Dynamic Analysis of an Elbow Bracket in COMSOL Multiphysics

Compte Rendu de TP de Elbow Bracket sur COMSOL
Ekene Alexander Abanobi
M2 SIM
16 janvier 2020
Surpervisé par Laurent Baillet

Table de matières Page 1
Table des matières
1 INTRODUCTION 3
1.1 Propriétés du Matériau de la structure . . . . . . . . . . . . . 3
2 Étude Statique 4
2.1 Le Maillage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 La Discrétisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 La Taille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Conditions Initiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Conditions aux Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.5 Résultats de l’étude statique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Étude des Fréquences Propres Non-Amorties 10
4 Étude des Fréquences Propres avec Amortissement 10
5 Étude Transitoire 12
5.0.1 Une petite précision sur l’importance de la règle de
Shannon sur les tracés de la transformée de Fourier . . 12
5.1 Forçage Sinusoïdal de fréquence 500Hz . . . . . . . . . . . . . 12
5.2 Sollicitation à la première fréquence propre 416.2Hz . . . . . . 13
5.2.1 L’effet de la direction de la sollicitation sur la résonance 14
5.3 Forçage constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.4 Chargement Hybride (1000Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5.5 Chargement Hybride (2000Hz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.6 Étude du Régime Permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.7 Les cas avec l’amortissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5.7.1 Forçage sinusoïdal de 2000Hz . . . . . . . . . . . . . . 18
5.7.2 Forçage sinusoïdal de 416.2Hz . . . . . . . . . . . . . . 20
5.7.3 Effet de la variabilité des deux coefficients d’amortis-
sement α et β . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6 Étude Transitoire Modale 22
7 Réponse Fréquentielle 23
8 Réponse Fréquentielle Modale 24
8.1 Une comparaison entre les réponse en contrainte von-Mises de
l’étude modale et directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Table de matières Page 2
Références 26

INTRODUCTION Page 3
1 INTRODUCTION
Le travail c’est l’étude statique et fréquentielle d’une coude encastrée-
chargée avec le logiciel COMSOL Multiphysique. Dans ce rapport j’explique
tout les phénomènes qui se passent et donne la base théorique sur laquelle
le logiciel fait les calculs et aussi je donne mes hypothèse et commentaires
là-dessus. Mécanique d’un matériau élastique linéaire (module d’Young est
constante).
Globalement dans ce CR, un tas d’études ont été faites, ces sont les sui-
vants :
1. Analyse statique
2. Analyse de fréquences propres sans amortissement
3. Analyse de fréquences propres avec amortissement
4. Analyse Transitoire
5. Analyse Transitoire Modale
6. Analyse de la réponse fréquentielle
7. Analyse de la réponse fréquentielle modale
La contrainte von-mises a été évalué sur la moyenne parce que l’évaluer
sur la maximum peut nous tromper et la valeur max peut être noyé dans
l’ensemble des données calculées.
1.1 Propriétés du Matériau de la structure
Matériau utilisé : Acier Structurelle
Masse volumique = 7850 kg/m3
Module d’Young : 200 GPa
Coefficient de Poisson : 0.3
Paramètre de Lamé λ = 1.15 1011
Pa
Paramètre de Lamé ν = 7.69 1010
Pa
Perméabilité relative = 1
Capacité thermique à pression constante Cp 475 J/(kgK)
Conductivité thermique = 44.5 W/(mK)
Conductivité électrique = 4.032 106
S/m
Permittivité relative = 1
Coefficient de dilatation thermique 12.3 10−6
1/K

