Theorie_des_mecanismes.pdf

Ecole Nationale d’ingénieurs de sousse
Théorie des mécanismes
Mastère Mécanique et Ingénierie des
Systèmes
Abdelfattah MLIKA
Janvier 2010

Table de matière
I. Définitions :
I.1 Théorie des mécanismes……………………………………………………….1
I.2 Liaison mécanique, degré de liberté…………………………………………..2
I.3 Torseur cinématique………………………………………………….………..2
I.4 Torseur des actions de liaison…………………………………………… …. 2
I.5 Couple cinématique, liaison composée, liaison complexe………………… .2
I.6 Degré de mobilité……………………………………………………………….3
I.7 Degré d’hyperstatisme…………………………………………………………3
II. Analyse des mécanismes : ……………………………………………………………..4
II.1 Analyse statique…………………………………………………………….…4
II.1.1 Actions extérieures.………………………………………………….4
II.1.2 Actions de liaisons………………………………………………….. 4
II.1.3 Mise en équations ………………………………………………….. 5
II.1.4 Analyse du système linéaire et résultats…………………………....5
II.1.5 Ecriture matricielle du système linéaire……………………………6
II.2 Analyse cinématique ………………………………………….……………… 9
II.2.1 Torseurs cinématiques associés aux liaisons………………………. 9
II.2.2 Mise en équations………………………………….…………………9
II.2.3 Analyse du système linéaire et résultats……………………………10
II.2.4 Hyperstatisme au sens cinématique………...………………………10
II.3 Méthode rapide de formation du système statique …………………………. 12
II.3.1 Cas 1 : Train épicycloïdal à un seul satellite et couronne mobile… 12
II.3.2 Cas 2 : Train épicycloïdal à un seul satellite et couronne fixe……. 16
II.3.3 Cas 3 : Train épicycloïdal à deux satellites et couronne fixe…..…. 16
III. Loi de mobilité globale …………………………………….....……………………..… 19
IV. Analyse numérique de mécanismes ………...…………………………………………19
IV.1 Analyse cinématique…………………………………...………………………19
IV.1.1 Choix des vitesses généralisées………...…………………………….21
IV.1.2 Application : mécanisme d’essuie-glace………...………………….21
IV.2 Analyse statique ……………………………………......…………………….24
IV.2.1 triangularisation du système statique………...…………………….24
IV.2.2 Relations entrée-sortie générales………...………………………….24
IV.2.3 Efforts calculables et efforts non calculables………...……………..25
IV.2.4 Distribution et choix des hyperstaticités………...………………….26
IV.2.5 Application : mécanisme à 4 barres………...………………………26
IV.3 Recherche systématique des solutions isostatiques ………...………..………28
IV.3.1 Obtention des solutions isostatiques par élimination directe des
efforts hyperstatiques………...…………………………...…………………28
IV.3.2 Obtention des solutions isostatiques par ajout des nouvelles
liaisons………...……………………………………………...………………30

Théorie des mécanismes 1
I. Définitions :
I.1 Théorie des mécanismes :
La théorie des mécanismes a pour but essentiel la rationalisation de la conception mécanique
des systèmes de solides indéformables. Selon qu’il s’agit de l’analyse ou de la synthèse d’un
mécanisme, les objectifs visés par cette science sont différents.
Dans le cas de l’analyse, le mécanisme est déjà existant ou en cours de conception. Il s’agit
alors, à partir de son schéma cinématique et de ses caractéristiques géométriques :
 de vérifier son comportement cinématique et dynamique ;
 d’identifier ses mobilités et ses hyperstaticités.
Dans le cas de la synthèse, il s’agit de l’établissement des projets de mécanismes possédant
des caractéristiques structurales, cinématiques et dynamiques données susceptibles de
produire des mouvements donnés
I.2 Liaison mécanique, degré de liberté :
C’est une liaison par contact mécanique entre deux solides. Ces derniers seront privés,
obligatoirement, de certains déplacements relatifs.
Le degré de liberté d’une liaison (d.d.l.) est le nombre des déplacements relatifs indépendants
qu’elle autorise. Le d.d.l. varie entre 0 et 5 pour les liaisons usuelles.
I.3 Torseur cinématique :
Le comportement cinématique d’un solide j par rapport à un solide i est décrit par le torseur
cinématique j/i
 .
k
k
2
2
1
1
i
/
j q
q
q 






 



k = d.d.l . 1 k
, ,
 
 : Torseurs géométriques.
D’une façon générale, k
 a pour réduction en un point O 












k
k
k
k
k
k
k
)
o
(
k
z
OO
z
z



k
z

est le vecteur unitaire de l’axe du déplacement. Ok est un point de cet axe
k
0 pour un déplacement en translation
1 pour les autres cas

 

et k
1 pour un déplacement en t ranslation
ou pas du mouvement hélicoidal

 

i j
Figure 1 : Liaison entre i et j

Exemple :
Pour une liaison sphérique
Trois déplacements angulaires sont autorisés par cette liaison
1, 2, 3 . Le d.d.l. étant égal à 3












































































































0
0
0
)
O
(
ou
0
0
0
)
O
(
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
)
O
(
3
2
1
1
/
2
3
2
1
1
/
2
3
2
1
1
/
2









Remarque : pour simplifier l’écriture on omet le point sur les vitesses















0
0
0
)
O
(
3
2
1
1
/
2
I.4 Torseur des actions de liaison :
Les actions de liaison sont représentées par le torseur tel que la puissance de ces
actions soit nulle.
Pij /R = = 0
Exemple :
Cherchons le torseur pour la liaison sphérique. Soit = ;
Pour que le comoment . = X.0 + Y.0 + Z.0 + 1 L + 2 M + 1N = 0
soit nul 1, 2, 3 il faut que le torseur des actions de i sur j le plus général aura la forme
suivante :
=










0
Z
0
Y
0
X
O
I.5 Couple cinématique, liaison composée, liaison complexe :
Un contact unique entre deux solides réalise un couple cinématique. Si la zone de contact est
une surface on dit que le couple est inférieur. Le d.d.l. dans ce cas est  3. En particulier nous
distinguons les couples usuels suivants :
P (Prismatique. Glissière), R (Pivot. Rotoïde), C (Cylindrique), S (sphérique) et G (Plan).
j
i

i
/
j
 j
i

j
i
 j
i











N
Z
M
Y
L
X
O
j
i
 i
/
j

j
i

x
y
z
Figure 2 : Liaison sphérique

Si la zone du contact est une ligne ou un point on dit que le couple est supérieur. Le d.d.l.
dans ce cas est tel que 3 < d.d.l.  5.
La notion de liaison mécanique est plus générale que celle du couple cinématique. En effet,
une liaison peut être un couple ou une association de plusieurs couples ou même une
association de plusieurs liaisons. Pour ce dernier cas, On utilise souvent le terme de « liaison
équivalente » ou encore, selon le type d’agencement, une liaison complexe pour un
agencement en série et une liaison composée pour un agencement en parallèle.
Pour une liaison complexe (en série) nous avons
= 



1
k
k et le d.d.l. =  d.d.l (lk)
Pour une liaison composée (en parallèle) nous avons
i
/
j
 = et d.d.l. = dim ( i
/
j
 )
I.6 Degré de mobilité :
Le degré de mobilité ne concerne pas, comme le d.d.l, deux solides, mais un mécanisme dans
son entier. Il s’agit du nombre maximum de vitesses généralisées qui dans ce mécanisme
peuvent être choisies d’une façon arbitraire, dans une configuration donnée.
Il n’existe pas une formule directe qui calcule le degré de mobilité et qui est valable pour tous
les types des mécanismes. Les mécaniciens et surtout ceux qui travaillent sur les mécanismes
plans utilisent souvent la formule de Tchebychev-Grübler connue aussi sous le nom de la
formule de Kutzbach :
m = d (n1)  i
(d f )



Avec d = 3 pour les mécanismes plans et 6 pour les mécanismes spatiaux, n est le
nombre total des pièces y compris le bâti et fi est d.d.l de la liaison li. Dans le cas des
mécanismes à cycle unique cette formule se réduit à m = i
f d



car n = nombre des
liaisons .Mais cette formule n’est valable que pour les mécanismes isostatiques ou les
mécanismes hyperstatiques plans. En effet, elle est exactement égale à la loi de mobilité
globale (que nous allons exposer pus loin au paragraphe III) lorsque le degré d’hyperstaticité
h = 0.
Pour le mécanisme du bras manipulateur de la figure 6 on trouve m = 6 (41) 
3
(6 1)

 = 3.
C’est le bon résultat car c’est un mécanisme à chaîne ouverte et le degré de mobilité dans ce
cas est la somme des d.d.l des liaisons. En faisant référence à la définition du degré de
mobilité citée au début de ce paragraphe, chaque paramètre de liaison peut être choisi d’une
façon arbitraire indépendamment des deux autres. Ainsi si on bloque une ou deux des trois
liaisons le reste continue à être libre.
Pour le mécanisme 4 barres plan (ou mécanisme de Bennet plan) de la figure 7 on trouve
m =
4
1
 6 = 2. Ce qui est faux car ce mécanisme est bien mobile. Son degré de mobilité est
égal à 1 car les 4 libertés en rotation sont dépendantes et si on bloque l’une d’eux le reste se
bloquera aussi. Ceci prouve bien la limitation de la formule de Chebychev-Grübler aux
i
/
j



k

Figure 5 : Agencement en parallèle
j
i
j
i
Figure 4 : Agencement en série

mécanismes isostatiques. Par contre en considérant que c’est un mécanisme plan c'est-à-dire d
= 3 on trouvera le bon résultat m =
4
1
 3 = 1.
Exemples :
I.7 Degré d’hyperstatisme :
C’est le nombre des actions de liaisons qui, en écrivant les équations d’équilibre (dynamique
ou statique) doivent être données pour pouvoir calculer les autres d’une façon unique.
Exemples :
II. Analyse des mécanismes :
L’analyse d’un mécanisme consiste à l’exploration de ses capacités cinématiques et statiques.
En particulier :
 les degrés de mobilité et d’hyperstatisme ;
 l’identification des vitesses généralisées et des efforts hyperstatiques ;
 les relations entrée-sortie ;
 la distribution des mobilités (flux cinématique)
 la distribution des hyperstaticités.
II.1 Analyse statique :
L’analyse statique a pour objectif :
 de déterminer les mobilités potentielles explicitées sous forme statique (relations
entre les efforts extérieurs) ;
 d’étudier, en cas de mécanisme hyperstatique, la répartition des efforts
hyperstatiques.
h = 1
Figure 8 : Guidage en rotation avec
deux sphériques
h = 2
Figure 9 : Guidage en rotaion avec
appui plan et pivot glissant
m = 3
Figure 6 : bras manipulateur
m = 1
Figure 7 : mécanisme 4 barres


n
y
z
1
2 j
Figure 11 : Contact de deux dents
Nous allons exposer la procédure de cette analyse à travers l’exemple de l’engrenage
cylindrique à denture droite.
1
1
l
OA r
0
 
