Cours_Master_2011.pptx

Cours Commande Robuste
Multi-variables
Application au Chaos
LAUNAY Frédéric
2 mars 2011

Introduction à l’étude des systèmes
Non Linéaire
2
Introduction
Identification :
1) Modèle mathématique réalisant un compromis entre sa fidélité
de comportement qualitatif et quantitatif et sa simplicité de mise
en oeuvre à des fins d’analyse et de synthèse.
2) La modélisation entraîne obligatoirement des approximations et
des simplifications afin de permettre une analyse des propriétés
du modèle qui ne soit pas trop complexe et une procédure de
synthèse de commande efficace.

Contexte général
3
Introduction
Par hypothèses, (approximation des faibles déviations autour
d’un ”mouvement” nominal), certains systèmes peuvent être
décrits par un modèle mathématique linéaire,
Les méthodes fréquentielles d’analyse et de synthèse:

Réalité plus complexe : retenir dans la modélisation du
système physique des éléments non linéaires difficilement
modélisables par ailleurs et que l’on ne peut approximer.
Différents cas génériques se présentent pour lesquels les
modélisations linéaires ne peuvent suffire:
- transformation (cosinus,sinus), saturation, hystérésis…
- D’importants processus physiques sont décrits par des
modèles non linéaires. Caractéristiques courant tensions
des éléments électroniques, modèles chimiques…
Contexte général
Introduction

Contexte général
5
Introduction
Les méthodes temporelles :

Linéarisation du modèle non linéaire autour d’un point de
fonctionnement mais la méthode de linéarisation n’est pas
suffisante  outils propres au non linéaire.
Deux faits limitent la portée des résultats obtenus par la méthode
de linéarisation.
-La méthode de linéarisation est une méthode par
approximation  valide localement.
-Les dynamiques d’un système non linéaire sont beaucoup
plus riches que celles d’un système linéaire dans le sens
qu’elles reflètent des comportements et des phénomènes
purement non linéaires.
Etude Non Linéaire
Introduction

Contexte général
7
Introduction
Etude des trajectoires d’un système non linéaire :
1) Méthode fréquentielle : Méthode du premier harmonique
2) Méthode temporelle : Méthode du plan de phase (Isoclines)
Lyapunov (stabilité)

A la différence des systèmes linéaires qui possèdent un point
d’équilibre unique, les systèmes non linéaires peuvent
posséder plusieurs points d’équilibre.
Exemple:
Soit le système physique régi par l’équation différentielle
suivante:
Le système linéarisé autour du point x0 est donné par:
Introduction
Contexte général

Introduction
Contexte général
Le système non linéaire, quant à lui a les caractéristiques suivantes:
Linéaire

Cycles limites
Un système linéaire invariant dans le temps, pour osciller, doit
avoir une paire de pôles sur l’axe imaginaire fragile vis à vis
de perturbations et/ou erreurs de modélisation
De plus, l’amplitude de l’oscillation obtenue en théorie dépend
uniquement de la condition initiale.
Au contraire, les systèmes non linéaires peuvent être le siège
d’oscillations, (cycles limites), caractérisées par leur amplitude
et leur fréquence, indépendantes de la condition initiale et sans
excitation extérieure.
Il est donc indispensable d’utiliser un système non linéaire si
l’on souhaite réaliser en pratique une oscillation stable.
Introduction
Contexte général

Introduction
Contexte général
Cycles limites
Exemple: équation de Van der Pol :

Introduction
Contexte général
Cycles limites
Exemple: équation de Van der Pol :
Quasi harmonique
Plan de phase

Introduction
Contexte général
Bifurcation :
Des changements quantitatifs des paramètres peuvent entrainer
des changements qualitatifs des propriétés du système, (nombre
de points d’équilibre, stabilité des points d’équilibre).
Exemple: équation non amortie de Duffing :
L’équation donnant le point d’équilibre est:

14
Introduction
Introduction
Bifurcation :
Suivant que a sera négatif ou positif, le nombre de points
d’équilibre sera différent. Quand a varie, le nombre de points
d’équilibre varie de 1 à 3:

15
Introduction .
Ecriture générale
état
sortie
commande
entrées exogènes

16
Introduction
Ecriture générale
Systèmes linéaires Systèmes non linéaires
Équations différentielles linéaires
à coefficients constants
Équations différentielles
à coefficients variables
Équations différentielles
non linéaires
Équations aux dérivées partielles
Systèmes chaotiques

Introduction
Ecriture générale
Théorème de Lyapunov
Le système décrit par
est stable si et seulement si il existe une fonction telle que

Introduction
Ecriture générale
Cas particulier de la stabilité quadratique
On considère une fonction de Lyapunov du type
où
variation
d’énergie
interne
énergie
entrante
énergie
sortante
énergie
générée
dans le
système
énergie
dépensée
dans le
système
Interprétation