Étude Statique Page 4
2 Étude Statique
Le but de cette étude c’est de voir la comportement (la réponse) du
matériau en terme de la déplacement et la contrainte von mises quand il
est soumise à une sollicitation statique. De plus, cette étude a pour but
d’étudier la convergence ou «ou non-convergence» de la solution en fonction
de la discretization ou la taille des éléments finies utilisées.
L’analyse statique signifie que nous supposons que le système que nous
simulons ne dépend pas du temps. Cela implique bien sûr que les charges et
les conditions aux limites ne dépendent pas non plus du temps. En réalité,
il s’agit d’une hypothèse, car chaque charge doit être appliquée à partir d’un
temps t=0 sec. Pour tenir compte de cela, en analyse statique, nous disons
simplement que la charge est appliquée " infiniment lentement " pour qu’il
n’y ait pas de discontinuité pendant l’application de la charge[4].
2.1 Le Maillage
Le maillage nous permet de résoudre à une équation continue aux points
discrets (des noeuds) figure 1.
Le type d’élément utilisée c’est des élément tétraèdres libres. Ces éléments
ont été utilisés parce qu’ils donnent une très bon maillage pour les volumes
3D peu importe la géométrie. Ils sont appelés ’simplex’ à cause de la faciliter
de maillage.
Sept dégrées de raffinement de ces éléments ont été utilisés (de extra
grossier jusqu’à extrêmement fine).
Nombre d’éléments d’arête : 721 Nombre d’éléments de frontière : 4290
Nombre d’éléments de volume : 16463 Temps maillage libre : 1.60s Qualité
d’élément minimale : 0.2181
Figure 1 – Maillage Utilisé : Extrêmement Fin à la région de concentration
de contrainte et de taille normale ailleurs

2.1.1 La Discrétisation
La discrétisation a été fait a 4 niveau : Linéaire, Quadratique, Cubique
et Quartique tous de la type Sérendipité au lieu du type Lagrange parce
que pour les éléments de "Lagrangiens" les noeuds intérieures sont prises
en compte[2] ce qui peut potentiellement engendrer un nombre de noeuds
beaucoup plus élevé quand on augment considérablement le raffinement du
maillage et ce qui suit c’est une perte de ressources informatiques.
Les éléments Lagrangiens et les éléments de Sérendipité sont les types
d’éléments les plus courants en 2D et 3D. Les éléments Lagrangiens utilisent
tous les noeuds ci-dessous sur la figure 2 (noir, blanc et gris), tandis que les
éléments de type Sérendip omettent les noeuds gris.
Figure 2 – Certains éléments finis souvent utilisés
2.1.2 La Taille
Des tailles prédéfinies d’éléments qui sont déjà dimensionnées sur COM-
SOL ont été utilisées. Les tables 1, 2 et 3 montrent les différents paramètres
utilisées par COMSOL pour définir la taille des tous les éléments (des tetra-
hèdres libres) en fonction de leurs tailles (leurs raffinement). Les tables 2 et
3 sont des continuations de la grande table 1.

Extrêmement Grossier
Taille d’élément maximale (m) 0.09
Taille d’élément minimale (m) 0.0126
Taux de croissance maximum des éléments 2
Facteur de courbure 1
Résolution des régions 0.1
Table 1 – Caractéristiques des éléments prédéfinies COMSOL
Extra Grossier Plus Grossier Grossier Normale Fin Plus Fin
0.054 0.0342 0.027 0.018 0.0144 0.0099
0.00972 0.0072 0.00504 0.00324 0.0018 0.00072
1.85 1.70 1.60 1.50 1.45 1.40
0.90 0.80 0.70 0.60 0.50 0.40
0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Table 2 – Caractéristiques des éléments prédéfinies COMSOL Continuée
Extra Fin Extrêmement Fin
0.0063 0.0036
0.00027 0.000036
1.35 1.30
0.30 0.20
0.85 1.00
Table 3 – Caractéristiques des éléments prédéfinies COMSOL Continuée
COMSOL utilise des noms (Extrêmement Grossier, Extra Grossier, Plus
Grossier, Grossier, Normale, Fin, Plus Fin, Extra Fin, Extrêmement Fin)
pour définir le taillage d’éléments en ordre décroissante de taille de l’élément.
Les tables 1, 2 et 3 décrivent les caractéristiques générales de ces échelles de
taille d’éléments. La discretization s’agit de la taille et la forme de la matrice
de forme à partir duquel la matrice de raideur est construit.
La matrice de raideur élémentaire K a la formule suivante :
K =
Z
Ve
[BT
· D · B]dVe (1)

Avec B la matrice des dérivées de la matrice de forme et D la matrice
d’élasticité. Cette matrice D est une matrice de constants du matériau (la
module d’Young et la coefficient de Poisson). Pour une élément tétraèdre elle
prend la forme suivant [1].
D =
E
(1 + ν)(1 − 2ν)








