Deep Learning : Application à la reconnaissance d’objets de classes multiples...
Rapport final-FIROZI-V2
1. PROJET DE FIN D’´ETUDE
pour l’obtention du Grade de
MASTER DE L’UNIVERSIT´E PIERRE ET MARIE CURIE
Sp´ecialit´e : ´Energ´etique et Environnement
Pr´esent´ee par
Amirhossein FIROZI
MOD´ELISATION DES ´ECOULEMENTS CAVITANTS
ET V´ERIFICATION DES ALGORITHMES INCOMPRESSIBLE
ET CAVITANT A PARTIR D’UNE SOLUTION MANUFACTUR´EE
Encadrant
Olivier COUTIER-DELGOSHA
Co-encadrant
Rezki CHEBLI
Soutenue le 28 Septembre 2016
devant le jury
Pr. Philippe GUIBERT Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris Responsable du Master
Dr. Alexis MATYNIA Universit´e Pierre et Marie Curie, Paris Examinateur
Pr. Olivier COUTIER-DELGOSHA ENSAM, Lille Encadrant de projet
2. 2
Master Sciences et technologies
Mention Sciences pour l’Ing´enieur
Parcours ´Energ´etique et Environnement
Universit´e Pierre et Marie Curie – Paris VI
D´epartement de M´ecanique des fluides
´Ecole Nationale Sup´erieure d’Arts et M´etiers
Campus Lille
3. Remerciements
Je tiens `a remercier en tout premier lieu `a Olivier Coutier-Delgosha qui m’a fait confiance et
pour m’avoir support´e pendant ce projet. Au cours de nos ´echanges r´eguliers ses conseils m’ont
´et´e tr`es profitables.
Je remercie tout particuli`erement Rezki Chebli qui m’a fait partager ses connaissances et qui
a toujours ´et´e l`a par gentillesse pour ´eclaircir des points scientifiques.
Je souhaite remercier ´egalement Anton ˇZnidarˇciˇc, Benoˆıt de Laage de Meux et Ilyass Khlifa,
qui lors de discussions au cours de ce projet, m’ont beaucoup aid´e et ´eclair´e.
Merci `a toute l’´equipe du D´epartement M´ecanique des Fluides pour le lien avec r´ealit´e et leur
sympathie.
Enfin un grand merci `a mes parents, ma tante, mon fr`ere et mes amis qui m’ont aid´e et soutenu
tout au long de ce travail.
3
5. 5
Mod´elisation des ´ecoulements cavitant et v´erification des algorithmes
incompressible et cavitant `a partir d’une solution manufactur´ee
R´esum´e
Le ph´enom`ene de cavitation dans les machines hydrauliques est `a l’origine de probl`emes de chute
de performance, de vibration et d’instabilit´es de fonctionnement. Les propri´et´es des ´ecoulements
cavitants (diphasique, turbulent, instationnaire ), font partie de l’´etude num´erique et la mise en
place de codes de calculs efficaces. Dans les travaux du pr´esent stage, les ´ecoulements cavitants
sont reproduits `a l’aide d’un code industriel, Code Saturnee, et l’approche moyenn´ee RANS. Les
simulations 2D et 3D sont r´ealis´ees sur une g´eom´etrie de profil Venturi afin de pouvoir ´etudier la
poche de cavitation. Au col les r´esultats sont compar´es `a la fois avec les r´esultats exp´erimentaux
et les r´esultats des autres auteurs. Les effets tridimensionnels et de g´eom´etrie sont ´egalement
´etudi´es. Un comportement p´eriodique de la poche est observ´e dans le cadre de simulation 2D
tandis que la poche reproduite est quasi-stationnaire pour le calcul 3D, ce qui est proche des
r´esultats exp´erimentaux de Khlifa (2014).
Une ´etape de v´erification sur la nouvelle version du Code Saturne (version 4.0.4), est ´egalement
r´ealis´ee. Les algorithmes incompressibles et cavitants sont test´es, plusieurs maillages sont compar´es
et les r´esultats sont valid´es apr`es une comparaison avec les r´esultats analytiques et les r´esultats
de ˇZnidarˇciˇc (2016) sur un autre code.
Mots cl´es : Simulation num´erique, ´ecoulement cavitant, venturi, MMS
Cavitation modeling and algorithm verification by applying the
Method of Manufactured Solution
Abstract
Cavitation is the development of vapor structures in an originally liquid flow. It is known to
occur in a variety of fluid machinery including turbines, pumps and marine propellers. Severe
problems such as performance breakdown, noise, vibration, and erosion are often encountered in
practice when cavitation occurs. The focus of present work is targeted at simulation of cavitation
flows. The report starts with a brief presentation on Navier-Stokes equations and the filters apply
on LES modeling, which is followed by the cavtation definitation and main types of cavitation.
The objectives of third part are to pursue accurate numerical methods of unsteady cavitating
flows. The cavitating flows around a Venturi with the angle of attack 8◦
for two diffrent sigmas
are investigated. Good agreements are obtained between the 3D numerical predictions and the
experimental measurements, including the velocity and the cavity structures as well as the quasi-
stationary behavior of cavitating flows.
A step of code Verification by the Method of Manufactured Solutions (MMS) is also presented.
First, the method is applied to the Code Saturne to verify any coding mistake that affects the
order of accuracy and conduct a preliminary check of the performance of any numerical algorithm
applied to both fully incompressible and cavitation flows. Then, the analysis is ended with a
comparison step based on analytical results and numerical results of ˇZnidarˇciˇc et al. (2016).
Key words : Numerical simulation, cavitation flows, venturi, MMS
9. Table des figures
2.1 Une vue sch´ematique de l’op´erateur de s´eparation des ´echelles : les mailles et les
filtres th´eorique sont les mˆemes, ce qui donne un filtrage net ou coupure dans l’es-
pace de Fourier entre les ´echelles r´esolues et les ´echelles sous-maille. Le nombre
d’onde li´ee `a la s´eparation des ´echelles KC est directement li´ee `a la longueur
r´ef´erence ¯∆ [13]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.1 Diagramme de phase pour une substance simple comme de l’eau. La cavitation
se forme `a une temp´erature constante o`u l’´ebullition se produit `a une pression
constante [25]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Cavitation `a bulles s´epar´ees de l’´ecoulement sur un hydrofoil avec un grand angle
d’attaque [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Cavitation `a poche partielle sur un hydrofoil [20]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Cavitation de vortex g´en´er´e au bord d’attaque d’un hydrofoil. Exp´erience r´ealis´e
`a σ = 1.4 et un angle d’attaque de 7.5◦
par Higuchi, Rogers, and Arndt (1986) et
pr´esent´e par Brennen [24]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1 Notation des entit´es g´eom´etriques li´es `a face (i , j) [45]. . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1 Synth`ese d’une poche de cavitation dans une g´eom´etrie de type Venturi par Stutz
et Reboud [56][57] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Sch´ema g´en´eral du Venturi 8◦
utilis´e par Coutier-Delgosha et al. [61] . . . . . . . 41
5.3 Maillage 570 × 100 pour des calculs RANS 2D, zoom´e sur la section du col . . . . 41
5.4 Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression pour un σ = 2.8 43
5.5 Signal de pression `a l’entr´ee du domaine pour une dur´ee de 0.1 seconde . . . . . . 44
5.6 ´Evolution de la poche de cavitation au cours de 0.1s pour un σ = 2.8 : capture
prise 0.2 et 0.3 second respectivement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.7 FFT appliqu´ee au signal de pression d’entr´ee pour une simulation 2D de type RANS
avec un mod`ele de turbulence k − ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.8 ´Etude 3D : Maillage contenant 2 millions de cellules pour des calculs RANS 3D,
zoom´e sur la section du col . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
5.9 ´Etude 3D : Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression
pour un σ = 2 prises `a la paroi (gauche) et au milieu de domaine (droite) . . . . . 46
5.10 ´Etude 3D : Signal de pression `a l’entr´ee du domaine pour une dur´ee de 0.1 seconde 47
5.11 ´Etude 3D :Visualisation instantan´ee des poches de cavitation au cours de 0.1s pour
un σ = 2 : capture prise `a chaque 0.0005 second . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.12 ´Etude 3D : FFT appliqu´ee au signal de pression d’entr´ee pour une simulationde
type RANS k − ω SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.13 ´Etude 3D : Profils des vitesses longitudinales a diff´erents endroit de la poche, de
x = 1.3 mm `a x = 7.8 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
9
10. 10 TABLE DES FIGURES
5.14 Illustration du technique de recyclage dans lequel les donn´ees sont calcul´es `a partir
d’un plan int´erieur vers l’arri`ere `a l’entr´ee [64]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.15 ´Etude de convergence sur le calcul LES non-cavitant : capture de vitesse et de
pression aux diff´erents endroit au sein de l’´ecoulement . . . . . . . . . . . . . . . . 52
5.16 Visualisation moyenn´ee de vitesse longitudinale et de pression sur un plan g´en´eral
et un plan au col d’un calcul LES non-cavitant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
7.1 ´Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ´ecoulements incompressible. L’abscisse et
l’ordonn´ee repr´esentent respectivement le nombre de pas de temps et l’erreur estim´ee. 62
7.2 ´Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ´ecoulement cavitant sans terme source.
L’abscisse et l’ordonn´ee repr´esentent respectivement le nombre de pas de temps et
l’erreur estim´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
7.3 ´Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ´ecoulement cavitant sans terme source en
activant le mod`ele LES classique. L’abscisse et l’ordonn´ee repr´esentent respective-
ment le nombre de pas de temps et l’erreur estim´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7.4 ´Evolution de l’erreur E2 pour le cas des ´ecoulement cavitant avec terme source
en appliquant la p´eriodicit´e en direction X et Z et les conditions limites en Y.
L’abscisse et l’ordonn´ee repr´esentent respectivement le nombre de pas de temps et
l’erreur estim´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7.5 R´esultats de ˇZnidarˇciˇc et al. pour un cas de 17600 cellules. L’abscisse et l’or-
donn´ee repr´esentent respectivement le temps et les valeurs calcul´ees de la solution
num´erique et la solution analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.6 Comparaison les r´esultats num´eriques et la solution analytique pour la vitesse U et
pour diff´erentes points en appliquant une solution p´eriodique `a l’algorithme incom-
pressible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.7 Comparaison les r´esultats num´eriques et la solution analytique pour la vitesse U
et pour diff´erentes points en appliquant une solution p´eriodique `a l’algorithme de
cavitation sans terme source. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.8 Comparaison les r´esultats num´eriques et la solution analytique pour la vitesse U
et pour diff´erentes points en appliquant une solution p´eriodique `a l’algorithme de
cavitation sans terme source avec le mod`ele LES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.9 Comparaison les r´esultats num´eriques et la solution analytique pour la vitesse U
et pour diff´erentes points en appliquant une solution p´eriodique et des conditions
limites `a l’algorithme de cavitation avec terme source. . . . . . . . . . . . . . . . . 69
11. Chapitre 1
Introduction
Les travaux du pr´esent rapport s’inscrivent dans le cadre de l’´etude et de la mod´elisation des
´ecoulements cavitants et de la validation des d´eveloppements effectu´es r´ecemment dans la version
4.0.4 du Code Saturne. L’enjeu consiste ici `a faire la mod´elisation des ´ecoulements cavitants en
particulier `a l’aide de la simulation des grande ´echelles (LES) qui n’avait encore jamais ´et´e ef-
fectu´ee.
La cavitation est un changement de phase qui permet de passer de l’´etat liquide `a l’´etat va-
peur par une diminution de la pression sans aucun changement de temp´erature. En ´ecoulement
cavitant, le fluide est soumis `a des acc´el´erations locales et l’augmentation de vitesse engendre une
diminution de la pression statique qui peut causer la vaporisation. L’´ecoulement monophasique
se transforme donc en un ´ecoulement diphasique avec changement de phase, c’est-`a-dire avec des
transferts de masse, de quantit´e de mouvement et d’´energie entre les phases.
