thermique

1. INTRODUCTION A LA THERMIQUE
AU 2020-2021
1
Université de Monastir
Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir
Département de Génie Energétique
Série 5 – Etude des Ailettes

2. Exercice 1
Soit une tige de cuivre, pleine, cylindrique, d’axe (ox), de
longueur L, de rayon R et de conductivité thermique K,
qui est en contact par une de ses extrémités (x = 0) avec
un échangeur à la température T0 et par sa surface
latérale et son autre extrémité (x = L), elle est en contact
avec un fluide à la température T (T < T0). Elle joue le
rôle d’ailette de refroidissement.
On se place en régime permanent et on suppose qu’à
l’intérieur de la tige, le gradient radial de température
est suffisamment faible pour considérer que, dans la
section droite d’abscisse x, la température est uniforme.
2

3. 1/- Déterminer la répartition de température T(x) au
sein de la tige. Calculer T(L).
On donne : K = 389 W / m K, h = 1 555 W / m2 K,
R = 1 mm, T0 = 340 K, T = 300 K, L = 10 cm.
2/- Déterminer le rapport f des flux thermiques
sortant de l’échangeur à travers la surface de base de
rayon R (x = 0) avec et sans ailette, puis, déterminer  f
, le rendement d’une ailette.
3

4. 1/- On suppose que
Faisons un bilan d’énergie sur
un élément de l’ailette
de section ,
de périmètre .
En régime permanent :
; K et A constants
La solution est :
 
T T x r ; K cte ; h cte
   
2
A R
 
P 2 R
 
in out
E E 0
 
 
x x dx conv
x x dx
dT dT
q q q 0 KA KA hPdx T T 0
dx dx
 

         
 
 
2
2
d T-T hP
T T 0
dx KA


   
2
2
2
d hP
a 0 où T T et a
dx KA


       
    ax ax
1 2
x T x T C e C e

    
4

5. Conditions aux limites :
On peut ramener l’étude d’une ailette dont l’extrémité
échange par convection à l’étude d’une ailette à
longueur corrigée L c dont l’extrémité est isolée. Dans
notre cas (ailette cylindrique) :
2
c c
D R A R R
L L L {en effet L L L L }
4 2 P 2 R 2

         

   
c c
c c
o o o
1 2 o
aL aL
1 2
x L x L
T x 0 T x 0 T T
C C (1)
dT d
KA 0 0 C ae C ae 0 (2)
dx dx


 
       
  
 

    
 
c c c
c c c
c c
aL aL aL
aL aL aL
1 o
1 2 b
aL aL
1 2 2 o 1
C e e e
C e C e e
C e C e 0 (1) C C
 
  

    
  
 
     
c
c c
c c
c c c c
aL
1 o aL aL
aL aL
2 o o
aL aL aL aL
e
C
e e
e e
C 1
e e e e



 
 


 
    
 
 
  5

6. : Répartition de température
Température à l’extrémité :
A.N. :
 
   
 
 
c c
c c
a L x a L x
c
aL aL
o c
e e
cosh a L x
x 2
cosh aL
e e
2
  

 

  
 
  
  
  

 
   
 
c
o c
cosh a L x
T x T hP
; où a
T T cosh aL KA



 
  
 

   
 
 
c
L o
c
cosh a L L
T T x L T T T
cosh aL
 

 
 
    
c
0.001
L 0.1 0.1005 m
2
  
P 2* *0.001 0.00628 m
  
 
2 6 2
A * 0.001 3.14*10 m

  
6
1555*0.00628
a 89.41
389*3.14*10
 
 
 
 
L
cosh 89.41* 0.1005 0.1
T 340 300 * 300 300.01 K 27.01 C
cosh 89.41*0.1005

 
 
     
6

7. 2/- Le rapport des flux thermiques sortant de l’échangeur
à travers la surface de base de rayon R (x = 0) avec et
sans ailette est l’efficacité de l’ailette .
Où :
A.N. :
f

f f f
f
sans ailette base o
Flux réel q q q
Flux sans ailette q q q
    
       
 
f o c o c
x 0 x 0
o c
dT d
q KA KA KA a tanh aL KAa tanh aL
dx dx
hPKA tanh aL
 

         
 
o o
q hA
 
   
6
f
q 1555*0.00628*389*3.14*10 340 300 tanh 89.41*0.1005 4.3686 W

  
 
