B
R . (6.45-b)
z
y
x e
,
e
,
e
r
r
r
=
B :
x
e
x
OM
r
= . (6.46)
x La vitesse du point M par rapport au repère ( )
B
R ,
O
= s'écrit
( )
B
R
/
t
d
OM
d
/
M
V
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
r
, (6.47-a)
soit ( ) x
e
x
/
M
V
r
&
r
=
R . (6.47-b)
x L'accélération du point M par rapport au repère R s'écrit
( ) ( )
B
R
R
/
t
d
/
M
V
d
/
M ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
Γ
r
r
, (6.48-a)
soit ( ) x
e
x
/
M
r
&
&
r
=
Γ R . (6.48-b)
x La résultante dynamique du point M par rapport au repère R s'écrit donc :
( ) x
0 e
x
m
/
M
d
r
&
&
r
=
R . (6.49)
( ) ( )
0
/
M
d
M
ext R
R
r
=
→ , (6.50)
soit, en projection sur x
e
r
et sur y
e
r
,

( )
⎩
⎨
⎧
=
+
−
=
−
−
.
0
N
g
m
,
x
m
x
k 0 &
&
l (6.51-a)
(6.51-b)
L'équation du mouvement (6.51-b) s'écrit encore
( ) 0
x
k
x
m 0 =
−
+ l
&
& . (6.52)
Ecrite sous la forme (6.52), l'équation du mouvement n'est plus de la forme (6.6), soit
0
x
c
x
a =
+
&
& , puisqu'il y a ici un second membre : 0
k
x
k
x
m l
&
& =
+ .
Remarquons tout d'abord qu'à l'équilibre, l'équation (6.52) s'écrit, pour 0
x
x = (position
d'équilibre) et donc pour 0
x =
&
& ,
0
0
x l
= . (6.53)
0 x (t)
T
→ M
O
x
x0
x0=l0
O
x
0
ex
→
k
y
z
M
g
→
position d'équilibre
X (t)
0 x (t)
T
→
T
→ M
O
x
x0
x0=l0
O
x
0
ex
→
ex
ex
→
k
y
z
M
g
→
g
→
position d'équilibre
X (t)
Figure 6.5
Le changement de variable
0
x
x
X −
= (6.54)
va permettre d'exprimer l'équation du
mouvement (6.52) en fonction de la
variable ( )
t
X dont l'origine est la
position d'équilibre 0
x du système
étudié (figure 6.5), et ainsi obtenir
une équation sans second membre.
Cette méthode sera systématiquement employée par la suite.
Le report de 0
0 X
x
X
x l
+
=
+
= et de sa dérivée seconde X
x &
&
&
& = dans l'équation du
mouvement (6.52) permet d'obtenir finalement
0
X
k
X
m =
+
&
& , (6.55)
écrite préférentiellement sous la forme
0
X
X 2
0 =
ω
+
&
& , (6.56-a)
avec
m
k
0 =
ω , (6.56-b)
pulsation propre du système.
Ainsi, par exemple, si la masse m augmente, la pulsation propre 0
ω diminue. Il convient de
noter qu'il existe dans la nature bon nombre de systèmes dont les comportements
s'apparentent en première approximation à des systèmes à 1 degré de liberté (branche d'arbre
oscillant sous l'effet du vent par exemple). Une modélisation plus fine consisterait à modéliser
un tel système avec un ensemble de masses réparties, ce qui augmenterait le nombre de degrés
de liberté, et sort du cadre de ce cours.
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
≥
∀
=
ω
+
.
0
t
,
0
0
X
,
a
0
X
,
0
t
,
0
X
X 2
0
&
&
& (6.56-a)
(6.56-c)
™ Solution de l'équation du mouvement (problème 6.56)
D'après l'équation (6.10), la solution de l'équation du mouvement (6.56-a) s'écrit
( ) ( )
ϕ
+
ω
= t
cos
A
t
X 0 , (6.57)
les constantes A et ϕ étant déterminées par les conditions initiales (6.56-c).
L'usage de l'équation (6.57) et de la dérivée par rapport au temps
( ) ( )
ϕ
+
ω
ω
−
= t
sin
A
t
X 0
0
& , (6.58)
permet d'exprimer les conditions initiales (6.56-c) sous la forme :
à 0
t = ,
( )
( )
⎩
⎨
⎧
ϕ
ω
−
=
=
ϕ
=
=
.
sin
A
0
0
X
,
cos
A
a
0
X
0
&
(6.59-a)
(6.59-b)
L'équation (6.59-b) conduit
- soit à 0
A = (solution physiquement inintéressante puisque conduisant à ( ) t
,
0
t
X ∀
= ),
- soit à ( )
π
=
ϕ 0 .
Le choix 0
=
ϕ (6.60-a)
et son report dans l'équation (6.59-a) conduisent à
a
A = , (6.60-b)
( ) ( )
t
cos
a
t
X 0
ω
= , (6.61-a)
soit, en faisant usage de la relation (6.54),
( ) ( ) ( )
t
cos
a
t
X
t
x 0
0
0 ω
+
=
+
= l
l . (6.61-b)
Remarque.
Le choix π
=
ϕ aurait conduit à a
A −
= , dont les reports dans l'équation (6.57) donnent
( ) ( ) ( )
t
cos
a
t
cos
a
t
X 0
0 ω
=
π
+
ω
−
= ,
résultat identique à l'expression (6.61-a).

b) Ressort vertical
g
→
ex
→
O
M
O O
M
M
x0
l0
x (t)
X (t)
x a) b) c)
g
→
g
→
g
→
ex
→
ex
→
O
M
O O
M
M
x0
l0
x (t)
X (t)
x a) b) c)
position
d'équilibre
Figure 6.6 : Système masse / ressort vertical a) ressort
seul ni tendu ni comprimé, b) système à l'équilibre, c)
système au cours de son mouvement
Un ressort de masse
négligeable, de raideur k et de
longueur libre l0 est suspendu
par son extrémité O à un point
fixe d'un bâti, origine d'un axe
vertical dirigé vers le bas,
comme le montre la figure 6.6.
La position d'une masselotte de
masse m, attachée à son autre
extrémité M et supposée
ponctuelle en ce point, est
repérée par son abscisse x(t).
A l'instant 0
t = , la masselotte
est écartée d'une distance a
vers le bas ( 0
a > ) et lâchée
sans vitesse initiale.
De manière générale, l'étude des vibrations d'un système commence souvent par la recherche
de la position d'équilibre, ce qui permet ensuite d'effectuer un changement de variable, pour
étudier le mouvement du système autour de la position d'équilibre. Avec l'habitude, les
équations sont souvent écrites de manière systématique.
i) Recherche de la position d'équilibre 0
x
M
point
le .
P
,
M
M
r
=
→
ϖ , avec
x
e
g
m
P
r
r
= . (6.62)
T
,
M
M
ressort
r
=
r
(6.41) pour la position d'équilibre 0
x
x =
( ) x
0
0 e
x
k
T
r
l
r
−
−
= . (6.63)
( ) T
P
M
ext
r
r
+
=
→
R , (6.64-a)
soit ( ) ( )
[ ] x
0
0 e
x
k
g
m
M
ext
r
l
−
−
=
→
R . (6.64-b)
™ Principe Fondamental de la statique :
( ) 0
M
ext
r
=
→
R (6.65)
soit ( ) 0
x
k
g
m 0
0 =
−
− l ;
d'où
k
g
m
x 0
0 +
= l . (6.66)
ii) Equation du mouvement
M
point
le .
P
,
M
M
r
=
→
ϖ , avec
x
e
g
m
P
r
r
= . (6.67)
T
,
M
M
ressort
r
=
r
(6.41)
( ) x
0 e
x
k
T
r
l
r
−
−
= . (6.68)
( ) T
P
M
ext
r
r
+
=
→
R , (6.68-a)
soit ( ) ( )
[ ] x
0 e
x
k
g
m
M
ext
r
l
−
−
=
→
R . (6.68-b)
z
y
x e
,
e
,
e
r
r
r
=
B :
x
e
x
OM
r
= , (6.69)
x et l'accélération du point M par rapport au repère R s'écrit
( ) x
e
x
/
M
r
&
&
r
=
Γ R . (6.70)
x La résultante dynamique du point M par rapport au repère R s'écrit donc :
( ) x
0 e
x
m
/
M
d
r
&
&
r
=
R . (6.71)
( ) ( )
0
/
M
d
M
ext R
R
r
=
→ , (6.72)
soit, en projection sur x
e
r
,
( ) x
m
x
k
g
m 0 &
&
l =
−
− ,
d'où 0
k
g
m
x
k
x
m l
&
& +
=
+ . (6.73)

De même que précédemment, écrite sous la forme (6.73), l'équation du mouvement n'est plus
de la forme (6.6), soit 0
x
c
x
a =
+
&
& , puisqu'il y a ici un second membre.
Le changement de variable 0
x
x
X −
= (6.74)
va permettre d'exprimer l'équation du mouvement (6.73) en fonction d'une variable dont
l'origine est la position à l'équilibre 0
x .
Le report de k
g
m
X
x
X
x 0
0 +
+
=
+
= l et de sa dérivée seconde X
x &
&
&
& = dans l'équation du
mouvement (6.73) permet d'obtenir finalement
0
X
k
X
m =
+
&
& , (6.75)
0
X
X 2
0 =
ω
+
&
& , (6.76-a)
avec
m
k
0 =
ω , (6.76-b)
pulsation propre du système.
Avec l'habitude, ce genre d'équation est écrit de manière assez systématique, mais il ne
faut pas oublier que l'équation différentielle du mouvement a la forme (6.75) uniquement
quand la grandeur caractéristique ( )
t
X est référencée par rapport à la position d'équilibre.
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
≥
∀
=
ω
+
.
0
t
,
0
0
X
,
a
0
X
,
0
t
,
0
X
X 2
0
&
&
& (6.76-a)
(6.76-c)
5. Cas particulier de la rotation autour d'un axe fixe
B0
z
e
→
0
e
→
0
y
0
e
→
x
O
G
(S)
θ
P
→
a
y
g
→
B0
z
e
→
0
e
→
0
y
0
e
→
x
B0
B0
z
e
→
0
z
e
→
e
→
0
e
→
0
y
e
→
e
→
0
y
0
e
→
x0
e
→
e
→
x
O
G
(S)
θ
P
→
P
→
a
y
g
→
g
→
g
→
Figure 6.7
Le solide S
b g de la figure 6.7 est en liaison pivot sans
frottements avec un bâti (non représenté) d'axe
O e z
,
r
0
e j, ce qui le met en rotation autour de cet axe. La
position du centre de masse G est repérée par l'axe
y
O , faisant un angle θ avec l'axe 0
y
O . Le repère
( )
0
0
0 z
y
x
0 e
,
e
,
e
,
O
r
r
r
=
R est galiléen, le repère
R B
= O,
b g avec B =
r r r
e e e
x y z
, , 0
e j est lié au solide
S
b g, et l'accélération de la pesanteur est telle que
0
y
e
g
g
r
r
−
= .
Par anticipation sur le cours de mécanique du solide de VAS2, l'application du Principe
Fondamental de la Dynamique au solide S
b g pour les moments au point O conduit à
( ) θ
=
⋅
→ &
&
r
C
e
S
ext 0
z
O
M , (6.77)
où ( )
S
ext
O →
M est le moment au point Odu torseur des actions mécaniques extérieures
s'exerçant sur le solide S
b g et C est le moment d'inertie de S
b g par rapport à O e z
,
r
0
e j (unité
2
m
.
kg ).
O
θ
M
x1
y1
a
A
C
B
D
x0
y0
x1
r
e
x0
r
e
r
e
0
z
r
ey
0
y1
r
e
P
→
R
→
O
θ
M
x1
y1
a
A
C
B
D
x0
x0
y0
y0
x1
r
e x1
r
e
x0
r
ex0
x0
r
e
r
e
0
z
r
e
0
z
0
z
r
ey
0
r
ey
0
y
0
y1
r
e
P
→
P
→
R
→
R
→
Figure 6.8
Ce genre d'équation a déjà été obtenu au
Chapitre 4, § III/2, lors de l'étude du pendule
circulaire pour un point matériel M
(figure 6.8).
Le moment dynamique est donné par
( ) 0
z
2
0
O e
a
m
/
M
r
&
&
r
θ
=
δ R (6.78-a)
et le moment au point O du torseur des
actions mécaniques extérieures par
( ) 0
z
O e
sin
a
g
m
M
ext
r
θ
−
=
→
M , (6.78-b)
ce qui conduit à
θ
=
θ
− &
&
2
a
m
sin
a
g
m , (6.79)
la quantité ( )
2
a
m , caractéristique de la
répartition de masse du système, étant appelée
moment d'inertie du point M par rapport à
l'axe ( )
0
z
e
,
O
r
Lorsque le solide étudié n'est pas un point matériel, le moment d'inertie n'est plus simplement
le produit de la masse du point M par le carré de la distance au carré entre le point M et
l'axe de rotation (voir § I.6).
Définition : on appelle pendule composé le système oscillant formé par un objet solide
quelconque, susceptible d'osciller sous le seul effet de son poids autour d'un axe fixe
schématisant une liaison pivot parfaite (sans frottements).
Le torseur des actions extérieures est donc la somme du torseur des actions de la gravité
{ }
S
→
ω et du torseur des actions du bâti { }
S
âti
b → ,
soit { } { } { }
S
âti
b
S
S
ext →
+
→
ω
=
→ . (6.80)
En posant OG a
= (figure 6.7), le moment au point O des actions mécanique extérieures
s'écrit
{ } { }
S
bâti
P
OG
S
ext O
O →
+
∧
=
→ M
M
r
,

