Matlab Static and Time-Based Analysis of a Homogenous Beam Fixed at Both Ends

Compte Rendu de TP de Poutre encastrée-encastrée étude
statique et transitoire sur MATLAB
Ekene Alexander Abanobi
M2 SIM
16 janvier 2020
Surpervisé par Laurent Baillet

Table de matières Page 1
Table des matières
1 Introduction 2
1.1 Propriétés du matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Analyse Modale 3
3 Analyse Temporelle 5
3.1 Structure linéaire conservative en vibrations libres . . . . . . . 5
3.1.1 Déplacement initial imposé . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.1.2 Une petite précision sur l’importance de la règle de
Shannon sur les traces de la transformée de Fourier . . 6
3.1.3 Vitesse initiale imposée . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Structure linéaire dissipative en vibrations libres . . . . . . . . 7
3.3 Structure linéaire en vibrations forcées . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.1 Force constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.3.2 Force sinusoïdale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Références 15

Introduction Page 2
1 Introduction
Dans les systèmes mécanique il est impérative de pouvoir prévoir sa com-
portement afin d’éviter des grosses dégâts. Dans l’ensemble de cette étude,
une poutre encastrée-encastrée est étudiée. Ses fréquences propres sont dé-
duites à partir de l’équation de la dynamique prenant en compte les condi-
tions aux deux extrêmes. La poutre est discrétisée avec un certain nombre
d’éléments n finis de flexion ayant deux dégréés de liberté chacune (vi,θi)
correspondant au degré de déplacement vertical et au degré de rotation. Le
matériau est supposé être élastique linéaire isotrope.
1.1 Propriétés du matériau
E= 2.1011 Pa, ν=0.3, ρ=7800kg/m3, I=10-6 m4 , L=1m et S=10-2 m2
Avec longueur L, Module d’Young E, Coefficient de Poisson ν, de masse
volumique ρ et section S
L’équation de motion est décrite ci-dessous :
[M]Ü + [C]U̇ + [K]U = F(t) (1)
Où M est la matrice de masse, C est la matrice d’amortissement, K est la
matrice de raideur, F c’est la charge, Ü c’est le vecteur d’accélération, U̇ c’est
le vecteur de vitesse et U c’est la déplacement.
Les matrices de raideur et de masse élémentaires s’écrivent[1] :
K =




12EI
L3
6EI
L2
−12EI
L3
6EI
L2
6EI
L2
4EI
L
−6EI
L2
2EI
L
−12EI
L3
−6EI
L2
12EI
L3
−6EI
L2
6EI
L2
2EI
L
−6EI
L2
4EI
L



 (2)
M =
ρSL
420




156 22L 54 −13L
22L 4L2
13L −3L2
54 13L 156 −22L
−13L −3L2
−22L 4L2



 (3)

Analyse Modale Page 3
2 Analyse Modale
Dans une étude modale en générale on essaie de savoir les fréquences
«dangereux» pour la structure qui va être sollicitée. «Dangereux» parce que
il faut surtout éviter que la structure soit soumise à une sollicitation qui aie
pour fréquences un des ces fréquences propres de la structure. Le but de cette
analyse en particulier c’est de sortir les 10 premiers fréquences modales et
d’étudier leurs convergence en fonction du maillage. Les nombres d’éléments
étudiées sont : 6, 50, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 éléments
On voit sur le figure 1 que de 0 à 50 la convergence est plus rapides pour
les fréquences plus élevées (la pente et plus important quand du basse aux
hautes fréquences). La convergence est plus ou moins retrouvée avec entre 50
et 100 nombre d’éléments. Les valeurs des fréquences propres de la structure
sont dans la table 1.
Figure 1 – La Convergence des Valeurs des fréquences propres en fonction
de la taille de maillage (Nombre d’éléments)
Sur la figure 2 l’intérêt est plutôt de regarder les cinq premiers formes
modales. Ce qu’est intéressant dans ces traces c’est que au fur et à mesure
qu’on a plus de modes on retrouve plus de courbature dans les modes. C’est
à dire que le premier mode présent un seul pic et le cinquième en présente
cinq. Donc la poutre se comporte effectivement comme une onde.

