Modélisation électromagnétique de la surface équivalente Radar en basses fréquences

1. Université Tunis El Manar
THÈSE
Présentée pour obtenir le titre de
Docteur de l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Tunis
Spécialité : TÉLÉCOMMUNICATIONS
Par
Afif Bouzidi
Ingénieur de Sup’Com (Télécommunications)
Mastère Systèmes de Communications (Sys’Com, ENIT)
Modélisation électromagnétique de la surface
équivalente Radar en basses fréquences
Soutenue publiquement le 13 Octobre 2012 devant le jury composé de :
Pr. Ammar Bouallègue Président (ENIT, Tunis)
Pr. Henri Baudrand Rapporteur (ENSEEIHT, Toulouse)
Pr. Fethi Choubani Rapporteur (Sup’Com, Tunis)
Pr. Houria Rezig Examinateur (ENIT, Tunis)
Pr. Taoufik Aguili Directeur de thèse (ENIT, Tunis)
B.P. 37 le Belvédère 1002 Tunis Tunisie 37 ‫ب‬ ‫ص‬ ‫ار‬ ‫ــ‬ ‫ا‬1002 ‫ــ‬ ‫ـــ‬
Tél. : 216 71 874 700 /71 875 475 ‫ا‬:
Fax : 216 71 872 729 : ‫ا‬
Email : Enit@ enit.rnu.tn ‫ا‬ ‫ا‬‫و‬:

5. Remerciements
Louange `a ALLAH le mis´ericordieux,
Sans lui, rien de tout cela n’aurait pu se faire ...
Remerciements `a ALLAH, qui nous a mis sur les rails du savoir ...
Gloire `a ALLAH, qui nous a guid´e vers les portes de la science.
Cette th`ese s’est d´eroul´ee au Laboratoire Syst`emes de Communica-
tions de l’´Ecole Nationale d’Ing´enieurs de Tunis. Je dois toute ma
reconnaissance au professeur Taoufik Aguili qui a sacrifi´e un temps
pr´ecieux pour veiller `a la bonne marche de mes travaux de recherches
et m’a prodigu´e ses conseils judicieux.
Je tiens ´egalement `a remercier le professeur Fathi Choubani de Sup’Com
Tunisie et le professeur Henri Baudrand de ENSEEIHT, Toulouse
pour avoir accept´e de rapporter ce travail de th`ese.
J’adresse ´egalement tous mes remerciements au professeur Ammar
Bouall`egue de l’ENIT Tunisie pour avoir pr´esid´e le jury et le profes-
seur Houria Rezig de l’ENIT Tunisie pour avoir accept´e d’´evaluer ce
travail.
Je remercie ´egalement tout le personnel du laboratoire enseignant,
chercheurs, personnels administratifs et techniques.
Je voudrais enfin remercier ma m`ere, mon fr`ere, ma femme et tous
ceux qui m’ont aid´e de pr´es ou de loin `a la r´ealisation de ce travail.

6. R´esum´e
La surface ´equivalente radar (SER) est une grandeur quantifiant la
r´eflectivit´e d’un objet par rapport aux ondes ´electromagn´etiques. Math-
´ematiquement, elle est d´efinie comme la fonction de transfert entre
le champ lointain diffract´e par cet objet et l’onde plane incidente
qui l’illumine. Dans un premier temps, nous proposons une m´ethode
it´erative de calcul de la SER, bas´ee sur le mod`ele d’imp´edance de
surface d’ordre sup´erieur combin´e avec la m´ethode int´egrale EFIE.
La r´esolution du probl`eme consid´er´e est assur´ee par la m´ethode des
moments et l’algorithme Forward/Backward. Dans un second temps,
nous nous int´eressons `a une optimisation de la m´ethode des sources
auxiliaires (adapt´ee `a ce type de probl`eme) par la localisation des
singularit´es du champ diffract´e. La derni`ere partie de la th`ese, a ´et´e
consacr´ee `a la caract´erisation de la surface ´equivalente radar en champ
proche (dont la d´efinition reste ambigu¨e). Pour contourner cette diffi-
cult´e, nous proposons un algorithme de transformation champ proche-
/champ lointain bas´e sur la m´ethode de d´eveloppement en spectre
d’ondes planes.
Mots-cl´es
mod`ele d’imp´edance surfacique, transformation champ proche/champ
lointain, algorithme forward/backward, m´ethode des lignes de niveaux,
m´ethode des sources auxiliaires, d´eveloppement en spectre d’ondes
planes.

7. Table des mati`eres
Table des mati`eres v
Table des figures ix
1 Introduction g´en´erale 1
2 ´Etat de l’art 4
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 D´efinition de la surface ´equivalente radar . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Les diff´erentes zones fr´equentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Les zones fr´equentielles spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Justification de besoin de d´etermination de la surface ´equivalente
radar en basses fr´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.1 Les basses fr´equences luttent contre la furtivit´e . . . . . . 11
2.5.2 Optimisation des m´ethodes de calcul de la SER en basses
fr´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.5.3 La SER r´esulte d’un filtrage passe-bas des fr´equences spatiales 14
2.6 Techniques de mesure de la surface ´equivalente radar . . . . . . . 15
2.6.1 Mesure en espace libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.6.2 Mesure en chambre an-´echo¨ıque . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.7 M´ethodes num´eriques de pr´ediction de la surface ´equivalente radar 18
2.7.1 Les m´ethodes rigoureuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.1.1 Les m´ethodes analytiques . . . . . . . . . . . . . 18
2.7.1.2 La m´ethode des diff´erences finies . . . . . . . . . 18
2.7.1.3 La m´ethode des lignes de transmission . . . . . . 21
v

8. TABLE DES MATI`ERES
2.7.1.4 La m´ethode des ´el´ements finis . . . . . . . . . . . 25
2.7.1.5 La m´ethode des moments . . . . . . . . . . . . . 27
2.7.1.6 La m´ethode des sources auxiliaires . . . . . . . . 30
2.7.2 Les m´ethodes asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 La condition d’imp´edance surfacique 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Notion de profondeur de p´en´etration . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Les conditions d’imp´edance d’ordre sup´erieures . . . . . . . . . . 43
3.3.1 La condition d’imp´edance de Leontovich . . . . . . . . . . 43
3.3.2 La condition d’imp´edance de Mitzner . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3 Le d´eveloppement de Rytov . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4 Crit`ere de choix de la condition d’imp´edance . . . . . . . . . . . . 47
3.5 Mod`ele d’imp´edance constante par morceaux . . . . . . . . . . . . 49
3.5.1 La m´ethode des lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . 50
3.5.2 Algorithme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.5.3 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 M´ethode int´egrale par ´el´ements-finis de fronti`ere avec condition
d’imp´edance surfacique 59
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Mod´elisation du probl`eme physique . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.1 Description physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2.2 Hypoth`eses initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2.1 Relations constitutives . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2.2 Condition de rayonnement `a l’infini . . . . . . . . 63
4.2.2.3 Condition d’imp´edance ´equivalente . . . . . . . . 63
4.2.3 Repr´esentation int´egrale des champs ´electromagn´etiques . 64
4.2.3.1 Rayonnement des sources en espace libre . . . . . 64
4.2.3.2 Rayonnement des sources en pr´esence d’obstacles 66
4.2.4 Les ´equations int´egrales de fronti`ere . . . . . . . . . . . . . 71
vi

9. TABLE DES MATI`ERES
4.3 Discr´etisation du probl`eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.3.1 Formulation variationnelle du probl`eme . . . . . . . . . . . 73
4.3.2 ´El´ements de Rao-Wilton-Glisson . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.4 Algorithme it´eratif de calcul de la SER . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.1 Formulation de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.4.2 Optimisation du calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.4.3 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5 Optimisation de la m´ethode des sources auxiliaires pour le calcul
de la surface ´equivalente radar 87
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
5.2 Formulation math´ematique de la m´ethode des sources auxiliaires . 89
5.3 Configuration de la m´ethode des sources auxiliaires . . . . . . . . 91
5.3.1 Les singularit´es du champ diffract´e . . . . . . . . . . . . . 91
5.3.2 Crit`ere de choix de la surface auxiliaire . . . . . . . . . . . 92
5.4 Optimisation de la m´ethode des sources auxiliaires . . . . . . . . . 94
5.4.1 Repr´esentation de la surface auxiliaire `a l’aide de la tech-
nique des lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.2 Formulation du probl`eme d’optimisation . . . . . . . . . . 97
5.4.3 Calcul des param`etres auxiliaires . . . . . . . . . . . . . . 99
5.4.3.1 Calcul de la surface auxiliaire . . . . . . . . . . . 99
5.4.3.2 Calcul de la distribution des sources auxiliaire . . 100
5.4.3.3 Calcul des amplitudes des sources auxiliaires . . . 101
5.4.4 Algorithme d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.4.5 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4.5.1 Cas d’un ellipso¨ıde parfaitement conducteur . . . 103
5.4.5.2 Cas d’un halt`ere parfaitement conducteur . . . . 104
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
6 Application de la m´ethode de d´eveloppement en spectre d’ondes
planes pour la d´etermination de la surface ´equivalente radar en
vii

10. TABLE DES MATI`ERES
champ proche 108
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6.2 La m´ethode de d´eveloppement en spectre d’ondes planes . . . . . 110
6.2.1 Formulation math´ematique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.2.2 Technique de transformation champ proche champ lointain 114
6.3 D´eveloppement en spectre d’ondes planes . . . . . . . . . . . . . . 117
6.3.1 D´eveloppement du tenseur de Green . . . . . . . . . . . . 117
6.3.2 D´eveloppement du champ diffract´e . . . . . . . . . . . . . 118
6.4 Champ lointain diffract´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
6.5 Algorithme de transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
6.6 R´esultat num´erique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
6.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
7 Conclusion g´en´erale 133
Annexe A : La zone tampon et la repr´esentation Level Set 135
Annexe B : La condition d’imp´edance g´en´eralis´ee 139
Annexe C : Calcul de ∂J
∂ϕ
141
Annexe D : Calcul de ∂J
∂an
143
Bibliographie 144
viii

11. Table des figures
2.1 Les diff´erentes zones de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 La surface ´equivalente radar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 SER mono-statique en fonction de la longueur d’onde . . . . . . . 8
2.4 Les zones fr´equentielles spatiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Avion ≪ furtif ≫F117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.6 Mat´eriaux absorbants les ondes radars (RAM) . . . . . . . . . . . 12
2.7 Mesure en espace libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8 Mat´eriau absorbant pyramidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9 Vue sch´ematique d’une chambre an-´echo¨ıque . . . . . . . . . . . . 16
2.10 Vue sch´ematique d’une base compacte . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11 La cellule ´el´ementaire de Yee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.12 Couche absorbante parfaitement adapt´ee . . . . . . . . . . . . . . 21
2.13 Circuit ´electrique ´equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.14 La matrice S de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.15 ´El´ements finis typiques mono-dimensionnel, bidimensionnel et tri-
dimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.16 Discr´etisation d’un domaine bidimensionnel . . . . . . . . . . . . 26
2.17 Configuration de la m´ethode des sources auxiliaires . . . . . . . . 30
2.18 G´eom´etrie des m´ethodes asymptotiques . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.1 Interaction d’une onde plane avec un plan conducteur semi-infini . 37
3.2 Interaction d’une onde plane avec un plan conducteur d’´epaisseur
finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3 Interaction d’une onde plane avec un conducteur de forme g´eom´etrique
quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
ix

12. TABLE DES FIGURES
3.4 Approximation de la direction de propagation dans le conducteur 41
3.5 Erreur de l’approximation pour la condition d’imp´edance d’un
conducteur parfait, Leontovich, Mitzner et Rytov . . . . . . . . . 49
3.6 Repr´esentation g´eom´etrique par la m´ethode des lignes . . . . . . . 52
3.7 Objet Conducteur : halt`ere en aluminium . . . . . . . . . . . . . . 56
3.8 Mod`ele d’imp´edance constante par morceaux . . . . . . . . . . . . 57
4.1 G´eom´etrie du probl`eme de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.2 Rayonnement des sources en espace libre . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Rayonnement de sources en pr´esence d’obstacles . . . . . . . . . . 66
4.4 Principe d’´equivalence volumique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.5 Principes d’´equivalence surfacique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.6 ´el´ements finis de fronti`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.7 ´El´ements de la base de Rao-Wilton-Glisson . . . . . . . . . . . . . 76
4.8 D´ecomposition de la matrice d’imp´edance . . . . . . . . . . . . . 77
4.9 Algorithme forward/backward . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.10 Cylindre mod´elis´e par une condition d’imp´edance constante par
morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.11 Illustration de l’id´ee de la zone tampon . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.12 Cylindre mod´elis´e par une condition d’imp´edance constante par
morceaux avec les zones tampons . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.13 SER bi-statique d’un cylindre mod´elis´e par une imp´edance constante
par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.1 G´eom´etrie de la m´ethode des sources auxiliaires . . . . . . . . . . 90
5.2 Th´eorie des images sur des ´el´ements de courant ´electrique . . . . . 92
5.3 Choix de la surface auxiliaire pour une ellipse . . . . . . . . . . . 93
5.4 La technique des lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5.5 repr´esentation de la surface auxiliaire `a l’aide de la technique des
lignes de niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.6 Calcul de la distribution des sources auxiliaires . . . . . . . . . . . 100
5.7 Surface auxiliaire d’un ellipso¨ıde parfaitement conducteur . . . . . 104
5.8 Un halt`ere parfaitement conducteur . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.9 Calcul de la SER bi-statique d’un halt`ere . . . . . . . . . . . . . . 106
x

