Quadrature and stochastic collocation methods were used to examine how numerical model propagate uncertainties, giving insights into how much confidence can be placed on the final output of the model

1. Compte Rendu du Projet de Propagation d’Incertitudes à
travers d’un modèle numérique
Ekene Alexander Abanobi
M2 SIM
27 mars 2020
Surpervisé par Julien Baroth

2. Table de matières Page 1
Table des matières
1 Introduction 2
1.1 La méthode de Monte-Carlo et celle de collocation stochastique 2
1.2 La Fonction de densité de probabilité (PDF) . . . . . . . . . . 2
1.3 La Fonction de répartition (CDF) . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Tube Creux à chaud 3
2.1 Introduction et description du système . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.1 Paramètres en Entrée et en Sortie du système . . . . . 3
2.1.2 Modèle Numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.3 Effet de la température du tube sur la flèche du tube . 5
2.1.4 Effet de 5% et 10% de variation de la température du
tube sur la contrainte max (von-Mises) . . . . . . . . . 7
3 Pratt Truss Bridge COMSOL 10
3.1 Introduction et description du système . . . . . . . . . . . . . 10
3.1.1 Effet d’une variation de 5 % et de 10 % du module de
Young sur la première fréquence propre. . . . . . . . . 10
4 Quelques mots sur mon sujet de stage de protection contre
l’érosion 13
5 Conclusion 14
Références 15

3. Introduction Page 2
1 Introduction
1.1 La méthode de Monte-Carlo et celle de collocation
stochastique
Les techniques de Monte Carlo sont des méthodes de référence lorsque
les résultats d’analyse ne sont pas disponibles[1]. Ces techniques consistent
à simuler des réalisations de la variable d’entrée aléatoire et à calculer les
réalisations correspondantes pour la variable de sortie et à en déduire des
informations. Le piège est toutefois que la méthode de Monte-Carlo néces-
site de nombreux calculs qui, souvent, dans la vie réelle, ne sont pas très
pratiques. Nous introduisons donc la méthode de collocation stochastique.
Le mot "stochastique" vient du fait qu’elle est réalisée de manière aléatoire.
Cette méthode vise à réduire le nombre de calculs nécessaires pour obtenir
des précisions similaires à celles que l’on trouve avec la méthode de Monte-
Carlo. Avec cette méthode de collocation, on estime que seuls quatre calculs
sont nécessaires pour obtenir des résultats satisfaisants.
1.2 La Fonction de densité de probabilité (PDF)
Une fonction de densité de probabilité montre une courbe en dessous de
laquelle il y a une probabilité de trouver une valeur qui se situe entre les
limites choisies. Elle suit une loi gaussienne avec la moyenne de la valeur
aléatoire au milieu de la forme en cloche. Une fonction de densité de proba-
bilité est la véritable dérivée de la fonction de répartition.
1.3 La Fonction de répartition (CDF)
Une fonction de répartition est une courbe qui donne directement la pro-
babilité de trouver une valeur égale ou inférieure à une valeur donnée. Elle
présente un moyen de trouver rapidement la probabilité de dépasser (ou de
ne pas dépasser) un seuil.

4. Introduction Page 3
2 Tube Creux à chaud
2.1 Introduction et description du système
Ce système est un tube creux dont les dimensions sont les suivantes. Les
diamètres intérieur et extérieur sont respectivement de 0,1 m et 0,08 m. Le
tube est fabriqué en acier standard : densité 7850kg/m3
, limite élastique
0,25GPa, résistance à la traction 0,46 GPa et chaleur spécifique à pression
constante 434 J/(K kg). La figure 2 montre la distribution des contraintes
de von-Mises le long du tube tandis que la figure Le but est de courber ce
tube chargé encastré à haute température et de déterminer les effets d’un
changement de température du tube sur la contrainte et la flèche maximales
obtenues.
Figure 1 – Les conditions aux li-
mites du tube creux. L’encastrement
au côté gauche une pression de 10MPa
applique à l’extrémité droite sous une
température de 1000 ◦
C
Figure 2 – Le tube creux montrant
la déformation du tube sous le charge-
ment dans la condition de température
élevée
2.1.1 Paramètres en Entrée et en Sortie du système
Les tables 1, 2, 3 et 4 montrent les variables importantes en entrée. La
table 1 montre la Géométrie du tube alors que la table 2 montre les para-
mètres du matériau. La table 3 montre les sollicitations du système alors que
la table 4 montre quelques paramètres possibles en sortie.

