Le document traite des systèmes discrets linéaires et stationnaires, décrivant des équations de dynamique, des méthodes de commande d'état et des modèles d'état. Il aborde les concepts de réponse libre, réponse forcée, stabilité et identification des valeurs propres. La formule d'Ackermann est également présentée pour la synthèse de commandes en boucle fermée.

1. Systèmes discrets linéaires et stationnaires
Solution
k 1
x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k) = ⇥k k0 x (k0 ) + ⇥k l 1
u (l)
⌅ ⇤⇥ ⇧
y (k) = Cx (k) + Du (k) l=k0
R´ponse libre
e ⌅ ⇤⇥ ⇧
R´ponse forc´e
e e
Matrice de transfert et stabilité
⇥
1
Y (z) = C (zI ⇥) + D U (z) = H (z) U (z)
⇤ ⌅
H11 (z) . . . H1r (z) ⇥
⌥ . . Hij (z)
H (z) = ⇧ .
. .
. ⌃ = [Hij (z)] =
det (zI )
Hp1 (z) · · · Hpr (z)
Pˆles zi des Hij solution de: det (zI
o )=0
Valeurs propres vi de solution de: det ( I )=0
zi = vi
Asymptotiquement stable si: |vi | < 1 pour i = 1, . . . , n
Denis Gillet @ EPFL 1

2. Commande d’état
Système x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k + 1)
˜ = ⇥˜ (k) + u (k)
x ˜
à régler y (k) = Cx (k) + Du (k) y (k)
˜ = C x (k) + D˜ (k)
˜ u
Régulateur u (k) = Kx (k) u (k) =
˜ K x (k)
˜
¯
u ¯
y
y (k) u (k)
˜ y (k)
˜
u (k) Système à Système à
+ -
régler avec régler avec
AD & DA u (k) AD & DA y (k)
x (k) x (k)
-
-K ¯
x
x (k)
˜
-K
2

3. Commande d’état
Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
Régulateur u (k) = Kx (k)
BF
⌅⇤ ⇥
Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k)
fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k)
⇤ ⇥ ⌅
CBF
1
X (z) = (zI BF ) zx (0) = W (z) x (0)
Xi (z) = Wi1 (z) x1 (0) + . . . + Wij (z) xj (0) + . . . + Win (z) xn (0)
Z −1 ⎡Wij ( z ) ⎤ = ∑ ci zik + 2∑ ci* ri k cos ( kω i + ϕ i ) + ∑ ⎡ c1i zik + c2i kzik −1 + …⎤
⎣ ⎦ ⎣
' '
⎦
i i i
La commande d’état ramène l’état à zéro x (k) 0 pour k ⇥
En variables écart, la commande d’état x (k)
˜ 0 ou x (k) x pour k
¯ ⇥
ramène l’état à l’état nominal 3

4. Principe de synthèse de la commande d’état
Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
Régulateur u (k) = Kx (k)
BF
⌅⇤ ⇥
Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k)
fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k)
⇤ ⇥ ⌅
CBF
det(⇥I ⇥BF ) = det(⇥I ⇥ + K) =
c (⇥) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) =
= ⇥n + 1⇥
n 1
+ ... + n 1⇥ + n = 0
Identification terme à terme dans le cas SIMO (une entrée)
4

5. Double intégrateur (5.1.2)
BF
⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤
Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2
2
en BF = =
y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h
⇤ ⇥ ⌅
CBF
det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) =0
Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j
⌅⌃ ⌥ ⌃ ⌥ ⌃ ⇤ ⌥ ⇧
0 1 h h 2 2
⇥
det + K1 K2 =( 0.8 0.25j) ( 0.8 + 0.25j)
0 0 1 h
⇤ ⌅⇥
h2 h2
1+ 2 K1 h+ 2 K2
det = 2
1.6 + 0.7
hK1 1 + hK2
2
⇥ 2
⇥
h h
2
+ hK2 + K1 2 + K1 hK2 + 1 = 2
1.6 + 0.7
2 2
⇧ ⌅⇤ ⌃ ⇧ ⌅⇤ ⌃
1.6 0.7
K1 = 0.1 h2 = 10 et K2 = 0.35/h = 3.5 pour h = 0.1s 5

6. FT → Modèle d’état (2.5)
Y (z) b0 + b1 z 1
+ b2 z 2
+ . . . + bn z n
H (z) = =
U (z) 1 + a1 z 1+a z
2
2 + ... + a z
n
n
⇥ ⇥
a1 a2 ... an 1 an 1
⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃
⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃
⇧ .
. .
. ⌃
w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧
⇧ .
.
⌃
⌃ u (k)
⇧ ⌃ ⇧ . ⌃
⇧ .
. .. ⌃ ⇤
⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅
0 ... 0 1 0 0
⌥ ⌦ ⌥ ⌦
w
gw
⇥
y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 ... bn an b0 w (k) + b0 u (k)
⇧ ⌅⇤ ⌃
cT
w
det ( I w) = n
+ a1 n 1
+ a2 n 2
+ . . . + an + an = 0
6

