Analysis and Modelisation of Fluid Transport, the Euler Problem and Common Applications of the Navier-Stokes Equation

Compte Rendu du Projet de Modélisation et Simulation en
Mécanique des Fluides
Ekene Alexander Abanobi
M2 SIM
27 avril 2020
Supervisé par Christophe Brun

Table de matières Page 1
Table des matières
1 Introduction 4
2 Équation de Scalaire - Transport 1D d’un scalaire passif 7
2.1 Étude Paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Conditions Initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.1 Critère de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL) . . . . . . . 8
2.2.2 Analyse des schémas de discrétisation . . . . . . . . . . 10
2.3 Étude de l’effet de la viscosité moléculaire . . . . . . . . . . . 11
3 Équation de Burgers - L’advection de la vitesse 13
3.2 Conditions Initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2.1 Conditions Initiales Gauss et Sinus . . . . . . . . . . . 14
3.2.2 Critère de Courant–Friedrichs–Lewy . . . . . . . . . . 15
3.3 Analyse des schémas de discrétisation . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 Étude du terme Non-Linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4 Équation d’Euler problème de SOD - Tube a choc 20
4.1 Équations d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2.1 Analyse des points forts et des faiblesse des schémas . . 22
4.2.2 Schéma centré d’ordre 4 Skew-Symétrique . . . . . . . 22
4.2.3 Schéma centré d’ordre 4 Skew-Symétrique avec la vis-
cosité artificielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
cosité artificielle et le wiggles detector . . . . . . . . . . 23
cosité artificielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.6 Schéma de référence : Schéma de Gudonov, Roe-Pike
et Runge-Kutta d’ordre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.3 Étude du tube à choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.1 Cas de propagation des chocs . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.2 Choc-Détente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.3.3 Choc-Choc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.3.4 Détente-Détente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3.5 Vérification des relations Rankine-Hugoniot . . . . . . 30
4.4 Effet de l’augmentation de la discrétisation spatiale . . . . . . 31
4.5 Études Complémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4.5.1 Choc Stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.5.2 Écoulement Constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.5.3 Onde Acoustique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.5.4 Onde Entropique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5 Équation de Navier-Stokes 2D - canal plan 37
5.1 Discussion sur la théorie et l’effet des hypothèses sur la forme
de l’équation Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.1 Les équations de Navier-Stokes 2D . . . . . . . . . . . 37
5.1.2 Effets des hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.3 Forme adimensionnelle des équations . . . . . . . . . . 37
5.1.4 Équations de type Crocco-Busemann . . . . . . . . . . 38
5.2 Cas laminaire Reynolds 800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3 Analyse des isovaleurs de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.1 Mach 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.3.2 Mach 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.3.3 Mach 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.4 Mach 2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
5.4 Analyse des profils transverses et les profils déduits . . . . . . 43
5.4.1 Mach 0.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5.4.2 Mach 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.4.3 Mach 1.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.4.4 Mach 2.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6 Équation de Navier-Stokes - Jet 2D 50
6.1 La théorie du flux et les équations . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.1.1 Les équations de Navier-Stokes 2D . . . . . . . . . . . 50
6.1.2 Effets des hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2 Cas Quasi-Incompressible Mach critique de 0.3. . . . . . . . . 51
6.3.1 Mach 0.3 : Reynolds 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3.2 Mach 0.3 : Reynolds 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.3.3 Mach 0.3 : Reynolds 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6.4.1 Mach 0.3 : Reynolds 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.4.2 Mach 0.3 : Reynolds 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . 56
6.4.3 Mach 0.3 : Reynolds 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6.5 Analyse des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.5.1 Évaluation des fréquences turbulentes et le nombre de
Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
6.6 Cas de Mach 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.7.1 Mach 0.5 : Reynolds 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.7.2 Mach 0.5 : Reynolds 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.7.3 Mach 0.5 : Reynolds 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.8.1 Mach 0.5 : Reynolds 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6.8.2 Mach 0.5 : Reynolds 3000 . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.8.3 Mach 0.5 : Reynolds 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.9 Analyse des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6.9.1 Évaluation des fréquences turbulentes et les analyses
et le nombre de Strouhal . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7 Conclusion et Remarques 72
Références 73

Introduction Page 4
1 Introduction
Les travaux faites ici consistent généralement des simulations des écou-
lement fluides à l’aide des équations de conservation adimensionnelles. Ces
équations adimensionnelles (c’est-à-dire normalisé par les valeurs caractéris-
tique de la grandeur étudiée) sont codées en fortran et le but c’est des utiliser
ces codes pour étudier et caractériser la comportement des écoulements. Les
trois principales équations de conservation sont utilisées : celle de la conser-
vation de la masse (CM), de la quantité de mouvement (QDM) et de l’énergie
total (ET). La discrétisations (le schéma) utilisée est souvent celle des diffé-
rences finies. Tout un tas d’autres schéma sont utilisés et un des buts de ces
travaux c’est de caractériser les points forts et les points faibles des schéma
utilisés. Les travaux sont faites dans le système d’exploitation Linux avec
tout un tas des commandes spécifique et facilement répétables qui est vrai-
ment adapté à ces genres de calcul. On s’intéresse à la variation des certains
paramètres des écoulement pour voir et expliquer leurs effets. Un total de
cinq gros problèmes différents sont étudiés.
Le premier c’est un problème dit de « Scalaire » dans ce problème on
s’intéresse à l’advection simple d’une grandeur un scalaire passif (il est dit
passif parce que le transport de cette grandeur se fait tout seul il ne requiert
par d’énergie - des termes sources) (ici un front de température) avec une
équation d’advection simple pour un écoulement stationnaire, non-visqueux
et mono-dimensionnelle sans des termes source.
Pour le deuxième soit un cas où le scalaire dans le cas d’avant est remplacé
par le vecteur des vitesse lui-même. Donc dans ce problème dit de « Burgers
» on veux étudier la non-linéarité de la dans l’écoulement vue que la vitesse
est advectée par lui-même. On étudie encore la fiabilité des schéma utilisés.
Le nombre de Reynolds joue un rôle particulièrement important comme on
va voir dans la suite du rapport. On étudie aussi l’effet du pas de temps régie
par un critère qui s’appelle le critère de Courant–Friedrichs–Lewy qui assure
la convergence du la discrétisations utilisée.
Le troisième cas est un cas assez intéressant et rigoureux vue que les pro-
blèmes traités augment successivement en difficulté. Il s’agit d’un problème
dit d’« Euler ». C’est un problème de résolution des équations de conserva-
tion en prenant en compte l’effet de la compressibilité (le fait entre autres
que la divergence de la vecteur de vitesse ne vaut pas zéro), aussi avec des
discontinuités (le choc et la détente). La résolution de la forme dite « faible
» des ces équations-là c’est ce qui permet d’étudier les discontinuités vu que

Introduction Page 5
les formes dites « fortes » à cause des approximations et d’autres relations,
hypothèses et les conditions aux limites rigides desquelles elles sont dérivées
ne soit pas en mesure de traiter ces problème avec des discontinuités. On
teste les conditions initiales et les schéma de discrétisation comme avant et
en gros la capacité du code de détecter les chocs. On vérifie aussi la cohérence
entre les résultats que donne le schéma utilisé avec les fameuse relations de
Rankine-Hugoniot (RHO) qui est un outil important et déjà vérifié pour étu-
dier des chocs. Dans ce problème on jette un coup d’oeil sur quelques autres
types d’ondes comme les ondes acoustiques et entropique et un écoulement
constant et aussi un choc qui soit stationnaire.
Le quatrième étude c’est l’étude des écoulement cisaillées laminaires de
coche limite en canal 2D. En utilisant les équations de Navier-Stokes compres-
sibles on est capable d’étudier la variations des paramètres de l’écoulement.
Le cinquième cas c’est l’étude écoulement cisaillées de jet plan en utili-
sant les équations de Navier-Stokes compressibles. On étudie la variation des
paramètres de l’écoulement jet en 2D.
On présente les équations de conservation utilisées dans l’ensemble de ces
problèmes et on va leur faire référence dans la suite du rapport.
L’équation de la conservation de la masse (CM) souvent appelé l’équation
de continuité sous forme conservative s’écrit :
∂ρ
∂t
+
∂ρui
∂xi
= 0 (1)
avec ρ la masse volumique, et ∂ui les trois composantes de la vitesse, ∂xi les
trois dimensions spatiales (∀ i ∈ 1-3) et t le temps.
L’équation de la conservation de la quantité de mouvement sous forme
conservative s’écrit :
∂ρui
∂t
+
∂
∂xj
[ρuiuj + Pδij − µσij] = 0 (2)
avec σij = 2Sij − 2/3δijdivu
§ij = 1/2(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi)
µ est la viscosité dynamique, P la pression, (∀ i ∈ 1-3)

Introduction Page 6
L’équation de la conservation de la quantité de l’énergie totale sous forme
∂ρe
∂t
+
∂
∂xj
[(ρe + P)uj − µσijui − λ
∂T
∂xj
] = 0 (3)
avec λ la conductivité.