1 − ν ν ν 0 0 0
ν 1 − ν ν 0 0 0
ν ν 1 − ν 0 0 0
0 0 0 1−2ν
2
0 0
0 0 0 0 1−2ν
2
0
0 0 0 0 0 1−2ν
2








Avec E la module d’Young et ν la coefficient de Poisson.
La matrice de masse élémentaire M a la formule suivante :
M =
Z
Ve
ρ[NT
· N]dVe (2)
Avec N la matrice de forme et ρ la densité du matériau.
L’étude et dit «statique» par qu’on s’intéresse que sur la partie permanent
de cette sollicitation. C’est-à-dire que bien entendu l’application de cette
sollicitation génère d’abord une partie temporelle mais pour le but de cette
étude on se va se concentrer sur la réponse après la période temporelle quand
le système a atteint à une permanence (non dépendance de temps) quant à
l’amplitude de la déplacement produite et le contrainte von-Mises.
2.2 Équations
L’équation de motion est décrite ci-dessous :
[M]Ü + [C]U̇ + [K]U = F(t), (3)
avec M est la matrice de masse, C est la matrice d’amortissement, K est la
matrice de raideur, F c’est la charge, Ü c’est le vecteur d’accélération, U̇ c’est
le vecteur de vitesse et U c’est la déplacement.
ρÜ = ∇ · ¯
S̄ + Fv (4)
Avec u le vecteur de déplacement, S le tenseur des contraintes de Cauchy,
Fv la Force volumique. Rq. En statique l’accélération Ü = 0.
Le tenseur S, s’exprime comme suite :
¯
S̄ = 2µ¯
¯
+ λtr(¯
¯
)¯
¯
I (5)

avec λ et µ les coefficients dites de Lamé, ¯
¯
le tenseur des déplacements et
¯
¯
I la matrice d’identité.
¯
¯
=
1
2
[(∇UT
) + ∇U] (6)
avec ¯
¯
le tenseur des déformations infinitésimales, « T
» c’est une transpose.
¯
¯
el = ¯
¯
− ¯
¯
inel (7)
¯
¯
el le tenseur des déformation élastiques, ¯
¯
le tenseur des déformations totales,
¯
¯
inel le tenseur des déformations inélastiques.
C = C(E, ν) (8)
Avec C le tenseur de rigidité de quatrième ordre, E la module d’Young, ν le
coefficient de Poisson (aussi appelé coefficient principal de Poisson).
2.3 Conditions Initiales
Les conditions initiales pour cette études en déplacement et en vitesse
sont les suivantes.
u =


0
0
0

 mm
∂u
∂t
=


0
0
0

 m/s
2.4 Conditions aux Limites
La sollicitation est de la forme suivante : F = [3MPa, 0, 3MPa] La condi-
tion limite d’encastrement et Le point d’application du chargement sont in-
diquées dans les figures 3 et 4.

Figure 3 – Condition limite d’encas-
trement
Figure 4 – Le point d’application du
chargement
S · n = Fa (9)
Avec S la valeur scalaire de la contrainte, n le normale perpendiculaire à la
surface de l’application de la sollicitation, Fa est la sollicitation en MPa.
2.5 Résultats de l’étude statique
Sur les figures 5 et 6, on voit les réponses statiques au déplacement et
au contrainte von-mises pour des taille croissantes de gauche à droite. On
voit aussi les effets de la discrétisation des éléments. On constate que plus
on augment la discrétisation plus les réponse converge au prix des ressources
informatiques. Les figures montrent que le déplacement converge vers 1.2mm
alors que le contrainte moyenne converge vers 40MPa.
Figure 5 – La réponse en déplace-
ment (maximale) en fonction de la
taille d’éléments pour des discrétisa-
tions différentes
Figure 6 – La réponse en contrainte
von-Mises évaluée sur la moyenne en
fonction de la taille d’éléments pour
des discrétisations différentes

