Systèmes Multivariables Coordination de systèmes et de dispositifs dynamiques distribués           Dr. Denis Gillet (IEL) ...
Support:Polycopié Systèmes multivariables (2011) de D. Gillet            qui est disponible en ligne       http://graaasp....
Syllabus•   Représentation détat (21 septembre): Introduction. Exemples qualitatifs. Représentation    détat analogique.• ...
Chap. 1: Introduction sur des exemples       Entraînement électrique            Rétroaction classique            Commande ...
Chap. 1: Introduction sur des exemples       Entraînement électrique             Commande d’état                    5
Chap. 1: Introduction sur des exemples            Pendule inversé                Applications           Interactions dynam...
Chap. 1: Introduction sur des exemples            Pendule inversé             Commande d’état                    7
Chap. 1: Introduction sur des exemples               Robot 2D                  8
Chap. 1: Linéarité            Additivité        f (x + y) = f (x) + f (y)        + Homogénéité           f (αx) = αf (x)  ...
Chap. 1: Linéaritéu1 → y1 = au1     ˙u2 → y2 = au2     ˙u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2 ) = α(au1 ) + β(au2 ) = αy1 + β y2...
Chap. 1: Signaux discrets      w(tk )                           t1                  t5                                t2  ...
Chap. 1: Etat d’un système                                     x1 , x2 , . . . , xn              u1 , u2 , . . . , ur     ...
Chapitre 2Représentation d’état          13
Entraînement électrique                   Electrical Drive           i                                  θ               J ...
Entraînement électrique                          Electrical Drive                  i                                      ...
Systèmes analogiques non linéaires             Nonlinear continuous time systems                                          ...
Systèmes analogiques non linéaires           Nonlinear continuous time systems x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (...
2.1.3: Sélection des variables d’état  Selection of the state variables   a¨ (t) + sin z(t)    ω           ˙              ...
Systèmes analogiques linéairesLinear continuous time systemsx(t) = f [x(t), u(t), t]˙                             Non liné...
Entraînement électrique                                 Electrical Drive                         i                        ...
2.3: Méthode de Runge-Kutta                        1x (kh + h) ≈ x (kh) +     [a(kh) + 2b (kh) + 2c (kh) + d (kh)]        ...
Systèmes discrets non linéaires                Nonlinear discrete time systems x1 (k + 1) = f1 [x1 (k), . . . , xn (k), u1...
Entraînement électrique                      Electrical Drive              i                                         θ    ...
2.5: FT → Modèle d’état                              Y (z)   b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n                     ...
FT → Modèle d’état                              Y (z)   b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n                      H (z...
FT → Modèle d’état                              Y (z)   b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n                      H (z...
FT → Modèle d’état          Q (z) = −a1 z −1 Q (z) − a2 z −2 Q (z) − . . . − an z −n Q (z) + U (z)˜Y (z) = (b1 − a1 b0 ) z...
FT → Modèle d’état                                                                                             −a1    ...
Entraînement électrique                         Electrical Drive                 i                                        ...
Modèle d’état/State-space model                         Analogique/Continuous                       Discret/Discrete      ...