soit { }
0
M
L
sin
a
g
m
0
0
0
M
L
0
g
m
0
0
cos
a
sin
a
S
ext
0
0
0
0
0
O
B
B
B
B
B
M +
θ
−
=
+
−
∧
θ
−
θ
=
→ ,
d'où, en faisant usage de l'équation (6.77),
θ
=
θ
− &
&
C
sin
a
g
m ,
soit 0
sin
a
g
m
C =
θ
+
θ
&
& . (6.81)
Dans le cas des petites oscillations (approximation harmonique), sinθ θ
≈ , et l'équation
(6.81) devient
0
a
g
m
C =
θ
+
θ
&
& , (6.82)
0
2
0 =
θ
ω
+
θ
&
& , (6.83-a)
avec
C
a
g
m
0 =
ω . (6.83-b)
L'équation (6.83) est à savoir retrouver et non à apprendre par coeur !
( ) ( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
θ
=
θ
θ
=
θ
≥
∀
=
θ
ω
+
θ
.
0
t
,
0
,
0
,
0
t
,
0
0
0
2
0
&
&
&
& (6.83-a)
(6.83-c)
6. Calcul de moments d'inertie
Ce paragraphe est traité par anticipation sur le cours de mécanique du solide.
a) Introduction
ez
→
ez
→
ez
→
Figure 6.9
Le solide de la figure 6.9 est constitué d'un disque de grand
diamètre et d'un axe de plus faible diamètre, le tout pouvant tourner
autour de
r
e z.
On considère quatre anneaux identiques (donc de même masse), que l'on dispose de deux
manières différentes (figure 6.10) ; sur la figure 6.10-a), ils sont collés sur la face avant du
disque, et sur la figure 6.10-b), ils sont fixés sur l'axe du disque.
ez
→
1
ez
→
2
ez
→
1
ez
→
ez
→
1
ez
→
2
ez
→
ez
→
2
Figure 6.10-a) Figure 6.10-b)
Si l'on veut faire tourner chacun des deux systèmes, l'expérience montre qu'il faudra dépenser
beaucoup plus d'énergie pour communiquer une vitesse de rotation donnée au système c
(figure 6.10-a) qu'au système d (figure 6.10-b), alors que chacun des deux systèmes a la
même masse.
On peut donc en conclure que la distance de la masse par rapport à l'axe est un élément
important dans l'étude de la dynamique des systèmes.
b) Moment d'inertie par rapport à une droite ∆
A 2
1
A
i
A
1
d
2
d
i
d
(∆)
Figure 6.11
Soit une droite ∆
b g (figure 6.11). Si l'on désigne par d i les
distances des points A i du solide S
b g par rapport à ∆
b g, on
définit le moment d'inertie de S
b g par rapport à ∆
b g par :
I S m d
i i
i
∆ b g= ∑ 2
. (6.84)
Dans le cas d'une seule masse (figure 6.8), ( ) 2
Oz a
m
S
I 0
= .
Remarques :
ƒ Un moment d'inertie est toujours positif.
ƒ Dimension : I M L
∆ = ⇒
2
unité : kg m
. 2
.
Soit K un point quelconque. On considère la base B =
r r r
e e e
x y z
, ,
d i associée au repère
R B
= K,
b g, ce repère n'étant pas nécessairement lié à S
b g. Par habitude, lorsque la droite ( )
∆
est
- l'axe ( )
x
e
,
K
r
, le moment d'inertie ( )
S
I ∆ est noté A ,
- l'axe ( )
y
e
,
K
r
S
I ∆ est noté B ,
- l'axe ( )
z
e
,
K
r
S
I ∆ est noté C .
- On pourra se reporter au tableau de la figure 6.12 pour connaître les éléments d'inertie en un
point O, et les centres de masse de quelques solides homogènes.

c) Eléments d'inertie de quelques solides homogènes usuels
Figure 6.12
! Lorsque l'on cherche un élément d'inertie en un autre point que le point O, il faut utiliser
le théorème de Huygens (§ II.6.d).
Centre
de
masse
et
éléments
d'inertie
au
point
O
de
quelques
solides
homogènes
usuels
Solide
homogène
de
masse
M
Centre
de
masse
G
Eléments
d'inertie
Solide
homogène
de
masse
M
Centre
de
masse
G
Eléments
d'inertie
cylindre
creux
Centre
O
Demi-sphère
(creuse)
Cylindre
plein
Centre
O
Quart
de
cercle
matériel
Parallélépipède
rectangle
Centre
O
Quart
de
plaque
elliptique
Sphère
(creuse)
Centre
O
Secteur
circulaire
Boule
(pleine)
Centre
O
Tore
creux
Centre
O
Cône
creux
On
remarquera
qu'il
est
possible
de
déduire
de
ce
tableau
d'autres
résultats
:
Ainsi
la
tige
s'obtient
en
faisant
dans
le
cylindre
plein,
la
plaque
en
faisant
dans
le
parallélépipède
rectangle,
etc...
N.B.
:
les
solides
"creux"
sont
supposés
d'épaisseur
négligeable.
d) Théorème de Huygens pour les moments d'inertie
(∆)
d G
(∆ )
G
Figure 6.13
Théorème de Huygens : Le moment d'inertie d'un solide par
rapport à une droite est égal à la somme du moment
d'inertie par rapport à cette droite de la masse du solide
concentrée au centre de masse G et du moment d'inertie du
solide par rapport à la droite parallèle passant par G.
I S I S I m G
G
m d
∆ ∆ ∆
b g b g b g
= + ,
2
1 2
4 3
4
, (6.85)
où ∆ G est la droite parallèle à ∆ et passant par G, et d est la distance entre ∆ et ∆ G
(figure 6.13)
Exemple.
x 0
g
→
g
→
g
→
z 0
θ
O
G
y 0
x 1
y 1
l
Figure 6.14
Le système de la figure 6.14 est constitué d'une tige pesante
homogène S de masse m de longueur l . Le centre de masse G
est donc situé à une distance 2
l du point O. La tige est en
liaison pivot sans frottements d'axe ( )
0
z
e
,
O
r
avec le bâti. La
position de la tige est repérée par l'axe 1
x
O , faisant un angle
θ avec l'axe 0
x
O (figure 6.14).
z
y
x
O
z
y
x
O
Figure 6.15
- D'après le tableau 6.12, et avec les notations employées dans
ce tableau (figure 6.15),
2
y
O
x
O M
12
1
I
I l
=
= . (6.86)
- Dans le cas présent, et avec les notations employées (figure 6.14), le moment d'inertie par
rapport à l'axe ( )
0
z
G , noté 0
z
G
I s'écrit, en faisant usage de la relation (6.86)
2
z
G m
12
1
I 0
l
= . (6.87)
La distance entre les axes ( )
0
z
e
,
G
r
et ( )
0
z
e
,
O
r
étant égale à 2
l , le moment d'inertie par
rapport à l'axe ( )
0
z
e
,
O
r
s'écrit, par usage du théorème de Huygens (6.85)
3
m
4
m
m
12
1
2
m
I
I
2
2
2
2
z
G
z
O 0
0
l
l
l
l
=
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
= , (6.88)
quantité notée C .
L'usage de la relation (6.77) permet alors d'écrire
{ } θ
=
⋅
→ &
&
l
r
3
m
e
S
ext
2
z
O 0
M . (6.89)