13. TABLE DES FIGURES
6.1 D´eveloppement d’un champ arbitraire en spectre d’ondes planes . 113
6.2 Ouverture rayonnante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
6.3 D´eveloppement du champ diffract´e en spectre d’ondes planes . . . 119
6.4 Configuration dans le cas de la diffraction `a grande distance . . . 122
6.5 Filtrage des ondes ´evanescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.6 Configuration de la mesure du champ proche . . . . . . . . . . . . 126
6.7 R´eponse impulsionnelle du filtre (∆x = ∆y = 1) . . . . . . . . . 127
6.8 Calcul de la SER d’une sph`ere en champ proche . . . . . . . . . . 128
6.9 Angle limite de mesure de la SER . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.10 Le taux d’att´enuation des modes ´evanescents ( α2 + γ2 − 1 = 1) 130
1 La zone tampon et la repr´esentation Level Set . . . . . . . . . . . 137
xi

14. Chapitre 1
Introduction g´en´erale
La th`ese propos´ee s’inscrit dans le cadre de la mod´elisation ´electromagn´etique
d’un syst`eme faisant interagir une source (antenne) et un objet dont on veut
´evaluer la surface ´equivalente radar (SER). La SER est une grandeur quantifiant la
r´eflectivit´e d’un objet par rapport aux ondes ´electromagn´etiques. Math´ematique-
ment, elle est d´efinie comme la fonction de transfert entre le champ lointain dif-
fract´e par cet objet et l’onde plane incidente qui l’illumine. La d´etermination de la
SER est possible `a la fois par la mesure exp´erimentale et par le calcul num´erique.
Dans la bande des hautes fr´equences, des m´ethodes de calcul num´erique ainsi que
des techniques de mesure, qui se sont r´ev´el´ees extrˆemement performantes, ont ´et´e
mises au point. En revanche, c’est loin d’ˆetre le cas dans le domaine des basses
fr´equences particuli`erement dans la zone de r´esonance.
La maˆıtrise des techniques de d´etermination de la surface ´equivalente radar
en basses fr´equences poss`ede plusieurs domaines d’application : civils et mili-
taires. Citant `a titre d’exemple les applications GPR (Ground Penetrating Ra-
dar) o`u les basses fr´equences demeurent fortement favorables pour la d´etection
des cibles enfouies vu que l’att´enuation des ondes dans le sol croˆıt en fonction de
la fr´equence. On parle ´egalement, dans le domaine militaire, des techniques de
d´etection des cibles furtives. La furtivit´e d´esigne la qualit´e qui caract´erise les ob-
jets non d´etectables par un syst`eme radar. G´en´eralement, la furtivit´e est obtenue
par usage des mat´eriaux composites qui absorbent les ondes ´electromagn´etiques
dans les bandes fr´equentielles radar usuelles. La furtivit´e peut ˆetre entrav´ee en
utilisant des bandes de fr´equences plus basses.
1

15. Cette th`ese poursuit deux objectifs principaux. Le premier consiste `a proposer
et ´etudier des nouvelles m´ethodes num´eriques permettant d’am´eliorer le cal-
cul de la SER en basses fr´equences. Souvent, la caract´erisation de la SER en
basses fr´equences revient `a r´esoudre un probl`eme de diffraction avec une condi-
tion d’imp´edance surfacique. L’imp´edance surfacique est la relation approch´ee
entre le champ ´electrique et le champ magn´etique v´erifi´ee sur la surface de l’obs-
tacle. L’id´ee principale derri`ere ce concept est de remplacer le volume de la cible
par une condition effective aux limites appliqu´ee `a l’interface di´electrique/cible.
Par cons´equent, la distribution du champ `a l’int´erieur de cible peut ˆetre omise,
ce qui permettra de ramener le probl`eme de diffraction volumique `a un probl`eme
de diffraction surfacique.
Ce concept est souvent n´eglig´e lors du calcul de la SER o`u il est consid´er´e comme
un moyen de simplification des probl`emes sp´ecifiques. L’utilisation de l’imp´edance
surfacique dans le contexte de la diffraction est limit´ee aux conditions d’ordre
z´ero (la condition d’un conducteur parfait) et d’ordre un (la condition de Leon-
tovich). Presque aucune tentative de mod´elisation de la SER avec les conditions
d’imp´edance d’ordres sup´erieurs n’a ´et´e faite. Le couplage entre les m´ethodes
num´eriques avec les conditions d’imp´edances surfaciques d’ordres sup´erieurs s’im-
pose en basses fr´equences pour d´evelopper de nouveaux algorithmes optimaux en
termes de pr´ecision et temps de calcul.
Le deuxi`eme objectif de la th`ese consiste `a proposer des nouvelles techniques de
mesure de la surface ´equivalente radar en champ proche. G´en´eralement, la me-
sure de la SER se fait en deux ´etapes, illuminer la cible avec une onde plane et
mesurer son champ lointain diffract´e. En hautes fr´equences, lorsqu’une chambre
an´echo¨ıque est utilis´ee pour simuler les conditions de rayonnement en espace libre,
la cible peut ˆetre plac´ee dans la zone de champ lointain des antennes d’´emission
et de r´eception. Par contre en basses fr´equences il est difficile voir impossible de
r´ealiser une telle condition du fait que la longueur d’onde peut d´epasser mˆeme
la dimension de la chambre an´echo¨ıque. Donc, les mesures de la SER en basses
fr´equences sont faites en champ proche, ´eclairement de la cible en champ proche,
r´eception du champ diffract´e en champ proche. L’extraction de la SER `a partir
de la quantit´e mesur´ee reste `a ce jour un probl`eme ouvert.
Afin de r´epondre `a ces objectifs, on a adopt´e l’organisation suivante
2

16. Dans le deuxi`eme chapitre on propose un examen de l’´etat de l’art des techniques
de calcul num´erique et de mesure exp´erimentale de la surface ´equivalente radar,
en mettant en relief les lacunes de chaque technique en basses fr´equences.
Dans le troisi`eme chapitre on commence par pr´esenter la d´efinition et les condi-
tions d’applicabilit´e de la condition d’imp´edance surfacique. On pr´esente dans un
second temps les diff´erentes approches de mod´elisation des objets conducteurs, `a
savoir l’approche de Leontovich, l’approche de Mitzner et l’approche de Rytov.
En combinant le d´eveloppement de Rytov et la technique des lignes de niveaux,
on propose un mod`ele d’imp´edance constante par morceaux pour mod´eliser les
conducteurs de forme g´eom´etrique quelconque.
Dans le quatri`eme chapitre on s’int´eresse au calcul de la surface ´equivalente ra-
dar d’un objet tridimensionnel, en utilisant le mod`ele d’imp´edance constante par
morceaux d´evelopp´e dans le chapitre pr´ec´edent.
Dans le cinqui`eme chapitre on propose une optimisation de la m´ethode des sources
auxiliaires pour la localisation des singularit´es du champ diffract´e par un objet
conducteur mod´elis´e par une condition d’imp´edance surfacique.
Dans le sixi`eme chapitre on propose une nouvelle m´ethode de transformation
champ proche/champ lointain `a base de la m´ethode de d´eveloppement en spectre
d’ondes planes. Cette m´ethode permet de voir le champ proche diffract´e par la
cible comme la superposition des ondes planes progressives et des ondes planes
´evanescentes. Notre id´ee consiste `a filtrer la contribution des modes ´evanescentes
dans le spectre du champ mesur´e et ´etablir une relation entre la SER et la quantit´e
filtr´ee.
3

17. Chapitre 2
´Etat de l’art
2.1 Introduction
Ce premier chapitre pr´esente la d´efinition de la surface ´equivalente, radar et les
diff´erents param`etres dont elle d´epend. Il a pour vocation de montrer la sp´ecificit´e
du probl`eme de d´etermination de la SER en basses fr´equences. Dans un premier
temps, on commence par la d´efinition math´ematique de cette grandeur. On est
amen´e notamment `a d´efinir la notion de champ proche, de champ lointain et des
zones fr´equentielles temporelles et spatiales.
La d´etermination de la SER est possible `a la fois num´eriquement et exp´eri-
mentalement. On pr´esente dans un second temps, les diff´erentes techniques de
mesure exp´erimentale et de calcul num´erique de la SER, en mettant en relief les
difficult´es rencontr´ees en basses fr´equences pour chaque technique. Cette ´etude
bibliographique nous a permis, par la suite, d’identifier les points qui n´ecessitent
plus d’am´eliorations et de justifier les objectifs et le plan de l’´etude.
4

18. 2.2 D´efinition de la surface ´equivalente radar
Les propri´et´es de l’onde ´electromagn´etique varient en fonction de la distance
par rapport au syst`eme rayonnant (cible, antenne). On distingue g´en´eralement
quatre zones, la zone de champ r´eactif, la zone de Rayleigh, la zone de Fresnel et
la zone Fraunhoffer[1].
0 λ
2 π
D 2
2 λ 2 D 2
λ
Zone de FraunhofferZone de Fresnel
Zone de Rayleigh
Zone de champ proche
Zone de champ
réactif
D
Système rayonnant
r
Figure 2.1 – Les diff´erentes zones de propagation
Pour une distance inf´erieure `a λ
2π
le ph´enom`ene de propagation est n´egligeable
devant le ph´enom`ene r´eactif. Entre λ
2π
et D2
2λ
l’´energie ´electromagn´etique reste
confin´ee autour du syst`eme, elle commence `a se diverger progressivement `a par-
tir de D2
2λ
. La zone de Fraunhoffer est la zone de champ lointain o`u la surface
´equivalente radar (SER) est d´efinie. La SER est une quantit´e physique d´efinie
dans un contexte faisant interagir un objet, une antenne ´emettrice et une an-
tenne r´eceptrice. L’objet est suppos´e plac´e dans la zone de champ lointain des
deux antennes consid´er´ees, o`u l’onde incidente et l’onde diffract´ee pr´esentent lo-
calement la structure d’onde plane. Soient f, Pe, Pr, Ge et Gr respectivement la
fr´equence op´erationnelle, la puissance ´emise, la puissance re¸cue, le gain de l’an-
tenne ´emettrice et le gain de l’antenne r´eceptrice.
5

19. La cible re¸coit une densit´e Si = Pe
4πr2 Ge, la puissance re¸cue `a l’antenne de r´eception
s’exprime par[2]
Pr =
λ2
4π
GrSd =
λ2
4π
Gr
Sd
Si
Si (2.1)
O`u Sd est la densit´e de puissance diffus´ee par la cible.
La densité incidente
Si =watts
m2
La cible de surface
équivalente σ
reçoit une puissance
Pr =σSi watts
L’énergie est diffusée
de façon isotrope
Sd = σSi
4πr2
Figure 2.2 – La surface ´equivalente radar
En rempla¸cant l’expression de la densit´e incidente dans l’´equation (2.1) on obtient
Pr = Pe
λ
4πr2
2
GrGe
4π
4πr2 Sd
Si
(2.2)
La quantit´e 4πr2 Sd
Si
est homog`ene `a une surface (m2
) et tends vers une valeur
constante lorsque la distance tends vers l’infini. Cette valeur est nomm´ee la surface
´equivalente radar et on la d´efinit math´ematiquement comme
σ = lim
r→∞
4πr2 Sd
Si
(2.3)
6

20. La surface ´equivalente radar d´epend fortement de l’objet et elle est fonction de
plusieurs param´etr´es notamment
- Forme g´eom´etrique de l’objet
- Nature ´electromagn´etique de l’objet (di´electrique, conducteur ...)
- Fr´equence d’´emission
- Polarisation de l’antenne d’´emission
- Polarisation de l’antenne de r´eception
- Direction de l’incidence
- Position angulaire du r´ecepteur
La SER s’exprime aussi en fonction du champ incident (Ei, Hi) et de champ
diffract´e (Ed, Hd)
σ = lim
r→∞
4πr2
Ed
2
Ei
2 (2.4)
σ = lim
r→∞
4πr2
Hd
2
Hi
2 (2.5)
Lorsque les positions de l’antenne d’´emission et de r´eception sont confondues la
SER est dite monostatique sinon elle est dite bistatique.
2.3 Les diff´erentes zones fr´equentielles
La d´etermination de la surface ´equivalente radar passe obligatoirement par la
r´esolution d’un probl`eme de diffraction dont la complexit´e d´epend fortement de
la fr´equence de l’´etude et la dimension de l’obstacle. Soient D et λ respectivement
la dimension de l’obstacle et la longueur d’onde.
7

21. En comparant ces deux param`etres on est amen´e `a consid´erer trois zones fr´equentielles



D << λ La zone de Rayleigh
D ∝ λ La zone de r´esonance



La zone des basses fr´equences
D >> λ La zone des hautes fr´equences
Ces trois zones se distinguent clairement sur la figure suivante (SER mono-
statique d’une sph`ere de rayon a)
2 π a
λ
1
π a2
SER m
2 Zone de Rayleigh
Zone de résonance
Hautes fréquences
Figure 2.3 – SER mono-statique en fonction de la longueur d’onde
On observe que dans la zone de Rayleigh la SER croit en λ4
, prend une valeur
maximale dans la zone de r´esonance et tend vers une valeur constante en hautes
fr´equences[3].
L’interaction de l’onde ´electromagn´etique avec la mati`ere d´epend de la fr´equence
8

22. `a laquelle on se place pour ´etudier le ph´enom`ene de diffraction. En effet, la nature
´electromagn´etique d’un objet, caract´eris´e par une permittivit´e ε et une conduc-
tivit´e σs, d´epend de la comparaison entre le courant de d´eplacement Jd = ε∂E
∂t
et le courant de conduction Jc = σsE. En r´egime harmonique on est amen´e `a
consid´erer trois situations
- σs << ωε conduction n´egligeable, l’objet se comporte comme un di´electrique
- σs ≈ ωε il faut prendre en compte les deux courants.
- σs >> ωε l’objet se comporte comme un conducteur
La nature ´electromagn´etique d’un objet d´epend de la fr´equence, un mˆeme objet
peut ˆetre consid´er´e comme un conducteur en basses fr´equences et un di´electrique
en hautes fr´equences[4]. Par exemple le cuivre `a temp´erature ambiante devient
isolant `a partir de 1016
Hz, l’eau de mer `a partir de 107
Hz.
2.4 Les zones fr´equentielles spatiales
La d´etermination de la surface ´equivalente radar se fait en deux ´etapes,
illuminer la cible avec une onde plane et collecter le champ lointain diffract´e
o`u l’onde est consid´er´ee comme localement plane. Donc, pour comprendre la
ph´enom´enologie de la SER, il est judicieux de penser au d´eveloppement des
champs ´electromagn´etiques en spectre d’ondes planes.
Par souci de simplicit´e on pr´esente le d´eveloppement pour la fonction de Green
g , solution ´el´ementaire de l’´equation d’Helmholtz, le raisonnement reste valable
pour un champ ´electromagn´etique quelconque.
g(r) =
e−jkr
4πr
(2.6)
La formule de Weyl [5] permet d’´ecrire g(r) comme la transformation de Fourrier
bidimensionnelle inverse
g(r) =
j
2π R2
e−j(xkx+yky+βsign(z)z)
4πβ
dkxdky (2.7)
9