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  1. 1. Systèmes Multivariables Coordination de systèmes et de dispositifs dynamiques distribués Dr. Denis Gillet (IEL) http://graaasp.epfl.ch/#item=space_851
  2. 2. Support:Polycopié Systèmes multivariables (2011) de D. Gillet qui est disponible en ligne http://graaasp.epfl.ch/attachment/385 2
  3. 3. Syllabus• Représentation détat (21 septembre): Introduction. Exemples qualitatifs. Représentation détat analogique.• Représentation détat (28 septembre): Simulation. Représentation détat discrète.• Etude de cas (5 octobre): Introduction ex catherdra à létude de cas et exercices.• Linéarisation (12 octobre): Trajectoires et points de fonctionnement. Commande a priori. Linéarisation locale. Linéarisation globale.• Discrétisation (19 octobre): Discrétisation de modèles linéaires (prise en compte de convertisseurs AD & DA). Méthodes de calcul de lexponentielle de matrice.• Analyse dynamique des systèmes MIMO discrets et Principe de la commande détat (26 octobre): Solution de léquation détat discrète. Matrice de transfert. Stabilité, Formes canoniques. Synthèse constructive du régulateur.• Commande détat SISO (2 novembre): Formule dAckermann pour le régulateur. Commande à réponse pile.• Observation détat (9 novembre): Méthode constructive. Formule dAckermann pour lobservateur. Observabilité.• Etude de cas (16 novembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392.• Commande détat optimale (23 novembre): Introduction à la commande détat MIMO. Solution du problème optimal par Lagrange.• Commande détat optimale (30 novembre): Commande optimale linéaire quadratique (LQR) stationnaire.• Etude de cas (7 décembre): Etude de cas au laboratoire - ME A0 392 (assistant: Alain Bock). 0.5 pts de bonus (sur la base dun rapport à rendre pour le 7 janvier par email à Alain Bock)!• Estimation détat optimale (14 décembre).• Fonctions de navigation et révision (21 décembre). 3
  4. 4. Chap. 1: Introduction sur des exemples Entraînement électrique Rétroaction classique Commande en cascade 4
  5. 5. Chap. 1: Introduction sur des exemples Entraînement électrique Commande d’état 5
  6. 6. Chap. 1: Introduction sur des exemples Pendule inversé Applications Interactions dynamiques 6
  7. 7. Chap. 1: Introduction sur des exemples Pendule inversé Commande d’état 7
  8. 8. Chap. 1: Introduction sur des exemples Robot 2D 8
  9. 9. Chap. 1: Linéarité Additivité f (x + y) = f (x) + f (y) + Homogénéité f (αx) = αf (x) Principe de superposition f (αx + βy) = αf (x) + βf (y) Comportement proportionnel˙y(t) ˙ y(t) u(t) u(t) y(t) = f [u(t), t] = au(t) ˙ y(t) = f [u(t), t] = au(t) + b ˙ 9
  10. 10. Chap. 1: Linéaritéu1 → y1 = au1 ˙u2 → y2 = au2 ˙u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2 ) = α(au1 ) + β(au2 ) = αy1 + β y2 ˙ ˙ ˙Le principe de superposition s’appliqueu1 → y1 = au1 + b ˙u2 → y2 = au2 + b ˙u = αu1 + βu2 → y = a(αu1 + βu2 ) + b = α(au1 ) + β(au2 ) + b = αy1 + β y2 ˙ ˙ ˙Le principe de superposition ne s’applique pas 10
  11. 11. Chap. 1: Signaux discrets w(tk ) t1 t5 t2 t3 t4 t t−3 t−2 t−1 t0h est la période d’échantillonnage tk = kh w(tk ) = w(kh) → w(k) Les techniques avancées de commande n’ont de sens qu’implantées sur ordinateurs, donc numériques 11
  12. 12. Chap. 1: Etat d’un système x1 , x2 , . . . , xn u1 , u2 , . . . , ur y1 , y2 , . . . , yp État• Actions • Réactions• Causes Entrées ce qui est susceptible Sorties • Effets d’évoluer• Données • Résultats• Moyens disponibles Conditions initiales • Comportements qui pour influencer le doivent être système observés ou modifiés• Excitation • Réponse du système• Grandeurs pouvant • Observations Perturbations être manipulées • Mesures • Influence de l’environnement sur le système • Grandeurs ne pouvant pas être manipulées Le modèle est une représentation mathématique qui décrit les interactions entre les entrées et l’état, et entre l’état et les sorties 12