Introduction
Ecriture générale
est assimilable à une fonction d’énergie
Un système est stable s’il dépense plus d’énergie qu’il n’en reçoit

Introduction
Ecriture générale
Cas d’un système linéaire
avec
d’où la condition de stabilité quadratique d’un système linéaire:
une condition nécessaire et suffisante est d’avoir
et donc que les valeurs propres de soient à parties réelles strictement négatives

• Qu’est ce que le chaos ?
• Pourquoi l’utiliser ?
• Objectif de ce travail de thèse.
21
Introduction Qu’est-ce que le chaos?
Pourquoi l’utiliser?
Objectif de ce travail de thèse.
Introduction

•Qu’est ce que le chaos ?
•Pourquoi l’utiliser ?
•
22
Introduction

Exemple discret de la suite logistique
Eléments de construction
Pour μ= 1.6, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,375.
23
Exemple de la suite logistique

Eléments de construction Convergence de la suite
μ
24
Pour μ= 2.8, la suite converge vers un point fixe de valeur 0,64

μ
25
Pour μ= 3.4, la suite oscille entre 0.84 et 0.45

μ
26
Pour μ= 3.47, la suite oscille entre les 4 valeurs 0.47, 0.86, 0.4, 0.84

μ
27
Pour μ= 3.9, la suite est apériodique, elle ne converge pas.

μ
28
Pour μ= 3.9, avec une autre condition initiale, la trajectoire est différente

Exemple continu avec un système dynamique de Chua:
avec
et
29
Exemple avec un système dynamique

30
Trajectoires produites en fonction des C.I

Représentation du générateur
sous forme de treillis:
31
Exemple de génération de pseudo-chaos avec un
circuit électronique :

Exemple de génération de séquences à 100 Mega
Symboles/s sur 256 niveaux
32

Les systèmes chaotiques
Le terme " chaos " vient des faits suivants:
- il ne se répète jamais (et semble erratique),
-il a une dépendance sensible par rapport aux conditions initiales
(effet papillon)
-mais il n’en est pas moins ordonné et caractérisé par un déterminisme
imprévisible.
Le déterminisme imprévisible signifie que même un modèle parfait de
système chaotique (équations de mouvement identiques et mêmes
conditions initiales) débouche sur des résultats imprévisibles.
Les systèmes en état de chaos sont donc légitimes, ordonnés,
déterministes et imprévisibles.

Les systèmes chaotiques: introduction
L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales:
Le météorologue Edward Lorenz indique que pour un système
chaotique:
On peut considérer que le simple battement d'aile d'un papillon en
Australie peut entraîner une tempête sur côte américaine. Ceci signifie
qu'une perturbation en apparence mineure à l'échelle de l'atmosphère
peut avoir de grandes répercutions.
Il faut comprendre que deux systèmes chaotiques de modèle identique
avec des conditions initiales pourtant très proche peuvent se
comporter de manière complètements différentes.

L’effet papillon= sensibilité aux conditions initiales:
Exemple le même systèmes chaotiques avec des conditions initiales
différentes:
« Aspect »
aléatoire

Exemple simple de système chaotique (naissance du chaos):
La démographie d’une population peut être approchée par l’équation
suivante :
Population nouvelle= Taux de natalité * Population ancienne*(1-population
ancienne)
Cas f<1

Exemple simple de système chaotique:
Cas 1<f<3
Stabilisation
autour de 0,66
Cas f>3
Doublement de période:
instable et oscillation
entre deux valeurs

Cas f> 3,4495
Lorsque le taux de natalité dépasse 3,4495 une seconde bifurcation (embranchement)
apparaît; l'oscillation double devient quadruple (la population prend successivement
quatre valeurs différentes, chacune revenant une fois tous les quatre ans). Les
dédoublements se poursuivent et surviennent de plus en plus fréquemment (8 à 3,56
puis 16 à 3,596, …) et les cycles s'allongent de plus en plus à mesure que le taux de
croissance augmente.

Cas f> 3,57
Lorsque le taux atteint 3,57, cette régularité disparaît pour laisser la place au chaos.
Pourtant, au sein de ce chaos, l'ordre n'est pas complètement banni : des cycles
totalement chaotiques sont invariablement accompagnés d'autres parfaitement
réguliers. Ainsi, un modèle déterministe simple peut engendrer de « l'aléatoire ».