 
 
 
 
 2
2
l
AB r
0
 
 
 
 
 


II.1.1 Actions extérieures:























 

0
0
0
0
C
0
0
0
0
0
C
0 2
2
ex
1
1
ex
II.1.2 Actions des liaisons :
* Liaison pivot d’axe X

de 1 avec 0 :











 
01
01
01
01
01
O
1
0
N
Z
M
Y
0
X
* Liaison pivot d’axe X

de 2 avec 0 :











 
02
02
02
02
02
B
1
0
N
Z
M
Y
0
X
* Liaison Linéaire rectiligne d’axe X

et de normale n

de 2 avec 1 :
)
Z
,
Y
,
X
(
12
12
12
12
A
2
1
)
n
,
j
,
X
(
12
12
A
2
1
M
S
R
C
M
C
R
S
0
0
0
R
M
0
0
0






































II.1.3 Mise en équations :
*Equilibre du solide 1 au point O :
C1
C2
X
Y
2
1 A
B
O
Figure 10 : engrenage cylindrique

1 12
01 1
01 01 12 1 12 12
01 01 12 1 12 12
0 r C R
X 0 0 C
Y M R S l C R C M 0 0
Z N R C l S R C M 0 0

  
   
 
   
      
     
     
       
   
* Equilibre du solide 2 au point B :
2 12
02 2
02 02 12 2 12 12
02 02 12 2 12 12
0 r C R
X 0 0 C
Y M R S l C R C M 0 0
Z N R C l S R S M 0 0

  
   
 
   
      
     
     
     
   
On obtient le système suivant :
(1) X01 = 0 (7) X02 = 0
(2) Y01  R12 S = 0 (8) Y02 + R12 S = 0
(3) Z01  R12 C = 0 (9) Z02 + R12 C = 0
(4) r1 C R12 =  C1 (10) r2 C R12 = C2
(5) M01 + l1 C R12 C M12 = 0 (11) M02  l2 C R12 + C M12 = 0
(6) N01  l1 S R12 + S M12 = 0 (12) N02  l2 S R12  S M12 = 0
II.1.4 Analyse du système linéaire statique et résultats :
a. Les deux équations (1) et (7) indiquent que X01 = X02 = 0
b. Les équations (4) et (10) permettent le calcul d’une même inconnue R12. Une de deux
équations est principale (au choix) et l’autre est secondaire et doit vérifier le résultat
de la première. Une condition de compatibilité doit exister entre les deux équations.
1
12
1 2
2 1
2 1
12
1
C
(4) R
r C r
C C
C r
(10) R
r C
 
 

 

 


 
Cette relation ne fait intervenir que des actions extérieures. C’est une relation entrée-
sortie.
c. R12 étant calculée par (4) ou (10), les inconnues suivantes sont alors calculables : Y01,
Z01, Y02, Z02.
d. Il reste les 4 équations suivantes pour déterminer 5 inconnues :
(5) M01  C M12 = l1 C R12
(6) N01 + S M12 = l1 S R12
(11) M02 + C M12 = l2 C R12
(12) N02  S M12 = l2 S R12
Le système est indéterminable d’ordre 1  1 effort hyperstatique (h = 1). Cet effort
peut être choisi parmi : M01, N01, M12, M02, N02. Il doit être donné pour pouvoir
calculer les autres.
Remarque : les efforts hyperstatiques peuvent être calculés en utilisant le théorème de
minimisation de l’énergie de déformation par exemple.

II.1.5 Ecriture matricielle du système statique :
Il est plus commode d’appliquer l’interprétation précédente à la matrice associée au système
statique. Cela devient plus pratique lorsqu’il s’agit d’un degré de mobilité ou d’hyperstatisme
supérieur à 1 ou encore dans le cas des mécanismes à plusieurs solides. Le système linéaire
précédent issu de l’équilibre statique de deux solides est
1
1
1
2
2
1 . . . . . . . . . . .
(1)
. 1 . . . S . . . . . .
(2)
. . 1 . . C . . . . . .
(3)
. . . . . r C . . . . . .
(4)
. . . 1 . l C C . . . . .
(5)
. . . . 1 l S S . . . . .
(6)
. . . . . . . 1 . . . .
(7)
. . . . . S . . 1 . . .
(8)
. . . . . C . . . 1 . .
(9)
. . . . . r C . . . . . .
(10)
. . . . . l C C . . . 1 .
(11)
. .
(12)
 
 

  
  



  
01
01
01
01 1
01
12
12
02
02
02 2
02
02
2
X 0
Y 0
Z 0
M C
N 0
R 0
M 0
X 0
Y 0
Z C
M 0
N
. . . l S S . . . . 1 0
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
     
   
L’examen de ce système va nous permettre de retrouver les résultats précédents en appliquant
une méthode d’élimination progressive des inconnues. Une ligne de la matrice, à un seul
coefficient correspond à une équation à une seule inconnue. Cette inconnue est donc
calculable, le coefficient sera encerclé et sa colonne barrée. C’est le cas des inconnues X01
(équation 1), X02 (équation 7) et R12 (équations 4 ou 10). L’ensemble des colonnes barrées
définit un niveau d’élimination.
1
1
1
2
2
1 . . . . . . . . . . .
(1)
. 1 . . . S . . . . . .
(2)
. . 1 . . C . . . . . .
(3)
. . . . . r C . . . . . .
(4)
. . . 1 . l C C . . . . .
(5)
. . . . 1 l S S . . . . .
(6)
. . . . . . . 1 . . . .
(7)
. . . . . S . . 1 . . .
(8)
. . . . . C 1 . . 1 . .
(9)
. . . . . r C . . . . . .
(10)
. . . . . l C C . . . 1 .
(11)
. .
(12)
 
 

  
  



  
01
01
01
01 1
01
12
12
02
02
02 2
02
02
2
X 0
Y 0
Z 0
M C
N 0
R 0
M 0
X 0
Y 0
Z C
M 0
N
. . . l S S . . . . 1 0
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
     
   
Si à l’issue d’un niveau d’élimination se dégagent des lignes où tous les coefficients sont
barrés sans qu’aucun ne soit encerclé, alors ces lignes correspondront à des équations

secondaires. L’équation (10) est bien le cas, elle traduit la présence d’une mobilité exprimée
par les rotations des solides 1 et 2 autour de OX

.
Nous répétons la même opération d’élimination pour les colonnes et les lignes restantes. Il
s’agit d’éliminer les colonnes dont les coefficients sont devenus seuls dans leurs lignes après
le précédent niveau d’élimination. Les inconnues éliminées seront Y01, Z01, Y02 et Z02. Aucune
équation secondaire n’est détectée à ce deuxième niveau.
1
1
1
2
2
1 . . . . . . . . . . .
(1)
. 1 . . . S . . . . . .
(2)
. . 1 . . C . . . . . .
(3)
. . . . . r C . . . . . .
(4)
. . . 1 . l C C . . . . .
(5)
. . . . 1 l S S . . . . .
(6)
. . . . . . . 1 . . . .
(7)
. . . . . S . . 1 . . .
(8)
. . . . . C . . . 1 . .
(9)
. . . . . r C . . . . . .
(10)
. . . . . l C C . . . 1 .
(11)
. .
(12)
 
 

  
  



  
01
01
01
01 1
01
12
12
02
02
02 2
02
02
2
X 0
Y 0
Z 0
M C
N 0
R 0
M 0
X 0
Y 0
Z C
M 0
N
. . . l S S . . . . 1 0
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
     
   
Le processus d’élimination ne peut plus continuer puisque toutes les lignes restantes sont à 2
coefficients. Le sous-système restant est indéterminé puisqu’il comporte 4 équations (5), (6),
(11) et (12) pour 5 inconnues M01, N01, M12, M02 et N02. Pour déterminer l’ordre de
l’indétermination du sous-système ou encore le degré d’hyperstatisme nous allons supposer
qu’une inconnue est donnée et on reprend de nouveau la méthode d’élimination
1
1
1
2
2
1 . . . . . . . . . . .
(1)
. 1 . . . S . . . . . .
(2)
. . 1 . . C . . . . . .
(3)
. . . . . r C . . . . . .
(4)
. . . 1 . l C C . . . . .
(5)
. . . . 1 l S S . . . . .
(6)
. . . . . . . 1 . . . .
(7)
. . . . . S . . 1 . . .
(8)
. . . . . C . . . 1 . .
(9)
. . . . . r C . . . . . .
(10)
. . . . . l C C . . . 1 .
(11)
. .
(12)
 
 

  
  



  
01
01
01
01 1
01
12
12
02
02
02 2
02
02
2
X 0
Y 0
Z 0
M C
N 0
R 0
M 0
X 0
Y 0
Z C
M 0
N
. . . l S S . . . . 1 0
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   

 
   
 
   
 
   
     
   
En atteignant ce stade, tous les coefficients de la matrice sont encerclés. Les inconnues M01,
M12, M02, N12, N02 et N01 forment un ensemble dans lequel il faut choisir un élément pour
pouvoir déterminer les autres. On détecte ainsi un hyperstatisme de degré 1. En choisissant

une inconnue dans cet ensemble comme inconnue hyperstatique (M12 par exemple), les autres
deviennent des inconnues principales.
D’un autre côté, l’équation secondaire (10) doit avoir avec l’équation (4) une relation de
compatibilité pour pouvoir obtenir une valeur unique de R12. Cette relation est obtenue à partir
de la condition de nullité du déterminant principal (composé des équations et des inconnues
principales) bordé de l’équation (10) et du second membre.
1 1
1
1
2
2
1 . . . . . . . . . . .
(1)
. 1 . . . S . . . . . .
(2)
. . 1 . . C . . . . . .
(3)
. . . . . r C . . . . . C
(4)
. . . 1 . l C . . . . . .
(5)
. . . . 1 l S . . . . . .
(6)
. . . . . . 1 . . . . .
(7)
. . . . . S . 1 . . . .
(8)
. . . . . C . . 1 . . .
(9)
. . . . . l C . . . 1 . .
(11)
. . . . . l S . . . . 1 .
(12)
. . .
(10)
 