7. Le ressort spiral et le fil de torsion
Le ressort spiral et le fil de torsion sont deux exemples de pièces mécaniques pouvant exercer
un moment de rappel (communément appelé couple de rappel et noté C ) sur le système
auquel ils sont liés, fonction de l'angle de rotation θ autour d'un axe de rotation. Ils sont
caractérisés par une constante de torsion, pouvant être appelée raideur (par analogie avec la
raideur des ressorts en translation étudiés jusqu'à présent dans ce cours) et notée K .
a) Le ressort spiral
O
B
O
B
r
e
0
z
r
e
0
z
0
z
Figure 6.16-a
La figure 6.16-a représente un ressort spiral. Essentiellement
utilisé dans l'appareillage de précision (montres, appareils
électriques, ...) et inventé par Christiaan Huygens (1629-
1695) en 1675 (figures 6.16-b et c), un ressort spiral est
composé d'un ruban de section rectangulaire ou circulaire,
encastré à une extrémité B et solidaire à l'autre extrémité O
d'un axe )
e
,
O
( 0
z
r
perpendiculaire au plan d'enroulement.
Figure 6.16-b : Balancier avec
ressort spiral. Gravure extraite de
PRIVAT-DESCHANEL et
FOCILLON, Dictionnaire général
des sciences techniques et
appliquées, 1883
Figure 6.16-c : Réalisation du mécanisme de la
première montre à ressort spiral (tel qu'imaginé par
Huygens) par Isaac Thuret, l'un des meilleurs
horlogers de Paris, en 1675.
http://www.louisg.net/mesure_temps5.htm
Sa raideur K (en 1
rad
.
m
.
N −
et non en 1
m
.
N −
comme dans le cas des ressorts en translation
précédemment étudiés) est donnée par
l
q
I
E
K = , (6.90)
où E , q
I et l désignent respectivement le module d'Young du matériau constituant le
ressort, le moment quadratique de la section droite ( 64
D
I 4
q π
= pour une section circulaire
de diamètre D et 12
h
b
I 3
q = pour une section rectangulaire de largeur b et d'épaisseur h )
et la longueur du ressort.
b) Le fil de torsion
r
e
0
z
r
e
0
z
0
z
l
Figure 6.17
Le fil de torsion quant à lui est un fil rectiligne pouvant être contraint en
rotation autour de son axe 0
z
e
r
(torsion). Sa raideur K (en 1
rad
.
m
.
N −
)
est donnée par
l
O
I
G
K = , (6.91)
où G , O
I et l désignent respectivement le module de Coulomb du
matériau constituant le fil, le moment polaire de la section droite
( 32
D
I 4
O π
= pour une section circulaire de diamètre D ) et la longueur
du fil.
c) Couple de rappel
Dans la suite, le terme "ressort" ou "ressort spiral" désigne indifféremment le ressort spiral ou
le fil de torsion.
Dans les deux cas, si 0
θ désigne l'angle au repos de la torsion (libre de toute contrainte), la
torsion d'un angle θ autour de l'axe )
e
,
O
( 0
z
r
provoque un couple de rappel C
(correspondant à la projection sur le vecteur 0
z
e
r
de l'action du ressort sur le système auquel
il est lié) tel que
( ) ( )
0
z
O K
e
système
ressort 0
θ
−
θ
−
=
⋅
→
=
r
M
C . (6.92)
Il convient de bien noter l'analogie de l'expression (6.92) du couple de rappel avec
l'expression (6.41) de l'action d'un ressort en translation de raideur k et de longueur à vide
0
l sur un système :
( ) ( ) x
0 e
x
k
système
ressort
r
l
−
−
=
→
R . (6.93)
Si le ressort spiral est de masse négligeable par rapport aux systèmes auxquels il est lié, sa
fonction se réduit à transmettre les efforts mécaniques, notamment son couple de rappel.
d) Exemple de mise en équation d'un problème
Le système de la figure 6.18-a est constitué d'une tige 1 sans masse, en liaison avec un bâti 0
par l'intermédiaire d'une liaison pivot sans frottement d'axe O e z
,
r
0
e j, son axe de rotation étant
soumis au couple de rappel d'un ressort spiral ou d'un fil de torsion de constante de torsion K
(supposé sans masse). Le torseur des actions du bâti 0 sur la tige 1 peut donc s'écrire :

{ }
1
O
O
O
O
O
Z
M
Y
L
X
O
1
0
B
C ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
→ (6.94)
où C est le couple de rappel exercé par le ressort sur la tige.
θ0
1
O
M
x0
z0
y1
1
x
0
y
Figure 6.18-a
On introduit les repères suivants :
- repère fixe R B
0 0
0 0 0
= =
O e e e O
x y z
, , , ,
r r r
e j c h lié au bâti 0, et
supposé galiléen.
- repère R B
1 1
1 1 0
= =
O e e e O
x y z
, , , ,
r r r
e j c h lié à la tige 1.
Au repos, la tige 1 fait un angle θ0 avec l'axe
r
ex 0
et l'ensemble
est soumis au champ de pesanteur terrestre
r r
g gex
= 0
.
Le couple de rappel C exercé par le ressort spiral sur la tige lorsque celle-ci est écartée d'un
angle orienté θ =
r r
e e
x x
0 1
,
e j est donné par
( )
0
K θ
−
θ
−
=
C . (6.95)
1
O
M
x0
z0
y1
1
x
0
y
a
θ1
bille
Figure 6.18-b
Une bille de masse m, assimilée à une masse ponctuelle, est
maintenant fixée à l'extrémité M de la tige c, située à une
distance "a" de son autre extrémité O (figure 6.18-b). On note
Σ l'ensemble constitué de la tige c et de la bille. A l'équilibre,
la tige OM fait un angle θ1 avec l'axe O ex
,
r
0
e j.
™ Système étudié : le système Σ constitué de la tige 1 et de la bille.
™ Inventaire des actions mécaniques extérieures :
P
,
M
M
r
=
→
ϖ , avec
0
x
e
g
m
P
r
r
= . (6.96)
- Action du bâti : { }
1
O
O
O
O
O
Z
M
Y
L
X
O
1
0
B
C ⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
→
™ Moment au point O des actions mécaniques extérieures exercées sur le système Σ
( ) ( ) ( )
Σ
→
+
Σ
→
ϖ
=
Σ
→ bâti
ext O
O
O M
M
M , (6.97-a)
soit ( ) ( )
C
B
B
B
O
O
1
1
1
O
O M
L
0
sin
g
m
cos
g
m
0
0
a
bâti
P
M
O
ext +
θ
−
θ
∧
=
Σ
→
+
∧
=
Σ
→ M
M
r
,
d'où ( )
C
B +
θ
−
=
Σ
→
sin
a
g
m
M
L
ext O
O
1
O
M . (6.97-b)
™ Principe Fondamental de la statique
( ) 0
ext
O
r
=
Σ
→
M (6.98-a)
soit, en projection sur l'axe 0
z
e
r
et en reportant l'expression (6.95) du couple de rappel C
pour 1
θ
=
θ ,
( ) 0
K
sin
a
g
m 0
1
1 =
θ
−
θ
−
θ
− ;
d'où 1
0
1 sin
K
a
g
m
θ
−
=
θ
−
θ . (6.98-b)
Il convient de noter que, d'après l'équation (6.98-b), 0
0
1 <
θ
−
θ . La position d'équilibre a
donc lieu pour 0
1 θ
<
θ , du fait que l'action de la gravité sur la bille exerce une action qui
comprime le ressort spiral ce qui rapproche la tige de la verticale.
™ Principe Fondamental de la dynamique
L'usage de l'équation (6.77) provenant de l'application du PFD pour les moments au point O
conduit à, lorsque la tige est écartée d'un angle θ de l'axe 0
x
O ,
( ) θ
=
⋅
Σ
→ &
&
r 2
z
O a
m
e
ext 0
M , (6.99)
où 2
a
m représente le moment d'inertie de la masse ponctuelle m par rapport à l'axe
O e z
,
r
0
e j. Par suite, en reportant les équations (6.97-b) et (6.95) dans l'équation (6.99),
l'équation du mouvement s'écrit
( )
0
2
K
sin
a
g
m
a
m θ
−
θ
−
θ
−
=
θ
&
& ,
soit ( ) 0
K
sin
a
g
m
a
m 0
2
=
θ
−
θ
+
θ
+
θ
&
& . (6.100)

™ Etude des petits mouvements autour de la position d'équilibre 1
θ
=
θ
Le changement de variable
1
θ
−
θ
=
Θ (6.101)
et un développement limité de la fonction θ
sin autour de 1
θ
=
θ vont permettre d'exprimer
l'équation du mouvement (6.100) en fonction d'une variable dont l'origine est la position à
l'équilibre.
Le report de 1
θ
+
Θ
=
θ et de sa dérivée seconde Θ
=
θ &
&
&
& dans l'équation du mouvement
(6.100) permet d'écrire
( ) ( ) 0
K
sin
a
g
m
a
m 0
1
1
2
=
θ
−
θ
+
Θ
+
θ
+
Θ
+
Θ
&
& , (6.102-a)
soit, en reportant l'expression (6.98-b) de 0
1 θ
−
θ
( ) 0
sin
K
a
g
m
K
sin
a
g
m
a
m 1
1
2
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
θ
−
Θ
+
θ
+
Θ
+
Θ
&
& . (6.102-b)
Le développement à l'ordre 1 de ( )
Θ
+
θ1
sin s'écrit, en appliquant la formule de Taylor
( ) ( ) ( ) ( ) K
+
+
+
=
+ 0
2
0
0
0 x
"
f
2
h
x
f
h
x
f
h
x
f , (6.103-a)
( ) 1
1
1 cos
sin
sin θ
Θ
+
θ
≈
Θ
+
θ , (6.103-b)
( ) 0
K
cos
a
g
m
a
m 1
2
=
Θ
+
θ
+
Θ
&
& ,
soit
où .
a
m
K
cos
a
g
m
,
0
2
1
0
2
0
+
θ
=
ω
=
Θ
ω
+
Θ
&
& (6.104-a)
(6.104-b)
Nota Bene 1. Même en écrivant l'équation du mouvement en fonction d'une variable dont
l'origine est la position à l'équilibre 1
θ
=
θ , contrairement au cas des oscillateurs étudiés
jusqu'à présent, l'angle 1
θ intervient encore dans l'équation du mouvement.
Nota Bene 2. Si 0
0 =
θ , l'équation (6.98-b) s'écrit
0
sin
K
a
g
m
1
1 <
θ
−
=
θ , (6.105)
alors que 0
1 ≥
θ . Par suite, si 0
0 =
θ , alors 0
1 =
θ , et la pulsation propre s'écrit alors
2
0
a
m
K
a
g
m +
=
ω . (6.106)
e) Pendule de Pohl
Un pendule de Pohl est un oscillateur harmonique constitué d'un disque en rotation autour de
son centre, relié à un ressort spiral qui tend à ramener le disque vers sa position d'équilibre.
Le dispositif de la figure 6.19 (distribué par la société Leybold Didactic GmbH) comporte
ainsi un pointeur placé sur le disque qui permet de suivre les oscillations et de mesurer les
amplitudes, d'un petit moteur relié au ressort spiral qui impose une excitation sinusoïdale et
force ainsi les oscillations à une fréquence ajustable par l'utilisateur, et d'un frein
électromagnétique permettant de régler l'effet d'amortissement (par courants de Foucault).
Figure 6.19 : Pendule de Pohl distribué par la société Leybold Didactic GmbH.
http://www.leybold-didactic.de ; http://fr.wikipedia.org/wiki/Pendule_de_Pohl
1. Echelle circulaire.
2. Corps du pendule : index pour la déviation (2a), index pour la position de phase (2b),
ressort spiral (2c).
3. Excitateur : index pour la position de phase de l’excitateur (3a), fente (3b), vis (3c), barre
de poussée (3d), poulie avec excentrique (3e).
4. Electroaimant pour frein à courants de Foucault. Douilles de connexion (4a).
5. Moteur de l’excitateur.

