My work here involved the exploration of the mechanical contact phenomena and examined the effect of different material and simulation parameters

1. Compte Rendu du Projet du TP : Problème de Contact
COMSOL Multiphysique
Ekene Alexander Abanobi
M2 SIM
7 mai 2020
Supervisé par Laurent Baillet

2. Table de matières Page 1
Table des matières
1 Introduction - C’est quoi un problème de
contact 2
2 Conditions Initiales et le Maillage 3
2.0.1 Simulation préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
3 Méthode de Pénalisation 4
4 Méthode de Lagrangian Augmentée 6
5 Résultats avec l’inversion des blocs esclaves et maîtres 7
6 Conclusion et Remarques 9
Références 10
7 Appendix 10
7.1 Comparision of gap distance between the penalisation and the
augmented Lagrangian methods . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Conditions Initiales et les simulations grossières Page 2
1 Introduction - C’est quoi un problème de
contact
Bref, un problème de contact est un problème où on s’intéresse à étudier
les efforts et les contraints qui intervienne dans un système de deux corps
en contact. Dans un problème de contact un corps est privilégié par rapport
à l’autre. Un corps dit « maître » qui hypothétiquement génère le forçage
c’est-à-dire qui se presse contre l’autre corps et un autre dite « esclave » qui
reçoit ou est subit aux charges données par le corps maître. Dans un problème
de contact on s’intéresse aussi à étudier le frottement qui est un paramètre
très important quand il s’agit des corps en contact. On parle d’un problème
de contact quand la raideur est une fonction du déplacement. C’est-à-dire
quand la raideur change au fur et à mesure que deux corps soit en contact.
Sous forme mathématique ça s’écrit :
K = K(u) (1)
avec K la matrice de raideur et u le vecteur des déplacements.
Le frottement est étudié par la coefficient de frottement qui est le rapport
entre les composants du forçage tangentielle et normal et glissement qui est
un phénomène qui se relève quand le composant tangentielle devienne supé-
rieur au composant normale est aussi étudié.
µ =
Fs
Fn
(2)
avec Fs le composant tangentielle du forçage et Fn le composant normal et
µ le coefficient du frottement
Le résultats d’un problème de contact aident à savoir quelles sont les en-
droits où il y aurait de concentrations plus importantes, les endroits dans
la structure où il y aura de la plastification, pour prévoir et gérer les dépla-
cements excessifs et aussi d’autre phénomènes importantes. La non-linéarité
et la plasticité qui peut exister dans un problème de contact sont difficiles à
prendre en compte à la fois.
Le logiciel COMSOL résout les fameuses équations de la dynamique en
prenant en compte les effets de contact. Le logiciel présente deux méthodes
de résoudre un problème de contact. Soit la méthode de pénalisation soit la
méthode de Lagrange augmenté.

4. Conditions Initiales et les simulations grossières Page 3
2 Conditions Initiales et le Maillage
On a vu que l’imposition d’un déplacement initial permet une conver-
gence et une stabilité plus rapides de la solution que l’imposition d’une force
initiale. Dans ce problème, un déplacement de 2 mm (à partir du point exact
où les deux blocs entrent en contact) est imposé au bloc rectangulaire supé-
rieur. Cela se traduit par une contrainte à travers le bloc supérieur et par
une pression de contact à l’interface de contact et par une contrainte dans
le bloc inférieur. La COMSOL exige qu’une séparation initiale soit définie
entre les deux corps avant que le contact puisse être simulé. La valeur de la
séparation initiale "requise" utilisée pour ce problème est de 200 microns. Le
coefficient du frottement entre les blocs est 0.5.
Afin de réduire le nombre d’éléments nécessaires pour résoudre le pro-
blème, la condition de limite de symétrie a été utilisée le long du plan qui
divise le système des deux blocs en deux parties égales. Cette étude a été
réalisée en tant qu’une étude 2D ; la présence de l’outil "convert to solid"
dans COMSOL a permis de traiter une étude 2D en utilisant la mécanique
3D.
Cette étude est réalisée selon l’hypothèse suivante :
1. Le matériau est un matériau élastique linéaire : On prends pas en
compte les effets de la plasticité et il n’y a pas des non-linéarités dans
la géométrie (même s’il y en a elles sont pas prises en compte).
2. Le plus petit bloc (d’en dessus) est la destination (l’esclave)
3. Le plus grand bloc (d’en dessous) est la source (le maître)
2.0.1 Simulation préliminaire
On effectue une simulation très rapide avec des mailles très grossières
juste pour avoir une première idée du système et de la solution. On veut voir
si la pression de contact va dépasser la limite élastique du matériau. La limite
d’élasticité de l’acier standard est de 420 MPa (source : www.matweb.com).