Caractérisation d’un système chaotique : l’attracteur
Système chaotique Système aléatoire
Caractérisation dans le Plan de phase

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
x2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 10
4
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x1,x2,x3
Plan de phase
• Imprédictibilité temporelle
• très grande sensibilité aux conditions initiales
• structuré dans l’espace des phases : attracteur
Les systèmes chaotiques: Définitions

• localement instable
• globalement borné
du système pour une condition initiale
Une solution est dite chaotique
si elle est instable au sens de Lyapunov et que toutes les solutions obtenues à partir
d’un voisinage de (bassin d’attraction) sont bornées
Soit le système non-linéaire
Un système chaotique est:

Définition d’un système chaotique
• Un ensemble est un ensemble d’attraction pour le système si il existe un
ensemble ouvert tel que
,
pour toute solution avec
• Un ensemble d’attraction fermé est un attracteur du système si il est minimal.
Il n’existe pas de plus petit ensemble d’attraction que
L’ensemble est appelé le bassin d’attraction
• Un attracteur est étrange ou chaotique si il est borné et que toutes les trajectoires
qu’il renferme sont chaotiques.
Un système est chaotique si il possède au moins un attracteur chaotique.

Définition d’un système chaotique
• Une fonction est récurrente si pour tout il existe
tel que pour tout il existe , tel que
Soit l’ensemble contenant
un segment de trajectoire de
est récurrente si pour tout il existe tel que
pour tout
étant le de l’ensemble
Une fonction récurrente retourne dans tout voisinage de toutes valeurs
précédentes au moins une fois (et par défaut une infinité de fois)

Les systèmes chaotiques: différents
attracteurs
L’attracteur de Lorenz :
C'est une simplification à l'extrême d'équations régissant les
mouvements atmosphériques.
Lorenz les a étudié afin de mettre en évidence sur un système
simple la sensibilité aux conditions initiales qu'il avait observée.
Dans cette expérience, on considère un fluide entre deux plaques portées à deux
températures légèrement différentes. Les deux plaques sont horizontales et la
plaque la plus chaude est située en bas. On observe des tourbillons.

Les systèmes chaotiques: différents attracteurs
Le comportement du fluide est très bien déterminé par les équations
de la mécanique des fluides. Ces dernières aboutissent aux équations
suivantes:Équation de Navier-Stokes:
Équation de l'incompressibilité du fluide:
Équation de propagation de la chaleur:
T est la température rapportée à celle du fluide sans la convection.
Ra est le nombre de Rayleigh. Il dépend des propriétés du fluide, de la
distance entre les plaques et de la différence de température entre les plaques.

Les équations précédentes peuvent être réduites. Elles se
présentent alors sous la forme d'un système, le système de Lorenz
que voici:
Pour Pr = 10, b = 8/3 et Ra = 28, on obtient un comportement chaotique.

Voici l’attracteur de Lorenz dans le plan Z,,T

Voici l’évolution de  dans le temps:

L’attracteur de Rossler :
Proposé par l'Allemand Otto Rössler, le système de Rössler est lié à
l'étude de l'écoulement des fluides; il découle des équations de Navier-
Stokes. Les équations de ce système ont été découvertes à la suite de
travaux en cinétique chimique.
Les équations de ce système sont les suivantes:
Les dérivées des premiers membres sont des dérivées partielles par rapport au
temps. a, b et c sont des contantes réelles. Pour a = 0.398, b = 2 et c = 4. On est
alors en présence d'un système chaotique.

Doublement de période pour la variable Z:

Le pendule de Moon :
Le pendule de Moon est un système physique.
Il est constitué d'un pendule (avec une boule métallique à son extrémité)
accroché à une potence légèrement flexible.
De plus, le pendule est placé entre deux aimants situés à égale distance de la
boule lorsque celle-ci et la potence sont au repos.
La potence est ensuite excitée à l'aide d'un mouvement oscillatoire
harmonique d'amplitude constante.
Stimulé, le pendule se met en mouvement et les forces magnétiques dûes aux
aimants. Le mouvement est alors chaotique.

L'équation de ce système est dite équation de Duffing :
X est la position du pendule.
m est la masse de la boule métallique, a est l'amplitude
de l'excitation et w est la pulsation de cette excitation.

Pour m = 0.15, a = 0.15 (en fait, entre
0.1 et 0.2 environ) et w = 0.81 (en fait,
entre 0.8 et 0.82)

Outils
D’analyse

Les systèmes chaotiques: Outils d’analyse
La section de Poincaré
Une section de Poincaré est l'intersection entre un attracteur d'un
système à n degrés de liberté et un sous-ensemble de l'espace de
n . Le plus souvent, une section de Poincaré est un lieu
particulier par lequel le système passe régulièrement au cours du
temps. Une section de Poincaré permet d'étudier certaines
propriétés d'un système dans un espace de dimension inférieure.

La section de Poincaré

Application du 1er Retour :
Au cours du temps, un système décrit son attracteur (après avoir
convergé vers celui-ci).
On suppose définie une section de Poincaré particulière.
Régulièrement, le point courant du système traverse la section de
Poincaré.
On repère au cours du temps ces points de la section de Poincaré,
ce qui constitue une suite de points notée (Pn)n, indexée par l'ordre
de passage.
Une application de premier retour relative à la iième coordonnée est
une fonction qui, pour tout n, à la coordonnée Pn
i associe la
coordonnée Pn+1
i du point suivant.