5. Introduction Page 4
En Entrée Géométrie
Rayon Intérieure : 0.004m
Rayon Intérieure : 0.005m
Longueur du tube : 1m
Table 1 – La géométrie du système du tube creux à chaud
En Entrée Matériaux
Acier Standard
Module d’Young : 200GPa
masse volumique : 7850 kg/m3
Limite en élastique : 0.25GPa
Limite à la rupture en traction : 0.48GPa
Chaleur spécifique à pression constante : 434J/(kg.K)
Conductivité thermique : 60.5 W/(m.K)
Table 2 – Les paramètres du matériau du tube creux à chaud
En Entrée Sollicitations
Pression à la section en extrême droite : Py : 10MPa
Température du tube : 1000 ◦
C
Table 3 – Les sollicitations du système du tube creux à chaud
Paramètres en sortie La flèche du tube
La Contrainte Maximum
Table 4 – Les paramètres en sortie du système du tube creux à chaud
2.1.2 Modèle Numérique
Le modèle numérique se compose de trois parties : la partie analytique,
la partie éléments finis et la partie éléments discrets. Dans la partie analy-
tique, les équations physiques sont présentées et il est noté qu’il y a un faible
couplage entre la thermique et la statique. Pour la partie thermique, nous
avons la fameuse équation de transfert de chaleur :

6. Introduction Page 5
∇ · (−K∇T) = Q (1)
avec K la conductivité thermique, T la température, et Q la chaleur par
unité de volume.
Pour la partie statique, on utilise les équations du comportement élastique
linéaire. Le tenseur de contrainte S, est exprimé comme suit :
¯
S̄ = 2µ¯
¯
+ λtr(¯
¯
)¯
¯
I (2)
avec λ et µ les coefficients dites de Lamé, ¯
¯
le tenseur des déplacements et
¯
¯
I la matrice d’identité.
¯
¯
=
1
2
[(∇UT
) + ∇U] (3)
avec ¯
¯
le tenseur des déformations infinitésimales, « T
» c’est une transpose.
¯
¯
el = ¯
¯
− ¯
¯
inel (4)
¯
¯
el le tenseur des déformation élastiques, ¯
¯
le tenseur des déformations totales,
¯
¯
inel le tenseur des déformations inélastiques.
C = C(E, ν) (5)
Avec C le tenseur de rigidité de quatrième ordre, E la module d’Young, ν le
coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson).
2.1.3 Effet de la température du tube sur la flèche du tube
Dans ce cas, nous voulons examiner la réponse au pliage d’un tube creux
chaud. Nous examinerons les effets de la température du tube sur la contrainte
et la flèche maximales. Le calcul a été effectué sur ANSYS Workbench.
La table 5 montre les résultats du calcul thermo-statique pour 5% de
variation de la température du tube.
5% variation de Temp. du tube (◦
C) Flèche (mm)
883 16.959
1116 17.099
963 17.007
1037 17.051
Table 5 – Tableau montrant les résultats du calcul pour 5% de variation de
la température du tube comme la grandeur en entrée