Étude des Fréquences Propres avec Amortissement Page 10
3 Étude des Fréquences Propres Non-Amorties
Dans cette étude on essaie de déterminer les fréquences propres du sys-
tème non-amorti. Dans l’équation de motion on voit disparaître la matrice
d’amortissement.
[M]Ü + [K]U = 0 (10)
Où M est la matrice de masse, K est la matrice de raideur, F c’est la charge,
Ü c’est le vecteur d’accélération, U̇ c’est le vecteur de vitesse et U c’est la
déplacement.
Les fréquences de résonance varient seulement en fonction de la forme du
modèle et l’encastrement[4].
Figure 7 – La convergence de la pre-
mière fréquence propre non-amortie en
fonction de la taille du maillage
Figure 8 – La convergence de
la deuxième fréquence propre non-
amortie en fonction de la taille du
maillage
Les figures 7 et 8 montrent la convergence des deux premières fréquence
propres non-amorties en fonction de la raffinement du maillage et la discré-
tisation des éléments.
4 Étude des Fréquences Propres avec Amortis-
sement
Le type d’amortissement utilisé amortissement de Rayleigh. L’amortis-
sement classique de Rayleigh est un amortissement visqueux qui est pro-
portionnel à une combinaison linéaire de masse et de rigidité. La matrice
d’amortissement C est donnée par :

Étude des Fréquences Propres avec Amortissement Page 11
C = αdmM + βdkK (11)
avec M et K les matrices de raideur et de masse et αdm et βdk des coef-
ficients de proportionnalité. Les coefficients de la matrice d’amortissement :
αdm = 300s−1
βdk = 3.210−5
s
L’amortissement de Rayleigh offre certaines commodités mathématiques
et est largement utilisé pour modéliser l’amortissement structurel interne.
L’une des caractéristiques les moins attrayantes de l’amortissement de Ray-
leigh est cependant que le rapport d’amortissement atteint varie selon la
fréquence des réponses. Le terme proportionnel à la rigidité contribue à un
amortissement linéairement proportionnel à la fréquence de réponse et le
terme proportionnel à la masse contribue à un amortissement inversement
proportionnel à la fréquence de réponse[3].
[M]Ü + [C]U̇ + [K]U = 0 (12)
avec M la matrice de masse, C est la matrice d’amortissement, K est la
matrice de raideur, F c’est la charge, Ü c’est le vecteur d’accélération, U̇
c’est le vecteur de vitesse et U c’est la déplacement.
Figure 9 – La convergence de la
première fréquence propre amortie en
deuxième fréquence propre amortie en
Les figures 7 et 8 montrent la convergence des deux premières fréquence
propres non-amorties en fonction de la raffinement du maillage et la discré-
tisation des éléments.

Étude Transitoire Page 12
5 Étude Transitoire
La réponse en déplacement d’une structure donnée comporte deux ré-
gimes. Le régime dite « transitoire » et le régime dite « permanent ». Le mot
« transitoire » signifie que ça ne dure pas longtemps ; cela se fait dans une du-
rée relativement courte. La seule différence entre les régimes dites permanent
et transitoire c’est que à l’état permanent l’on voit disparaître tous les fré-
quences propre et le système vibre qu’avec la fréquence du chargement[5]. A
l’instant de l’application d’un forçage à une structure quelconque, la réponse
surtout en déplacement de la structure dans les quelques premiers millise-
conds voire seconds alors que la structure est encore en train de s’adapter
au forçage sont très important dans l’étape de conception. Dans cette sec-
tion Étude Transitoire on explore les différents réponses que peut avoir la
structure en fonction de ses fréquences modales, les fréquences des forçages
et l’amortissement.
5.0.1 Une petite précision sur l’importance de la règle de Shannon
sur les tracés de la transformée de Fourier
La règle de Shannon nous dit effectivement que en échantillonnant un
signal avec une fréquence d’échantillonage donnée, la composante maximale
en fréquence que l’on va pouvoir prendre en compte c’est celle qui est moins
d’un-demi de la fréquence d’échantillonage. Dans l’ensemble des cas traité
dans ce compte-rendu la fréquence d’échantillonage a toujours resté à 10kHz
qui correspond à un pas de temps de 0.00001s. Donc la fréquence maximale
qui peut être pris en compte et toute fréquences qui soient inférieures à 5kHz.
Tout ça c’est du côté négatif, au côté positif on se content par le fait que les
fréquence plus dangereux auxquelles il faut prêter beaucoup attention sont
les quelques premières. En plus de dire qu’échantillonner à une fréquence trop
élevée (un pas de temps trop trop petit) et coûteux en terme des ressources
informatiques et en temps.
5.1 Forçage Sinusoïdal de fréquence 500Hz
Dans ce cas un forçage de fréquence 500Hz et appliquée à la structure.
Le forçage porte la forme suivante :
F = ((1.5[MPa] ∗ (sin(2 ∗ pi ∗ 500[Hz] ∗ t − pi/2))), 0, 0) (13)
Dans la figure 11, on voit que le régime était fortement transitoire au dé-
but mais a commence à se stabiliser (mouvement vers le régime permanent)

