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Systèmes discrets linéaires et stationnaires
                                          Solution
                                                                      k 1
  x (k + 1)    =      ⇥x (k) + u (k)        x (k) = ⇥k k0 x (k0 ) +          ⇥k   l 1
                                                                                        u (l)
                                                    ⌅   ⇤⇥     ⇧
      y (k)    =      Cx (k) + Du (k)                                 l=k0
                                                     R´ponse libre
                                                      e               ⌅           ⇤⇥       ⇧
                                                                          R´ponse forc´e
                                                                           e          e
                           Matrice de transfert et stabilité
                                               ⇥
                                       1
                   Y (z) = C (zI ⇥)       + D U (z) = H (z) U (z)
                   ⇤                             ⌅
                  H11 (z) . . .         H1r (z)                             ⇥
                ⌥   .                      .                      Hij (z)
        H (z) = ⇧   .
                    .                      .
                                           .    ⌃ = [Hij (z)] =
                                                                det (zI   )
                  Hp1 (z) · · ·         Hpr (z)

                      Pˆles zi des Hij solution de: det (zI
                       o                                             )=0

               Valeurs propres vi de       solution de: det ( I           )=0
                                          zi = vi
              Asymptotiquement stable si: |vi | < 1 pour i = 1, . . . , n
Denis Gillet @ EPFL                          1
Commande d’état
Système x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k)                 x (k + 1)
                                                   ˜              =   ⇥˜ (k) + u (k)
                                                                        x        ˜
à régler    y (k) = Cx (k) + Du (k)                    y (k)
                                                        ˜         =   C x (k) + D˜ (k)
                                                                        ˜        u

Régulateur      u (k) =      Kx (k)                        u (k) =
                                                           ˜           K x (k)
                                                                         ˜


                                                   ¯
                                                   u                              ¯
                                                                                  y

                             y (k)    u (k)
                                      ˜                                                   y (k)
                                                                                          ˜
  u (k)      Système à                                         Système à
                                                       +                              -
             régler avec                                       régler avec
              AD & DA                              u (k)        AD & DA       y (k)

                     x (k)                                              x (k)
                                                                 -
      -K                                                   ¯
                                                           x


                                                                      x (k)
                                                                      ˜
                                              -K


                                                                                             2
Commande d’état
Système à régler            x (k + 1)      =     ⇥x (k) + u (k)
                                y (k)      =     Cx (k) + Du (k)

Régulateur                  u (k) =      Kx (k)
                                                      BF
                                                     ⌅⇤     ⇥
Système en boucle           x (k + 1)     =     (⇥         K) x (k)
fermée (BF)                     y (k)     =     (C DK) x (k)
                                                ⇤ ⇥  ⌅
                                                     CBF
                                                1
                 X (z) = (zI             BF )       zx (0) = W (z) x (0)
    Xi (z) = Wi1 (z) x1 (0) + . . . + Wij (z) xj (0) + . . . + Win (z) xn (0)

    Z −1 ⎡Wij ( z ) ⎤ = ∑ ci zik + 2∑ ci* ri k cos ( kω i + ϕ i ) + ∑ ⎡ c1i zik + c2i kzik −1 + …⎤
         ⎣          ⎦                                                 ⎣
                                                                         '         '
                                                                                                 ⎦
                        i            i                              i


La commande d’état ramène l’état à zéro                 x (k)       0 pour k          ⇥
En variables écart, la commande d’état                  x (k)
                                                        ˜           0 ou x (k)         x pour k
                                                                                       ¯             ⇥
ramène l’état à l’état nominal                                                                       3
Principe de synthèse de la commande d’état
Système à régler           x (k + 1)      =        ⇥x (k) + u (k)
                               y (k)      =        Cx (k) + Du (k)