23. O`u β est d´efinie par
β =



k2 − kx
2
− ky
2
si kx
2
+ ky
2
< k
−j kx
2
+ ky
2
− k2 si kx
2
+ ky
2
> k
(2.8)
et kx et ky sont les fr´equences spatiales.
La repr´esentation int´egrale (2.7) permet d’´ecrire g(r) comme la superposition
des ondes planes, chaque onde ´el´ementaire est caract´eris´ee par un vecteur d’onde
K = kxex +kyey +βsign(z)ez et un nombre d’onde K·K = k2
et sa nature d´epend
de la comparaison entre kx
2
+ky
2
et k2
. L’onde est progressive pour kx
2
+ky
2
< k2
et ´evanescente pour kx
2
+ ky
2
> k2
.
kx
2
+ky
2
<k
kx
2
+ky
2
>k2
Les ondes progressives
(Basses fréquences)
Les ondes évanescentes
(Hautes fréquences)
UYUY
UXUXUXUX
kx
2
+ky
2
>k2
kx
2
+ky
2
>k2
kx
2
+ky
2
>k2
kx
2
+ky
2
>k2
kx
2
+ky
2
<k2
kx
2
+ky
2
<k2
kx
2
+ky
2
<k2
kx
2
+ky
2
<k2
kx
2
+ky
2
<k2
Figure 2.4 – Les zones fr´equentielles spatiales
Les ondes ´evanescentes ont une d´ecroissance exponentielle suivant z. Elles restent
confin´ees au voisinage du plan (x, y). `A une distance de quelques longueurs d’onde
de ce dernier, leur contribution au champ lointain devient n´egligeable. Les ondes
planes telles que β est r´eel peuvent se propager et atteindre le champ lointain.
On conclut que seules les basses fr´equences spatiales contribuent `a la formation
de la surface ´equivalente radar.
10

24. 2.5 Justification de besoin de d´etermination de
la surface ´equivalente radar en basses fr´equences
2.5.1 Les basses fr´equences luttent contre la furtivit´e
La furtivit´e d´esigne la qualit´e qui caract´erise les objets non d´etectables par un
syst`eme radar ou qui pr´esentent une faible SER. Cette notion fait l’objet de deux
axes de recherches interd´ependants et mutuellement oppos´es. Le premier regroupe
l’ensemble des techniques qui visent `a r´eduire la surface ´equivalente radar. Alors
que, le deuxi`eme lutte contre le d´eveloppement des techniques de furtivit´e par
l’am´elioration du pouvoir de d´etectabilit´e des syst`emes radars. Trois m´ecanismes
majeurs sont `a la base de toute technique de furtivit´e[3]
- Optimisation de la forme g´eom´etrique
- Utilisation des mat´eriaux qui absorbent les ondes ´emises par les radars (RAM)
- Annulation de l’´echo ´electromagn´etique
L’id´ee de la premi`ere technique consiste `a optimiser la forme g´eom´etrique de l’ob-
jet par rapport `a des contraintes m´ecaniques ou a´erodynamiques pour que l’objet
diffracte l’onde ´electromagn´etique loin de la direction du radar. Cette technique
a permis de concevoir des cibles furtives pour les radars monostatique hautes
fr´equences comme le bombardier F117.
Figure 2.5 – Avion ≪ furtif ≫F117
11

25. Il est bien connu, qu’en hautes fr´equences la r´eflexion par une surface plane est
maximale dans la direction perpendiculaire `a cette derni`ere. Cet effet est uti-
lis´e dans la conception du bombardier F117, o`u sa g´eom´etrie est constitu´ee par
plusieurs ´el´ements plans dispos´es de telle sorte qu’ils ne soient jamais perpendi-
culaires `a la direction du radar de surveillance.
Pour les courtes longueurs d’onde, l’onde diffract´ee d´epend des d´etails g´eom´etriques
fins de la cible (facettes, arˆetes...). Donc, en modifiant la g´eom´etrie de la surface
de la cible on peut manipuler le comportement de l’onde diffract´e. Cependant,
pour les longueurs d’onde sup´erieures ou ´egales `a la taille de l’objet, l’onde dif-
fract´ee ne d´epend que de la forme g´eom´etrique globale et il est impossible de
jouer sur les d´etails de la g´eom´etrie pour rendre la cible furtive.
La deuxi`eme technique de furtivit´e consiste `a concevoir une couche de mat´eriaux
qui permet d’absorber compl`etement l’onde incidente, on d´esigne cette couche par
RAM (Radar Absorbent Materials). La conception de la RAM revient `a r´epondre
`a deux questions clefs : comment faire parvenir l’onde incidente dans la RAM sans
diffraction ? Et une fois intercept´ee comment l’absorber ?
Couche de conductivité finie
Diélectrique d(λ)
Figure 2.6 – Mat´eriaux absorbants les ondes radars (RAM)
G´en´eralement, la r´esolution de ce probl`eme est inspir´ee de la m´ethode d’adapta-
12

26. tion d’imp´edance des lignes de transmission[3]. En effet, il est bien connu qu’une
couche de conductivit´e finie permet de dissiper l’´energie ´electromagn´etique en
chaleur. Donc, le rˆole de la RAM revient `a adapter l’imp´edance de la couche du
m´etal `a l’imp´edance du milieu de propagation pour que la cible soit parfaitement
transparente `a l’onde incidente.
Cette technique est difficile `a mettre en œuvre en basses fr´equences car l’´epaisseur
d de la RAM d´epend de la longueur d’onde, plus la fr´equence est basse plus
l’´epaisseur n´ecessaire `a l’absorption de l’onde est grande.
La troisi`eme technique consiste `a synth´etiser une onde ´electromagn´etique pour
annuler l’onde diffract´ee. La cible doit ˆetre suffisamment intelligente pour d´etecter
la direction, la phase, l’amplitude, la fr´equence et la forme de l’onde incidente
et elle doit ˆetre aussi capable de connaitre rapidement sa propre r´eponse pour
ce cas particulier d’incidence et de g´en´erer l’onde ad´equate pour annuler l’´echo
´electromagn´etique total.
2.5.2 Optimisation des m´ethodes de calcul de la SER en
basses fr´equences
Lors de l’exploration d’un milieu au moyen des ondes ´electromagn´etiques, la
profondeur de p´en´etration (´epaisseur de peau) repr´esente une bonne approxima-
tion du facteur d’att´enuation de l’onde et elle est donn´ee par la formule
δ =
2
σωµ
(2.9)
O`u
- δ la profondeur de p´en´etration
- σ la conductivit´e ´electrique
- µ la perm´eabilit´e magn´etique
- ω la pulsation
δ repr´esente la distance `a laquelle l’onde subit une att´enuation relative de 1
e
(perte de 36% de l’amplitude). Plus la fr´equence est basse, plus δ est grand.
Le param`etre δ doit ˆetre pris en consid´eration lors du calcul de la SER surtout
13

27. lorsque la p´en´etration de l’onde ´electromagn´etique dans la cible ne peut pas ˆetre
n´eglig´ee. G´en´eralement, la caract´erisation de la SER en basses fr´equences revient
`a r´esoudre un probl`eme de diffraction avec une condition d’imp´edance surfacique.
L’imp´edance surfacique est la relation approch´ee entre le champ ´electrique et le
champ magn´etique v´erifi´ee sur la surface de l’obstacle[6]. L’id´ee principale derri`ere
ce concept est de remplacer le volume de la cible par une condition effective aux
limites appliqu´ee `a l’interface di´electrique/cible. Par cons´equent, la distribution
du champ dans la cible peut ˆetre omise, ce qui permettra de ramener le probl`eme
de diffraction volumique `a un probl`eme de diffraction surfacique.
Ce concept est souvent n´eglig´e lors du calcul de la SER o`u il est consid´er´e comme
un moyen de simplification des probl`emes sp´ecifiques. L’´etude bibliographique
montre que l’utilisation de l’imp´edance surfacique est limit´ee aux conditions
d’ordre z´ero (la condition d’un conducteur parfait) et d’ordre un (la condition
de Leontovich)[6]. Presque aucune tentative de mod´elisation de la SER avec
les conditions d’imp´edance d’ordres sup´erieurs n’a ´et´e faite. Le couplage entre
les m´ethodes num´eriques avec les conditions d’imp´edance surfacique d’ordres
sup´erieurs s’impose en basses fr´equences pour d´evelopper de nouveaux algo-
rithmes optimaux en termes de pr´ecision et temps de calcul.
2.5.3 La SER r´esulte d’un filtrage passe-bas des fr´equences
spatiales
Le probl`eme de d´etermination de la SER en champ proche se pose pour les
techniques de mesure dans les chambres an-´echo¨ıques ainsi que pour les m´ethodes
de calcul num´erique qui n´ecessitent un domaine de calcul born´e tel que la TLM,
FDFD et FDTD. La m´ethode de d´eveloppement en spectre d’ondes planes per-
met de voir le champ proche diffract´e par la cible comme une superposition des
ondes planes progressives et des ondes planes ´evanescentes[7]. Ces derni`eres cor-
respondent respectivement aux hautes et basses fr´equences spatiales. Les ondes
´evanescentes restent confin´ees au voisinage de la cible et seules les basses fr´equences
spatiales contribuent en champ lointain. L’analyse des champs ´electromagn´etiques
dans le domine des fr´equences spatiales permet de ramener le probl`eme de d´etermi-
nation de la SER en champ proche `a un probl`eme de filtrage des hautes fr´equences.
14

28. 2.6 Techniques de mesure de la surface ´equivalente
radar
2.6.1 Mesure en espace libre
La mesure en espace libre repr´esente la configuration la plus classique de
d´etermination de la surface ´equivalente radar. Elle consiste `a placer l’objet sous
test `a une distance minimale dmin = 2D2
λ
de l’´emetteur et de r´ecepteur, o`u D
est la dimension maximale du syst`eme {´emetteur, r´ecepteur, objet}. La distance
dmin permet de garantir que la phase de l’onde incidente et de l’onde diffract´ee
soit inf´erieure `a π
8
ce qui repr´esente une bonne approximation pour consid´erer
que l’onde est plane[1]. L’avantage majeur de la mesure en espace libre est qu’elle
permet de d´eterminer la SER dans les conditions op´erationnelles et `a faible coˆut.
Cependant, elle pr´esente plusieurs inconv´enients tels que
- Les mesures peuvent ˆetre perturb´ees par les rayonnements existants dans l’en-
vironnement
- Les mesures d´ependent des conditions atmosph´eriques
- La confidentialit´e des mesures n’est pas assur´ee
Figure 2.7 – Mesure en espace libre
15

29. 2.6.2 Mesure en chambre an-´echo¨ıque
Les mesures en espace libre ne sont pas favorables `a la d´etermination de la
SER dans les conditions optimales. G´en´eralement, la caract´erisation de la SER
se fait `a l’int´erieur des chambres an-´echo¨ıques. Une chambre an-´echo¨ıque est un
local dont les murs sont munis d’absorbants pour minimiser les r´eflexions d’onde
et simuler les conditions d’espace libre. Les absorbants sont construits en fibres
de carbone et ont une g´eom´etrie optimis´ee pour absorber les ondes par r´eflexions
multiples en utilisant le principe d’un pi`ege `a ondes.
Figure 2.8 – Mat´eriau absorbant pyramidal
La dimension des chambres an-´echo¨ıques d´epend de la fr´equence et la taille de la
cible. Pour satisfaire la condition d’´eclairage et de mesure en champ lointain, les
chambres an-´echo¨ıques doivent ˆetre tr`es larges surtout pour les mesures en basses
fr´equences ou qui impliquent des cibles de grandes tailles.
Figure 2.9 – Vue sch´ematique d’une chambre an-´echo¨ıque
16

30. Pour r´eduire la taille de la chambre an-´echo¨ıque et satisfaire la condition de
champ lointain `a une distance inf´erieure `a 2D2
λ
, l’id´ee de la base compacte a ´et´e
introduite. L’id´ee de la base compacte consiste `a utiliser un syst`eme focalisant (un
r´eflecteur parabolique) pour g´en´erer `a courte distance une onde incidente plane
et transformer le champ proche diffract´e en une onde plane uniforme[8].
Onde sphérique
Onde plane
Système
focalisant
Figure 2.10 – Vue sch´ematique d’une base compacte
En hautes fr´equences la base compacte permet de r´ealiser des mesures pr´ecises et
de r´eduire ´enorm´ement la taille des chambres an-´echo¨ıques par contre en basses
fr´equences elle est impr´ecise car la diffraction par le bord du r´eflecteur augmente
fortement et perturbe les mesures.
17