Application du 1er Retour :
On peut généraliser à l'application f de mième retour relative à la
iième coordonnée que l'on peut définir comme suit:
f:  
Pi
n  Pi
n+m

Les exposants de Lyapunov :
On considère un système à n degrés de liberté.
Soient X0 et Y0 deux conditions initiales pour ce système (valeurs
initiales des n degrés de liberté).
On note X et Y les fonctions du temps telles que X(t) et Y(t)
représentent respectivement l'état du système (les valeurs des n
degrés de liberté) à l'instant t et telles que X(0) = X0 et Y(0) = Y0.
On note d la distance euclidienne définie comme suit:
d: n× n 

S'il existe un instant tl, une constante réelle  et une constante réelle a
tels que, si I = [0, tl],
Alors,  est appelé exposant de Lyapunov.
On comprend que l'exposant de Lyapunov caractérise la qualité
chaotique ou non d'un système car il rend compte de la sensibilité
aux conditions initiales.

Exemple pour l’attracteur de Lorenz :
La différence relative dans les conditions initiales est de 10-12, =0.8

Diagramme de Bifurcation :
Le diagramme de bifurcation permet de mieux visualiser
l’évolution d’un système vers le chaos par doublement de
période.
Imaginez un Y majuscule, puis ajoutez à chaque pointe
supérieure un Y quatre fois plus petit, et ainsi de suite. A
chaque bifurcation, la période du système double, autrement
dit, il met deux fois plus de temps à retrouver son état initial.
A ce petit jeu, au bout de quelques bifurcations …, il ne la
retrouvera jamais.

Diagramme de Bifurcation :
Application à la modélisation de la démographie :
3 3,45 3,56
Doublement
De fréquence
Chaos

Outils
De Contrôle

Les systèmes chaotiques: Contrôle du Chaos
But du contrôle :
Lors du contrôle d'un système chaotique, on peut agir de diverses manières,
selon le but recherché:
- On peut souhaiter qu'un système chaotique reste dans un domaine chaotique
En effet, il est possible que, naturellement, le système évolue jusqu'à perdre les
caractéristiques chaotiques (sensibilités aux conditions initiales, ...).
- On peut vouloir le forcer à rester chaotique, auquel cas on procède à des
opérations de contrôle convergeant vers ce but.
De même, on peut vouloir amener un système, à l'origine non chaotique, vers
un domaine chaotique. Réciproquement, on peut souhaiter voir un système
chaotique évoluer de façon à perdre son caractère chaotique.

Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des
années 1990.
Principe : Point fixe
On considère un point fixe, noté X0 = X0(p), de la section de
Poincaré pour la valeur du paramètre (de contrôle du chaos) p = p0.
Ce point fixe vérifie h(X0) = X0 si h est une application de premier
retour (la propriété doit être vérifiée pour l'application de premier
retour relative à n'importe quelle coordonnée).

Méthode OGY proposée par Ott, Grebogi et Yorke au début des
années 1990.
Principe : Point fixe
Supposons que la condition initiale d'un système soit très proche du
point fixe. Lors de son évolution, le système ne se stabilise jamais
de lui-même autour du point fixe, le point fixe étant instable. Ceci
signifie qu'à chaque passage dans la section de Poincaré, le point
courant est de plus en plus éloigné du point fixe. Pour contrôler le
système, on se propose de lui imposer de rester autour du point fixe,
en modifiant légèrement la valeur du paramètre p.

Principe :
Si fi est l'application de premier retour relative à la iième coordonnée, on note
f le vecteur tel que:
f = (f1, f2, ..., fn) (11).
On note A la matrice jacobienne associée à f. A dépend du point où elle est
évaluée.
On a alors: Xn+1 = f(Xn) (12).
La matrice jacobienne A décrit le comportement des points de la section de
Poincaré, en particulier au voisinage du point fixe. On remarque que, au
voisinage de ce point fixe, deux directions régissent les passages du système
dans la section de Poincaré et donc l'éloignement du point fixe. Une direction
est stable: elle n'a pas besoin d'être affectée. L'autre direction est instable: il
convient de s'intéresser à cette direction afin de déterminer les corrections à
apporter pour compenser l'action de cette direction instable.