7. Introduction Page 6
Sur la figure 3 la fonction de densité de probabilité pour la réponse de
5% de variation de température sur la flèche nous voyons que nous obtenons
une courbe qui suit la loi normale avec une moyenne de 17.029mm de flèche.
Le calcul de collocation donne une variation de 2,98% de la flèche pour une
variation de 5% de la température du tube encastré. Nous voyons ici que la
variation de la température du tube ferme la variabilité de la flèche maximale.
Nous voyons également sur la figure 4 qui montre la fonction de distribution
que nous avons une probabilité de 0,2 de trouver une flèche entre 16,9mm et
17mm.
Figure 3 – Fonction de densité (PDF)
de la flèche du tube pour 5% de varia-
tion de la température du tube
Figure 4 – Fonction de répartition
(CDF) de la flèche du tube pour 5% de
variation de la température du tube
Pour vérifier si la température a une relation dite linéaire avec la flèche,
il faudra traiter un autre cas. Nous avons donc traité le cas d’une variation
de 10% de la température sur la flèche. Les résultats de ce calcul sont affichés
dans le tableau 6.
10% variation de Temp. du tube (◦
C) Flèche (mm)
767 16.89
1233 17.17
926 16.99
1074 17.07
Table 6 – Tableau montrant les résultats du calcul pour 10% de variation
de la température du tube comme la grandeur en entrée
Nous voyons une moyenne de 17,03 mm et le calcul de collocation donne
une variation de 5,99% pour une variation de 10% de la température du tube.
On peut donc dire qu’il existe une relation linéaire entre la température du

8. Introduction Page 7
tube à l’entrée et la déviation maximale à la sortie. Dans la figure 3 on
remarque que la probabilité de trouver une flèche sur la sortie entre 16,9 mm
et 17 mm passe à 0,4 au lieu de 0,2 dans le cas d’une variation de 5%.
Figure 5 – Fonction de densité (PDF)
de la flèche du tube pour 10% de va-
riation de la température du tube
Figure 6 – Fonction de répartition
(CDF) de la flèche du tube pour 10%
de variation de la température du tube
2.1.4 Effet de 5% et 10% de variation de la température du tube
sur la contrainte max (von-Mises)
Dans ce cas, nous voulons étudier l’effet de la variation de la température
du tube sur la contrainte maximale. La contrainte maximale est, comme
d’habitude pour ce genre de problèmes, dirigée vers le point d’encastrement.
Les tableaux ?? et ?? montrent les résultats du calcul pour une variation de
5% et 10% de la température du tube.
5% de variation de Temp. du tube (◦
C) Contrainte Max (GPa) à 5%
883 4.416
1116 5.598
963 4.822
1037 5.1971
Table 7 – Tableau montrant les résultats du calcul pour 5% de variation de
la température du tube comme la grandeur en entrée
Dans la figure 7 nous voyons la fonction de densité de probabilité pour
une variation de température de 5% qui ressemble presque à un gaussienne
avec quelques points déformés mais qui suit généralement la loi normale.
La contrainte moyenne est de 5,01 GPa. Le calcul de collocation donne un
pourcentage de sortie de 25,29%. Pour une variation de température de 5%

9. Introduction Page 8
indique immédiatement que la contrainte maximale a une forte relation avec
la température du tube et la température ouvre la variabilité de la contrainte
maximale. La figure 8 montre la fonction de distribution qui indique par
exemple que la probabilité d’avoir une contrainte de sortie maximale entre 4
et 5GPa est de 0,6.
Figure 7 – Fonction de densité (PDF)
de la contrainte maximum du tube
pour 5% de variation de la tempéra-
ture du tube
Figure 8 – Fonction de répartition
(CDF) de la contrainte maximum du
tube pour 5% de variation de la tem-
pérature du tube
Pour avoir encore plus d’informations sur la relation entre la température
du tube et la contrainte maximale, un autre test a été effectué cette fois-ci
avec une variation de 10% de la température du tube. La contrainte moyenne
a toujours été de 5,01 GPa.
10% de variation de Temp. du tube (◦
C) Contrainte Max (GPa)
767 3.83
1233 6.19
926 4.63
1074 5.38
Table 8 – Tableau montrant les résultats du calcul pour 10% de variation
de la température du tube comme la grandeur en entrée
Mais cette fois, le calcul de collocation donne une variabilité de la contrainte
de sortie de 50,58%, ce qui est le double de la variabilité de la contrainte pour
une variation de 5% et qui dit aussi qu’il y a une relation linéaire entre la
température du tube et la contrainte maximale.