Analyse Modale Page 4
Figure 2 – La représentation graphique des 5 premiers vecteurs propres de
vibration (1000 éléments)
Numéro du mode Fréquence (Hz)
1 180.3
2 497.0
3 974.4
4 1610.7
5 2406.1
6 3360.6
7 4474.3
8 5747.1
9 7179.1
10 8770.5
Table 1 – Valeurs de 10 premières fréquences propres de la structure

Analyse Temporelle Page 5
3 Analyse Temporelle
Dans cette analyse le but c’est d’étudier la réponse de la poutre dans une
durée courte quand elle est sollicité par une force qui a une dépendance en
du temps ou pas. La réponse d’une poutre soumis à n’importe quelle for-
çage est de deux différents régimes. L’un c’est le régime transitoire. Cette
régime représente la durée en temps quand la poutre est en traîne de s’adap-
ter au sollicitation. Cette régime est caractérise par la présence de tous les
fréquences propres de la poutre aussi que la fréquence d’excitation (qui sera
une fréquence de 0Hz si le forçage est statique). Cette régime est évidemment
très important dans l’étape de conception d’une structure qui va être soumise
un chargement. Au delà de la réponse statique et modale, il est important
d’assurer que la structure soit toujours dans les limites prévue de déformation
dans les premiers micro-seconds voire seconds de l’application du forçage. Le
second régime c’est le régime permanent. Ce régime est caractérisé par la
stabilisation et la fin de l’adaptation de la structure au sollicitation.
L’équation de motion est décrite ci-dessous :
[M]q̈(t) + [C]q̇(t) + [K]q(t) = F(t) (4)
Où M est la matrice de masse, C est la matrice d’amortissement, K est la
matrice de raideur, F c’est la charge, q̈ c’est le vecteur d’accélération, q̇ c’est
le vecteur de vitesse et q(t) c’est le déplacement en fonction de temps. Le
nombre de dégrées de libertés résolus dans l’ensemble des études faites c’est
500.
Le schéma utilisé pour résoudre ce problème était celui de Newmark.
Il est un schéma d’intégration numérique utilisée pour résoudre certaines
équations différentielles. Il est largement utilisée dans l’évaluation numérique
de la réponse dynamique des structures et des solides comme dans l’analyse
par éléments finis pour modéliser les systèmes dynamiques.
3.1 Structure linéaire conservative en vibrations libres
On étudie la comportement de la structure qui n’est soumise à aucune
amortissement dite « vibrations libres »
3.1.1 Déplacement initial imposé
Dans ce régime de déplacement sur figure 3 on constate que le système
est en régime permanent. Cela est parce que la structure bouge en vibrations
libres (il n’y a pas d’amortissement) donc cette comportement est attendu
jusqu’à l’infinie. Une force de 106
N est appliqué au milieu de la poutre et le

déplacement correspondant à cette force à été calculé et utilisé comme une
condition initiale pour lancer l’itération.
Figure 3 – La réponse en déplace-
ment
Figure 4 – La transformé de Fourier
de la réponse en déplacement
Dans le tracé figure 4, on voit apparaître la première fréquence propre de
180Hz. On voit aussi apparaître faiblement la troisième fréquence propre de
974Hz. La fréquence d’échantillonage est 10kHz.
3.1.2 Une petite précision sur l’importance de la règle de Shannon
sur les traces de la transformée de Fourier
La règle de Shannon nous dit effectivement que en échantillonnant un
signal avec une fréquence d’échantillonage donnée, la composante maximale
en fréquence que l’on va pouvoir prendre en compte c’est celle qui est moins
d’un-demi de la fréquence d’échantillonage. Dans l’ensemble des cas traité
dans ce compte-rendu la fréquence d’échantillonage a toujours resté à 10kHz
qui correspond à un pas de temps de 0.00001s. Donc la fréquence maximale
qui peut être pris en compte et toute fréquences qui soient inférieures à 5kHz.
Tout ça c’est du côté négatif, au côté positif on se content par le fait que les
fréquence plus dangereux auxquelles il faut prêter beaucoup attention sont
les quelques premières. En plus de dire qu’échantillonner à une fréquence trop
élevée (un pas de temps trop trop petit) et coûteux en terme des ressources
informatiques et en temps.
3.1.3 Vitesse initiale imposée
Dans ce régime au lieu d’imposer un déplacement initial, c’est une vitesse
initiale de 50m/s qui à été imposé. Cette vitesse a été repartie sur l’entérite