8. Représentation de l'oscillateur harmonique non amorti dans le plan des phases
Il est possible de représenter les oscillations du système dans le plan des phases, c'est-à-dire
dans un repère dont l'axe des abscisses est l'élongation x , et l'axe des ordonnées est sa dérivée
x
& par rapport au temps t (ou θ et θ
& ).
Exemple : Système masse-ressort horizontal étudié au § II.4-a)
0 x (t)
M
O
x
X (t)
x0=l0
0 x (t)
M
O
x
X (t)
x0=l0
Figure 6.20
La solution (6.57) de l'équation du mouvement
(6.56-a) s'écrit
( ) ( )
ϕ
+
ω
= t
cos
A
t
X 0 (6.107-a)
et sa dérivée par rapport au temps
( ) ( )
ϕ
+
ω
ω
−
= t
sin
A
t
X 0
0
& . (6.107-b)
Par suite, 1
A
X
A
X
2
0
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ &
, (6.108)
équation d'une ellipse de demi-grand-axe A et de demi-petit axe 0
Aω (figure 6.20). Il en
résulte donc, pour l'ensemble des conditions initiales (pour un système masse-ressort donné),
une famille d'ellipses concentriques, décrites dans le sens des aiguilles d'une montre lorsque le
temps t augmente (figure 6.20). Par suite, la connaissance d'une seule grandeur, l'amplitude
A , permet de savoir sur quelle ellipse se déplace le point représentatif du système dans le
plan des phases.
Si la courbe ainsi obtenue est fermée, le mouvement est périodique. On verra en particulier
que, pour les oscillateurs libres amortis, la courbe n'est plus fermée (voir § III.5).
X
.
|A|
-|A|
-|A| ω0
|A| ω0
X
B
D
C
X
.
|A|
-|A|
-|A| ω0
|A| ω0
X
B
D
C
Figure 6.21
Pour se convaincre du sens de parcours des ellipses, il suffit, pour simplifier, de prendre
0
=
ϕ et 0
A > dans les équations (6.107).
- A 0
t = , ( ) A
0
X = et ( ) 0
0
X =
& , ce qui correspond au point B .
- A 2
t
0 π
=
ω , ( ) 0
t
X = et ( ) 0
A
t
X ω
−
=
& , ce qui correspond au point C .
- A π
=
ω t
0 , ( ) A
t
X −
= et ( ) 0
t
X =
& , ce qui correspond au point D .
- Etc.
L'intérêt des représentations dans le plan des phases est d'obtenir un comportement qualitatif
sur le système étudié, par comparaison avec le cas où le système est amorti.
Ce type de représentation offre en particulier l'avantage de représenter la position en fonction
de la vitesse, deux grandeurs devant être définies pour connaître l'état d'un système.
III OSCILLATIONS LINEAIRES LIBRES AMORTIES
L'oscillateur est abandonné à lui-même et est soumis à un amortissement dû à l'existence
d'une force de frottement fluide. Cette force de frottement dissipe l'énergie mécanique sous
forme de chaleur.
1 Forme de l'équation du mouvement
9 L'équation du mouvement, comme on va le voir dans la suite de ce §, est de la forme
0
x
c
x
b
x
a =
+
+ &
&
& , (6.109)
que l'on écrit préférentiellement
0
x
x
2
x
2
0 =
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.110)
où b est un facteur d'amortissement positif,
a
c
0 =
ω (6.111)
est la pulsation propre (ou pulsation naturelle) des oscillations libres non amorties,
et
a
2
b
=
γ (6.112)
caractérise l'amortissement (en 1
s −
).
Il convient de noter que la terminologie en ce qui concerne l'amortissement n'est pas bien
définie et que les grandeurs b et γ sont des grandeurs caractérisant toutes deux
l'amortissement sans qu'une dénomination précise leur soit associée.

ƒ 1er exemple : système masse-ressort amorti
k
m
λ
Figure 6.22
La force de frottement visqueux est de la forme − λ &
xe x
r
, ce qui conduit à
l'équation :
0
x
k
x
x
m =
+
λ
+ &
&
& , (6.113)
où le facteur d'amortissement λ a pour dimension [ ] 1
T
M −
=
λ et pour unité
associée 1
m
.
s
.
N −
, et où le terme γ défini par l'équation (6.112) a pour
expression
m
2
λ
=
γ , (6.114)
et pour unité 1
s −
.
ƒ 2ème exemple : pendule composé avec pivot réel
z
e
→
0
O
G
(S)
θ
P
→
a
z
e
→
0
z
e
→
e
→
0
O
G
(S)
θ
P
→
P
→
a
Figure 6.23
Le moment de frottement visqueux est de la forme − µθ
& r
e z 0
, ce qui conduit
à l'équation :
0
a
g
m
C =
θ
+
θ
µ
+
θ &
&
& , (6.115)
où le facteur d'amortissement µ a pour dimension [ ] 1
2
T
L
M −
=
µ et pour
unité associée m
.
s
.
N , et où le terme γ défini par l'équation (6.112) a pour
expression
C
2
µ
=
γ , (6.116)
et pour unité 1
s −
.
2 Résolution mathématique de l'équation
Ce paragraphe ne remplace nullement le cours de mathématiques consacré à la résolution
des équations différentielles du second ordre à coefficients constants.
La résolution de l'équation (6.110) s'obtient en cherchant des solutions indépendantes a
x et
b
x de la forme ( ) t
r
a e
t
A
t
x = et ( ) t
r
b e
B
t
x = .
9 Le report de ( )
t
x a et de ses dérivées successives par rapport au temps
( ) ( ) t
r
a e
t
r
1
A
t
x +
=
& et ( ) ( )
[ ] t
r
a e
r
t
r
1
r
A
t
x +
+
=
&
& dans l'équation (6.110) conduit à
( ) ( )
[ ] 0
t
,
0
e
t
r
2
r
r
2
A t
r
2
0
2
≥
∀
=
ω
+
γ
+
+
γ
+ ,
soit 0
A = (6.117-a)
ou
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
ω
+
γ
+
=
γ
+
.
0
r
2
r
,
0
r
2
0
2
(6.117-b)
(6.117-c)
La résolution de l'équation (6.117-c), appelée équation caractéristique, conduit à calculer son
discriminant réduit
2
0
2
' ω
−
γ
=
∆ , (6.118)
nul ici, puisque le report de la condition (6.117-b) dans l'équation caractéristique (6.117-c)
revient à écrire γ
−
=
r et 2
0
2
r ω
= , c'est-à-dire 0
r ω
−
=
γ
−
= .
La solution ( ) t
r
a e
t
A
t
x = est donc solution de l'équation (6.110) uniquement si les
conditions (6.117-b) et (6.117-c) sont satisfaites, c'est-à-dire si γ
−
=
r et si 0
' 2
0
2
=
ω
−
γ
=
∆ .
9 Le report de ( )
t
x b et de ses dérivées successives par rapport au temps ( ) t
r
b e
r
B
t
x =
& et
( ) t
r
2
b e
r
B
t
x =
&
0
t
,
0
e
B
e
r
B
2
e
r
B t
r
2
0
t
r
t
r
2
≥
∀
=
ω
+
γ
+ ,
soit 0
B = (6.119-a)
ou 0
r
2
r 2
0
2
=
ω
+
γ
+ , (6.119-b)
qui n'est autre que l'équation caractéristique (6.117-c) déjà trouvée.
La solution (6.119-a) étant physiquement inintéressante puisque conduisant à
( ) 0
t
,
0
t
x b ≥
∀
= , il ne reste plus qu'à résoudre l'équation (6.119-b), appelée équation
caractéristique, et donc à calculer son discriminant réduit '
∆ donné par l'équation (6.118).
Œ Lorsque le discriminant réduit 0
' 2
0
2
=
ω
−
γ
=
∆ , la solution de l'équation (6.119-b)
est donnée par la racine double γ
−
=
r (ce qui correspond de plus aux conditions (6.117-b,c)),
et la solution générale de l'équation (6.110) est alors donnée par la somme ( ) ( )
t
x
t
x b
a + .
Œ Lorsque le discriminant réduit 0
'≠
∆ , la solution de l'équation (6.119-b) est donnée
par deux racines distinctes 1
r et 2
r , et la solution générale de l'équation (6.110) est alors
donnée par la somme
t
r
2
t
r
1
2
1
e
B̂
e
B̂ + (les conditions (6.117-b,c) ne sont alors plus
satisfaites et la fonction ( )
t
x a n'est pas solution).
Finalement, la recherche de la solution générale d'une équation différentielle du second ordre
à coefficients constants telle que l'équation (6.110) conduit à écrire l'équation caractéristique
(6.119-b) et à en calculer son discriminant réduit (6.118), ce qui mène aux deux cas suivants.

a) Premier cas : ∆' = 0 c'est-à-dire γ = ω0
Lorsque le discriminant réduit '
∆ est nul, la solution r est donnée par la racine double de
l'équation caractéristique (6.117-c)
γ
−
=
r , (6.120)
et la solution ( )
t
x est donnée par ( ) ( )
t
x
t
x b
a + ,
soit ( ) ( ) t
r
e
B
t
A
t
x +
= ,
soit ( ) ( ) t
e
B
t
A
t
x γ
−
+
= , (6.121)
où les constantes A et B dépendent des conditions initiales. Ce cas correspond au régime
critique (voir § 3 suivant).
b) Deuxième cas : ∆' ≠ 0
Lorsque le discriminant réduit '
∆ est non nul, les solutions 1
r et 2
r de l'équation
caractéristique (6.119-b) peuvent être soit toutes les deux réelles, soit toutes les deux
complexes conjuguées (en fonction du signe de '
∆ ), et, dans les deux cas, la solution peut
s'écrire
( ) t
r
2
t
r
1
2
1
e
B̂
e
B̂
t
x +
= , (6.122)
où les constantes 1
B̂ et 2
B̂ dépendent des conditions initiales et sont complexes dans le cas
général (ce que symbolise la notation ^ ).
i) Si 0
'>
∆ c'est-à-dire 0
ω
>
γ
Les racines 1
r et 2
r sont réelles (les constantes 1
B̂ et 2
B̂ également)
'
r1 ∆
−
γ
−
= et '
r2 ∆
+
γ
−
= , (6.123)
et le régime correspondant est appelé régime apériodique (voir § 3 suivant).
ii) Si 0
'<
∆ c'est-à-dire 0
ω
<
γ
Les racines 1
r et 2
r sont complexes conjuguées et le régime correspondant est appelé régime
pseudo-périodique (voir § 3 suivant). Ces racines s'obtiennent en les écrivant sous la forme
δ
−
γ
−
=
1
r et δ
+
γ
−
=
2
r , (6.124-a)
où '
2
∆
=
δ . (6.124-b)
Le choix 2
2
0
i γ
−
ω
=
δ (6.124-c)
et son report dans les expressions (6.107-a) des racines conduisent finalement à
et ⎩
⎨
⎧
ω
+
γ
−
=
ω
−
γ
−
=
,
i
r
,
i
r
a
2
a
1 (6.125-a)
(6.125-b)
où
2
2
0
a γ
−
ω
=
ω (6.126)
est une grandeur appelée pseudo-pulsation (l'indice "a" n'ayant aucun rapport avec la solution
a
x précédemment écrite).
La solution ( )
t
x de l'équation (6.110), donnée par son expression (6.122) s'écrit finalement
( ) ⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
=
ω
ω
−
γ
− t
i
2
t
i
1
t a
a
e
B̂
e
B̂
e
t
x . (6.127)
Il est usuel d'exprimer la solution (6.122) à l'aide des fonctions trigonométriques circulaires.
Ainsi, en remplaçant les exponentielles complexes par leurs expressions en fonction des
fonctions trigonométriques circulaires, l'équation (6.127) peut s'écrire
( ) ( )
ϕ
+
ω
= γ
−
t
cos
e
C
t
x a
t
, (6.128)
où ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
sin
B̂
B̂
i
t
cos
B̂
B̂
t
cos
C a
1
2
a
2
1
a ω
−
+
ω
+
=
ϕ
+
ω , (6.129-a)
soit ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
t
sin
B̂
B̂
i
t
cos
B̂
B̂
sin
t
sin
C
cos
t
cos
C a
1
2
a
2
1
a
a ω
−
+
ω
+
=
ϕ
ω
−
ϕ
ω . (6.129-b)
Pour que l'équation (6.129-b) soit vérifiée quel que soit t , il faut que
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
ϕ
−
+
=
ϕ
,
B̂
B̂
i
sin
C
,
B̂
B̂
cos
C
1
2
2
1
soit
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
+
−
=
ϕ
=
.
B̂
B̂
B̂
B̂
i
tan
,
B̂
B̂
4
C
2
1
2
1
2
1
2 (6.130-a)
(6.130-b)
Les constantes C et ϕ sont réelles et dépendent (tout comme 1
B̂ et 2
B̂ qui sont complexes)
des conditions initiales. La notation C n'a bien sur rien à voir avec le moment d'inertie
des équations (6.77) ou (6.115)...
Remarque. Du fait que la solution ( )
t
x est réelle, elle est égale à son complexe conjugué
( )
t
x *
, ce qui, par usage de l'équation (6.127), conduit à
t
,
e
B̂
e
B̂
e
B̂
e
B̂
t
i
*
2
t
i
*
1
t
i
2
t
i
1
a
a
a
a
∀
+
=
+
ω
−
ω
ω
ω
−
,
soit *
2
1 B̂
B̂ = et *
1
2 B̂
B̂ = . (6.131)
3 Les trois régimes
En résumé, l'équation du mouvement étant de la forme
0
x
x
2
x 2
0 =
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.132)
la recherche des solutions de la forme ( ) t
r
a e
t
A
t
x = et ( ) t
r
b e
B
t
x = conduit à résoudre
l'équation caractéristique