Régulateur                 u (k) =     Kx (k)
                                                         BF
                                                     ⌅⇤        ⇥
Système en boucle      x (k + 1)          =    (⇥             K) x (k)
fermée (BF)                   y (k)       =    (C DK) x (k)
                                               ⇤ ⇥  ⌅
                                                     CBF


     det(⇥I        ⇥BF )    =                 det(⇥I           ⇥ + K)                    =
             c   (⇥)        =        (⇥       ⇥1 ) (⇥         ⇥2 ) . . . (⇥   ⇥n )       =
                            =    ⇥n +         1⇥
                                                   n 1
                                                         + ... +       n 1⇥   +      n   =   0

        Identification terme à terme dans le cas SIMO (une entrée)


                                                                                                 4
Double intégrateur (5.1.2)
                                                         BF
                                                         ⌅⇤    ⇥                                       ⇥             ⇥               ⇤
 Système           x (k + 1)         =       (⇥               K) x (k)                         1 h                       h   2
                                                                                                                                 2
 en BF                                                                                 =                         =
                       y (k)         =       (C DK) x (k)                                      0 1                           h
                                             ⇤ ⇥  ⌅
                                                     CBF

                           det ( I               ⇥ + K) = (                     1) (           2)    =0

 Choix des valeurs propres                                                      1,2   = 0.8 ± 0.25j
      ⌅⌃           ⌥   ⌃             ⌥       ⌃    ⇤ ⌥                           ⇧
               0           1 h                   h 2 2
                                                                               ⇥
det                                      +                         K1    K2         =(         0.8    0.25j) (       0.8 + 0.25j)
           0               0    1                    h
                       ⇤                                                       ⌅⇥
                                         h2                           h2
                                   1+    2 K1                 h+      2 K2
                det                                                                   =    2
                                                                                                1.6 + 0.7
                                     hK1                          1 + hK2
                               2
                                                 ⇥                2
                                                                                 ⇥
                      h                                           h
           2
               + hK2 + K1                    2           +          K1    hK2 + 1 =              2
                                                                                                       1.6 + 0.7
                       2                                          2
                ⇧     ⌅⇤                         ⌃            ⇧          ⌅⇤      ⌃
                               1.6                                       0.7

               K1 = 0.1 h2 = 10 et K2 = 0.35/h = 3.5 pour h = 0.1s                                                                       5
FT → Modèle d’état (2.5)

                Y (z)   b0 + b1 z                 1
                                                   + b2 z         2
                                                                    + . . . + bn z       n
        H (z) =       =
                U (z)   1 + a1 z                  1+a z
                                                      2
                                                                  2 + ... + a z
                                                                               n
                                                                                         n


                                                                        ⇥                        ⇥
                     a1      a2       ...        an     1         an                         1
            ⇧        1       0        ...         0               0     ⌃         ⇧            ⌃
            ⇧                                                           ⌃         ⇧          0 ⌃
            ⇧                                     .
                                                  .               .
                                                                  .     ⌃
w (k + 1) = ⇧        0       1                    .               .     ⌃ w (k) + ⇧
                                                                                  ⇧          .
                                                                                             .
                                                                                               ⌃
                                                                                               ⌃ u (k)
            ⇧                                                           ⌃         ⇧          . ⌃
            ⇧        .
                     .                ..                                ⌃         ⇤
            ⇤        .                   .        0               0     ⌅                    0 ⌅
                     0       ...        0         1               0                          0
                                             ⌥                           ⌦                   ⌥ ⌦
                                             w
                                                                                         gw

                                                                              ⇥
 y (k) =       b1    a1 b0       b2   a2 b0      ...        bn        an b0       w (k) + b0 u (k)
           ⇧                           ⌅⇤                                     ⌃
                                           cT
                                            w




   det ( I          w)   =   n
                                 + a1      n 1
                                                 + a2       n 2
                                                                  + . . . + an + an = 0

                                                                                                         6
Modèle d’état physique → artificiel (A.1.2)

x (k + 1) =    x (k) + gu (k)                                         w   = Px
                                                Transformation
   y (k) = c x (k) + du (k)
              T
                                                                      x = P      1
                                                                                     w

              P   1
                      w (k + 1) =       P       1
                                                    w (k) + gu (k)
                          y (k) = cT P           1
                                                     w (k) + du (k)

              w (k + 1) = P P               1
                                                w (k) + P gu (k)
              y (k)          =      cT P        1
                                                    w (k) + du (k)