Section de Poincaré
On linéarise l'équation (Xn+1 = f(Xn)) au voisinage du point fixe:
Xn+1 = X0(pn) + A(X0(pn)). (Xn - X0(pn)) (13).
De plus, on considère qu'au voisinage du point fixe on a:
De plus, A est constante et vaut:
Pour simplifier la lecture, on introduit les expressions suivantes:
pn=pn-p0, Xn=Xn-X0 et
A=A(X0(p0))
(1)

Alors, on peut réécrire la relation (1) sous la forme:
Xn+1= pn.g+A.(Xn- pn.g)
On souhaite désormais calculer la variation à imposer,
de sorte que Xn+1 = 0
A présente deux directions propres dont l'une instable eu (valeur propre
associée strictement supérieur à 1, en valeur absolue) et l'autre stable es
(valeur propre associée strictement inférieure à 1, en valeur absolue). On
note les vecteurs adjoints dans la base duale fu et fs.
En remarquant que A =sesfs +ueufu, on a:
Xn+1-pn.g=(sesfs +ueufu)(Xn- pn.g)

Finalement :
On a ainsi déterminé la correction à appliquer au voisinage du point
fixe et à chaque passage dans la section de Poincaré. Ainsi, au
passage suivant, on revient au voisinage du point fixe et on est donc
de nouveau dans les conditions d'application du contrôle

Application à l’attracteur de Lorentz
La section de Poincaré considérée ici est assez simple car elle est l'ensemble
des points de l'attracteur tels que Z = Zmax.
Le paramètre de
contrôle est Ra

Le contrôle se fait au voisinage du point fixe, il est donc nécessaire de le déterminer.
Vu la structure de l'attracteur, trouver la valeur de la troisième coordonnée du point fixe
permet de déterminer le point fixe dans la section de Poincaré. On utilise donc
l'application de premier retour par rapport à la troisième coordonnée.

Calcul des perturbations
La méthode OGY nécessite de déterminer les directions et valeurs propres de la matrice
jacobienne A. Ici, les sections de Poincaré sont assimilables à des courbes: on ne
s'intéresse qu'à une seule direction propre et on obtient directement la correction
On détermine pour cela l'influence du paramètre de contrôle, Ra pour le système de
Lorenz, sur le point fixe. Pour plusieurs valeurs du paramètre, on recherche le point
fixe, tout comme précédemment. On génère alors plusieurs applications de premier
retour.
Superposition de deux applications de
premier retour du système de Lorenz
(Ra = 28, en bleu, et Ra = 28.5, en
vert). Recherche de deux points fixes et
de l'influence du paramètre.

Connaissant l'influence du paramètre sur le point fixe et, par extension, sur les points au
voisinage du point fixe, on est en mesure de déterminer quelle variation du paramètre
doit être appliquée pour ramener, dans la section de Poincaré et au prochain passage, le
point courant au point fixe

• Qu’est ce que le chaos ?
• Pourquoi l’utiliser ?
• Objectif de ce travail de thèse.
79
Introduction

•Non sinusoïdaux => large spectre => robustesse au fading
•Non périodiques =>séquences de longueur infinies =>sécurité de la transmission
•Quasi-orthogonaux =>grand nombre de séquences possibles=> augmentation du
nombre d’utilisateurs
•Remplacer des porteuses sinusoïdales par des signaux chaotiques.
•Remplacer des codes d’étalement par des codes chaotiques.
80
Avantage des signaux chaotiques
2 champs de recherche

Proposer un schéma de démodulation dans le cas d’une
transmission multi-utilisateurs avec porteuse chaotique.
Contraintes:
•Discriminer chaque utilisateur.
•Les conditions initiales de l’ émetteur ne sont pas connues au récepteur
Implantation d’un codeur/décodeur chaotique numérique
autosynchronisant en présence de bruit.
Contraintes:
•Fonctionnement en temps réel et en présence de bruit
•Implantation sur système embarqué
81

Plan
Etat de l’art
Synchronisation de porteuse chaotiques analogiques
Synchronisation de générateurs quasi-chaotiques
Etude de la consommation en ressources électroniques
Conclusion.
82
Etat de l’art
Synchronisation de porteuses chaotiques analogiques

Plan
Etat de l’art
Conclusion.
83
Etat de l’art

84
Etat de l’art
•Les modulations analogiques
•Les modulations numériques
•Utilisation de codes d’étalement chaotiques
Etat de l’art

L. Pecora and T. Carroll. Synchronization in chaotic systems. Physical Review Letters, 64 :821–825, 1990.
•Première synchronisation
•Masquage chaotique
•Modulation d’état et démodulation par observateur
M.Itoh and H.Murakami. New communication systems via chaotic synchronizations and modulation. IEICE Trans. Fundam. Electron., Commun. Comput. Sci., E78-
A(3) :285–290, 1995.
Observateur de Luenberger ou filtre de Kalman étendu.
85
Les modulations analogiques
Les modulations numériques
Utilisation de codes d’étalement chaotiques
Etat de l’art

Démodulation avec un récepteur identique.
Démodulation avec un récepteur dont les
paramètres varient de 1%
Généralement la précision requise au niveau des paramètres du récepteur est
supérieure à celle atteinte par les composants analogiques classiques
86
Etat de l’art