7. Modèle d’état physique → artificiel (A.1.2)
x (k + 1) = x (k) + gu (k) w = Px
Transformation
y (k) = c x (k) + du (k)
T
x = P 1
w
P 1
w (k + 1) = P 1
w (k) + gu (k)
y (k) = cT P 1
w (k) + du (k)
w (k + 1) = P P 1
w (k) + P gu (k)
y (k) = cT P 1
w (k) + du (k)
Quelle matrice de transformation P choisir ?
w (k + 1) = P ⇤⇥ ⇧ w (k) + P g u (k)
⌅ P 1
⌅⇤⇥⇧
? ?
y (k) = cT ⇤⇥ ⇧ w (k) + du (k)
⌅ P 1
?
7

8. Modèle d’état physique → artificiel
⇥ ⇥
eT
1 eT
n
n 1
⇧ ⌃ ⇧ ⌃
⇥ ⇧ eT
⌃
2 ⇧ eT
n
n 2
⌃
G= Ig g ... n 1
g G 1 ⇧ . ⌃
=⇧ P =⇧ . ⌃
. ⌃
⇤ . ⌅
⇧
⇤ .
.
⌃
⌅
eT
n eT I
n
Construction de Pg
⇥ ⇥
1 0 ... 0 eT Ig
1 eT
1 g ... eT
1
n 1
g
⇧
⇧ .. . ⌃ ⇧ T
. ⌃ ⇧ e Ig
⌃
⇧ 0 1 . . ⌃ ⇧ 2 eT
2 g ... eT
2
n 1
g ⌃
⌃
I=G 1
G ⇧ . .. .. ⌃=⇧ . . . ⌃
⇧ . . . .
⇤ . . . 0 ⌃ ⇧ .
⌅ ⇤ . . ⌃
⌅
0 ... 0 1 eT Ig
n eT g
n eT
n
n 1
g
⇥ ⇥
eT
n
n 1
g 1
⇧ T n 2 ⌃ ⇧ 0 ⌃
⇧ en g ⌃ ⇧ ⌃
⇧
Pg = ⇧ ⌃=⇧ . ⌃
.
. ⌃ ⇧ .
. ⌃
⇤ . ⌅ ⇤ ⌅
eT Ig
n 0
8

9. Modèle d’état physique → artificiel
⇥ ⇥ ⇥
eT n 1 1 0 ... 0 eT n 1
P 1
n n
⇧ ⌃ ⇧ .. . ⌃ ⇧ ⌃
eT ⇧ . . ⌃ ⇧
n 2
⇧ n ⌃ ⇧ 0 1 . ⌃ ⇧ eT
n
n 2
P 1
⌃
I = PP 1
=⇧ . ⌃P 1
⇧ . ⌃=⇧ . ⌃
⇧ .
.
⌃ ⇧ . .. .. ⌃ ⇤ .
.
⌃
⇤ ⌅ ⇤ . . . 0 ⌅ ⌅
eT I
n 0 ... 0 1 eT P
n
1
Construction de
⇥
⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an
eT n 1
eT n P 1 ⇧ ⌃
⇧
n
⌃ ⇧
n
⌃ ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃
⇧ eT n 2
⌃ ⇧ eT n 1 P 1 ⌃ ⇧ .
. .
.
⌃
P P 1
=⇧
n
. ⌃ P 1
=⇧
n
. ⌃=⇧ 0 1 . .
⌃
⇧ . ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ ⌃
⇤ . ⌅ ⇤ . ⌅ ⇧
⇧ .
. ..
⌃
⌃
⇤ . . 0 0 ⌅
eT I
n eT
n P 1
0 ... 0 1 0
⇥
eT
n
n
P 1
= a1 a2 ... an 1 an
9

10. Modèle d’état physique → artificiel
⇥ ⇥
eT
1 eT
n
n 1
⇧ ⌃ ⇧ T n ⌃
⇥ ⇧ eT
2 ⌃ ⇧ en 2
⌃
G= Ig g ... n 1
g G 1
=⇧ . ⌃ P =⇧ . ⌃
⇧
⇤ .
.
⌃
⌅
⇧
⇤ .
.
⌃
⌅
eT
n eT I
n
w = Px ⇥ ⇥
a1 a2 ... an 1 an 1
⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃
⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃
⇧ .
. .
. ⌃
w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧
⇧ .
.
⌃
⌃ u (k)
⇧ ⌃ ⇧ . ⌃
⇧ .
. .. ⌃ ⇤
⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅
0 ... 0 1 0 0
⌥ ⌦ ⌥ ⌦
w =P P 1 gw = P g
⇥
y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 . . . bn an b0 w (k) + b0 u (k)
⇧ ⌅⇤ ⌃
cT = cT P 1
w
det ( I w) = det ( I )= n
+ a1 n 1
+ a2 n 2
+ . . . + an + an = 0 10