Équation de Scalaire - Transport 1D d’un scalaire passif Page 7
2 Équation de Scalaire - Transport 1D d’un
scalaire passif
Il s’agit d’un premier cas et du plus simple des cas traités. L’étude porte
sur le transport 1D d’une certaine quantité scalaire (dans ce cas, un front
de température). on est intéressé par l’observation de l’évolution spatiale et
temporelle de cette quantité qui est advectée par une vitesse. L’advection est
passive dans le sens où il n’y a pas de terme source. L’équation de Scalaire
est décrite ci-dessous :
∂T
∂t
+ u0
∂T
∂x
= 0 (4)
avec T le champ de température et u0 la vitesse de l’advection.
Cette équation 11 est discrétisée par une méthode conservative aux diffé-
rences finies centrées d’ordre 2.
En s’inspirant par l’expression générale d’une discrétisation aux diffé-
rences finies centrées d’ordre 2 ci dessous :
y
0
i =
yi+1 − yi−1
2∆t
(5)
L’on peut faire pareille pour l’équation 4. L’équation 4 sous forme conser-
vative s’écrit :
∂[ρT]
∂t
+
∂[ρuconvectT]
∂x
= 0 (6)
Alors,
[ρT]
0
i =
[ρT]i+1 − [ρT]i−1
2∆t
(7)
Et,
[ρuconvectT]
0
i =
[ρuconvectT]i+1 − [ρuconvectT]i−1
2∆x
(8)
[ρT]i+1 − [ρT]i−1
2∆t
+
[ρuconvectT]i+1 − [ρuconvectT]i−1
2∆x
= 0 (9)
2.1 Étude Paramétrique
Ici, l’on teste des différents paramètres et on essaie d’étudier leurs in-
fluence sur le résultat final.

2.2 Conditions Initiales
On teste les deux différentes conditions initiales : sinus et gauss. C’est
conditions montre des différents vues de la solution. Les figures 1 et 2 montrent
ces conditions initiales. La figure 1 montre le front de température comme
une sinusoïde 1D et la figure 2 montre le front de température comme une
gausienne (suivant une loi normale).
Figure 1 – Condition Initiale Sinus Figure 2 – Condition Initiale Gauss
2.2.1 Critère de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL)
Pour ce calcul, quand on choisit un pas de temps trop important on va
perdre de l’information de l’écoulement. Donc il faut une manière de savoir
quel est le pas de temps qu’il faut choisis quand on discrétise les équations
avec des différents schéma qui ont leurs différents points forts et faiblesses. La
CFL est la condition qui assure la convergence de la solution par rapport au
pas de temps et la discrétisation spatiale et aussi la vitesse de l’écoulement.
La CFL est un critère de advectif. La CFL dépend du schéma choisi. Ici, on
fait varier cette condition et observons son effet sur la solution. La condition
s’écrit :
∆t < CFL ·
∆x
uconvect
(10)

Figure 3 – CFL = 0.000001 Figure 4 – CFL = 0.0001
Figure 5 – CFL = 0.01 Figure 6 – CFL = 0.05
Figure 7 – CFL = 0.1 Figure 8 – CFL = 1
Les figures ci-dessus montrent le front de la température lorsque la condi-
tion de la LFC est faite pour varier progressivement de 0,000001 à 1. On peut
voir que lorsque la LFC est trop basse, la solution est stationnaire comme le
montrent les chiffres 13 et 4 et il n’y a pas d’advection. Ensuite, la figure 9
montre que la solution commence à se diffuser, mais en très faible quantité.
Les figures 10 et 11 montrent en outre la diffusion et la convergence de la
solution, mais dans la figure 12 , la solution ne peut pas converger.

2.2.2 Analyse des schémas de discrétisation
Schéma 0 Centré Ordre 2 Skew-Symétrique + viscosité artificielle
+ Non-Linéarité
Schéma 3 Upwind décentré d’ordre 1
Schéma 4 Viscosité Moléculaire
Table 1 – Description des schémas
La figure 9 montre que le schéma zéro est un schéma anti-diffusif. La figure
10 montre que le schéma 1 est un schéma stable et suffisamment robuste.
Figure 9 – Schéma 0 Figure 10 – Schéma 1
La figure 11 montre que le schéma 2 est aussi stable et un bon schéma à
utiliser. Mais par contre la figure 13 montre que le schéma 12 et diffusif et
n’est pas un bon schéma pour traiter ce problème d’advection.
Figure 11 – Schéma 2 Figure 12 – Schéma 3

Figure 13 – Schéma 4
2.3 Étude de l’effet de la viscosité moléculaire
Dans cette section, on étudie les effets des changements de la viscosité
moléculaire via le schéma 4. La valeur du nombre de Reynolds est faite varier
de 300 à 1e6.
Figure 14 – Évolution de la viscosité
moléculaire : Re = 300
En examinant l’effet de la viscosité moléculaire qui est présente dans la
description du nombre de Reynold, on peut voir que pour un petit nombre
de Reynold, le flux a tendance à être diffusif comme le montre la figure
14. Puis, en augmentant le nombre de Reynold, on constate que le champ
de température devient moins diffusif et plus advectif, comme le montre la
figure 15 .

Ensuite, dans la figure 16, on peut voir qu’un seuil a été franchi et que le
front de température tend maintenant à être antidiffusif. On peut également
voir sur les figures 17, 18 et 19 que l’antidiffusivité ne change plus avec
l’augmentation du nombre de Reynold. Ceci est une preuve de la stabilité du
schéma utilisé qui est le schéma 1 avec une CFL de 0,2.

Équation de Burgers - L’advection de la vitesse Page 13
3 Équation de Burgers - L’advection de la vi-
tesse
L’équation de Burgers est un cas réduit de l’équation générale Navier-
Stokes. Elle décrit comment la vitesse d’écoulement s’advexe elle-même en
1D. Cela introduit évidemment une non-linéarité dans le flux. L’étude sui-
vante est une tentative de caractérisation d’un tel flux d’advection passive de
la vitesse par lui-même. Il n’y a pas de terme source (∂p
∂x
= 0) et pas de terme
de diffusion (∂2u
∂x2 = 0). La diffusion moléculaire est introduite dans les sché-
mas de résolution afin d’observer les effets diffusifs. L’équation de Burgers
sous forme non-conservative est décrite ci-dessous :
∂u
∂t
+ u
∂u
∂x
= 0 (11)
avec u le champ de température et u0 la vitesse de l’advection.
Dans cette section, on veut comprendre rapidement comment la variation
du nombre de Reynolds va affecter le flux. On veut également savoir s’il y
aura des seuils de nombre de Reynolds à respecter.
Les figures 20 et 21 montrent l’effet des changements du nombre de Rey-
nolds sur la solution à l’aide du schéma 1
Figure 20 – Étude paramétrique au
niveau de variation du nombre de Rey-
nolds : Re = 300
Figure 21 – Étude paramétrique au
niveau de variation du nombre de Rey-
nolds : Re = 1010
Dans ces figures 20 et 21 l’on voit clairement que le schéma 1 n’a aucune
influence sur le résultat. Cela vérifie ce qu’on sait déjà en regardant l’équation
de Burgers qu’il n’ait pas un terme qui dépend du Reynolds (sans prenant
en compte la viscosité moléculaire). En regardant les résultats des schéma 0,