après 0.01s. On voit quand-même aussi quelques irrégularités du probable-
ment à des erreurs du calcul ou d’approximation dans la transition à la
permanence.
ment pour le forçage sinusoïdale de
500Hz Figure 12 – La transformé de Fourier
de la réponse en déplacement
Le régime permanent est caractérisé par la dominance de la fréquence du
forçage sur tous les fréquence propres de la structure.
5.2 Sollicitation à la première fréquence propre 416.2Hz
Dans ce cas un forçage de fréquence 416.2Hz est appliqué à la structure.
Le forçage à la forme suivante :
F =


(1.5[MPa] ∗ (sin(2 ∗ pi ∗ 500[Hz] ∗ t − pi/2))
(0.079[MPa] ∗ (sin(2 ∗ pi ∗ 500[Hz] ∗ t − pi/2)))
(0.316[MPa] ∗ (sin(2 ∗ pi ∗ 500[Hz] ∗ t − pi/2)))

 (14)
La forme de ce forçage est en sorte qu’il puisse solliciter le premier mode.
La direction de la premier mode à été obtenu dans le résultat de l’étude de
la réponse fréquentielle. Dans la figure 13 on voit que la déplacement diverge
tout le temps.

ment de la structure soumise à un for-
çage de 416.2Hz Figure 14 – La transformé de Fourier
Cela donne des amplitudes totalement insupportable c’est ça la résonance
qu’il faut éviter à tout prix. Dans la figure 14 on voit la transformée de
Fourier pour la réponse en figure 13. C’est principalement un seul pic en
416.2Hz d’une très grosse amplitude. Il faut ajouter que les modes propres
sont mutuellement perpendiculaire l’un à l’autre donc c’est impossible de
solliciter deux modes propres à la fois.
5.2.1 L’effet de la direction de la sollicitation sur la résonance
Dans ce cas la structure est toujours solliciter à 416.2Hz mais le forçage
F prend la forme suivante :
F =


(1.5[MPa] ∗ (sin(2 ∗ pi ∗ 500[Hz] ∗ t − pi/2))
0
0

 (15)
Donc on a cette scénario dans les figures 15 et 16 on voit que la réponse
de résonance commence mais à un certain point (autour de temps t = 0.035s)
la réponse en déplacement à l’air de converger un peu et elle commence à
diverger encore. Cette phénomène se produit parce que quand le forçage n’est
pas totalement dans la direction de la mode propre, il y aurait des composants
de cette forçage qui ne vont pas résonner avec la structure et c’est les effet
de ces composants non-résonants qui fait baisser l’amplitude de la résonance
périodiquement.

çage de 416.2Hz mais pas dans la di-
rection précise
Figure 16 – La transformé de Fourier
5.3 Forçage constant
Dans ce cas on étudie la réponse de la structure quand le forçage est
constant. C’est le cas quand un structure est soudainement soumise à un
poids lourd et ce pois reste sur la structure montré sur la figure 17. La
réponse en déplacement montrent comment la réponse bascule autour d’une
valeur d’à peu près 0.045mm et puis après reste constante à ce niveau qui est
le déplacement dû à la présence seul de cet forçage pour une étude statique.
çage constant Figure 18 – La transformé de Fourier
de la réponse en déplacement pour le
forçage constant
Dans le tracé de la transformée de Fourier figure 18 on voit la première
fréquence propre qui se lève parce qu’il y avait un régime transitoire. On voit
aussi le pic autour de 0Hz qui indique la nature constate de cet forçage. après