31. 2.7 M´ethodes num´eriques de pr´ediction de la
surface ´equivalente radar
2.7.1 Les m´ethodes rigoureuses
2.7.1.1 Les m´ethodes analytiques
Parmi les m´ethodes analytiques les plus couramment utilis´ees pour r´esoudre
les probl`emes ´electromagn´etiques, on peut citer la m´ethode de s´eparation des va-
riables et la m´ethode de d´eveloppement en s´erie de fonctions orthogonales. L’uti-
lisation de ces m´ethodes est restreinte aux quelques cas particuliers `a g´eom´etrie
simple mono-dimensionnel, bidimensionnel `a sym´etrie circulaire et tridimension-
nelle `a sym´etrie cylindrique ou sph´erique. Connaitre l’expression analytique de
la SER pour des g´eom´etries simples est utile juste pour ´etudier la pr´ecision des
m´ethodes num´eriques.
2.7.1.2 La m´ethode des diff´erences finies
La m´ethode des diff´erences finies (DF) a ´et´e introduite par Alexander Thom
en 1920 sous le titre ≪ the method of squares ≫pour r´esoudre les ´equations hy-
drodynamiques non lin´eaires et elle est devenue la technique num´erique la plus
connue. La m´ethode pr´esente une variante temporelle nomm´ee la FDTD (Finite
difference time domain) et une fr´equentielle nomm´ee FDFD (finite difference fre-
quency domain) et elle implique g´en´eralement trois ´etapes
- Subdivision du domaine de calcul en plusieurs nœuds.
- Discr´etisation de l’´equation diff´erentielle.
- R´esolution du syst`eme alg´ebrique obtenu.
Plusieurs applications de la m´ethode des diff´erences finies dans le domaine ´electro-
magn´etique reposent sur la technique de Yee[10] publi´e en 1966 . L’id´ee derri`ere
cette technique consiste `a travailler sur deux grilles cart´esiennes d´ecal´ees, une
pour le champ ´electrique et l’autre pour le champ magn´etique, comme il est
indiqu´e sur la figure 2.11. Le d´eveloppement de Taylor est utilis´e pour discr´etiser
les op´erateurs diff´erentiels et trouver les relations liant les valeurs des champs sur
les nœuds du maillage.
18

32. Figure 2.11 – La cellule ´el´ementaire de Yee
Soient, par exemple, les ´equations de Maxwell dans un milieu isotrope
▽ × E = −µ
∂H
∂t
(2.10)
▽ × H = σE + ε
∂E
∂t
Cette ´equation vectorielle repr´esente un syst`eme de six ´equations scalaires, qui
peut ˆetre exprim´e dans le syst`eme de coordonn´ees cart´esiennes par
∂Hx
∂t
=
1
µ
∂Ey
∂z
−
∂Ez
∂y
(2.11)
∂Hy
∂t
=
1
µ
∂Ez
∂x
−
∂Ex
∂z
∂Hz
∂t
=
1
µ
∂Ex
∂y
−
∂Ey
∂x
∂Ex
∂t
=
1
ε
∂Hz
∂y
−
∂Hy
∂z
− σEx
∂Ey
∂t
=
1
ε
∂Hx
∂z
−
∂Hx
∂y
− σEy
∂Ez
∂t
=
1
ε
∂Hy
∂x
−
∂Hx
∂y
− σEz
On note g´en´eralement un point du maillage par le triplet (i, j, k) ≡ (i∆x, j∆y, k∆z)
et les fonctions spatio-temporelles (H et E) par Fn
(i, j, k) ≡ F(i∆x, j∆y, k∆z, n∆t)
19

33. Les d´eriv´ees spatiales et temporelles sont donn´ees par
∂Fn
(i, j, k)
∂x
=
Fn
(i + 1
2
, j, k) − Fn
(i − 1
2
, j, k)
∆x
+ O ∆x2
(2.12)
∂Fn
(i, j, k)
∂y
=
Fn
(i, j + 1
2
, k) − Fn
(i, j − 1
2
, k)
∆y
+ O ∆y2
(2.13)
∂Fn
(i, j, k)
∂z
=
Fn
(i, j, k + 1
2
) − Fn
(i, j, k − 1
2
)
∆z
+ O ∆z2
(2.14)
∂Fn
(i, j, k)
∂t
=
Fn+ 1
2 (i, j, k) − Fn− 1
2 (i, j, k)
∆t
+ O ∆t2
(2.15)
On obtient un syst`eme alg´ebrique qui s’exprime sous une forme r´ecurrente, les
composantes du champ ´electrique et magn´etique sont calcul´ees `a des instants
diff´erents n∆t et (n + 1
2
)∆t. Le crit`ere de stabilit´e de la DFDT est donn´e par
Taflove[11]
∆t ≤
1
c 1
∆x2 + 1
∆y2 + 1
∆z2
(2.16)
Ce crit`ere est valable pour les milieux di´electriques, magn´etiques et dispersifs.
L’inconv´enient majeur de la m´ethode est le besoin de tronquer le domaine de cal-
cul `a proximit´e des structures `a traiter afin de limiter le temps de calcul et l’espace
m´emoire. les conditions aux limites `a imposer sur les fronti`eres ont fait l’objet de
plusieurs travaux de recherche tel que les travaux de Holland[12], B´erenger[13].
La condition la plus utilis´ee est le PML. le PML (perfectly matched layer) est une
couche entourant le domaine de calcul pour absorber les ondes sortantes et ´eviter
la r´eflexion dans le domaine de calcul, comme c’est indiqu´e sur la figure 2.12.
Th´eoriquement, elle est vue comme un milieu anisotrope `a pertes de coefficient
de r´eflexion[13] R, donn´e par
R (θ) = e
2cos(θ)
ε0c
L
0 σ(r)dr
(2.17)
O`u L est l’´epaisseur de la couche PML et σ est la conductivit´e longitudinale.
Les principaux avantages de la m´ethode des diff´erences finies sont la simplicit´e de
la mise en œuvre et la possibilit´e de r´esoudre les probl`emes ´electromagn´etiques
20

34. sur une large bande de fr´equence.
Figure 2.12 – Couche absorbante parfaitement adapt´ee
2.7.1.3 La m´ethode des lignes de transmission
La m´ethode des lignes de transmission (TLM) a ´et´e introduite par Johns and
Beurle en 1971 [14] pour r´esoudre les probl`emes de diffraction bidimensionnels.
Puis, elle a ´et´e appliqu´ee `a une grande vari´et´e des probl`emes tels que l’ana-
lyse des guides d’ondes, calcul du courant surfacique induit par une impulsion
´electromagn´etique, calcul de la surface ´equivalente radar...
La TLM est bas´ee sur l’analogie entre les ´equations de Maxwell et les ´equations
des t´el´egraphistes et elle implique g´en´eralement trois ´etapes
- Remplacement du domaine de calcul par un r´eseau des lignes de transmission
- ´Etablissement d’une analogie entre les champs ´electromagn´etiques et les quan-
tit´es ´electriques (courant et tension)
- R´esolution it´erative des ´equations obtenues
21

35. Soient par exemple les ´equations de Maxwell d´ecrivant la propagation d’onde
dans un milieu d´epourvu de sources
▽ × E = −µ
∂H
∂t
(2.18)
▽ × H = ε
∂E
∂t
Sans perte de g´en´eralit´e, on consid`ere le cas o`u Ex = Ez = Hy = 0 et ∂
∂y
= 0,
l’´equation de Helmholtz s’´ecrit
∂2
Ey
∂2x
+
∂2
Ey
∂2z
= µε
∂2
Ey
∂2t
(2.19)
On consid`ere le circuit d´ecrit par la figure suivante, o`u C est la capacit´e lin´eique
et L est l’inductance lin´eique.
Figure 2.13 – Circuit ´electrique ´equivalent
En appliquant les lois de Kirchhoff et apr`es simplification on obtient l’´equation
22

36. suivante, v´erifi´ee par le courant I et la tension V
∂2
Φ
∂2x
+
∂2
Φ
∂2z
= 2LC
∂2
Φ
∂2t
(2.20)
En comparant les deux equations (2.19) et (2.20), on obtient l’´equivalence suivante
entre les param`etres
Ey ≡ Vy (2.21)
Hx ≡ −Iz
Hz ≡ Ix
µ ≡ L
ε ≡ 2C
L’id´ee de la m´ethode est de profiter des propri´et´es de la propagation d’impulsions
sur les lignes de transmission pour r´esoudre les equations de Maxwell. En effet, en
utilisant le TLM, le domaine de calcul peut ˆetre repr´esent´e par plusieurs ports.
v1
i
v1
r v2
i
v2
r
v3
i v3
r
v2
r
v4
i
v4
r
Figure 2.14 – La matrice S de diffraction
La relation entre les ondes incidentes vi
et les ondes r´efl´echies vr
sur les ports
23

37. peut ˆetre d´ecrite par la matrice S de diffraction
S =






s11 s12 s13 s14
s21 s22 s23 s24
s31 s32 s33 s34
s41 s42 s43 s44






(2.22)
Les termes sij repr´esentent les coefficients de r´eflexion ou de transmission
sij =
i = j coefficient de r´eflexion
i = j coefficient de transmission
(2.23)
Les coefficients de r´eflexion et de transmission peuvent ˆetre d´etermin´es par la
formule suivante
sij =
Zto−Zfrom
Zto+Zfrom
i = j
2Zto
Zto+Zfrom
i = j
(2.24)
Si on fixe Z = Z0 sur les lignes de transmission, on obtient
Zto = Z0 Z0 Z0 ⇒ Z =
1
1
Z0
+ 1
Z0
+ 1
Z0
=
Z0
3
(2.25)
Zfrom = Z0 (2.26)
donc
sij =
−1
2
i = j
1
2
i = j
(2.27)
On obtient la relation entre les ondes incidentes et les ondes r´efl´echies






v1
v2
v3
v4






r
n+1
=






−1 1 1 1
1 −1 1 1
1 1 −1 1
1 1 1 −1












v1
v2
v3
v4






i
n
(2.28)
A chaque pas temporel n∆t, l’excitation `a un nœud se propage aux nœuds voisins
en r´esolvant l’´equation (2.28).
Le pas temporel et la longueur des lignes sont choisis en fonction de la vitesse de
24

38. l’onde. Les conditions aux limites sont mod´elis´ees par des coefficients de r´eflexion
et de transmission sp´ecifiques et elles sont appliqu´ees au niveau des bords des
lignes. De point de vue temps de calcul et espace m´emoire, la TLM est similaire
`a la FDTD.
2.7.1.4 La m´ethode des ´el´ements finis
La m´ethode des ´el´ements finis a ´et´e introduite par Richard Courant en 1943
[15] pour r´esoudre les ´equations diff´erentielles en analyse num´erique. D’abord
elle a ´et´e largement utilis´ee dans le domaine de la m´ecanique des mat´eriaux.
Ensuite elle a ´et´e appliqu´ee dans le domaine ´electromagn´etique pour r´esoudre
des probl`emes tels que : les guides d’ondes, machines ´electriques, dispositifs
semi-conducteurs, antennes micro-rubans, analyse de l’absorption de rayonne-
ment ´electromagn´etique par des organismes biologiques...
la m´ethode implique quatre ´etapes
- Formulation du probl`eme variationnel.
- Subdivision du domaine de calcul en un nombre fini d’´el´ements.
- Formulation du probl`eme discret.
- R´esolution du syst`eme d’´equations obtenu.
Dans de nombreux cas, la r´esolution des probl`emes ´electromagn´etiques peut se
ramener `a la r´esolution d’une ´equation diff´erentielle `a d´eriv´ees partielles, et il
est souvent possible de remplacer le probl`eme d’int´egration de cette EDP par un
probl`eme d’optimisation qu’on appelle probl`eme variationnel ´equivalent.
Il existe plusieurs approches pour ´ecrire un probl`eme ´electromagn´etique sous
forme variationnelle, citant le principe de Hamilton [16][17] et les multiplica-
teurs de Lagrange. par exemple la formulation variationnelle de l’EDP scalaire
de Helmholtz s’´ecrit[18]
I (Φ) =
Ωs
|▽Φ|2
− k2
Φ2
+ 2SΦ dΩs (2.29)
Φ repr´esente le champ ´electrique ou le champ magn´etique, le probl`eme revient
donc `a trouver Φ∗
qui minimise I(Φ). La discr´etisation du probl`eme variation-
nel consiste `a subdiviser le domaine de calcul en plusieurs sous r´egions appel´ees
25

39. ´el´ements finis, la figure 2.15 montre quelques ´el´ements finis typiques.
Figure 2.15 – ´El´ements finis typiques mono-dimensionnel, bidimensionnel et
tridimensionnel
Pour une g´eom´etrie bidimensionnel discr´etis´ee `a l’aide de N triangles comme c’est
indiqu´e sur la figure 2.16
Figure 2.16 – Discr´etisation d’un domaine bidimensionnel
Les fonctions Φ et S peuvent ˆetre exprim´ees dans chaque triangle par
Φe =
3
i=1
αnΦen (2.30)
26

40. Se =
3
i=1
αnSen (2.31)
O`u, Φe et Se sont les valeurs de Φ et S sur les nœuds du triangle e.
En rempla¸cant les ´equations (2.30) et (2.31) dans (2.29) on obtient
I (Φe) =
1
2
3
i=1
3
j=1
ΦeiΦej ▽αi▽αjdS −
k2
2
3
i=1
3
j=1
ΦeiΦej αiαjdS
+
3
i=1
3
j=1
ΦeiSej αiαjdS(2.32)
L’´equation (2.32) est d´eriv´ee pour un seul ´el´ement et elle peut ˆetre appliqu´ee
pour tous les ´el´ements du domaine
I (Φ) =
N
e=1
I (φe) (2.33)
La minimisation de l’´equation I(Φ) se ram`ene `a la r´esolution d’un syst`eme d’´equations
de la forme
[Z] [J] = [V ] (2.34)
Les valeurs de V sont relatives aux termes de l’excitation S. Les ´el´ements de la
matrice Z d´ependent de la g´eom´etrie du probl`eme et des conditions aux limites.
Les termes du vecteur J repr´esentent les inconnues qui sont les valeurs de Φ en
chaque nœud. La m´ethode des ´el´ements finis pr´esente une souplesse dans le choix
du maillage ce qui facilite la mod´elisation des structures de g´eom´etrie complexe.
2.7.1.5 La m´ethode des moments
La m´ethode des moments a ´et´e introduite pour la premi`ere fois par Harrington
en 1967[19] pour r´esoudre une ´equation int´egrale de la forme
L (Φ) = g (2.35)
O`u L est un op´erateur qui peut ˆetre int´egrale ou int´egro-diff´erentielles, g est
l’excitation et Φ est la fonction inconnue `a d´eterminer. Elle ´etait appliqu´ee avec
27