10. Introduction Page 9
Figure 9 – Fonction de densité (PDF)
de la contrainte maximum du tube
pour 10% de variation de la tempéra-
ture du tube
Figure 10 – Fonction de répartition
(CDF) de la contrainte maximum du
tube pour 10% de variation de la tem-
pérature du tube
Comme dans le cas d’un changement de 5%, la figure 10 montre la fonction
de distribution pour un changement de 10% de la température du tube. Ce
qui est important ici, c’est que la probabilité d’avoir une contrainte de sortie
maximale entre 4 et 5GPa aurait un peu diminué et elle est maintenant de
0,52 au lieu de 0,6 comme dans le cas précédent.

11. Introduction Page 10
3 Pratt Truss Bridge COMSOL
3.1 Introduction et description du système
Dans cette section, nous avons un système assez intéressant et quelque peu
compliqué qui se trouve sur la bibliothèque COMSOL[2]. C’est un problème
de résolution des efforts, des contraintes, des fréquences, des moments et
de tous les autres paramètres importants liés au pont. Mais pour faire ce
calcul de collocation dans la fiche de ce rapport, nous allons nous concentrer
uniquement sur l’effet du module d’Young de la structure du pont en acier sur
la première fréquence propre de l’ensemble du pont. Les paramètres d’entrée
possibles du système sont : le module d’Young de l’acier, les dimensions des
barres, les dimensions totales du pont, le module d’Young et la compressibilité
du béton. En sortie, nous aurons : la flèche du pont, les fréquences et les
modes propres, le champ de déplacement, le champ de contrainte, et pour
un problème de couplage thermique, nous aurons également le champ de
température. Les conditions limites sont des conditions d’encastrement sûres
aux deux extrémités du pont : l’extrême gauche et l’extrême droite.
3.1.1 Effet d’une variation de 5 % et de 10 % du module de Young
sur la première fréquence propre.
Sur la figure ??, nous voyons la forme modale correspondant à la fréquence
naturelle de 3,55Hz. Le tableau ?? montre les résultats du calcul numérique
pour une variation de 5% du module d’Young. La figure ?? montre le champ
de contrainte du pont avec une espèce des paramètres de calcul.
Figure 11 – Le pont montrant le
champ de déplacement correspondant
à la première fréquence propre
Figure 12 – Le pont montrant la
répartition des contraintes pour une
configuration donnée
La moyenne de la première fréquence propre est de 2,633 Hz, comme le
montre également la figure 13 qui indique la densité de probabilité pour la

12. Introduction Page 11
variable de sortie qui est la première fréquence propre. Après le calcul de
collocation, nous trouvons une variation de la première fréquence propre de
6,6% pour une variation de 5% pour le module de Young. Cela signifie que
le module de Young ouvre la variabilité de la première fréquence propre.
5% de variation de la Première Fréquence
Module d’Young (GPa) Propre (Hz)
176.7 2.4773
223.3 2.7852
192.6 2.5865
207.4 2.6842
Table 9 – Tableau montrant les résultats du calcul pour 5% de variation
de la module d’Young du partie structurelle en acier standard comme la
grandeur en entrée
Dans la figure 14, nous voyons la fonction de distribution qui montre que
nous avons une probabilité de 0,8 que la première fréquence propre se situe
entre 2,38Hz et 2,68Hz.
Figure 13 – Fonction de densité
(PDF) de la première fréquence propre
du pont pour 5% de variation de la mo-
dule d’Young du cadre en acier
Figure 14 – Fonction de répartition
(CDF) de la première fréquence propre
du pont pour 5% de variation de la
module d’Young du cadre en acier
Nous allons refaire un test, cette fois-ci avec une variation de 10% du
module de Young. Le tableau 7 montre le résultat du calcul numérique. Dans
la figure, la fréquence moyenne est de 2,626Hz. Le calcul de collocation donne
une variabilité de la fréquence naturelle de 13,22% pour une variation de 10%
du module de Young.