1, 2, 3 dans la table 1 on peut conclure que il n’a pas d’effet du nombre de
Reynolds sur ces schémas ; c’est que dans le schéma 4 qu’on voit l’effet du
nombre de Reynolds grâce à la viscosité moléculaire.
3.2 Conditions Initiales
Dans les prochaines sous-sections, on décrira les différentes conditions
initiales qui sont définies pour réaliser les simulations. On discutera des re-
présentations de Gauss et de Sinus et de la condition CFL, ainsi que des
propriétés des différents schémas de discrétisation utilisés. Les graphiques
montrent l’évolution de la solution de la condition initiale à t=0,1s à t=0,2s
à t=0,3s à t=0,4s.
3.2.1 Conditions Initiales Gauss et Sinus
Les figures 22 et 24 montrent les condition initiales en forme gausienne
pour le schéma 1 et le schéma 4. Les figures 23 et 25 montrent les condition
initiales en forme sinus pour le schéma 1 et le schéma 4.
Figure 22 – L’état initiale sous forme
gauisenne (et son évolution) pour Re
= 300 et Schéma 1
sinus (et son évolution) pour Re = 300
et Schéma 1

gauisenne (et son évolution) pour Re
= 300 et Schéma 4
sinus (et son évolution) pour Re = 300
et Schéma 4
3.2.2 Critère de Courant–Friedrichs–Lewy
La condition de la LFC est la condition de stabilité du schéma utilisé.
Dans les figures 26, 27, 28, 29 on voit l’impact du pas de temps utilisé pour
sur le schéma 1 spécifiquement. Un point très intéressant à noter est que
dans 28, une valeur CFL de 1 affecte la cohérence du résultat car la figure
montre que la condition à t = 0,4s est maintenant superposée à l’état initial
du système.
Figure 26 – Étude de la condition
CFL pour CFL = 0.000001
CFL pour CFL = 0.01

CFL pour CFL = 1
CFL pour CFL = 10
3.3 Analyse des schémas de discrétisation
Les figures 30, 31, 32, 33, 34 montrent les cinq schémas de discrétisation
utilisés. La table 2 montrent les compositions des schémas.
+ Non-Linéarité
Schéma 3 Upwind décentré d’ordre 1
Schéma 4 Viscosité Moléculaire
Table 2 – Description des schémas
Dans la figure 30 on voit que le schéma 0 avec un nombre de Reynolds
assez bas à 300 devient instable à 0.3s. Donc ce schéma n’est pas adapté à
cette fin. On voit un schéma assez stable dans la figure 31 le schéma 1.
Figure 30 – Analyse de Schéma 0
pour Re = 104
pour Re = 104

Le schéma 2 dans la figure 32 et aussi stable et même le schéma 3. Mais
on voit que le schéma 3 met vraiment l’accent sur la non-linéarité. Le schéma
4 est dans la figure 34 est aussi un bon schéma.
pour Re = 104
pour Re = 104
Figure 34 – Analyse de Schéma 4 pour Re = 104
3.4 Étude du terme Non-Linéaire
On étudie l’impact de la présence de la viscosité moléculaire à l’aide du
schéma 4. La valeur du nombre de Reynolds a été modifiée progressivement
de 300 à 109
. Les figures montrent cette évolution de la simulation de flux.
Dans la figure 35 pour un Reynolds de 300 on voit vraiment l’accent sur le
terme non-linéaire.

Figure 35 – Analyse de l’effet non-
linéaire. Re = 300
linéaire. Re = 2300
On augment le Reynolds et il est maintenant à 2300 dans la figure 36.
On voit aussi que le sommet des courbes gausienne trace une ligne non-
linéaire. On passe au Reynolds 104
dans la figure 37. On voit aussi le terme
non-linéaire mais l’accent est moins évident comparé au cas de Reynolds 300.
linéaire. Re = 104
linéaire. Re = 106
Pour les cas de 106
, 107
, 109
dans les figures 38, 39, 40 on voit toujours
cette effet non-linéaire mais on voit que le schéma devient instable à partir
de Reynolds 106
après un temps de 0.3s.

linéaire. Re = 107
linéaire. Re = 109

Équation d’Euler problème de SOD - Tube a choc Page 20
4 Équation d’Euler problème de SOD - Tube a
choc
Le tube à choc est un instrument utilisé pour reproduire et concentrer les
ondes de détonation contre un capteur ou une maquette afin de simuler les
explosions réelles et leur effets, le plus souvent à échelle réduite. Les tubes à
choc (et les accessoires qui s’y rattachent : tunnels à choc, tubes et tunnel
d’expansion) peuvent aussi permettre d’étudier les phénomènes aérodyna-
miques dans une grande plage de températures et de pressions, difficiles à
obtenir en soufflerie. Les tubes à choc permettent l’analyse des écoulements
de fluide compressible et des combustions en phase gazeuse. Récemment, on
s’est servi de tubes à choc en recherche biomédicale pour étudier le compor-
tement de tissus vivants dans les ondes de choc.
On produit l’onde de choc à l’intérieur du tube soit avec un explosif (tube
à explosion), soit en cloisonnant le tube avec une ou plusieurs membrane(s)
et en créant une différence de pression critique dans la cellule primaire (tube
à air comprimé).
Ces tubes à choc (multi-enceintes), grâce à leur taille réduite et un pic de
pression raisonnable, s’imposent comme l’outil de choix pour le prototypage,
le contrôle non destructif, la validation des capteurs de pression dynamique,
les recherches biomédicales et même les applications militaires. Le choc qui
résulte du mélange brutal des deux gaz est exothermique et crée un écoule-
ment dans le sens de l’onde de choc.
Les résultats d’expériences en tube à choc sont indispensables pour valider
les modèles numériques de la réponse (contrainte et déformations) d’un ma-
tériau ou d’une structure à une détonation. Les tubes à choc permettent enfin
de décider quels matériaux et quelles formes atténuent expérimentalement le
mieux l’effet des détonations, donc à concevoir les systèmes de protection des
structures et des personnes exposées à des risques de détonation.
4.1 Équations d’Euler
Les équations dit d’Euler sont des approximations de l’équation NS quand
les la viscosité µ et la conductivité λ sont nulles. Elles sont présentées ci-
dessous :
Les équations d’Euler sous forme conservative s’écrivent :

∂ρ
∂t
+
∂ρui
∂xi
= 0 (12)
avec ρ la masse volumique, et ∂ui les trois composantes de la vitesse, ∂xi les
trois dimensions spatiales (∀ i ∈ 1-3) et t le temps.
L’équation de la conservation de la quantité de mouvement sous forme
∂ρui
∂t
+
∂
∂xj
[ρuiuj + Pδij] = 0 (13)
avec σij = 2Sij − 2/3δijdivu
§ij = 1/2(∂ui/∂xj + ∂uj/∂xi)
µ est la viscosité dynamique, P la pression, (∀ i ∈ 1-3)
L’équation de la conservation de la quantité de l’énergie totale sous forme
∂ρe
∂t
+
∂
∂xj
[(ρe + P)uj] = 0 (14)
λ la conductivité (∀ i ∈ 1-3)
On étudiera ces discontinuités (chocs et détentes). Dans les courbes que
on présentera plus tard, un choc est cette zone discontinue ayant une pente
constante au fur et à mesure qu’elle se propage, tandis que la pente d’une
détente augmente légèrement de manière ordonnée au fur et à mesure qu’elle
se propage. Les chocs et les détentes se propagent généralement dans des
directions opposées. C’est-à-dire que si un choc se propage dans la direction
x positive, alors la détente se propagera dans la direction x négative. On
observera également les effets du rebond des chocs et ce que ce rebond fait
au flux. Ce rebond se produit lorsque l’enceinte vers lequel le choc se propage
a une densité supérieure à celle de l’enceinte d’où provient le choc. C’est
pourquoi on peut avoir des conditions choc-choc dans les deux enceintes.
Les discrétisations spatiales et temporelles sont liées par :
CFL = 0.2
vitessemax = -1900m/s
∆t = CFL ·
∆x
vitessemax
(15)

