Electromagnetisme et Ondes - Resumé de cours et problemes posés aux concours - Mohamed Lotfi (Proetudes.blogspot.com).pdf

Tables des matières
Avant-propos v
1 Résumé d’électromagnétisme 1
I Electrostatique 3
1. Champ et potentiel électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2. Théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3. Dipôle électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Conducteurs en équilibre électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
II Magnétostatique 17
1. Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2. Loi de Biot et Savart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. Symétries et invariances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Lignes de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Equations locales de la magnétostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6. Relation de passage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7. Dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
III Induction électromagnétique 25
1. Forces de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2. Induction électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
IV Ondes électromagnétiques 31
1. Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2. Équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3. Potentiels vecteur et scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. Équations de propagation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5. Structure d’une onde électromagnétique plane progressive . . . . . . . . . . . 35
6. Onde électromagnétique plane progressive monochromatique (O.EM.P.P.M) . 35
7. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1. Conducteur parfait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2. Réflexion sous incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1. Dipôle de Hertz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
i

2. Moment dipolaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3. Cadre d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4. Champ électromagnétique rayonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Exercices classiques d’électrostatique et de magnétostatique 47
1. Champ électrostatique créé par un segment chargé . . . . . . . . . . . . . . . 47
2. Champ crée par un disque en son axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3. Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 47
4. Étude d’une distribution cylindrique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5. Conducteur - Condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7. Spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
8. Solénoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
9. Dipôle électrostatique - dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3 Corrigé des exercices classiques d’électrostatique et de magnétostatique 55
1. Champ électrostatique créé par un segment chargé . . . . . . . . . . . . . . . 55
2. Champ crée par un disque en son axe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3. Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss . . . . . . . . . . . . . . 57
4. Étude d’une distribution cylindrique de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5. Fil infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6. Spire circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
7. Solénoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8. Dipôle électrostatique - dipôle magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4 Pb : Haut parleur 77
1. Analyse préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2. Etude du dispositif mobile : bobine membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5 Corrigé : Haut parleur 81
1. Analyse préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2. Etude du dispositif mobile : bobine membrane . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6 Pb : Roue de Barlow 85
1. Loi de Lenz, loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2. Roue de Barlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7 Corrigé : Roue de Barlow 89
1. Loi de Lenz, loi de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2. Roue de Barlow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8 Pb : Moteur synchrone 95
1. Le solénoı̈de . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
2. Production d’un champ tournant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3. Entraı̂nement de la pièce mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
M.Lotfi ii

9 Pb : Moteur asynchrone 99
1. Stator de la machine asynchrone : production d’un champ tournant . . . . . 99
2. Entraı̂nement du rotor de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . 100
3. Couple électromagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4. Puissance et rendement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
10 Pb : Propagation d’une onde mécanique 103
1. Propagation d’une onde dans une corde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2. Onde longitudinale dans un barreau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
11 Pb : Propagation d’une onde électromagnétique dans le vide 107
12 Corrigé : Propagation d’une onde électromagnétique dans le vide 109
13 Pb : Propagation d’une onde électromagnétique dans un métal 113
1. Conductivité d’un métal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2. Équations de Maxwell dans un métal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3. Effet de peau dans le métal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
14 Corrigé : Propagation d’une onde électromagnétique dans un métal 117
1. Conductivité d’un métal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2. Équations de Maxwell dans un métal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3. Effet de peau dans le métal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
15 Pb : Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma 123
1. Dynamique d’un plasma libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2. Propagation d’ondes dans un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
16 Corrigé : Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma 127
1. Dynamique d’un plasma libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2. Propagation d’ondes dans un plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
17 Pb : Effet Faraday dans un plasma 131
1. Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
2. OPPM Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3. OPPM Rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
18 Corrigé : Effet Faraday dans un plasma 135
1. Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
2. OPPM Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
3. OPPM Rectiligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
Annexe 141
A Opérateurs mathématiques 143
Opérateurs mathématiques 143
1. Expressions des opérateurs dans divers systèmes de coordonnées . . . . . . . 143
2. Formules des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
iii M.Lotfi

AVANT-PROPOS
Le résumé de cours et les problèmes présentés dans ce livre sont le fruit de plusieurs
années d’enseignement dispensé aux étudiants du cycle de préparation à l’agrégation de
physique, aux étudiants des classes préparatoires aux grandes écoles et aux étudiants de la
licence à l’Ecole Normale Supérieure de Marrakech. Il s’agit d’un cours d’électromagnétisme
et d’ondes électromagnétiques. Notre souci au cours de la rédaction de cet ouvrage a été de
trouver un outil efficace pour aider les étudiants à bien préparer leurs concours, sachant que
lors de la préparation des concours on aura besoin seulement de l’essentiel du cours et des
problèmes bien choisis pour se mettre dans les conditions des concours.
L’ouvrage est formé d’un résumé de cours portant sur l’électrostatique, la magnétostatique,
l’induction électromagnétique et les ondes électromagnétiques. Il contient aussi des exerci-
ces classiques d’électrostatique et de magnétostatique, de neuf problèmes résolus tirés de
concours, ces problèmes traitent les connaissances nécessaires de l’électromagnétisme et des
ondes, et d’une annexe qui rassemble les opérateurs mathématiques utilisés dans différents
systèmes de coordonnées.
La première partie traite des exercices d’électrostatique et de magnétostatique concer-
nant les distributions classiques de charges et de courant telles que : fil infini, spire, plan,
cylindre, sphère, solénoı̈de et dipôles.
Les problèmes qui traitent l’induction électromagnétique sont :
• Roue de Barlow : traite le phénomène d’induction pour le cas d’une roue qui peut jouer
le rôle d’un générateur ou récepteur;
• Moteur synchrone : traite le principe de production d’un champ tournant pour faire
tourner un aimant qui donnera un moteur synchrone;
• Moteur asynchrone : traite le principe de fonctionnement d’un moteur asynchrone pour
montrer sa différence avec le moteur synchrone;
• Haut parleur : traite le principe de fonctionnement d’un haut parleur électrodynamique.
Les problèmes qui traitent la propagation des ondes dans différents domaines sont :
• Propagation d’une onde mécanique : traite la propagation d’une onde dans une corde;
v

• Propagation d’une onde électromagnétique dans le vide;
• Propagation d’une onde électromagnétique dans un métal;
• Propagation d’une onde électromagnétique dans un plasma;
• Effet Faraday dans un plasma : traite la propagation d’une onde électromagnétique
dans un plasma avec la présence d’un champ magnétique permanent.
Cet ouvrage s’adresse bien sûr aux étudiants du cycle de préparation à l’agrégation, aux
étudiants du premier cycle universitaire mais aussi à ceux des classes préparatoires et aux
étudiants préparant le concours d’entrée au CRMEF. Nous espérons qu’il leur sera une aide
précieuse dans leur effort de compréhension de cette branche de la physique.
M.Lotfi vi

1
Résumé d’électromagnétisme
1

Electrostatique Résumé d’électrostatique
1. Champ et potentiel électrostatique
1.1. Loi de Coulomb
Soient q1et q2 deux charges ponctuelles placées dans le vide (figure 1).
q1
q2
P
M
−
→
u r
r
Figure 1:
La force électrostatique exercée par q1 sur q2 est donnée par la loi de Coulomb :
−
→
f 1/2 =
1
4πε0
q1q2
r2
−
→
u r
avec −
→
u r =
−
−
→
P M
P M
1.2. Champ électrostatique
1.2.1. Charge ponctuelle
Soit q une charge ponctuelle placée en un point P.
Si on place une autre charge q0 en un point M alors cette dernière va subir la force
−
→
F de la
part de q telle que :
−
→
F = q0
q
4πε0
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
!
On dit que q crée un champ électrostatique
−
→
E au point M tel que :
−
→
E =
q
4πε0
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
=
q
4πε0
1
k
−
−
→
PMk2
−
→
u r
−
→
E s’exprime en V/m (Volt/mètre)
Donc la force électrostatique exercée sur q0 est donnée par :
−
→
F = q0
−
→
E
Remarque : Analogie électromécanique
Champ gravitationnel ⇐⇒ Champ électrostatique
−
→
G = −Gm
r2
−
→
u r ⇐⇒ q
4πε0r2
−
→
u r
5 M.Lotfi

Résumé d’électrostatique Electrostatique
D’où les analogies :
La masse m ⇐⇒ La charge q
−G ⇐⇒ 1
4πε0
1.2.2. Distribution discrète de charges
Le champ électrostatique crée par un ensemble de N charges ponctuelles en point Mest
donné par :
−
→
E (M) =
1
4πε0
N
X
i=1
qi
−
−
→
PiM
k
−
−
→
PiMk3
1.2.3. Distribution volumique de charges
La densité volumique de charges en un point P est définie par ρ(P) = dq(P )
dτ(P )
.
dq(P) est la charge contenue dans le volume élémentaire dτ(P) entourant P (figure 2).
dτ
P
M
V
Figure 2:
Le champ électrostatique crée par une distribution volumique de charges en un point M
est donné par :
−
→
E (M) =
1
4πε0
Z
Z
Z
V
ρ(P)
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
dτ(P)
1.2.4. Distribution surfacique de charges
La densité surfacique de charges en un point P est définie par σ(P) = dq(P )
dS(P )
.
dq(P) est la charge contenue dans la surface élémentaire dS(P) entourant P (figure 3).
Le champ électrostatique crée par une distribution surfacique de charges en un point M
est donné par :
−
→
E (M) =
1
4πε0
Z
Z
Σ
σ(P)
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
dS(P)
1.2.5. Distribution linéique de charges
La densité linéique de charges en un point P est définie par λ(P) = dq(P )
dl(P )
.
dq(P) est la charge portée par la longueur élémentaire dl(P) centrée sur P (figure 4).
M.Lotfi 6

ds
P
M
Σ
Figure 3:
dl
P
M
Γ
Figure 4:
Le champ électrostatique crée par une distribution linéique de charges en un point M est
donné par :
−
→
E (M) =
1
4πε0
Z
Γ
λ(P)
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
dl(P)
1.3. Symétrie et invariance
1.3.1. Symétrie
Soit D une distribution de charge.
On dit que D présente un plan de symétrie Π si et seulement si :
• Π est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P′
deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π on a
ρ(P) = ρ(P′
) (ou σ(P) = σ(P′
), λ(P) = λ(P′
) ou q(P) = q(P′
))
Le plan de symétrie de la distribution de charges est aussi un plan de symétrie pour le champ
électrostatique (figure 5).
D’où
M′
= symΠ
(M) =⇒
−
→
E (M) = symΠ
(
−
→
E (M′
))
D’où les résultats :
•
−
→
E //(M) =
−
→
E //(M′
)
7 M.Lotfi

P P′
M
M′
−
→
E (M)
−
→
E //(M)
−
→
E ⊥(M)
−
→
E (M′
)
−
→
E ⊥(M′
)
−
→
E //(M′
)
D
Π
Figure 5:
•
−
→
E ⊥(M) = −
−
→
E ⊥(M′
)
• En un point M appartenant au plan de symétrie d’une distribution de charges le champ
électrostatique est contenu dans ce plan.
1.3.2. Antisymétrie
On dit que D présente un plan d’antisymétrie Π⋆
si et seulement si :
• Π⋆
est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P′
deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π⋆
on a
ρ(P) = −ρ(P′
) (ou σ(P) = −σ(P′
), λ(P) = −λ(P′
) ou q(P) = −q(P′
))
Le plan d’antisymétrie de la distribution de charges est aussi un plan d’antisymétrie pour le
champ électrostatique (figure 6).
D’où
M′
= symΠ⋆
(M) =⇒
−
→
E (M) = −symΠ⋆
(
−
→
E (M′
))
P P′
M
M′
−
→
E (M)
−
→
E ⊥(M)
−
→
E //(M)
−
→
E (M′
)
−
→
E //(M′
)
−
→
E ⊥(M′
)
D
Π⋆
Figure 6:
M.Lotfi 8

•
−
→
E //(M) = −
−
→
E //(M′
)
•
−
→
E ⊥(M) =
−
→
E ⊥(M′
)
• En un point M appartenant au plan d’antisymétrie d’une distribution de charges le
champ électrostatique est perpendiculaire à ce plan.
1.3.3. Invariance
On dit qu’une distribution de charges est invariante par translation suivant ∆(u) si et seule-
ment si toute translation selon ∆ (c.à.d ∀u) laisse invariante D.
Ce qui donne
−
→
E indépendant de u.
D est invariante par rotation autour de ∆(α) si et seulement si toute rotation autour de ∆
(c.à.d ∀α) laisse invariante D.
Ce qui donne
−
→
E indépendant de α.
Exemple :
• cylindre infini (ou de hauteur très grande devant le rayon) uniformément
chargé
Invariance par translation suivant Oz d’où E(r, θ, z) = E(r, θ)
Invariance par rotation selon θ d’où E(r, θ) = E(r)
• Sphère uniformément chargée
Invariance par rotation selon θ d’où E(r, θ, ϕ) = E(r, ϕ)
Invariance par rotation selon ϕ d’où E(r, ϕ) = E(r)
1.4. Potentiel électrostatique
La circulation élémentaire du champ électrostatique est donnée par :
δC =
−
→
E .d(−
→
r ) =
q
4πε0
1
r2
−
→
e r. [dr−
→
e r + rd(−
→
e r)] =
q
4πε0
1
r2
dr
= −d

q
4πε0
1
r
+ cte

On définit le potentiel électrostatique crée par une charge q par :
V (M) =
q
4πε0
1
r
Cas d’une distribution discrète de N charges :
V (M) =
1
4πε0
N
X
i=1
qi
PiM
Cas d’une distribution volumique de charges :
V (M) =
1
4πε0
Z
Z
Z
V
ρ(P)
PM
dτ(P)
9 M.Lotfi