5. Méthode de Pénalisation Page 4
Figure 1 – Le maillage des deux corps
en contact
Figure 2 – Résultats préliminaires de
l’étude Von-Mises sur le stress du sys-
tème de contact pour le test rapide
En gardant cette valeur à l’esprit, on va surveiller la pression de contact
afin de détecter les régions qui vont subir une déformation plastique. Le
nombre des dégrées de libertés résolus sont autour de 300 avec 60 autres in-
ternes. La figure 1 montre le maillage rapide qui a été fait pour cette étude
préliminaire. La figure 2 montre que la contrainte de surface maximale de
von-Mises des deux corps en contact est d’environ 1200MPa. On s’en tien-
dra à cette estimation approximative et évaluerons dans quelle mesure un
affinement du maillage affinera cette valeur.
3 Méthode de Pénalisation
Cette méthode simule le contact entre deux surfaces en introduisant un
réseau de ressorts de rigidité variable. Un postulat clé de cette méthode est
que les deux objets "en contact" ne sont pas vraiment en contact mais que ce
contact est simulé artificiellement avec ce système de ressorts. La rigidité de
ces ressorts est choisie de manière à correspondre au mieux aux conditions
réelles de contact. La valeur de cette rigidité diminuera la pénétration non
physique, mais peut être préjudiciable au conditionnement numérique de la
matrice de rigidité.
Dans la méthode de pénalisation, aucun degré de liberté supplémentaire
n’est nécessaire pour la pression de contact ou le vecteur de traction par
friction. Ces résultats sont simplement calculés à partir des déplacements
et la rigidité des sanctions. Cela signifie qu’aucune stratégie de résolution
spéciale n’est nécessaire.
Le maillage complet se compose de 2317 éléments de domaine et de 288
éléments de frontière. On voit qu’avec le raffinement du maillage on a aug-
menté le nombre d’éléments par un facteur de 8 par rapport au cas teste

6. Méthode de Pénalisation Page 5
rapide.
La figure 3 montre le maillage raffiné. L’accent a été mis davantage sur
la petite zone de l’espace entourant la zone de contact afin d’obtenir des
résultats plus précis dans cette zone, car c’est celle où la concentration des
contraintes et la fluctuation rapide des valeurs sont attendues. La figure 4
montre que la contrainte de surface maximale de ce système de contact est
d’environ 2500 MPa (c’est le double de la valeur obtenue par la simulation
grossière effectuée dans la section précédente).
Figure 3 – Le maillage des deux corps
en contact
Figure 4 – La contrainte Von-Mises
du système de contact en utilisant la
méthode de pénalisation
La figure 5 montre le profil de déplacement de l’interface de contact sur
le côté du bloc esclave. Les valeurs maximales de déplacement se trouvent au
centre du bloc, comme prévu lorsque la structure est modélisée sous forme
de poutre. Le déplacement maximal de l’interface de contact est de 1,34 mm.
Figure 5 – Déplacement de l’interface
de contact en utilisant la méthode de
pénalisation
Figure 6 – Pression de contact du
système utilisant la méthode de péna-
lisation

7. Méthode de Lagrangian Augmentée Page 6
D’après la figure 6, on remarque également que les valeurs maximales de
la pression de contact atteignent 2800 MPa et se produisent au milieu des
blocs, puis diminuent exponentiellement pour atteindre environ 1200 MPa
sur les bords.
4 Méthode de Lagrangian Augmentée
Dans cette méthode appelée Lagrangien Augmenté, la pénalisation est
également utilisée mais dans ce cas, elle est utilisée comme un terme supplé-
mentaire qui est ajouté au système d’équations. Cela rend la solution moins
stable, mais cette méthode permet souvent d’obtenir une plus grande pré-
cision. Dans la méthode Lagrangienne augmentée, la valeur du facteur de
pénalisation n’affecte pas la précision de la solution finale, comme c’est le cas
dans la méthode de pénalisation. Dans la méthode Lagrangienne augmentée,
le système d’équations est résolu de manière séparée. Des composantes d’aug-
mentation sont introduites pour la pression de contact Tn et les composantes
Tti du vecteur de friction-traction Tt. Un niveau d’itération supplémentaire
est ajouté où les variables de déplacement habituelles sont résolues séparé-
ment des variables de pression de contact et de traction. L’algorithme répète
cette procédure jusqu’à ce qu’il remplisse un critère de convergence[1].
Le maillage complet se compose de 2294 éléments de domaine et de 287
éléments de frontière. La figure 7 montre la distribution des contraintes de
surface dans le système de contact en utilisant la méthode Lagrangienne
augmentée. Les valeurs maximales de la contrainte de surface se produisent
aux bords du contact et se situent à environ 1900 MPa.
Figure 7 – Contrainte Von-Mises du
système en utilisant la méthode La-
grangienne Augmentée
Figure 8 – Pression de contact du
système utilisant la méthode Lagran-
gienne Augmentée
Cette valeur est inférieure d’environ 600 MPa à la valeur obtenue en uti-
lisant la méthode de pénalisation. On a indiqué plus haut dans l’introduction