4.2.1 Analyse des points forts et des faiblesse des schémas
Numéro Schéma Nom Schéma
Schéma 6 Schéma centré d’ordre 4 Skew-Symétrique
avec la viscosité artificielle
et le wiggles detector
Schéma 31 Godunov, Roe-Pike et Runge-Kutta Ordre 3
Table 3 – Description des schémas utilisés pour la discrétisation de l’équa-
tion d’Euler
4.2.2 Schéma centré d’ordre 4 Skew-Symétrique
Les figures 41 et 42 présentent les profils de pression et de température
pour ce schéma. On voit que le schéma est capable de représenter la détente
mais vraiment a du mal à représenter le choc.
Figure 41 – Profil de la pression
avec le schéma centré d’ordre 4 Skew-
Symétrique
Figure 42 – Profil de la température
Symétrique
4.2.3 Schéma centré d’ordre 4 Skew-Symétrique avec la viscosité
artificielle
pour ce schéma. On voit que avec ce schéma la détente et mieux représentée

que dans le schéma précèdent mais aussi le choc est pas mal représenté. On
attribue cela à la présence du terme de la viscosité artificielle.
Symétrique avec la viscosité artificielle
artificielle et le wiggles detector
pour ce schéma. Ce schéma a comme différence entre le schéma précèdent la
présence du "wiggle detector". Ce "wiggle detector" est un mécanisme dans
le code pour détecter les petits oscillations dans le résultat qui s’appellent
des "wiggles". Mais par contre on voit dans les figures que ce la présence du
"wiggle detector" ne sert à rien dans ce cas parce que le choc et la détente
sont moins bien représentés.

artificielle
pour ce schéma. Ce schéma et d’ordre 6 mais on voit par contre que cette
augmentation d’ordre représente moins bon le choc.
Figure 47 – Profil de la pression avec
le schéma Centre Ordre 4 Skew Sym
+ VA
avec le schéma Centre Ordre 4 Skew
Sym + VA
4.2.6 Schéma de référence : Schéma de Gudonov, Roe-Pike et
Runge-Kutta d’ordre 3
Les figures 49 et 50 montrent les profils de pression et de température
pour le schéma de Gudonov + Roe-Pike + Runge-Kutta Ordre 3. Ceci étant
le schéma de référence. Dans le profil de la pression sur la figure 49 voit
le choc se propageant vers le gauche (droite à gauche). Pour le profil de la
température. Ce schéma est le schéma de référence parce que c’est le schéma
qui représente le mieux le choc et la détente.
avec le schéma Gudonov + Roe-Pike
+ Runge-Kutta Ordre 3
avec le schéma Gudonov + Roe-Pike
+ Runge-Kutta Ordre 3

4.3 Étude du tube à choc
4.3.1 Cas de propagation des chocs
Dans cette section on va étudier les différents cas de propagation des
choc et des détentes. On étudie les paramètres qui fait en sorte qu’on aie
des conditions choc-détente (le choc dans une enceinte et la détente dans
l’autre), choc-choc (le choc dans une enceinte et la réflexion du choc dans
l’autre enceinte) et le cas détente-détente (la détente dans les deux enceintes).
Les paramètres de référence sont données dans la table 4.
R (Constante de gaz) 281 J/K/kg
Tref (Tempraturederfrence) 273.0 K
ρ(MasseV oumiquedel0
air) 1.40 kg/m3
Pression P ρref ∗ RGP ∗ Tref Pa
Vitesse u sqrt(γ ∗ Pref /ρref )m/s
Table 4 – Valeurs de référence
4.3.2 Choc-Détente
La table 5 montre la configuration de conditions initiales utilisées pour
générer une condition choc-détente.
Masse volumique ρg gauche 0.125 ∗ ρref /ρref
Masse volumique ρd droite 0.125 ∗ ρref /ρref
Pression Pg gauche 1.0 ∗ Pref /Pref
Pression Pd droite 0.10 ∗ Pref /Pref
Vitesse ug gauche 1.0
Vitesse ud droite 0.0
Table 5 – Paramètres pour la condition choc-détente
On voit effectivement que la pression dans l’enceinte de gauche est 10 fois
supérieure que celle à l’enceinte de droite. On a mis aussi une vitesse initiale
de 1.0.

Figure 51 – Profil de masse vo-
lumique pour une condition choc-
détente
Figure 52 – Profil de vitesse pour une
condition choc-détente
Les figures 51, 52, 53, 54, 55 montrent les profils de masse volumique,
vitesse, énergie totale, pression et température pour la condition choc-choc.
Dans ces figures on voit le choc qui est se propageant de l’enceinte plus
chargée (l’enceinte de gauche avec la pression supérieure) vers l’enceinte de
droite qui est moins chargée.
Figure 53 – Profil d’énergie totale
pour une condition choc-détente
Figure 54 – Profil de pression pour
une condition choc-détente
On voit aussi dans ces figures la détente qui se propage dans la direction
opposé (cette fois ci de droite à gauche) ce qui correspond à la théorie de
propagation de chocs et des détentes.

Figure 55 – Profil de température pour une condition choc-détente
4.3.3 Choc-Choc
Dans cette section on crée une condition choc-choc dans les deux en-
ceintes. La table 6 montre la configuration des variables pour créer cette
condition.
Table 6 – Paramètres pour la condition choc-choc
On se rappelle que pour créer une onde de choc la pression dans une
enceinte doit être nettement supérieure à la pression dans l’autre enceinte
parce que en effet on créer une détonation (une explosion). Mais ce qui arrive
normalement c’est qu’une détente va se propager dans l’autre sens. Donc pour
éviter cela, il va falloir que la masse volumique dans l’enceinte qui reçoit
cette onde de choc soit supérieure à la masse volumique dans l’enceinte d’où
provient le choc.

Figure 56 – Profil de masse volu-
mique pour une condition choc-choc
condition choc-choc
On vise effectivement une situation ou le choc va rebondir des paroi et
créer un autre choc dans le sens inverse. Les figures 56, 57, 58, 59, 60 montrent
cette condition pour la masse volumique, la vitesse, l’énergie totale, la pres-
sion et la température.
pour une condition choc-choc
une condition choc-choc
Figure 60 – Profil de température pour une condition choc-choc

4.3.4 Détente-Détente
La table 7 montre les conditions initiale pour cette condition de détente
dans les deux enceintes. L’enceinte de gauche est chargée à haute pression.
Table 7 – Paramètres pour la condition détente-détente
mique pour une condition détente-
détente
condition détente-détente
Le enceinte de droite dans ce cas n’est pas de la même masse volumique
que l’enceinte d’où provient le choc. Dans ce cas on voit que le choc se
développe loin du membrane et l’espace derrière le choc (de faible masse
volumique) entraîne une propagation de détente de la même qui suit le choc
par derrière.

pour une condition détente-détente
une condition détente-détente
Les figures 61, 62, 63, 64, 65 montrent cette condition pour la masse
volumique, la vitesse, l’énergie totale, la pression et la température.
Figure 65 – Profil de température pour une condition détente-détente
4.3.5 Vérification des relations Rankine-Hugoniot
Les relations de Rankine-Hugoniot seront vérifiées par la table de chocs.
Il suffit d’évaluer la vitesse du choc le but étant de trouver la valeur du Mach
en amont et en aval pour pouvoir vérifier les valeurs dans la table de choc
développé à l’aide des relations Rankine-Hugoniot. La vitesse du choc est
noté par s et après les computations on a :
s =
4.1 − 0.31
200 ∗ 2.116 ∗ 10−4
= −2.4 (16)
La valeur négative de la vitesse du choc indique que le choc se propage
de droite à gauche c’est qui est consistent avec ce qu’on voit dans les figures.
Le Mach en amont du choc est donné par cette relation :
M1 = s
√
γRT

4.4 Effet de l’augmentation de la discrétisation spatiale
On augment la discrétisation spatiale à 40, 400 and 4000 points pour voir
l’effet sur les résultats. Les figures 66 et 67 montrent les profils de pression
et de vitesse pour une discrétisation spatiale de 40 points. On constate cette
discrétisation et trop petite pour prendre en compte la propagation du choc.
une discrétisation spatiale de 40 points
discrétisation spatiale de 40 points
Les figures 68 et 69 montrent les profils de pression et de vitesse pour une
discrétisation spatiale de 400 points. On voit le choc se propager mais avec
une pas mal d’espacement entre eux.
une discrétisation spatiale de 400
points
discrétisation spatiale de 400 points
Les figures 70 et 71 montrent les profils de pression et de vitesse pour une
discrétisation spatiale de 4000 points. On voit le choc se propager mais cette
fois ci ils sont serrés. Donc la discrétisation aide à diminuer la distance entre
les choc dans les sortie graphiques.