Cas d’une distribution surfacique de charges :
V (M) =
1
4πε0
Z
Z
Σ
σ(P)
PM
dS(P)
Cas d’une distribution linéique de charges :
V (M) =
1
4πε0
Z
Γ
λ(P)
PM
dl(P)
Propriétés :
• dV = −
−
→
E .d
−
→
M
•
−
→
E = −
−
−
→
grad V on dit que
−
→
E dérive d’un potentiel V
• La circulation de
−
→
E entre deux points A et B est :
Z B
A
−
→
E .d−
→
r = V (A) − V (B)
• Pour un contour C fermé on a : I
C
−
→
E .d−
→
r = 0
On dit que
−
→
E est à circulation conservative.
On exprime la conservation de la circulation du champ électrostatique sous la forme
locale en écrivant :
−
→
rot
−
→
E =
−
→
0
1.5. Lignes de champ et surfaces équipotentielles
1.5.1. Lignes de champ
Une ligne de champ est une courbe telle que en chacun de ses points M le vecteur
−
→
E (M)
est tangent et orienté dans le même sens que
−
→
E (M).
Mathématiquement c’est l’ensemble des points M tels que :
−
→
E (M) ∧ d
−
−
→
OM = 0 ou
−
→
E (M) = a d
−
−
→
OM (a = cte 0)
On peut expliciter ces deux équations dans différents systèmes de coordonnées sous la forme
:
• Coordonnées cartésiennes : dx
Ex
= dy
Ey
= dz
Ez
• Coordonnées cylindriques : dr
Er
= rdθ
Eθ
= dz
Ez
• Coordonnées sphériques : dr
Er
= rdθ
Eθ
= r sin θdϕ
Eϕ
Remarque :
En un point M ne passe qu’une seule ligne de champ sauf si
−
→
E n’est pas défini en ce point
ou nul.
L’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour fermé est appelé tube de champ
électrostatique.
M.Lotfi 10

1.5.2. Surfaces équipotentielles
Une surface équipotentielle Σ est l’ensemble des points tels que le potentiel est constant.
Mathématiquement :
Σ = {M/V (M) = cte}
Propriété :
Les lignes de champ sont perpendiculaires aux surfaces équipotentielles et sont orientées dans
le sens des potentiels décroissants.
2. Théorème de Gauss
2.1. Énoncé
Le flux du champ électrostatique
−
→
E à travers une surface fermée Sf est égale au rapport
de la charge se trouvant à l’intérieur de Sf et ε0.
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
Par convention d
−
→
S = dS−
→
n (M) est orienté vers l’extérieur.
2.2. Formulation locale du théorème de gauss
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
=
Z
Z
Z
ρ
ε0
dτ
Or d’après la formule d’Ostrogradsky on a
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Z
Z
Z
V
div
−
→
E dτ
avec V le volume entouré par Sf
Alors
RRR
V

div
−
→
E − ρ
ε0

= 0
Ainsi
div
−
→
E =
ρ
ε0
C’est la forme locale de l’équation de Gauss appelé aussi équation de Maxwell-Gauss.
2.3. Équation de Poisson - Éequation de Laplace
On a div
−
→
E = ρ
ε0
et
−
→
E = −
−
−
→
grad V
Donc div(−
−
−
→
grad V ) = ρ
ε0
Or div(
−
−
→
grad f) = ∆f (∆f est le lapacien de f)
D’où l’équation de Poisson :
∆V +
ρ
ε0
= 0
11 M.Lotfi

En absence de charges (ρ = 0) V vérifie l’équation de Laplace :
∆V = 0
En régime stationnaire, la solution de l’équation de Poisson pour une distribution de
charges D finie et à condition de prendre V (∞) = 0 est :
V (M) =
1
4πε0
Z
Z
Z
P ǫD
ρ(P)
PM
dτ(P)
3. Dipôle électrostatique
3.1. Définition
On appelle dipôle électrostatique le système constitué de deux charges ponctuelles
opposées −q et q situées en deux points N et P distants de a et tels que a = NP soit
très petite devant les autres distances envisagées (figure 7).
P
N
O
θ
z M
r
a
2
a
2
Figure 7:
3.2. Moment dipolaire
Le moment dipolaire d’une distribution de charges, telles que
PN
i=1 qi = 0, est défini par
:
−
→
p =
N
X
i=1
qi
−
−
→
ONi
Dans le cas d’un dipôle électrostatique le moment dipolaire est donné par :
−
→
p = q
−
−
→
NP
Le moment dipolaire s’exprime en C.m (Coulomb. mètre).
M.Lotfi 12

3.3. Champ et potentiel crée par un dipôle électrostatique
Dans l’approximation dipolaire c’est-à-dire en un point M tel que OM = r ≫ a le
potentiel et le champ électrostatiques crées par un dipôle sont :
V (M) =
−
→
p .−
→
r
4πε0r3
−
→
E (M) =
3 (−
→
p .−
→
r ) −
→
r − −
→
p r2
4πε0r5
3.4. Lignes de champ et surfaces équipotentielles d’un dipôle
z
lignes de champ
équipotentielles
zone du dipôle où
l’approximation dipolaire
n’est pas valable
−
→
p
(trop près du dipôle)
axe du dipôle
Figure 8:
4. Conducteurs en équilibre électrostatique
4.1. Définition
Un conducteur est un milieu ayant des charges libres à se déplacer. Par exemple dans
les conducteurs métalliques ces charges sont les électrons et dans les électrolytes ces charges
sont des ions.
Un conducteur est en équilibre électrostatique si les charges libres n’ont pas un mouvement
d’ensemble.
13 M.Lotfi

4.2. Propriétés d’un conducteur en équilibre électrostatique
4.2.1. Champ à l’intérieur du conducteur
Le champ électrostatique à l’intérieur d’un conducteur en équilibre électrostatique est nul :
−
→
E int =
−
→
0
4.2.2. Densité volumique de charge
La densité volumique des charges est nulle dans un conducteur en équilibre électrostatique :
ρ = 0
S’il existent des charges en excès elles vont se répartir sur la surface du conducteur.
4.2.3. Potentiel électrostatique
Le potentiel électrostatique est uniforme sur tout le conducteur en équilibre électrostatique.
Vint = cte
On dit que le volume du conducteur est équipotentiel.
4.2.4. Théorème de Coulomb
Au voisinage immédiat d’un conducteur en équilibre électrostatique le champ électrostatique
est normal à la surface au point considéré et vaut :
−
→
E (M) =
σ
ε0
−
→
n (M)
Avec :
σ la densité surfacique de charges à la surface du conducteur;
−
→
n (M) la normale à la surface sortante du conducteur vers l’extérieur au point considéré.
4.3. Théorème des éléments correspondants
Deux éléments C1 et C2 de deux conducteurs en équilibre électrostatique n’ayant pas le
même potentiel sont dits correspondants si toutes les lignes de champ partant de l’un arrivent
sur l’autre.
Théorème :
Les charges portées par deux éléments correspondants sont opposées.
Q1 = −Q2
4.4. Condensateur
4.4.1. Définition
Un condensateur est l’ensemble de deux conducteurs en équilibre électrostatique en influence
électrostatique ”totale”1
.
Les deux conducteurs sont appelés les armatures du condensateur.
1
toutes les lignes de champ partant du conducteur 1 arrive sur le conducteur 2
M.Lotfi 14

4.4.2. Capacité d’un condensateur
C’est sa capacité à emmagasiner les charges elle est définie par :
C =
Q1
V1 − V2
Avec :
Q1 : la charge portée par l’armature 1;
V1 : le potentiel de l’armature 1;
V2 : le potentiel de l’armature 2.
Pour calculer la capacité d’un condensateur on suit les étapes suivantes :
1. On calcule le champ électrostatique entre les armatures, en général en appliquant le
théorème de Gauss.
2. On calcule la circulation de
−
→
E entre les armatures telle que :
V1 − V2 =
Z 2
1
−
→
E .d
−
→
l
3. On calcule la charge sur l’une des armatures.
4. On déduit C = Q1
V1−V2
4.4.3. Énergie emmagasinée dans un condensateur
L’énergie électrostatique emmagasinée dans un condensateur est donnée par :
Ee =
1
2
Q2
C
=
1
2
Q1 (V1 − V2) =
1
2
C (V1 − V2)2
15 M.Lotfi

Magnétostatique Résumé de magnétostatique
1. Définition
On définit le champ magnétique par son action sur une particule de charge q animée
d’une vitesse −
→
v , cette action représente la force de Lorentz :
−
→
F = q−
→
v ∧
−
→
B
D’après cette définition on peut déduire que le vecteur champ magnétique est un pseudo-
vecteur, son sens dépend de l’orientation de l’espace. On dit aussi qu’il est axial.
2. Loi de Biot et Savart
Pour une distribution linéique de courant le champ magnétique s’écrit :
−
→
B (M) =
µ0
4π
I
Id
−
→
l ∧
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
Pour une distribution surfacique de courant le champ magnétique s’écrit :
−
→
B (M) =
µ0
4π
Z
Z
−
→
j s(P) ∧
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
dS(P)
Pour une distribution volumique de courant le champ magnétique s’écrit :
−
→
B (M) =
µ0
4π
Z
Z
Z
−
→
j (P) ∧
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
dτ(P)
On peut donner d’une manière générale la loi de Biot et Savart sous la forme :
−
→
B (M) =
µ0
4π
Z
Z
Z
d
−
→
C (P) ∧
−
−
→
PM
k
−
−
→
PMk3
Avec d
−
→
C l’élément de courant donné par :
• Dans le cas d’un distribution linéique de courant : d
−
→
C = Id
−
→
l
• Dans le cas d’une distribution surfacique de courant : d
−
→
C =
−
→
j sdS
• Dans le cas d’une distribution volumique de courant d
−
→
C =
−
→
j dτ
• Dans le cas d’une seule charge q ayant la vitesse −
→
v on a d
−
→
C = q−
→
v
3. Symétries et invariances
3.1. Symétries
3.1.1. Plan de symétrie
Soit D une distribution de courant.
On dit que D présente un plan de symétrie Π si et seulement si :
19 M.Lotfi

Résumé de magnétostatique Magnétostatique
• Π est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P′
deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π on a
dI(P) = symΠ
dI(P′
)
Le plan de symétrie de la distribution de courant est plan d’antisymétrie pour le champ
magnétique (figure 9).
D’où
M′
= symΠ
(M) =⇒
−
→
B (M) = −symΠ
(
−
→
B (M′
))
P P′
M
M′
−
→
B (M)
−
→
B //(M)
−
→
B ⊥(M)
−
→
B (M′
)
−
→
B //(M′
)
−
→
B ⊥(M′
)
D
Π
Figure 9:
•
−
→
B //(M) = −
−
→
B //(M′
)
•
−
→
B ⊥(M) =
−
→
B ⊥(M′
)
• En un point M appartenant au plan de symétrie d’une distribution de courants le champ
magnétique est perpendiculaire à ce plan.
3.1.2. Plan d’antisymétrie
Soit D une distribution de courant.
On dit que D présente un plan de d’antisymétrie Π⋆
si et seulement si :
• Π⋆
est un plan de symétrie géométrique
• ∀ P et P′
deux points, de la distribution D, symétriques par rapport à Π⋆
on a
dI(P) = −symΠ⋆ dI(P′
)
Le plan de symétrie de la distribution de courant est plan de symétrie pour le champ
magnétique (figure 10).
D’où
M′
= symΠ⋆
(M) =⇒
−
→
B (M) = −symΠ⋆
(
−
→
B (M′
))
•
−
→
B //(M) =
−
→
B //(M′
)
M.Lotfi 20

P P′
M
M′
−
→
B (M)
−
→
B //(M)
−
→
B ⊥(M)
−
→
B (M′
) −
→
B //(M′
)
−
→
B ⊥(M′
)
D
Π⋆
Figure 10:
•
−
→
B ⊥(M) = −
−
→
B ⊥(M′
)
• En un point M appartenant au plan d’antisymétrie d’une distribution de courants le
champ magnétique est contenu dans ce plan.
3.2. Invariance
Lorsqu’une distribution de courant est invariante par translation ou par rotation,
−
→
B ne
dépend pas de la variable correspondante.
4. Lignes de champ
Une ligne de champ est une courbe tangente au champ magnétique en chacun de ses
points et elle est orienté dans le même sens que le champ.
c’est l’ensemble des points M tels que
−
→
B (M) ∧ d
−
−
→
OM =
−
→
0
On appelle tube de champ l’ensemble des lignes de champ qui s’appuient sur un contour
fermé.
5. Equations locales de la magnétostatique
5.1. Flux de
−
→
B
Le flux de
−
→
B à travers une surface S est défini par
Φ =
Z
Z
S
−
→
B .d
−
→
S
Pour une surface fermée Sf on a Z
Z