87
Etat de l’art
Etat de l’art

Etat de l’art : les modulations numériques
Principe: Remplacer les fonctions de bases sinusoïdales par des fonctions de base
chaotiques
88
Etat de l’art

chaotiques
Système à démodulation non-cohérente
1997 Chaotic ON OFF switch keying G. Kolumban, M.P.Kennedy, and G.Kis. Performance improvment of chaotic
communications systems. Proc. European Conference on circuit Theory and
Design, Budapest, pages 284–289, 1997.
1996 Chaos Shift Keying differentiel G. Kolumban, B. Vizvari, W. Schwar, and A. Abel. Differential chaos shift
keying : A robust coding for chaos communication. PROC. IEEE Workshop on
Nonlinear Dynam. Electon Syst., NDES’96 :87–92, 1996.
2007 Schéma à porteuses
chaotiques et démodulation
par régression
A. Buscarino, L. Fortuna, and M. Frasca. Separation and synchronization of
chaotic signals by optimization. Phys. Rev. E, 75 :2007, 2007.
89
Etat de l’art

Etat de l’art : les modulations numériques
Principe: Pour la démodulation cohérente, la porteuse chaotique doit être connue et
synchronisée.
90
Etat de l’art

chaotiques
Système à démodulation cohérente
1993 CSK avec synchronisation maitre
esclave
H.Dedieu, M.P.Kennedy, and M.Hasler. Chaos shift keying : modulation and
demodulation of a chaotic carrier usi self-synchronising chua’s circuit. IEEE
Trans. Circuit & Systs. Part IIAnalog and Digital Signal Processing, 40(10)
:634–642, 1993.
2000 CSK avec détection par
corrélation
M.P. Kennedy, R. Rovatti, and G.Setti. Chaotic electronics in
telecommunication.
CRC press, 2000.
91
Etat de l’art

92
Etat de l’art
Etat de l’art

L’ étalement de spectre à séquence directe
L’idée de base est de remplacer les séquences binaires pseudo-aléatoires
traditionnellement utilisées dans les systèmes à étalement de spectre par des
séquences binaires ou multi niveaux issues de générateurs chaotiques.
93
Etat de l’art

Etat de l’art : Des codes pour le CDMA
Systèmes à Etalement de spectre
1997 Etalement par séquences
par corrélation : chaotiques
multi-niveaux
G. Mazzini, R. Rovatti, and G. Setti. Chaotic complex spreading sequences for
asynchronous ds-cdma-part i : system modelling and results. IEEE Trans.
Circuits Systems-I : Fundam. Theory Appl., 10 :937–947, 1997.
chaotiques multi-niveaux
combinées à des séquences
pilotes classiques.
B. Jovic, C. P. Unsworth, G.-S. Sandhu, and S.-M. Berbe. A robust sequence
synchronization unit for multi-user ds-cdma chaos-based communication
systems. Signal Processing, 87 :1692–1708, 2007.
chaotiques multi-niveaux
combinées à des séquences
pilotes classiques.
G.Kaddoum, P.Charge, D.Roviras, and D.Fournier-Prunaret. Chaos aided
synchronizationfor asynchronous multi-user chaos-based ds-cdma.
Proceedings of the 15th IEEE International Conference on Electronics Circuits,
Malta, 2008.
94
Etat de l’art

Plan
Etat de l’art.
En continu: Synchronisation par estimation des conditions initiales.
En discret : Synchronisation par une méthode ensembliste puis génétique.
Générer des séquences chaotiques: ressources consommées vs efficacité.
Conclusion.
95
Etat de l’art

96
•U générateurs chaotiques sont utilisés pour étaler U messages; .
•Tous les signaux étalés sont ajoutés;
•Du bruit additif gaussien est ajouté au signal r(t);
Contexte de la transmission
L’algorithme d’estimation des CI
Paramétrisation du critère en fonction des CI
Résultats
Etat de l’art

• Chaque signal chaotique est issu de la discrétisation du système d’équation suivant:
•Les systèmes sont déterministes et les trajectoires dépendent des conditions initiales
•Le récepteur connaît les équations de l’émetteur mais pas les conditions initiales.
•Grâce à l’unicité des séquences chaotiques, l’estimation des conditions initiales garantie
la synchronisation.
97
Résultats
Etat de l’art

Objectif: estimer les condition initiales
•L’objectif est de retrouver les conditions initiales en minimisant une fonction de coût
quadratique entre le signal reçu et le signal estimé.
98
Résultats
Etat de l’art

L’algorithme
Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur
Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur
Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées
Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le
signal reçu
Estimer de nouvelles
conditions initiales
Critère>Seuil
Synchronisation
Critère<Seuil
99
Résultats
Etat de l’art

L’algorithme
Choisir des conditions initiales pour chaque utilisateur
Jouer la trajectoire pour chaque utilisateur
Calculer la somme de toutes ces trajectoires estimées
Etablir le critère quadratique entre la trajectoire estimée et le
signal reçu
Estimer de nouvelles
Critère>Seuil
Synchronisation
Critère<Seuil
100
Résultats
Etat de l’art