points
points
4.5 Études Complémentaires
On étudie les quatre cas complémentaires suivants : un écoulement constant
(d/dt = 0), une onde acoustique (des ondes se propageant avec la vitesse du
son), onde entropique (elles sont des ondes de compression (c’est-à-dire des
fluctuations de pression et de densité) dans lesquelles l’énergie et la vitesse
internes restent constantes), un choc stationnaire (un choc pour lequel d/dt
= 0).
4.5.1 Choc Stationnaire
Les figures 72, 73, 74, 75, 76 montrent le profils des différents paramètres
pour un choc stationnaire (pression, vitesse, masse volumique, température
et énergie totale). Le choc stationnaire ne bouge pas dans le temps et l’espace.
Le choc s’est produit et reste dans une position.
Figure 72 – Profil de la pression pour
un choc stationnaire
Figure 73 – Profil de la vitesse pour
un choc stationnaire

Figure 74 – Profil de la masse volu-
mique pour un choc stationnaire
pour un choc stationnaire
Figure 76 – Profil de l’énergie totale pour un choc stationnaire
4.5.2 Écoulement Constant
Pour un écoulement constant par contre on a pas un choc. Donc tous les
paramètres garde leurs valeurs initiales dans l’écoulement. Les profils sont
présentes dans les figures 77, 78, 79, 80, 81.
un écoulement constant
un écoulement constant

mique pour un écoulement constant
pour un écoulement constant
Figure 81 – Profil de l’énergie totale pour un écoulement constant
4.5.3 Onde Acoustique
Ces ondes acoustiques sont une propagation d’énergie de façon adiaba-
tique à travers un matériau par des compressions et des décompressions.
Les figures 82, 83, 84, 85, 86 montres les profils de pression, vitesse, masse
volumique, température et l’énergie totale pour l’onde acoustique.
une onde acoustique
une onde acoustique

A travers les figures on voit une diffusion des toutes les quantités ce qui est
précipité par la perte de l’énergie lors de cette propagation. La propagation
d’une onde acoustique n’est pas conservative de l’énergie.
Figure 84 – Profil de la masses volu-
mique pour une onde acoustique
pour une onde acoustique
Figure 86 – Profil de l’énergie totale pour une onde acoustique
4.5.4 Onde Entropique
Pour une onde entropique présenté dans les figures 87, 88, 89, 90, 91 pour
la pression, la vitesse, la masse volumique, la température et l’énergie totale
la propagation d’onde se fait de façon isobare et on vérifie bien le couplage
entre la densité ρ et la température de l’équation d’état du gaz qui évoluent
de façon opposés.

une onde entropique
une onde entropique
La vitesse elle aussi est constante. Il est possible par des moyens qui ne
me semblent pas évidents, de créer une onde d’entropie. On a donc une onde
de compression isobare.
mique pour une onde entropique
pour une onde entropique
Figure 91 – Profil de l’énergie totale pour une onde entropique

Équation de Navier-Stokes 2D - canal plan Page 37
5 Équation de Navier-Stokes 2D - canal plan
Dans cette étude de cas, on s’intéresse à la résolution des équations de
Navier-Stokes compressibles et à leur application aux écoulements cisaillés
laminaires dans un canal. On étudiera des paramètres qui contrôlent les ré-
sultats.
5.1 Discussion sur la théorie et l’effet des hypothèses
sur la forme de l’équation Navier-Stokes
5.1.1 Les équations de Navier-Stokes 2D
Les équations Navier-Stokes pour un écoulement stationnaire compres-
sible est donnée ci-dessous.
Pour la continuité :
∂ (ρui)
∂xi
= 0 (17)
Le bilan de quantité de mouvement s’écrit :
∂ (ρuiuj − σij)
∂xi
= 0 (18)
Le bilan de l’énergie totale s’écrit :
∂ (ρuiE − ujσij + qi)
∂xi
= 0 (19)
avec ρ la masse volumique, u est la vitesse, σij est le tenseur de contrainte,
E est l’énergie totale, et q est le flux de chaleur. Les indices i, j sont égaux à
1, 2, 3, dénotent une sommation.
5.1.2 Effets des hypothèses
Pour simplifier le problème on a fait quelques hypothèses. On consière
que la solution soit homogène ( ∂
∂x
= 0) mais on prend en compte la perte de
charge (∂p
∂x
! = 0).
5.1.3 Forme adimensionnelle des équations
Après les simplifications on se trouve avec ces relations[1] :
u(y)
ub
= −
3
2
y2
− h2
h2
(20)

Sous forme adimensionnelle on a :
u∗
(y)
u∗
b
= −
3
2
y∗2
− h∗2
h∗2
(21)
pour u ∼ ub et y ∼ h
On fait une petite dérivation ici : on sait que Cp est donné par
Cp =
γR
γ − 1
(22)
et puis on sait que :
M2
=
u2
γRT
(23)
D’où on trouve une expression pour R :
R =
u2
M2γT
(24)
En introduisant cette expression pour R on a :
M2
=
Cp(γ − 1)T)
u2
(25)
Cp (T(y) − Tw)
u2
b
=
3
8
Pr
y2
− h2
h2
(3 − 2γ) y2
− (3 + 2γ) h2
(γ − 1) h2
(26)
on note que Cp = δh
δT
et est un constant.
En utilisant l’expression trouvée pour le nombre de Mach on a :
M2
(T∗
(y) − T∗
w)
u2
b
∗
=
3
8
Pr
y∗2
− h∗2
h∗2
(3 − 2γ) y∗2
− (3 + 2γ) h∗2
h∗2
(27)
5.1.4 Équations de type Crocco-Busemann
Recomposant l’équation 21 on a (mettant l’expression de l’équation 20
dans l’équation 21) :
Cp(T(y) − Tw)
u2
b
=
−u(y)2
4u2
b
(9 + 4γ2
) (28)
T(u) =
−u2
(9 + 4γ2
)
4Cp(γ − 1)
+ Tw (29)

En utilisant l’expression trouvée pour le nombre de Mach on a :
T∗
(u) =
−M2
(9 + 4γ2
)
4
+ T∗
w (30)
5.2 Cas laminaire Reynolds 800
Pour l’étude du canal on reste dans la laminarité avec un Reynolds de
800.
5.3 Analyse des isovaleurs de l’écoulement
On étudie les plots des isovaleurs (les ligne qui désigne les régions où
on a des propriétés de l’écoulement qui restent constant) de l’écoulement
sous cette configuration de Reynolds. Les plots des isovaleurs donne une vue
longitudinale de l’écoulement.
5.3.1 Mach 0.2
On veut étudier l’effet de Mach sur les isovaleurs. A ce Mach incompres-
sible de 0.2 la figure 92 montre que la température est répartie de manière
quasiment uniforme et on voit des isolignes de température au milieu du ca-
nal qui montre l’homogénéité de la température au milieu du canal. Pour la
pression on voit dans la figure 93 montre qu’il y a une forte hétérogénéité de
la pression dans le canal même à ce faible Mach. On se rappelle qu’on a pris
en compte la perte de charge dans les équations. On voit quand même que la
pression prend une forme un peu homogène vers le haut et le bas du canal.
Figure 92 – Isovaleurs Température Figure 93 – Isovaleurs Pression
La figure 94 montre la vitesse horizontal dans le canal pour cette configu-
ration de Reynolds et de Mach. On voit que la vitesse et surtout homogène
vers le bords du canal. Pour la composante verticale de vitesse qui se voit

dans la figure 95 on voit que vers le bords du canal la vitesse verticale et
hétérogène à ce faible Mach mais maintient une quasi-homogénéité vers le
centre longitudinal du canal.
Figure 94 – Isovaleurs Vitesse U Figure 95 – Isovaleurs Vitesse V
5.3.2 Mach 0.5
Quand on augment un peu le Mach (cette fois-ci on passe à la compres-
sibilité) avec un Mach de 0.5. On voit dans la figure 96 que l’augmentation
du Mach rend la température plus serrée vers le bords ceci est dû à les effet
du paroi. Dans la figure 97 on voit que la pression commence à se stabiliser
avec une augmentation du Mach.
La figure 98 montre les isovaleurs de la vitesse horizontale dans le canal.
On voit que les effets du paroi domine. La condition du paroi devient plus
important parce que les isovaleurs devient plus serrée vers les parois. La figure
99 montre qu’on a une homogénéité générale avec la vitesse verticale qui se
stabilise avec l’augmentation du Mach.