Sf
−
→
B .d
−
→
S = 0
On dit que
−
→
B est à flux conservatif.
La conservation du flux s’exprime aussi d’une manière locale sous la forme :
div
−
→
B = 0
21 M.Lotfi

5.2. Circulation de
−
→
B - Théorème d’Ampère
5.2.1. Définition
La circulation de
−
→
B sur un contour entre C et D est défini par
Z D
C
−
→
B .d
−
→
l
5.2.2. Théorème d’Ampère
La circulation de
−
→
B le long d’un contour fermé C est égale au produit de µ0 et le courant
traversant une surface qui s’appuie sur C appelé courant enlacé.
I
C
−
→
B .d
−
→
l = µ0Ienlacé
Remarque :
Pour calculer Ienlacé on oriente le contour C d’une manière arbitraire et à l’aide de la règle
de la main droite on détermine le sens positif des courant traversant une surface s’appuyant
sur C.
5.2.3. Théorème d’Ampère local
Le théorème d’Ampère sous sa forme locale s’écrit :
−
→
rot
−
→
B = µ0
−
→
j
5.3. Potentiel vecteur
−
→
A
Le potentiel vecteur
−
→
A est relié au champ
−
→
B par
−
→
B =
−
→
rot
−
→
A
5.4. Équation de Poisson de la magnétostatique
∆
−
→
A + µ0
−
→
j =
−
→
0
La solution de l’équation de Poisson par analogie avec l’électrostatique s’écrit :
−
→
A(M) =
µ0
4π
Z
Z
Z −
→
j (P)
PM
dτ(P)
Et d’une manière générale on peut définir le potentiel
−
→
A par :
−
→
A(M) =
µ0
4π
Z
Z
Z
D
d
−
→
C (P)
PM
M.Lotfi 22

6. Relation de passage
À la traversé d’une surface portant une distribution de courant surfacique
−
→
j s on a
−
→
B 2(M+
) −
−
→
B 1(M−
) = µ0
−
→
j s ∧ −
→
n 12
M+
point se trouvant dans le milieu 2 au voisinage de M
M−
point se trouvant dans le milieu 1 au voisinage de M
−
→
n 12 la normale à la surface au point M considéré orientée du milieu 1 au milieu 2.
7. Dipôle magnétique
7.1. Définition
On appelle dipôle magnétique une boucle de courant modélisée par une spire parcouru par
un courant I telle que la dimension de la sprie est négligeable devant les autres dimensions
considérées.
7.2. Moment magnétique
Le moment magnétique d’un dipôle magnétique est défini par
−
→
M = I
−
→
S
Avec
−
→
S = S−
→
n le vecteur surface du dipôle. Remarque :
On peut définir d’une manière générale le moment magnétique d’une distribution de courant
d’élément de courant d
−
→
C par
−
→
M =
1
2
Z
D
−
→
OP ∧ d
−
→
C (P)
7.3. Champ et potentiel crées par un dipôle magnétique
On se place ici dans l’approximation dipolaire pour laquelle on a
r ≫ R
I
M
R
r
axe du dipôle
Figure 11:
avec R le rayon du dipôle magnétique.
r la distance où se trouvant le point M où on calcule le champ et le potentiel (figure 11).
23 M.Lotfi

7.3.1. Potentiel vecteur
−
→
A(M) =
µ0
4π
−
→
M ∧ −
→
r
r3
=
µ0
4π
−
→
M ∧ −
→
e r
r2
7.3.2. Champ
−
→
B (M) =
µ0
4π
3(
−
→
M.−
→
r )−
→
r − r2−
→
M
r5
=
µ0
4π
3(
−
→
M.−
→
e r)−
→
e r −
−
→
M
r3
7.3.3. Lignes de Champ
Les lignes de champ d’un dipôle magnétique dans l’approximation dipolaire sont représentées
sur la figure (12).
z
n’est pas valable
−
→
M
axe du dipôle
Figure 12:
M.Lotfi 24

Part III
Induction électromagnétique
25

Induction électromagnétique Résumé d’induction
1. Forces de Laplace
1.1. Définition
Un circuit C filiforme parcouru par un courant i est placé dans une zone où règne un
champ magnétique
−
→
B subit la force de Laplace :
−
→
F L =
I
C
id
−
→
l ∧
−
→
B
Dans la cas volumique la force de Laplace s’écrit :
−
→
F L =
I
C
−
→
j ∧
−
→
B dτ
1.2. Travail des forces de Laplace
1.2.1. Cas général
lors d’un déplacement élémentaire du circuit C le travail des forces de Laplace est :
δw = iδΦc
avec δΦc est le flux coupé : c’est le flux de
−
→
B à travers la surface balayée par C pendant son
déplacement entre t et t + dt (figure 13).
C à l’instant t C à l’instant t + dt
Surface balayée par C
Figure 13:
1.2.2. Cas de
−
→
B permanent
Dans le cas où
−
→
B est permanent on a
δw = idΦ
Avec Φ est le flux de
−
→
B à travers une surface qui s’appuie sur C.
−
→
d Φ est la variation du flux du flux entre les instants t et t + dt.
27 M.Lotfi

Résumé d’induction Induction électromagnétique
1.2.3. Cas de
−
→
B permanent et I stationnaire
Wi→f = I (Φf − Φi) c’est le théorème de Maxwell
W est indépendant du chemin suivi alors
−
→
F L dérive d’une énergie potentielle
Ep = −IΦ + cte
d’où
−
→
F L = −
−
−
→
gradEp = −I
−
−
→
gradΦ
1.2.4. Règle du flux maximum
Dans une position d’équilibre stable du circuit C le flux de
−
→
B , à travers une surface qui
s’appuie sur
−
→
B , est maximum.
1.3. Effet d’un champ magnétique sur un dipôle
1.3.1. Cas d’un champ uniforme
Dans le cas d’un d’un champ
−
→
B e uniforme son effet sur le dipôle se réduit à un couple de
moment
−
→
Γ =
−
→
M ∧
−
→
B e
Avec
−
→
M = I
−
→
S le moment dipolaire du dipôle.
1.3.2. Energie potentielle
L’énergie potentielle d’interaction d’un dipôle avec un champ
−
→
B e s’écrit :
Ep = −
−
→
M.
−
→
B
1.3.3. Cas d’un champ non uniforme
Dans le cas d’un dipôle placé dans un champ
−
→
B e non uniforme la résultante appliquée par
−
→
B e
−
→
F =
−
−
→
grad
−
→
M.
−
→
B e

2. Induction électromagnétique
2.1. Définition
On appelle Induction électromagnétique l’apparition d’un courant électrique ou d’une
force électromotrice dans uns circuit ne contenant pas de générateur.
Deux cas particuliers se présentent pour avoir de l’induction :
2.1.1. Induction de Lorentz
Circuit en mouvement dans un champ
−
→
B permanent (indépendant du temps).
Pour calculer la force électromotrice qui apparaı̂t dans le circuit dans ce cas on peut utiliser
la circulation du champ électromoteur
−
→
E m :
e =
I
circuit
−
→
E m.
−
→
dl
M.Lotfi 28

Induction électromagnétique Résumé d’induction
−
→
E m = −
∂
−
→
A
∂t
+ −
→
v ∧
−
→
B = −
→
v ∧
−
→
B
Car le champ magnétique est indépendant du temps est donc le potentiel vecteur
−
→
A est aussi
indépendant du temps.
−
→
v est la vitesse du circuit dans le référentiel d’étude.
2.1.2. Induction de Neumann
Circuit fixe dans un champ magnétique variable variable.
Pour calculer la force électromotrice qui apparaı̂t dans le circuit dans ce cas on peut utiliser
la circulation du champ électromoteur
−
→
E m :
e =
I
circuit
−
→
E m.
−
→
dl
−
→
E m = −
∂
−
→
A
∂t
+ −
→
v ∧
−
→
B = −
∂
−
→
A
∂t
Car le circuit est fixe donc −
→
v =
−
→
0
2.2. Lois de l’induction
2.2.1. Loi de Faraday
On peut calculer la force électromotrice qui apparaı̂t dans un circuit dans le cas de Lorentz
ou de Neumann en utilisant la loi de Faraday :
e = −
dΦ
dt
Avec Φ le flux du champ magnétique
−
→
B à travers une surface qui s’appuie sur le circuit.
2.2.2. Loi de Lenz
Le courant induit qui apparaı̂t dans un circuit tend, par ses effets, à s’opposer à la cause qui
lui a donné naissance.
2.3. Auto et mutuelle induction
2.3.1. Auto induction
Un courant i(t) dans un circuit C crée un champ magnétique propre
−
→
B p qui aura pour flux
à travers une surface qui s’appuie sur le circuit :
Φp =
Z
Z
−
→
Bp(M).d
−
→
S (M) =
I
C
−
→
Ap(M).d
−
→
l
et
−
→
Ap(M) =
µ0
4π
i
I
C
−
→
dl(P)
PM
Donc
Φp =
µ0
4π
I
C
I
C
−
→
dl(P)
−
→
dl(M)
PM
!
i
29 M.Lotfi

Résumé d’induction Induction électromagnétique
Qu’on peut écrire sous la forme :
Φp = Li
avec
L =
µ0
4π
I
C
I
C
−
→
dl(P)
−
→
dl(M)
PM
est l’inductance propre du circuit a comme unité le Henry (H).
L est toujours positive, pour le cas d’un circuit rigide L = cte.
Donc la force électromotrice qui apparaı̂t par auto induction dans un circuit rigide est :
ep = −
dΦp
dt
= −L
di
dt
2.3.2. Mutuelle induction
Dans le cas de deux circuits placés l’un à côté de l’autre alors le courant du circuit 1 a un
flux à travers le circuit 2 et vice-versa.
Tel que :
Φ1→2 = M1−2 i1
et
Φ2→1 = M2−1 i2
avec
M = M1−2 = M2−1 =
µ0
4π
I
C1
I
C2
−
→
dl1
−
→
dl2
r12
est appelé coefficient d’inductance mutuelle (M peut être positif ou négatif).
On montre que |M|
√
L1L2
Dans le cas de deux circuits rigides et fixes l’un par rapport à l’autre M = cte.
La force électromotrice qui apparaı̂t dans le circuit 1 par exemple, circuit rigide fixe par
rapport au circuit 2, est donné par :
e1 = −
dΦp1
dt
−
dΦ2→1
dt
= −L1
di1
dt
− M
di2
dt
L’énergie emmagasinée dans les deux circuits est donnée par :
W =
1
2
L1i2
1 +
1
2
L2i2
2 + Mi1i2
2.4. Courants de Foucault
Un conducteur métallique volumique placé dans un champ magnétique variable ou mis
en mouvement dans un champ magnétique permanent est le siège de courants volumiques
qu’on appelle courants de Foucault.
Ces courants correspondent au mouvement des électrons libres dans des trajectoires fermées
à l’intérieur du conducteur tel que la loi d’Ohm microscopique est vérifiée :
−
→
j = γ
−
→
E
Remarque : Lors des résolutions des problèmes d’induction électromagnétique on fait une
étude électrique dans laquelle on calcule la force électromotrice e et une étude mécanique où
on aura besoin de la force de Laplace
−
→
F L appliquée sur un circuit filiforme parcouru par
un courant i dans un champ magnétique :
−
→
F L = i
I
−
→
dl ∧
−
→
B
M.Lotfi 30

Part IV
Ondes électromagnétiques
31

Ondes électromagnétiques Résumé d’ondes électromagnétiques
1. Définitions
• On appelle onde tout phénomène physique décrit par une fonction S(M, t) qui dépend
des coordonnées d’espace et du temps.
• Une onde est dite plane si on peut trouver un système de coordonnées cartésiennes
tel que S(M, t) dépend d’une seule coordonnée cartésienne et du temps.
• Une surface d’onde est l’ensemble de points M défini à un instant t par
{M/S(M, t) = cte}
Pour une onde plane les surfaces d’onde sont des plans.
• Une onde plane progressive (O.P.P) est onde plane qui se propage dans un sens bien
déterminé.
2. Équations de Maxwell
Les équations de base de l’électromagnétisme dans le vide, en présence de charges et de
courants, sont les quatres équations de Maxwell :
Maxwell-Gauss : div
−
→
E =
ρ
ε0
; Maxwell-flux : div
−
→
B = 0
Maxwell-Faraday :
−
→
rot
−
→
E = −
∂
−
→
B
∂t
; Maxwell-Ampère :
−
→
rot
−
→
B = µ0
−
→
j + ε0
∂
−
→
E
∂t
!
Avec :
• ρ est la densité volumique de charge : ρ = dq
dτ
•
−
→
j la densité volumique de courant :
−
→
j =
P
k ρk
−
→
v k
ρk est la densité de charges mobiles de type k qui ont une vitesse −
→
v k
À ces équations de Maxwell s’ajoute la force de Lorentz :
−
→
F L = q
−
→
E + −
→
v ∧
−
→
B