41. succ`es `a une grande vari´et´e de probl`emes ´electromagn´etiques, tel que, la pr´ediction
de diagramme du rayonnement, r´esolution des probl`emes de diffraction.
la m´ethode implique g´en´eralement quatre ´etapes
- D´erivation de l’´equation int´egrale appropri´ee.
- Discr´etisation de l’´equation int´egrale.
- ´Evaluation des ´el´ements du syst`eme matriciel.
- R´esolution de l’´equation matricielle et obtention des param`etres d’int´erˆet.
G´en´eralement l’´equation int´egrale est obtenue `a partir d’une ´equation diff´erentielle
`a d´eriv´ees partielles (EDP) d´ecrivant le ph´enom`ene ´electromagn´etique. La construc-
tion d’une fonction de Green associ´ee `a l’EDP consid´er´ee, constitue un moyen
syst´ematique pour ´etablir l’´equation int´egrale du probl`eme.
Soit par exemple l’EDP d’Helmholtz d´ecrivant la propagation d’onde ´electromagn´e-
tique scalaire dans l’espace libre
∆Φ(r) + k2
Φ(r) = −S(r) (2.36)
Pour ´etablir l’´equation int´egrale associ´ee, on commence par la r´esolution de l’EDP
(2.36) pour un point source plac´e en r′
= (x′
, y′
, z′
). On cherche la fonction de
Green G(r,r’) solution ´el´ementaire de l’´equation :
∆G(r, r′
) + k2
G(r, r′
) = −δ(r − r′
) (2.37)
En utilisant le principe de superposition on peut d´eduire la solution pour une
source quelconque S(r).
S(r) peut s’´ecrire comme
S(r) =
Ωs
S(r′
)δ(r − r′
)dr′
(2.38)
O`u ΩS est un volume entourant toutes les sources ´el´ementaires.
En prenant l’´equation (2.37), en la multipliant par S(r) et en int´egrant sur Ωs et
en utilisant l’´equation (2.38), on obtient
∆
ΩS
G(r, r′
)S(r′
)dr′
+ k2
ΩS
G(r, r′
)S(r′
)dr′
= −S(r) (2.39)
28

42. Par identification avec (2.36) on trouve
Φ(r) =
ΩS
G(r, r′
)S(r′
)dr′
(2.40)
Il est important de noter que la fonction de Green d´epend du milieu de propaga-
tion, dans le cas de la propagation dans un espace libre elle est donn´ee par
G(r, r′
) = j
2kz
ejkz|z−z′|
cas mono-dimensionnel
G(r, r′
) = j
4
H
(1)
0 k (x − x′)2 + (y − y′)2 cas bidimensionnel
G(r, r′
) = e−jk|r−r′|
4π|r−r′|
cas tridimensionnel
Une fois que l’´equation int´egrale est ´etablie, on ´ecrit la fonction `a r´esoudre Φ sous
la forme d’une combinaison lin´eaire de fonctions de base
Φ =
N
n=1
αnfn (2.41)
O`u αn sont des coefficients `a d´eterminer.
On consid`ere M fonctions tests ω1≤m≤M et on effectue le produit scalaire de
l’´equation (2.35) par les fonctions ωm, on obtient
∀m ∈ {1, M} < ωm, L (Φ) >=< g, ωm > (2.42)
Vu que L est lin´eaire, l’´equation (2.35) s’´ecrit
∀m ∈ {1, M}
N
n=1
αn < ωm, L (fn) >=< g, ωm > (2.43)
Ces M ´equations s’´ecrivent sous la forme matricielle
[Z] [I] = [V ] (2.44)
O`u
Zmn =< ωm, L (fn) >
In1 = αn
29

43. Vm1 =< g, ωm >
Alors, la solution est sous la forme
[I] = [Z]−1
[V ] (2.45)
Les fonctions de base les plus employ´ees dans le calcul de la surface ´equivalente
radar par la m´ethode des moments sont les fonctions de type Raviart-Thomas,
´egalement connues sous le nom de fonctions RWG dont l’int´erˆet pour l’´electromag-
n´etisme a ´et´e d´ecouvert par Rao, Wilton et Glisson[20]. La discr´etisation de
l’´equation (2.35) s’´ecrit comme la projection sur l’espace des fonctions RWG.
Il est clair que le r´esultat sera d’autant plus pr´ecis que le nombre d’´el´ements de
la base sera grand, mais le temps n´ecessaire au calcul sera alors plus long.
2.7.1.6 La m´ethode des sources auxiliaires
Le fondement math´ematique de la m´ethode des sources auxiliaires (MAS) a ´et´e
d´evelopp´e par Kupradze [21] en 1967, et la premi`ere application de la m´ethode
dans le domaine ´electromagn´etique a ´et´e r´ealis´ee par un groupe de chercheurs
g´eorgiens [22] pour r´esoudre un probl`eme de diffraction bidimensionnel. L’id´ee
principale de cette m´ethode consiste `a mod´eliser le champ diffract´e par la super-
position des champs ´electromagn´etiques g´en´er´es par des sources connues plac´ees
`a l’int´erieur de l’obstacle.
S: surface auxiliaire
Mi 1 ≤i≤n
Sources auxiliaires
La surface de
l’obstacle
Figure 2.17 – Configuration de la m´ethode des sources auxiliaires
30

44. La contribution de chaque source ´el´ementaire est d´etermin´ee en imposant les
conditions aux limites sur la surface de l’obstacle. La MAS repr´esente une alter-
native int´eressante `a la m´ethode des moments. En effet, la m´ethode des sources
auxiliaires est une m´ethode sans maillage, il n’est pas n´ecessaire de discr´etiser la
g´eom´etrie de l’obstacle et sa validit´e allant de la quasi-statique jusqu’aux les mi-
croondes. Cependant, l’inconv´enient majeur de cette m´ethode r´eside dans le choix
de la surface auxiliaire. Des recherches ant´erieures ont montr´e que les positions et
les amplitudes des sources axillaires jouent un rˆole d´ecisif dans la convergence de
la m´ethode. La d´etermination de la configuration optimale de la MAS (positions,
amplitudes) est encore `a ce jour un probl`eme ouvert.
2.7.2 Les m´ethodes asymptotiques
L’optique g´eom´etrique repr´esente la premi`ere m´ethode asymptotique qui d´ecrit
l’interaction des ondes ´electromagn´etiques avec les objets. Elle est fond´ee sur la
notion de rayon. Selon le principe de Fermat, un rayon est d´efini comme la tra-
jectoire qui minimise le chemin optique. Le changement de direction des rayons
est d´ecrit par les lois de Snell-Descartes.
L’inconv´enient principal de la th´eorie est qu’elle est incapable de d´ecrire les
champs ´electromagn´etiques dans la r´egion d’ombre g´eom´etrique, elle pr´evoit un
champ nul ce qui contredit l’exp´erience. Afin de pallier cet inconv´enient Joseph
B.Keller en 1962 a introduit la th´eorie g´eom´etrique de la diffraction (TGD) [23]
qui consiste `a ajouter aux rayons de l’optique g´eom´etrique des rayons diffract´es
qui p´en`etrent dans la r´egion d’ombre. Les propri´et´es de ces rayons sont d´efinies en
fonction de celles des rayons incidents et de la nature locale de la surface au point
de diffraction, la relation reliant le champ diffract´e au champ incident est appel´ee
coefficient de diffraction. Ce coefficient prend des valeurs infinies au niveau des
fronti`eres optiques, ce qui constitue l’inconv´enient majeur de la TGD. La th´eorie
Uniforme de la diffraction (TUD) est le prolongement de la TGD, elle est intro-
duite par Kouyoumjian et Pathak [23] en 1972 pour r´esoudre le probl`eme de la
divergence du coefficient de diffraction. Toutes ces approximations peuvent ˆetre
retrouv´ees `a partir d’un d´eveloppement asymptotique de la solution des ´equations
de maxwell en puissance inverse du nombre d’onde k.
31

45. Frontière optique de visibilité
Champ diffracté
Champ directe + Champ diffracté
Champ Incident +
Champ diffracté +
Champ réfléchi
Champ Incident
Figure 2.18 – G´eom´etrie des m´ethodes asymptotiques
Le d´eveloppement `a l’ordre z´eros repr´esente l’approximation de l’optique g´eom´etrique,
`a l’ordre 1√
k
repr´esente la diffraction par une arrˆete et `a l’ordre 1
k
1
3
repr´esente la
diffraction dans la zone d’ombre par une surface r´eguli`ere. Le d´eveloppement tend
vers la solution exacte en hautes fr´equences, quand le nombre d’onde tend vers
l’infini[23].
32

46. 2.8 Conclusion
L’´etude pr´ec´edente sur les techniques de d´etermination de la SER en basses
fr´equences par le calcul num´erique ou par la mesure nous a permis de dresser les
deux tableaux r´ecapitulatifs suivants
Calcul de la SER en basses fr´equences
M´ethodes volumique M´ethodes de fronti`ere
Crit`eres TLM FD MAS MOM EF
Conditiond’imp´edance
Conducteur
parfait
+ + + + +
Leontovich
1er ordre
+ + - - -
Mitzner
2eme ordre
+ + - - -
Rytov
3eme ordre
+ + - - -
Performance
Temps de
calcul
- - + + +
Espace
m´emoire
- - + + +
Table 2.1 – R´ecapitulatif sur les m´ethodes de calcul de la surface ´equivalente
radar en basses fr´equences (+ : r´ealisable - : pose des probl`emes.)
Mesure de la SER en basses fr´equences
Crit`eres Base compacte Base directe Espace libre
2D2
λ
≫ 1 - - +
D ∝ λ - + +
λ
2π
≫ 1 - - +
Table 2.2 – R´ecapitulatif sur les techniques de mesure de la surface ´equivalente
radar en basses fr´equences (+ : r´ealisable - : pose des probl`emes.)
Nous remarquons qu’aucune m´ethode num´erique n’est compl`etement adapt´ee
pour mod´eliser le probl`eme de calcul de la SER en basses fr´equences. Il faut donc
concevoir des nouveaux mod`eles pour l’interaction d’onde ´electromagn´etique avec
la mati`ere `a base des conditions d’imp´edance d’ordres sup´erieurs, et proposer des
algorithmes de calcul de la SER r´ealisant un bon compromis entre temps de calcul,
33

47. espace m´emoire et pr´ecision des r´esultats. Concernant les techniques de mesure
de la SER en basses fr´equences, le probl`eme revient `a ´etudier la possibilit´e de la
caract´erisation de la SER en champ proche.
34

48. Chapitre 3
La condition d’imp´edance
surfacique
3.1 Introduction
La notion d’imp´edance a ´et´e introduite pour la premi`ere fois dans le domaine
de l’´electronique par Oliver Lodge [24] et elle a ´et´e d´efinie comme le rapport entre
la tension et le courant produits dans un circuit lin´eaire contenant une r´esistance
´electrique, une inductance et une capacit´e. Par la suite, ce concept a ´et´e g´en´eralis´e
et appliqu´e dans plusieurs domaines d’ing´enierie `a noter : ´electromagn´etique, ther-
modynamique, m´ecanique...
La r´esolution de plusieurs probl`emes en ´electromagn´etique revient `a r´esoudre les
´equations de Maxwell dans un domaine h´et´erog`ene, compos´e par plusieurs sous-
domaines de propri´et´es diff´erentes. Les champs ´electromagn´etiques sont reli´es via
les conditions aux limites sur les interfaces s´eparant les diff´erentes r´egions. Dans
plusieurs situations, on a besoin de connaitre la solution uniquement dans une
seule r´egion du domaine de calcul. Citant `a titre d’exemple le probl`eme de diffrac-
tion et de calcul de diagramme de rayonnement des antennes, o`u on cherche la
solution dans l’espace libre uniquement. Il est intuitif que l’id´ee d’´ecarter certains
sous domaines de calcul semble tr`es utile.
Le mod`ele d’un conducteur parfait est souvent appliqu´e comme un moyen de
35

49. mod´elisation et de r´eduction des domaines de calcul



n × E|interface = 0
H · n = 0
(3.1)
L’´equation (3.1) pr´esente l’avantage d’impl´ementation num´erique simple par contre
elle ne permet pas de prendre en consid´eration la distribution des champs ´electrom-
agn´etiques dans les objets, ce qui peut mener `a une d´egradation de la mod´elisation
de l’interaction d’onde avec la mati`ere.
Dans ce chapitre on commence par pr´esenter la d´efinition et les conditions d’ap-
plicabilit´e de la notion de profondeur de p´en´etration. On est amen´e notamment
`a ´etablir la relation entre ce concept et la condition d’imp´edance surfacique. On
pr´esente dans un second temps les diff´erentes approches de mod´elisation des ob-
jets conducteurs, `a savoir l’approche de Leontovich, l’approche de Mitzner et
l’approche de Rytov.
Rytov a montr´e que l’imp´edance de surface s’´ecrit comme un d´eveloppement
asymptotique en termes de l’´epaisseur de peau, plus l’ordre de d´eveloppement
est ´elev´e plus la pr´ecision est meilleure et plus la complexit´e de l’impl´ementation
num´erique est importante. En combinant le d´eveloppement de Rytov et la tech-
nique Level Set, on propose un mod`ele d’imp´edance constante par morceaux pour
les conducteurs de forme g´eom´etrique quelconque. Le mod`ele propos´e permet
d’avoir la meilleure pr´ecision possible avec un coˆut d’impl´ementation num´erique
minimal.
36