de la poutre moyennant une fonction d’Hanning. On voit quelque points im-
portants. Sur le figure 5 l’amplitude du déplacement est augmenté de 25mm
par rapport au cas de déplacement imposé. L’amplitude sur le figure 6 est
aussi plus important. Donc on peut trouver les mêmes comportement initiales
soit par une imposition de vitesse ou une imposition de déplacement. Pour
faire simple, cette de vitesse a été imposé à accélération nulle donc vitesse
constant lors de l’imposition.
ment du point choisi en fonction du
temps
Dans le tracé figure 4, on voit apparaître la première fréquence propre de
180Hz. On voit aussi apparaître faiblement la troisième fréquence propre de
974Hz. La fréquence d’échantillonage est 10kHz.
3.2 Structure linéaire dissipative en vibrations libres
Dans ce régime on veut chiffrer l’effet de l’amortissement sur le système.
Une force de 10N et un pas de temps de 0.0001s (qui vaut une fréquence
d’échantillonage de 10kHz) ont été utilisées dans ce cas. α et β sont des
coefficients qui génèrent la matrice d’amortissement : le coefficient de masse
et le coefficient de raideur respectivement. Cette forçage est applique avec une
condition initiale de déplacement imposée. La force F de 10N est appliquée
au milieu de la poutre tels que (F = 10N, t ≤ 0) et (F = 0N t > 0). Dans
toutes les études qui suivent, la condition initiale de déplacement initiale a
été utilisée à chaque fois.

α(s−1
) β(s)
0.5 1 · 10−
7
0.6 5 · 10−
7
0.7 1 · 10−
6
0.8 5 · 10−
6
0.9 1 · 10−
5
1 5 · 10−
5
Table 2 – Valeurs de α et de β utilisées pour
La composition de la matrice d’amortissement C en (Ns/m), s’écrit comme
suite :
C = αM + βK (5)
avec α(s−1
) et β(s) les coefficients de la masse et de raideur respectivement.
ment du point choisi en fonction du
temps
Dans la figure 7 on voit que au fur et à mesure que l’amortissement en α
et β soient augmentées la réponse en déplacement est plus amortie. On suit
un point (le point au milieu de la poutre) et c’est sa réponse en déplacement
qui est montrée dans la figure 7. On voit aussi que pour toutes les valeurs
que prennent α et β la réponse en déplacement bascule autour du point
neutre zéro. Quand l’amortissement est très important ce qui est le cas pour
la dernière paire α = 1 et β = 5 · 10−5
, la poutre se stabilise au point zéro
après 0.2s. Cela se produise parce que la force à été enlevée. Le déplacement
en absence de force est évidemment zéro. Le prochain cas de forçage étudié
montre ce qui arrive quand la force ne soit pas enlevée. Dans la figure 8 on

voit la transformée de Fourier pour l’ensemble de valeurs de α et β. Dans
cette courbe, on voit décroître le pic (la valeur max) au fur et à mesure que
les coefficients d’amortissement soient augmentés. Toujours dans la figure 8,
on voit que la fréquence la plus importante en amplitude «dangereux» est
toujours la première ce qui est un thématique constant dans tous les cas de
ces analyses des fréquences propres.
3.3 Structure linéaire en vibrations forcées
Dans ce cas de vibration forcées, on étudie la réponse de la structure
quand la force n’est pas enlevée tout au long de la durée d’observation. On
étudie la réponse de la structure qui est tout temps soumise à une forçage soit
constant ou qui dépend du temps. «F(t) = F» ou «F(t) = F ·sin(2 π · ωt)»
3.3.1 Force constante
ment de la structure soumise à un for-
çage constante
Dans la figure 9 on voit la même chose comme dans la figure 7 sauf que
dans la figure 9 la réponse en déplacement pour le point bascule pas autour
de zéro mais autour de 2.5·10−
6m ce qui est le déplacement dû seulement à la
force appliquée de 100N. Dans la figure 10 on voit aussi que l’amplitude de la
première fréquence propre diminue en au fur et à mesure que les coefficients
d’amortissement soit augmentés.