 
 

 


 
 
2 2
0
. . r C . . . . . C

 
1 1 2
1 2 2 1 2 1
2 2 1
r C C r
r C C r C C C C
r C C r
 
       
 
Nous retrouvons la relation entrée-sortie qui correspond à l’unique mobilité du mécanisme.
En résumé de cette étude statique nous disons que :
 Le degré d’indétermination du système statique est le degré d’hyperstatisme.
 Une équation secondaire dans le système statique correspond à une mobilité. La
condition de compatibilité de cette équation avec les équations principales donne une
relation entrée– sortie statique.
II.2 Analyse cinématique :
Comme l’analyse statique, l’analyse cinématique permet également de déterminer les degrés
de mobilité et d’hyperstatisme. Elle donne aussi la distribution des mobilités et permet le
choix des vitesses généralisées.
Nous allons considérer encore le mécanisme de l’engrenage cylindrique pour illustrer cette
analyse.
II.2.1 Torseurs cinématiques associés aux liaisons :
10 20
1/ 0 2/ 0
O O
0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
 
   
   
   
   
   
   

12 12 12 12
2/1 12 12 12
12 12 12
A X, j,n A X,Y,Z
u u
0 v S C v
0 C S v

   

 
   
   
     
   
   
    
   
II.2.2 Mise en équations :
La mise en équations se fait à partir de la condition de
fermeture de chaque cycle indépendant contenu dans le
graphe de liaisons. L’engrenage cylindrique est à cycle
unique défini par 0-1-2-0.
L’équation de fermeture de ce cycle s’écrit au point O :
0/1 1/ 2 2/ 0 0
     
Soit
12 12 1 12
10 20
12 12 1 12
1 2 20
12 12 1 12 1 12
u r C
0 0 0 0
0 0 S C w l C 0 0 0 0
0 0 0 (r r ) 0 0
C S w r l S
 
   
 
 
   
 
       
         
       
       
  
        
   
 
 
 
On obtient le système suivant :
10
20
12
1 12
1 12
1 2 1 1 12
1 1 1 0 0 0
(1) 0
0 0 0 S 0 0
(2) 0
0 0 0 C 0 0
(3) 0
0 0 0 r C 1 0
(4) 0
0 0 0 l C 0 C u
(5) 0
0 (r r ) r l S 0 S w
(6) 0
  
     
     
  
     
     
  

     
   
     
     
  
     
    
     
   
II.2.3 Analyse du système linéaire et résultats :
10
20
12
1 12
1 12
1 2 1 1 12
1 1 1 0 0 0
(1) 0
0 0 0 S 0 0
(2) 0
0 0 0 C 0 0
(3) 0
0 0 0 r C 1 0
(4) 0
0 0 0 l C 0 C u
(5) 0
0 (r r ) r l S 0 S w
(6) 0
  
     
     
  
     
     
  

     
   
     
     
  
     
    
     
   
On va appliquer la même méthode d’élimination progressive des inconnues pour retrouver les
degrés de mobilité et d’hyperstatisme du mécanisme.
Le premier niveau d’élimination débouche sur l’élimination de 12 et sur l’équation secondaire
(3). La présence d’une telle équation implique l’existence d’une hyperstaticité puisque 12 se
trouve annulée deux fois (équations (2) et (3)) par deux obstacles dont un est obligatoirement
surabondant.
Le deuxième et dernier niveau d’élimination écarte les deux vitesses u12 et v12 mais il ne
donne pas des nouvelles équations secondaires.
0 1
2
Pivot
Linéaire
rectiligne
Pivot
Figure 12 : graphe de liaisons de
l’engrenage cylindrique

Après ces deux niveaux d’élimination il reste le sous-système de deux équations à 3
inconnues suivant :
10
20
1 2 1
12
1 1 1
(1) 0
0 (r r ) r
(6) 0

 
 
   
 
 
   
 
   
   

 
Une inconnue est obligatoirement surabondante. Le rang de ce système est égal à 2. Nous
pouvons vérifier facilement que quelque soit l’inconnue parmi les trois du sous-système les
deux autres seront déterminées d’une façon unique. Ce mécanisme nécessite une seule vitesse
généralisée. Son degré de mobilité étant donc égal à 1. La vitesse généralisée peut être choisie
parmi [10, 12, 20]. Soit 10 cette vitesse, nous aurons :
20 10
1 2 1 12
1 1
(r r ) r 0
  
     

     
    
   
Ce que nous amène à la relation entrée-sortie cinématique d’un engrenage simple
1
20 10
2
r
r
   
En résumé, Dans le système cinématique :
 le degré d’indétermination est le degré de mobilité ;
 une équation secondaire correspond à une hyperstaticité.
II.2.4 Hyperstatisme au sens cinématique :
La rotation autour de j

du solide 2 par rapport au solide 1a été bloquée deux fois. La
première fois par les deux liaisons pivot 1/0 et 2/0. La deuxième fois par le contact linéaire
rectiligne de 2/1. Le premier blocage a empêché de ramener une dent de (1) en contact
linéaire avec une autre de (2), à moins que les positions des dents par rapport à leurs axes de
rotations aient été assurées sans aucune erreur de fabrication.
En pratique, le montage d’un mécanisme hyperstatique n’est pas indépendant des
erreurs de fabrication. C’est ce qu’on appelle hyperstatisme au sens cinématique. En effet,
pour pouvoir coïncider les flans de deux dents, il faut avoir une liberté en rotation autour de j

n
j
x
y
j
Figure 13 : Engrenage cylindrique avec contact linéaire entre les dents

d’un de deux solides par rapport à l’autre. Puisque cette liberté est éliminée, le contact
linéaire ne peut se réaliser que si chaque dent se trouve « au bon endroit ». Ce qui implique
des tolérances géométriques d’orientation sur les deux solides et sur le bâti.
D’une façon générale, une chaîne ne peut se fermer  les
erreurs de fabrication, que si le dernier solide p possède 6 d.d.l.
par rapport au premier. Sinon l’assemblage ne peut avoir lieu
que si les positions relatives de certaines surfaces de contact
seront exactes. Ce qui correspond donc à des éléments
géométriques conditionnés se traduisant sur le dessin
d’ensemble par une condition fonctionnelle qui peut être soit :
- un jeu fonctionnel pour un arrêt surabondant en
translation (force hyperstatique)
- une tolérance d’orientation pour un arrêt surabondant
en rotation (moment hyperstatique)
II.3 Méthode rapide de formation du système statique :
II.3.1 Cas 1 : Réducteur épicycloïdal plan à un seul satellite et une
couronne mobile :
X
Y
2
1
3
O4
O2
A
B
4
O1
(0)
C1 C2
0 1
3 4
2
Figure 16 : Réducteur épicycloïdal plan à un seul satellite et couronne mobile
Figure 14 : tolérances géométriques sur les différentes pièces de l’engrenage cylindrique
p 1
Figure 15 : fermeture d’une chaîne

1
1 4 2
l
O O r
0
 
 
 
 
 


 2
1 2
l
O O 0
0
 
 
 
 
 


 1
1 1
l
O A r
0
 
 
 
 
 

 1
1 3
l
O B r
0
 
 
 
 
 

 3
2 1
l
O A r
0

 
 
 
 
 

 3
2 4 2
l
O O r
0

 
 
 
 
 


II.3.1.1 Actions extérieurs :
1 2 3
ext 1 ext 2 ext 3
0 C 0 C 0 C
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
  

     
     
     
     
     
     
II.3.1.2 Actions de liaisons
* liaison pivot de 1 avec 0 en O1 :
01
0 1 01 01
01 01
O1
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
24
2 4 24 24
24 24
O4
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
32
3 2 32 32
32 32
O2
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
03
0 3 03 03
03 03
O2
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
* liaisons appui ponctuel de 1 avec 4 et de 3 avec 4 en O1 :
3 4 34
34
B
0 0
S Z 0
C Z 0

 
 
   
 
 

 
1 4 14
14
A
0 0
S Z 0
C Z 0

 
 
  
 
 

 
II.3.1.3 Sous matrice associée au torseur des actions :

Z34
Z14
Y
Z
Figure 17 : Efforts de contact roues du
Train épicycloïdal plan

Chaque torseur sera représenté par une sous-matrice ayant 6 lignes et n colonnes avec n =
nombre des inconnues. D’une façon générale le torseur
ij ij
ij ij ij
ij ij
0
X L
Y M
Z N
 
 
   
 
 
s’écrit sous forme
matricielle
1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
ij ij ij ij ij ij ij
X Y Z L M N
           
           
           
           
       
           
           
           
           
           
 
1 0
0 0 0 0 0 1
ij
ij
ij
ij ij
ij
ij
ij
X
Y
Z
T F
L
M
N
 
   
   
   
     

   
 
   
   
   
   
 
Dans une base canonique la matrice associée au torseur Tij est égale à la matrice identité.
Lorsque ce torseur est écrit en un point O1 tel que 1
a
OO b
c
 
 
 
 
 

et dans une autre base (
 
X ,Y ,Z
  
  
/
11 12 13
21 22 23
31 32 33
X a a a X
Y a a a Y
Z a a a Z
   
  
   
 
 
   
 
   
 
  
   
 
 
 
alors la matrice Tij aura pour forme
11 12 13
21 22 23
31 32 33
ij
21 31 22 32 23 33 11 12 13
31 11 32 12 33 13 21 22 23
11 21 12 22 13 23 31 32 33
a a a 0 0 0
a a a 0 0 0
a a a 0 0 0
T
a c a b a c a b a c a b a a a
a a a c a a a c a a a c a a a
a b a c a b a c a b a c a a a
 
 
 
 
  
  
 
 
  
 
  
 
 
II.3.1.4 Formation du système linéaire :
Equilibre du solide 1 en O1 : 0 1 1 4 ext 1
  
     
Equilibre du solide 2 en O2 : 3 2 2 4 ext 2
  
     
Equilibre du solide 3 en O2 : 3 4 0 3 3 2 ext 3
   
       
Equilibre du solide 4 en O4 : 1 4 3 4 2 4 ext 4
   
      
Les 6 équations d’équilibre d’un solide seront obtenues par un assemblage des matrices des
torseurs de liaisons appliquées à ce solide. On aura le système suivant :