50. 3.2 Notion de profondeur de p´en´etration
La condition d’imp´edance surfacique est strictement li´ee `a la notion de pro-
fondeur de p´en´etration (´epaisseur de peau). L’id´ee de l’´epaisseur de peau a ´et´e
introduite par Lord Rayleigh[25] dans le contexte de la mod´elisation de l’inter-
action d’une onde plane avec un plan conducteur semi-infini. Cette approche
pr´esente l’avantage d’ˆetre `a la fois simple et applicable en d’autres situations plus
g´en´erales. On consid`ere un milieu di´electrique caract´eris´e par (ε0,µ0,σ = 0) dans
lequel se propage une onde ´electromagn´etique (TEM) perpendiculairement `a un
plan conducteur semi-infini, comme c’est indiqu´e sur la figure 3.1. On suppose
que
- Le milieu conducteur est d´epourvu de sources
- La source de l’onde incidente est plac´ee `a l’infini (hypoth`ese d’onde plane)
ppp
nnnn
Figure 3.1 – Interaction d’une onde plane avec un plan conducteur semi-infini
37

51. - p la direction de propagation
- n le vecteur normal `a la surface
- σ la conductivit´e ´electrique
- µ la perm´eabilit´e magn´etique du conducteur
- ε la permittivit´e ´electrique du conducteur
- ε0 la permittivit´e ´electrique de l’espace libre
- µ0 la perm´eabilit´e magn´etique de l’espace libre
Les ´equations de Maxwell dans le conducteur s’´ecrivent
▽ × E = −jωµH (3.2)
▽ × H = jωεcE (3.3)
▽ · D = 0 (3.4)
▽ · H = 0 (3.5)
O`u, εc est la permittivit´e complexe, donn´ee par
εc = ε 1 − j
σ
ωε
(3.6)
On obtient les ´equations de propagation
▽2
E − jωµ (σ + jωε) E = 0 (3.7)
▽2
H − jωµ (σ + jωε) H = 0 (3.8)
Pour le cas o`u la perte par conduction est importante (σ >> ωε) les ´equations
de propagation se simplifient comme suit
∂2
Ex
∂z2
− jωµσEx = 0 (3.9)
∂2
Hy
∂z2
− jωµσHy = 0 (3.10)
38

52. Alors, les solutions sont de la forme
Ex = E0e−γz
(3.11)
Hy = H0e−γz
(3.12)
E0 et H0 sont respectivement les valeurs du champ ´electrique et du champ
magn´etique en z = 0 et γ est la constante de propagation
γ = α + jβ = (1 + j)
µωσ
2
(3.13)
L’´epaisseur de peau est d´efinie en fonction du facteur d’att´enuation de l’onde α
δ =
1
α
=
2
µωσ
(3.14)
D’apr`es l’´equation (3.2) on a
∂Ex
∂z
= −jωµHy ⇒ Hy =
(1 − j) σδ
2
e− 1+j
δ E0 (3.15)
L’imp´edance dans le conducteur est d´efinie comme le rapport entre Ex et Hy
ηc =
Ex
Hy
=
1 + j
σδ
(3.16)
Le d´eveloppement de la relation entre la profondeur de p´en´etration et la condi-
tion d’imp´edance surfacique, l’´equation (3.16), semble restrictif pour une inci-
dence plane et un plan conducteur d’´epaisseur infini. On montre dans ce qui suit
que cette relation reste valable pour une incidence quelconque et un conducteur
d’´epaisseur finie et de forme g´eom´etrique r´eguli`ere et arbitraire . On consid`ere
dans un premier temps un conducteur plan d’´epaisseur t comme c’est indiqu´e
dans la figure 3.2.
39

53. Figure 3.2 – Interaction d’une onde plane avec un plan conducteur d’´epaisseur
finie
Pour que l’´equation (3.16) soit valide, il faut que l’onde s’att´enue compl`etement
dans le conducteur et ne subit pas une r´eflexion `a l’interface z = −t. La satis-
faction de cette condition peut ˆetre v´erifi´ee pour une distance t de l’ordre de
quelques δ. En effet, pour une ´epaisseur t = 2δ, l’amplitude de l’onde r´efl´echie
subit une perte de 98.2% et pour t = 3δ la perte est de l’ordre de 99.8%.
Figure 3.3 – Interaction d’une onde plane avec un conducteur de forme
g´eom´etrique quelconque
Consid´erant maintenant un conducteur de surface courb´ee comme c’est indiqu´e
par la figure 3.3. O`u, Rmin est le rayon de courbure minimale de la surface du
40

54. conducteur. Lorsque Rmin est largement sup´erieur `a l’´epaisseur de peau δ, la sur-
face du conducteur peut ˆetre consid´er´ee comme localement plane et l’´equation
(3.16) demeure valide. Donc, on peut conclure que la condition d’applicabilit´e de
la notion de profondeur de p´en´etration pour une surface courb´ee est la suivante
δ ≪ Rmin (3.17)
L’´equation de propagation d’un champ ´electromagn´etique arbitraire peut s’´ecrire
dans un syst`eme de cordonn´ees cart´esiennes comme
▽2
Ex + Ey + Ez − jωµ (σ + jωε) Ex + Ey + Ez = 0 (3.18)
Figure 3.4 – Approximation de la direction de propagation dans le conducteur
En appliquant la loi de r´efraction on obtient[26]
sin(θt) =
n1
n2
sin(θi) =
γ1
γ2
sin(θi) =
jω
√
ε0µ0
(1 + j)
√
ωµ0σ
sin(θi) ≈ 0 (3.19)
41

55. O`u, n1, n2, γ1 et γ2 sont respectivement l’indice de r´efraction dans l’espace libre,
l’indice de r´efraction dans le conducteur, la constante de propagation dans l’es-
pace libre et la constante de propagation dans le conducteur. On remarque que
pour n’importe quelle direction d’incidence l’onde ´electromagn´etique se propage
perpendiculairement `a l’interface di´electrique/conducteur (θt = 0). Donc, on peut
conclure que les variations des champs ´electrique et magn´etique suivant x et y
peuvent ˆetre consid´er´ees comme n´egligeables par rapport `a la variation suivant z



∂2Ex
∂x2 ≪ ∂2Ex
∂z2
∂2Ey
∂y2 ≪ ∂2Ey
∂z2
∂2Ex
∂x∂y
≪ ∂2Ex
∂z2
∂2Ey
∂x∂y
≪ ∂2Ey
∂z2
(3.20)



∂2Hx
∂x2 ≪ ∂2Hx
∂z2
∂2Hy
∂y2 ≪ ∂2Hy
∂z2
∂2Hx
∂x∂y
≪ ∂2Hx
∂z2
∂2Hy
∂x∂y
≪ ∂2Hy
∂z2
(3.21)
En appliquant les approximations (3.20) et (3.21) dans les ´equations (3.18) on
obtient la mˆeme ´equation de propagation ´etablie pour une onde TEM. Donc,
on peut conclure finalement que les conditions d’applicabilit´e de la notion de
profondeur de p´en´etration se r´esument en ce qui suit :
- La perte par conduction est importante
- L’´epaisseur du conducteur est importante par rapport `a l’´epaisseur de peau
- L’´epaisseur de peau est n´egligeable devant le rayon de courbure minimale de la
surface du conducteur
42

56. 3.3 Les conditions d’imp´edance d’ordre sup´erieures
3.3.1 La condition d’imp´edance de Leontovich
Parmi les premiers chercheurs qui ont travaill´e sur la notion d’imp´edance sur-
facique M.A. Leontovich. Il a ´etabli une relation reliant le champ ´electrique et
le champ magn´etique par un coefficient de type imp´edance[27][28]. L’approche
de Leontovitch repose sur les mˆemes hypoth`eses motionn´ees dans le paragraphe
pr´ec´edent. ´Etant donn´e un objet conducteur r´egulier et un rep`ere cart´esien local
(ex,ey,ez), d’apr`es Leontovitch les composantes des champs ´electrique et magn´etique
sont reli´ees par la relation suivante



Ex = µc
εc
Hy
Ey = − µc
εc
Ex
(3.22)
O`u,
- εc est la permittivit´e complexe du conducteur
- µc est la perm´eabilit´e complexe du conducteur
La relation (3.22) est valide dans le conducteur et en particulier sur l’interface
di´electrique/conducteur. Soient J et M respectivement le courant ´electrique et le
courant magn´etique sur la surface du conducteur
J = n × H (3.23)
M = −n × E (3.24)
La relation (3.22) peut ˆetre exprim´ee en fonction de J et M comme suit
M = n × ZcJ (3.25)
O`u, Zc est d´efinie par
Zc =
µc
εc
(3.26)
43

57. 3.3.2 La condition d’imp´edance de Mitzner
L’approche de Mitzner[29] a ´et´e per¸cue comme une extension de celle de
Leontovich et un pas de plus dans la g´en´eralisation de la notion de condition
d’imp´edance surfacique. Pour s’affranchir la contrainte (3.17), l’´epaisseur de peau
est n´egligeable devant le rayon de courbure minimale, Mitzner a introduit un
terme correctif dans la condition d’imp´edance surfacique de Leontovich en fonc-
tion des courbures principales de la surface du conducteur. Soit un rep`ere curvi-
ligne (eu,ev,n) d´efini en un point r de la surface du conducteur. Soient κu et κv
les courbures principales au point r.
D’apr`es Mitzner, le champ ´electrique et le champ magn´etique sont li´es par la
relation 


Eu = −(1+j)
2
ωµδ 1 + (1−j)
2
δ [κv − κu] Hv
Ev = (1+j)
2
ωµδ 1 − (1−j)
2
δ [κv − κu] Hu
(3.27)
Soient (Ju, Jv, 0) et (Mu, Mv, 0) respectivement les coordonn´ees de J et M dans
le rep`ere (eu,ev,n). La relation (3.27) s’´ecrit en fonction de J et M comme suit
(1 + q) Mu = −ZcJv (3.28)
Et
(1 − q) Mv = ZcJu (3.29)
O`u, q est donn´ee par
q =
1
4
(1 + j) δ (κv − κu) (3.30)
On remarque que pour
q = 0 (3.31)
On retrouve la condition d’imp´edance de Leontovich
Mu = −ZcJv (3.32)
Et
Mv = ZcJu (3.33)
44

58. 3.3.3 Le d´eveloppement de Rytov
La g´en´eralisation des travaux de Leontovich et Mitzner est due `a Rytov[30][31],
qui a propos´e une m´ethode de d´eveloppement des conditions d’imp´edance surfa-
ciques d’ordres sup´erieurs `a base de la th´eorie des perturbations. L’approche de
Rytov se r´esume en quatre ´etapes
- ´Ecrire les champs ´electromagn´etiques comme un d´eveloppement asymptotique
en terme de l’´epaisseur de peau
- R´esoudre les ´equations de Maxwell dans le conducteur
- ´Egaliser les termes ayant la mˆeme puissance sur l’interface di´electrique/conducteur
Dans le conducteur, les champs ´electromagn´etiques sont d´ecrits par les ´equations
suivantes
▽ × E = −jωµH
▽ × H = σE
(3.34)
Soient (ξ1,ξ2,η) les coordonn´ees dans un rep`ere curviligne, ξ1 et ξ2 repr´esentent les
coordonn´ees dans le plan tangent `a la surface du conducteur et η est la coordonn´ee
dans la direction du vecteur normal. Les solutions cherch´ees sont de la forme
E = A(ξ1, ξ2, η)eψ(η′)
H = B(ξ1, ξ2, η)eψ(η′)
(3.35)
O`u, η′
= η
δ
. En substituant l’´equation (3.35) dans (3.34) on obtient
δ(▽ × A)ξ1 −
dψ
dη′
hηAξ2 = −jδBξ1 (3.36)
δ(▽ × A)ξ2 +
dψ
dη′
hηAξ2 = −jδBξ2 (3.37)
δ(▽ × A)η = −jδBη (3.38)
δ2
(▽ × B)ξ1 − δ
dψ
dη′
hηBξ2 = 2Aξ1 (3.39)
δ(▽ × B)ξ2 + δ
dψ
dη′
hηBξ1 = 2Aξ2 (3.40)
δ2
(▽ × B)η = 2Aη (3.41)
45

59. On note par (hξ1 ,hξ2 ,hη) les coefficients de Lam´e.
Les vecteurs A et B peuvent ˆetre ´ecrits comme un d´eveloppement asymptotique
en termes de δ
A =
∞
n=0
δn
An (3.42)
B =
∞
n=0
δn
Bn (3.43)
En ins´erant les s´eries (3.42) et (3.43) dans les ´equations (3.36 - 3.41) et en ´egalisant
les termes ayant la mˆeme puissance, on obtient l’expression des champs ´electriques
et magn´etiques dans le conducteur
Eξ1 = µωδe(ψ) j
2
B0ξ2 + δ B1ξ2 −
hη
2
√
2j
∂ln(hξ1 /hξ2 )
∂η
B0ξ2 + ... (3.44)
Eξ2 = µωδe(ψ) j
2
B0ξ1 + δ B1ξ1 −
hη
2
√
2j
∂ln(hξ1 /hξ2 )
∂η
B0ξ1 + ... (3.45)
Eη =
µωδ2
2
e(ψ)
hξ1 hξ2
∂(B0ξ2 /hξ2 )
∂ξ1
−
∂(B0ξ1 /hξ1 )
∂ξ2
+ ... (3.46)
Hξ1 = e(ψ)
{B0ξ1 + δB1ξ1 + ...} (3.47)
Hξ2 = e(ψ)
{B0ξ2 + δB1ξ2 + ...} (3.48)
Hη = δe(ψ) hξ1 hξ2
√
2j
∂(B0ξ1 /hξ2 )
∂ξ1
−
∂(B0ξ2 /hξ1 )
∂ξ2
+ ... (3.49)
Les ´equations (3.44 - 3.49) sont reli´ees aux champs externes via les conditions
aux limites 