A l’heure actuelle, le contrˆole de la cavitation n’est pas encore assur´e, il apparaˆıt donc n´ecessaire
de poursuivre les recherches sur la cavitation afin de mieux comprendre ce ph´enom`ene et ainsi
fournir des outils et moyens capables de pr´edire le comportement des ´ecoulements cavitants. Ces
outils serviront ensuite `a am´eliorer la conception des ´equipements et le contrˆole des ´ecoulements.
Cette ´etude est partie int´egrante de cette d´emarche qui a ´et´e la motivation pour mieux connaˆıtre
le comportement de la cavitation. Elle se situe dans le cadre des travaux effectu´es au labora-
toire m´ecanique des fluides au sein d’Arts et M´etiers Lille tant d’un point de vue exp´erimental
[1][2][3] que num´erique [4][5][6] pour l’am´elioration de la compr´ehension et de la mod´elisation des
´ecoulements cavitants.
Premi`erement, r´esolution des ´equations de Navier-Stokes, `a partir d’une ´etude num´erique de
la turbulence sont ´ecrites. Les ´equations de conservation de la masse et la quantit´e de mouve-
ment seront rappel´es et puis une attention plus d´etaill´ee sera port´ee sur la simulation aux grandes
´echelles et sa fermeture.
Ind´ependamment de l’approche num´erique envisag´ee, la simulation et la mod´elisation des
´ecoulements cavitants seront confront´ees `a des difficult´es turbulence diphasique et num´erique.
Ces deux ´el´ements seront donc d´evelopp´es en d´etail pour le cas de la cavitation dans le chapitre
3 avec un accent sur l’´etude num´erique.
Le chapitre 4 d´etaille le code de calcul utilis´e avec une attention particuli`ere port´ee sur le
sch´ema num´erique du code. Le chapitre 5 est consacr´e `a la description des r´esultats obtenus en
11
12. 12 1. INTRODUCTION
deux parties :
— Une partie est consacr´ee aux r´esultats obtenus avec une simulation RANS en 2D et 3D.
— Une partie est r´eserv´ee aux simulations des grandes ´echelles.
Enfin une s´erie de tests est mise en place afin de v´erifier/valider les d´eveloppements sur la
version 4.0.4 du Code Saturne. Le chapitre 6 sera donc consacr´e `a la pr´esentation de v´erification
et la m´ethode des solutions manufactur´ees. Les r´esultats seront pr´esent´es dans le chapitre 7.
16. 16 2. ´ETUDE NUM ´ERIQUE DE LA TURBULENCE
Introduction
Dans ce chapitre, les ´equations de Navier-Stokes sont rappel´ees dans un premier temps. L’ap-
proche LES est ensuite pr´esent´ee ainsi que les ´equations filtr´ees r´esolues par le Code Saturne.
Enfin, les mod`eles de fermeture retenus dans le cadre de cette ´etude sont d´ecrits.
2.1 ´Equations de Navier-Stokes
Les ´equations de Navier-Stokes ont ´et´e ´etudi´es assez longuement dans les deux derni`eres
d´ecennies [7][8][9]. Ces ´equations peuvent ˆetre consid´er´ees comme une application de la deuxi`eme
loi de Newton 1
et elles traduisent la conservation de la masse totale, des esp`eces, de la quantit´e
de mouvement et de l’´energie et permettent de d´ecrire la convection, la diffusion et les r´eactions
chimiques au sein d’un ´ecoulement fluide.
2.1.1 ´Equations de conservation de la masse
La conservation de la masse exprime que chaque constituant contenu dans un volume est
conserv´e lorsque l’on suit le volume de contrˆole dans son mouvement [10]. La conservation de la
masse s’´ecrit donc :
∂ρ
∂t
+ div(ρu) = 0 (2.1)
L’´equation 2.2 pout ˆetre l´eg`erement g´en´eralis´e aux cas o`u un terme source de masse Γ existe :
∂ρ
∂t
+ div(ρu) = Γ (2.2)
Il faut garder dans l’esprit que Γ est pris en g´en´erale ´egal `a z´ero.
2.1.2 ´Equations de conservation de la quantit´e de mouvement
Le fluide exerce une force ext´erieure, mais il ´echange aussi de la quantit´e de mouvement avec
l’ext´erieur, de telle sorte que la somme des quantit´es de mouvement fluide et ext´erieur reste
constante [11]. L’´equation de bilan de la quantit´e de mouvement s’´ecrit :
∂
∂t
(ρu) + div(u ⊗ ρu) = div(σ) + ρg + STu − Ku + Γuin
(2.3)
O`u STu et Ku repr´esentent les termes sources explicites et implicites suppl´ementaires (perte
de charge, gravit´e, forces ´electromagn´etiques et ...).
1. F = m · a
17. 2.2. SIMULATION AUX GRANDES ´ECHELLES 17
2.2 Simulation aux Grandes ´Echelles
Avec l’am´elioration des capacit´es des machines `a calcul, l’utilisation de la LES 2
pour la si-
mulation d’´ecoulements turbulents r´eactifs devient de plus en plus accessible. Nous avons donc
choisi de focaliser nos travaux sur l’application d’un mod`ele de cavitation adapt´e `a la LES, par
cons´equent, les relations et mod`eles pr´esentes dans ce chapitre ont ´et´e ´ecrits au sens LES.
La simulation aux grandes ´echelles est un outil num´erique de l’application des ´equations de
la quantit´e de mouvement, spatialement filtr´ees, aux probl`emes de la turbulence `a haute nombre
de Reynolds, `a temps variable et ainsi qu’en trois dimensions [12]. Cet outil peut ˆetre ´egalement
appliqu´e `a tous les types d’´ecoulements turbulents (isotrope, sans cisaillement, tournant, com-
pressible, avec r´eaction chimique, multiphase etc.). LES est une technique extrˆemement puissante
consistant `a s´electionner les ´echelles et faire une s´eparation entre les grandes et les petites ´echelles.
Afin de d´efinir ces deux cat´egories, une longueur de r´ef´erence, ¯∆ doit d’abord ˆetre d´etermin´ee.
Les ´echelles d’une taille caract´eristique sup´erieure `a la longueur de r´ef´erence sont appel´ees grandes
´echelles et d’autres sont appel´es petites ´echelles ou ´echelle sous-maille 3
[13][14].
Figure 2.1 – Une vue sch´ematique de l’op´erateur de s´eparation des ´echelles : les mailles et les filtres th´eorique sont
les mˆemes, ce qui donne un filtrage net ou coupure dans l’espace de Fourier entre les ´echelles r´esolues et les ´echelles
sous-maille. Le nombre d’onde li´ee `a la s´eparation des ´echelles KC est directement li´ee `a la longueur r´ef´erence ¯∆
[13].
Cette op´eration de filtrage par un filtre passe-haut en ´echelle (et passe-bas en fr´equence) dans
l’espace spectral correspond `a un produit de convolution dans l’espace physique :
Ψ(X, t) =
1
∆
+∞
−∞
+∞
−∞
F
x − x
∆
, t − t Ψ(x , t )d3
x dt (2.4)
O`u F est le filtre qui poss`ede les propri´et´es de conservation des constantes, de lin´earit´e et de
commutativit´e avec les op´erateurs de d´erivation. Chaque variable est donc d´ecompos´ee en une
partie moyenn´ee ou filtr´ee (Ψ) et une partie non-r´esolue ou fluctuante (Ψ ) [15]. Contrairement
`a l’op´erateur de moyenne utilis´e en RANS, l’op´erateur de filtrage en LES perd sa projectivit´e
(Ψ = Ψ). De plus, l’application du filtre `a la partie non r´esolue ne donne plus z´ero (Ψ = 0). Le
filtrage au sens LES des ´equations de Navier-Stokes n’est donc pas strictement ´equivalent `a celui
2. Pour Large Eddy Simulation
3. Ou SGS pour subgrid scales
18. 18 2. ´ETUDE NUM ´ERIQUE DE LA TURBULENCE
en RANS, et des termes suppl´ementaires apparaissent. Le filtre de Favre 4
est introduit, pond´er´e
par la masse volumique, afin d’obtenir le mˆeme formalisme qu’en RANS.
2.3 Formulation des mod`eles LES
2.3.1 ´Equations filtr´ees ou moyenn´ees
L’approche LES consiste `a filtrer spatialement le champ u en utilisant un op´erateur d´esign´e
par ˜(.). L’application de ce dernier dans les ´equations de Navier-Stokes donne :
∂ρ
∂t
+ div(ρ˜u) = Γ
ρ∂˜u
∂t
+ ˜u · (ρ˜u) = − ˜P + div(2µSD
+ ρg − div(ρu u) + STu − K˜u + Γ(˜uin
− ˜u)
(2.5)
O`u ˜u prend en compte les fluctuations non-filtr´es.
2.3.2 D´ecomposition des termes Non-linears
L’´equation 2.5 fait intervenir des corr´elations doubles filtr´ees ((ρu u)) qu’on ne peut pas
exprimer explicitement `a partir des variables filtr´ees ˜u et ˜P.
Selon ce crit`ere, nous sommes donc oblig´es de reformuler l’´equation 2.5 de la mani`ere suivante :
∂ρ
∂t
+ div(ρ˜u) = Γ
ρ∂˜u
∂t
+ ˜u · (ρ˜u) = − ˜P + div(2µSD
+ ρg) − (ρ 2
˜u − · τ) + STu − K˜u + Γ(˜uin
− ˜u)
(2.6)
τ est le tenseur de sous-maille qui fait l’objet de la mod´elisation LES de la turbulence, et
lorsqu’on introduit la d´ecomposition de Leonard [15] dans la d´efinition de τ ,on trouve :
τ = C + R (2.7)
O`u C, le tenseur des tensions crois´ees, repr´esente les interactions entre les grandes et les petites
´echelles, et R, le tenseur de Reynolds, repr´esente les interactions entre les ´echelles sous-maille :
Cij = ˜uiuj + ui ˜uj (2.8)
Rij = uiuj (2.9)
4. C’est la d´ecomposition utilis´ee dans la mod´elisation des ´ecoulements turbulents de fluides compressibles. Celle-ci est consid´er´ee
pour toute grandeur physique fluctuant au sein de l’´ecoulement turbulent, autre que la masse volumique et la pression (quantit´es pour
lesquelles on utilise la d´ecomposition de Reynolds).
19. 2.3. FORMULATION DES MOD `ELES LES 19
Donc le tenseur de sous-maille s’´ecrit sous la forme suivante :
τij = Cij + Rij = uiuj − ˜ui ˜uj (2.10)
N´eanmoins le terme ˜ui ˜uj ne peut pas ˆetre directement calcul´e, car il n´ecessite une deuxi`eme
application du filtre. Pour arranger cela, Leonard [15] propose une nouvelle d´ecomposition :
˜ui ˜uj = (˜ui ˜uj − ˜ui ˜uj) + ˜ui ˜uj
= Lij + ˜ui ˜uj
Le nouveau terme, L, appel´e le tenseur de Leonard, repr´esente les interactions entre les grandes
´echelles. Grˆace `a cette nouvelle d´ecomposition, le tenseur de sous-maille, τ , prend la forme sui-
vante :
τij = Cij + Rij + Lij = uiuj − ˜ui ˜uj (2.11)
Il est `a noter que, si le filtre est un op´erateur de Reynolds, les tenseurs Cij et Lij sont identi-
quement z´ero et le tenseur sous-maille est r´eduit au tenseur de Reynolds, Rij.
2.3.3 Fermeture des ´equations
De plus, le tenseur sous-maille τij , repr´esente l’effet des petites ´echelles de vitesse sur les grandes
´echelles. La m´ethode que l’on utilise suppose que le transfert direct vers les ´echelles sous-mailles
(´energie transf´er´ee des grandes ´echelles vers les petites) peut ˆetre repr´esent´e par un terme de
diffusion faisant apparaˆıtre la viscosit´e sous-maille aussi appel´ee hypoth`ese de viscosit´e turbulente
(hypoth`ese de Boussinesq). Le transfert inverse, la cascade d’´energie transmise des petites ´echelles
vers les grandes ´echelles, est suppos´e n´egligeable.