0
r
2
r 2
0
2
=
ω
+
γ
+ (6.133)
dont le discriminant réduit est donné par
2
0
2
' ω
−
γ
=
∆ . (6.134)
Suivant le signe de ce discriminant réduit ∆', trois types de régimes sont obtenus :
ƒ régime critique,
ƒ régime apériodique,
ƒ régime pseudo-périodique.
a) ∆' = 0 : régime critique
L'amortissement, caractérisé par
0
ω
=
γ , (6.135)
est qualifié d'amortissement critique.
La solution de l'équation du mouvement (6.132) est de la forme :
( ) ( ) t
e
B
t
A
t
x γ
−
+
= , (6.136)
où A et B dépendent des conditions initiales.
Le retour à l'équilibre se fait sans oscillation, et l'allure de x t
b g est la même que dans le cas
d'un amortissement fort (voir § III.3-b suivant). On peut cependant montrer que le retour vers
la position d'équilibre est le plus rapide.
b) ∆' > 0 : régime apériodique
0
ω
>
γ , (6.137)
est qualifié d'amortissement fort.
( ) t
r
2
t
r
1
2
1
e
B
e
B
t
x +
= , (6.138)
où 1
B et 2
B dépendent des conditions initiales,
et où les racines de l'équation caractéristique
'
r1 ∆
−
γ
−
= et '
r2 ∆
+
γ
−
= , (6.139)
sont toutes deux négatives.
L'amortissement est fort et le retour à l'équilibre se fait asymptotiquement pour un temps
infini, sans que jamais le mobile ne passe par la position d'équilibre. Il n'y a pas
d'oscillations.
x(t)
t
0
x 0
Figure 6.24
Remarque. Dans le cas de la figure 6.24, x x
0 0
b g= et &
x 0 0
b g= .
c) ∆' < 0 : régime pseudo-périodique
0
ω
<
γ , (6.140)
est qualifié d'amortissement faible.
( ) ( )
ϕ
+
ω
= γ
−
t
cos
e
C
t
x a
t
, (6.141)
où C et ϕ dépendent des conditions initiales,
et où la pseudo-pulsation a
ω est définie par
2
2
0
a γ
−
ω
=
ω , (6.142-a)
de pseudo-période a
T associée
a
a
2
T
ω
π
= . (6.142-b)
i) Représentation graphique
La multiplication des fonctions ( )
ϕ
+
ω t
cos
C a (figure 6.25-a) par les fonctions
exponentielles t
e γ
−
± (figure 6.25-b), permet d'obtenir l'allure de la solution (6.1414)
(figure 6.26).
t
0 t
0
+ e − γ t
- e
− γ t
a) b)
t
0 t
0
+ e − γ t
+ e − γ t
− γ t
- e
− γ t
- e
− γ t
− γ t
a) b)

Figure 6.25
Figure 6.26
Le mouvement est un
mouvement oscillant dont
l'amplitude décroît avec une
constante de temps τ
γ
=
1
qui
est la durée au bout de laquelle
l'amplitude est divisée par e ;
cette constante de temps
augmente si l'amortissement
diminue.
ii) Rapport entre deux maximums (resp. minimums) successifs - Décrément logarithmique
L'amplitude du mouvement, à un ou plusieurs intervalles de pseudo-période a
T , peut être une
donnée expérimentale qui permet de déduire les caractéristiques de l'oscillateur, et notamment
son facteur d'amortissement γ , en fonction de la pseudo-période a
T .
Figure 6.27
9 Ainsi, le rapport entre deux maximums
(resp. minimums) successifs est-il donné
par (figure 6.27)
1
2
A
A
=
α , (6.143-a)
soit, en faisant usage de la solution
(6.144), et puisque ( ) 1
t
cos a =
ϕ
+
ω
(resp. -1) pour 1
t
t = et 2
t
t = ,
( )
1
2
1
2
t
t
t
t
e
e
C
e
C −
γ
−
γ
−
γ
−
=
=
α ,
d'où a
T
e
γ
−
=
α . (6.143-b)
9 De même, on peut également définir le décrément logarithmique δ par
1
n
1
2
1
A
A
ln
n
1
A
A
ln
+
=
=
δ , (6.144)
où n désigne la nième élongation (du même côté).
Le report de l'expression (6.143) du rapport α dans la relation (6.144) conduit à
τ
=
γ
=
α
−
=
δ
a
a
T
T
ln , (6.145)
où
γ
=
τ
1
(6.146)
est la durée au bout de laquelle l'amplitude est divisée par e .
9 Le report de l'expression du facteur d'amortissement γ déterminé en fonction du décrément
logarithmique en faisant usage de l'équation (6.145) par
π
ω
δ
=
δ
=
γ
2
T
a
a
, (6.147)
dans l'expression (6.142-a) au carré de la pseudo-pulsation a
ω permet d'écrire
( )
[ ]2
0
a 2
1 π
δ
+
ω
=
ω . (6.148)
Si le rapport ( ) 1
2 <<
π
δ (c'est-à-dire si 1
a >>
τ
ω ), le développement à l'ordre 2 de la
relation (6.148) permet d'écrire
2
2
0
0
a
8π
δ
−
≈
ω
ω
−
ω
. (6.149)
La relation (6.149) donne la mesure de l'écart entre la pseudo-pulsation a
ω de l'oscillateur
amorti et sa fréquence propre 0
ω (même oscillateur mais non amorti).
4 Facteur de qualité du système
Le facteur de qualité Q d'un système est une grandeur qui tient compte de la faculté du
système considéré à osciller ; il est défini par
( )
γ
ω
= 2
Q 0 . (6.150)
Par suite,
- si 0
ω
>
γ , c'est-à-dire si 2
1
Q < , le régime est apériodique,
- si 0
ω
=
1
Q = , le régime est critique,
- si 0
ω
<
1
Q > , le régime est pseudo-périodique.
L'usage des relations (6.142) permet d'écrire la pseudo-période a
T sous la forme
[ ]2
0
0
a 1
T
T ω
γ
−
= , (6.151)
soit, en reportant l'expression du facteur de qualité (6.133),
( )
2
0
a Q
4
1
1
T
T −
= , (6.152)
où 0
0 2
T ω
π
= est la période propre des oscillations libres non amorties.
L'interprétation du facteur de qualité en termes de bande passante en régime permanent pour
les oscillations forcées sera donnée au § III.5-c).

5 Représentation de l'oscillateur harmonique amorti dans le plan des phases
.
x
x
0 x
x
0
Figure 6.27 : Oscillateur libre non amorti
9 L'évolution d'un oscillateur non amorti
dans le plan des phases est une ellipse (voir
§ II.8) d'équation
1
A
x
A
x
2
0
2
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ &
(6.153)
qui est donc une courbe fermée (figure 6.27).
Ce n'est en revanche plus le cas en présence d'amortissement.
a) Mouvement critique
La solution (6.136) et sa dérivée par rapport au temps s'écrivent
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
+
γ
−
=
+
=
γ
−
γ
−
,
e
A
B
t
A
t
x
,
e
B
t
A
t
x
t
t
&
(6.154-a)
(6.154-b)
ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la figure 6.28.
x
.
x
0
x0
x
.
x
.
x
0
x0
Figure 6.28 : Oscillateur libre amorti,
régime critique. Cas où les conditions
initiales sont telles que, à 0
t = , ( ) 0
x
0
x =
et ( ) 0
0
x =
& .
Quand +∞
→
t , x et x
& tendent vers 0.
b) Mouvement apériodique
( )
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+
=
+
=
,
e
r
B
e
r
B
t
x
,
e
B
e
B
t
x
t
r
2
2
t
r
1
1
t
r
2
t
r
1
2
1
2
1
&
(6.155-a)
(6.155-b)
avec 0
r
,
r 2
1 < , ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la
figure 6.29.
x
.
x
0
x0
x
.
x
.
x
0
x0
régime apériodique. Cas où les conditions
initiales sont telles que, à 0
t = , ( ) 0
x
0
x =
et ( ) 0
0
x =
& .
Quand +∞
→
t , x et x
& tendent vers 0.
c) Mouvement pseudo-périodique
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
ϕ
+
ω
ω
+
ϕ
+
ω
γ
−
=
ϕ
+
ω
=
γ
−
γ
−
,
t
sin
t
cos
e
C
t
x
,
t
cos
e
C
t
x
a
a
a
t
a
t
&
(6.156-a)
(6.156-b)
ce qui conduit à la courbe paramétrique en fonction du temps t de la figure 6.30.
x
0
x0
x
.
x
0
x0
x
.
x
0
x0
x
.
x
.
régime pseudo-périodique. Cas où les
conditions initiales sont telles que, à 0
t = ,
( ) 0
x
0
x = et ( ) 0
0
x =
& .
Quand +∞
→
t , x et x
& tendent vers 0.