Ee
ξm
= Eξm
µ0He
ξm
= µHξm
ε0Ee
η − εEη = χ
He
η = Hη
m ∈ {1, 2} (3.50)
46

60. O`u, χ est la densit´e surfacique des charges.
Les champs ´electromagn´etiques Ee
et He
s’´ecrivent aussi en fonction de δ
Ee
=
∞
n=0
δn
Ee
n (3.51)
He
=
∞
n=0
δn
He
n (3.52)
En substituant les expressions de Ee
, He
dans (3.50) et en ´egalisant les termes
ayant la mˆeme puissance, on obtient toutes les conditions d’imp´edance d’ordre
inf´erieures et sup´erieures.
A l’ordre z´ero
Ee
0ξm
= 0 m ∈ {1, 2} (3.53)
L’´equation (3.53) repr´esente la condition d’un conducteur parfait
Au premier ordre
Ee
1ξm
= (−1)3−m
µω
j
2
He
0ξ3−m
(3.54)
On obtient la condition de Leontovich
3.4 Crit`ere de choix de la condition d’imp´edance
En utilisant la th´eorie de perturbation, Rytov a montr´e que l’imp´edance de
surface s’´ecrit comme un d´eveloppement asymptotique en termes de l’´epaisseur
de peau et de rayon de courbure de la surface du conducteur. La relation entre
le champ ´electrique et le champ magn´etique s’´ecrit dans un rep`ere curviligne
(ξ1,ξ2,η) sur la surface du conducteur comme[32]
˜Eξk = (−1)k
∞
l=0
pl+1
Zl( ˜Hξ3−k) (3.55)
O`u,
p =
δ
Rmin
(3.56)
47

61. L’´equation (3.55) est valide pour
p ≪ 1 (3.57)
le d´eveloppement `a l’ordre z´ero repr´esente la condition d’imp´edance pour un
conducteur parfait (PEC)
˜Eξk = 0 + O(p) (3.58)
Le premier ordre repr´esente la condition de Leontovich o`u la variation du champ
´electromagn´etique parall`element `a la surface du conducteur est suppos´ee n´egligeable
˜Eξk = (−1)3−k
p
1 + j
θ
˜Hξ3−k + O(p2
) (3.59)
O`u,
θ = 1 + j
εω
σ
(3.60)
Le deuxi`eme ordre repr´esente la condition de Mitzner et prend en consid´eration
les rayons de courbure de la surface du conducteur
˜Eξk = (−1)3−k
p
1 + j
θ
[1 + p
1 − j
4θ
( ˜d−1
3−k − ˜d−1
k )] ˜Hξ3−k + O(p3
) (3.61)
O`u ˜dk,k=1,2 les rayons de courbure
Le troisi`eme ordre (la condition d’imp´edance de Rytov) prend en consid´eration la
variation des champs ´electromagn´etiques parall`element `a la surface du conducteur
˜Eξk = (−1)3−k
p
1 + j
θ
[ ˜Hξ3−k + p
1 − j
4θ
( ˜d−1
3−k − ˜d
−1
k ) ˜Hξ3−k +
p2
2jθ
(
3 ˜d2
k − ˜d2
3−k − 2 ˜dk
˜d3−k
8 ˜d2
k
˜d2
3−k
) ˜Hξ3−k +
p2
2jθ
(−
∂2 ˜Hξ3−k
∂ξ2
k
+
∂2 ˜Hξ3−k
∂ξ2
3−k
+ 2
∂2 ˜Hξk
∂ξk∂ξ3−k
)] + O(p4
) (3.62)
L’avantage majeur de la m´ethode de Rytov est qu’elle permet de quantifier l’er-
reur d’approximation commise lors de l’emploi de chaque condition d’imp´edance
surfacique. Les erreurs d’approximation de la condition d’un conducteur parfait,
Leontovich, Mitzner et Rytov sont respectivement p,p2
,p3
et p4
.
48

62. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
p = δ
Rmin
Erreurdel’approximation
PEC
Leontovich
Mitzner
Rytov
Figure 3.5 – Erreur de l’approximation pour la condition d’imp´edance d’un
conducteur parfait, Leontovich, Mitzner et Rytov
On remarque que plus l’ordre de d´eveloppement est ´elev´e plus la pr´ecision est
meilleure et plus la complexit´e de l’impl´ementation num´erique est importante.
3.5 Mod`ele d’imp´edance constante par morceaux
Le choix judicieux de l’ordre du d´eveloppement de la condition d’imp´edance
surfacique offre un bon compromis entre la pr´ecision et le coˆut de mise en œuvre.
Pour les objets de g´eom´etrie complexe, il est difficile d’avoir une telle oppor-
tunit´e en utilisant une condition d’imp´edance constante. En effet, l’application
d’une condition d’imp´edance d’ordre ´elev´e sur la surface du conducteur enti`ere
rend l’impl´ementation num´erique tr`es coˆuteuse, sans n´ecessairement apporter une
am´elioration significative `a la pr´ecision. D’autre part, l’utilisation inappropri´ee
des conditions d’imp´edance d’ordre bas peut mener `a une mauvaise mod´elisation
de l’interaction d’onde avec l’objet. Ainsi, il sera int´eressant d’appliquer une
condition d’imp´edance variable, o`u le choix de l’ordre d’approximation d´epend
des propri´et´es g´eom´etriques locales de la surface du conducteur.
49

63. En combinant le d´eveloppement de Rytov et la technique des lignes de niveaux(Level
Set), on a propos´e un mod`ele d’imp´edance constants par morceaux pour un
conducteur de forme g´eom´etrique quelconque.
3.5.1 La m´ethode des lignes de niveaux
La m´ethode des lignes de niveaux a ´et´e introduite par S. Osher et J. Se-
thian [33] dans le domaine de m´ecanique des fluides pour mod´eliser l’´evolution
de la phase d’un fluide au cours de temps. Par la suite, elle a ´et´e appliqu´ee dans
plusieurs domaines [34-38] tels que l’imagerie m´edicale, l’´electromagn´etisme, la
r´esolution des probl`emes inverses...
´Etant donn´e une forme g´eom´etrique dont on veut ´etudier l’´evolution au cours du
temps. La m´ethode consiste `a introduire une fonction, dite de lignes de niveau
ou Level set, prend des valeurs positives `a l’int´erieur de la forme, des valeurs
n´egatives `a l’ext´erieur et elle est nulle sur le bord de la forme.
L’immense avantage de cette mod´elisation g´eom´etrique est que, apr`es la d´efinition
de la fonction lignes de niveau, on peut g´erer automatiquement le changement de
topologie de la forme en ´evolution. Par exemple la forme peut ˆetre divis´ee en deux
ou trois parties, inversement plusieurs formes peuvent fusionner et devenir une
seule forme. On peut retrouver la g´eom´etrie `a n’importe quel instant en tra¸cant
simplement la ligne de niveau de z´ero.
Soit Ω un ouvert de R3
, repr´esente le domaine occup´e par un objet conducteur
tridimensionnel et soit Γ la surface qui entoure Ω. On d´efinit ψ la distance sign´ee
`a l’interface Γ tel que
ψ =
distance(r, Γ) si r ∈ Ω
−distance(r, Γ) si r /∈ Ω
(3.63)
La fonction ψ est positive `a l’int´erieur de Ω, n´egative `a l’ext´erieur et la ligne de
niveau z´ero correspond `a l’interface Γ.
Γ = r ∈ R3
, ψ(r) = 0 (3.64)
50

64. La repr´esentation par la m´ethode des lignes de niveaux permet de calculer faci-
lement les entit´es g´eom´etriques de Γ `a l’aide de la fonction ψ.
Le vecteur normal `a Γ
n =
▽ψ
▽ψ
(3.65)
La courbure moyenne
κ = −▽ · n = −▽ ·
▽ψ
▽ψ
(3.66)
La courbure de Gauss
G = n · Adj(He(ψ))n (3.67)
O`u, He(ψ) est la matrice hessienne de la fonction ψ et Adj(He(ψ)) est l’adjoint
de He(ψ)
Les deux courbures principales
κ1 =
κ −
√
κ2 − G
2
(3.68)
κ2 =
κ +
√
κ2 − G
2
(3.69)
Le rayon de courbure minimal Rψ
Rψ =
1
max(|κ1| , |κ2|)
(3.70)
Alors
Rψ =
2
|κ| +
√
κ2 − G
(3.71)
O`u |κ| est la valeur absolue de κ
N’importe quelle r´egion de la surface du conducteur peut ˆetre repr´esent´ee aussi
par une fonction lignes de niveaux. Soit ζ une courbe ferm´ee d´efinie sur Γ et
repr´esente la fronti`ere d’une r´egion Γz sur la surface du conducteur comme c’est
indiqu´e par figure 3.6.
La fonction lignes de niveaux ϕ associ´ee `a ζ est d´efinie tel que[39]
ζ = ϕ ∩ ψ (3.72)
51

65. Γ
ζ
Figure 3.6 – Repr´esentation g´eom´etrique par la m´ethode des lignes
3.5.2 Algorithme d’optimisation
L’id´ee g´en´erale de l’algorithme que nous allons mettre en œuvre consiste `a
construire la r´epartition optimale de n conditions d’imp´edance Zk 0≤k<n sur la
surface d’un conducteur de forme g´eom´etrique r´eguli`ere et arbitraire de telle sorte
que l’erreur totale de l’approximation soit inf´erieure `a un seuil pr´ed´efini.
Sans perte de g´en´eralit´e, soit Z0, Z1, Z2 et Z3 respectivement les conditions
d’imp´edance d’un conducteur parfait, Leontovich, Mitzner et Rytov. La condition
d’imp´edance totale Z compos´ee de Z0, Z1, Z2 et Z3 est vue comme un op´erateur
constant par morceaux.
Par exemple : Supposant que Z ´egale `a Z0 dans la r´egion Γz et ´egale `a Z1 dans
Γ Γz, alors l’op´erateur Z peut ˆetre exprim´e comme suit
Z = Z0H(ϕ) + Z1(1 − H(ϕ)) (3.73)
O`u, H(ϕ) est la fonction de Heaviside
H(ϕ) =
1 si ϕ > 0
0 si ϕ < 0
(3.74)
D’apr`es les ´equations (3.55) et (3.56) on peut d´eduire l’erreur de l’approximation
totale Eψ associ´ee `a l’expression (3.73). L’erreur commise par l’emploi de Z0 dans
52

66. la r´egion ΓZ est pψ et par l’emploi de Z1 dans la r´egion Γ Γz est p2
ψ.
Donc,
Eψ = pψH(ϕ) + p2
ψ(1 − H(ϕ)) (3.75)
O`u,
pψ =
δ
Rψ
(3.76)
Supposant maintenant qu’on a deux courbes ζ1 et ζ2 sur la surface du conducteur,
repr´esent´ees respectivement par deux fonctions lignes de niveaux ϕ1 et ϕ2. Alors,
la surface du conducteur est divis´ee en quatre r´egions
Γ1 = {r ∈ Γ , ϕ1 > 0 , ϕ2 > 0}
Γ2 = {r ∈ Γ , ϕ1 > 0 , ϕ2 < 0}
Γ3 = {r ∈ Γ , ϕ1 < 0 , ϕ2 > 0}
Γ4 = {r ∈ Γ , ϕ1 < 0 , ϕ2 < 0}
(3.77)
Si, on applique respectivement dans Γ1, Γ2, Γ3 et Γ4 les conditions d’imp´edance
Z0, Z1, Z2 et Z3, on obtient
Z = Z0H(ϕ1)H(ϕ2) + Z1H(ϕ1)(1 − H(ϕ2))
+Z2(1 − H(ϕ1))H(ϕ2) + Z3(1 − H(ϕ1))(1 − H(ϕ2)) (3.78)
L’erreur de l’approximation associ´ee `a Z est
Eψ = pψH(ϕ1)H(ϕ2) + p2
ψH(ϕ1)(1 − H(ϕ2))
+p3
ψ(1 − H(ϕ1))H(ϕ2) + p4
ψ(1 − H(ϕ1))(1 − H(ϕ2)) (3.79)
On remarque ais´ement que n fonctions lignes de niveaux divisent la surface Γ en
2n
r´egions.
Soit bin(i − 1) = (bi
1, bi
2, ..., bi
m) la repr´esentation binaire de i − 1
bi
j ∈ {0, 1} (3.80)
53

67. La condition d’imp´edance totale Z compos´ee par Zi, i = 0, 1, 2, ..., 2n − 1 peut
ˆetre exprim´ee comme suit
Z =
2n
i=1
Zi−1
n
j=1
Ri(ϕj) (3.81)
O`u,
Ri(ϕj) =
H(ϕj) si bi
j = 0
1 − H(ϕj) si bi
j = 1
(3.82)
L’erreur associ´ee `a Z est
Eψ =
2n
i=1
pψ
i
n
j=1
Ri(ϕj) (3.83)
Supposant qu’on cherche `a mod´eliser le conducteur par m conditions d’imp´edance
surfacique Z0≤i≤m−1 de telle sorte que l’erreur totale de l’approximation ne d´epasse
pas un seuil S pr´ed´efini. Le nombre n de fonctions lignes de niveaux n´ecessaires
est fix´e tel que
2n−1
< m ≤ 2n
(3.84)
Le probl`eme peut ˆetre formul´e comme un probl`eme d’optimisation
ϕ∗
1≤i≤n = argmin
ϕ1≤i≤n
J(ϕ1, ϕ2, ..., ϕn) (3.85)
Trouver les fonctions lignes de niveaux ϕ∗
1≤i≤n qui minimisent la fonction objective
J
J(ϕ1, ϕ2, ..., ϕn) = (Eψ − S)2
=
2n
i=1
pψ
i
n
j=1
Ri(ϕj) − S
2
(3.86)
Pour calculer les fonctions ϕ∗
1≤i≤n on utilise un processus it´eratif de type gradient
conjugu´e. On a besoin juste de calculer ∂J
∂ϕi
pour 1 ≤ i ≤ n. On a,
∂J
∂ϕi
= 2 (Eψ − S)
∂Eψ
∂ϕi
(3.87)
54