τij = µt(
∂˜ui
∂xj
+
∂˜uj
∂xi
−
2
3
∂˜uk
∂xk
δij) −
2
3
ρkδij (2.12)
O`u µt est la viscosit´e dynamique turbulent et k est l’´energie cin´etique de turbulence.
Il existe ´egalement plusieurs mod`eles pour ´etablir la viscosit´e de sous-maille qui s’´ecrit :
τij = −2νsgs
˜Sij (2.13)
Avec νsgs la viscosit´e de sous-maille et ˜Sij est le tenseur des d´eformations filtr´e :
˜Sij =
1
2
(
∂ ˜Ui
∂xj
+
∂ ˜Uj
∂xi
) (2.14)
20. 20 2. ´ETUDE NUM ´ERIQUE DE LA TURBULENCE
2.3.4 Mod`ele de Smagorinsky
Il existe plusieurs mod`eles qui proposent une expression de νsgs. Le plus connu est le mod`ele
de Smagorinsky [16] qui est bas´e sur une hypoth`ese dans laquelle on consid`ere que la viscosit´e
sous-maille est proportionnelle `a une ´echelle de longueur associ´ee au filtrage des ´equations i.e.
la taille caract´eristique du maillage (∆) et ´egalement `a une ´echelle de vitesse d´etermin´ee par le
produit ∆ ˜S , o`u ˜S est la norme du tenseur des taux de d´eformations r´esolus d´efinie par :
˜S = 2 ˜Sij
˜Sij (2.15)
Pour finir, l’´ecriture du mod`ele de Smagorinsky se fait de la fa¸con suivante :
νsgs = (fµCs
˜∆)2 ˜S (2.16)
O`u Cs est une constante d´etermin´ee d’apr`es l’hypoth`ese d’´equilibre local entre production et
dissipation de l’´energie cin´etique turbulente et fµ est la fonction d’amortissement de Van Driest
[18] :
fµ(y) = 1 − exp(−y+
/25) (2.17)
Avec y+
= uτ y/ν et y la distance `a la paroi la plus proche.
Ce mod`ele est le plus ancien et le plus simple. Il sert encore souvent de mod`ele de r´ef´erence.
Cependant il pr´esente plusieurs inconv´enients [17] :
— la constante Cs n’est pas universelle, dans la pratique elle doit ˆetre adapt´ee au cas par cas
(dans le Code Saturne Cs = 0.065)
— il est trop dissipatif
— il ne s’annule pas `a la paroi
— il simule mal les r´egimes de transition laminaire-turbulent
— il ne peut pas simuler la cascade d’´energie inverse
2.3.5 Mod`ele dynamique de Germano
Le mod`ele de Germano [17] est une variante du mod`ele de Smagorinsky dans laquelle la
constante impliqu´ee dans le mod`ele est ´evalu´ee dynamiquement, en fonction de l’´ecoulement.
La constante n’est donc plus un coefficient du mod`ele et ce dernier est libre de toute calibration
empirique.
En utilisant le mod`ele dynamique, le mod`ele pour le tenseur de sous-maille peut s’´ecrire :
τij = −2Cd
˜∆
2
˜S ˜Sij (2.18)
Avec ˜S `a partir de l’´equation 2.15.
21. 2.3. FORMULATION DES MOD `ELES LES 21
Selon la proc´edure d’´evaluation dynamique des constantes introduite par Germano [17], la
constante Cd est calcul´ee de mani`ere suivante :
Tij = uiuj − ˆ˜ui
ˆ˜uj (2.19)
Avec (˜.) le filtrage LES de base et (ˆ.) le filtrage de test de la variable o`u Tij est le tenseur des
contraintes r´esiduelles `a l’´echelle du filtre du base. De la mˆeme mani`ere nous pouvons ´ecrire le
tenseur des contraintes r´esiduelles `a l’´echelle du test :
ˆτij = uiuj − ˜ui ˜uj (2.20)
Il est `a noter que, par d´efinition le tenseur turbulent des contraintes r´esolues s’´ecrit :
Lij = Tij − ˆτij (2.21)
De plus, Lij repr´esente la contribution `a l’´echelle sous maille de sorte que les ´echelles sont `a la
fois plus petites que le filtrage de test et plus grandes que le filtrage de base.
En utilisant ces d´efinition et `a l’aide de la proposition de Lilly [19]au sens des moindres carr´es
la solution s’´ecrit :
Cd =
1
2
LijMij
MijMij
(2.22)
avec
Mij = ˆ˜∆
2
ˆ˜S ˆ˜Sij − ˜∆2 ˜S ˜Sij (2.23)
2.3.6 Mod`ele WALE
Le mod`ele de WALE 5
est un mod`ele de viscosit´e de sous-maille construit principalement pour
reproduire le comportement asymptotique exacte de la tension de sous-maille de cisaillement, et ce
sans avoir recours `a une fonction d’amortissement empirique ni `a une proc´edure d’´evaluation dy-
namique des constantes. L’avantage de prendre en compte le tenseur de rotation est de rendre
le mod`ele invariant par translation ou rotation des coordonn´ees et d’ˆetre utilisable pour des
g´eom´etries plus complexes. Sa formulation est :
νsm = (Cw
˜∆)2
(sd
ijsd
ij)3/2
( ˜Sij
˜Sij)5/2 + (sd
ijsd
ij)5/4
(2.24)
5. Pour Wall Adapting Local Eddy-viscosity
22. 22 2. ´ETUDE NUM ´ERIQUE DE LA TURBULENCE
O`u la valeur propos´ee pour la constante Cw est Cw = 0.5 et
sd
ij = ˜Sik
˜Skj + ˜Ωik
˜Ωkj −
1
3
δij( ˜Smn
˜Smn − ˜Ωmn
˜Ωmn) (2.25)
avec
˜Ωij =
1
2
(
∂ ˜Ui
∂xj
−
∂ ˜Uj
∂xi
) (2.26)
24. 24 3. CAVITATION
3.1 Introduction
La cavitation est le d´eveloppement des structures de vapeur dans un flux initialement li-
quide g´en´eralement dues `a de grandes vitesses d’´ecoulement [20][21][22][23][26]. Contrairement
`a l’´ebullition, La cavitation se produit `a une temp´erature constante lorsque la pression de fluide
est inf´erieure `a la pression de vapeur [24][25].
Figure 3.1 – Diagramme de phase pour une substance simple comme de l’eau. La cavitation se forme `a une
temp´erature constante o`u l’´ebullition se produit `a une pression constante [25].
Ce ph´enom`ene se produit globalement dans les ´ecoulements autour des corps solides et il est
souvent associ´e `a des effets ind´esirables tels que le bruit, les vibrations, l’´erosion et la perte de
puissance.
L’importance de comprendre de cavitation est directement li´ee `a sa pr´esence dans une grande
vari´et´e d’applications telles que les buses, injecteurs, h´elices, les soupapes, les injecteurs, les pales
de propulseur et etc. Par exemple, dans le cas d’un Venturi, i.e. un conduit convergent suivi par
un divergent, la vitesse est maximale au niveau du col o`u la section est minimale, selon l’´equation
de Bernoulli, la pression est minimale et par cons´equent, le risque de cavitation est maximal.
Selon le principe de la thermodynamique, le changement de phase de l’´etat liquide `a la vapeur
se produit `a la pression de vapeur Pv qui ne d´epend que de la temp´erature. Consid´erer la pres-
sion de vapeur comme la pression critique de l’apparition de la cavitation peut ˆetre une bonne
approximation [26].
3.2 Principaux types de cavitation
Il existe une grande vari´et´e de types de cavitation et parmi eux, selon Jean-Pierre Franc [20],
Christopher Earls Brennen [24] et Yves Lecoffre [27], nous pr´esentons les types de cavitation les
plus connus :
3.2.1 Cavitation `a bulles s´epar´ees
Selon la d´efinition de Franc (2011), ce type de cavitation est li´e principalement `a la densit´e
de germes dans un ´ecoulement libre. Brennen (1995) d´eveloppe une expression premi`erement
pr´esent´ee par Parkin [28] et explique que le grossissement des bulles commence `a une taille mi-
cronique dans le flux entrant, elles se d´eplacent `a cˆot´e de la surface solide avec le mouvement de
25. 3.2. PRINCIPAUX TYPES DE CAVITATION 25
l’´ecoulement. La cavitation est consid´er´ee lorsque les bulles ont atteint une taille observable de
l’ordre de 1mm. Cependant, Lecoffre (1994) indique la pr´esence des germes dans liquide comme
une raison initiale de la production des bulles. La cavitation `a bulles s´epar´ees tend `a se d´egrader
lorsqu’on augmente la vitesse ou les dimensions de l’´ecoulement.
Figure 3.2 – Cavitation `a bulles s´epar´ees de l’´ecoulement sur un hydrofoil avec un grand angle d’attaque [20].
3.2.2 Cavitation par poches
La phase vapeur constitue une cavit´e unique, attach´ee au profil sur lequel elle se d´eveloppe.
Lorsque l’incidence d’un profil augmente, la cavitation `a bulles se transforme en cavitation `a poche,
jusqu’`a ce qu’au bord d’attaque sup´erieur `a 10◦
, il ne reste plus de bulles. Ce type de cavitation
est fortement li´ee au nombre de Reynolds et elle adopte un comportement plus ou moins instable,
en fonction de la nature et des conditions de l’´ecoulement. Qualitativement, la cavitation `a poche
peut prendre deux formes typiques : poche partielle et poche compl`ete.
Figure 3.3 – Cavitation `a poche partielle sur un hydrofoil [20].
3.2.3 Cavitation du m´elange
Selon Lecoffre (1994) ce type de cavitation est extrˆemement int´eressant en raison de sa com-
plexit´e. Cette cavitation apparait typiquement dans des couches de cisaillement entre un jet noy´e
et un liquide. Ceci est le r´esultat de l’effet combin´e de tous les param`etres caract´eristiques des
´ecoulements instationnaires, viscosit´e, teneur en germes, temps caract´eristiques. C’est le cas des
´ecoulements au travers d’orifices ou de vannes et aussi celui de jets propulsifs.
26. 26 3. CAVITATION
3.2.4 Cavitation de vortex
La cavitation de vortex se produit au cœur des tourbillons qui est une zone de forte d´epression.
Un vortex (ou tourbillon), qui peut ˆetre plus ou moins structur´e, se cr´ee par exemple aux extr´emit´es
de pales d’h´elices ou de pompes. Ils peuvent aussi se cr´eer en aval d’obstacles situ´es dans l’´ecoulement.
Figure 3.4 – Cavitation de vortex g´en´er´e au bord d’attaque d’un hydrofoil. Exp´erience r´ealis´e `a σ = 1.4 et un
angle d’attaque de 7.5◦
par Higuchi, Rogers, and Arndt (1986) et pr´esent´e par Brennen [24].
3.3 ´Etude num´erique de la cavitation
Avant d’entrer dans l’´etat de l’art de l’´etude num´erique, nous pr´esentons les nombres adimen-
sionnels appliqu´es dans une simulation num´erique de l’´ecoulement cavitant.
3.3.1 Fraction volumique de vapeur (taux de vide)
La fraction volumique de vapeur alpha se d´efinit localement comme le rapport des volumes
de l’´ecoulement occup´ees par la phase vapeur et le volume total de l’´ecoulement car sur le plan
num´erique, chaque cellule de maillage est suppos´ee contenir une partie de liquide et une partie
de vapeur. La r´epartition du liquide et de la vapeur dans cette derni`ere est connue `a l’´echelle
macroscopique par la d´efinition d’un taux de vide :
α =
Vv
V
=
ρ − ρl,sat(T)
ρv,sat(T) − ρl,sat(T)
(3.1)
O`u Vv d´esigne le volume occup´e par la phase vapeur et V pr´esente le volume total de la
maille. ρv,sat(T) et ρl,sat(T) sont les masses volumiques de saturation, qui ne d´ependent que de la
temp´erature T.