  13. 13. Chapitre 2Représentation d’état 13
  14. 14. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fPartie électrique Partie mécaniqueu(t) = Ri(t) + ui (t) J ω(t) = M (t) − f ω(t) ˙ui (t) = kω(t) ˙ θ(t) = ω(t) M (t) = ki(t) 14
  15. 15. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle physique Choix des variables d’état 2 x1 (t) = θ(t)ω(t) = − J˙ 1 k + f ω(t) + k JR u(t) R x2 (t) = ω(t) ˙ω(t) = θ(t) y(t) = θ(t)Modèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortiex1 (t) = x2 (t)˙ y(t) = x1 (t) 2 x2 (t) = − J k + f x2 (t) +˙ 1 R k JR u(t) 15
  16. 16. Systèmes analogiques non linéaires Nonlinear continuous time systems   x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ x1 (t) ˙ x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙  x2 (t) ˙    . . x (t) =  ˙ .  .  . .  xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ xn (t) ˙   y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] y1 (t) y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t]  y2 (t)    . . y (t) =  .  .  . .  yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] yp (t)       x1 (t) u1 (t) f1 [x (t) , u (t) , t]  x2 (t)   u2 (t)   f2 [x (t) , u (t) , t]       x (t) =  .  u (t) =  .  f [x (t) , u (t) , t] =  .   . .   . .   . .  xn (t) ur (t) fn [x (t) , u (t) , t] 16
  17. 17. Systèmes analogiques non linéaires Nonlinear continuous time systems x1 (t) = f1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ x2 (t) = f2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ . . . xn (t) = fn [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] ˙ y1 (t) = g1 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] y2 (t) = g2 [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] . . . yp (t) = gp [x1 (t) , . . . , xn (t) , u1 (t) , . . . ur (t) , t] x(t) = f [x(t), u(t), t] ˙ y(t) = g [x(t), u(t), t] 17
  18. 18. 2.1.3: Sélection des variables d’état Selection of the state variables a¨ (t) + sin z(t) ω ˙ = u1 (t) 2 v(t) + cos z(t) ˙ ˙ = u2 (t) ˙ z(t) = αtNe pas prendre en considération les dérivées des entrées 18
  19. 19. Systèmes analogiques linéairesLinear continuous time systemsx(t) = f [x(t), u(t), t]˙ Non linéairey(t) = g [x(t), u(t), t]x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t)˙ Linéairey(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t)x(t) = Ax(t) + Bu(t)˙ Linéaire ety(t) = Cx(t) + Du(t) stationnaire 19
  20. 20. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortiex1 (t) = x2 (t)˙ y(t) = x1 (t) 1 k2 kx2 (t) = −˙ + f x2 (t) + u(t) J R JR a bModèle d’état: équation d’état Modèle d’état: équation de sortie x1 (t) ˙ 0 1 x1 (t) 0 x1 (t) = + u(t) y(t) = 1 0 x2 (t) ˙ 0 a x2 (t) b x2 (t) 20
  21. 21. 2.3: Méthode de Runge-Kutta 1x (kh + h) ≈ x (kh) + [a(kh) + 2b (kh) + 2c (kh) + d (kh)] 6 y (kh) = g [x (kh) , u (kh) , kh] a (kh) = hf [x (kh) , u (kh) , kh] a(kh) b (kh) = hf x (kh) + 2 , u kh + h , kh + h 2 2 b(kh) c (kh) = hf x (kh) + 2 , u kh + 2 , kh + h h 2 d (kh) = hf [x (kh) + c (kh) , u (kh + h) , kh + h] 21
  22. 22. Systèmes discrets non linéaires Nonlinear discrete time systems x1 (k + 1) = f1 [x1 (k), . . . , xn (k), u1 (k), . . . , ur (k), k]   x (k + 1) = f [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k] x1 (k + 1) 2 2 1 n 1 r  x2 (k + 1)  .   . x(k + 1) =  .  .  . .  x (k + 1) = f [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k] n n 1 n 1 r xn (k + 1)   y1 (k) = g1 [x1 (k), . . . , xn (k), u1 (k), . . . , ur (k), k] y1 (k) y (k) = g [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k]  y (k)  2 2 1 n 1 r  2  . y(k) =  .  . .  . .  y (k) = g [x (k), . . . , x (k), u (k), . . . , u (k), k] yp (k) p p 1 n 1 r       x1 (k) u1 (k) f1 [x(k), u(k), k]  x (k)   u (k)   f [x(k), u(k), k]   2   2   2 x(k) =  .  u(k) =  .  f [x(k), u(k), k] =  .   . .   . .   . .  xn (k) ur (k) fn [x(k), u(k), k] 22