La relation qui exprime la conservation locale de la charge électrique se déduit de ces
équations :
∂ρ
∂t
+ div
−
→
j = 0
33 M.Lotfi

Résumé d’ondes électromagnétiques Ondes électromagnétiques
3. Potentiels vecteur et scalaire
3.1. Définition
les potentiels vecteur
−
→
A et scalaire V Sont reliés au champ électromagnétique par
−
→
B =
−
→
rot
−
→
A
−
→
E = −
−
−
→
grad V −
∂
−
→
A
∂t
−
→
A et V ne sont pas uniques d’où on ajoute une condition de jauge, la jauge de Lorentz
est :
div
−
→
A +
1
c2
∂V
∂t
= 0
3.2. Equations de Poisson
On peut montrer, à l’aide des équations de Maxwell et la jauge de Lorentz, les
équations de Poisson :
△
−
→
A −
1
c2
∂2−
→
A
∂t2
= −µ0
−
→
j
△V −
1
c2
∂2
V
∂t2
= −
ρ
ε0
Les solutions des équations de Poisson donnent la définitions des potentiels retardés
crées par une distribution finie D en un point M à un instant t :
V (M, t) =
1
4πε0
Z
Z
Z
P ∈D
ρ P, t − P M
c

PM
dτ(P)
−
→
A(M, t) =
µ0
4π
Z
Z
Z
P ∈D
−
→
j P, t − P M
c

PM
dτ(P)
où P M
c
est le temps de retard dû à la propagation de l’onde pour aller du point P au point M.
3.3. A.R.Q.P
L’Approximation des Régimes Quasi-Stationnaire ou Quasi-Permanent (A.R.Q.S ou
A.R.Q.P) consiste à négliger le temps de retard P M
c
devant un temps caractéristique de
l’évolution de ρ(P, t) et
−
→
j (P, t) par exemple devant la période. Ce qui nous permet d’écrire
:
V (M, t) =
1
4πǫ0
Z
Z
Z
P ∈D
ρ (P, t)
PM
dτ(P)
−
→
A(M, t) =
µ0
4π
Z
Z
Z
P ∈D
−
→
j (P, t)
PM
dτ(P)
M.Lotfi 34

4. Équations de propagation
On les établit, par exemple dans la cas de
−
→
E , en calculant
−
→
rot
−
→
rot(
−
→
E )

=
−
−
→
grad(div
−
→
E ) − ∆
−
→
E
et en utilisant les équations de Maxwell :
M. G
−
→
∇.
−
→
E = ρ
ε0
; M. Φ
−
→
∇.
−
→
B = 0
M. F
−
→
∇ ∧
−
→
E = −∂
−
→
B
∂t
; M. A
−
→
∇ ∧
−
→
B = µ0
−
→
j + 1
c2
∂
−
→
E
∂t
avec : c =
q
1
µ0ε0
≃ 3.108
m.s−1
la célérité de l’onde électromagnétique dans le vide.
Dans le cas du vide les équations de propagation s’écrivent :
∆
−
→
E −
1
c2
∂2−
→
E
∂2t
=
−
→
0 et ∆
−
→
B −
1
c2
∂2−
→
B
∂2t
=
−
→
0
Les solutions de ces équations s’écrivent dans le cas d’une onde plane se propageant selon
z :
S(M, t) = f+(z − ct) + f−(z + ct)
S = Ex, Ey, Ez, Bx, By ou Bz
avec
• f+(z − ct) : est une O.P.P se propageant dans le sens des z croissants avec la célérité c
• f−(z + ct) : est une O.P.P se propageant dans le sens des z décroissants avec la célérité
c
5. Structure d’une onde électromagnétique plane progres-
sive
Considérons une O.P.P qui se propage selon une direction −
→
u .
On peut montrer à l’aide des équations de Maxwell que :
•
−
→
E ⊥−
→
u on dit que
−
→
E est transverse
•
−
→
B ⊥−
→
u on dit que
−
→
B est transverse
•
−
→
B =
−
→
u ∧
−
→
E
c
6. Onde électromagnétique plane progressive monochroma-
tique (O.EM.P.P.M)
6.1. Définitions
C’est une onde qui s’écrit sous la forme :
S(M, t) = S0 cos

ωt −
−
→
k .
−
−
→
OM + ϕ0

Avec
35 M.Lotfi

• S0 l’amplitude de l’onde
• ω sa pulsation
•
−
→
k = k−
→
u le vecteur d’onde, −
→
u vecteur unitaire de la direction de propagation
• ϕ0 la phase à l’origine des temps et de l’espace.
• k
2π
= 1
λ
: nombre d’onde
• λ la longueur d’onde
L’onde s’écrit en notation complexe :
S(M, t) = S0 exp i

ωt −
−
→
k .
−
−
→
OM

6.2. Relation de dispersion
C’est la relation entre k et ω on l’établit en injectant l’onde dans l’équation de propagation
tel qu’on a
−
→
∇ ≡ −i
−
→
k et
∂
∂t
≡ iω
d’où
∆ =
−
→
∇2
≡ −k2
et
∂2
∂t2
≡ −ω2
Dans le cas du vide pour une onde se propageant dans le sens des z croissants on a : k = ω
c
Remarque :
dans le cas général le vecteur d’onde
−
→
k peut être complexe.
La partie réelle de
−
→
k est le terme responsable de la propagation, la partie imaginaire est le
terme responsable de l’atténuation.
Dans le cas où
−
→
k est imaginaire pur on n’a pas de propagation.
6.3. Vitesse de phase
On définit un plan de phase par les points M, à un instant donné t, tel que la phase
Φ(M, t) = ωt −
−
→
k .
−
−
→
OM + ϕ0 = cte
La vitesse de phase est la vitesse des plans de phase définie par
vϕ =
ω
Re(k)
Un milieu est dit non dispersif si sa vitesse de phase est indépendante de ω.
M.Lotfi 36

6.4. Vitesse de groupe
L’O.EM.P.P.M n’a pas d’existence physique car elle est illimité dans le temps et dans
l’espace. D’où pour décrire une onde réelle on utilise la notion de paquet d’ondes qui est la
somme de plusieurs O.EM.P.P.M.
La vitesse de groupe est la vitesse de l’enveloppe du paquet d’ondes formant l’onde réelle
considérée, elle est donnée par
vg =
dω
dRe(k)
6.5. Énergétique
6.5.1. Énergie électromagnétique
La densité volumique d’énergie électromagnétique est définie par :
uem =
1
2
ε0

Re(
−
→
E )
2
+
1
2µ0

Re(
−
→
B )
2
La valeur moyenne de uem peut être donnée par
uem =
1
4
ε0Re
−
→
E .
−
→
E ⋆

+
1
4µ0
Re
−
→
B .
−
→
B ⋆

=
1
4
ε0

2
L’énergie électromagnétique contenue dans un volume V est
Wem =
Z
Z
Z
V
uemdτ
6.5.2. Énergie cédée
La puissance volumique cédée à un milieu est définie par
Pvcédée
=
−
→
j .
−
→
E
L’énergie cédée à un volume V pendant une durée dt est :
Wcédée =
Z
Z
Z
V
−
→
j .
−
→
E dτdt
6.5.3. Énergie rayonnée
Vecteur de Poynting
−
→
π =
Re(
−
→
E ) ∧ Re(
−
→
B )
µ0
Le vecteur de Poynting moyen peut être donné par
−
→
π =
1
2µ0
Re
−
→
E ∧
−
→
B ⋆

La puissance électromagnétique rayonnée à travers une surface S fermée est :
Prayonnée =
Z
Z

S
−
→
π . d
−
→
S
37 M.Lotfi

L’énergie électromagnétique rayonnée à travers une surface S fermée entre t et t + dt est
:
Wrayonnée =
Z
Z

S
−
→
π . d
−
→
S dt
6.5.4. Équation de conservation de l’énergie
À l’aide d’un bilan énergétique ou à l’aide des équations de Maxwell on peut montrer
l’équation de conservation de l’énergie
∂uem
∂t
+
−
→
∇.−
→
π +
−
→
j .
−
→
E = 0
7. Polarisation
7.1. Définition
Une onde électromagnétique est dite polarisée si et seulement si le point A défini par
−
−
→
MA =
−
→
E (M, t) décrit une courbe invariante.
7.2. États de polarisation d’une OEMPPM
Soit une OEMPPM se propageant dans le vide, dans le sens des z croissants tel que son
champ électrique s’écrit :
−
→
E

Ex = E0x cos(ωt − kz + ϕx) où E0x 0
Ey = E0y cos(ωt − kz + ϕy) où E0y 0
Ez = 0
Soit :
ϕ = ϕy − ϕx
On cherche la relation entre Ex et Ey qui donne en général une équation d’une ellipse. Pour
déterminer le sens de parcours de l’ellipse on calcule
−
−
→
MA ∧ d
−
−
→
MA
dt
=
−
→
E ∧ d
−
→
E
dt
et à partir du
résultat on peut déduire le sens de d
−
→
E
dt
qui donne le sens de parcours de la courbe. On regarde
la partie supérieure de la courbe (ellipse ou cercle) et on regarde si le sens de parcours va
vers la main droite c’est une polarisation droite si vers la main gauche c’est une polarisa-
tion gauche. On résume sur la figure 14 les différents états de polarisation selon la valeur de ϕ.
• 0 ϕ π : polarisation elliptique droite
• −π ϕ 0 : polarisation elliptique gauche
• ϕ = π
2
et E0x = E0y : polarisation circulaire droite
• ϕ = −π
2
et E0x = E0y : polarisation circulaire gauche
• ϕ = 0 : polarisation rectiligne type I
• ϕ = π : polarisation rectiligne type II
M.Lotfi 38

=
=
y y
y
y
y y
y
y
x x
x
x
x x
x
x
E0y E0y
E0y
E0y
E0y E0y
E0y
E0y
E0x E0x
E0x
E0x
E0x
E0x
E0x E0x
E0x
E0x
0 ϕ π
2
π
2
ϕ π
−π
2
ϕ 0
−π ϕ −π
2
ϕ = π
2
ϕ = −π
2
ϕ = 0
ϕ = π
Polarisation elliptique droite Polarisation elliptique droite
Polarisation circulaire droite
Polarisation circulaire gauche
Polarisation elliptique gauche Polarisation elliptique gauche
Polarisation rectiligne type I
Polarisation rectiligne type II
Figure 14:
7.3. Loi de Malus
Polariseur : On appelle polariseur un dispositif permettant d’obtenir une onde
électromagnétique polarisée rectilignement.
Analyseur : est un polariseur permettant d’identifier une onde électromagnétique po-
larisée rectilignement.
Loi de Malus :
I = I0 cos2
α
Avec :
39 M.Lotfi

I intensité de l’onde après l’analyseur.
I0 intensité de l’onde entre le polariseur et l’analyseur.
α l’angle entre l’index du polariseur et celui de l’analyseur.
M.Lotfi 40

Ondes électromagnétiques Résumé : Réflexion d’une OEMPPM sur un conducteur parfait
–Réflexion d’une OEMPPM sur un
conducteur parfait–
1. Conducteur parfait
Un conducteur parfait est caractérisé par une conductivité électrique infinie, donc on a :
• épaisseur de peau δ = 0
• champ à l’intérieur du conducteur parfait :
−
→
E (M, t) =
−
→
0 et
−
→
B (M, t) =
−
→
0
• Courant volumique à l’intérieur du condcuteur parfait :
−
→
j (M, t) =
−
→
0
2. Réflexion sous incidence normale
Soit une onde électromagnétique plane progressive monochromatique se propageant dans
le vide dans le sens des z croissants, et arrivant, sous incidence normale, sur la surface plane
d’un conducteur parfait telle que son champ électromagnétique est donné par :
−
→
E i =
−
→
E 0i exp i(ωt − kiz) et
−
→
B i =
−
→
e z ∧
−
→
E 0i
c
exp i(ωt − kz)
avec ki = ω
c
2.1. Existence de l’onde réflechie
L’onde incidente met les électrons de la surface du conducteur en mouvement d’oscillation,
ce qui donne naissance à une onde réfléchie (
−
→
E r,
−
→
B r) de pulsation ωr = ωi = ω par
rayonnement (voir rayonnement dipolaire) se propageant dans le vide dans le sens des z
décroissants,
−
→
E r =
−
→
E 0r exp i(ωt − krz) et
−
→
B r =
−
→
k r ∧
−
→
E 0r
ω
exp i(ωt − krz)
Avec
−
→
k r = −ω
c
−
→
e z = −
−
→
k i
à l’aide des relations de passage à la surface du conducteur parfait on montre :
−
→
E 0r = −
−
→
E 0i
d’où
−
→
E r = −
−
→
E 0i exp i(ωt + kz) et
−
→
B r =
−
→
B 0i exp i(ωt + kz)
2.2. Densité surfacique de courant sur la surface du métal parfait
La relation de passage du champ magnétique à la surface du conducteur parfait donne
l’expression du vecteur densité surfasique du courant électrique induit à la surface du
conducteur parfait :
−
→
j s
=
2
µ0c
−
→
E 0i exp iωt
41 M.Lotfi