IV OSCILLATIONS FORCEES SOUS EXCITATION PERIODIQUE (SYSTEME
AMORTI)
1. Equation du mouvement
Les oscillateurs étudiés dans les paragraphes précédents sont maintenant soumis à une action
mécanique extérieure (force d'amplitude 0
F ou moment d'amplitude 0
C ) supposée
sinusoïdale de pulsation ω. L'excitation de l'oscillateur est alors périodique (de période
ω
π
= 2
T ), et les oscillations sont dites forcées (par opposition aux oscillations libres des § II
et III).
- Il ne faut pas confondre la notation 0
ω qui désigne la pulsation propre des oscillations
libres non amorties, et la notation ω qui désigne la pulsation des oscillations forcées.
- Il convient également de noter que le terme "sinusoïdal" désigne une fonction circulaire qui
peut être soit la fonction sinus, soit la fonction cosinus. C'est la fonction cosinus qui est
choisie dans la suite de ce paragraphe par commodité, mais la fonction sinus aurait tout
aussi bien pu être utilisée.
- Il convient par ailleurs de noter qu'en toute rigueur, le signal d'excitation n'est pas
réellement sinusoïdal, puisque mis en service à 0
t = ...
L'équation du mouvement est alors de la forme
( )
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
ω
=
ω
+
γ
+
<
=
ω
+
γ
+
,
0
t
si
,
t
cos
f
x
x
2
x
,
0
t
si
,
0
x
x
2
x
0
2
0
2
0
&
&
&
&
&
& (6.157-a)
(6.157-b)
où 0
f est homogène à une accélération si x est homogène à une longueur ( m
F
f 0
0 = ), ou
à une accélération angulaire si x (noté alors préférentiellement θ ) est un angle
( I
f 0
0 C
= ), I étant homogène à un moment d'inertie.
( )
( ) ( )
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
≥
ω
=
ω
+
γ
+
<
=
ω
+
γ
+
.
0
t
,
x
0
x
,
x
0
x
,
0
t
si
,
t
cos
f
x
x
2
x
,
0
t
si
,
0
x
x
2
x
0
0
0
2
0
2
0
&
&
&
&
&
&
&
& (6.157-a)
(6.157-b)
(6.157-c)
2. Solution générale de l'équation
Comme toute équation différentielle comportant un second membre, la solution générale ( )
t
x
de l'équation avec second membre est la somme de la solution générale ( )
t
x 1 de l'équation
sans second membre et d'une solution particulière ( )
t
x 2 de l'équation avec second membre,
soit ( ) ( ) ( )
t
x
t
x
t
x 2
1 +
= , (6.158)
où la solution ( )
t
x 1 correspond aux oscillations libres du système, est donc de la forme
(6.121), (6.127) ou (6.128) et tend donc vers 0 au bout d'un certain temps, et où la solution
particulière ( )
t
x 2 correspond au régime appelé stationnaire ou permanent.
Deux régimes sont à distinguer.
ƒ Régime transitoire
Le régime transitoire est la première partie du mouvement pendant laquelle les vibrations
libres (fonction ( )
t
x 1 ) s'atténuent de plus en plus pour tendre vers zéro. Ce régime est bien
entendu constitué à la fois de ( )
t
x 1 mais également de ( )
t
x 2 .
ƒ Régime stationnaire (ou permanent) :
Le régime stationnaire est la deuxième partie du mouvement, régulier, périodique, puisque la
cause du mouvement est une force elle-même périodique, et correspond donc uniquement à la
fonction ( )
t
x 2 .
La durée du régime transitoire est le temps pendant lequel le système se "souvient" de son état
initial, avant que la force n'entre en action. Passé ce temps, rien dans l'état du système ne
permet de retrouver cet état initial. L'ordre de grandeur de la durée de ce régime transitoire est
donné par la constante de temps γ
=
τ 1 (voir Eq. (6.146)).
Dans le cas d'un système faiblement amorti, cette période transitoire pourra être très longue,
voire de durée infinie dans le cas d'un système sans amortissement γ τ
= ⇒ → ∞
0
b g.
3. Méthode d'étude du régime stationnaire (ou permanent)
L'étude du régime stationnaire consiste à chercher une solution particulière ( )
t
x 2 de
l'équation (6.157-b)
( )
t
cos
f
x
x
2
x 0
2
0 ω
=
ω
+
γ
+ &
&
& . (6.159)
Pour cela, il est commode de lui associer l'équation
( )
t
sin
f
y
y
2
y 0
2
0 ω
=
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.160)

et de poser y
i
x
X̂ +
= . (6.161)
Par suite, les dérivées première et seconde de la nouvelle variable X̂ s'écrivent
respectivement y
i
x
X
ˆ &
&
& +
= et y
i
x
X
ˆ &
&
&
&
&
& +
= , et la somme de l'équation (6.159) et de l'équation
(6.160) multipliée par ( )
i s'écrit
t
i
0
2
0 e
f
X̂
X
ˆ
2
X
ˆ ω
=
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.162)
équation dont il est aisé de trouver une solution particulière en la cherchant sous la forme
( ) t
i
2 e
Â
t
X̂ ω
= , (6.163)
où 2
Â est une amplitude complexe.
La solution particulière ( )
t
x 2 de l'équation (6.159) est ainsi la partie réelle de la solution
( )
t
X̂ de l'équation (6.162) :
( ) ( )
[ ]
t
X̂
e
t
x 2 R
= , (6.164)
soit, en reportant l'amplitude complexe 2
Â sous forme trigonométrique,
2
i
2
2 e
Â
Â
ϕ
= , (6.165)
dans l'expression (6.163) de ( )
t
X̂ , soit
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
2
2
2
t
i
2 t
sin
i
t
cos
Â
e
Â
t
X̂ 2
ϕ
+
ω
+
ϕ
+
ω
=
=
ϕ
+
ω
, (6.166)
il vient
( ) ( )
2
2
2 t
cos
Â
t
x ϕ
+
ω
= . (6.167)
Remarques.
9 La méthode de recherche d'une solution particulière d'une équation différentielle à
coefficients constants, exposée dans ce paragraphe, est bien adaptée au cas où le second
membre de l'équation différentielle a la forme d'une exponentielle complexe. Il existe d'autres
méthodes qui font l'objet d'un cours de mathématiques.
9 L'amplitude complexe 2
Â est l'amplitude complexe du régime permanent, et son étude
(en module et en phase), fait l'objet du § 4 suivant. Les grandeurs 2
Â et 2
ϕ ne dépendent
pas des conditions initiales (6.157-c).
9 Dans le cas où le second membre de l'équation du mouvement (6.159) est ( )
t
sin
f 0 ω
(cf. la remarque du § IV.1, juste avant les équations (6.157)), il suffit d'échanger les rôles de
x et de y dans les équations (6.159) et (6.160), et de choisir pour solution particulière la
partie imaginaire (et non plus la partie réelle) de ( )
t
X̂ : ( ) ( )
[ ]
t
X̂
m
t
x 2 I
= .
4. Mise en évidence du phénomène de résonance sur un exemple
a) Oscillateur non amorti
F = F0 cos (ω t)
k
m
F = F0 cos (ω t)
k
m
Figure 6.31
Une masse ponctuelle m est suspendue à un ressort de masse
négligeable et de raideur k . Un mécanisme (non représenté) soumet la
masse à une force F sinusoïdale de pulsation ω (figure 6.31) de la
forme ( )
t
cos
F
F 0 ω
= .
La position de la masse m est repérée par l'abscisse ( )
t
x dont l'origine
est prise à la position d'équilibre de la masse.
9 L'équation du mouvement s'obtient, de la même manière qu'au
§ II.4-b), en tenant compte de la force F et s'écrit donc
( )
t
cos
F
x
k
x
m 0 ω
=
+
&
& , (6.168)
soit ( )
t
cos
f
x
x 0
2
0 ω
=
ω
+
&
& , (6.169-a)
où m
k
0 =
ω (6.169-b)
est la pulsation propre des oscillations libres non amorties,
et m
F
f 0
0 = . (6.169-c)
Remarque.
Il convient de bien noter qu'ici, la position de la masse par rapport à la position d'équilibre est
notée ( )
t
x , alors qu'elle était notée ( )
t
X au § II.4-b), et que, dans ce même §, ( )
t
x désignait
la position de la masse par rapport au bâti. C'est une situation très courante de changer ainsi
de notation, et il faut bien se souvenir que l'équation du mouvement a la forme (6.169-a)
uniquement parce que ( )
t
x est repéré par rapport à la position d'équilibre.
9 La solution générale de l'équation sans second membre
0
x
x 2
0 =
ω
+
&
& (6.170-a)
est donnée par exemple par l'équation (6.10)
( ) ( )
1
0
1
1 t
cos
A
t
x ϕ
+
ω
= , (6170-b)
A et 1
ϕ sont déterminées par les conditions initiales portant sur la
solution totale ( ) ( ) ( )
t
x
t
x
t
x 2
1 +
= de l'équation (6.169-a).
9 La solution particulière de l'équation
( )
t
cos
f
x
x 0
2
0 ω
=
ω
+
&
& , (6.171-a)

correspondant au régime permanent, est déterminée par la méthode exposée au § IV.3
précédent, en associant à l'équation (6.171-a) l'équation
( )
t
sin
f
y
y 0
2
0 ω
=
ω
+
&
& , (6.171-b)
et en posant y
i
x
X̂ +
= . (6.172)
Par suite, la dérivée seconde de la nouvelle variable X̂ s'écrit y
i
x
X
ˆ &
&
&
&
&
& +
= , et la somme de
l'équation (6.171-a) et de l'équation (6.171-b) multipliée par ( )
i s'écrit
t
i
0
2
0 e
f
X̂
X
ˆ ω
=
ω
+
&
& , (6.173)
( ) t
i
2 e
Â
t
X̂ ω
= , (6.174)
où 2
Le report de l'expression (6.174) et de sa dérivée seconde t
i
2
2
e
Â
X
ˆ ω
ω
−
=
&
& dans l'équation
(6.173) conduit à
( ) 0
t
,
e
f
e
Â t
i
0
t
i
2
2
0
2
≥
∀
=
ω
+
ω
− ω
ω
,
équation vérifiée 0
t ≥
∀ uniquement si la fonction du temps (ici t
i
e ω
) peut être mise en
facteur d'un terme (ici ( )
[ ]
0
2
2
0
2
f
Â −
ω
+
ω
− ) qui doit alors être nul,
soit
ou encore
( )
.
1
1
f
Â
,
f
Â
2
0
0
2
0
2
2
0
2
0
2
ω
ω
−
=
ω
ω
+
ω
−
= (6.175-a)
(6.175-b)
L'amplitude 2
Â du régime permanent est ici une quantité réelle, positive lorsque 0
ω
<
ω ,
négative lorsque 0
ω
>
ω , et tendant vers l'infini lorsque 0
ω
→
ω (figure 6.32).
Il est commode, en vue de superposer ces courbes à celles obtenues lorsque l'oscillateur est
amorti (voir § IV.4-b) suivant), de représenter l'amplitude réelle 2
Â sous forme de module et
de phase 2
ϕ , cette dernière étant égale à 0 lorsque 0
Â 2 > et à π (ou π
− ) lorsque 0
Â 2 <
(figure 6.33).
t
x 2 de l'équation (6.171-a) est ainsi la partie réelle de la solution
( )
t
( ) ( )
[ ]
t
X̂
e
t
x 2 R
= , (6.176)
soit, en reportant l'expression (6.1758-a) de l'amplitude 2
Â dans l'expression (6.174) de
( )
t
X̂ ,
( ) ( )
t
cos
f
t
x
2
2
0
0
2 ω
ω
−
ω
= . (6.177)
La solution générale de l'équation du mouvement (6.171-a) est donc, d'après les équations
(6.158), (6.172-b) et (6.177)
( ) ( ) ( )
t
cos
f
t
cos
A
t
x
2
2
0
0
1
0
1 ω
ω
−
ω
+
ϕ
+
ω
= , (6.178)
où seules les constantes 1
A et 1
ϕ dépendent des conditions initiales (6.157-c).
Figure 6.32 : Amplitude
normalisée 0
2
0
2 f
Â ω en
fonction de la pulsation réduite
0
ω
ω pour un oscillateur non
amorti.
Figure 6.33 : Module a) et phase b)
de l'amplitude normalisée
0
2
0
2 f
Â ω en fonction de la
pulsation réduite 0
ω
ω pour un
oscillateur non amorti.
La représentation de telles grandeurs
normalisées sans dimension permet
d'obtenir des courbes valables quels
que soient les paramètres ( m, k ,
0
F ) de l'oscillateur.
Lorsque 0
ω
→
ω , ∞
→
2
Â : ce phénomène est appelé phénomène de résonance (bien noter
l'orthographe et le nombre de n...), et la pulsation ω (resp. fréquence) de l'oscillation forcée à
laquelle ce phénomène se produit est appelée pulsation (resp. fréquence) de résonance. La
pulsation de résonance ω est ici égale à la pulsation propre 0
ω des oscillations libres non
amorties.