3.3.2 Nombre de Cavitation
Le degr´e de d´eveloppement de la cavitation est caract´eris´e par un param`etre adimensionnel, le
nombre de cavitation, sigma, d´efini par :
27. 3.4. MOD `ELES DE CAVITATION 27
σ =
Pref − Pv
1
2ρU2
(3.2)
Dans cette expression,Pref est la pression en amont de la cavitation et U est la vitesse ca-
ract´eristique prise `a un point de r´ef´erence dans l’´ecoulement.
Ce nombre caract´erise la probabilit´e que le ph´enom`ene de cavitation ait lieu au sein de l’´ecoulement
consid´er´e. Il est d´efini en utilisant comme r´ef´erence l’´energie cin´etique d’entrainement, et traduit
l’´ecart entre une pression qui caract´erise l’´ecoulement Pref , et la pression de vapeur saturant Pv(T).
La plupart des nombres adimensionnels ont la forme d’un rapport entre les diff´erentes forces, le
sigma de cavitation n’est pas un rapport de deux forces. Il permet seulement de situer la pression
en tout point par rapport `a la tension de vapeur. Il est donc remarquable que le sigma n’est pas
un param`etre pour comparer le niveau de cavitation et par cons´equent il n’est pas n´ecessaire que
la cavitation se produise pour qu’on puisse d´efinir le σ.
Un ´ecoulement sans cavitation correspond aux grandes valeurs du sigma. ´Etant donn´e que de
grandes valeurs du sigma correspondent g´en´eralement `a des valeurs ´elev´ees de la pression, on peut
simplement pr´edire que la pression est partout sup´erieure `a la pression de vapeur et l’´ecoulement
restera sans cavitation. La cavitation peut ˆetre atteinte soit par diminution de la pression de
r´ef´erence, soit en augmentation de la vitesse d’´ecoulement, les deux conduisant `a une diminution
du nombre de cavitation.
3.3.3 Nombre de Strouhal (St)
Le nombre de Strouhal d´efinit les m´ecanismes d’oscillation dans les ´ecoulements instationnaires.
Plus physiquement, il repr´esente le rapport du temps d’advection et du temps caract´eristique de
l’instationnarit´e. Pour les ´ecoulements cavitants, il est d´efini de la mani`ere suivante :
σ =
fl
U∞
(3.3)
O`u f repr´esente la fr´equence de s´eparation de la cavit´e, l est la longueur moyenne de la cavit´e,
et U∞ la vitesse caract´eristique de l’´ecoulement.
3.4 Mod`eles de cavitation
3.4.1 Mod`eles bas´es sur des ´equations d’´evolution de bulles
Ces mod`eles de cavitation, en g´en´eral, prennent en compte la naissance de la cavitation en
utilisant une formule empirique qui prend en compte les forces de portance, de traˆın´ee et d’inertie.
28. 28 3. CAVITATION
Cette m´ethode consid`ere une ou plusieurs bulles de gaz, dont le rayon varie dans le champ de
pression.
Le mod`ele le plus couramment utilis´e dans cette cat´egorie est le mod`ele de Rayleigh-Plesset
[29][30]. Il consid`ere que les bulles sont sph´eriques et le demeurent tout le temps de leur ´evolution.
ρ R ¨R +
3
2
˙R2
= [pv − p∞(t)] + pgo(
R0
R
)3k
−
2S
R
− 4µ
˙R
R
(3.4)
R et ¨R sont la premi`ere et seconde d´eriv´ee par rapport au temps du rayon de la bulle et R0 est
le rayon initial. Le premier terme, `a droite de l’´equation 3.4 repr´esente la disparition de la bulle.
Le deuxi`eme terme de droite est la contribution de gaz non-condensable.
3.4.2 Mod`eles `a deux fluides
Il s’agit des mod`eles `a deux phases, une phase liquide et une phase vapeur, et qui peuvent
contenir plusieurs esp`eces chimiques. Dans ce mod`ele les ´equations de Navier-Stokes sont ´ecrites
pour les phases pr´esentes. Pour les diff´erents cas, on obtient diff´erents nombre des ´equations `a
r´esoudre (6 ´equations utilis´ees dans le Code Neptune, 7 ´equation appliqu´ees par Saurel [35] pour
les probl`emes li´es `a super-cavitation), ce sont les ´equations de conservation de quantit´e de mouve-
ment, de la chaleur et de la conservation de la masse. ces mod`eles peuvent prendre explicitement
en compte les effets de d´es´equilibre entre les phases mais restent difficile `a utiliser en ´ecoulements
industriels (coˆuteux en r´esolution num´eriques).
3.4.3 Mod`eles `a un fluide
Mod`eles homog`ene
Ce mod`ele suppose que le fluide contient une seule phase homog`ene. Cette derni`ere est un
m´elange entre le liquide et la vapeur selon une certaine proportion (hypoth`ese de non glissement
entre les phases et hypoth`ese d’´egalit´e des vitesses). Le mod`ele consiste `a ´ecrire les ´equations de
Navier-Stokes pour un fluide du m´elange. Cette derni`ere est caract´eris´ee par sa masse volumique
qui varie dans le domaine de calcul. Quand la masse volumique est ´egale `a la valeur de celle du
liquide, alors la cellule est prise par le liquide. Le mˆeme raisonnement est applicable pour la phase
vapeur. Entre les deux valeurs extrˆemes la cellule est occup´ee par le m´elange homog`ene.
Fermeture du mod`ele
Il existe dans la litt´erature plusieurs types de fermeture diff´erents pour ce mod`ele : Loi baro-
trope sinuso¨ıdale [32][33], loi barotrope Schmidt [34], loi `a l’´equilibre de Saurel [35].
Parmi ces mod`eles, nous allons pr´esenter bri`evement la loi barotrope sinuso¨ıdale. Ce mod`ele
s’applique aux fluides non thermosensibles et repose sur plusieurs simplifications :
— La masse volumique de la phase liquide est constante et ´egale `a sa valeur `a saturation pour
la temp´erature de r´ef´erence
29. 3.4. MOD `ELES DE CAVITATION 29
— La masse volumique de la phase vapeur est bas´ee sur l’´equation d’´etat des gaz parfaits
— Les enthalpies de chacune des phases sont constantes et ´egales `a leur valeur `a saturation
pour la temp´erature de r´ef´erence
La loi barotrope sinuso¨ıdale a ´et´e initialement propos´e par Delannoy et Kueny [33] pour la
mod´elisation d’´ecoulements cavitants incompressibles, et d´evelopp´ee au cours de th`ese de O.
Coutier-Delgosha [32]. Elle donne une relation entre la masse volumique et la pression.
ρ =
ρL + ρV
2
+
ρL − ρV
2
sin(
P − Pvap
C2
min
2
ρL − ρV
) (3.5)
L’expression de la densit´e varie en fonction du d´es´equilibre ρL − ρV locale. La variation est
pilot´ee par la valeur de Cmin, qui repr´esente la vitesse du son minimale dans le m´elange.
Mod`eles `a transport de taux de vide
Ce mod`ele r´esout les ´equations de conservation de la masse et de la quantit´e de mouvement
pour le m´elange, l’´equation de l’´energie ainsi qu’une ´equation de transport d’une des phases. Le
terme source mod´elise les ph´enom`enes de vaporisation et de condensation. Le transport de taux
de vide ne traite pas explicitement les interfaces.
Il est `a noter que pour un fluide non thermosensible, les ph´enom`enes dynamiques et thermiques
sont s´epar´ees et par cons´equent, l’´equation de l’´energie n’est donc pas n´ecessaire.
Fermeture du mod`ele dans le m´elange
Dans ce cas une troisi`eme ´equation, coupl´ee avec les ´equations de conservation de la masse et
de la quantit´e de mouvement est ajout´ee, dont le terme source S mod´elise l’´echange de masse entre
les phases. Il existe une multitude de mod´elisation de ce terme pour fermer le syst`eme d’´equations.
Model de Merkle (1998)
Un des premiers mod`eles utilisant l’´equation de conservation de la fraction massique de la
phase vapeur afin de repr´esenter la cavitation est celui de Merkle [36]. Le mod`ele de Merkle est
tr`es utilis´e depuis ces dizaines ann´ees, en raison de sa flexibilit´e et de sa capacit´e `a reproduire
l’instationnarit´e de l’´ecoulement :
∂xv
∂t
+ um,j
∂xv
∂xj
= −
xv
τl
(3.6)
avec
αρv = xvρm et αρl = xlρm (3.7)
et
αρl = xlρm (3.8)
30. 30 3. CAVITATION
Et le terme source est d´efini par :
1
τv
=
0 if pm < Pvap
−(n + 1)/2 if pm > Pvap
τl sera d´efini de la mˆeme fa¸con pour la condensation. τref = Lref /Uref est le temps ca-
ract´eristique de l’´ecoulement, k une constante fix´ee empiriquement, k 10−3
. Le terme q est
pos´e comme une pression dynamique de r´ef´erence, q = 0.5ρmU2
ref .
Mod`ele de Merkle (2006)
Dans ce mod`ele, les termes sources de vaporisation et de condensation ont pour expression [37] :
˙m−
= −kv
ρvαl
t∞
min 1, max
(pv − p)
Kppv
, 0
˙m+
= kl
ρvαv
t∞
min 1, max
(pv − p)
Kppv
, 0
(3.9)
Influence des param`etres kv, kp et kl est remarquable sur le contrˆole de changement des phases.
Comme Merkle (2006) l’a cit´e, le coefficient kp doit ˆetre aussi faible que possible afin que les
constantes K deviennent les seuls principaux param`etres qui contrˆolent les changements de phase.
Dans le cadre d’un exemple pour un cylindre axisym´etrique et un nombre de Reynolds sup´erieur
`a 105
, les constants kv, kv/kl et kp ont ´et´e pris 100, 15 et 0.02 respectivement.
Mod`ele de Kunz (2000)
Le mod`ele de Kunz [38] utilise d’une ´equation de transport de la fraction volumique de liquide
et consiste `a subdiviser le terme source en un terme li´e `a la vaporisation et un autre li´e `a la
condensation qui peuvent ˆetre op´erationnels en mˆeme temps :
˙m−
=
Cdestρvαl min[0, p − pv]
1
2
ρlU2
∞
˙m+
=
Cprodρv(αl − αng)2
(1 − αl − αng)
t∞
(3.10)
Dans ce mod`ele, Cdest et Cprod sont des constantes empiriques (ici Cdest = 100 et, Cprod = 100).
αng apparaˆıt dans le terme de production pour faire respecter et forcer ˙m → 0 comme αv → 0.
31. 3.4. MOD `ELES DE CAVITATION 31
Mod`ele de cavitation interfaciale dynamique (mod`ele de Senocak et Shyy 2004)
En se basant initialement sur le mod`ele de Kunz, Senocak et Shyy [39][40] ont d´evelopp´e un
mod`ele de cavitation interfaciale dynamique qui tente d’´eliminer des constantes empiriques et qui
fait intervenir les transferts de masse et de moment `a l’interface.
˙m−
=
ρl min(p − pv, 0)αl
ρv(UV,n − UI,n)2(ρl − ρv)t∞
˙m+
=
max(p − pv, 0)(1 − αl)
(UV,n − UI,n)2(ρl − ρv)t∞
(3.11)
L’´echelle de temps t∞ est calcul´ee en fonction d’une longueur caract´eristique et d’une vitesse
de r´ef´erence. Ils ont pour cela l’id´ee d’introduire la vitesse normale `a l’interface qui est le produit
scalaire de la vitesse et du vecteur normal.
n =
αl
| αl|
UV,n = ˜u · n (3.12)
Le calcul de la vitesse `a l’interface n´ecessite de localiser sa position pour les cas qui d´ependent
du temps et donc des m´ethodes suppl´ementaires sont indispensable pour suivre le mouvement de
l’interface. Pour cela, la vitesse d’interface est estim´ee sur la base d’une approche simplifi´ee, en
utilisant l’´etat de conservation de la masse en calculant le gradient de la fraction volumique de
phase vapeur.