               Quelle matrice de transformation P choisir ?


              w (k + 1) = P ⇤⇥ ⇧ w (k) + P g u (k)
                          ⌅  P 1
                                        ⌅⇤⇥⇧
                                    ?                      ?
                      y (k) = cT ⇤⇥ ⇧ w (k) + du (k)
                              ⌅  P 1
                                    ?
                                                                                         7
Modèle d’état physique → artificiel
                                                                       ⇥                                  ⇥
                                                                  eT
                                                                   1                       eT
                                                                                            n
                                                                                                 n 1

                                                               ⇧   ⌃                   ⇧                  ⌃
                                            ⇥                  ⇧  eT
                                                                   ⌃
                                                                   2                   ⇧   eT
                                                                                            n
                                                                                                 n 2
                                                                                                          ⌃
 G=      Ig       g   ...      n 1
                                        g             G   1    ⇧ . ⌃
                                                              =⇧                    P =⇧        .         ⌃
                                                                 . ⌃
                                                               ⇤ . ⌅
                                                                                       ⇧
                                                                                       ⇤        .
                                                                                                .
                                                                                                          ⌃
                                                                                                          ⌅
                                                                  eT
                                                                   n                           eT I
                                                                                                n
Construction de Pg
                                                      ⇥                                                   ⇥
                          1    0        ...       0           eT Ig
                                                               1       eT
                                                                        1       g   ...   eT
                                                                                           1
                                                                                                n 1
                                                                                                      g
                      ⇧
                      ⇧                 ..        . ⌃ ⇧ T
                                                  . ⌃ ⇧ e Ig
                                                                                                      ⌃
                      ⇧   0    1           .      . ⌃ ⇧ 2              eT
                                                                        2       g   ...   eT
                                                                                           2
                                                                                                n 1
                                                                                                    g ⌃
                                                                                                      ⌃
 I=G      1
              G       ⇧   .   ..        ..          ⌃=⇧ .                   .                   .     ⌃
                      ⇧   .                               .                 .                   .
                      ⇤   .      .         .      0 ⌃ ⇧ .
                                                    ⌅ ⇤                     .                   .     ⌃
                                                                                                      ⌅
                          0   ...           0     1     eT Ig
                                                         n             eT g
                                                                        n                 eT
                                                                                           n
                                                                                                n 1
                                                                                                    g

                                                      ⇥           ⇥
                                   eT
                                    n
                                            n 1
                                                  g           1
                           ⇧ T n 2                    ⌃ ⇧     0   ⌃
                           ⇧ en      g                ⌃ ⇧         ⌃
                           ⇧
                      Pg = ⇧                          ⌃=⇧     .   ⌃
                                 .
                                 .                    ⌃ ⇧     .
                                                              .   ⌃
                           ⇤     .                    ⌅ ⇤         ⌅
                               eT Ig
                                n                             0
                                                                                                              8
Modèle d’état physique → artificiel
                                          ⇥                                                      ⇥                                             ⇥
                         eT       n 1                                   1       0   ... 0                            eT    n 1
                                                                                                                                       P   1
                          n                                                                                           n
                ⇧                         ⌃                     ⇧                   ..   .       ⌃ ⇧                                           ⌃
                         eT                                     ⇧                      . .       ⌃ ⇧
                                  n 2
                ⇧         n               ⌃                     ⇧       0     1          .       ⌃ ⇧                 eT
                                                                                                                      n
                                                                                                                           n 2
                                                                                                                                       P   1
                                                                                                                                               ⌃
I = PP     1
               =⇧             .           ⌃P       1
                                                                ⇧       .                        ⌃=⇧                           .               ⌃
                ⇧             .
                              .
                                          ⌃                     ⇧       .    ..     ..           ⌃ ⇤                           .
                                                                                                                               .
                                                                                                                                               ⌃
                ⇤                         ⌅                     ⇤       .       .      . 0       ⌅                                             ⌅
                             eT I
                              n                                         0 ...       0        1                            eT P
                                                                                                                           n
                                                                                                                                       1