01 32 03 24 14 34
01
01 14 32 1
32 24 03 2
32 03 34 24 3
24 14 34 14 4
34
0 0 0 0
1
0 0 0 0
2
0 0 0
3
0 0 0
4
F
T T F F
( )
T T F F
( )
T T T F F
( )
T T T F F
( )
F
 
 

   
 
   
 

   
 
 
   
   
   
   
   
 
 
     
Sous forme détaillée on aura
1
1
1
2
3
2
(1) 1 0 0 0 0 0
(2) 0 1 0 0 0 S
(3) 0 0 1 0 0 C
(4) 0 0 0 0 0 r C
(5) 0 0 0 1 0 l C
(6) 0 0 0 0 1 l S
(7) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
(8) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
(9) 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0
(10) 0 0 0 0 0 0 0 r 0 0
(11) 0 0 0 1 0 0 0 l 1 0
(12) 0 0 0 0 1 r
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)



 





 
3
3
3
3
4 4
l 0 0 1
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 S
0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 C
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r C
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 l C
0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 l S
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 S S
0 0 1 0 0 C C
0 0 0 0 0 r C r C
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 









 

 

   

 


  

   


   

  


  





 

01
01
01 1
01
01
32
32
32
32 2
32
03
03
03
03
03 3
24
24
24
24
24
14
34
0
X 0
Y 0
Z C
M 0
N 0
X 0
Y 0
Z 0
M C
N 0
X 0
Y 0
Z 0
M 0
N C
X 0
Y 0
Z 0
M 0
N 0
Z 0
Z 0
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
 
  



0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II.3.1.5 Interprétations et résultats :
* Premier niveau d’élimination :
 Inconnues éliminées X01, X24, Z24, M24, N24, Z14 et Z34.
 Equations secondaires (21) et (22)  2 mobilités détectées nécessitant deux vitesses
généralisées à choisir parmi : rotation du planétaire (1) autour de X

(équation 4),
rotation du bras porte satellite (2) autour de X

(équation 10), rotation de la couronne
(3) autour de X

(équation 16), rotation du satellite (4) autour de X

(équation 21) et
translation du satellite (4) suivant Z

(équation 22).
* Deuxième niveau d’élimination :
 Inconnues éliminées : Y01, Z01, M01, N01, X32, Z32, M32 etY25
01 32 03 25 14 34
1
2
3
4

 Equations secondaires : aucune.
* Troisième niveau d’élimination :
 Inconnues éliminées : Y32, N32, X03, Y03, Z03, M03 et N03
 Equations secondaires : aucune.
* Résultat :
 Toutes les inconnues de liaisons sont calculables  mécanisme isostatique
 2 équations secondaires  mécanisme à deux mobilités.
II.3.2 Cas 2 : train à un seul satellite avec couronne fixe :
Dans ce cas le solide 3 est confondu avec le bâti 0 et la liaison 03 est devenue encastrement.
Le nouveau système est obtenu à partir du précédent en éliminant les colonnes relatives à 03
et les 6 lignes relatives à l’équilibre du solide 3. Les résultats obtenus sont :
 Le mécanisme reste isostatique.
 Une seule mobilité : une seule vitesse généralisée à choisir parmi la rotation du planétaire
autour de X

et la rotation du bras porte satellite (2) autour deX

.
II.3.3 Cas 3 : train à deux satellites avec couronne fixe :
X
Y
2
1
(3,0)
O4
O2
A
B 4
O1
C1 C2
0,3 1
4
2
Figure 18 : Réducteur épicycloïdal plan à un seul satellite et couronne fixe

3
2 5 2 5 5 5 5
l 0 0
O O r O C r O D r
0 0 0

     
     
 
     
     
     

 
 
Trois liaisons sont ajoutées par rapport au cas précédent :
- liaison pivot de 5 avec 2 en O5 :
25
2 5 25 25
25 25
O5
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
- liaison appui ponctuel de 1 avec 5 1 5 15
15
C
0 0
S Z 0
C Z 0

 
 
   
 
 
 
 
- liaison appui ponctuel de 3 avec 5 en D :
3 5 35
35
D
0 0
S Z 0
C Z 0

 
 
  
 
 
 
 
Par rapport au premier cas les équations d’équilibre du solide 3 sont remplacées par celles du
solide 5.
Equilibre de (5) : 1 5 2 5 3 5 {0}
  
     
On obtient le système statique suivant :
X
Y
2
1
(3,0)
O4
O2
A
B 4
O1
C1 C2
0,3 1
5
4
2
O5
C
D
5
Figure 19 : Réducteur épicycloïdal plan à deux satellites et couronne fixe
Y
Z
Z15
Z35
Figure 20: Efforts sur le deuxième
satellite

1 1
1 1
1 1
(1) 1 0 0 0 0 0 0
(2) 0 1 0 0 0 S S
(3) 0 0 1 0 0 C C
(4) 0 0 0 0 0 r C r C
(5) 0 0 0 1 0 l C l C
(6) 0 0 0 0 1 l S l S
(7) 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0
(8) 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0
(9) 0 0 1 0 0 0 0 1
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
  
  
   
  
  
 
 

2 2
3 3
2 3 2 3
4 4
5 5
0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 r 0 0 0 0 r 0 0
0 0 0 1 0 0 0 l 1 0 0 0 l 1 0
0 0 0 0 1 r l 0 0 1 r l 0 0 1
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 S S
0 0 1 0 0 C C
0 0 0 0 0 r C r C
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 S S
0 0 1 0 0 C C
0 0 0 0 0 r C r C
0 0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0















 

   


  

  
 
   
  
   
  

01
01
01
01
01
23
23
23
23
23
24
24
24
24
24
25
25
25
25
25
14
34
15
35
X
Y
Z
M
N
X
Y
Z
M
N
X
Y
Z
M
N
X
Y
Z
M
N
Z
Z
Z
Z
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
  
  

 
1
2
0
0
0
C
0
0
0
0
0
C
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
 
  
  
Nous obtenons un système de 24 équations et de 24 inconnues.
Le premier et le deuxième niveaux d’élimination dégagent les inconnues suivantes : X01, X24,
M24, N24, X25, M25, N25 et X23. Aucune équation secondaire n’est détectée. IL nous reste à
résoudre le sous-système suivant :
1 1
1 1
1 1
2 2
3 3
3 3
4 4
1 0 0 0 S S
(2)
0 1 0 0 C C
(3)
0 0 0 0 r C r C
(4)
0 0 1 0 l C l C
(5)
0 0 0 1 l S l S
(6)
1 0 0 0 1 0 1 0
(8)
0 1 0 0 0 1 0 1
(9)
0 0 0 0 0 r 0 r
(10)
0 0 1 0 0 l 0 l
(11)
0 0 0 1 l 0 l 0
(12)
1 0 0 0 S S
(14)
0 1 0 0 C C
(15)
0 0 0 0 r C r C
(16)
0 0
(20)
(21)
(22)
  
  
   
  
  

 

 
  
 
   
01
01
01 1
01
23
23
23
23 2
24
24
25
25
14
34
15
35
5 5
Y 0
Z 0
M C
N 0
Y 0
Z 0
M 0
N C
Y
Z
Y
Z
Z
Z
1 0 S S
Z
0 0 0 1 C C
Z
0 0 0 0 r C r C
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
 
     
 
 
  
 
   
   
 
0
0
0
0
0
0
0
0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ce sous système est composé de 16 équations et 16 inconnues. Si toutes les équations sont
principales, les 16 inconnues seront calculables et le mécanisme sera isostatique. Sinon, il
y’aura autant des inconnues hyperstatiques que des équations secondaires. Pour vérifier cela,
on va procéder à l’élimination des équations qui sont obligatoirement principales. Chacune de
ces équations doit contenir exclusivement une inconnue. Dans ce cas le coefficient relatif à
cette inconnue sera le seul dans sa colonne. On élimine à la fois la colonne et la ligne
1
2
4
5
01 23 24 25 14 34 15 35

contenants le coefficient. Les équations éliminées seront (2), (3), (5), (6), (8), (9), (11), (12). Il
nous reste le sous système suivant
1 1 24 1
2 2 25 2
14
4 4 34
15
5 5 35
0 0 r C 0 r C 0 Z
(4) C
r r 0 0 0 0 Z
(10) C
1 0 C C 0 0 Z
(15) 0
0 0 r C r C 0 0 Z
(16) 0
0 1 0 0 C C Z
(21) 0
0 0 0 0 r C r C Z
(22) 0
    
     
     

     
     
 

     
   
     
     
   
     
  
     
 
   
La donnée de n’importe quelle inconnue parmi les 6 amène au calcul des autres avec à chaque
fois une équation secondaire obtenue. D’où les résultats suivants :
 Un hyperstatisme de degré 1, l’inconnue hyperstatique est à choisir parmi Z24, Z25 , Z14,
Z34, Z15 et Z35
 Une seule mobilité. La vitesse généralisée est à choisir parmi : la rotation autour de X

du
planétaire (1) ou du bras porte satellites (2) ou du satellite (4) ou du satellite (5).
Cette mobilité est exprimée par la relation 2
2 1
1
2r
C C
r
 obtenue à partir de la nullité du
déterminant du sous système précédent en remplaçant une des colonnes par le second
membre.
1 1 1
2 2 2
3 2
4 5 2 1 1 2 2 1
4 4 1
5
0 0 r C 0 r C C
r r 0 0 0 C
1 0 C C 0 0 2r
r r C ( 2r C r C ) 0 C C
0 0 r C r C 0 0 r
0 0 0 0 C 0
0 0 0 0 r C 0
    

 
      
  
 
 
Cette relation entre les deux couples d’entrée et de sortie est
bien celle très connue pour un train épicycloïdal lorsque le
frottement n’est pas considéré. 2 1
1
C C
k
 avec k : raison du
train égal à 1 1
1 3 2
r r
k
r r 2r
 

car r3= r2+r4 et r1 = r2r4.
III. Loi de mobilité globale :
L’équilibre statique d’un mécanisme de p pièces et  liaisons amène à un système de 6p
équations et i


 inconnues. i étant le degré de liaison dans la liaison i, i = 6 – ddl(i).
r3
r4
r2
r1
Figure 21: rayons des roues