on voit que tout fréquence est à amplitude zéro parce qu’il n’y aie plus de
vibration.
5.4 Chargement Hybride (1000Hz)
Dans ce cas on étudie la réponse de la structure soumise à un forçage «
hybride ». Par l’expression « forçage hybride » on entend un forçage qui a en
même temps une partie constante aussi qu’une partie sinusoïdale. La partie
sinusoïdale bascule autour de la limite donnée par la partie constante. Cette
fréquence de 1000Hz a été choisi parce qu’elle est assez loin des deux fréquence
propres avoisinantes : celle à 573Hz et celle à 1924Hz. Le règle qui gère ça
c’est que plus la fréquence de la sollicitation est proche d’une fréquence propre
plus la tendance de voir la contribution en amplitude de cette fréquence sans
oublier que à chaque fois l’effet de la première fréquences propre (voire les
quelques premières sont les plus importants en amplitude : plus on augmente
en fréquence, plus on perde en amplitude : une loi quelconque d’une certaine
conservation).
Le forçage F prend la forme suivante :
F =


1.5[MPa] ∗ (1 + sin(2 ∗ pi ∗ 1000[Hz] ∗ t − pi/2))
0
0

 (16)
çage
forçage
Donc on s’éloigne des ces deux fréquence pour vérifier une partie de l’hy-
pothèse. La réponse en déplacement est sur la figure 19. Dans la transformée
de Fourier figure 20, on voit la dominance de la première fréquence propre
sur la fréquence de la sollicitation de 1000Hz parce que le régime est toujours
fortement sur le régime transitoire.

5.5 Chargement Hybride (2000Hz)
Cette fois dans ce cas pour un chargement hybride de 2000Hz on se rap-
proche vers la troisième fréquence propre de 1924Hz. On voit la réponse en
déplacement dans la figure 21. On voit que ça commence à aller vers le ré-
gime permanent. Cette fois dans le tracé de la transformée de Fourier figure
22, on voit apparaître trois pics : celui de la première fréquence propre mais
d’une amplitude moins importante que le cas de 1000Hz, la troisième fré-
quence propre et la fréquence de la sollicitation. Le forçage F prend la forme
suivante :
F =


1.5[MPa] ∗ (1 + sin(2 ∗ pi ∗ 2000[Hz] ∗ t − pi/2))
0
0

 (17)
çage 500Hz
forçage
5.6 Étude du Régime Permanent
Dans cette étude on cherche une permanence dans dans la sortie graphique
de la réponse en déplacement pour un forçage sinusoïdale de 500Hz. Cette
calcul qui a duré le plus longtemps a pour but de montrer la dominance
de la fréquence de la sollicitation dans le régime permanent. La réponse en
déplacement et la transformée de Fourier de cette réponse sont sur les figures
23 et 24 respectivement.

çage
forçage
5.7 Les cas avec l’amortissement
Tous les cas précédents ont été faits sans amortissement. Dans les cas
suivants l’on essaie d’introduire l’amortissement et de voir l’effet de l’amor-
tissement sur la fréquence de vibration.
L’équation qui relie les pulsations amortie avec leurs collègues non-amorties
s’écrit :
ωd =
p
1 − ξ2 · ωn (18)
avec ; ωd la fréquence amortie et ωn la fréquence propre (non-amortie) et ξ
la coefficient d’amortissement critique. Par cette relation et par comparaison
l’on peut déterminer la coefficient d’amortissement critique pour ce système.
La composition de la matrice d’amortissement C en (Ns/m), s’écrit comme
suite :
C = αM + βK (19)
avec α(s−1
) et β(s) les coefficients de la masse et de raideur respectivement.
5.7.1 Forçage sinusoïdal de 2000Hz
Dans ce cas d’un forçage de 2000Hz on étudie la réponse en déplacement
de la structure quand elle est bornée par la présence de l’amortissement.