5.3.3 Mach 1.0
A la vitesse du son (un Mach de 1.0) on voit que pour la température la
figure 100 montre que les effets du paroi commence à diminuer parce que les
isolignes de température commence à disparaître mais on voit quand même
cet effet du paroi. La figure 101 montre l’homogénéité de la pression et aussi
la dominance de l’effet du paroi.
On voit dans la figure 102 que pour la vitesse horizontale U, on trouve
de moins en moins des isovaleurs au centre longitudinale du canal et aussi
la dominance des effets du paroi. Pour la composante verticale de vitesse on
voit que c’est toujours surtout au centre du canal.

5.3.4 Mach 2.0
Quand on passe maintenant à un Mach supersonique la figure 104 montre
les effets du paroi qui ne contrôle plus autant l’écoulement au centre. La figure
105 montre que les effets de la pression ont quasiment disparus et il ne reste
que l’effet pile dans les bords.
Les isovaleurs de la vitesse horizontale qu’on voit dans la figure 106 montre
que l’effet du paroi est toujours ressenti un peu vers le centre du canal (à
mi-chemin vers le centre). Les isovaleurs de la vitesse verticale dans la figure
107 est maintenant que au bords et pile au centre.

5.4 Analyse des profils transverses et les profils déduits
Après avoir étudié les profils isovaleurs longitudiaux dans la section pré-
cédente, dans cette section on étudiera les profils transverses de la moyenne
des paramètres de l’écoulement (pression, température, vitesses, densité et
viscosité).
5.4.1 Mach 0.2
On commence par le cas sans l’effet de compressibilité à un Mach de 0.2.
Les figures montrent la comportement de ces paramètres de l’écoulement
aussi que leurs chemins vers la convergence. On voit dans la figure 108 pour
la pression que la pression prend une valeur constant d’à peu près 0.89P0
avec P0 la pression de normalisation. On voit effectivement que la perte de
charge est constant (∂p
∂x
= cst). Le profil de température qui se voit dans la
figure 109 montre que la pression et au maximum au centre du canal et d’une
valeur de 1.35T0.
Figure 108 – Profil transverse de la
pression
température

Le profil de la vitesse horizontale dans la figure 110 montre que la vitesse
aussi prend une forme de parabole qui est maximum au centre du canal et
d’une valeur 2.25U0. On voit aussi le "no-slip boundary condition" avec une
vitesse qui s’annule au paroi. Le profil de vitesse a une analogie avec le profil
de température ils ont la même forme. On voit après une étude de convergence
de 8 séries que la vitesse verticale dans la figure 111 reste constant à zéro.
Vitesse U
vitesse V
Le profil de la masse volumique est donné dans la figure 112 et montre
que la masse volumique est au minimum au centre du canal. Cela mets en
évidence la loi de gaz parfait (PV = ρRT) ce qui explique que le profil de de
la masse volumique doit être l’inverse du profil du température parce qu’elles
varient inversement.
mique
Figure 113 – Profil de la viscosité dy-
namique
Par contre le profil de la viscosité dynamique µ dans la figure 113 est
au maximum au centre du canal. Dans l’expression du nombre de Reynolds
(Re = ρUD
µ
) on voit que la viscosité dynamique varie prend la forme de la vi-
tesse étant donné que Re le nombre de Reynolds et D l’échelle caractéristique
de l’écoulement soit constants.

5.4.2 Mach 0.5
Dans cette section on augment un peu le Mach, on passe plutôt au régime
compressible. Dans la figure 114 on voit le comportement de la pression en
vue transverse. On voit voit qu’elle maintient une valeur constant sauf que
cette valeur aurait été augmenté par l’augmentation du nombre de Mach.
pression
température
On voit le profil de la température dans la figure 115. Il garde la même
forme comme dans le cas de Mach 0.3 sauf que la température dans le canal à
aussi été augmentée par le Nombre de Mach. Le profil de la vitesse horizontale
se voit dans la figure 116. La vitesse croit légèrement avec le Mac. On voit
toujours la même forme de parabole que a le maximum au centre du canal.
La vitesse verticale dans la figure 117 est toujours nulle.
Vitesse U
vitesse V
On voit aussi que la masse volumique et la viscosité dynamique dans les
figures 118 et 119 décroisent avec le Mach.

mique
namique
5.4.3 Mach 1.0
On s’intéresse maintenant à étudier le comportement dans le canal avec un
écoulement à la vitesse du son (Mach doublé par rapport au cas précèdent).
On voit la pression restant constant mais d’une valeur encore plus important
ça se voit dans la figure 120. Le pic de la température moyenne aussi est
fortement augmentée avec le Mach (voire doublée) il se voit dans la figure
121.
pression
température
Les figures 122 et 123 décrivent le comportement des deux composantes
de vitesse. La vitesse horizontale a un pic qui croit légèrement et on voit
aussi que le profil de vitesse commence a se développer en largeur. La vitesse
verticale est toujours nulle partout en vue transverse.

Vitesse U
vitesse V
Les profils de la masse volumique et la viscosité dynamique sont présen-
tés dans les figures 124 et 125. On remarque l’aplatissement des ces profils
par rapport au cas précèdent de Mach 0.5. Les pics diminuent en avec une
augmentation du Mach.
mique
namique
5.4.4 Mach 2.0
Le dernier cas c’est le cas supersonique d’un Mach de 0.2. Dans la figure
126 on voit que la pression reste toujours constant mais elle est encore aug-
mentée avec le Mach. La température dans des conditions supersonique sont
assez élevées ce qui se voit dans la figure 127.

pression
température
La vitesse horizontale dans la figure 128 aussi a le pic au centre augmenté
avec le Mach. La vitesse verticale dans la figure 129 reste constante à zéro.
Vitesse U
vitesse V
Dans les figures 130 et 131 on voit que les effets du paroi dominer sur les
profil de la masse volumique et la viscosité dynamique. Au centre du canal
à ce nombre de Mach de 2.0 ces paramètres de masse volumique et viscosité
dynamique sont quasiment constants.

mique
namique

Équation de Navier-Stokes - Jet 2D Page 50
6 Équation de Navier-Stokes - Jet 2D
Dans cette étude de cas, on s’intéresse à la résolution des équations de
Navier-Stokes compressibles et à leur application aux écoulements cisaillés la-
minaire de jet plan en transition à la turbulence. On étudiera des paramètres
qui contrôlent les résultats.
6.1 La théorie du flux et les équations
Dans les sous-sections on exprime les lois de comportement Navier stokes
pour l’écoulement.
6.1.1 Les équations de Navier-Stokes 2D
Les équations Navier-Stokes pour un écoulement stationnaire compres-
sible est donnée ci-dessous.
Pour la continuité :
∂ (ρui)
∂xi
= 0 (31)
Le bilan de quantité de mouvement s’écrit :
∂ (ρuiuj − σij)
∂xi
= 0 (32)
Le bilan de l’énergie totale s’écrit :
∂ (ρuiE − ujσij + qi)
∂xi
= 0 (33)
avec ρ la masse volumique, u est la vitesse, σij est le tenseur de contrainte,
E est l’énergie totale, et q est le flux de chaleur. Les indices i, j sont égaux à
1, 2, 3, dénotent une sommation.
6.1.2 Effets des hypothèses
On note dans ce cas une distinction très importante qui le différencie de
l’avion à réaction, à savoir les conditions limites. Un avion à réaction est
entouré d’une surface libre. On utilise ici une hypothèse de pression homo-
gène qui (dp/dx = 0). L’équation suivante est la forme réduite de l’équation
générale qui tient compte de cette hypothèse.