Parmi les 6 équations on distingue (6p–m) équations principales pour résoudre les i



inconnues. Le degré d’hyperstatisme h étant alors égal à h = i


 – 6p + m. On obtient
6p – i


 = m  h
Cette relation nommée « loi de mobilité globale » exprime la dualité entre le degré de
mobilité m et le degré d’hyperstaticité h. Nous pouvons retrouver également cette relation à
partir du système cinématique.
Dans l’étude cinématique nous avons 6 (p) équations pour calculer d.d.l


inconnues
cinématiques. i
d.d.l (6 )
 
 
 

Parmi les 6 (p) équations nous distinguons h équations secondaires. Le nombre des vitesses
généralisées à donner pour résoudre le système sera i
m (6 ) 6( p) h
    


  . Nous
retrouvons de nouveau 6p – i


 = m  h
IV. Analyse numérique des mécanismes :
IV.1 Analyse cinématique :
Pour un mécanisme de p pièces et  liaisons nous pouvons écrire ( – p) équations de
fermeture des cycles indépendants. Nous obtenons ainsi le système linéaire homogène
suivant :
[E]. {V} = {0} (1)
où
{V} : vecteur des inconnues cinématiques de dimension Ic (Ic : somme des degrés de libertés
de  liaisons)
[E] : matrice rectangulaire de dimensions (6( – p)  Ic).
La triangularisation du système par la méthode de pivot total de Gauss nous donne
[E1] {V1} + [E2] {W} = {0} (2)
avec
6(-p) E1 E2
O
V1
W
0
h
Ic
m
=

[E1] matrice carrée triangulaire supérieure d’ordre r ; r : rang de [E] ;
[E2] matrice rectangulaire de dimension (r x m) ; m : degré de mobilité du mécanisme ;
{V1} vecteur de dimension r des inconnues cinématiques principales ;
{W} vecteur de dimension m des vitesses généralisées.
La relation entre {V1} et {W} s’écrit
{V1} = -[E1]-1
[E2] {W}=  [E3] {W} (3)
Ce système ne peut être déterminé que si les m vitesses du vecteur {W} seront données.
Cependant, on peut distinguer parmi les inconnues de {V1}, ceux qui ne dépendent pas de ces
données et qui sont donc nulles. Elles représentent les libertés des liaisons rendues arrêtées
par l’effet des autres liaisons du mécanisme. Le système précédent peut être écrit dans ce cas
{V1} = 












 '
3
'
1
E
0
V
0
{W} (4)
[E'3] : partie non nulle de [E3].
Le système qui reste à résoudre est
{ '
1
V } = [ '
3
E ] {W} (5)
La matrice [E’3] est la matrice des coefficients des inconnues cinématiques non
obligatoirement nulles dans la base de l’espace des vitesses généralisées. Chacune de ces m
colonnes décrit l’influence d’une vitesse généralisée sur les libertés non bloquées des 
liaisons. Pour cette raison [E’3] est dite matrice de distribution des mobilités.
A partir de ce système une vitesse v’1i de { '
1
V } s’écrit
m
1i ij j
j 1
v e w

   . Lorsque le coefficient
eij de [E’3] est nul, 1i
v est indépendante de wj. Dans le cas contraire la valeur de eij peut
informer sur l’importance de l’influence de wj sur v’1i.
Nous pouvons toujours organiser le système (5) de façon à faire apparaître les vitesses
appartenant à une même liaison dans un même bloc. De cette façon nous pouvons voir quelles
liaisons et par suite quels cycles seront concernés par une mobilité.
IV.1.1 Choix des vitesses généralisées :
Nous savons bien que la composition de {W} n’est pas unique et qu’il existe des vitesses de {
'
1
V } qui peuvent être des vitesses généralisées. Si nous choisissons arbitrairement m équations
du système (5) nous obtenons le sous-système
{V1}= [E3] {W} (6)
où [E3] est une matrice carrée de dimension m. Nous ne pouvons écrire
{W}=  [E3]-1
{V} (7)
que si le déterminant de [E3] est non nul. Dans ce cas le système (5) devient
{ '
1
V } = [ '
3
E ] [E3]-1
{V1} (8)
et les composants de {V1} deviennent les nouvelles vitesses généralisées. Nous pouvons donc
citer la règle suivante concernant le choix des vitesses généralisées :
Pour que m vitesses de { '
1
V } soient des vitesses généralisées il faut que leurs coefficients
dans [E’3] forment un déterminant non nul.

Cette règle reste valable même si nous remplaçons moins que m vitesses dans {W}. En effet,
nous pouvons toujours écrire
 
1 3
V' E'
W
W I

   

   
   
(9)
Et ainsi nous appliquons la même procédure qu’auparavant. Cependant il va apparaître dans le
déterminant à vérifier des lignes de la sous-matrice identité qui correspondent aux vitesses
non remplacées dans {W}. Nous savons que dét
I 0
A A'
 
 
 
=  dét (A’) et de ce fait le calcul
du déterminant mm sera réduit à un calcul de déterminant des coefficients des nouvelles
vitesses par rapport aux vitesses remplacées.
IV.1.2 Application : Mécanisme d’essuie - glaces :
Nous allons appliquer cette méthode d’analyse sur le mécanisme d’essuie-glace représenté ci-
dessous. Les 9 liaisons du mécanisme sont décrites dans le tableau suivant.
Liaison Type Pièces Position repère local
(Rlocal)
Torseur cinématique /Rlocal
1 pivot 0-1 







0
0
0






1
0
0
0
1
0
0
0
1
   
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
10
T
0
/
1 


2 Appui ponctuel 2-1 







4
0
24









34
.
0
94
.
0
1
0
94
.
0
34
.
   
0
,
v
,
u
,
,
, 21
21
21
21
21
T
1
/
2





3 pivot 0-2 







 5
.
22
0
24





 
1
0
0
0
0
1
0
1
0
   
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
20
T
0
/
2



4 pivot 2-3 







 5
.
28
9
5
.
21





 
1
0
0
0
0
1
0
1
0
   
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
32
T
2
/
3 


5 Appui ponctuel 4-3










 2
.
51
9
8
.
41













02
.
0
99
.
0
1
0
99
.
0
02
.
   
0
,
v
,
u
,
,
, 34
34
34
34
34
T
4
/
3





6 pivot 0-4 







 25
.
47
9
25
.
43





 
1
0
0
0
0
1
0
1
0
   
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
40
T
0
/
4 


7 pivot 4-5 







 2
.
47
17
2
.
43





 
1
0
0
0
0
1
0
1
0
   
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
54
T
4
/
5



8 pivot 5-6 







34
9
2
.
48





 
1
0
0
0
0
1
0
1
0    
0
,
0
,
0
,
0
,
0
,
65
T
5
/
6



9 Appui ponctuel 3-6 







 7
.
37
9
40












94
.
0
34
.
0
1
0
34
.
0
94
.    
0
,
v
,
u
,
,
, 63
63
63
63
63
T
3
/
6





La liaison 5 entre le pignon 4 et la crémaillère 3 a été considérée dans une première
approximation comme un appui ponctuel. Vu que nous adoptons l’hypothèse des liaisons
parfaites, le frottement est négligé ; de ce fait le système roue et vis sans fin est réversible.

L’analyse cinématique du mécanisme selon le processus décrit précédemment nous donne les
résultats suivants :
Degré de mobilité : 3
Degré d’hyprestaticité : 0
Vitesses nulles :
- Liaison 5 : 34 - 34 - v34
- Liaison 9 : 63 - 63 - v63
Le système (5) relatif à cet exemple est :




































































































34
63
21
63
65
54
40
34
32
20
21
21
21
21
10
302
.
0
002
.
0
0075
.
0
115
.
0
069
.
0
00005
.
0
431
.
0
071
.
0
019
.
0
316
.
0
0
0137
.
0
244
.
0
0
012
.
0
071
.
0
0
003
.
0
0
0
005
.
0
0
0
032
.
0
0
0
232
.
0
0
0
025
.
0
0
0
085
.
0
0
0
242
.
0
u
u
v
u











X
Y
Z
y21
x21
y20
z20
x20
y63
x63
y34
x34
(0)
1
2
3
6
4
5
1
2
0
3
5
4
6
1 2
3
6 4
5
9
7
8
Figure 22 : mécanisme d’essuie-glace

La première colonne de la matrice [E’3] représente la projection de la vitesse de glissement
suivant y21 de la roue 2 par rapport à la vis sans fin 1. Cette vitesse constitue le paramètre
d’entrée utile du mécanisme. Tous les coefficients de la première colonne sont non nuls ce
que veut dire que v21 met en mouvement toutes les liaisons.
La vitesse u63 est la vitesse de glissement du galet 6 sur la crémaillère 3 suivant x63. Cette
vitesse a influence faible sur les libertés des liaisons du cycle 3-4-5-6-3 suivantes :
54 : rotation autour de x54 de 5/4
65: rotation autour de x65 de 6/5
63: rotation autour de y63 de 6/3
Ce paramètre traduit la possibilité de glissement du galet 6 par rapport à la crémaillère 3 en
arrêt du système.
La vitesse u34, vitesse de glissement de la crémaillère 3 par rapport à la roue 4 suivant x34 qui
traduit la possibilité de « soulèvement » de la crémaillère par rapport à la roue rendu possible
grâce à la liaison pivot de 3/2. Cette vitesse n’a aucune influence sur les vitesses des liaisons
du cycle 0-1-2-0.
En ce qui concerne le choix des vitesses généralisées, il est clair que les vitesses 10, 21 et 21
ne peuvent pas former un jeu de vitesses généralisées car le déterminant des trois premières
lignes de [E’3] est nul. Mais nous pouvons par exemple remplacer v21 dans {W} car le
0
1
0
0
0
1
0
0
0
242
.
0
dét 

.
Les vitesses 10 , u63 et u34 constituent bien un jeu de vitesses généralisées.
IV.2 Analyse Statique :
Pour un mécanisme de p pièces, l’équilibre statique fournit un système linéaire de 6p
équations de la forme
[A] { X} = {B} (10)
[A] : matrice de configuration géométrique
{X} : matrice colonne des inconnues de liaisons (actions intérieures de contact)
{B} : matrice colonne des efforts extérieurs appliqués sur le mécanisme.
IV.2.1 triangularisation du système linéaire :
Le système obtenu peut se mettre après une triangularisation par la méthode de pivot total de
Gauss sous la forme suivante :
[T ]{Y} + [K] {Z} = [C] {B} (11)
et [D] {B} = 0 (12)
6p
T K
O
Y
Z D
C B
m
Is
h
6p
=