Modele de Saito (2003)
Le mod`ele de Saito [41] applique une ´equation de conservation de la masse de vapeur, en plus
des ´equations de conservation d’un m´elange homog`ene. Le syst`eme est ferm´e par la mod´elisation
du terme source ainsi que par une loi d’´etat du m´elange. Cette derni`ere est donn´ee `a partir des
lois d’´etats de chaque phase. Elle s’´ecrit :
ρ =
P(P + Pc)
K(1 − Y )p(T − T0) + RY (P + Pc)T
(3.13)
O`u T0, Pc et K sont des constantes du liquide et R la constante des gaz parfaites.
Le terme source de transfert de masse est proportionnel `a la diff´erence de pression Pvap − P,
ainsi qu’`a l’inverse de la racine carr´ee de la temp´erature de saturation :
32. 32 3. CAVITATION
˙m+
= CeAα(1 − α)(
ρl
ρv
)
P∗
v − P
√
2πRTs
if p < Pv
˙m−
= CsAα(1 − α)
P∗
v − P
√
2πRTs
else
(3.14)
o`u Ts est la temp´erature de saturation et A = Caα(1 − α) est un param`etre qui repr´esente la
taille de la surface d’´echange entre les deux phases. La pression de vapeur est calcul´ee en fonction
de la temp´erature selon la formule empirique suivante pour l’eau froide et les constantes Ca, Cs
et Ce sont fix´ees par l’utilisateur.
p∗
v = 22.13×106
exp 1−
647.31
T
(7.21379+(1.152×10−5
−4.787×10−9
T)(T −483.16)2
) (3.15)
Mod`ele de cavitation impl´ement´e dans Code Saturne
Principe du minimum et maximum sur le taux de vide
Le mod`ele utilis´e dans le code est le mod`ele initialement propos´e par Mekle [36]. Ce mod`ele
a ´et´e ´etudi´e de fa¸con th´ematique durant la th`ese de R. Chebli [42] en v´erifiant le principe du
minimum et maximum sur le taux de vide. Chebli a mont´e qu’un terme multiplicatif (α(1 − α))
peut ˆetre extrait du terme source de cavitation issu du mod`ele physique afin de r´ealiser l’´equilibre
entre les deux termes mod´elisant la vaporisation et la condensation et garder les variations du
taux de vide dans une plage physique (entre 0 et 1).
˙m−
= −
Cdestρvα(1 − α) max[0, p − pv]
1
2
ρlU2
∞t∞
˙m+
= −
Cprodρlα(1 − α) min[0, p − pv]
1
2
ρlU2
∞t∞
(3.16)
Une limitation artificielle est alors n´ecessaire si l’on veut respecter ces valeurs physiques. Ce-
pendant, cette limitation influence la conservation de la masse globale car les termes ˙m+
et ˙m−
interviennent directement dans la r´esolution des diff´erentes ´equations du syst`eme (notamment
l’´equation de la correction de la pression et du transport du taux de vide).
34. 34 4. CODE SATURN
4.1 Introduction
Code Saturne est un code de m´ecanique des fluides open source, bas´e sur l’approche volumes
finis et d´evelopp´e par EDF R&D [42][45][46][47][48]. Il fonctionne aussi bien sur les maillages struc-
tur´es que les maillages non structur´es, ce qui s’av`ere tr`es utile dans les simulations en g´eom´etrie
complexe. A l’origine destin´e `a des ´etudes men´ees dans le domaine du nucl´eaire, il comporte
maintenant plusieurs modules distincts notamment grˆace `a des fonctionnalit´es de suivi lagrangien
de particules, de d´eformation de maillage (bas´ee sur une m´ethode ALE), de couplage thermique
fluide/solide, module atmosph´erique, module compressible, module de combustion des gaz, . . .
La description d´etaill´ee des m´ethodes num´eriques utilis´ees dans le logiciel est disponible dans
la documentation th´eorique du code (www.code-saturne.org/documentation). Quelques ´el´ements
de description sont ´egalement repr´esent´es ci-dessous.
4.2 L’approche volumes finis
La m´ethode des Volumes Finis consiste `a int´egrer, sur des volumes ´el´ementaires, les ´equations
´ecrites sous forme int´egrale [49]. Les int´egrales ne portent pas sur tout le domaine dans lequel
sont pos´ees les ´equations, mais sur des cellules disjointes appel´ees volumes de contrˆoles. C’est
une m´ethode particuli`erement bien adapt´ee `a la discr´etisation spatiale des lois de conservation,
contrairement aux El´ements Finis. Cette approche a certains avantages en m´ecanique des fluides,
notamment en raison de l’existence de quantit´es conserv´ees par les ´equations. De plus, la m´ethode
des Volumes Finis permet d’utiliser des volumes de forme quelconque et donc de traiter des
g´eom´etries complexes, contrairement aux Diff´erences Finies. De nombreux codes de simulation
num´erique en m´ecanique des fluides reposent sur cette m´ethode : Fluent, StarCD, CFX, Fine-
Turbo, etc. Un revue sur des approches num´eriques en g´en´erale et les volumes finis en particulier
est pr´esent´e par Goncalv`es [49]. On prend ici une partie de cette ´etude afin de mieux comprendre
la d´emarche des volumes finis.
4.2.1 Principe de l’approche volumes finis : Volumes Finis pour une loi de conser-
vation
Consid´erons une loi de conservation d’une grandeur physique w dans une maille de volume Ω-
, faisant intervenir un flux F(w) et un terme source S(w). Son expression sous forme int´egrale est :
∂
∂t Ω
wdΩ +
Ω
divF(w)dΩ =
Ω
S(w)dΩ (4.1)
Appelons Σ la surface de la maille, de normale ext´erieure n. Le th´eor`eme d’Ostrogradski [50]
conduit `a :
∂
∂t Ω
wdΩ +
Σ
F · ndΣ =
Ω
SdΩ (4.2)
35. 4.2. L’APPROCHE VOLUMES FINIS 35
L’int´egrale
Σ
F · ndΣ repr´esente la somme des flux `a travers chaque face de la maille. Le flux
est suppos´e constant sur chaque face, l’int´egrale se ram`ene `a une somme discr`ete sur chaque face
de la maille. Il vient :
Σ
F · ndΣ =
faces
Fface · nfaceΣface (4.3)
La quantit´e Fface = F(wface) est une approximation du flux F sur une face de la maille, c’est
le flux num´erique sur la face consid´er´e.
La discr´etisation spatiale revient `a calculer le bilan des flux sur une maille ´el´ementaire. Ce bilan
comprend la somme des contributions ´evalu´ees sur chaque face de la maille. La mani`ere dont on
approche les flux num´eriques en fonction de l’inconnue discr`ete d´etermine le sch´ema num´erique.
L’´ecriture du sch´ema num´erique peut ´egalement utiliser des inconnues auxiliaires, par exemple le
gradient de l’inconnue par maille.
Explicitons maintenant le terme de d´eriv´ee temporelle. Un ´el´ement fondamental de la discr´etisation
en Volumes Finis est de supposer que la grandeur w est constante dans chaque maille et ´egale `a
une valeur approch´ee de sa moyenne sur la maille ou bien `a sa valeur au centre de la maille.
D’autre part, le terme de d´erivation en temps est ´evalu´e au moyen d’une m´ethode num´erique
d’int´egration d’´equation diff´erentielle (Runge-Kutta, Euler explicite ou implicite...) et fait inter-
venir un pas de temps d’int´egration ∆t. Ce dernier peut ˆetre constant ou variable. Pour fixer les
id´ees, on ´ecrira la formulation avec une m´ethode d’Euler explicite. Notons ∆w l’incr´ement de la
grandeur w entre deux it´erations temporelles successives. On peut ainsi ´ecrire :
∂
∂t Ω
wdΩ = Ω
dw
dt maille
= Ω
∆w
∆t
(4.4)
Finalement la loi de conservation discr´etis´ee avec la m´ethode des Volumes Finis peut s’´ecrire :
Ω
∆w
∆t
+
facesdelamaille
Fface · nfaceΣface = ΩS (4.5)
La m´ethodes des Volumes Finis consiste donc `a :
— D´ecomposer la g´eom´etrie en mailles ´el´ementaires (´elaborer un maillage)
— Initialiser la grandeur w sur le domaine de calcul
— Lancer le processus d’int´egration temporelle jusqu’`a convergence avec :
1. Calcul du bilan de flux par maille par un sch´ema num´erique
2. Calcul du terme source
36. 36 4. CODE SATURN
3. Calcul de l’incr´ement temporel par une m´ethode num´erique d’int´egration
4. Application des conditions aux limites
4.3 Sch´emas num´eriques de Code Saturne
4.3.1 Algorithme SIMPLEC
Pour la discr´etisation temporelle, Code Saturne utilise un algorithme `a pas fractionnaire SIM-
PLEC 1
[45][51]. Chaque composante de vitesse et la pression sont r´esolues de mani`ere d´ecoupl´ee.
La contrainte de continuit´e est assur´ee suivant une proc´edure pr´ediction-correction : la pr´ediction
de la vitesse par l’´equation de quantit´e de mouvement, la r´esolution de la pression `a l’aide de la
correction de la vitesse par le crit`ere de continuit´e (divergence nulle du flux de masse) et enfin la
mise `a jour de la vitesse par le bon incr´ement de pression.
Pr´ediction
Consid´erons le passage du pas de temps n au pas de temps n + 1, la premi`ere ´etape consiste
donc `a pr´edire une vitesse, not´ee ˜u(n+θ)
, par la r´esolution semi-implicite de l’´equation de quantit´e
de mouvement.
Cette pr´ediction est donc obtenue en r´esolvant le syst`eme suivant `a cette ´etape :
ρ
˜u(n+1)
− ˜u(n)
∆t
+ div(˜u(n+θ)
⊗ (ρu(n)
)) − div(µtotgrad˜u(n+θ)
) − B(n)
˜u(n+θ)
= −gradP(n+θ−1)
+ A(n+θS)
(4.6)
avec
A = div(µt
totgradu) − div(ρR) + S
˜u(n+θ)
= θ˜u(n+1)
+ (1 − θ)u(n)
(4.7)
La valeur de θ d´efinit le θ-sch´ema que l’on utilise pour la discr´etisation en temps. En LES
θ = 1
2
, on parle alors de discr´etisation du type Crank-Nicolson et en RANS θ = 0 ce qui d´efinit
un sch´ema du type Euler implicite [52][53]. Pour le sch´ema de second d’ordre, le pas de temps est
suppos´ee constant.
Les termes source de A sont extrapol´es en LES et le terme Bu d´efinit la partie implicite. θS
d´efinit une discr´etisation du type Adams-Bashforth [54].
Correction
L’´etape suivante permet la r´esolution de l’´equilibre du bilan de quantit´e de mouvement avec la
correction de la vitesse :
ρ(δu)(n+1)
≈ −∆grad(δP)(n+1)
(4.8)
1. Pour Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations Corrected
37. 4.3. SCH ´EMAS NUM ´ERIQUES DE CODE SATURNE 37
avec
(δP)(n+1) def
= P(n+1)
− P(n)
(4.9)
Si on consid`ere maintenant la divergence de chacun des membres de l’´equation 4.9, la condition
de continuit´e est prise en compte et on r´esout finalement `a l’´etape de correction :
div(∆tgrad(δP)(n+1)
) = div(ρ(δu)(n+1)
) (4.10)
Ce qui nous permet de calculerP(n+1)
en respectant le crit`ere d’incompressibilit´e donc la diver-
gence nulle de la vitesse.