Recherche par une méthode de descente à pas fixe: itération 1
=Signal transmis
=Etats internes
=Etats internes estimés
101
Résultats
Etat de l’art

=Signal transmis
=Etats internes
102
Résultats
Etat de l’art

=Signal transmis
=Etats internes
103
Résultats
Etat de l’art

=Signal transmis
=Etats internes
104
Résultats
Etat de l’art

=Signal transmis
=Etats internes
105
Résultats
Etat de l’art

Objectif : trouver le lien entre et .
Paramétrisation du critère par rapport aux
Par discrétisation du système dynamique , on obtient l’ équation de
récurrence:
Si le vecteur d’état subit une légère variation , on obtient:
Et en linéarisant:
Où
106
Résultats
Etat de l’art

Par propagation, on peut obtenir la variation de l’état à l’instant k en
fonction de la variation de l’état initial:
107
Résultats
Etat de l’art

En cumulant le carré de écarts sur le scalaire transmis:
on obtient
Ce critère analytique peut être dérivé pour obtenir le gradient et le Hessien:
avec
108
Résultats
Etat de l’art

Méthode de descente de Levenberg Marquardt
109
Résultats
Etat de l’art

Résultats
110
Résultats
Etat de l’art

Résultats
111
Résultats
Etat de l’art

Conclusion
•Minimisation du nombre d’itération
•Possibilité de démoduler un signal bruité composé de 10 porteuses
112
Résultats
Etat de l’art

Plan
Etat de l’art
Conclusion.
113
Etat de l’art

Objectif purement pratique.
Implantation d’un codeur-décodeur chaotique auto synchronisant
en présence de bruit.
•Encodage et Décodage temps réel
•Débit de 10 MChips/sec
•Séquence d’étalement multi-niveaux en filaire, séquence d’étalement
binaire pour une transmission sans fil
114
Etat de l’art
Contexte et objectifs
L’algorithme de synchronisation ensembliste
L’algorithme de synchronisation génétique
Réalisation pratique et résultats

Principe de l’autosynchronisation.
115
Etat de l’art

116
Etat de l’art

117
Etat de l’art

Hypothèse de bruit borné
Transmission sur 256 niveaux à
5 MSymboles/seconde
118
Etat de l’art

Hypothèse de bruit borné
•En supposant le bruit borné, le nombre d’états possibles du codeur
devient fini.
•Idée: tester tous les états simultanément et éliminer les états qui
produisent une séquence incompatible avec les contraintes de bruit.
119
Symboles émis: 100 200 144 33 66 132 8 17
Symboles reconstitués 106 202 134 23 64 131 5 26
Etat de l’art

L’algorithme ensembliste
Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite à la
réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque candidat.
Réception du symbole suivant
Elimination des « mauvais » candidats par comparaison du
symbole estimé et symbole reçu
Synchronisation
Nombre candidats>1 Nombre candidats = 1
120
Etat de l’art

Synchronisation
121

Synchronisation
122

Illustration de l’algorithme pour un système de Frey d’ordre 2
Ensemble des vecteurs possibles ayant produit le symbole y(k)
représenté sur le plan de phase
123
Etat de l’art

Ensemble des vecteurs possibles représenté sur le plan de phase en
supposant un bruit borné
124
Etat de l’art

Intersection entre l’ ensemble les vecteurs possibles estimés et les
échantillons réellement reçus y(k-1) et y(k-2).
125
Etat de l’art

Synchronisation
126
Etat de l’art

Intersection entre l’image de l’ ensemble les états possibles et les états
ayant pu produire y(k+1)
127
Etat de l’art

Détermination d’un ensemble de candidats possibles suite
à la réception du premier symbole.
Estimation du symbole et de l’état suivant pour chaque
candidat.
Synchronisation
128
Etat de l’art

candidat.
Synchronisation
129
Etat de l’art

Les trajectoires sont calculées pour tous les états possibles,
celles qui sortent des bornes sont éliminées.
130
Etat de l’art

Avec un bruit de +-
100 niveaux,
pendant les 5
premières
itérations, la
population d’ états
à traiter est
supérieure à
10.000.
131
Etat de l’art

Evolution de l’algorithme ensembliste vers un algorithme génétique
candidat.
Synchronisation
132
Etat de l’art

Détermination d’un ensemble fixe de candidats suite à la
candidat.
Remplacement des plus mauvais candidats par de
nouveaux candidats
Synchronisation
Critère d’arrêt à
itération fixé
133
Etat de l’art

candidat.
nouveaux candidats
Synchronisation
itération fixé
134
Etat de l’art

candidat.
Réception du symbole suivant.
nouveaux candidats.
Synchronisation
itération fixé
135
Etat de l’art