Ainsi on aboutit d’une façon générale à:
- h inconnues hyperstatiques regroupées dans un vecteur Z;
- r inconnues isostatiques ou principales regroupées dans un vecteur Y;
- (6p - r) = m équations non principales.
La matrice T est triangulaire supérieure, de dimensions (6p – m) x (Is – h).
IV.2.2 Relations entrée-sortie générales :
L’équation matricielle (12), comporte m relations entre les efforts extérieurs appliqués sur le
mécanisme. Ces m relations sont les relations entrée-sortie statiques que le mécanisme génère.
Si nous supposons que sur chaque pièce s’exerce un torseur des efforts extérieurs défini par
 
ext i
Fi / X Ci / X
Fi / Y Ci / Y
Fi / Z Ci / Z

 
 
   
 
 
Nous obtenons des relations entrée-sortie les plus générales qui nous renseignerons sur les
éventuelles possibilités des relations entre les efforts extérieurs susceptibles d’être appliqués
sur les différentes pièces.
Exemple :
Pour le mécanisme de pompe manuelle schématisé ci-dessous, les deux relations entrées -
sorties statiques sont :
Relation 1 : 0,05 C2/Z + 0,56 F3/X + F3/Y - 0,01 C3/Z + 0,79 F4/Y = 0.
Relation 2 : - 0,01 C3/Z + 0,79 F4/Y = 0.
La relation 1 montre que, parmi les efforts extérieurs appliqués sur la pièce 2, seul un couple
C2/Z peut être transmis aux deux autres pièces. On peut ainsi recevoir un effort F4/Y sur la
2
3
4
1
X
Y
Figure 23 : Pompe manuelle

pièce 4 et / ou F3/X, F3/Y et C3/Z sur la pièce 3. Mais en réalité, aucun effort extérieur n’est
appliqué sur la pièce 3. La relation 1 devient de ce fait 0,05 C2/Z + 0,79 F4/Y = 0. On
retrouve bien, la relation qui caractérise la fonction globale de pompage générée par le
mécanisme. La relation 2 caractérise la deuxième mobilité qui est une mobilité interne. Elle
relie deux efforts extérieurs appliqués sur la pièce (4) uniquement. Ces deux efforts ne
peuvent pas être transmis aux autres pièces.
IV.2.3 Efforts calculables et efforts non calculables :
Les efforts principaux de liaisons s’obtiennent en fonction des efforts extérieurs et des efforts
hyperstatiques par l’équation matricielle
{Y} =[ T]-1
[C] {B} -[ T]-1
[K] {Z} (13)
Parmi ces efforts, on distingue les efforts calculables qui ne dépendent pas de {Z}. Ce sont les
inconnues où les lignes correspondantes de la matrice [T]-1
[K] sont nulles. On peut toujours
faire une permutation pour regrouper ces inconnues. On aura la configuration suivante :
= -
{Y’} sont les efforts isostatiques, ils sont calculés à partir de la relation
{Y’} = [T’] {B} (14)
{Y’’} est le vecteur des efforts principaux qui dépendent des efforts hyperstatiques regroupés
dans le vecteur {Z}. Ils sont calculés à partir de la relation
{Y’’} = [ T’’] {B} - [K’] {Z} (15)
Nota : dim(Y’) = r’ et dim(Y) = r ; r = r’ + r.
La distinction entre les inconnues calculables et les inconnues non calculables est très
bénéfique dans le sens où elle permet, en isolant les hyperstaticités, d’obtenir quelques
résultats du calcul statique. Ces résultats sont parfois suffisants pour pouvoir entamer un
calcul de dimensionnement. D’une façon générale, l’existence des hyperstaticités dans un
mécanisme ne doit pas empêcher de traiter ses parties isostatiques, surtout quand les
hyperstaticités ne concernent qu’une partie des cycles.
IV.2.4 Distribution et choix des efforts hyperstatiques :
En absence des efforts extérieurs la relation (15) devient
{Y’’} = [ K’
] {Z} (16)
Y’
Y’’
T’
T’’
B
0
K’
Z
r
6p h
= -

Nous obtenons une relation semblable à la relation (5) qui distribue les vitesses généralisées.
Nous allons, alors, appliquer les mêmes règles pour la distribution des hyperstaticités et pour
le choix des inconnues hyperstatiques.
Chaque colonne de la matrice [K’
] exprime la distribution d’un effort hyperstatique sur les
différentes liaisons. Lorsque le coefficient kij est nul l’effort i
Y n’est pas concerné par
l’hyperstaticité j. i
Y ne peut pas dans ce cas remplacer l’effort hyperstatique j
Z .
Pour que n inconnues de {Y’’} (2  n  h) remplacent n effort hyperstatiques il faut que leurs
coefficients dans [K’
] forment un déterminant non nul.
IV.2.5 Application : mécanisme à 4 barres :
Les liaisons de ce mécanisme sont définies dans le tableau suivant :
Liaison Type Pièces Position
repère local
(Rlocal)
Torseur des actions de liaison /Rlocal
1 pivot 0-1
0
0
0
 
 
 
 
 
0 0 1
0 1 0
1 0 0

 
 
 
 
 
 
01
0 1 01 01
01 01
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
2 pivot 1-2
25
43.3
0
 
 
 
 
 
0 0 1
0 1 0
1 0 0

 
 
 
 
 
 
12
1 2 12 12
12 12
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
3 pivot 2-3
183.03
90.76
0
 
 
 
 
 
0 0 1
0 1 0
1 0 0

 
 
 
 
 
 
23
2 3 23 23
23 23
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
4 pivot 0-3
225
0
0
 
 
 
 
 
0 0 1
0 1 0
1 0 0

 
 
 
 
 
 
03
0 3 03 03
03 03
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
Les résultats de l’analyse statique sont :
Degré de mobilité : 1
Relation entrée-sortie statique générale :
(0)
1
2
3
Figure 24 : Mécanisme à 4 barres
Z
Y

0.12 C1/X + 0.69 F2/Y  0.4 F2/Z + 0.003 C2/X + F3/Z 0.004 C3/X = 0
Degré d'Hyperstaticité : 3
Inconnues calculables :
*Liaison n° 1: Z01, Y01
*Liaison n° 2: Z12, Y12
*Liaison n° 3: Y23, Z23
*Liaison n° 4: Y03, Z03
Distribution des hyperstaticités :
01
12
12
01
12
01
23
03
23
23
03
03
X 0.004 0 0.004
X 0.004 0 0.004
M 0.192 1 0.192
N
N 0.88 0 0.11
M
X 0.004 0 0.004
N
M 0.403 1 0.403
N 0.186 0 0.81
X 0.004 0 0.004
M 0 1 0
   
   
   
   
  
   
 
   

   
 
   

  
    
   

   
 
   
   
 
   
 





Les 3 hyperstaticités ne concernent que les forces suivant X

et les moments suivant Y

et Z


dans les 4 liaisons. Le mécanisme dans le plan ( X

,Y

) est donc isostatique.
La troisième hyperstaticité (troisième colonne de la matrice [K’
]) ne concerne que les
moments suivant Z


.
En ce qui concerne le choix des efforts hyperstatiques, X01, M01 et N01 par exemple forme une
constitution valide du vecteur {Z}.
IV.3 Recherche systématique des solutions isostatiques :
Dans ce paragraphe nous présenterons deux méthodes pour une recherche
systématique de solutions isostatiques. La première consiste à l’élimination directe des efforts
hyperstatiques de leurs liaisons. Il s’agit d’une modification de type de liaisons contenant les
efforts hyperstatiques tout en gardant le même nombre de pièces et le même nombre de
liaisons. La seconde consiste à l’ajout de nouvelles libertés susceptibles de destituer les efforts
hyperstatiques. Des nouvelles pièces sont alors insérées dans le mécanisme. La solution issue
de chaque méthode n’est retenue que si toutes les liaisons modifiées ou ajoutées sont
conformes à la norme ISO 3952.
IV.3.1 Obtention des solutions isostatiques par élimination directe des efforts
hyperstatiques :
Cette méthode consiste à retrancher les efforts hyperstatiques de leurs liaisons. Les
degrés de liberté de ces dernières vont augmenter en dépit des degrés de liaisons. Cette
opération amène à l’annulation du vecteur {Z} des efforts hyperstatiques.
IV.3.1.1 Conditions d’obtention d’une solution globale :

Toute liaison contenant des efforts hyperstatiques se voit modifiée pour obtenir une
nouvelle liaison qui contient moins de contacts. Pour les h efforts d’un jeu {Z} nous avons à
modifier ’ liaisons (’≤h). La solution n’est retenue que si toutes les liaisons modifiées sont
conformes à la norme ISO 3952. Deux cas particuliers de liaisons sont intouchables par cette
modification. La liaison ponctuelle, qui si en éliminant le seul effort qu’elle génère nous
ramperons complètement le contact entre les deux solides concernés. La deuxième liaison est
la liaison hélicoïdale qui a une fonction cinématique de transformation de mouvement et
qu’on perdra si nous touchons à un de ces contacts.
Les nouvelles liaisons issues, suivant ces conditions, des liaisons initiales sont présentées dans
le tableau ci-dessous. Elles ne dépendent pas uniquement du nombre d’inconnues retranchées
mais aussi de leurs types et de leurs directions.
Liaison initiale
Nombre d’inconnues à
retrancher Nouvelle liaison
Forces Moments
Linéaire rectiligne 1 Ponctuelle
Linéaire annulaire 1 Ponctuelle
Sphérique
1 Linéaire annulaire
2 Ponctuelle
Appui plan
1 Linéaire rectiligne
1 1 Ponctuelle
Pivot glissant
1 2 Ponctuelle
1 1 Linéaire rectiligne
Pivot
1 2 Linéaire annulaire
2 Sphérique
2 Appui plan
1 Sphérique à doigt
1 Pivot glissant
2 2 Ponctuelle
Glissière
1 1 Appui plan
1 Pivot glissant
Sphérique à doigt
2 1 Ponctuelle
1 1 Linéaire annulaire
2 Linéaire rectiligne
1 Sphérique
IV.3.1.2 Exemples :
a) Engrenage cylindrique à denture droite :
L’inconnu hyperstatique est un parmi M01, N01, M12, N12, M02,
N02.
X
Y
2
1 A
B
O
Figure 25 : Eng. cylindrique
isostatique 1