4.3.2 Discr´etisation spatiale
La discr´etisation spatiale est de type volumes finis colocalis´es (vitesse, pression et tous les sca-
laires r´esolus aux mˆemes noeuds de maillage). La valeur discr`ete φi de la variable φ au centre de
gravit´e, not´e I, d’une maille Ωi repr´esente :
φi =
1
Ωi Ωi
φdv (4.11)
La face commune aux cellules Ωi et Ωj est not´ee Fij , de centre de gravit´e F. La valeur discr`ete
φij de φ en F est une approximation de :
φij =
1
|Fi| Fij
φdσ (4.12)
Figure 4.1 – Notation des entit´es g´eom´etriques li´es `a face (i , j) [45].
38. 38 4. CODE SATURN
D’apr`es le figure 4.1, les autres entit´es g´eom´etriques impliqu´ees dans les sch´emas de discr´etisation
sont O l’intersection entre la droite (IJ) et la face Fij et I (J ) le projet´e de I (J) sur la normale
`a Fij. Cette normale est port´ee par le vecteur unitaire nij ext´erieure `a Ωj.
Pr´ediction
En utilisant le th´eor`eme de la divergence, la discr´etisation spatiale de l’´equation de pr´ediction
4.13 peut s’´ecrire :
|Ωi|
∆t
(ρ˜u
(n+1)
i − ρu
(n)
i ) +
j∈i
˜u
(n+θ)
ij (ρu · n)
(n)
ij |Fij| −
j∈i
(µtotgrad˜u · n)
(n+∆)
ij |Fij|
= −|Ωi|Gi(P)(n+∆−1)
+ |Ωi|A
(n)
i + |Ωi|B(n)
· ˜u
(n+∆)
i
(4.13)
Le d´etail de calcul des gradients avec une attention particuli`ere se trouve dans la th´eorie de
Code Saturne [55].
Plusieurs sch´emas sont disponibles pour l’approximation de la valeur discr`ete φij au centre des
faces :
Upwind (sch´ema du premier ordre)
Le sch´ema upwind (ou decentr´e amont) est le sch´ema le plus simple qui assure stabilit´e, mo-
notonie et convergence :
φUpwind
ij = γijφi + (1 − γij)φj (4.14)
avec
γij) =
1 if (ρu · n)
(n)
ij > 0
0 else
Le flux de masse, (ρu · n)
(n)
ij , est connu `a l’issue de l’´etape de correction (non d´etaill´ee ici) du
pas de temps pr´ec´edent.
Centr´e (sch´ema du deuxi`eme ordre)
φCentered
ij = Lij(φ) (4.15)
Avec Lij l’op´erateur d’interpolation au centre des faces (interpolation du deuxi`eme ordre).
40. 40 5. SIMULATION NUM ´ERIQUE DES ´ECOULEMENTS CAVITANT : R ´ESULTAT ET DISCUSSION
5.1 G´eom´etrie ´etudi´ee : Venturi 8◦
Dans le cadre de ce rapport, une g´eom´etrie de type Venturi, avec un angle de divergence apr`es
le col de 8◦
, a ´et´e ´etudi´ee. Dans ce chapitre, nous pr´esentons bri`evement les travaux exp´erimentaux
et num´eriques d´ej`a r´ealis´es sur cette g´eom´etrie. Puis nous donnons les informations g´en´erales qui
constituent la base des simulations num´eriques r´ealis´ees.
Le d´eveloppement de la cavitation sur des g´eom´etries de Venturi est le th`eme de nombreuses
campagnes exp´erimentales qui s’int´eressent plus particuli`erement au ph´enom`ene de cavitation
partielle [43]. D’une part, ce type de g´eom´etrie facilite l’instrumentation et la compr´ehension des
m´ecanismes li´es au d´eveloppement de la cavitation ; d’autre part la forme du divergent permet de
reproduire les champs de pression existant sur les profils d’aubes.
Cette g´eom´etrie a ´et´e premi`erement ´etudi´ee au Laboratoire des ´Ecoulements G´eophysiques et
Industriels par Stutz et Reboud [56][57] et puis d´evelopp´e par Aeschlimann [58] durant sa th`ese.
Stutz et Reboud [56][57] ont exp´erimentalement d´efinis diff´erents points afin d’expliquer le
comportement de cavitation au sein de poche.
Figure 5.1 – Synth`ese d’une poche de cavitation dans une g´eom´etrie de type Venturi par Stutz et Reboud [56][57]
La partie amont de la poche est repr´esent´e par une caract`ere diphasique (1) o`u la croissance
des bulles est limit´ee par des effets thermiques et m´ecaniques. La partie (2) montre un fort taux
de vapeur, la condensation de la vapeur est montr´e par la zone (3). La s´eparation est visible `a
l’int´erieur de la poche (4) (pr´esence du jet rentrant). Une partie de cisaillement (5) est observ´e
due `a une d´epression locale et enfin le sillage de la poche qui se continue loin en aval (6).
Dular et al. [2] ont r´ealis´es une s´erie d’essai sur cette g´eom´etrie et ont montr´es que la formation
de vapeur peuvent ˆetre influenc´es par divers param`etres tels que les effets d’´echelle et le rapport
d’aspect et qui peuvent avoir de multiples influences sur la dynamique de la poche comme la
cr´eation d’un jet lat´eral dans le cas des larges Venturi.
Coutier-Delgosha et al. [23] ont montr´e que le comportement instable des ´ecoulements cavitant
d´epend fortement du mod`ele de turbulence. Leur mod`ele propos´e, pr´esente une bonne efficacit´e
pour simuler les comportements instables de cavitation sur un Venturi 8◦
.
Coutier-Delgosha et al. [60] ont fait des simulations num´eriques de type RANS sur le venturi
8◦
avec 4 diff´erents mod`eles. D’apr`es ces calculs num´eriques, ils ont d´eclar´es l’importance de la
compressibilit´e du fluide sur la structure de turbulence, ce qui doit ˆetre prise en compte pour
41. 5.2. CAS RANS 2D 41
simuler les ´ecoulements cavitant.
Figure 5.2 – Sch´ema g´en´eral du Venturi 8◦
utilis´e par Coutier-Delgosha et al. [61]
Cette g´eom´etrie se caract´erise par un angle de fermeture avant le col de 18◦
et un angle d’ouver-
ture apr`es le col de 8◦
. Pour notre cas, la longueur de corde est de 0.1272 m et la section d’entr´ee est
S = 4×5mm2
. Les dimensions sont similaires `a celles utilis´ees par Khlifa [59] durant sa th`ese dont
les essais avaient permis de comparer les r´esultats num´eriques et exp´erimentaux de cette g´eom´etrie.
5.2 Cas RANS 2D
5.2.1 Maillage ´etudi´e
Plusieurs maillages ont ´et´e g´en´er´es et utilis´es pour un cas 2D. Un maillage contenant 10000
cellules a ´et´e utilis´e avec succ`es dans le cadre de l’´etude de Chebli [42]. Pour nos calculs, nous
avons pr´ef´er´e un maillage encore plus fin (figure 5.3) dans la direction X avec 570 nombre de
cellules et 100 nombre de cellules dans la direction Y.
Figure 5.3 – Maillage 570 × 100 pour des calculs RANS 2D, zoom´e sur la section du col
5.2.2 Conditions de calculs num´eriques
Avec le Code Saturne les calculs ont ´et´e effectu´es avec plusieurs mod`eles de turbulence (k − ε,
k − ε LP, Rij − ε LLR, K − ω SST, Spalart et Allmaras, ...). Pour la simulation RANS, la version
SST du mod`ele K − ω a ´et´e prise en compte et appliqu´ee pour nos simulation. Ce mod`ele a
´et´e r´ecemment utilis´e et puis valid´e dans les travaux de Chebli [42]. Le but de l’utilisation de
42. 42 5. SIMULATION NUM ´ERIQUE DES ´ECOULEMENTS CAVITANT : R ´ESULTAT ET DISCUSSION
ce mod`ele est d’un cˆot´e avoir un cas valide pour la base de notre ´etude et l’autre v´erifier si ce
mod`ele apporte une am´elioration significative sur le comportement instationnaire de la poche de
cavitation. Ceci sera v´erifi´e en comparant avec les ´etudes des diff´erents ´equipes. Les conditions
aux limites sont fix´ees de la fa¸con suivante :
— A la paroi, une condition de glissement est appliqu´ee
— A l’entr´ee la vitesse est impos´ee Ventree = 6.3m/s
— A l’entr´ee l’intensit´e de turbulence est impos´e 1 %
— A la sortie la pression statique est calcul´ee apr`es une valeur de σ fix´e
Le point de fonctionnement qui sert de r´ef´erence aux ´etudes 2D est identique `a celui fix´e par
Khlifa [59] et est r´esum´e dans le tableau 5.1. il est noter que la pression n’a pas ´et´e mesur´ee
pendant la compagne exp´erimentale donc on l’a fix´ee selon les donn´ees de Chebli [42]
Uentree
(m/s)
Psortie
(Pa)
σsortie Tref (K) Reref
6.3 57 566 2.80 293.15 27 972
Table 5.1 – Point de fonctionnement du Venturi 8◦
5.2.3 Analyse qualitative de la simulation 2D
Un calcul est pr´esent´e pour lequel les conditions physiques sont r´esum´ees ci-dessus. Ce calcul
`a nombre de cavitation σ = 2.8 est ´etudi´e. Les comparaisons entre ce calcul et l’exp´erience sont
men´ees `a partir des donn´ees moyenn´ees en temps. Les profils moyenn´ees de taux de vide, de vitesse
longitudinale et de pression sont regroup´es sur la figure 5.4 pour le cas de mesure. Cette figure offre
un premier aper¸cu de la taille de poche, la vitesse et la pression au col, en repr´esentant les valeurs
moyenn´ees. La poche de cavitation obtenue est en diff´erence avec le comportement exp´erimental,
la quantit´e maximale de la production de vapeur se d´eveloppe au d´ebut de la zone de divergence
sachant que les r´esultats exp´erimentaux montrent une quantit´e maximale au col.
Les visualisations instantan´ees de figure 5.6 sont approfondies en repr´esentant la dynamique
des diff´erentes poches au cours d’une p´eriode t ≈ 0.1 s qui correspond `a la dur´ee d’un certain
nombre de cycle. Chaque cycle est repr´esent´e par des pics de pression ce qui adopte un comporte-
ment cavitant fortement instationnaire (figure 5.5 et figure 5.6). Pour la premi`ere image la poche
de cavitation atteint un volume maximal (t = 0.2s), en avan¸cant dans le temps la production de
vapeur disparaˆıt sous l’effet de la pression `a t ∼= 0.23s (quatri`eme image), apr`es ˆetre pass´e par les
zones de plus haute pression la poche r´eapparaˆıt une deuxi`eme fois (t = 0.27s) et puis elle arrive `a
sa taille maximum `a la fin de cycle. La p´eriodicit´e de la poche peut ˆetre expliquer par l’existence
d’un jet rentrant. En effet, ce type de jet coupe la phase de vapeur et d´etache la partie arri`ere de
la poche.
L’analyse fr´equentielle `a l’aide d’une FFT 1
du volume de vapeur permet d’obtenir la fr´equence
des lˆachers de nuage de vapeur. Exp´erimentalement, l’analyse du signal de pression en aval met en
´evidence l’existence d’une fr´equence caract´eristique autour de 450-500 Hz [44]. Dans le cas pr´esent,
notre calcul `a σ = 2.8 fournit une fr´equence de 470 Hz (figure 5.7). La longueur moyenne estim´ee
1. pour Fast Fourier Transform
43. 5.3. CAS RANS 3D 43
Figure 5.4 – Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression pour un σ = 2.8
de la poche est de 4.76 mm (figure 5.4) et avec cette fr´equence d’oscillation calcul´ee le Strouhal
obtenu est de 0.355 ce qui est confirm´e avec les donn´es exp´erimentaux.