8. Résultats avec l’inversion des blocs esclaves et maîtres Page 7
que cette méthode de Lagrange augmentée donne une plus grande précision
et on va donc tendre vers cette valeur. Sur la figure ??, on voit que la pression
de contact est maximale au centre des deux blocs et d’une valeur d’environ
1900 MPa (cette valeur de 1900 MPa est inférieure de 1000 MPa à la valeur
de la pression maximale obtenue en utilisant la méthode de pénalisation dans
la section précédente).
La figure 9 montre les valeurs du déplacement maximum de l’interface
entre les deux blocs du côté du bloc esclave. On voit des comportements
similaires et un déplacement total similaire de 1,34 mm. La figure 10 montre
la répartition de la force de contact autour de l’interface.
Figure 9 – Déplacement de l’inter-
face de contact par la méthode Lagran-
gienne Augmentée
Figure 10 – Schéma de la répartition
de la charge de contact autour de l’in-
terface de contact par la méthode La-
grangienne Augmentée
5 Résultats avec l’inversion des blocs esclaves
et maîtres
Dans toutes les figures traitées ci-dessus, le bloc esclave était le plus petit
bloc du dessus tandis que le bloc maître était le plus grand bloc du dessous.
On veut maintenant découvrir les différences fondamentales qui résultent du
fait que le bloc maître est maintenant le plus petit bloc du dessus et le bloc
esclave le plus grand du dessous.

9. Résultats avec l’inversion des blocs esclaves et maîtres Page 8
Figure 11 – Maillage avec cette nou-
velle configuration maître-esclave
Figure 12 – La contrainte Von-Mises
du système de contact en utilisant la
méthode de pénalisation
Les figures 12 et 15 montrent maintenant les mêmes valeurs et la même
distribution des contraintes de surface que dans la méthode Lagrangienne
augmentée pour la configuration initiale maître-esclave. Elles ont mainte-
nant une pression de contact maximale d’environ 1900 MPa. La figure 11
montre le maillage dans cette nouvelle configuration et la figure 18 montre
la distribution de la pression de contact le long de l’interface de contact.
On constate aussi une magnitude extrêmement négligeable de la composante
horizontale de cette force.
Figure 13 – Déplacement de l’inter-
face de contact en utilisant la méthode
de pénalisation
Figure 14 – Pression de contact du
système utilisant la méthode de péna-
lisation
Les figures 13 et 17 montrent le déplacement de l’interface de contact
avec la méthode de pénalisation et la méthode Lagrangienne augmentée. Les
figures montrent que le déplacement maximal pour la méthode de pénalisa-
tion est maintenant de 1,34 mm, tandis que celui de la méthode Lagrangienne
augmentée est de 0,9 mm. Cela montre que le changement de la configuration
maître-esclave peut également affecter les résultats.

10. Conclusion et Remarques Page 9
Figure 15 – Contrainte Von-Mises du
système en utilisant la méthode La-
grangienne Augmentée
Figure 16 – Pression de contact du
système utilisant la méthode Lagran-
gienne Augmentée
Toutefois, c’est au niveau de l’estimation de la pression de contact que les
changements seront les plus importants. La figure 14 montre la pression de
contact en utilisant la méthode de pénalisation. On voit une pointe aiguë à 11
GPa qui pourrait indiquer une instabilité dans la solution pour la méthode de
pénalisation. Pour la méthode Lagrangienne augmentée dans la figure 16, on
constate un changement plus modéré (augmentation de 16%) de la pression
de contact maximale en raison du changement de configuration.
Figure 17 – Déplacement de l’inter-
face de contact par la méthode Lagran-
gienne Augmentée
Figure 18 – Schéma de la répartition
de la charge de contact autour de l’in-
terface de contact par la méthode La-
grangienne Augmentée
6 Conclusion et Remarques
Les résultats de cette étude montrent que les valeurs de la pression de
contact sont toujours supérieures à la limite élastique de l’acier. Pour des
résultats plus précis, la simulation devrait donc être mieux réalisée en tenant

11. Appendix Page 10
compte de la plasticité. Il est également clair que les résultats de la méthode
Lagrangienne augmentée ont tendance à être plus conservateurs que les résul-
tats bruts obtenus par la méthode de pénalisation et aussi que plus de degrés
de liberté sont utilisés dans la méthode Lagrangienne augmentée. D’après
les simulations, les plots des composantes x et y de la force de frottement
sont nuls car cette simulation est largement dominée par la contribution de
la composante normale de la force de contact.
Références
[1] COMSOL. Comsol structural mechanics module user guide v5.4. 2018.
7 Appendix
7.1 Comparision of gap distance between the penalisa-
tion and the augmented Lagrangian methods
La distance de séparation (autrement appelé « gap distance ») d’un point
est la distance entre ce point et la surface normale à l’interception de l’autre
frontière. Les figures 19 et 20 montrent le gap dans les méthodes de pénali-
sation et de Lagrange augmentée respectivement.
Figure 19 – Le gap avec la méthode
de pénalisation
Figure 20 – Le gap avec la méthode
de Lagrange Augmentée