çage
forçage
Dans la figure 25 on voit la réponse en déplacement de la structure. On
peut voit au premier abord que la présence de l’amortissement fait passer
le régime très vite au régime permanent. On voit encore la faible présence
de l’amplitude de la première fréquence propre qui est testament de son
importance. Surtout on voit très dominant aussi dans la figure 26 la fréquence
du forçage ce qui raconte que la structure est bel et bien dans le régime
permanent.
Forçage sinusoïdal de 2000Hz sans amortissement
Dans ce cas on essaie d’évoquer un phénomène très spécial qui s’appelle le
« battement ». Le chargement c’est un chargement sinusoïdal de 2000Hz
en fréquence et il n’y a pas d’amortissement cette fois même si ce cas est
mis dans la catégorie des cas avec l’amortissement. Le phénomène qui se
produise à cause de la très proche proximité de la fréquence du chargement
d’une des fréquence propres est bien expliqué par (Denoël 2010) : « Étant
donné que le contenu est pratiquement uni-fréquentiel, ce type de processus
se rapproche d’une sinusoïde dont l’amplitude varie lentement au cours du
temps (ce phénomène de battement provient des contributions des fréquences
voisines) et passe donc environ une fois par zéro par période »[6].
çage
forçage

Les réponse en déplacement et la transformée de Fourier de cette réponse
sont dans les figures 27 et 28 respectivement.
5.7.2 Forçage sinusoïdal de 416.2Hz
Dans ce cas d’un forçage de 416.2Hz qui correspond à la première fré-
quence propre on essaie de chiffrer la performance de l’amortissement avec
une résonance de la structure. On voit sur la figure 29 la réponse en déplace-
ment pour ce système. ça se voit que dès 0.015s la magnitude de la réponse
en déplacement se stabilise. On voit aussi dans la figure 30 que le pic de la
fréquence qui est en 416.2Hz est beaucoup moins important que celui du cas
où il y a pas de l’amortissement.
çage
forçage
5.7.3 Effet de la variabilité des deux coefficients d’amortissement
α et β
çage
çage

Dans ce cas on étudie l’effet de la variabilité des deux coefficients d’amor-
tissement. On essaie de chiffrer leurs importance l’un par rapport à l’autre.
Le forçage est un forçage sinusoïdal de fréquence 500Hz. Dans les figures 31,
32 et 33 respectivement on voit les réponse en déplacement pour des coef-
ficients d’amortissement α(s−1
) et β(s) suivants : 300, 1.6e-5 ; 300, 6.4e-5 ;
600, 6.4e-5 ;. Dans la figure 34 on voit baisser le magnitude du pic quand les
valeurs de α et β sont augmenté c’est qui est l’effet produit par la présence
de l’amortissement.
çage
forçage à différents niveau d’amortis-
sement

Étude Transitoire Modale Page 22
6 Étude Transitoire Modale
Les formes modales de la structure sont utilisées dans cette méthode pour
réduire la taille, découpler les équations de mouvement, et ensuite effectuer
la technique d’intégration numérique. Les matrices diagonales ont pour effet
de découpler les degrés de liberté modaux. Le terme de charge est un vecteur
et est déjà découplé. Par conséquent, le système est facilement résolu sous la
forme d’une série d’équations découplées.
Le forçage F prend la forme suivante :
F =


1.5[MPa]
0
0

 (20)
Dans les études modale un forçage qui dépend du temps n’est pas utilisées
mais au lieu de ça la dépendance du temps et présentée une facteur de charge
qui dans ce cas prend la forme suivante : 1 + sin(2 ∗ pi ∗ 500[Hz] ∗ t − pi/2)
ment de la structure au forçage avec
les 10 premiers modes propres
ment de la structure au forçage avec
les 50 premiers modes propres
Les figures 35 et 36 montre les similarités entre une étude direct et une
étude modale en utilisant 10 et 50 fréquences propres respectivement. L’étude
directe étant la courbe en bleu et l’étude modale étant les points en vert (liés
l’un avec l’autre par des lignes vertes discontinues). Ce qu’il y a d’important
ici c’est que au fur et à mesure qu’on utilise plus des fréquences propres pour
faire le calcul modale, on va de plus en plus trouver une solution qui va de
mieux en mieux imiter la solution direct.
Temps de calcul pour l’étude modale de 10 modes : 18s.
Temps de calcul pour l’étude modale de 50 modes : 55 s.
Temps de calcul pour l’étude direct : 453s.