Cela explique pourquoi il est interdit à une troupe entière (militaires) de marcher au pas
cadencé (qui favorise une fréquence précise) pour éviter la destruction éventuelle du pont qui
peut se produire si la fréquence du pas se trouve être celle de résonance du pont (le pont est
un système continu mais en première approximation il est doté d'un mouvement propre global
associé à sa masse et son élasticité : mouvement transversal d'une poutre encastrée à ses deux
extrémités).
L'exemple le plus connu de ce phénomène est celui de l'effondrement du pont de Tacoma
dans l'Etat de Washington (USA) en Novembre 1940. En toute première approximation, la
masse m (ou le moment d'inertie C ) du pont est celle (ou celui) du tablier, l'élasticité étant
donnée par les câbles. Ce pont était entré en résonance par l'effet des forces dues au vent sur
le profil du tablier (mouvement forcé). Une fois que le pont a commencé à se tordre (mode de
torsion, figure 6.34-a) avec une fréquence environ égale à 1.4 Hz, l'amplitude a augmenté,
conduisant à l'effondrement du pont (figure 6.34-b).
a) b)
Figure 6.34 : Torsion a) puis effondrement b) du Pont de Tacoma.
http://www.nrc-cnrc.gc.ca/highlights/2003/0306tacoma_f.html
Une solution au problème est d'optimiser le profil du tablier pour que l'effet du vent ne se
traduise pas par une force qui entretient le mouvement oscillatoire...
b) Oscillateur amorti
F = F0 cos (ω t)
k
m
λ
F = F0 cos (ω t)
k
m
λ
Figure 6.35
Une masse ponctuelle m est suspendue à un ressort de masse
négligeable et de raideur k et à un amortisseur de constante λ . Un
mécanisme (non représenté) soumet la masse à une force F sinusoïdale
de pulsation ω (figure 6.35) de la forme ( )
t
cos
F
F 0 ω
= . La position
de la masse m est repérée par l'abscisse ( )
t
x dont l'origine est prise à
la position d'équilibre de la masse.
9 L'équation du mouvement s'obtient, de la même manière qu'au
§ II.4-b), en tenant compte de la force F et s'écrit donc
( )
t
cos
F
x
k
x
x
m 0 ω
=
+
λ
+ &
&
& , (6.179)
soit ( )
t
cos
f
x
x
2
x 0
2
0 ω
=
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.180-a)
où m
k
0 =
ω (6.180-b)
est la pulsation propre des oscillations libres non amorties,
( )
m
2
λ
=
γ , (6.180-c)
et m
F
f 0
0 = . (6.180-d)
9 La solution générale de l'équation sans second membre
0
x
x
2
x 2
0 =
ω
+
γ
+ &
&
& (6.181)
est donnée, selon les valeurs relatives de γ et de 0
ω (voir § III), par l'une des équations
(6.121), (6.127) ou (6.128)
( ) ( ) t
1
1
1 e
B
t
A
t
x γ
−
+
= , (6.182-a)
ou ( ) t
r
1
t
r
1
1
2
1
e
B
e
A
t
x +
= , (6.182-b)
ou ( ) ( )
1
a
t
1
1 t
cos
e
C
t
x ϕ
+
ω
= γ
−
, (6.182-c)
A et 1
B , ou 1
C et 1
ϕ , sont déterminées par les conditions initiales
(6.157-c) portant sur la solution totale ( ) ( ) ( )
t
x
t
x
t
x 2
1 +
= de l'équation (6.180-a).
9 La solution particulière de l'équation
( )
t
cos
f
x
x
2
x 0
2
0 ω
=
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.183-a)
correspondant au régime permanent, est déterminée par la méthode exposée au § IV.3
précédent, en associant à l'équation (6.183-a) l'équation
( )
t
sin
f
y
y
2
y 0
2
0 ω
=
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.183-b)
et en posant y
i
x
X̂ +
= . (6.184)
Par suite, les dérivées première et seconde de la nouvelle variable X̂ s'écrivent
respectivement y
i
x
X
ˆ &
&
& +
= et y
i
x
X
ˆ &
&
&
&
&
& +
= , et la somme de l'équation (6.183-a) et de l'équation
(6.183-b) multipliée par ( )
i s'écrit
t
i
0
2
0 e
f
X̂
X
ˆ
2
X
ˆ ω
=
ω
+
γ
+ &
&
& , (6.185)
( ) t
i
2 e
Â
t
X̂ ω
= , (6.186)
où 2
Le report de l'expression (6.186) et de ses dérivées première t
i
2 e
Â
i
X
ˆ ω
ω
=
& et seconde
t
i
2
2
e
Â
X
ˆ ω
ω
−
=
&

( ) 0
t
,
e
f
e
Â
i
2 t
i
0
t
i
2
2
0
2
≥
∀
=
ω
+
γ
ω
+
ω
− ω
ω
,
équation vérifiée 0
t ≥
∀ uniquement si la fonction du temps (ici t
i
e ω
) peut être mise en
facteur d'un terme (ici ( )
[ ]
0
2
2
0
2
f
Â
i
2 −
ω
+
γ
ω
+
ω
− ) qui doit alors être nul,
soit
γ
ω
+
ω
−
ω
=
i
2
f
Â
2
2
0
0
2 , (6.187)
soit, sous forme trigonométrique,
avec
et
( )
.
2
tan
,
4
f
Â
,
e
Â
Â
2
2
0
2
2
2
2
2
2
0
0
2
i
2
2
2
ω
−
ω
ω
γ
−
=
ϕ
ω
γ
+
ω
−
ω
=
=
ϕ
(6.188-a)
(6.188-b)
(6.188-c)
Il est commode, afin d'obtenir des expressions indépendantes des caractéristiques de
l'oscillateur, d'exprimer les relations (6.188) en fonction des variable et paramètres
adimensionnels
0
v ω
ω
= (6.189-a)
( )
0
0 m
2 ω
λ
=
ω
γ
=
ξ , (6.189-b)
et ( ) 2
0
0
2
0 f
0
Â
A ω
=
=
ω
= , (6.189-c)
ce qui conduit à
et
( )
.
v
1
v
2
tan
,
v
4
v
1
1
A
Â
2
2
2
2
2
2
0
2
−
ξ
−
=
ϕ
ξ
+
−
= (6.190-a)
(6.190-b)
Les figures 6.36 présentent les courbes représentatives de l'amplitude normalisée 0
2 A
Â en
module et en phase en fonction de la pulsation réduite 0
v ω
ω
= , pour différentes valeurs
d'amortissement ξ (régime critique pour 1
=
ξ , régime apériodique pour 1
>
ξ et régime
pseudo-périodique pour 1
<
ξ et oscillateur non amorti pour 0
=
ξ ).
t
x 2 de l'équation (6.183-a) est ainsi la partie réelle de la solution
( )
t
( ) ( )
[ ]
t
X̂
e
t
x 2 R
= , (6.191-a)
soit ( ) ( )
2
2
2 t
cos
Â
t
x ϕ
+
ω
= . (6.191-b)
La solution générale de l'équation du mouvement (6.183-a) est donc, d'après les équations
(6.1581), (6.191) et par exemple (6.182-c),
( ) ( ) ( )
2
2
1
a
t
1 t
cos
Â
t
cos
e
C
t
x ϕ
+
ω
+
ϕ
+
ω
= γ
−
, (6.192)
où seules les constantes 1
C et 1
ϕ dépendent des conditions initiales (6.157-c).
Figure 6.36 : Module a) et
phase b) de l'amplitude
normalisée 0
2 A
Â en
fonction de la pulsation
réduite 0
ω
ω pour
différentes valeurs du
paramètre d'amortissement
ξ .
La représentation de telles
grandeurs normalisées sans
dimension permet d'obtenir
des courbes valables quels
que soient les paramètres ( m ,
k , λ , 0
F ) de l'oscillateur.
Pour un oscillateur non amorti ( 0
=
ξ ), la résonance est atteinte lorsque 0
ω
→
ω (voir § IV.4-
a) ; lorsque l'amortissement est suffisamment faible (régime pseudo-périodique de l'oscillateur
libre), le module 2
Â de l'amplitude du régime permanent présente un maximum
(résonance) pour une pulsation m
ω proche de la pulsation propre 0
ω . La résonance
d'amplitude n'a donc pas lieu précisément pour la pulsation propre des oscillations libres
non amorties. Par anticipation sur le § IV.5.e), la pulsation m
ω est donnée par la relation
2
2
0
m 2γ
−
ω
=
ω . (6.193)
Remarque.
D'après l'équation (6.187), et puisque l'argument de ( )
γ
ω
+
ω
−
ω i
2
2
2
0 est compris entre 0 et
π, l'argument 2
ϕ de l'amplitude complexe 2
Â est tel que
[ ]
0
,
2 π
−
∈
ϕ , (6.194-a)
ce qui implique 0
sin 2 <
ϕ . (6.194-b)
Comme par ailleurs, d'après l'équation (6.188-c), 2
tan ϕ est du signe de ( )
0
ω
−
ω , il s'ensuit
que 2
2
2 tan
sin
cos ϕ
ϕ
=
ϕ est du signe de ( )
ω
−
ω 0 .