Résumé : Réflexion d’une OEMPPM sur un conducteur parfait Ondes électromagnétiques
2.3. Superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie
Le champ électromagnétique résultant de l’onde inicidente et de l’onde réflechie est donné
par :
−
→
E =
−
→
E i +
−
→
E r = −2i
−
→
E 0i sin(kz) exp iωt et
−
→
B =
−
→
B i +
−
→
B r = 2
−
→
B 0i cos(kz) exp iωt
En notation réelle on a
−
→
E = 2
−
→
E 0i sin(kz) sin ωt et
−
→
B = 2
−
→
B 0i cos(kz) cos ωt
L’onde résultante est une onde électromagnétique plane stationnaire qui vibre ”surplace”
avec la pulsation ω mais elle ne se propage pas.
2.4. Aspect énergétique
La moyenne de la densité volumique d’énergie électromagnétique est
uem = ε0E2
0i
Le vecteur de Poynting moyen s’écrit
−
→
π =
−
→
0
C’est une propriété des ondes statoinnaires où il n’y a pas de propagation d’énergie en
moyenne.
2.5. Pression de radiation à basse fréquence
On s’interesse au cas des basses fréquences ω ≪ 1014
rad.s-1

L’onde incidente lorsqu’elle arrive sur un métal réel, elle applique sur lui une pression de
radiation d’expression en ”basse” fréquence :
Pr =
|d2−
→
F |
dS
=
B2
(0, t)
2µ0
M.Lotfi 42

Ondes électromagnétiques Résumé : Rayonnement dipolaire
–Rayonnement dipolaire électrique–
1. Dipôle de Hertz
On appelle dipôle de Hertz ou dipôle oscillant l’ensemble de deux charges −q et +q telle
que la charge −q est fixe et la charge +q est en mouvement rectiligne sinusoı̈dal avec
z = z0 cos ωt
2. Moment dipolaire
−
→
p = p0 cos ωt−
→
e z avec p0 = qz0
En notation complexe
−
→
p (t) = p0eiωt−
→
e z
3. Cadre d’étude
On se place dans ce cours dans les deux approximations :
• Approximation dipolaire :
r = OM ≫ z0
avec M le point où on veut calculer le champ électromagnétique (
−
→
E ,
−
→
B ), à l’instant t.
• Approximation non relativiste :
vmax ≪ c ⇒ z0 ≪ λ
avec λ longueur d’onde émise par le dipôle.
4. Champ électromagnétique rayonné
La mémorisation des résultats qui suivent n’est pas exigible. Cependant, on doit connaı̂tre
les étapes qui conduisent à ces résultats.
4.1. Potentiel vecteur
Par définition du potentiel retardé crée par une charge en mouvement on a
−
→
A(M, t) =
µ0
4π
q−
→
v t − P M
c

PM
ce qui donne
−
→
A(M, t) = iω
µ0
4π
p(t)
exp(−ikr)
r
−
→
e z
avec k = 2π
λ
le module du vecteur d’onde.
43 M.Lotfi

Résumé : Rayonnement dipolaire Ondes électromagnétiques
4.2. Potentiel scalaire
En utilisant la jauge de Lorentz :
div
−
→
A +
1
c2
∂V
∂t
= 0
On trouve
V (M, t) =
1
4πε0
p(t)
1 + ikr
r
exp(−ikr) cos θ
4.3. Champ électrique
Pour trouver le champ électrique en utilise la relation qui le relie au potentiels vecteur
et scalaire :
−
→
E (M, t) = −
−
−
→
grad V (M, t) −
∂
−
→
A(M, t)
∂t
On trouve
−
→
E =

Er =
2p(t)
4πε0r3
(1 + ikr) cos θ exp(−ikr)
Eθ =
p(t)
4πε0r3
(1 + ikr − k2
r2
) sin θ exp(−ikr)
Eϕ = 0
Remarque :
Pour trouver les résultats du dipôle électrostatique on remplace ω = 0 et k = 0
4.4. Champ magnétique
À partir de la relation
−
→
B (M, t) = rot
−
→
A(M, t)
On trouve
−
→
B (M, t) =
iωp(t)
4πε0c2
1 + ikr
r2
exp(−ikr) sin θ−
→
e ϕ
4.5. Champ électromagnétique dans la zone de rayonnement
On appelle zone de rayonnement ou approximation des champs lointains la zonne où on
a
r ≫ λ
Dans cette zone on a
−
→
E (M, t) = −
k2
p(t) sin θ
4πε0r
exp(−ikr)−
→
e θ
et
−
→
B (M, t) = −
k2
p(t) sin θ
4πε0cr
exp(−ikr)−
→
e ϕ
On vérifie que
−
→
B =
−
→
k ∧
−
→
E
ω
On a l’onde a la structure d’une onde plane, on dit qu’elle est quasi-plane ou localement
plane.
M.Lotfi 44

Ondes électromagnétiques Résumé : Rayonnement dipolaire
4.6. Aspect énergétique
La puissance moyenne rayonnée dans l’espace qui est le flux du vecteur de Poyting à
travers une sphère de rayon r est
Pmoy =
p2
0ω4
12πε0c3
Diagramme de rayonnement : C’est la représentation de |−
→
π |
|−
→
π max|
en fonction de θ à r
fixé.
45 M.Lotfi

2
Exercices classiques d’électrostatique
et de magnétostatique
1. Champ électrostatique créé par un segment chargé
On considère un segment chargé AB de densité linéique homogène λ de longueur 2a et
de milieu O.
1.1. Déterminer le champ électrostatique en un point M de l’axe de symétrie Ox. On pose
OM = x.
1.2. En déduire en ce point M le champ créé par un fil ” infini ”.
2. Champ crée par un disque en son axe
Soit un disque de centre O de rayon R uniformément chargé en surface avec une densité
σ.
2.1. Déterminer le champ électrostatique crée par le disque en un point M de l’axe Oz.
2.2. En déduire le champ électrostatique crée par un plan infini.
3. Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss
En utilisant le théorème de Gauss, calculer le champ électrostatique en tout point de l’espace
dans les cas suivants :
• Cylindre infini uniformément chargé en surface.
• Sphère uniformément chargée en surface.
• Sphère uniformément chargée en volume.
• Plan infini uniformément chargé.
47

Électrostatique - magnétostatique Électromagnétisme
• fil infini uniformément chargé.
4. Étude d’une distribution cylindrique de charge
On considère un cylindre de rayon R et de longueur infinie, uniformément chargé en
volume avec une densité volumique ρ 0.
4.1. Quelle est la direction du champ électrostatique en tout point M de l’espace?
4.2. Montrer que la valeur du champ électrostatique ne dépend que de la distance r entre
M et l’axe du cylindre.
4.3. En utilisant le théorème de Gauss et en précisant la surface utilisée, calculer le champ
dans les deux cas :
• r R
• r R
On donnera E en fonction de r.
4.4. Calculer le potentiel électrostatique à l’intérieur et à l’extérieur du cylindre. On impose
la condition V = 0 pour r = 0.
4.5. La densité volumique de charge ρ du cylindre n’est plus uniforme mais à symétrie
cylindrique (ρ est une fonction de r).
On donne ρ = ρ0(r/R) pour r R avec ρ0 une constante.
Déterminer le champ électrostatique dans le cas où r R.
5. Conducteur - Condensateur
5.1. Relations générales
5.1.1. Énoncer le théorème de Gauss sous sa forme intégrale (phrase et formulation).
5.1.2. Qu’est ce qu’un conducteur électrique donner deux exemples de conducteurs.
5.1.3. Donner la définition d’un conducteur en équilibre électrostatique.
5.1.4. Énoncer le théorème de Coulomb.
5.2. Conducteur sphérique
On considère un conducteur sphérique (C1) de rayon R1. Ce conducteur présente une
charge Q1 0, il est en équilibre électrostatique placé dans le vide et est suffisamment
éloigné de toute autre distribution de charges pour que l’on puisse négliger toute influence.
On pourra utiliser les coordonnées sphériques habituelles (r, θ, ϕ) et on notera (−
→
e r, −
→
e θ, −
→
e ϕ)
la base locale de ces coordonnées.
M.Lotfi 48

Électromagnétisme Électrostatique - magnétostatique
5.2.1. Décrire comment les charges électriques de ce conducteur, en équilibre électrostatique,
vont elles se répartir. Justifier clairement la réponse.
5.2.2. En analysant les symétries et les invariances de la distribution de charges déduire
d’une part les composantes non nulles du champ électrique et d’autre part les coordonnées
d’espace dont dépend
−
→
E .
5.2.3. Établir l’expression du champ électrique en tout point M de l’espace. Représenter
graphiquement le module |
−
→
E | en fonction des coordonnées d’espace.
5.2.4. Quelle est la valeur du champ électrique en r = R−
1 et en r = R+
1 . Quel résultat
retrouve-t-on ainsi ?
5.2.5. Trouver l’expression du potentiel V crée par le conducteur C1 en tout point de l’espace
sachant que le conducteur (C1) est porté au potentiel V0.
5.2.6. Définir une équipotentielle et donner l’équation des équipotentielles pour le conducteur
(C1) et tracer l’allure de deux équipotentielles V11 et V12 telles que V11 V12 ( on n’oubliera
pas de mettre V11 et V12 sur le schéma).
5.3. Condensateur sphérique
On suppose maintenant que le conducteur (C1) est entouré d’un autre conducteur (C2)
de rayon intérieur R2, de rayon extérieur Rext
2 et de même centre O (figure 12) .
C1
C2
R2
Rext
2
Figure 1: Conducteurs sphérique en équilibre électrostatique.
On rappelle que le conducteur (C1) est porté au potentiel constant V0 0. On note Q1
la charge totale de (C1) et Q2 la charge totale de (C2). Un milieu isolant assimilable au vide
sépare (C1) de (C2).
On note :
• Qext
2 la charge à la surface extérieure de (C2);
• Qint
2 la charge à la surface intérieure de (C2);
• Q2 = Qint
2 + Qext
2 .
5.3.1. Donner la définition d’un condensateur.
49 M.Lotfi

5.3.2. En appliquant le théorème de Gauss, déterminer la relation entre Q1 et Qint
2 .
5.3.3. En utilisant l’expression du champ électrostatique calculée à la question 5.2.3.déduire
la différence de potentielle des deux conducteurs en fonction de Q1, R1, R2 et ε0.
5.3.4. Rappeler la définition de la capacité C d’un condensateur.
5.3.5. Déduire l’expression de la capacité C du condensateur sphérique de la figure 12.
On rappelle que la densité volumique ωe d’énergie électrostatique dans le vide et dans les
conducteurs est définie par ωe = 1
2
ε0E2
. On suppose désormais que Qext
2 = 0.
5.3.6. Déterminer l’expression de ωe en tout point de l’espace. En déduire l’énergie
électrostatique We du condensateur cylindrique.
5.3.7. En utilisant l’expression de l’énergie électrostatique retrouver l’expression de la
capacité C du condensateur.
5.3.8. Que devient l’expression de C si les rayons des armatures sont tels que R2 = R1 + δR
avec δR ≪ R1 ? Conclure.
6. Fil infini
Soit un fil infini parcouru par un courant I.
6.1. Calculer, en appliquant la loi de Biot et Savart, le champ magnétique crée en un
point M à une distance r du fil.
6.2. Calculer le champ magnétique en M en appliquant le théorème d’Ampère.
6.3. Donner la topographie des lignes de champ.
6.4. Calculer le champ magnétique crée lorsque l’épaisseur du fil est non négligeable.
7. Spire circulaire
7.1. Calculer le champ magnétique crée par une spire, parcourue par un courant I, en un
point M de son axe.
7.2. Donner la topographie des lignes de champ.
7.3. Déduire le champ crée par les bobines d’Helmholtz.
Il s’agit de deux spires identiques parallèles parcourues par un même courant circulant dans
le même sens, ces deux spires étant éloignées l’une de l’autre d’une distance d figure 2.
On cherche le champ en un point M de l’axe des deux spires. On fixe l’origine sur l’axe à
égale distance des deux spires.
M.Lotfi 50