Réponse Fréquentielle Page 23
7 Réponse Fréquentielle
Le but de cette étude c’est de faire une enquête sur la réponse en dépla-
cement de la structure sur une gamme de fréquences d’intérêt qui englobera
la fréquence de lu chargement prévu à laquelle la structure devra être sou-
mise pendant son utilisation en utilisant tous les fréquences modales de la
structure. La gamme de fréquence utilisé c’est 350 - 2000Hz avec un pas de
10Hz.
ment sur une gamme de fréquence 350
- 2000Hz
Figure 38 – La réponse en contrainte
von-mises à la fréquence 650Hz pour
l’étude directe
La première forme modale à fréquence 416Hz est très importante en x
et la seconde forme modale à fréquence 573Hz est plutôt important en y.
L’on ne voit quasiment plus les réponse dès le 3ème mode parce que des dé-
placement sont pas assez important pour être marquants dans cette échelle
en déplacement. Donc l’on arrive à la conclusion que ce n’est que quelques
premiers modes qui seront important dans une étude de réponse d’un ma-
tériau. A partir des valeurs x, y, z pour la première fréquence propre on est
capable de savoir la direction exacte pour pouvoir solliciter la résonance à
cette fréquence. Ce qui a été fait dans la section 5.2.1.

Réponse Fréquentielle Modale Page 24
8 Réponse Fréquentielle Modale
Dans cette étude, au lieu d’utiliser toutes les fréquences modales on en
utilise que quelques plus conséquentes pour trouver l’effet les contribution
de quelques fréquence modale sur la contrainte dans la gamme de fréquence
choisie. On essaye de comparer ces résultats avec les résultats de l’étude
directe. Une étude modale est toujours plus rapide est plus pratique et moins
coûteuse.
Figure 39 – Une graphique de la réponse en contrainte von-mises de toute
la structure à la fréquence 650Hz utilisant la réponse fréquentielle modale
8.1 Une comparaison entre les réponse en contrainte
von-Mises de l’étude modale et directe
Figure 40 – La partie en bleu montre
la surface d’où la contrainte max a été
prise
Figure 41 – Comparaison des études
direct et modale de la réponse max en
contrainte von-mises sur une surface
donnée. Avec 6 modes pour l’étude di-
recte.

Réponse Fréquentielle Modale Page 25
Dans les figures 40 et 41 le but c’est de visualiser la différence entre une
étude modale et une étude directe. On voit la vraisemblance et pourquoi
c’est plus efficace d’utiliser la méthode modale. On se rappelle qu’une étude
modale c’est une étude fait avec que quelque modes (orthogonaux dans leur
nature) pour diagonaliser les équation de la dynamique pour la rendre «
découplée » en ainsi beaucoup plus facile à résoudre. Alors qu’une étude
directe essaie d’utiliser tout les fréquences propres de la structure qui est
égale au nombre des dégrées de liberté de la structure. Dans cette méthode
dite « directe » voire « complète » même si elle assure des résultats plus juste
c’est souvent pas pratique et ne vaut pas la peine vu les dépense en temps
et en ressource informatique très importantes.

Références Page 26
Références
[1] Stephen Duffy. Civil engineering department cve 604 - elasticity spring
semester. section 12 : Volume elements : Tetrahedral elements. pp.17.
Clevland State University Ohio, 2009.
[2] Duczek et. al. Critical assessment of different mass lumping schemes for
higher order serendipity finite elements. The University of New South
Wales, School of Civil and Environmental Engineering, Sydney, NSW
2052, Australia, 2019.
[3] Orcaflex. Rayleigh damping : Guidance, 2017.
[4] Cyprien Rusu. What is fea modal analysis ? | learn the basics about it,
2016.
[5] Brown University. Introduction to dynamics ansd vibrations. en4 course
notes, 2016.
[6] Denoël V. Analyse dynamique des structures du génie civil. pp.132. As-
sociation de l’Ingénierie du Vent (AIV), 2010.

Annexes Page 27
Annexes
Figure 42 – La convergence de la troi-
sième fréquence propre non-amortie en
Figure 43 – La convergence de la qua-
trième fréquence propre non-amortie
en fonction de la taille du maillage
Figure 44 – La convergence de la cin-
quième fréquence propre non-amortie
sixième fréquence propre non-amortie

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