6
o
q 1555*3.14*10 * 340 300 0.19508 W
  
f
4.3686
22.39
0.19508
  
7

8. Rendement d’une ailette :
A.N. :
Autrement :
  
o
f ailette
f f ,max c o
f ,max ailette isotherme à T
q q
où q h PL T T
q q

    
 
f ,max
q 1555*0.00628*0.1005* 340 300 39.2569 W
  
f
4.3686
0.111
39.2569
  
 
 
 
o c c
f c
c o c c
hPKA tanh aL tanh aL
1 KA
tanh aL
hPL L hP aL

   

8

9. Exercice 2
Considérons un cylindre d’un moteur d’une motocyclette
de hauteur H = 0,15 m et de diamètre extérieur D = 50
mm. Le cylindre est fabriqué en alliage d’Aluminium
2024-T6. Sous les conditions typiques de fonctionnement,
la température de la surface extérieure du cylindre atteint
les 500 K. Pour assurer le refroidissement du cylindre, des
ailettes annulaires lui sont ajoutées lors de l’opération de
fabrication (moulage). La figure suivante représente le cas
d’un cylindre équipé de 5 ailettes, d’épaisseur t = 6 mm et
de longueur 20 mm chacune, régulièrement espacées.
On prendra un coefficient d’échange h = 50 W / m2 K. La
conductivité du Al2024-T6 à la température moyenne de
400 K est estimée à 186 W / m K.
9

10. 1/- Préciser les hypothèses simplificatrices du problème
(régime, propriétés et coefficients).
2/- Déterminer la surface d’échange d’une ailette A f.
3/- Déterminer la surface totale d’échange convectif A t.
4/- Déterminer le rendement de l’ailette  f.
5/- Déterminer le flux échangé avec l’air ambiant à 300 K
ainsi que l’efficacité du système.
10

11. 11

12. 2/- La surface d’échange d’une ailette est :
A.N. :
On peut également écrire :
 
2 2
f 2 1 2
A 2 r r 2 r t
    
   
2 2
3 3
f
3 3
A 2* * 45*10 25*10
2* *45*10 *6*10
 
 
 
  
 
 
 
2 2
f
A 0.01049 m 0.0105 m

 
2
2 2 2
f 2c 1 2 1
2
2 2
2 1 2
0
t
A 2 r r 2 r r
2
t
2 r r r t
4

 
 
      
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
12

13. 3/- La surface totale d’échange convectif est :
A.N. :
4/- Pour déterminer le rendement d’une ailette
annulaire, on utilise l’abaque. Alors, on calcule tout
d’abord :
A.N. :
A.N. :
A.N. :
A.N. :
 
t f unfin unfin 1
A NA A ; où A 2 r H Nt
    
 
3 3 2
unfin
A 2* *25*10 * 0.15 5*6*10 0.0188 m
 
   
2
t
A 5*0.0105 0.0188 0.0713 m
  
2
2c
1 1
t
r
r 2
r r

 2c
1
6
45
r 2 1.92 (1)
r 25

 
c
t
L L
2
  3 3
c
6
L 20 *10 23*10 m
2
 
 
  
 
 
p c
A L t
 3 3 6 2
p
A 23*10 *6*10 138*10 m
  
 
1/ 2
3/ 2
c
p
h
L
KA
 
   
 
 
 
1/ 2
3/ 2
3
6
50
23*10 * 0.15 (2)
186*138*10


 
  
 
 
abaque
(1) et (2) 0.95
  13

14. 5/- Le flux échangé par l’ailette est :
Le flux total échangé est :
A.N. :
En absence d’ailettes, le flux est :
A.N. :
L’efficacité du système est :
A.N. :
 
f fin ailette f ,max f b
q q q q hA T T
      
t unfin fin inter ailettes ailette
q q Nq q Nq

   
   
    
    
   
t unfin b f b
t f b f b
t b f b
f
t b
t
q hA T T N hA T T
h A NA T T hNA T T
hA T T hNA 1 T T
NA
hA T T 1 1
A
 
 
 

    
     
    
 
    
 
 
   
t
5*0.0105
q 50*0.0713* 500 300 * 1 * 1 0.95 686.75 W
0.0713
 
    
 
 
  
no fin sans ailettes 1 b
q q h 2 r H T T
   
 
3
no fin
q 50*2* *25*10 *0.15* 500 300 235.61 W

   
t
no fin
q
q
 
686.75
2.91
235.61
  
14