I
I
α2
α1
d
O
1 2
R
M
Figure 2:
8. Solénoı̈de
Soit un solénoı̈de formé de N spires identiques, de même axe Oz, parcourues par un
même courant I, dans le même sens. Le solénoı̈de est de longueur L.
8.1. Calculer le champ magnétique crée par le solénoı̈de en un point M de son axe.
8.2. Déduire le champ magnétique crée par un solénoı̈de infini.
8.3. Calculer le champ magnétique crée par le solénoı̈de infini en tout point de l’espace.
9. Dipôle électrostatique - dipôle magnétique
9.1. Dipôle électrostatique
9.1.1. Doublet électrostatique - Moment électrique p d’un dipôle
On considère un ensemble de N charges ponctuelles qi situées aux points Si dans un volume
fini V , telles que
N
X
i=1
qi = 0
On désigne par
−
→
p =
N
X
i=1
qi
−
→
OSi
le moment dipolaire de cette distribution, supposé non nul, O étant un point fixe appartenant
à V .
9.1.1.a. Vérifier que l’expression du moment dipolaire de cette distribution est indépendante
du choix de l’origine O.
9.1.1.b. En déduire le moment dipolaire d’un doublet formé de deux charges ponctuelles
(−q) en N et (+q) en P avec (q 0).
9.1.2. Potentiel scalaire électrostatique V (M)
Les charges ponctuelles (−q) et (+q) d’un doublet sont placées respectivement aux points
51 M.Lotfi

N(0, 0, −a
2
) et P(0, 0, +a
2
) du repère (Oxyz) (figure 12).
Soit M un point de coordonnées sphériques (r, θ, ϕ). (−
→
e r, −
→
e θ, −
→
e ϕ) sont les vecteurs de base
du système de coordonnées sphériques.
On pose r1 = NM, r2 = PM, r = OM et −
→
r =
−
−
→
OM.
P
N
O
θ
z M(r, θ, ϕ)
r
a
2
a
2
r2
r1
−q
+q
Figure 3:
9.1.2.a. Exprimer le potentiel électrostatique V (M) créé par le doublet, au point M, en
fonction de q, r1 et r2.
9.1.2.b. Établir son expression Vd(M), pour un point M éloigné du doublet r ≫ a, en
fonction de r, −
→
r et −
→
p .
9.1.3. Champ électrostatique
9.1.3.a. Montrer que
−
−
→
gradM
1
r3

et
−
−
→
gradM (−
→
p .−
→
r ) s’expriment en fonction de r, −
→
r ou −
→
p .
9.1.3.b. Déduire du potentiel Vd(M) du dipôle, le champ électrostatique
−
→
E (M) sous la
forme :
−
→
E (M) =
1
4πε0

k1(−
→
p .−
→
r )−
→
r − r2−
→
p
r5

où k1 est un facteur numérique que l’on calculera.
9.1.3.c. Déterminer les composantes (Er, Eθ, Eϕ) du champ
−
→
E (M) en coordonnées
sphériques.
9.1.3.d. La direction du champ en M est repérée par l’angle β = (−
→
e r,
−
→
E (M)). Quelle est
alors la relation entre les angles β et θ ?
9.1.3.e. Calculer, dans le plan (yOz) limité au domaine θ ǫ

0, π
2

l’angle θ1 correspondant
à un champ
−
→
E (M) parallèle à l’axe Oy.
9.1.4. Équipotentielles et lignes de champ
9.1.4.a. Qu’appelle-t-on surfaces équipotentielles ? Donner leur équation en coordonnées
polaires pour ce dipôle.
9.1.4.b. Qu’appelle-t-on lignes de champ ? Donner leur équation en coordonnées polaires.
9.1.4.c. Tracer, dans le plan (yOz) limité au domaine θ ǫ

0, π
2

, l’allure de deux lignes
équipotentielles (V1 0 et V2 V1) et de deux lignes de champ.
M.Lotfi 52

9.1.5. Action d’un champ électrique extérieur uniforme Ee
On applique dans l’espace un champ extérieur
−
→
E e.
9.1.5.a. Exprimer en fonction de −
→
p et de
−
→
E e, la force résultante
−
→
F et le moment du
couple
−
→
Γ s’exerçant sur le dipôle.
9.1.5.b. Rappeler la definition de l’énergie potentielle électrostatique U d’une charge
ponctuelle q.
9.1.5.c. Déduire l’énergie potentielle électrostatique d’un dipôle.
9.1.6. Étudier l’équilibre et la stabilité du dipôle dans un champ électrostatique. Déduire sur
l’effet d’un champ électrostatique uniforme sur un dipôle.
9.2. Le dipôle magnétique
9.2.1. Spire circulaire de courant - Moment magnétique m de la spire
On considère une spire plane circulaire, d’axe Oz, de rayon R parcourue par un courant
stationnaire d’intensité I. On posera : z = OMa (figure 4 ).
θ
ϕ
x
y
z
O
C
r
M(r, θ, ϕ)
Ma
Figure 4:
9.2.1.a. Donner l’expression du moment magnétique −
→
m de cette spire en fonction de R, I
et −
→
e Z.
9.2.1.b. Déterminer, à l’aide de la loi de Biot et Savart, l’expression du champ
magnétique
−
→
B (Ma), créé par cette spire, en un point Ma(z) de son axe de révolution.
9.2.1.c. En déduire le champ magnétique
−
→
B (O) au centre O de la spire et
−
→
B (z) en un
point Ma(z) de l’axe Oz tel que z ≫ R.
9.2.2. Potentiel vecteur magnétique
−
→
A(M)
9.2.2.a. Donner l’expression du potentiel vecteur
−
→
A(M), créé par la spire de courant, de
moment magnétique −
→
m, en un point M(r, θ, ϕ) éloigné à la distance r = OM ≫ R de la
spire. (On l’explicitera en fonction de OM,
−
−
→
OM et −
→
m).
53 M.Lotfi

9.2.2.b. En déduire les composantes (Ar, Aθ, Aϕ) du potentiel vecteur en coordonnées
sphériques.
9.2.3. Champ magnétique
−
→
B (M)
9.2.3.a. Montrer que
−
−
→
gradM
1
OM

= k2
−
−
→
OM
OM3 où k2 est un facteur numérique que l’on
déterminera.
9.2.3.b. Expliciter : divM
−
→
m
OM

,
−
→
rotM (
−
→
m
OM

en fonction de OM,
−
−
→
OM, −
→
m et expliciter
∆M
−
→
m
OM

sachant que :
div(f
−
→
G) = f div(
−
→
G) +
−
→
G.
−
−
→
grad(f)
−
→
rot(f
−
→
G) = f
−
→
rot(
−
→
G) +
−
−
→
grad(f) ∧
−
→
G
∆M
1
OM

= 0
9.2.3.c. Établir l’expression du champ magnétique au point M sous la forme :
−
→
B (M) = −
µ0
4π
−
−
→
gradM
!
−
→
m.
−
−
→
OM
OM3

9.2.3.d. En déduire les composantes (Br, Bθ, Bϕ) du champ en coordonnées sphériques.
9.2.4. Action d’un champ magnétique extérieur
−
→
B e
Un dipôle magnétique, de moment magnétique
−
→
M est placé dans le champ magnétique
−
→
B e
produit par la spire de courant précédente.
9.2.4.a. Formuler, en fonction de
−
→
M et
−
→
B e, l’énergie potentielle d’interaction Ep et la
force
−
→
F = −
−
−
→
grad Ep subie par le dipôle sous l’action du champ
−
→
B e.
9.2.4.b. Le dipôle de moment magnétique
−
→
M = −M−
→
e z, est placé au point Ma sur l’axe
Oz de la spire à une distance OMa = z. Exprimer la force
−
→
F (z) subie par le dipôle en Ma
en fonction de µ0, I, R et z.
9.2.4.c. Quel est le travail W0, que doit fournir un opérateur extérieur, pour amener ce
dipôle de la position z = z0 jusqu’au centre O de la spire ?
9.2.4.d. Montrer que, si z0 = 2
√
2R, le travail s’exprime par la relation W0 = k3
µ0MI
R
où
k3 est un facteur numérique que l’on déterminera.
M.Lotfi 54

3
Corrigé des exercices classiques
d’électrostatique et de
magnétostatique
1. Champ électrostatique créé par un segment chargé
−a
+a
P
θ
O x
x
y
y
M
Figure 1:
1.1. L’axe Ox est un axe de symétrie de la distribution des charges. Or le point M
appartient à cet axe alors le champ électrostatique appartient à cet axe.
−
→
E (M) = E(M)−
→
e x
On a
−
→
E (M) est porté par −
→
e x on va calculer seulement la composante selon −
→
e x
Donc
E(M) =
1
4πε0
Z a
−a
λ
−
−
→
PM.−
→
e x
PM3
dy
E(M) =
1
4πε0
Z a
−a
λ cos θ
PM2
dy
55

Or y = x tan θ alors dy = x dθ
cos2 θ
En y = −a on a θ = −α et en y = +a on a θ = +α tel que
sin α =
a
√
a2 + x2
PM = x
cos θ
donc
E(M) =
λ
4πε0
Z α
−α
xdθ
cos2 θ
cos2
θ
x2
cos θ
d’où
E(M) =
λ
4πε0
1
x
Z α
−α
cos θdθ
On déduit
−
→
E (M) =
λ
2πε0
1
x
a
√
a2 + x2
−
→
e x
1.2. Dans le cas d’un fil ” infini ” on a a → ∞ d’où
−
→
E (M) =
λ
2πε0
1
x
−
→
e x
2. Champ crée par un disque en son axe
M
P
α
z
z
O
−
→
e r
−
→
e θ
r
Figure 2:
2.1. L’axe Oz est un axe de symétrie de la distribution des charges et passe par M d’où
−
→
E (M) = E(M)−
→
e z
On va calculer seulement la composante de
−
→
E (M) selon l’axe Oz.
On a
d
−
→
E (M) =
1
4πε0
σ
−
−
→
PMdS
PM3
=
1
4πε0
σ
−
−
→
PMrdrdθ
PM3
−
→
E (M).−
→
e z =
1
4πε0
ZZ
σ
−
−
→
PM.−
→
e zrdrdθ
PM3
=
σ
4πε0
ZZ
cos αrdrdθ
PM2
M.Lotfi 56

Or on a
PM2
= r2
+ z2
et cos α =
z
√
r2 + z2
Alors
E(M) =
σz
4πε0
Z 2π
0
dθ
Z R
0
rdr
(r2 + z2)
3
2
On déduit que
−
→
E (M) =
σz
2ε0

1
|z|
−
1
√
R2 + z2

−
→
e z
2.2. Pour un plan infini on a R → ∞ alors
−
→
E (M) =
σ
2ε0
−
→
e z pour z 0
3. Calcul du champ en utilisant le théorème de Gauss
• Cylindre infini uniformément chargé en surface
La distribution des charges est invariante par translation selon z et par rotation selon
θ donc
−
→
E (M) =
−
→
E (r, θ, z) =
−
→
E (r)
Les plans (M, −
→
e r, −
→
e θ) et (M, −
→
e r, −
→
e z) sont des plans de symétrie de la distribution des
charges donc
−
→
E (M) appartient à leur intersection d’où
−
→
E (M) = E(M)−
→
e r
On choisit comme surface fermée de Gauss le cylindre de même axe que le cylindre
chargé, de rayon r et de hauteur h figure 3.
S1
S2
z
R
r
h
Figure 3:
D’après le théorème de Gauss on a
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
57 M.Lotfi

avec Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Z
Z
S1
−
→
E .d
−
→
S1 +
Z
Z
S2
−
→
E .d
−
→
S2 +
Z
Z
Sl
−
→
E .d
−
→
Sl
Avec S1 la surface de la base 1 telle que d
−
→
S 1 = rdrdθ−
→
e z
S2 la surface de la base 2 telle que d
−
→
S 1 = −rdrdθ−
→
e z
Sl la surface latérale telle que d
−
→
S l = rdθdz−
→
e r
Puisque
−
→
→
e r alors
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Z h
z=0
Z 2π
θ=0
E(r) r dθdz = 2πrhE(r)
Pour calculer Qint on distingue les deux cas :
– cas r R
Dans ce cas on a Qint =
R
R
S
σdS = σ2πRh
Donc on déduit
−
→
E (M) =
σR
rε0
−
→
e r
– cas r R
Dans ce cas Qint = 0
Alors
−
→
E (M) =
−
→
0
D’où finalement ( −
→
E (M) = σR
rε0
−
→
e r, r R;
−
→
E (M) =
−
→
0 , r R.
La discontinuité observée pour r = R est due au modèle de la distribution surfacique
des charges qui n’a pas d’existence physique.
• Sphère uniformément chargée en surface.
La distribution des charges est invariante par rotation selon θ et par rotation selon ϕ
donc
−
→
E (M) =
−
→
E (r, θ, ϕ) =
−
→
E (r)
Les plans (M, −
→
e r, −
→
e θ) et (M, −
→
e r, −
→
e ϕ) sont des plans de symétrie de la distribution
des charges donc
−
→
−
→
E (M) = E(M)−
→
e r
On choisit comme surface fermée de Gauss la sphère de même centre que la sphère
chargée et de rayon r figure 4.
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
M.Lotfi 58