6.2 Cas Quasi-Incompressible Mach critique de 0.3.
On teste différentes valeurs du nombre de Reynolds pour ce nombre de
Mach de 0.3.
Dans cette section, on analyse l’effet des nombres de Reynolds de 300,
3000 et 5000, tous avec le nombre de Mach quasi-compressible de 0,3.
6.3.1 Mach 0.3 : Reynolds 300
La figure 132 montre les isovaleurs de la température du flux ; on peut
voir qu’à ce nombre de Reynolds de 300 et à un Mach de 0,3 le flux est une
distribution largement laminaire de la température. Le tracé des isovaleurs de
la pression sur la figure 133 montre également une ligne laminaire ordonnée.
Le tracé des isovaleurs de la vitesse horizontale 134 montre également que
l’écoulement est dans le régime laminaire.
On remarque sur la figure que l’écoulement a tendance à s’étaler dans
l’espace. La figure 139 montre la composante verticale de la vitesse pour la
même configuration de Mach et Reynolds et on voit à nouveau de longues
lignes continues qui indiquent la laminarité du régime de l’écoulement.

Dans cette section, on augmente ensuite le nombre de Reynolds à 3000
tout en maintenant une constante de Mach à 0,3. La figure 136 montrant les
isovaleurs de la température montre déjà qu’il y a eu une transition vers la
turbulence comme en témoigne la nature chaotique du tracé.
La ligne de pression constante indiquée dans 137 ne donne pas beaucoup
d’informations concernant la transition en turbulence du jet. Les figures 138
et 139 soutiennent également cette affirmation en montrant une distorsion
remarquable par rapport au cas laminaire.

Dans cette section, le nombre de Reynolds est augmenté encore plus mais
en maintenant le nombre de Mach à 0,3. On remarque dans la figure 140 que
la courbe de température est la plus sensible aux changements du nombre
de Mach. Le tracé des isovaleurs de la pression de la figure 141 commence
maintenant à montrer quelques régions supplémentaires de pression uniforme
à mesure que les lignes deviennent discontinues.
Les figures 142 et ?? montrent les isovaleurs des composantes de vitesse
horizontale et verticale et montrent également un caractère plus aléatoire par
rapport au cas laminaire.

Dans cette section, on commentera les résultats des figures des profils
transversaux et déduits de l’écoulement. La plupart des simulations ont été
effectuées sur huit (8) séries afin d’assurer la convergence des résultats.
Dans cette section, on fixe le nombre de Mach à la valeur quasi-compressible
de 0,3 et le nombre de Reynolds à 300 car on reste dans la laminarité. Dans
la figure 144, on voit le comportement de la pression moyenne. On peut voir
que la pression moyenne, bien qu’elle ne soit pas correctement convergente,
montre que la pression est plus élevée au centre du jet que sur les côtés. On
voit une nette convergence dans la figure 145 car le profil de température
moyenne est clairement plus élevé au centre du jet et moins aux extrémités
du jet. Cela peut être attribué aux conditions limites définies aux extrémités
du jet.
pression
température

La figure 146 montre la composante horizontale de la vitesse et on voit
une convergence nette et le pic au centre du jet. La composante verticale de
la vitesse indiquée sur la figure 147 montre une difficulté de convergence mais
on peut voir qu’elle ne varie pas beaucoup entre les extrémités du jet et le
centre.
Vitesse U
vitesse V
La figure 148 est le profil de la masse volumique du jet. Il a été déduit en
divisant le profil de la pression P par le profil de la température T ($5$/$4).
Ce profil montre que la densité du jet est plus élevée sur les bords et plus faible
au centre. La figure 149 montre le profil déduit de la viscosité dynamique.
mique
namique
Ce profil a été obtenu en multipliant le profil de la densité par le profil
de la vitesse horizontale ($2$ ∗ $5$/$4). Ce profil de la viscosité dynamique
µ montre l’inverse du profil de la densité. Ce profil montre que le jet est plus
visqueux au centre qu’aux bords.

Dans cette section, le nombre de Mach est maintenu constant alors que
on étudie l’effet d’un régime de turbulence de 3000 à Reynolds. La figure 150
montre clairement que la pression est moins élevée au centre du jet qu’au
centre. La figure 151 montre le profil de la température moyenne du jet pour
cette configuration turbulente quasi-compressible. On observe le même profil
de température avec la photo au centre du jet comme dans le cas laminaire
mais le tracé montre aussi que la pression au centre est légèrement plus élevée
dans ce cas.
pression
température
La figure 152 montre le profil de la vitesse horizontale moyenne. On peut
voir pratiquement le même profil que dans le cas laminaire car on a gardé le
nombre de Mach constant, ce qui donne un comportement et une valeur très
similaires sur la photo. Mais le profil de la composante verticale de la vitesse
est plus intéressant. La figure 153 montre une augmentation remarquable de
la composante verticale de la vitesse qui a maintenant été multipliée par 10.
On voit également que la composante verticale de la vitesse est plus élevée
au centre qu’aux bords.

Vitesse U
vitesse V
La figure 154 décrit le profil de densité moyenne du jet. Ce profil conserve
le même comportement général que dans le cas laminaire, mais on constate
une différence très importante en ce sens que la pente du profil sur les bords
est plus douce que dans le cas laminaire. On peut dire que la turbulence a
contribué à la diminution progressive de la densité de la paroi, contrairement
à la forte diminution dans le cas laminaire.
mique
namique
Le profil de la viscosité dynamique tel qu’indiqué sur la figure 155 montre
le même comportement général de la photo au centre et le plus bas sur les
bords.
Une valeur finale de Reynolds 5000 a été testée pour cette caisse quasi-
compressible du jet. Les profils de la pression et de la température 156 et 157
montrent que les images des profils montrent une diminution de la pression et
de la température lorsque le nombre de Reynolds est suffisamment augmenté.

pression
température
Le profil transversal de la vitesse horizontale tel que montré dans la figure
158 montre que cette composante de la vitesse ne varie pas autant avec
l’augmentation du nombre de Reynolds. La composante verticale de la vitesse
comme le montre la figure 159 montre cependant une grande instabilité et
des fluctuations considérables.
Vitesse U
vitesse V
Les profils de la densité et de la viscosité dynamique tels que présentés
dans les figures 160 et 161 ne montrent que de très faibles changements avec
le nombre de Reynolds de 5000

mique
namique
6.5 Analyse des signaux
Une sonde virtuelle est placée à l’intérieur de l’écoulement pour sonder
les valeurs de vitesse, de pression et de température en fonction du temps.
Les figures 162 et 163 montrent les graphiques de cette sonde pour le cas de
Reynolds 300 et Reynolds 3000.
Figure 162 – Le sonde pour Reynolds
300
Figure 163 – Sonde pour Reynolds
3000
6.5.1 Évaluation des fréquences turbulentes et le nombre de Strou-
hal
Les figures 168 et 165 présentent la représentation graphique du signal
temporel des composantes horizontale et verticale de la vitesse du jet. On
voit sur les graphiques que la composante horizontale de la vitesse prend une
valeur moyenne normalisée d’environ 0,98 alors que la composante verticale
est d’environ 0 en moyenne.

Figure 164 – Signaux de vitesse U
pour Mach 0.3 et Reynolds 300
Figure 165 – Signaux de vitesse V
Les figures 166 et 167 montrent la FFT (le spectre des fréquences) des
composantes de vitesse horizontale et verticale pour le nombre de Reynolds
300. Les images sont à 0,1298 Hz et 0,07 Hz pour les composantes horizontale
et verticale respectivement. Un nombre non dimensionnel connu sous le nom
de nombre de Strouhal est le rapport entre la fréquence d’un écoulement et
la fréquence caractéristique. Le nombre de Strouhal est exprimé comme suit :
St =
f
fc
=
fD
U
(34)
avec St le nombre de Strouhal, f la fréquence du jet dans ce cas, D une
échelle de longueur appropriée pour définir le flux, et U la vitesse du flux.
Figure 166 – Spectre de la vitesse U
Figure 167 – Spectre de la vitesse V
Les figures 168 et 169 montrent le signal temporel des composantes de
vitesse verticale et horizontale de l’écoulement pour le régime turbulent avec
un nombre de Reynolds de 3000.
Les figures 170 et 171 montrent qu’il existe d’autres fréquences très proches
les unes des autres dans le régime turbulent.

Une valeur moyenne pour les fréquences est de 0,079 Hz et de 0,059 Hz
pour les composantes horizontale et verticale de la vitesse. L’augmentation
du nombre de Reynolds entraîne une diminution de la fréquence turbulente
de type Kelvin-Helmholtz.
6.6 Cas de Mach 0.5
Dans cette section, on va répéter ensuite tout le processus effectué pour
le nombre de Mach de 0.3 pour un nouveau nombre de Mach de 0.5 qui prend
en compte l’effet de compressibilité du fluide afin d’étudier l’effet du nombre
de Mach sur l’écoulement.
Dans cette section, on analyse l’effet des nombres de Reynolds de 300,
3000 et 5000, tous avec le nombre de Mach quasi-compressible de 0.5.