13. Introduction Page 12
10% de variation de la Première Fréquence
Module d’Young (GPa) Propre (Hz)
153.3 2.308
246.7 2.9269
185.2 2.5362
214.8 2.7317
Table 10 – Tableau montrant les résultats du calcul pour une variation
de 10% du module de Young de la pièce standard en acier de construction
comme taille d’entrée.
On peut donc dire aussi, dans le cas de ce pont, que le module d’Young a
une relation linéaire avec la première fréquence naturelle puisque les pour-
centages ont été multipliés par un 2 constant. La figure 16 montre que nous
avons une diminution de la probabilité de trouver une première fréquence
naturelle entre 2,38Hz et 2,68Hz qui est maintenant à 0,72.
Figure 15 – Fonction de densité
(PDF) de la première fréquence propre
du pont pour 10% de variation de la
module d’Young du cadre en acier
Figure 16 – Fonction de répartition
(CDF) de la première fréquence propre
du pont pour 10% de variation de la
module d’Young du cadre en acier

14. Introduction Page 13
4 Quelques mots sur mon sujet de stage de pro-
tection contre l’érosion
Il s’agit d’un problème de protection côtière par les plantes des fonds
marins. Les paramètres et les configurations possibles d’un genre de plante
marine appelé Posidonia Oceanica sont étudiés sur la hauteur des vagues qui
atteignent la plage. Ce problème a été résolu grâce à un groupe de logiciels de
calcul des vagues appelé TOMAWAC/TELEMAC 2D. Avec l’application du
calcul de collocation, on aurait vu le pourcentage de variation de la hauteur
de la plante, par exemple, comme une entrée sur la variation de la hauteur des
vagues atteignant la plage. Le manque d’accès au logiciel est l’un des princi-
paux facteurs de l’impossibilité d’effectuer le calcul. La figure 17 montre la
zone maritime sur laquelle le calcul a été basé. Les conditions aux limites sont
celles d’une hauteur constante sur les côtés gauche et droit, d’un débit d’eau
constant sur la partie supérieure et d’un mur solide sur la partie inférieure.
Figure 17 – Image Numérique de l’espace du travail

15. Introduction Page 14
5 Conclusion
En résumé, nous avons vu quelques cas d’application de la méthode de
collocation stochastique et comment cette méthode peut réellement nous sim-
plifier la vie en nous évitant de devoir faire seulement quatre calculs au lieu
de cinq mille. Nous avons également vu qu’il existe des variables d’entrée qui
ouvrent la variabilité de la variable de sortie et d’autres qui ferment cette
variabilité. Nous avons également vu que nous pouvons déduire une relation
entre la variable de sortie et la variable d’entrée, qui, pour tous les cas trai-
tés dans ce rapport, a toujours été linéaire. Nous avons également vu que la
probabilité de trouver un seuil à la sortie diminue lorsque nous augmentons
la variabilité à l’entrée, ce qui s’explique par le fait que l’augmentation des
limites de la variabilité à l’entrée implique des valeurs qui n’existaient pas
auparavant, ce qui ouvre la plage de valeurs à l’entrée et également à la sortie,
ce qui entraîne une diminution de la probabilité.

16. Références Page 15
Références
[1] BAROTH Julien. Propagation d’incertitudes à travers un modèle numé-
rique. Laboratoire 3SR, Université Grenoble Alpes, 2018.
[2] COMSOL Multiphysics. Pratt truss bridge. COMSOL Multiphysics Tu-
torials.