5.3 Cas RANS 3D
5.3.1 G´en´eralit´e et Maillage
Les ´ecoulements 3D font apparaˆıtre des instationnarit´es li´ees `a la troisi`eme dimension, celles-ci
se d´eveloppent par effets de bord et viennent renforcer les instabilit´es de la poche de cavitation.
Afin d’analyser ces effets intervenant dans le calcul de la cavitation et puis avoir un r´esultat de
base pour le cas LES, une s´erie de test est mis en place sur une configuration 3D et les r´esultats
sont compar´es `a la base de donn´ees exp´erimentales mesur´ees par Khlifa [59]. Le Venturi 8◦
est
´egalement prise pour r´ealiser les simulations num´eriques en raison des r´esultats exp´erimentaux
disponibles et les mˆemes calculs r´ealis´es sur le cas 2D. Le mod`ele de turbulence choisi pour ce
calcul est de nouveau le mod`ele k − ω SST. En revanche dans le cadre des ´ecoulements 3D, il
est recommand´e de s’int´eresser aux effets du niveau de r´esolution de la turbulence sur la dyna-
mique de l’´ecoulement. En cela, les mod`eles de turbulence pr´ec´edemment test´es parmi diff´erent
auteurs,mod`ele de k − ε LP [42] ou mod`ele de type SAS [43], peuvent ˆetre propos´es.
Les simulations sont effectu´ees `a partir de la g´eom´etrie 2D d´evelopp´ee en larguer sur 50 nœuds.
Le maillage retenu est donc un maillage structur´e contenant 2 millions d’´el´ements dont ≈ 1 mil-
lions dans la zone de cavitation (figure 5.8).
5.3.2 Discussion sur le nombre de cavitation pour un cas 3D
Le cas 3D g´en`ere une d´epression beaucoup moins marqu´ee au col, ce qui cause un faible taux
de cavitation en appliquant la mˆeme valeur de sigma que le cas 2D, i.e. σ = 2.8. Par cons´equent,
on est oblig´e de baisser le sigma afin d’obtenir une nouvelle poche de cavitation. Les valeurs de
r´ef´erences des ´etudes 3D sont identique `a celles fix´ees par Khlifa [59] et sont r´esum´ees dans le
44. 44 5. SIMULATION NUM ´ERIQUE DES ´ECOULEMENTS CAVITANT : R ´ESULTAT ET DISCUSSION
0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30
4e+046e+048e+041e+05
time
InletPressure
Signal de pression d entree au cours de 0.1 second
Figure 5.5 – Signal de pression `a l’entr´ee du domaine pour une dur´ee de 0.1 seconde
Figure 5.6 – ´Evolution de la poche de cavitation au cours de 0.1s pour un σ = 2.8 : capture prise 0.2 et 0.3 second
respectivement
tableau 5.2.
Chebli [42] avait pris un sigma ´egal `a σ = 2.4 pour ses ´etudes 3D mais cette valeur a donn´e
dans nos calculs une poche trop petite par comparaison `a l’exp´erience. Nous avons donc d´ecid´e de
baisser le sigma jusqu’`a σ = 2 en esp´erant pouvoir obtenir les r´esultats plus proche des exp´eriences.
Uentree
(m/s)
Psortie
(Pa)
σsortie Tref (K) Reref
6.3 41 690 2.00 293.15 27 972
Table 5.2 – ´Etude 3D : Point de fonctionnement du Venturi 8◦
45. 5.3. CAS RANS 3D 45
0 500 1000 1500
0100000250000
Fréquence[Hz]
Densitéspectrale[Pa²/Hz]
signal de pression d entrée
Longueur de référence = 10mm
Figure 5.7 – FFT appliqu´ee au signal de pression d’entr´ee pour une simulation 2D de type RANS avec un mod`ele
de turbulence k − ω SST
5.3.3 Analyse des profils moyenn´es et instantan´es
Afin d’observer l’´evolution tridimensionnelle et d’estimer la longueur moyenne, les profils moyens
de taux de vide, de vitesse et de pression sont trac´es `a la paroi et au milieu de domaine et pr´esent´es
en figure 5.9. Les valeurs moyennes obtenues `a la paroi sont globalement diff´erentes des valeurs
prises `a l’int´erieur du domaine. Sur un point de vue comparatif, la poche moyenne estim´ee en 3D
(au milieu du domaine) se distingue des analyses 2D et des exp´eriences, celle-ci pr´esente une taille
plus grande associ´e `a une faible pression demand´ee `a la sortie. Plus pr´ecis´ement la poche calcul´ee
est 2 mm plus grande que l’exp´erience, une comparaison de poches de mˆeme longueur exactement
demanderait quelques it´erations sur les conditions de pression impos´ees en sortie.
Les simulations 3D augmentent g´en´eralement le taux d’instabilit´e dans la poche, en revanche,
le cas 3D ici fait apparaˆıtre un comportement quasi-stationnaire o`u la p´eriodicit´e de la poche est
beaucoup moins visible que le cas 2D (figure 5.11). En d´efinitive, bien que les effets 3D semblent
jouer un rˆole non n´egligeable, l’effet de g´eom´etrie (les dimensions choisis pour ces calculs) est plus
important dans ce cas. Cependant il est `a noter que ce comportement stationnaire est tr`es proche
`a des r´esultats exp´erimentaux de Khlifa [59] r´ealis´es sur la mˆeme g´eom´etrie et avec les mˆeme
conditions de calculs.
Afin de mieux comprendre ce ph´enom`ene plus au moins stable, on fait un rappel du travail de
Dular et al. [2] sur l’effet d’´echelle dans un calcul d’´ecoulement cavitant. les auteurs prennent en
compte plusieurs dimensions de venturi 8◦
et montrent que l’effet de cavitation diff`ere en fonction
d’´echelle o`u `a la petite ´echelle la p´eriodicit´e est moins r´eguli`ere. Donc on est en mesure de dire
que notre ´echelle i.e. ´echelle millim´etrique, est la cause probable de la stationnarit´e obtenue en 3D.
46. 46 5. SIMULATION NUM ´ERIQUE DES ´ECOULEMENTS CAVITANT : R ´ESULTAT ET DISCUSSION
Figure 5.8 – ´Etude 3D : Maillage contenant 2 millions de cellules pour des calculs RANS 3D, zoom´e sur la section
du col
Figure 5.9 – ´Etude 3D : Champ moyen de taux de vide, de vitesse longitudinale et de pression pour un σ = 2
prises `a la paroi (gauche) et au milieu de domaine (droite)
Pour analyser la dynamique des poches de cavitation, une s´erie d’images est premi`erement
captur´ee au milieu de domaine dans le plan z = 2 mm et les visualisations instantan´ees de la
production/disparition de vapeur sont compar´ees au signal de pression obtenue `a l’entr´ee. D’un
point de vue quantitatif, chaque image permet de voir un instant de la formation de vapeur dans
un cycle de cavitation. La poche commence son d´eveloppement au niveau du col en pr´esence
d’un nuage de vapeur tridimensionnel issu du cycle pr´ec´edent. Elle reste attach´ee au col et elle
ne d´etache pas par des zones de liquides, ce comportement sugg`ere que le mod`ele physique de
cavitation utilis´e permet de mod´eliser correctement la zone de production de vapeur. Le nuage
du cycle pr´ec´edent est forc´e vers l’aval pendant que la poche de cavitation grandit et puis tous
remplac´es par les vapeurs de pr´esent cycle.
Suite `a l’´etude du signal de pression obtenu en fonction du temps, cette partie propose de
d´etailler l’application d’une transformation de Fourier rapide du signal de pression. Cette ap-
proche permet un traitement rapide des donn´ees pour chaque angle ´etudi´e tant que le r´egime
p´eriodique, s’il existe, est atteint. Le r´esultat du FFT pr´esente des pics dont le maximum corres-
pond au d´ebut du premier cycle de cavitation.
47. 5.3. CAS RANS 3D 47
0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30
42000430004400045000
time
InletPressure
Signal de pression dentree au cours de 0.1 second
Figure 5.10 – ´Etude 3D : Signal de pression `a l’entr´ee du domaine pour une dur´ee de 0.1 seconde
Dans le cas 3D, une fr´equence de l’ordre de 320 Hz est fournit par simulation 5.12. La longueur
de la poche estim´ee pour cette configuration d’´ecoulement est de l’ordre de 10 mm et avec cette
fr´equence d’oscillation une valeur de nombre de Strouhal de 0.5 est calcul´e. cette valeur est plus
grande que le r´esultat exp´erimental en raison d’une faible pression demand´ee `a la sortie.
5.3.4 Profils moyens des vitesses transversaux
Les profils moyens transversaux de la vitesse longitudinale u sont trac´es en figure 5.13. Ils ren-
seignent sur l’´evolution de la vitesse dans sa direction principale. Au sein de la poche (x = 1.3
mm, x = 3.9 mm et x = 6.5) la vitesse atteint des valeurs maximales et x = 7.8 mm marque la
fin de la partie stable de la cavit´e o`u la vitesse commence `a diminuer.
La ligne transversale de coordonn´ee x = 1.3 mm, z = 2 mm se positionne sur la partie sup´erieure
de la poche o`u le profil moyen est calcul´ee u = 10.8m/s ce qui est proche et coh´erent avec le profil
exp´erimental. D’apr`es la forme du Venturi, les lignes de mesures suivantes x = 3.9 mm, z = 2 et
x = 6.5 mm, z = 2 sont positionn´ees au milieu de la poche `a partir lesquelles la vitesse diminue
(u = 8.6m/s `a la troisi`eme position). Plus en aval, sur la partie basse de la poche (x = 7.8 mm), le
mouvement de la vitesse montre une diminution de valeur calcul´ee et il montre la fin de la poche
(u = 5m/s).
La vitesse n´egative obtenue (figure 5.13) repr´esente le jet rentrant qui vient couper la poche
en cr´eant des lachers de vapeur et les petites bulles de liquides qui remontent jusqu’`a atteindre
l’amont de la poche. Cette vitesse n´egative est observ´ee tout au longue de notre poche, tandis que
pour les r´esultats exp´erimentaux cette observation est seulement valid´ee pour un forte vitesse `a
l’entr´ee [59].
48. 48 5. SIMULATION NUM ´ERIQUE DES ´ECOULEMENTS CAVITANT : R ´ESULTAT ET DISCUSSION
Figure 5.11 – ´Etude 3D :Visualisation instantan´ee des poches de cavitation au cours de 0.1s pour un σ = 2 :
capture prise `a chaque 0.0005 second
5.4 Cas LES
La simulation des grandes ´echelles des ´ecoulements cavitants est bas´ee sur deux ´etapes princi-
pales : R´ealiser un calcul non-cavitant, men´e `a convergence, `a partir duquel une simulation d’un
´ecoulement cavitant se r´ealise en deuxi`eme ´etape. Une fois que le calcul non cavitant est converg´e,
la d´epression au col serait identifi´ee (sauvant avec une pression statique inf´erieure `a la pression de
vapeur saturante). Une suite de calcul serait donc d´efinie `a partir du calcul non-cavitant converg´e
pr´ec´edemment, en activant la r´esolution de l’´equation du transport du taux de vide.
5.4.1 G´eom´etrie et maillage
Pour garantir la pr´ecision d’une LES effectu´ee sur une configuration avec parois, il est n´ecessaire
de r´esoudre les structures de la zone interne de la couche limite, ce qui conduit `a des maillages
dont les dimensions caract´eristiques dans cette zone sont : ∆x+
≈ 100, ∆y+
≈ 1 et ∆z+
≈ 20
[62][63]. Selon Sagaut [13] d’autres valeurs peuvent reporter pour des LES bien r´esolues en proche
paroi : ∆y+
min = 1 `a la paroi avec au moins trois points de calcul dans la zone ∆x+
< 50, ∆y+
< 10
et ∆z+
< 12.