11. Commande d’état
Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) SIMO
y (k) = Cx (k) + Du (k) =g
Commande u (k) = Kx (k)
x (k + 1) = (⇥ K) x (k) = ⇥BF x (k)
Stabilité en BO det( I )= n
+ a1 n 1
+ . . . + an 1 + an = 0
Stabilité en BF det(⇥I BF ) = ⇥n + 1⇥
n 1
+ ... + n 1⇥ + n =
v.p. imposées
det(⇥I ⇥ + K) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = c (⇥) = 0
Méthode w = Px w (k + 1) = (⇥w wK ) w (k) = ⇥wBF w (k)
constructive ⇥
c (⇥) = c (⇥) = 0 =
det(⇥I ⇥wBF ) = ⇥n + 1⇥
n 1
+ ... + n 1⇥ + n =
⇥
det(⇥I ⇥w + wK
⇥
) = ⇥ + (a1 +
n
K1 ) ⇥n 1
⇥
+ . . . + an 1 + ⇥
Kn 1 ⇥ + (an + Kn )
⇥
Ki = i ai u (k) = K w (k) = K P x (k)
⇤⇥ ⌅
K 11

12. Formule d’Ackermann
⇥
K=KP =⇥
( 1 a1 ) ( 2 a2 ) . . . ( n an ) P
⇥ ⇥
K= 1 2 ... n P+ a1 a2 . . . an P
↵ ⌦
eT nP 1
n
⇤ ⌅
eT
n
n 1
⇥⌥
⌥ eT
n
n 2
K= ... ⌥ . + eT n
1 2 n
⇧ .
. ⌃ n
eT I
n
K = eT
n
n
+ T
1 en
n 1
+ T
2 en
n 2
+ ... + T
n en I
⇥ ⇥
K= eT
n
n
+ 1
n 1
+ 2
n 2
+ ... + nI
↵ ⌦
c( )
⇥
K= 0 0 ... 0 1 G 1
c ( )
⇥ ⇥ 1
K= 0 0 ... 0 1 Ig g ... n 1
g c ( )
12

13. Résumé Commande d’état SIMO
Système à régler x (k + 1) = x (k) + gu (k)
y (k) = Cx (k) + Du (k)
Commande u (k) = Kx (k)
Système en boucle x (k + 1) = ( gK) x (k) = BF x (k)
fermée (BF)
c (⇥) = det (⇥I bf ) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n )
= ⇥n + 1⇥
n 1
+ . . . ⇥an 1 + n = 0
Formule d’Ackermann
⇥
K = 0 ... 0 1 G 1
c ( )
⇥ ⇥ 1
= 0 ... 0 1 Ig g ... n 1
g c ( )
13

14. Double intégrateur (5.3.1)
BF
⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤
Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2
2
en BF = =
y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h
⇤ ⇥ ⌅
CBF
Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j
det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) = 2
1.6 + 0.7
⇥ ⇥ 1
K= 0 1 Ig g ( ) c
⌅ ⇤ ⇤ ⇧ 1
⇥ h2 2 3h 2
2 ⇥
K= 0 1 2
1.6 + 0.7I
h h
⌅ ⇤ ⇧ ⌃⌅ ⇧2 ⌅ ⇧ ⌅ ⇧⌥
⇥ 1 h 3h2 ⇤2 1 h 1 h 1 0
K= 0 1 h3 1.6 + 0.7
h h2 2 0 1 0 1 0 1
h ⇤ i⌅ ⇧
h h 2
2
0.1 0.4h ⇥ ⇥
K= = h2
0.1 0.35
= K 1 K2
h3 0 0.1 h
14

15. Double intégrateur (5.3.1)
% Modèle discret
h = 0.1;
phi = [ 1 h ;
0 1 ];
g = [ h^2/2 ;
h ];
% Matrice de gouvernabilité
G = [ g phi*g];
% Coefficient du polynôme caractéristique en BF
alpha1 = -1.6;
Code Matlab
alpha2 = 0.7;
% Gain de contre-réaction
K = [0 1] * inv(G) * (phi^2 + alpha1 * phi + alpha2 * eye(2));
% Calcul direct avec Ackermann
L = [0.8+0.25*1i 0.8-0.25*1i];
Kbis = acker(phi,g,L);
15

16. Double intégrateur (5.3.1)
Simulation avec
Simulink
16

17. Double intégrateur (5.3.1)
17