3.3.2 Force sinusoïdale
Dans ce cas de l’application d’une forçage sinusoïdale, on veut étudier
l’influence de la fréquence du forçage sur la réponse de la structure. Deux cas
différents de fréquence de forçage ont été étudiés. Un cas avec un forçage à
180Hz ce qui est la première fréquence propre et un forçage à 300Hz ce qui
est entre la première et la deuxième fréquences propres.
— Force Sinusoïdale 180Hz
On commence par dire que une forçage de 180Hz va résonner avec la
structure parce que selon les résultats de l’étude modale on vu que
180 est la première fréquence propre de la structure. Donc l’effet at-
tendu ici c’est d’observer comment l’amortissement va pouvoir limiter
l’amplitude en résonance.
çage sinusoïdale 180Hz
Dans la figure 11, on voit que au fur et à mesure que les coefficients
α et β soit augmentés, le pic on résonance trouve mieux une valeur
réduite, stable et constante. Donc l’effet de la résonance est minimisée
à cause de l’amortissement. Dans la figure 12, on voit la même chose
effectivement parce que le pic en amplitude de la fréquence 180Hz est
rendue moins et moins importante au fur et à mesure qu’on augment
les coefficients d’amortissement.
— Force Sinusoïdale 300Hz

Comme il a été dit dans l’introduction pour la partie force sinusoïdale
cette forçage de 300Hz se retrouve entre la première et la deuxième
fréquence propre ce qui va éviter le déclenchement d’une réponse di-
vergente comme dans le cas de 180Hz. En plus d’étudier la variabilité
quand les coefficients d’amortissement sont augmentées ensemble dans
les cas précédents, ici, l’effet de l’augmentation de α sur β est aussi
étudié.
1. Variabilité en α (le coefficient de la masse) Pour ce cas α
a été fait varié de 0.5 - 0.7 pour un β qui reste constant à 10−7
.
La première chose la plus remarquable ici dans les figures 13 et 14
c’est que même si trois courbes sont super-imposées l’un sur l’autre
on s’en rendre compte qu’à peine. Cela veut dire que la variabilité
de la coefficient α n’est pas trop important. Pas que le coefficient
α n’est pas important mais que sa variabilité n’est l’est pas trop.
çage sinusoïdale de 300Hz
Sur la figure 13 on voit généralement que la réponse s’est amortie
(l’amplitude est moins importante au fur et à mesure que le temps
soit augmentée. Sur la figure 14, on voit apparaître deux pics. Le
premier étant le pic à 180Hz ce qui correspond à la présence de
la première fréquence propre et le deuxième pic à 300Hz ce qui
correspond à la fréquence du forçage qui est à 300Hz. Dans les
figures 15 et 16 on voit plus clairement un zoom la section avec
une flèche et un carrée qui montre la baisse du pic en amplitude
pour la réponse en déplacement aussi que celle dans la transformée
de Fourier.

ment de la structure soumise au for-
çage
2. Variabilité en β (le coefficient de raideur) Dans ce cas on
étudie la variabilité selon la coefficient de la matrice d’amortisse-
ment pour le raideur β. De premier abord, on voit sur les figures
17 et 18 que c’est toujours le cas de la diminution du pic de la
réponse en déplacement aussi que le pic dans la transformée de
Fourier. Mais pour ce cas dans la figure 17 on voit clairement (ou
presque clairement) que la variabilité en β est plus importante que
la variabilité en α. L’un des raison pour cela c’est que β varie d’une
échelle plus importante que celle de α. Généralement β varie de
10−7
à 10−5
alors que α varie généralement de 0.5 à 1. Dans ce
forçage, la réponse en déplacement bascule autour de zéro parce
qu’il n’y a pas une partie constante pour le forçage et la fonction
sinus elle-même varie naturellement autour de zéro. Les figures 15
et 16 sont un zoom de la partie avec la flèche et le carré.

çage
Quelque chose de très important à observer dans la figure 18 est que
à partir du moment où β ≥ 1 · 10−5
, le pic de la fréquence du forçage
est plus important que le pic pour la première fréquence propre. C’est
jeu des deux régimes, le régime transitoire et permanent. C’est à dire
qu’un amortissement important peut faire transiter la structure plus
vite au régime permanent. Le régime permanent absolu est quand on
voit plus les fréquences propres.
çage
— La Résonance Non-Amorti (Fréquence du forçage de 180Hz
sans amortissement (α et β sont nulles)

Dans ce cas spécial on voit la pleine résonance. La divergence totale de
la réponse en déplacement qui se voit dans la figure 21. On voit que le
seul pic de la fréquence de 180Hz dans la figure 22. Ce qui caractérise
ces régimes qu’on voit la pleine résonance non amorti c’est que les
valeurs en amplitude ne diminue à aucune moment et elles deviennent
monstrueuse avec le temps ce qu’il faut évidemment éviter au niveau
de la conception des structures.
çage

Références Page 15
Références
[1] Baillet L. Dynamique des structures. ISTerre, Université Grenoble Alpes,
Grenoble, France., 2018.

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