R
r
−
→
e r
−
→
e θ
O
Figure 4:
Avec d
−
→
S = r2
sin θdθdϕ−
→
e r d’où
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Z π
θ=0
Z 2π
ϕ=0
E(r)r2
sin θdθdϕ = 4πr2
E(r)
– cas r R
R
R
S
σdS = σ4πR2
Donc on déduit
−
→
E (M) =
σR2
r2ε0
−
→
e r
– cas r R
Dans ce cas Qint = 0
Alors
−
→
E (M) =
−
→
0
→
E (M) = σR2
r2ε0
−
→
e r, r R;
−
→
E (M) =
−
→
0 , r R.
La discontinuité observée pour r = R est due au modèle de la distribution surfacique
des charges qui n’a pas d’existence physique.
• Sphère uniformément chargée en volume
La distribution des charges est invariante par rotation selon θ et par rotation selon ϕ
donc
−
→
E (M) =
−
→
E (r, θ, ϕ) =
−
→
E (r)
Les plans (M, −
→
e r, −
→
e θ) et (M, −
→
e r, −
→
e ϕ) sont des plans de symétrie de la distribution
des charges donc
−
→
−
→
E (M) = E(M)−
→
e r
59 M.Lotfi

On choisit comme surface fermée de Gauss la sphère de même centre que la sphère
chargée et de rayon r.
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
Avec d
−
→
S = r2
sin θdθdϕ−
→
e r d’où
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Z π
θ=0
Z 2π
ϕ=0
E(r)r2
sin θdθdϕ = 4πr2
E(r)
– cas r R
RRR
V
ρdτ = ρ4
3
πR3
Donc on déduit
−
→
E (M) =
ρR3
3r2ε0
−
→
e r
– cas r 6 R
Dans ce cas Qint = ρ4
3
πr3
Alors
−
→
E (M) =
ρr
3ε0
−
→
e r
→
E (M) = ρR3
3r2ε0
−
→
e r, r R;
−
→
E (M) = ρr
3ε0
−
→
e r, r 6 R.
• Plan infini uniformément chargé
La distribution de charges est invariante par translation selon x et selon y donc
−
→
E (M) =
−
→
E (x, y, z) =
−
→
E (z)
Les plans (M, −
→
e x, −
→
e z) et (M, −
→
e y, −
→
charges donc
−
→
E (M) appartient à leur intersection, d’où
−
→
E (M) = E(M)−
→
e z
On choisit comme surface de Gauss le parallélépipède symétrique par rapport au plan
chargé, sa base supérieure est centrée en M figure 5.
d’après le théorème de Gauss on a
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
Seule les intégrales sur les bases sont non nulles car
−
→
E (M) = E(M)−
→
e z
D’où Z
Z

Sf
−
→
E (M).d
−
→
S =
ZZ
S1
−
→
E (M).d
−
→
S1 +
ZZ
S2
−
→
E (M′
).d
−
→
S2
M.Lotfi 60

M
M′
x
y
z
Figure 5:
Avec d
−
→
S 1 = dxdy−
→
e z et d
−
→
S 2 = −dxdy−
→
e z
Or M et M′
sont deux points symétriques par rapport au plan de symétrie de la
distribution des charges et
−
→
E est perpendiculaire à ce plan pour les deux points M
et M′
alors
−
→
E (M′
) = −
−
→
E (M)
D’où Z
Z

Sf
−
→
E (M).d
−
→
S = 2
ZZ
S1
E(M)dxdy = 2E(M)S
Avec S la surface de la base du parallélépipède.
Or Qint = σS alors
−
→
E (M) =
σ
2ε0
−
→
e z pour z 0
• fil infini uniformément chargé
La distribution de charges est invariante par translation selon z et par rotation selon θ
donc
−
→
E (M) =
−
→
E (r, θ, z) =
−
→
E (r)
Les plans (M, −
→
e r, −
→
e θ) et (M, −
→
e r, −
→
charges donc
−
→
E (M) = E(M)−
→
e r
On choisit comme surface fermée de Gauss le cylindre d’axe le fil, de hauteur h et de
rayon r.
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
Avec d
−
→
S = rdθdz−
→
e r d’où Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S = 2πrhE(r)
Or Qint = λh alors
−
→
E (M) =
λ
2πrε0
−
→
e r
61 M.Lotfi

4. Étude d’une distribution cylindrique de charge
4.1. Les plans (M, −
→
e r, −
→
e θ) et (M, −
→
e r, −
→
e z) sont des plans de symétrie de la distribution
des charges donc
−
→
−
→
E (M) = E(M)−
→
e r
4.2. La distribution des charges est invariante par translation selon z et par rotation selon
θ donc
−
→
E (M) =
−
→
E (r, θ, z) =
−
→
E (r)
4.3. On choisit comme surface fermée de Gauss le cylindre de même axe que le cylindre
chargé, de rayon r et de hauteur h.
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Qint
ε0
avec Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Z
Z
S1
−
→
E .d
−
→
S1 +
Z
Z
S2
−
→
E .d
−
→
S2 +
Z
Z
Sl
−
→
E .d
−
→
Sl
Avec S1 la surface de la base 1 telle que d
−
→
S 1 = rdrdθ−
→
e z
S2 la surface de la base 2 telle que d
−
→
S 1 = −rdrdθ−
→
e z
Sl la surface latérale telle que d
−
→
S 1 = rdθdz−
→
e r
Puisque
−
→
→
e r alors
Z
Z

Sf
−
→
E .d
−
→
S =
Z h
z=0
Z 2π
θ=0
E(r) r dθdz = 2πrhE(r)
• cas r R
RRR
V
ρdτ = ρπR2
h
Donc on déduit
−
→
E (M) =
ρR2
2rε0
−
→
e r
• cas r 6 R
Dans ce cas Qint = ρπr2
h
Alors
−
→
E (M) =
ρr
2ε0
−
→
e r
→
E (M) = ρR2
2rε0
−
→
e r, r R;
−
→
E (M) = ρr
2ε0
−
→
e r, r 6 R.
M.Lotfi 62

4.4. On sait que
−
→
E = −
−
−
→
gradV
Or
−
→
E =
−
→
E er alors
• cas r R
dV = −Edr = − ρR2
2rε0
dr d’où
V = −
ρR2
2ε0
ln(r) + cte1
• cas 6 R
dV = −Edr = − ρr
2ε0
dr d’où V = −ρr2
4ε0
+ cte2 Or pour r = 0 on a V = 0 alors cte2 = 0
et par continuité en r = R on a −ρR2
2ε0
ln(R) + cte1 = −ρR2
4ε0
d’où cte1 = −ρR2
4ε0
+ ρR2
2ε0
ln(R)
4.5. Seul le calcul de Qint change par rapport au cas où la distribution est uniforme.
dans le cas où r R on a
Qint =
ZZZ
ρ0(r/R)rdrdθdz =
ρ0
R
2πh
Z R
0
r2
dr =
ρ0
3
2πhR2
d’où
−
→
E (M) = ρ0
3ε0
R2
r
−
→
e r
dans le cas où r 6 R on a
Qint =
ZZZ
ρ0(r/R)r′
dr′
dθdz =
ρ0
R
2πh
Z r
0
r′2
dr′
=
ρ0
3R
2πhr3
d’où
−
→
E (M) = ρ0
3Rε0
r2−
→
e r
5. Fil infini
I
M
P
α
O r
z
z
Figure 6:
63 M.Lotfi

5.1. On a la distribution des courants est invariante par translation selon z et par rotation
selon θ d’où
−
→
B (M) =
−
→
B (r, θ, z) =
−
→
B (r)
Le plan (M, −
→
e r, −
→
e z) est un plan de symétrie donc
−
→
B (M) est porté par −
→
e θ. On calculera
seulement la composante de
−
→
B selon −
→
e θ.
On a
d
−
→
B (M) =
µ0
4π
Id
−
→
l ∧
−
−
→
PM
PM3
d
−
→
B .−
→
e θ =
µ0
4π

Id
−
→
l ∧
−
−
→
PM

.−
→
e θ
PM3
d’où
B(M) =
µ0
4π
Z +∞
−∞

Idz−
→
e z ∧
−
−
→
PM

.−
→
e θ
PM3
Or
−
−
→
PM = r−
→
e r − z−
→
e z
donc −
→
e z ∧
−
−
→
PM = r−
→
e θ
d’où
B(M) =
µ0
4π
Z +∞
−∞
Idz
r
PM3
−
→
e θ.−
→
e θ
B(M) =
µ0
4π
Z +∞
−∞
Idz
r
PM3
On a PM = r
cos α
et tan α = z
r
donc dz = rdα
cos2 α
pour z = −∞ on α = −π
2
et pour z = +∞ on α = +π
2
d’où
B(M) =
µ0
4π
Z + π
2
− π
2
I
rdα
cos2 α
r
r3
cos3
α
B(M) =
µ0
4π
I
r
Z + π
2
− π
2
cos αdα
−
→
B (M) =
µ0
2π
I
r
−
→
e θ
5.2. On a d’après la question 5.1.
−
→
B (M) = B(r)−
→
e θ
On choisit comme contour fermé d’Ampère un cercle passant par M centré sur le fil et de
rayon r.
d’après le théorème d’Ampère on a
I
−
→
B .d
−
→
l = µ0I
Or d
−
→
l = rdθ−
→
e θ et B(r)−
→
e θ alors
B(r)2πr = µ0I
M.Lotfi 64

d’où
−
→
B (r) =
µ0I
2πr
−
→
e θ
5.3. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil figure 7.
I
Figure 7:
5.4. soit a le rayon du fil, la densité volumique du courant qui traverse le fil est
−
→
j = j−
→
e z =
I
πa2
−
→
e z
car I =
R
R −
→
j .d
−
→
S
Par application du théorème d’Ampère on a
B(r)2πr = µ0Ienlacé
• cas r a
Dans ce cas Ienlacé = I
d’où
−
→
B (r) =
µ0I
2πr
−
→
e θ
• cas r 6 a
Dans ce cas Ienlacé = πr2
j = I r2
a2
d’où
−
→
B (r) =
µ0Ir
2πa2
−
→
e θ
6. Spire circulaire
6.1. Puisqu’on cherche à calculer le champ en point sur l’axe, la seule variable dont dépend
−
→
B est z donc
−
→
B (M) =
−
→
B (z)
65 M.Lotfi

M
P
α z
O
Figure 8:
L’axe (Oz) est un axe d’antisymétrie de la distribution des courants, et puisque M appartient
à cet axe alors
−
→
B (M) = B(M)−
→
e z
On a
B(M) =
µ0
4π
I
spire
Id
−
→
l ∧
−
−
→
PM
PM3
.−
→
e z
Or d
−
→
l = Rdθ−
→
e θ et
−
−
→
PM = −R−
→
e r + z−
→
e z alors
d
−
→
l ∧
−
−
→
PM = R2
dθ−
→
e z + Rzdθ−
→
e r
donc
B(M) =
µ0I
4π
I
spire
R2
dθ
PM3
Or PM = R
sin α
donc
B(M) =
µ0I
4π
sin3
α
R
I
spire
dθ =
µ0I sin3
α
2R
soit
−
→
B (M) =
µ0I sin3
α
2R
−
→
e z =
µ0I
2
R2
(R2 + z2)3/2
−
→
e z
6.2. voir figure 9
6.3. Soient
−
→
B 1(M) le champ magnétique crée par la bobine 1 et
−
→
B 2(M) celui crée par la
bobine 2.
On a
−
→
B (M) =
−
→
B 1(M) +
−
→
B 2(M)
Or
−
→
B i(M) =
µ0I
2R
sin3
αi
−
→
e z
avec
sin α1 =
R
q
R2 + z + d
2
2
et sin α2 =
R
q
R2 + z − d
2
2
M.Lotfi 66

z
Figure 9:
d’où
−
→
B (M) =
µ0I
2R




1 +
z + d
2
2
R2
#− 3
2
+

1 +
z − d
2
2
R2
#− 3
2



7. Solénoı̈de
dz
α1
α2
α
P z
M
O
Figure 10:
7.1. Soit n = N
L
le nombre de spire par unité de longueur.
Les propriétés d’invariance et de symétrie sont les mêmes que pour une spire donc le champ
−
→
B (M) est parallèle à l’axe et ne dépend que de la position du point sur l’axe :
−
→
B (M) = B(z)−
→
e z
La tranche entre, z et z + dz ,d’épaisseur dz du solénoı̈de est parcourue par une intensité
élémentaire dI = nIdz elle crée donc le champ élémentaire :
dB =
µ0nIdz
2R
sin3
α
avec tan α = R
P M
et on a PM = OM − OP = OM − z
donc z = OM − R
tan α
67 M.Lotfi

d’où
dz =
R
sin2
α
dα
alors
dB =
µ0nI
2R
sin3
α
R
sin2
α
dα =
µ0nI
2
sin αdα
et en intégrant entre α1 et α2 on obtient
−
→
B (M) =
µ0nI
2
(cos α1 − cos α2) −
→
e z
7.2. Pour un solénoı̈de infini on a α1 = 0 et α2 = π d’où
−
→
B = µ0nI−
→
e z
7.3. Le système est invariant par translation le long de Oz : on utilisera les coordonnées
cylindriques et donc :
−
→
B (M) =
−
→
B (r, θ)
La section du solénoı̈de est circulaire, le système est donc invariant par rotation selon θ donc
−
→
B (M) =
−
→
B (r)
Le plan perpendiculaire à l’axe Oz et passant par M est un plan de symétrie donc le champ
magnétique est perpendiculaire à ce plan d’où
−
→
B (M) =
−
→
B (r)−
→
e z
On peut alors appliquer le théorème d’Ampère.
l
z
r1
r2
R
Figure 11:
On choisit comme contour fermé d’Ampère un rectangle dans un plan contenant Oz et
constitué de deux parallèles à Oz distants de r1 et r2 de l’axe Oz.
D’après le théorème d’Ampère on a
I
−
→
B (M).d
−
→
l = µ0Ienlacé
M.Lotfi 68