On s’int´eresse donc aux grandeurs adimensionnelles pour d´efinir la taille de maille proche de la
paroi. Ces grandeurs cin´ematiques sont g´en´eralement reli´ees aux param`etres internes de la couche
49. 5.4. CAS LES 49
0 200 400 600 800 1000
0500100020003000
Fréquence[Hz]
Densitéspectrale[Pa²/Hz]
FFT application on Pressure inlet signal
Figure 5.12 – ´Etude 3D : FFT appliqu´ee au signal de pression d’entr´ee pour une simulationde type RANS k − ω
SST
limite.
U+
=
U
Uτ
et y+
=
y
δv
(5.1)
avec Uτ la vitesse de frottement `a la paroi et δv = ν
Uτ
une longueur caract´eristique de la couche
limite.
La valeur th´eorique du premier maille est calcul´e environ 1.8 · 10−6
, pour rester sans doute
y+
= 1.5 · 10−6
a ´et´e appliqu´e dans le cadre de maillage LES.
Le maillage de la configuration de venturi, comporte environ 12 120 000 cellules. La couche li-
mite est r´esolue jusqu’`a la paroi. Le maillage de la couche limite est telle que la taille de la premi`ere
maille satisfait la condition ∆y+
< 1. Une attention particuli`ere a ´et´e port´ee au raffinement du
maillage dans la zone de la cavit´e.
5.4.2 Conditions limites
La question essentielle de d´efinition des conditions limites est : comment sp´ecifier la condition `a
l’entr´ee. Dans le plupart des cas, le d´eveloppement de l’´ecoulement en aval est largement d´ependant
du comportement de l’entr´ee. Zhiyin [65] a d´efini deux types de condition `a l’entr´ee LES : la
50. 50 5. SIMULATION NUM ´ERIQUE DES ´ECOULEMENTS CAVITANT : R ´ESULTAT ET DISCUSSION
Figure 5.13 – ´Etude 3D : Profils des vitesses longitudinales a diff´erents endroit de la poche, de x = 1.3 mm `a
x = 7.8 mm
M´ethode Pr´ecurseurs 2
, dans lesquels une simulation suppl´ementaire (simulation de pr´ecurseur)
est r´ealis´ee et les donn´ees requises sont sauvegard´ee `a partir de cette simulation pour ˆetre utilis´ee
`a l’entr´ee principale, et la M´ethode synth´etique 3
dans laquelle une certaine forme de fluctuation
al´eatoire est g´en´er´ee et combin´ee avec le d´ebit moyen donn´e `a l’entr´ee. Sagaut [64] a utilis´e une
d´efinition plus compl`ete en ajoutant une autre m´ethode initialement d´evelopp´ee par Lund et al.
[66] : la m´ethode de recyclage 4
.
Parmi ces trois m´ethodes, la m´ethode `a recyclage est choisie pour r´ealiser les calculs LES. Les
conditions d’entr´ee, pour cette m´ethode, sont calcul´ees `a partir de la mˆeme simulation, en recy-
clant les fluctuations existantes ailleurs dans le domaine de calcul. La m´ethode consiste `a prendre
un plan (la position du plan de recyclage varie selon les auteurs), en aval de l’entr´ee. Ces donn´ees
sont ensuite redimensionn´ees et r´eintroduites `a l’entr´ee (figure 5.14). Enfin, une initialisation de
la mani`ere la plus r´ealiste possible est demand´ee pour cette m´ethode sans quoi un long temps de
relaxation est n´ecessaire avant d’obtenir des conditions d’entr´ee r´ealistes.
5.4.3 R´esultats non-cavitant
Un calcul incompressible est premi`erement r´ealis´ee. Une pression ´egale `a 41169 pa est fix´ee `a
la sortie du domaine. L’initialisation est assur´ee en utilisant la valeur exp´erimentale de vitesse. Le
mod`ele de sous-maille Smagorinsky classique, avec Cs = 0.065, est appliqu´e. Les r´esultats sont
trac´es apr`es environ 0.1s de calcul. La figure 5.15 illustre la convergence des calculs sur tout le
domaine pour un calcul LES non-cavitant. Les trac´es de vitesse sont repr´esent´es de fa¸con non-
homog`ene partout dans le domaine. Ceci peut ˆetre le cas lorsque les conditions limites ne sont
pas adapt´ees ou simplement lorsque le calcul n’est pas suffisamment avanc´e dans le temps. On
remarque que au contraire, la pression est quasiment converg´ee pendant le calcul mˆeme si une
fluctuation est encore observ´ee.
Les valeurs moyennes de vitesse et de pression sont repr´esent´ees sur la figure 5.16. On remarque
tout d’abord que l’´ecoulement est acc´el´er´e au niveau du col o`u la vitesse est fortement augment´ee,
une grande vitesse, plus grande qu’au col, est ´egalement calcul´ee en partie haute de g´eom´etrie ce
qui est commenc´ee d`es l’entr´ee du domaine et qui est mˆeme rest´ee apr`es le col. Cette visualisation
peut ˆetre expliqu´ee avec l’´etude de convergence avec quoi la vitesse trac´ee n’est pas arriv´ee `a
2. Pour precursor methods
3. Pour Synthesis methods
4. Pour Recycling method or Mapped method
51. 5.5. CONCLUSION PARTIELLE 51
Figure 5.14 – Illustration du technique de recyclage dans lequel les donn´ees sont calcul´es `a partir d’un plan
int´erieur vers l’arri`ere `a l’entr´ee [64].
une valeur constante. La pression est calcul´ee minimum au col ce qui est la base d’obtention de
cavitation `a cette zone. En revanche la valeur minimum obtenue est largement plus grande que
la pression de saturation, par cons´equent, la cavitation n’aurait pas lieu dans cette condition de
pression. Il serait donc n´ecessaire de baisser la pression afin de cr´eer la poche de cavitation au col.
5.5 Conclusion Partielle
La partie pr´esent´ee a pour objectif d’´etudier la simulation num´erique des ´ecoulements cavitants
sur une g´eom´etrie de Venturi 8◦
en ´echelle millim´etrique. Les r´esultats 2D montrent un compor-
tement p´eriodique et une forte instabilit´e tandis que les calculs 3D repr´esentent une formation
de vapeur quasiment stable dont les r´esultats sont proche aux exp´eriences. Les diff´erences entre
les simulations RANS 2D et 3D se retrouve dans la pression `a la sortie. En effet, pour un mˆeme
mod`ele de turbulence et une mˆeme condition `a l’entr´ee, la poche obtenu est plus grande et plus
stable pour un calcul 3D o`u une pression plus faible est appliqu´ee `a la sortie.
Au sein des calculs LES, la visualisation des r´esultats non-cavitant de vitesse fait part de la
n´ecessit´e d’augmenter le temps de calcul. De plus, la vitesse est tr`es forte dans la partie la haute
du domaine qui est probablement li´e au plan de recyclage. Ce plan est choisi avant le col mais
une v´erification plus pr´ecise peut appliquer afin d’avoir une certitude sur la condition `a l’entr´ee
en g´en´erale et sur la vitesse en particuli`ere.
52. 52 5. SIMULATION NUM ´ERIQUE DES ´ECOULEMENTS CAVITANT : R ´ESULTAT ET DISCUSSION
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
6.36.46.56.66.76.86.97.0
Time
Velocity(U)
LES Mapped Point 1 at inlet
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
9.510.010.5
Time
Velocity(U)
LES Mapped Point 3 at the edge
0 5000 10000 15000 20000
0.000.020.040.060.080.10
time
velocity(U)
LES Mapped Point 9 before outlet
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
20000250003000035000
Time
Pressure(Pa)
LES Mapped Point 1 at inlet
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
5000100002000030000
Time
Pressure(Pa)
LES Mapped Point 3 at the edge
0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10
35000400004500050000
Time
Pressure(Pa)
LES Mapped Point 9 before outlet
Figure 5.15 – ´Etude de convergence sur le calcul LES non-cavitant : capture de vitesse et de pression aux diff´erents
endroit au sein de l’´ecoulement
Figure 5.16 – Visualisation moyenn´ee de vitesse longitudinale et de pression sur un plan g´en´eral et un plan au col
d’un calcul LES non-cavitant.
56. 56 6. V ´ERIFICATION DU CODE : D ´EFINITION ET APPLICATION
6.1 Introduction
V´erification et validation sont les principaux moyens pour ´evaluer la pr´ecision et la fiabilit´e
des simulations num´eriques [67]. V´erification des codes peut estimer des ph´enom`enes physiques
tels que la dynamique des fluides et le flux de chaleur en r´esolvant un syst`eme d’´equations aux
d´eriv´ees partielles. Cet outil utilise une m´ethode d’approximation discr`ete ordonn´ee (i.e. ´el´ements
finis, volume fini, et diff´erences finies) [71].Tandis que la validation des codes et des mod`eles
math´ematiques est fortement li´ee `a la question de savoir comment les constructions formelles
(mod`eles) peuvent ˆetre test´es par l’observation physique [68]. De plus, la validation du code doit
ˆetre effectu´ee apr`es avoir tent´ee la V´erification, ce qui est la mise au point de cette partie.
Cette partie de ce projet est donc consacr´e `a v´erifier les d´eveloppements effectu´es r´ecemment
dans la version 4.0.4 du Code Saturne couplant l’algorithme de cavitation et la mod´elisation LES
de la turbulence. Cette ´etape serais ensuite valid´ee avec une ensemble de comparaison entre la
solution num´erique obtenue et la solution analytique.
La d´efinition de v´erification du code diff`ere parmi les auteurs. Par exemple, Oberkampf et
Trucano [67][69] ont exprim´e la v´erification comme le processus de d´etermination, du fait que la
pr´ecision d’une mise en œuvre d’un mod`ele repr´esente avec description conceptuelle du d´eveloppeur
ainsi que la solution appliqu´ee dans le mod`ele. Roache [70] a utilis´e la mesure de discr´etisation
pour la d´efinition de v´erification : Le code pr´ecis´ement d´efinit quel est le champ de continuit´e des
´equations aux d´eriv´ees partielles et les conditions aux limites qui devrait ˆetre r´esolus, et d´emontre
d’une mani`ere d´ecisive si ils sont correctement r´esolus (i.e. le plus souvent avec un certain degr´e
de pr´ecision). De sorte que, comme une mesure de discr´etisation (par exemple les incr´ements de
maillage), le code produit une solution aux ´equations de continuit´e ; ceci est la v´erification. Salari
et Knupp [71] ont compl´et´es cette d´efinition et ont not´es que si l’erreur de discr´etisation observ´ee
diminue jusqu’`a z´ero avec la diminution des incr´ements de maillage, nous sommes en mesure de
dire que les ´equations sont correctement r´esolues.
La v´erification du code est un exercice math´ematique qui d´emontre si les diff´erents algorithmes
ont ´et´e correctement cod´es (i.e. si le code est d´ebarrass´e des bugs). Pour cela, il est n´ecessaire
d’avoir une solution r´ef´erence pour les ´equations (i.e. une solution analytique).
Cette section sera donc consacr´ee `a la mise au point g´en´erale et la m´ethode manuelle de l’appli-
cation des solutions manufactur´ees (MMS 1
) `a un code open source de volume fini (Code Saturne).
MMS serait appliqu´ee afin de g´en´erer les termes sources analytiques et forcer les ´ecoulements pour
obtenir une solution num´erique proche `a la solution analytique. Une fois que la v´erification est
satisfaite, les r´esultats seront compar´es avec la solution de ˇZnidarˇciˇc et al. [6] obtenue avec un
autre code.
6.2 M´ethode des solutions manufactur´ees (MMS)
La M´ethode de Solutions manufactur´es (MMS) fournit une proc´edure g´en´erale pour g´en´erer
une solution analytique afin d’effectuer la v´erification de la pr´ecision et tester la capacit´e du code
[72]. En se basant sur la proc´edure d´ecrite par Roy et Oberkampf [73][74], le MMS est appliqu´ee
ici pour tester l’ordre de pr´ecision du code :
1. Pour Method of Manufactured Solutions