68. O`u,
∂Eψ
∂ϕi
=
2n
i=1
pψ
i
n
j=1,j=i
Ri(ϕj)) D(ϕi) (3.88)
Et
D(ϕi) =
δ(ϕi) si bi
j = 0
−δ(ϕi) si bi
j = 1
(3.89)
δ(ϕ) est la fonction de Dirac
δ(ϕ) =
1 si ϕ = 0
0 si ϕ = 0
(3.90)
Donc,
∂J
∂ϕi
= 2
2n
i=1
pψ
i
n
j=1
Ri(ϕj) − S ·
2n
i=1
pψ
i
n
j=1,j=i
Ri(ϕj)) D(ϕi) (3.91)
´Etant donn´e un objet conducteur de forme g´eom´etrique r´eguli`ere, l’algorithme
ci-dessous permet de construire un mod`ele d’imp´edance constante par morceaux
1- Calculer le rayon de courbure minimale R
2- ´Etant donn´e une fr´equence f et une conductivit´e σ, v´erifier si p << 1
3- D´efinir le seuil S
4- D´eterminer le nombre n de fonctions lignes de niveaux n´ecessaires.
5- Choisir les fonctions lignes de niveaux initiales ϕ0
1≤i≤n
6- for k ≥ 1 :
- Choisir le pas de descente αi et mettre `a jour les fonctions ϕ1≤i≤n :
ϕk
i = ϕk−1
i − αi
∂J(ϕk−1
1 , ϕk−1
2 , ..., ϕk−1
n )
∂ϕi
(3.92)
- V´erifier la convergence.
55

69. 3.5.3 R´esultats num´eriques
L’objectif de cette section est de pr´esenter les r´esultats num´eriques obtenus
par l’algorithme propos´e, pour construire un mod`ele d’imp´edance constante par
morceaux pour un objet conducteur de forme g´eom´etrique arbitraire.
L’objet consid´er´e est un halt`ere en aluminium (σ = 3.5714×107
S ·m−1
), illumin´e
par une onde plane de fr´equence f = 100MHz.
Figure 3.7 – Objet Conducteur : halt`ere en aluminium
L’impl´ementation de l’algorithme est r´ealis´ee sous Matlab et `a l’aide de la Level
Set ToolBox de Ian Mitchell [40]. Le domaine de calcul D est maill´e par une grille
cart´esienne uniforme, les pas de maillage utilis´es sont hx = hy = hz = 0.05
D = [−2, 2] × [−2, 2] × [−2, 2] (3.93)
La figure 3.8 repr´esente le mod`ele d’imp´edance construit `a l’aide des conditions
PEC, Leontovich, Mitzner et Rytov.
56

70. Figure 3.8 – Mod`ele d’imp´edance constante par morceaux
On remarque que, pour obtenir un mod`ele d’imp´edance assez pr´ecis o`u l’erreur
de l’approximation est de l’ordre de 10−4
, il n’est pas n´ecessaire d’appliquer une
condition d’imp´edance d’ordre ´elev´e sur la surface du conducteur toute enti`ere.
L’avantage majeur de l’algorithme, est qu’il permet d’automatiser la r´epartition
des conditions d’imp´edances d’une mani`ere optimale et selon la pr´ecision voulue.
Cet effet, peut jouer un rˆole crucial dans la mod´elisation et l’optimisation des
structures ´electromagn´etiques.
57

71. 3.6 Conclusion
Dans ce chapitre on a propos´e une m´ethode num´erique permettant de construire
un mod`ele d’imp´edance constante par morceaux pour un objet conducteur de
forme g´eom´etrique quelconque. Il a ´et´e montr´e que cet algorithme permet de
r´ealiser un bon compromis entre la pr´ecision et le coˆut de la mise en œuvre. Ce-
pendant, il a conduit `a une discontinuit´e de la condition d’imp´edance, ce qui peut
produire un ph´enom`ene d’effet de bord lors du calcul de la surface ´equivalente
radar. Afin de profiter de l’avantage num´erique du mod`ele propos´e et ´eliminer
l’effet de la discontinuit´e sur le calcul de champ diffract´e, on proposera dans le
chapitre suivant un algorithme it´eratif qui permet d’´eliminer compl`etement l’effet
de la discontinuit´e et garantir la stabilit´e et la pr´ecision du calcul de la SER.
58

72. Chapitre 4
M´ethode int´egrale par
´el´ements-finis de fronti`ere avec
condition d’imp´edance surfacique
4.1 Introduction
Dans ce chapitre on s’int´eresse au calcul de la surface ´equivalente radar d’un
objet tridimensionnel, en utilisant le mod`ele d’imp´edance constante par morceaux
d´evelopp´e dans le chapitre pr´ec´edent. Dans un premier temps, on commence par
pr´esenter la description physique du probl`eme de diffraction et les hypoth`eses
utilis´ees sur les relations constitutives et les conditions de rayonnement `a l’infini.
On est amen´e notamment `a ´etablir la repr´esentation int´egrale du champ diffract´e
et d´evelopper les ´equations de fronti`ere.
On pr´esente dans un second temps, la formulation discr`ete du probl`eme de diffrac-
tion en utilisant la m´ethode de Galerkin et les ´el´ements finis de Raviart-Thomas.
Afin d’´eliminer l’effet de la discontinuit´e de la condition d’imp´edance sur le cal-
cul de la SER, on adopte une m´ethode de calcul it´erative `a base de l’algorithme
forward/backward et la technique de zone tampon. Par la suite on pr´esente les
r´esultats num´eriques obtenus pour une diffraction dans la zone de Rayleigh et la
zone de r´esonance.
59

73. 4.2 Mod´elisation du probl`eme physique
4.2.1 Description physique
On consid`ere un objet caract´eris´e par une permittivit´e ε, une perm´eabilit´e
µ et une conductivit´e σ et il occupe un volume Ω de fronti`ere Γ. L’objet est
suppos´e plac´e dans l’espace libre (permittivit´e ε0, perm´eabilit´e µ0) et ´eclair´e par
une onde ´electromagn´etique Ei
, Hi
. On suppose que la source de l’onde est
non perturb´ee par la pr´esence de l’objet et elle est plac´ee suffisamment loin de
ce dernier, pour que l’onde incidente pr´esente localement la structure d’une onde
plane.
Ei
,Hi
Ed
,Hd
Ei
,Hi
Ei
,Hi
Ed
,Hd
Ω
Γ
nnnnnn
Figure 4.1 – G´eom´etrie du probl`eme de diffraction
On d´efinit les champs E, H comme la superposition des champs incidents et
des champs diffract´es
E = Ei
+ Ed
(4.1)
H = Hi
+ Hd
(4.2)
Les champs E et H v´erifient les ´equations de Maxwell :
Dans l’espace libre
▽ × E = −jωµ0H (4.3)
▽ × H = jωε0E (4.4)
60

74. ▽ · D = 0 (4.5)
▽ · B = 0 (4.6)
Dans l’objet
▽ × E = −jωµH (4.7)
▽ × H = jωεcE (4.8)
▽ · D = 0 (4.9)
▽ · H = 0 (4.10)
O`u,
E le champ ´electrique en Volts/m
H le champ magn´etique en Amp`ere/m
D le champ de d´eplacement ´electrique en Coulombs/m2
B la densit´e de flux magn´etique en Weber/m2
εc est la permittivit´e complexe, donn´ee par
εc = ε 1 − j
σ
ωε
(4.11)
Les relations de continuit´e s’´ecrivent sur Γ (di´electrique/conducteur)[41]
n × E+
− E−
Γ
= 0 (4.12)
n × H+
− H−
Γ
= 0 (4.13)
n · B+
− B−
Γ
= 0 (4.14)
n · D+
− D−
Γ
= ρs (4.15)
ρs est la densit´e surfacique de charge ´electrique. Les signes (+) et (-) d´esignent
respectivement le voisinage ext´erieur et int´erieur de Γ.
61

75. 4.2.2 Hypoth`eses initiales
4.2.2.1 Relations constitutives
Les relations constitutives relient les champs D et B `a E et H. Dans le cas
g´en´eral et dans un milieu lin´eaire, on a
D =
↔
ε (r, ω) E +
↔
ξ (r, ω) H (4.16)
B =
↔
µ (r, ω) H +
↔
ζ (r, ω) E (4.17)
O`u,
↔
ε (r, ω) ,
↔
ξ (r, ω),
↔
µ (r, ω) et
↔
ζ (r, ω) sont des tenseurs d’ordre 2 qui ca-
ract´erisent les milieux de propagation des champs ´electromagn´etiques
Milieu bianisotrope :
↔
ε =
↔
ξ =
↔
µ =
↔
ζ = 0 (4.18)
Milieu anisotrope : 


↔
ξ =
↔
ζ = 0
↔
ε = 0
↔
µ = 0
(4.19)
Milieu dispersif :
↔
ε et
↔
µ d´ependant de la fr´equence
Milieu inhomog`ene :
↔
ε et
↔
µ d´ependant de la position
Milieu lin´eaire :
↔
ε et
↔
µ sont ind´ependants des champs ´electromagn´etiques
Milieux non magn´etique
↔
µ = µ0 (4.20)
Milieu isotrope :
↔
ε et
↔
µ ne privil´egient aucune composante des champs ´electromagn´etiques.
C’est `a dire
↔
ε et
↔
µ sont diagonaux
↔
ε = ε (r, ω)
↔
I (4.21)
↔
µ = µ (r, ω)
↔
I (4.22)
O`u,
↔
I est le tenseur unit´e.
Dans notre ´etude, on suppose que les milieux sont non magn´etiques, lin´eaires et
isotropes.
62

76. 4.2.2.2 Condition de rayonnement `a l’infini
Le calcul de la surface ´equivalente radar revient `a r´esoudre un probl`eme de
diffraction. Pour assurer l’unicit´e de la solution, les deux conditions suivantes
s’imposent sur le champ diffract´e
La condition de Silver-M¨uller
lim
r→∞
r
µ0
ε0
Hd
×
r
r
− Ed
= 0 (4.23)
Cette condition signifie que les champs diffract´es lointains sont transverses `a r et
ils d´ecroient en 1
r
.
La condition de Meixner
υ
Ed
2
dυ < +∞ υ
Hd
2
dυ < +∞ (4.24)
Cette condition signifie que dans tout domaine υ ∈ R3
la densit´e de puissance
emmagasin´ee est born´ee.
4.2.2.3 Condition d’imp´edance ´equivalente
On suppose que le ph´enom`ene de conduction ´electrique est dominant dans
l’objet
σ >> ωε (4.25)
Cette hypoth`ese semble ˆetre justifi´ee en basses fr´equences, o`u la plupart des objets
ambiants ont tendance `a se comporter comme des conducteurs. Elle permet aussi,
dans le contexte de furtivit´e, de mod´eliser les cibles m´etalliques couvertes par une
couche de di´electrique. Soit Z l’op´erateur d’imp´edance reliant les composantes
tangentielles du champ ´electrique et du champ magn´etique sur la surface Γ, l’objet
est mod´elis´e par l’´equation suivante
n × M = Z J (4.26)
O`u,
J = n × H, M = −n × E (4.27)
63

77. 4.2.3 Repr´esentation int´egrale des champs ´electromagn´etiques
Cette section vise `a ´etablir une repr´esentation int´egrale du champ diffract´e.
On commence par pr´esenter l’expression du champ rayonn´e par une distribution
de sources ´electriques et magn´etiques localis´ees dans un volume υ. Apr`es, on
se base sur le principe d’´equivalence pour d´eduire la repr´esentation int´egrale du
champ diffract´e.
4.2.3.1 Rayonnement des sources en espace libre
Soit un volume qui υ contient une distribution de courants ´electriques Jυ , une
distribution de courants magn´etiques Mυ , une distribution de charges ´electriques
ρe
υ et une distribution de charges magn´etiques ρm
υ
Mυ
JυJυJυ
MυMυ
r′
r
r′
r′
r′
rrrr
P (E, H)P (E, H)P (E, H)P (E, H)
x
y
z
(ε 0, µ0)(ε 0, µ0)(ε 0, µ0)(ε 0, µ0)(ε 0, µ0)
υυυ
Figure 4.2 – Rayonnement des sources en espace libre
les champs rayonn´es v´erifient les ´equations de Maxwell
▽ × E − jωB = −Mυ (4.28)
▽ × H + jωD = Jυ (4.29)
▽ · D = ρe
υ (4.30)
▽ · B = ρm
υ (4.31)
64

78. Les ´equations de conservation des charges s’´ecrivent
div(Jυ) − jωρe
υ = 0 (4.32)
div(Mυ) − jωρm
υ = 0 (4.33)
En utilisant l’´equation (4.32) et la relation vectorielle suivante
rot rot = grad div − △ (4.34)
Et en posant
k2
= ω2
ε0µ0 (4.35)
On d´eduit l’´equation de propagation du champ E
△E (r, ω) + k2
E (r, ω) =
1
jωε0
grad(divJυ (r, ω)) + k2
Jυ (r, ω) + rotMυ (r, ω)
(4.36)
De la mˆeme mani`ere, on peut d´eduire l’´equation de propagation du champ H
△H (r, ω) + k2
H (r, ω) =
1
jωε0
grad(divMυ (r, ω)) + k2
Mυ (r, ω) − rotJυ (r, ω)
(4.37)
Les deux ´equations (4.36) et (4.37) sont de la forme
△A (r, ω) + k2
A (r, ω) = −S (r, ω) (4.38)
O`u,
A (r, ω) =
E (r, ω)
H (r, ω)
(4.39)
Et
S (r, ω) =



−1
jωε0
grad(divJυ (r, ω)) + k2
Jυ (r, ω) − rotMυ (r, ω)
−1
jωε0
grad(divMυ (r, ω)) + k2
Mυ (r, ω) + rotJυ (r, ω)
(4.40)
65