► Si nous choisissons M01 le torseur de la liaison 01 devient après élimination de l’effort
hyperstatique
01
0 1 01
01 01
O
X 0
Y 0
Z N

 
 
   
 
 
. Ce torseur correspond à une liaison sphérique à doigt
de direction z

(le blocage en rotation est suivant z

).
► Si nous choisissons N01 01devient une liaison sphérique à
doigt de direction y

► de même pour M02 et N02 on aura deux liaisons sphériques
à doigt respectivement suivant y

et z

.
►Si nous choisissons M12 le torseur de la liaison 01 devient
0 1 12
12
O
0
R S 0
R C 0

 
 
  
 
 

 
. Ce torseur correspond à une liaison appui ponctuel de normale n

.
b) Mécanisme à 4 barres :
Pour rendre ce mécanisme isostatique il faut éliminer 3 efforts hyperstatiques.
► Premier choix : les trois efforts hyperstatiques sont X01, M01 et N01 le torseur de la liaison
01 devient 0 1 01
01
0 0
Y 0
Z 0

 
 
   
 
 
. Ce torseur correspond à une liaison linéaire annulaire de
direction x

.
► deuxième choix : X01, M12, N12
Le torseur de la liaison 01 devient 0 1 01 01
01 01
0 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 
 01 devient pivot glissant
d’axe x

.
Le torseur de la liaison 12 devient
12
1 2 12
12
X 0
Y 0
Z 0

 
 
  
 
 
 
12 sphérique.
X
Y
2
1 A
B
O
Figure 26 : Eng. cylindrique
Isostatique 2
(0)
1
2
3
Figure 27 : Mécanisme 4 barres avec une linéaire annulaire
Z
Y

► Troisième choix : X23, M23, N03
Le torseur de la liaison 23 devient 2 3 23
23 23
0 0
Y 0
Z N

 
 
  
 
 
 
Ce torseur ne correspond à
aucune liaison standard. La solution est rejetée.
IV.3.2 Obtention des solutions isostatiques par ajout des nouvelles libertés :
IV.3.2.1 Compatibilité entre les libertés ajoutées et les efforts
hyperstatiques :
Le principe de cette méthode est de libérer le blocage surabondant causé par un effort
hyperstatique par l’ajout d’une liberté. Cette liberté est nécessairement compatible avec
l’effort hyperstatique c'est-à-dire elle produit une puissance non nulle. Soit i j

 le torseur
des efforts de la liaison ij qui comporte '
ij
h efforts hyperstatiques. Ce torseur s’écrit sous la
forme suivante :
ij
n
i j k k
k 1
X


  

ij ij
ij
h n
k k k k
k 1 k h 1
X X


  
   
 
où les k
 sont les torseurs géométriques les Xk ont les intensités des efforts associés à k
 . ij
n
est le degré de liaison de la liaison ij.
Soit l l
    le torseur cinématique d’une liberté l à ajouter entre i et j. Pour que cette liberté
élimine un effort hyperstatique, il faut que  ait un comoment non nul avec la partie
hyperstatique de i j

 c’est-à-dire:
ji ji
h h
k k l l k k l
k 1 k 1
c X , X c( , ) 0
 
 
 
      
 
 
 
 
Où les 1 et Xk sont arbitraires. 1 est compatible avec un des efforts hyperstatiques. Si nous
ajoutons '
ij
h libertés indépendantes et compatibles avec les '
ij
h efforts hyperstatiques de la
liaison ij elles transformeront ces efforts hyperstatiques en des actionneurs produisant une
(0)
1
2
3
Z
Y
Figure 28 : Mécanisme 4 barres CSRR

puissance non nulle. Dans le mécanisme, ces '
ij
h degrés de liberté apparaissent sous forme de
nouvelles liaisons interposées entre les solides i et j. Ainsi, il y aura des nouveaux solides
k,k’… entre i et j tel que la liaison ik est la même liaison qu’avait i avec j et les nouvelles
liaisons kk’ …, seront équivalentes à une liaison kj de degré de liberté égal à '
ij
h .
Notons '
ij
 la nouvelle liaison équivalente entre les solides i et j, i j
' 
 le torseur des
actions de liaison, et ji
'
 le torseur cinématique entre i et j. Nous pouvons alors écrire que :
i j i k k j
'   
    
Or k j

 , du fait de la dualité avec le torseur cinématique, contient des composantes
suivant toutes les directions sauf suivant les directions des '
ij
h efforts hyperstatiques. Les
résultats de l’intersection suivant ces directions sont bien nulles. Pour les autres directions, les
résultats de l’intersection vont être les mêmes composantes que dans i k

 . Par conséquent,
l’ajout d’une nouvelle liaison à ij
h d.d.l. comme décrit ci haut, est équivalent à une liaison
équivalente '
ij
 obtenue à partir de la liaison ij
 après élimination des ij
h efforts
hyperstatiques. '
ij
 est aussi le résultat obtenue par l’élimination directe des efforts
hyperstatiques de la liaison initiale. Nous déduisons que les résultats de deux méthodes de
recherche des solutions isostatiques sont équivalents.
i j
k
ik=ij kj ( '
ij
h ddl)
’ij
Nouvelle liaison
ajoutée entre i et j
Nouveau solide
ajouté entre i et j
Figure 29 : Liaison équivalente ij

En exploitant cette conclusion, le problème de l’élimination des hyperstaticités par ajout des
nouvelles libertés devient :
Étant données la liaison équivalente '
ij
 et l’ancienne liaison ik
 conformément à la
figure ci -dessus, quelle sera la liaison kj
 à ajouter tel que 'ij ik kj
     ?
Ainsi, pour rendre le mécanisme isostatique nous allons adopter la procédure suivante :
pour un jeu d’efforts hyperstatiques, et pour chacune des liaisons impliquées dans ce jeu, les
étapes à suivre sont :
 Détermination de la nouvelle liaison équivalente '
ij
 obtenue après élimination des
ij
h efforts hyperstatiques (1ère
méthode).
 Insertion d’une nouvelle liaison entre i et j de façon que la liaison équivalente
entre ces solides soit '
ij
 .
IV.3.2.2 Conservation du degré et des natures des mobilités :
La solution isostatique obtenue ne doit pas modifier le comportement du mécanisme, et
par conséquent le degré de mobilité initial doit être conservé. En effet, ce risque est absent car
les liaisons équivalentes obtenues sont les anciennes liaisons desquelles nous avons éliminé
les efforts hyperstatiques. Autrement dit, nous n’avons éliminé que le sous système [ ] { }
K Z
de la relation matricielle obtenu par triangularisation du système statique, ainsi le degré de
mobilité du mécanisme n’est pas affecté.
i j
k
i k i j
 
   dim k j

 = 6 − ij
h
dim( i j


 ) = dim( i k

 ) −
h
i j
dim( i j


 ) = dim( i j

 )  ij
h
Première méthode Deuxième méthode
Figure 30 : Equivalence de deux méthodes de recherche des solutions isostatiques

Nous pouvons vérifier cela en appliquant la loi de mobilité globale sur le mécanisme
avant et après modification. Pour le mécanisme hyperstatique de départ nous avons :
s
I
p
m
h 

 6
Is étant le nombre total des efforts de liaisons et h degré d’hyperstaticité global.
Pour le mécanisme rendu isostatique, nous avons ajouté p solides et efforts
hyperstatiques tel que :
'
s k j kj
p ' p '
I dim (6 h ) 6p' h


     
 
La loi de mobilité prend alors la forme suivante :
6( ') ( 6 ' ) '
s
p p I p h m
    
En introduisant ce résultat dans la relation de h nous obtenons que '
m m
 . Nous avons ainsi
vérifié que le degré de mobilité initial du mécanisme est conservé après modification de ce
dernier.
IV.3.2.3 Méthode pratique de l’obtention de la nouvelle liaison :
Nous allons partir du torseur de la liaison équivalente '
ij
 pour rechercher celui de la
nouvelle liaison kj à insérer en série avec l’ancienne liaison ik.
Soit l’écriture suivante du torseur le plus général des efforts de liaison de '
ij

6
ij
i j n n
n 1
X



  

Les ij
n
X sont les intensités de force ou de moment et qui sont obligatoirement nulles lorsque
le torseur i j


 n’admet pas de composante suivant n
 .
Le torseur i k

 s’écrit également
6
ik
i k n n
n 1
X


  

Si nous écrivons le torseur des actions de la nouvelle liaison kj dans la même base et au
même point que celui de '
ij
 nous obtenons:
3
kj kj kj kj kj kj kj kj kj kj
kj n n 4 3 2 4 5 1 3 5 6 2 1 6
n 1
X (X yX zX ) (X zX x X ) (X x X yX )

              

Ce torseur inconnu va être déterminé à partir de la relation
'
i j i k k j
  
    
'
s
I

Il existe une infinité de solutions qui vérifient cette relation. Pour limiter le nombre de
solutions nous allons nous limiter au cas où la liaison kj admet la même base canonique que
ik et '
ij
 . Dans ce cas nous aurons comme résultats le l’intersection :
 si kj
n
X = 0 ou ik
n
X = 0 alors ij
n
X = 0
 si kj
n
X  0 et ik
n
X 0 alors ij
n
X  0
Nous en déduisons pour notre problème où les ij
n
X et les ik
n
X sont données :
 si ij
n
X  0 alors kj
n
X 0
 si ij
n
X = 0 alors
 si ik
n
X = 0 alors kj
n
X  0
 si ik
n
X  0 alors kj
n
X = 0
Pour les composantes kj
n
X (n : 4, 5, 6) il faut également vérifier les conditions suivantes qui
déterminent les coordonnées du point de réduction de la nouvelle liaison :
 si kj
n
X = 0
 si kj
3
X 0
 alors y est quelconque sinon y 0

 si kj
2
X 0
 alors z est quelconque sinon z 0

 si kj
5
X 0
 alors
 si kj
1
X 0
 alors z est quelconque sinon z 0

 si kj
3
X 0
 alors x est quelconque sinon x 0

 si kj
6
X 0
 alors
 si kj
2
X 0
 alors x est quelconque sinon x 0

 si kj
1
X 0
 alors y est quelconque sinon y 0

IV.3.2.4 Exemples :
a) engrenage cylindrique à denture droite :
►Premier choix M01 : le torseur de la liaison équivalente 01

 sera
01
0 1 01
01 01
O
X 0
Y 0
Z N

 
 