Les niveaux sont codés en binaire: Le critère de sélection est basé sur la distance
de hamming entre le symbole reçu et le symbole estimé.
Remarque: la distance de Hamming est cumulée au fur et à mesure des
échantillons reçus.
p est la durée de vie du candidat
Le réel γ sert à donner du poids aux candidats âgés, c’est à dire adaptés à la
sélection.
•Les nouveaux vecteurs candidats sont générés à partir du nouvel échantillon
reçu et des états des meilleurs candidats.
136
Etat de l’art

Resultats
Nombre de synchronisation réussie après 20 itérations en fonction du taux
d’erreur binaire. La population est de 37 candidats.
137
Etat de l’art

Implantation
138
Etat de l’art

Avec combien de candidats peut on travailler simultanément:
Capacité de traitement:
1 candidat
64 candidats
128 candidats 139
Etat de l’art

Avec combien de candidats peut on travailler simultanément
256 candidats
512 candidats
1024 candidats140
Etat de l’art

Conclusion
•Méthode viable permettant la synchronisation
•Possibilité de discriminer plusieurs utilisateurs
•Il faut pouvoir lire les chips, alors que dans un récepteur à corrélateur classique,
il faut connaître la séquence émise pour pouvoir aller la chercher dans le bruit.
141
Etat de l’art

Plan
Etat de l’art.
En discret : Synchronisation par une méthode ensembliste puis génétique.
Générer des séquences chaotiques: ressources consommées vs efficacité.
Conclusion.
142
Etat de l’art
Contexte : DCS-CDMA
Implantation et efficacité de l’alignement de code
Conclusion

Objectif:
•Implanter différents générateurs de séquences chaotiques
•Mesurer la « quantité de silicium » nécessaire à la réalisation
•Mesurer l’efficacité des séquences produites dans un contexte de transmission multi-
utilisateur.
Le contexte du CDMA synchrone (de la station de base vers les terminaux)
Idée de Jovic :
•Attribuer à chaque utilisateur une séquence chaotique multiniveaux
•Utiliser une séquence binaire de Gold commune à tous les utilisateurs pour
réaliser l’alignement de code et la poursuite.
143
Etat de l’art
Contexte : DCS-CDMA
Conclusion

Schéma proposé par Jovic (2007) pour une liaison DCS-CDMA synchrone
Signal d’information binaire
de l’utilisateur 1
Générateur
chaotique 1
Signal d’information binaire
de l’utilisateur N
Générateur
chaotique N
Générateur d’une
séquence pilote
binaire de Gold
Vers filtrage et
modulation
144
Etat de l’art
Contexte : DCS-CDMA
Conclusion

Mesure de l’intercorrélation entre les séquences chaotiques et les séquences de
gold
145
Etat de l’art
Contexte : DCS-CDMA
Conclusion

Mesure de l’intercorrélation entre les séquences chaotiques et les séquences de
gold
146
Etat de l’art
Contexte : DCS-CDMA
Conclusion

Résultats
Séquence Log.8 Log.16 Log.32 Frey .8 Frey.16 Frey.32
Nb cellules 69 221 849 16 32 64
Nb multiplieurs câblés 0 2 8 0 0 0
Probabilité de synchronisation en
fonction du seuil de détection pour 1
utilisateur avec un SNR de -15 dB:
Les performances différent de 5%
147
Etat de l’art
Contexte : DCS-CDMA
Conclusion

Conclusion:
A titre de comparaison sur un composant actuel:
Capacité d’un FPGA Stratix de chez ALTERA
•≈1500 codeurs de Frey sur 64 bits
•≈15 codeurs basés sur la fonction logistique 32 bits
148
Etat de l’art
Contexte : DCS-CDMA
Conclusion

• Dans le cadre où la porteuse est chaotique analogique:
Proposition d’un schéma de synchronisation itératif par estimation des
conditions initiales avec possibilité de discriminer plusieurs utilisateurs.
Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale et étalée par un code binaire chaotique:
Proposition et réalisation d’un schéma de synchronisation avec estimation
en temps réel de l’état du codeur
Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale, mais étalée par un code binaire chaotique dans
contexte multi-utilisateurs existant:
Etude sur les ressources électroniques consommées en fonction de
l’efficacité en terme de synchronisation
149
CONCLUSION

• Dans le cadre où la porteuse est chaotique analogique:
Comparer les approches estimateur/observateur en présence de bruit et dans le cas multi-
utilisateurs.
Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale et étalée par un code binaire chaotique:
Estimer les états de chacun des générateurs de séquence d’étalement en temps réel par une
approche génétique dans le cas multi-utilisateurs.
Dans le cadre où la porteuse est sinusoïdale, mais étalée par un code binaire chaotique dans
contexte multi-utilisateurs existant:
Implanter une plate-forme de test de DCS-CDMA avec séquence pilote
150
CONCLUSION

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