5. Puissance transmise au système par la source excitatrice en régime permanent
Comme souligné au § III.4, le facteur de qualité
( )
γ
ω
= 2
Q 0 (6.195)
est une grandeur rendant compte de la faculté d'un système à osciller.
Le but de ce § est d'interpréter maintenant cette grandeur en termes de puissance et de bande
passante (en régime permanent).
a) Puissance instantanée transmise par la source au système
La solution particulière de l'équation du mouvement (correspondant au régime permanent),
donnant la position du système oscillant, est donnée par (§ IV.4)
( ) ( )
2
2
2 t
cos
Â
t
x ϕ
+
ω
= (6.196)
et sa vitesse par
( ) ( )
2
2
2 t
sin
Â
t
v ϕ
+
ω
ω
−
= ,
soit ( ) ( )
2
t
cos
V̂
t
v 2
2
2 π
+
ϕ
+
ω
= (6.197-a)
où 2
2 Â
V̂ ω
= (6.197-b)
est le module de l'amplitude de la vitesse.
D'après l'équation (5.1) du chapitre 5 (§ I.1-a), la puissance instantanée de la force excitatrice
( ) ( )
t
cos
F
t
F 0 ω
= (6.198)
appliquée au point en lequel est calculée la vitesse ( )
t
v 2 , relativement au repère (galiléen)
R est telle que
( ) ( ) ( )
t
v
t
F
t 2
=
P , (6.199-a)
soit, en faisant usage des relations (6.197) et (6.198-a)
( ) ( ) ( )
2
t
cos
t
cos
V̂
F
t 2
2
0 π
+
ϕ
+
ω
ω
=
P . (6.199-b)
Remarque. Le calcul d'une puissance s'effectue avec des quantités réelles et non complexes,
car la partie réelle d'un produit n'est pas égale au produit des parties réelles.
b) Puissance moyenne
La puissance moyenne, notée P , est, par définition,
( )
∫
=
T
0
t
d
t
T
1
P
P , (6.1200)
où ω
π
= 2
T , soit, en reportant l'expression (6.199-b) de la puissance instantanée dans
l'équation (6.200) et en utilisant la relation trigonométrique classique
( ) ( )
[ ]
b
a
cos
b
a
cos
2
1
b
cos
a
cos −
+
+
= ,
( ) ( )
[ ]
∫ π
+
ϕ
+
π
+
ϕ
+
ω
=
T
0 2
2
2
0
t
d
2
cos
2
t
2
cos
T
2
V̂
F
P ,
d'où
( ) 2
2
0
2
2
0
sin
2
V̂
F
2
cos
2
V̂
F
ϕ
−
=
π
+
ϕ
=
P . (6.201)
D'après l'équation (6.194-b), 0
sin 2 <
ϕ , ce qui implique que 0
>
P ; cela signifie bien
qu'en moyenne dans le temps (sur une période) l'énergie est donc bien fournie positive par la
source au système et non pas l'inverse.
9 Calcul de 2
sin ϕ en fonction de v et ξ .
Le report de l'expression (6.190-b) de 2
tan ϕ dans l'équation
2
2
2
2
2
2
tan
1
tan
cos
tan
sin
ϕ
+
ϕ
±
=
ϕ
ϕ
=
ϕ ,
conduit à
( )2
2
2
2
2
2
v
1
v
4
1
v
1
v
2
sin
−
ξ
+
−
ξ
−
±
=
ϕ ,
soit
( )
0
v
4
v
1
v
2
sin
2
2
2
2
2 <
ξ
+
−
ξ
−
=
ϕ . (6.202)
Le report des expressions (6.1202) de 2
sin ϕ , (6.197-b) de 2
V̂ , (6.190-a) de 0
2 A
Â et
(6.180-d) de 0
0 f
m
F = dans l'expression (6.201) de la puissance moyenne conduit finalement
à (voir figure 6.37)
( ) 2
2
2
2
2
0
2
0
v
4
v
1
v
f
m
ξ
+
−
ξ
ω
=
P . (6.203)

9 Recherche de la pulsation rendant P maximale (résonance)
La dérivée de la puissance moyenne P par rapport à la pulsation réduite 0
v ω
ω
= est
( ) ( )
[ ]
( )
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2
0
v
4
v
1
v
8
v
1
v
4
v
v
4
v
1
v
2
f
m
v
d
d
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
+
−
ξ
+
−
−
−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
+
−
ξ
ω
=
P
. (6.204)
L'annulation du numérateur du second membre de l'équation (6.204) conduit à
( )( ) 0
v
1
v
1 2
2
=
+
− ,
soit 1
v 2
−
= (solution physiquement impossible)
ou 1
v 2
= .
Par suite, la puissance moyenne P est maximale (résonance de puissance) pour 1
v = ,
soit 0
ω
=
ω , pulsation propre des oscillations libres non amorties (figure 6.34), qui ne
dépend par du facteur d'amortissement ξ .
La valeur max
P correspondante s'obtient en remplaçant v par 1 dans l'équation (6.203), ce
qui conduit à
γ
=
ω
ξ
=
4
f
m
4
f
m 2
0
0
2
0
max
P . (6.205)
c) Bande passante - facteur de qualité
L'acuité de la résonance (c'est-à-dire le caractère plus ou moins aigu de la courbe
représentative de la puissance moyenne P autour de la résonance) est décrite en termes de
bande passante ou de facteur de qualité.
Définitions :
- La bande passante est l'intervalle de fréquence (ou de pulsation), noté 1
2 ω
−
ω
=
ω
∆ ,
où la puissance moyenne P fournie par la force excitatrice est supérieure à la moitié
de sa valeur maximale max
P .
- Le facteur de qualité est le rapport de la fréquence de résonance sur la largeur de la
bande passante :
ω
∆
ω
=
0
Q . (6.206)
9 Recherche des pulsations 1
ω et 2
ω telles que 2
max
P
P =
Le report des expressions (6.203) et (6.205) dans l'équation
2
max
P
P = (6.207)
conduit à
( ) 0
2
0
2
2
2
2
2
0
2
0
8
f
m
v
4
v
1
v
f
m
ω
ξ
=
ξ
+
−
ξ
ω
,
soit ( )( ) 0
1
v
2
v
1
v
2
v 2
2
=
−
ξ
−
−
ξ
+ ,
soit 1
v 2
+
ξ
±
ξ
−
= ou 1
v 2
+
ξ
±
ξ
= ,
soit, en ne gardant que les deux racines positives
1
v 2
1 +
ξ
+
ξ
−
= et 1
v 2
2 +
ξ
+
ξ
= , (6.208)
il vient
et .
2
,
2
2
v
v
1
2
0
1
2
γ
=
ω
∆
=
ω
−
ω
ω
γ
=
ξ
=
− (6.209-a)
(6.209-b)
Par suite, l'expression (6.206) du facteur de qualité est
γ
ω
=
ξ
=
2
2
1
Q
0
, (6.210)
expression donnée sans démonstration au § III.4.
Figure 6.37 : Puissance moyenne P fournie par la force excitatrice en fonction de la
pulsation réduite 0
ω
ω pour différentes valeurs du paramètre d'amortissement ξ .

d) Bande passante et amplitude
Contrairement au cas de la puissance moyenne fournie au système par la force excitatrice, le
module 2
Â de l'amplitude complexe du régime permanent n'est pas maximal pour 1
v = ,
soit 0
ω
=
ω (voir figure 6.36 et § IV.4-b).
9 Recherche de la pulsation m
v rendant 2
Â maximale (résonance d'amplitude)
La dérivée du module 2
Â de l'amplitude complexe par rapport à la pulsation réduite
0
v ω
ω
= est, en faisant usage de l'expression (6.190-a)
( )
[ ] ( )
2
/
3
2
2
2
2
2
2
0
2
v
4
v
1
v
8
v
1
v
4
A
2
1
v
d
Â
d −
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
ξ
+
−
ξ
+
−
−
−
= . (6.211)
L'annulation du numérateur du second membre de l'équation (6.211) conduit à
0
v = ou 2
2
2
1
v ξ
−
= ,
soit, en ne retenant pas la solution 0
v = qui n'offre que peu d'intérêt,
2
m 2
1
v ξ
−
= si 2
1
<
ξ . (6.212)
Par suite, le module de l'amplitude complexe 2
Â du régime permanent est maximal
(résonance d'amplitude) pour 2
m 2
1
v ξ
−
= , soit 2
2
a
2
2
0
m 2 γ
−
ω
=
γ
−
ω
=
ω . La
résonance d'amplitude n'a donc lieu ni pour la pulsation propre 0
ω des oscillations libres
non amorties, ni pour la pseudo-pulsation a
ω du régime pseudo-périodique des oscillations
libres amorties (figure 6.38).
La valeur
max
2
Â correspondante s'obtient en remplaçant v par m
v dans l'équation
(6.190-a), ce qui conduit à
2
0
max
2
1
2
1
A
Â
ξ
−
ξ
= . (6.213)
Si le facteur d'amortissement 1
<<
ξ , un développement au premier ordre en ξ de l'expression
(6.213) conduit à
( )
ξ
≈ 2
1
A
Â 0
max
2 , (6.214-a)
soit, en faisant usage de l'expression (6.210) du facteur de qualité Q,
Q
A
Â 0
max
2 ≈ . (6.214-b)
9 Bande passante en termes d'amplitude
D'après la définition de la bande passante donnée au § IV.5-c), la bande passante correspond à
l'intervalle de fréquence où la puissance moyenne est supérieure à 2
max
P . L'expression
(6.201) de la puissance moyenne, en faisant usage de l'expression (6.197-b) de l'amplitude de
la vitesse, montre que la puissance moyenne est proportionnelle au carré de 2
Â . Par suite,
pour l'amplitude 2
Â du régime permanent, la bande passante correspond à l'intervalle de
fréquence où l'amplitude est supérieure à 2
Â
max
2 (figure (6.38).
Figure 6.38 : Module de l'amplitude 2
Â du régime permanent en fonction de la pulsation
réduite 0
ω
ω , pour une valeur d'amortissement telle que 2
.
0
=
ξ .
9 Recherche des pulsations 1
ω et 2
ω telles que 2
Â
Â
max
2
2 = (pour 2
1
<
ξ )
Le report des expressions (6.190-a) et (6.213) dans l'équation
2
Â
Â
max
2
2 = (6.215)
conduit à
( ) 2
2
2
2
2 1
2
2
1
v
4
v
1
1
ξ
−
ξ
=
ξ
+
−
,
soit ( ) ( ) 0
1
8
1
v
1
2
2
v 2
2
2
2
4
=
ξ
−
ξ
−
+
−
ξ
+ ,
soit ( ) 2
2
2
1
2
2
1
v ξ
−
ξ
−
ξ
−
= ou ( ) 2
2
2
1
2
2
1
v ξ
−
ξ
+
ξ
−
= , (6.216)
soit, au premier ordre en ξ
ξ
−
≈ 2
1
v 2
ou ξ
+
≈ 2
1
v 2
soit, en ne gardant que les deux racines positives
ξ
−
≈
ξ
−
≈ 1
2
1
v1 et ξ
+
≈
ξ
+
≈ 1
2
1
v 2 , (6.217)

il vient
et .
2
,
2
2
v
v
1
2
0
1
2
γ
≈
ω
∆
=
ω
−
ω
ω
γ
=
ξ
≈
− (6.218-a)
(6.218-b)
Par suite, si 1
<<
ξ (en pratique 38
.
0
<
ξ , voir remarque ci-après), la bande passante en
amplitude est égale à la bande passante en amplitude.
Remarque.
Les racines 1
v et 2
v n'ont d'existence que si les expressions (6.216) de 2
v de l'équation
sont positives, ce qui est manifestement vrai pour ( ) 2
2
2
1
2
2
1
v ξ
−
ξ
+
ξ
−
= , mais ne l'est
pas toujours pour ( ) 2
2
2
1
2
2
1
v ξ
−
ξ
−
ξ
−
= . En effet, pour que ce dernier carré soit positif,
il faut que le polynôme ( ) 1
8
8
P 2
4
+
ξ
−
ξ
=
ξ soit positif. Le tracé de ( )
ξ
P en fonction de ξ
(figure 6.39) montre que cette condition n'est respectée que pour 38
.
0
4
2
2
1 ≈
−
<
ξ (puisque
2
1
<
ξ ).
Figure 6.39. Tracé de ( ) ξ
+
ξ
−
ξ
=
ξ 1
8
8
P 2
4
en fonction de ξ

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