   
 
 
Nous allons introduire un nouveau solide 3 entre 0 et 1 tel que le torseur de la liaison 03 sera
celui de 01
03
0 3 03 03
03 03
O
X 0
Y M
Z N

 
 
   
 
 

L’application systématique des règles du paragraphe IV3.2.3 donnent :
- X01, Y01, Z01, N01≠ 0  X13 , Y13, Z13, N13 ≠ 0
- L01= L03 = 0  L13 ≠ 0
- M01 = 0 ; M03 ≠ 0  M13 = 0
- M13 = 0 ; X13, Y13 ≠ 0 x = y = 0 ;
Finalement le torseur de la nouvelle liaison 13 sera
13 13
1 3 13
13 13
P
X L
Y 0
Z N

 
 
   
 
 
. Ce torseur correspond à une liaison
pivot d’axe Y en un point (0,0,z)
b) Mécanisme à 4 barres :
► premier choix : M01, X12 , N03
► deuxième choix : X01, M12, N12
x
y
Figure 31 : Engrenage cylindrique
avec pivot supplémentaire
1
0
2
3
5
4
6
Figure 31 : Mécanisme 4 barres
RRRPRRR
1
0
2
3
4
5
Figure 32 : Mécanisme 4 barres
RPRSRR

V. Synthèse des mécanismes :
La synthèse des mécanismes est l’opération qui consiste à créer des nouveaux mécanismes qui
satisferont une fonction cinématique donnée. Nous distinguons deux phases de synthèse. Ces
deux phases sont souvent considérées comme deux types indépendants, la synthèse
topologique et la synthèse dimensionnelle. La synthèse topologique est la phase qui permet de
déterminer la topologie ou la structure du mécanisme en choisissant la famille (mécanisme à
engrenage ou articulé par exemple) et en choisissant le nombre et les types des liaisons. La
synthèse dimensionnelle permet, une fois la topologie définie, de dimensionner le mécanisme
afin d’obtenir les caractéristiques désirées des mouvements générés. Dans ce paragraphe nous
allons nous limiter à la synthèse topologique. D’abord une synthèse globale ou préliminaire à
travers un exemple d’utilisation de la loi de mobilité globale. Puis un exemple de synthèse
plus détaillé à travers l’analyse cinématique.
V.1 Exemple de synthèse à partir de la loi de mobilité globale :
La loi de mobilité globale peut être appliquée dans une phase primaire de conception dans
laquelle on est encore à la recherche d’une topologie qui satisfait certaines conditions, telles
que le nombre des pièces, le nombre et les types des liaisons, les degrés de mobilité et
d’hyperstaticité.
Soit à concevoir un mécanisme constituant un cycle unique et composé seulement de liaisons
à une seule liberté.
Exigeons que ce mécanisme soit isostatique (h = 0). Dans ces conditions quel sera le nombre
minimum pmin de pièces pour que ce mécanisme soit mobile.
Désignons par l le nombre des liaisons ; p le nombre des pièces.
Le mécanisme est à cycle unique donc le nombre cyclomatique c= l p = 1 ce qui donne
l = p + 1.
Toutes les l liaisons sont à un degré de liberté d’où Ic = l = p +1.
La mobilité m est au minimum égale à 1.
L’application de la loi de mobilité globale Ic6 c = l 6 (lp) = m  h = 1 nous amène à pmin
= 6. Nous concluons qu’un mécanisme à cycle unique, formé par des liaisons à un degré de
liberté, et ayant un degré de mobilité, doit être composé au minimum 6 pièces pour qu’il soit
isostatique.
Si le nombre de pièce est égal à 5 on aura m = 0. On parle dans ce cas d’une structure et non
pas d’un mécanisme. D’une façon générale lorsque p  5 ce mécanisme ne peut être mobile
que s’il est hyperstatique.
Admettons que ce mécanisme est formé d’un nombre minimum de pièces pour constituer un
cycle (p = 1). Cherchons le degré d’hyperstaticité pour que ce mécanisme ait une mobilité
m=1.
Puisque nous avons une seule pièce alors l = 2 et par suite Ic = 2. Appliquons la loi de
mobilité : Ic6 c = 2 6 = 1  h ce qui donne h = 5. Nous concluons que dans nos conditions
de départ notre mécanisme composé d’une seule
pièce liée avec le bâti par deux liaisons à 1
degré de liberté aura pour m = 1 un degré
d’hyperstaticité h = 5.
V.2 Synthèse topologique à partir de l’étude
cinématique :
1
2
3
4
5
6
x y
z
O
A
B
C D
F
E

Ce type de synthèse s’applique à une topologie préalablement choisie. A travers son étude
cinématique détaillée comme celle vue précédemment, il sera possible de lui appliquer des
modifications pour l’adapter aux conditions recherchées ou pour éviter des configurations
particulières. Dans ce but, nous avons choisi une configuration du mécanisme de Sarrus. Ce
mécanisme à deux branches identiques et d’axe de symétrie (O, z) permet de générer un
mouvement de translation du solide 4 par rapport au bâti 1.
Les torseurs cinématiques associés aux liaisons écrits dans le repère fixe (O, x, y, z) sont :
12 23 34 45 56 61
D E
C
B
C
B D E
O O
O O O
O
1
1 0 0
1 0
0
0 1 1
0 1
0
0 0 0
0 0
; ; ; ; ;
0
0 z z
0 0
z
z 0 0
0 0
y
y x x
0
     
       
 
     
 
 
     
 
 
     
 
 
     
 
         
 
     
 
 
 
     
 
 
     
 
 
     
 


       
 
       
  0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
On constate que ce mécanisme satisfait les conditions du mécanisme traité dans le paragraphe
précédent. Il est composé d’un cycle unique contenant 6 liaisons à une seule liberté chacune.
Il est donc facile de deviner qu’il est hyperstatique puisque le nombre des pièces est égal à 5.
L’équation de fermeture du cycle unique s’écrit :
 
12 23 34 45 56 61 0
      
Le système cinématique qui en découle est
12
23
34
D E 45
B C 56
B C D E 61
1 1 1 0 0 0
(1) 0
0 0 0 1 1 1
(2) 0
0 0 0 0 0 0
(3) 0
0 0 0 z z 0
(4) 0
0 z z 0 0 0
(5) 0
0 y y x x 0
(6) 0

     
     

     
     


     
  
     
     

     
  
     
   
.
Le rang maximal de la matrice associé est 5 puisque l’équation (3) est triviale. On en déduit
que le degré d’hyperstaticité minimal est égale à hmin= 6rang = 1. Puisque l’équation (3) qui
représente la somme des vitesses de rotation autour de l’axe z, l’hyperstatisme est due à un
surblocage en rotation suivant cet axe.
On doit chercher est ce qu’il peut exister des positions particulières où le degré
d’hyperstaticité sera supérieur à 1. Cela peut arriver lorsque le rang de la matrice est
inférieur à 5. Autrement dit il n’existe pas un déterminant extrait de la matrice de dimension 5
qui peut être non nul.
Admettons que 12 soit la vitesse généralisée, sa colonne passe au second membre et il nous
reste après élimination de l’équation triviale (3) une matrice de dimension 5. Nous allons
chercher quand son déterminant sera nul.
D E
B C
B C D E
1 1 0 0 0
0 0 1 1 1
0 0 Z z 0 0
z z 0 0 0
y y x x 0
  
 
= D E
B C
B C D E
1 1 0 0
0 0 z z
z z 0 0
y y x x
 

 

D E D E
C B B C D E D E
C D E B D E
0 z z 0 z z
z 0 0 z 0 0 (z z )(x z z x ) 0
y x x y x x
   
     
 
Il existe deux solutions à cette équation. La première solution est que D E D E
(x z z x ) 0
  c'est-
à-dire que OD // OE
 

, cette configuration ne peut être atteinte que si les deux points E et D
sont confondus, ce qui n’est pas permis par l’architecture du mécanisme. La seconde solution
est zB = zC, c'est-à-dire que la barre (3) sera bien horizontale. Cette position ne sera atteinte
que si les 4 barres (2), (3), (5) et (6) seront toutes horizontales. Nous concluons que pour
éviter l’augmentation du degré d’hyperstaticité et par suite l’augmentation du degré de
mobilité il faut éviter la position où zB= zC=zD=zE=0. Cette position est dite position de
singularité pour ce mécanisme.
La question souvent posée dans le cas des mécanismes hyperstatiques est la possibilité
d’éviter l’hyperstatisme sans toucher à la mobilité. Une telle éventualité évite des conditions
géométriques sévères et par suite contribue à une diminution considérable du coût des pièces.
Nous avons vu comment nous pouvons éliminer les efforts hyperstatiques à partir de l’étude
statique. Dans ce qui suit nous allons essayer d’atteindre le même objectif pour ce mécanisme
de Sarrus mais à travers l’étude cinématique réalisée précédemment.
D’après le système cinématique ci-dessous, il suffit pour rendre le mécanisme isostatique de
rendre le rang de la matrice associée égal à 6. IL faut donc rendre l’équation (3) principale
tout en ajoutant une nouvelle liberté pour garder m = 1. La solution la plus évidente est
d’ajouter une rotation ij suivant l’axe z. Supposons que le centre de cette liberté aura pour
coordonnées (x, y, z) alors nous obtenons le nouveau système cinématique suivant :
12
23
34
45
D E
56
B C
61
B C D E
ij
1 1 1 0 0 0
(1) 0 0
0 0 0 1 1 1
(2) 0 0
0 0 0 0 0 0
(3) 1 0
0 0 0 z z 0
(4) y 0
0 z z 0 0 0
(5) x 0
0 y y x x 0
(6) 0 0

 
   
 

   
 
   
 

   
 
 
   
 
 
   
 

   
 


   
 
 
   
   

 
ij sera seule dans la ligne (3), elle est donc calculable (ij = 0). L’équation (3) est devenue
principale. Si on élimine la colonne ajoutée et l’équation (3) on aura 5 équations pour 6
inconnues comme précédemment d’où la mobilité est inchangée. Mais le plus intéressant est
que ce résultat est obtenu quelque soit la position de la liberté ajoutée.
Nous déduisons que si nous associons la liberté ajoutée à une des 6 liaisons pour former une
liaison sphérique à doigt nous obtenons un mécanisme de Sarrus isostatique.

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