seules les circulations de
−
→
B sur les parallèles à Oz sont non nulles donc
I
−
→
B .d
−
→
l = B(r1)l − B(r2)l
Pour Ienlacé on distingue les trois cas :
• r1 r2 R
Ienlacé = 0
donc
B(r1) = B(r2)
Le champ à l’intérieur du solénoı̈de est uniforme, il est indépendant de r. d’où
−
→
B int = µ0nI−
→
e z
• R r1 r2
Ienlacé = 0
d’où B(r1) = B(r2) le champ magnétique à l’extérieur est uniforme est indépendant de
r on va le noter avec
−
→
B ext.
• r1 R r2
Ienlacé = nlI
d’où
B(r1)l − B(r2)l = (Bint − Bext) = µ0nlI
Or Bint = µ0nI alors
−
→
B ext =
−
→
0
8. Dipôle électrostatique - dipôle magnétique
8.1. Dipôle électrostatique
8.1.1. Doublet électrostatique - Moment électrique p d’un dipôle
8.1.1.a. On a X
i
qi
−
→
OSi =
X
i
qi
−
−
→
OO′
+
X
i
qi
−
−
→
O′
Si
Or O′
indépendante de la sommation et
P
i qi = 0 alors
P
i qi
−
→
O′
= (
P
i qi)
−
−
→
OO′
d’où
X
i
qi
−
→
OSi =
X
i
qi
−
−
→
O′
Si
8.1.1.b. On a −
→
p = q1
−
→
OP − q
−
−
→
ON alors
−
→
p = q
−
−
→
NP
69 M.Lotfi

P
N
O
θ
z M(r, θ, ϕ)
r
a
2
a
2
r2
r1
−q
+q
Figure 12:
8.1.2. Potentiel scalaire électrostatique V (M)
8.1.2.a. On sait que
V (M) = V1(M) + V2(M) =
1
4πε0
q
PM
+
1
4πε0
−q
NM
=
q
4πε0

1
PM
−
1
NM

soit
V (M) =
q
4πε0

1
r2
−
1
r1

8.1.2.b. On a
−
−
→
PM =
−
−
→
OM −
−
→
OP = r−
→
e r −
a
2
−
→
e z
d’où
PM =
r
r2 +
a2
4
− ar cos θ
dans l’approximation dipolaire on a a ≪ r, par un développement limité d’ordre 1 on obtient
PM = r

1 +
a2
4r2
−
a
r
cos θ
1
2
≃ r

1 −
a
2r
cos θ

soit
1
PM
=
1
r 1 − a
2r
cos θ
=
1
r

1 +
a
2r
cos θ

de même on obtient
1
NM
=
1
r

1 −
a
2r
cos θ

d’où
V (M) =
q
4πε0
a cos θ
r2
Or
−
→
p .−
→
r = −
→
p .r−
→
e r = qar cos θ
alors
V (M) =
−
→
p .−
→
r
4πε0r3
M.Lotfi 70

8.1.3. Champ électrostatique
8.1.3.a. On a −
−
→
−
−
→
gradM

1
r3

= −
3
r4
−
→
e r = −
3
r5
−
→
r
et
−
−
→
gradM (−
→
p .−
→
r ) =
−
−
→
gradM (pr cos θ) = p cos θ−
→
e r − p sin θ−
→
e θ
Or −
→
p = p cos θ−
→
e r − p sin θ−
→
e θ alors
−
−
→
gradM (−
→
p .−
→
r ) = −
→
p
8.1.3.b. On sait que
−
→
E (M) = −
−
−
→
gradM V = −
−
−
→
gradM
−
→
p .−
→
r
4πε0r3

d’où
−
→
E (M) = −
1
4πε0

1
r3
−
−
→
gradM
−
→
p .−
→
r + −
→
p .−
→
r
−
−
→
gradM
1
r3

soit
−
→
E (M) = −
1
4πε0

1
r3
−
→
p −
(3−
→
p .−
→
r ) −
→
r
r5

d’où
−
→
E (M) =
1
4πε0

k1(−
→
p .−
→
r )−
→
r − r2−
→
p
r5

avec k1 = 3
8.1.3.c. On a
(−
→
p .−
→
r )−
→
r = pr cos θ−
→
r = pr2
cos θ−
→
e r et −
→
p = p cos θ−
→
e r − p sin θ−
→
e θ
donc

Er = 2p cos θ
4πε0r3
Eθ = p sin θ
4πε0r3
Eϕ = 0
8.1.3.d. On a β = (−
→
e r,
−
→
E (M)) donc
tan β =
Eθ
Er
d’après les formules de Er et Eθ on obtient
tan β =
1
2
tan θ
71 M.Lotfi

8.1.3.e. On a
θ1 + β1 =
π
2
et tan β1 =
1
2
tan θ1
d’où
(tan θ1)2
= 2
8.1.4. Équipotentielles et lignes de champ
8.1.4.a. Une surface équipotentielle est une surface où le potentiel est constant.
Σ = {M, V (M) = cte}
On a V (M) = cte d’où
q
4πε0
a cos θ
r2
= cte
d’où l’équation des surfaces équipotentielles
r2
= k cos θ
avec k est une constante.
8.1.4.b. Une ligne de champ est la courbe telle que en chacun de ses points le champ
électrostatique
−
→
E est tangent et elle est orientée dans le même sens que
−
→
E .
Les lignes de champ sont définies par
dr
Er
=
rdθ
Eθ
=
r sin θdϕ
Eϕ
d’où
dr
2 cos θ
=
rdθ
sin θ
=
r sin θdϕ
0
alors
dr
r
=
2 cos θdθ
sin θ
=
2d(sinθ)
sin θ
et ϕ = cte
ainsi l’équation des lignes de champ est
r = k′
sin2
θ
avec k′
est une constante.
8.1.4.c. L’allure est sur la figure 13
8.1.5. Action d’un champ électrique extérieur uniforme Ee
8.1.5.a. Les deux charges subissent la résultante
−
→
F = q
−
→
E e(P) − q
−
→
E e(N)
Or
−
→
E e est uniforme alors
−
→
E e(P) =
−
→
E e(N)
d’où
−
→
F =
−
→
0
Le moment du couple appliqué sur le dipôle est
−
→
Γ =
−
→
OP ∧ q
−
→
E e +
−
−
→
ON ∧ q
−
→
E e = q
−
−
→
NP ∧
−
→
E e
D’où
−
→
Γ = −
→
p ∧
−
→
E e
M.Lotfi 72

z
n’est pas valable
−
→
p
axe du dipôle
V1
V2
Figure 13:
8.1.5.b. L’énergie potentielle électrostatique U d’une charge ponctuelle q est donnée par
U(M) = qV (M)
8.1.5.c. L’énergie potentielle électrostatique d’un dipôle est
Ud = qV (P) − qV (N) = q [V (P) − V (N)]
Dans l’approximation dipolaire la distance entre P et N est très petite devant les autres
distances, d’où
Ve(P) − Ve(N) =
−
→
OP.
−
−
→
gradVe(O) −
−
−
→
ON.
−
−
→
gradVe(O) =
−
−
→
NP.
−
−
→
gradVe(O) = −
−
−
→
NP .
−
→
E e
d’où
Ud = −q
−
−
→
NP .
−
→
E e = −−
→
p .
−
→
E e
8.1.6. Soit α l’angle entre
−
→
E e et le dipôle
donc
Ud = −pEe cos θ
d’où
dUd
dθ
= 0 ⇒ θ = 0 ou θ = π
Or
d2
Ud
dθ2

θ=0
0 et

d2
Ud
dθ2

θ=π
0
Alors θ = 0 est une position d’équilibre stable et θ = π est une position d’équilibre instable.
8.2. Le dipôle magnétique
8.2.1. Spire circulaire de courant - Moment magnétique m de la spire
8.2.1.a. Le moment magnétique −
→
m de la spire en fonction est
m = I
−
→
S = IπR2−
→
e z
73 M.Lotfi

8.2.1.b. On a d’après 6..6.1.
−
→
B (M) =
µ0I sin3
α
2R
−
→
e z =
µ0I
2
R2
(R2 + z2)3/2
−
→
e z
8.2.1.c. Au centre O on a z = 0 d’où
−
→
B (O) =
µ0I
2
−
→
e z
En un point Ma(z) de l’axe Oz tel que z ≫ R on a
B(z) =
µ0I
2
R2
z3
−
→
e z
8.2.2. Potentiel vecteur magnétique
−
→
A(M)
8.2.2.a. Le potentiel vecteur
−
→
A(M), créé par la spire de courant, de moment magnétique
−
→
m, en un point M(r, θ, ϕ) éloigné à la distance r = OM ≫ R de la spire est donné par
−
→
A(M) =
µ0
4π
−
→
m ∧
−
−
→
OM
OM3
8.2.2.b. Les composantes du potentiel vecteur en coordonnées sphériques sont :

Ar = 0
Aθ = 0
Aϕ = µ0
4π
m sin θ
r2
8.2.3. Champ magnétique
−
→
B (M)
8.2.3.a. On a
−
−
→
gradM

1
OM

=
−
−
→
grad
1
r
= −
1
r2
−
→
e r
d’où
−
−
→
gradM

1
OM

= −
−
−
→
OM
OM3
alors
k2 = −1
8.2.3.b. En utilisant les formules données on montre que
divM
−
→
m
OM

=
−−
→
m.
−
−
→
OM
OM3
−
→
rotM (
−
→
m
OM

=
−
→
m ∧
−
−
→
OM
OM3
∆M
−
→
m
OM

= −
→
m∆M

1
OM

= 0
M.Lotfi 74

8.2.3.c. On sait que
−
→
B =
−
→
rot
−
→
A alors
−
→
B =
−
→
rot
µ0
4π
−
→
m ∧
−
−
→
OM
OM3
!
donc
−
→
B =
µ0
4π
−
→
rot

−
→
rot
−
→
m
OM

=
µ0
4π
−
−
→
grad

div
−
→
m
OM

−
µ0
4π
∆
−
→
m
OM
d’où
−
→
B = −
µ0
4π
−
−
→
grad
−
→
m.
−
−
→
OM
OM3
8.2.3.d. On déduit que les composantes (Br, Bθ, Bϕ) s’ecrivent

Br = µ0
4π
2m cos θ
r3
Bθ = µ0
4π
m sin θ
r3
Bϕ = 0
8.2.4. Action d’un champ magnétique extérieur
−
→
B e
8.2.4.a. L’énergie potentielle d’interaction s’écrit
Ep = −
−
→
M.
−
→
B e
La résultante s’écrit
−
→
F =
−
−
→
grad(
−
→
M.
−
→
B e)
8.2.4.b. On a
Ep =
µ0
2
MIR2
(z2 + R2)
3
2
d’où
−
→
F =
3µ0
2
MIR2
z
(z2 + R2)
5
2
−
→
e z
8.2.4.c. Le travail W0, que doit fournir un opérateur extérieur, pour amener ce dipôle de
la position z = z0 jusqu’au centre O de la spire est
W0 =
Z 0
z0
−dEp = −
µ0MIR2
2

1
R3
−
1
(R2 + z2
0)
3
2
#
8.2.4.d. On trouve k3 = −13
27
75 M.Lotfi

4
Pb : Haut parleur
Un haut parleur est constitué d’une bobine plate b d’axe z′
z (de résistance R, d’inductance L,
comportant N spires de rayon a) solidaire d’une membrane pouvant se déplacer parallèlement
à elle même, suivant la direction z′
z normale à son plan. L’équipage mobile (bobine +
membrane) a pour masse totale m. Lorsque la bobine s’écarte de sa position d’équilibre d’un
écart algébrique z. elle est rappelée par une force élastique due à un ressort de raideur k. De
plus, l’air produit sur la membrane une force de frottement visqueux, proportionnelle à sa
vitesse de déplacement, qui peut s’écrire:
−
→
f = −h−
→
v (h 0).
On suppose que −
→
g est perpendiculaire à zz′
.
suspension externe
membrane
dôme
suspension interne
aimant permanent (A)
châssis
pièces polaires
bobine (b)
z
z′
Figure 1:
La bobine est placée dans un champ magnétique uniforme
−
→
B radial, normal à z′
z, créé
par un aimant permanent (A). (voir figure 1 ).
1. Analyse préliminaire
1.1. Expliquer pourquoi un mouvement de la membrane crée dans la bobine une force
électromotrice d’induction et comment une différence de potentiel de même fréquence que le
77

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