  23. 23. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle analogique θ(s) A 1 bG(s) = = τ =− A=− U (s) s (1 + sτ ) a aModèle discret vu au travers de convertisseurs AD DA α = −e−h/τ G(s)H(z) = 1 − z −1 Z L−1 b1 = A [h − τ (1 + α)] s b2 = A [τ (1 + α) + hα] θ(z) b1 z −1 + b2 z −2 b1 z −1 + b2 z −2H(z) = = = U (z) (1 − z −1 ) (1 + αz −1 ) 1 + (α − 1) z −1 − αz −2 23
  24. 24. 2.5: FT → Modèle d’état Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −nY (z) = b0 U (z) + U (z) 1 + a1 z −1 + a z −2 + . . . + a z −n 2 n ˜ Y (z) ˜ Y (z) (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) U (z) = ≡ Q (z)(b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n 24
  25. 25. FT → Modèle d’état Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −nY (z) = b0 U (z) + U (z) 1 + a1 z −1 + a z −2 + . . . + a z −n 2 n ˜ Y (z) ˜ Y (z) (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) U (z) = ≡ Q (z)(b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n U (z) = Q (z) + a1 z −1 Q (z) + a2 z −2 Q (z) + . . . + an z −n Q (z) 25
  26. 26. FT → Modèle d’état Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −nY (z) = b0 U (z) + U (z) 1 + a1 z −1 + a z −2 + . . . + a z −n 2 n ˜ Y (z) ˜ Y (z) (b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) U (z) = ≡ Q (z)(b1 − a1 b0 ) z −1 + (b2 − a2 b0 ) z −2 + . . . + (bn − an b0 ) z −n 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n ˜ Y (z) = (b1 − a1 b0 ) z −1 Q (z) + (b2 − a2 b0 ) z −2 Q (z) + . . . + (bn − an b0 ) z −n Q (z) 26
  27. 27. FT → Modèle d’état Q (z) = −a1 z −1 Q (z) − a2 z −2 Q (z) − . . . − an z −n Q (z) + U (z)˜Y (z) = (b1 − a1 b0 ) z −1 Q (z) + (b2 − a2 b0 ) z −2 Q (z) + . . . + (bn − an b0 ) z −n Q (z) W1 (z) = z −1 Q (z) W (z) = z −2 Q (z) 2 . . . W (z) = z −n Q (z) n zW1 (z) = Q (z) = −a1 W1 (z) − a2 W2 (z) − . . . − an Wn (z) + U (z) zW (z) = z −1 Q (z) = W1 (z) 2 . . . zW (z) = z −n+1 Q (z) = Wn−1 (z) n ˜ Y (z) = (b1 − a1 b0 )W1 (z) + (b2 − a2 b0 )W2 (z) + . . . + (bn − an b0 )Wn (z) ˜ Y (z) = b0 U (z) + Y (z) 27
  28. 28. FT → Modèle d’état     −a1 −a2 . . . −an−1 −an 1  1 0 ... 0 0       0  . . . . w (k + 1) =  0 1 . .  w (k) +   . .   u (k)   .    .  . ..  . . 0 0  0  0 ... 0 1 0 0 Φw gw y (k) = b1 − a1 b0 b2 − a2 b0 . . . bn − an b0 w (k) + b0 u (k) cT w Y (z) b0 + b1 z −1 + b2 z −2 + . . . + bn z −n H (z) = = U (z) 1 + a1 z −1 + a2 z −2 + . . . + an z −n 28
  29. 29. Entraînement électrique Electrical Drive i θ J R u ui fModèle discret vu au travers de convertisseurs AD DA θ(z) b1 z −1 + b2 z −2 b1 z −1 + b2 z −2H(z) = = = U (z) (1 − z −1 ) (1 + αz −1 ) 1 + (α − 1) z −1 − αz −2α = −e−h/τ b1 = A [h − τ (1 + α)] b2 = A [τ (1 + α) + hα]Modèle d’état discret artificiel correspondant w1 (k + 1) − (α − 1) α w1 (k) 1 = + u(k) w2 (k + 1) 1 0 w2 (k) 0 w1 (k) y(k) = θ(k) = b1 b2 + [0] u(k) w2 (k) 29
  30. 30. Modèle d’état/State-space model Analogique/Continuous Discret/Discrete Non linéaire Nonlinear x (t) = f [x (t) , u (t) , t] ˙ x (k + 1) = f [x (k) , u (k) , k] y (t) = g [x (t) , u (t) , t] y (k) = g [x (k) , u (k) , k] Linéaire x (t) = A (t) x (t) + B (t) u (t) ˙ x (k + 1) = Φ(k)x (k) + Γ(k)u (k) Linear y (t) = C (t) x (t) + D (t) u (t) y (k) = C(k)x (k) + D(k)u (k)time-invariant stationnaire Linéaire et Linear and x (t) ˙ = Ax (t) + Bu (t) x (k + 1) = Φx (k) + Γu (k) y (t) = Cx (t) + Du (t) y (k) = Cx (k) + Du (k) 30

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