Les figures 172, 173, 174 et 175 montrent les isovaleurs de température
pression et ceux des composantes horizontale et verticale de vitesse pour
un nombre de Mach 0.5. Par rapport au cas de Reynolds 300 et Mach 0.3
dans la figure 132 la graphique de les isovaleurs de température sur figure
??m05re300/temp172 perde de l’uniformité ils sont plus en forme laminaire.
Pour la pression aussi sur 173 on voit une augmentation du nombre et de
la complexité des isolignes de pression. Les isovaleurs de la vitesse horizontale
dans la figure 174 aussi sont modifiés par le Mach et on voit passer les isolignes
d’une forme laminaire à une formé non uniforme. Ceci est la même pour la
figure 175 pour les isovaleurs de la vitesse verticale.
pression et ceux des composantes horizontale et verticale de vitesse pour un
nombre de Mach 0.5.

Dans tous les chiffres et par rapport au cas du nombre de Reynolds de
3000 avec un nombre de Mach de 0,3, on voit comment un incrément du
nombre de Mach ajoute un caractère aléatoire aux isovaleurs.
pression et ceux des composantes horizontale et verticale de vitesse pour un
nombre de Mach 0.5.

On observe que les isovaleurs de la température ont une concentration
vers le centre du profil. Cet écoulement turbulent à grande vitesse présente
des isolignes moins importantes que le cas de Reynolds nombre 3000.
Ayant effectué la même étude pour un nombre de Mach ou 0,3, on va
étudier l’effet d’un nombre de Mach accru sur les profils d’écoulement trans-
versaux.
La figure 184 montre le profil transversal de la pression moyenne de l’écou-
lement. On peut voir que, comme dans le cas d’un Mach de 0,3, il existe des
oscillations et des fluctuations de pression au centre du jet. Mais la pression
au centre du jet est plus élevée avec un nombre de Mach croissant. La figure
185 montre le profil de la température moyenne. On observe que la tempéra-
ture du jet est beaucoup plus élevée au centre du jet et on observe également
dans ce cas par rapport au cas précédent que l’augmentation du nombre de
Mach a également augmenté la température du pic au centre du jet.

Figure 184 – Profil transverse de
pression
température
La figure 186 montre le profil de la vitesse horizontale. Une fois de plus,
on voit que le nombre de Mach a augmenté la valeur de la vitesse au centre
du jet pour la même valeur du nombre de Reynolds. La vitesse verticale
moyenne a cependant convergé vers une valeur minimale négative. C’est ce
que montre la figure 187.
Figure 186 – Profil transverse de Vi-
tesse U
Figure 187 – Profil transverse de vi-
tesse V
Le profil de la densité moyenne a cependant diminué au centre du jet,
comme le montre la figure 188. La viscosité dynamique a conservé le même
profil que dans le cas de Mach de 0,3 comme le montre la figure 189 mais on
peut aussi voir que l’augmentation du nombre de Mach a pu laisser augmenter
la viscosité pic au centre du jet.

mique
Figure 189 – Profil de viscosité dy-
namique
Sur la figure 190, on observe la pression moyenne pour un nombre de
Reynolds croissant qui est maintenant à 3000 vers un régime tubulaire. on
remarque que dans le cas correspondant avec un nombre de Mach de 0,3, la
pression est toujours la plus basse au centre du jet, mais cette augmentation
du nombre de Mach a entraîné une augmentation de la pression moyenne
globale du jet.
pression
température
Le profil de température est représenté sur la figure 191. On observe
qu’avec l’étude de convergence, la température sur les côtés du jet augmente
avec cette augmentation du nombre de Mach. Les composantes horizontale
et verticale de la vitesse dans les figures 192 et 193 ne sont pas fortement
modifiées par cette augmentation du nombre de Mach.

tesse U
tesse V
La figure 194 montre que la densité du jet est au moins au centre du jet.
Ce changement de densité est dû à l’inclusion de la compressibilité dans les
calculs. Le profil de la viscosité dynamique dans la figure 195 montre toujours
que la viscosité est la plus grande au centre du jet.
mique
namique
On augment un peu plus le nombre de Reynolds pour on assure qu’on est
pleinement dans le régime turbulent. Ce régime turbulent à grande vitesse
a des caractéristiques particulières. La première étant que le calcul ne peut
plus continuer après la cinquième série. Le nombre maximum d’itérations a
été atteint.

pression
température
Le profil de la pression vu dans la figure 196 montre la pression minimale
au centre du jet. Le profil de la température montre la température maximale
au centre du jet.
tesse U
tesse V
Les valeurs maximales de la vitesse horizontale telles que vues dans la
figure 198 sont trouvées au centre du jet et la vitesse verticale dans la figure
199 montre que cette composante verticale est négligeable comparée à la
composante horizontale car ses valeurs sont autour du point zéro.

mique
namique
6.9 Analyse des signaux
Les figures 202 et 203 montrent les signaux de la sonde qui a été insérée
le long du flux.
Figure 202 – Le sonde pour Reynolds
300
Figure 203 – Sonde pour Reynolds
3000
6.9.1 Évaluation des fréquences turbulentes et les analyses et le
nombre de Strouhal
Les figures 208 et 205 montrent les signaux temporels des composantes
verticales et horizontales de la vitesse pour le nombre de Reynolds de 300 et
le nombre de Mach de 0.5.

Le spectre de fréquence de ces signaux est respectivement représenté dans
les figures 206 et 207. D’après les données du spectre de fréquences, la fré-
quence de la turbulence Kelvin-Helmhotlz est de 0,0203 Hz pour la vitesse
horizontale et de 0,914 Hz pour la vitesse verticale.
Les figures 208 et 205 montrent les signaux temporels des composantes
verticales et horizontales de la vitesse pour un nombre de Reynolds de 3000
et un nombre de Mach de 0.5.

Le spectre de fréquence de ces signaux est respectivement représenté dans
les figures 210 et 211. D’après les données du spectre de fréquences, la fré-
quence de la turbulence Kelvin-Helmhotlz est de 0,0183 Hz pour la vitesse
horizontale et de 0,0812 Hz pour la vitesse verticale.

Conclusion et Remarques Page 72
7 Conclusion et Remarques
L’ensemble de cette étude a constitué une introduction très utile au monde
des simulations numériques des fluides et des équations compressibles de
Navier-Stokes et ses cas spécifiques sous la forme de l’équation d’Euler et de
Burgers et ses applications pour résoudre des problèmes et visualiser et in-
terpréter les informations sur les écoulements sous différentes configurations.
Les conséquences des schémas de discrétisation sur les résultats ont également
été étudiées. Les caractéristiques non linéaires des résultats ont également été
traitées dans le cas du problème d’Euler. Une étude approfondie sur la pro-
pagation des chocs et des détentes et les paramètres de fonctionnement qui
conduisent à différentes configurations de chocs et de détentes a également
été étudiée. Les relations Rakine-Hugoniot ont également été explorées pour
tester la précision des résultats simulés. L’étude approfondie des caracté-
ristiques de l’écoulement des canaux a été étudiée. L’influence du nombre
de Mach sur le comportement de l’écoulement a été observée. Cette étude
s’est terminée par l’étude approfondie de l’écoulement des jets. L’influence
du nombre de Mach ainsi que du nombre de Reynolds a été étudiée. Les
signaux de vitesse ont également été extraits et leur spectre de fréquence a
été calculé.
Comme recommandation, il est recommandé que cette étude soit réalisée
à nouveau en utilisant la plate-forme OpenFOAM ou dans un environnement
python car le code de l’étude a été écrit en fortran.

Références Page 73
Références
[1] Brun C. et al. Large eddy simulation of compressible channel flow : Ar-
guments in favour of universality of compressible turbulent wall bounded
flows. Theor. Comput. Fluid Dyn. DOI 10.1007/s00162-007-0073-y, 2007.

Analysis and Modelisation of Fluid Transport, the Euler Problem and Common Applications of the Navier-Stokes Equation

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