Construction de
                                                                                                                                                ⇥
                              ⇥                                             ⇥           a1        a2    ...               an       1       an
               eT   n 1
                                                    eT n P 1                  ⇧                                                                 ⌃
           ⇧
                n
                              ⌃                ⇧
                                                      n
                                                                            ⌃ ⇧         1        0      ...                0               0    ⌃
           ⇧   eT   n 2
                              ⌃                ⇧   eT n 1 P 1               ⌃ ⇧                                            .
                                                                                                                           .               .
                                                                                                                                           .
                                                                                                                                                ⌃
P P   1
          =⇧
                n
                    .         ⌃ P         1
                                              =⇧
                                                    n
                                                            .               ⌃=⇧         0        1                         .               .
                                                                                                                                                ⌃
           ⇧        .         ⌃                ⇧            .               ⌃ ⇧                                                                 ⌃
           ⇤        .         ⌅                ⇤            .               ⌅ ⇧
                                                                              ⇧         .
                                                                                        .                   ..
                                                                                                                                                ⌃
                                                                                                                                                ⌃
                                                                              ⇤         .                        .         0               0    ⌅
                eT I
                 n                                     eT
                                                        n   P       1
                                                                                        0        ...        0              1               0

                                                                                                             ⇥
                        eT
                         n
                              n
                                  P   1
                                          =            a1       a2          ...     an       1         an

                                                                                                                                                   9
Modèle d’état physique → artificiel
                                                                                      ⇥                                 ⇥
                                                                                eT
                                                                                 1                          eT
                                                                                                             n
                                                                                                                 n 1

                                                                       ⇧              ⌃              ⇧ T n              ⌃
                                                 ⇥                     ⇧        eT
                                                                                 2    ⌃              ⇧ en           2
                                                                                                                        ⌃
 G=       Ig            g    ...       n 1
                                             g                G   1
                                                                      =⇧         .    ⌃           P =⇧    .             ⌃
                                                                       ⇧
                                                                       ⇤         .
                                                                                 .
                                                                                      ⌃
                                                                                      ⌅
                                                                                                     ⇧
                                                                                                     ⇤    .
                                                                                                          .
                                                                                                                        ⌃
                                                                                                                        ⌅
                                                                                eT
                                                                                 n                           eT I
                                                                                                              n
 w = Px                                                                               ⇥                     ⇥
                               a1       a2       ...           an     1         an                      1
                ⇧              1        0        ...            0               0     ⌃         ⇧         ⌃
                ⇧                                                                     ⌃         ⇧       0 ⌃
                ⇧                                               .
                                                                .               .
                                                                                .     ⌃
    w (k + 1) = ⇧              0        1                       .               .     ⌃ w (k) + ⇧
                                                                                                ⇧       .
                                                                                                        .
                                                                                                          ⌃
                                                                                                          ⌃ u (k)
                ⇧                                                                     ⌃         ⇧       . ⌃
                ⇧              .
                               .                 ..                                   ⌃         ⇤
                ⇤              .                      .           0             0     ⌅                 0 ⌅
                               0       ...           0            1             0                       0
                                                          ⌥                            ⌦                ⌥ ⌦
                                                          w   =P P          1                          gw = P g

                                                                                            ⇥
      y (k) =           b1     a1 b0    b2           a2 b0 . . . bn                 an b0       w (k) + b0 u (k)
                    ⇧                                 ⌅⇤                                    ⌃
                                                      cT = cT P 1
                                                       w



det ( I        w)   = det ( I               )=        n
                                                          + a1        n 1
                                                                            + a2      n 2
                                                                                                + . . . + an + an = 0 10
Commande d’état
Système à régler                     x (k + 1)         =     ⇥x (k) + u (k)                               SIMO
                                         y (k)         =     Cx (k) + Du (k)                                =g
Commande                             u (k) =        Kx (k)

                                     x (k + 1) = (⇥                K) x (k) = ⇥BF x (k)

Stabilité en BO                      det( I            )=      n
                                                                   + a1    n 1
                                                                                  + . . . + an        1       + an = 0

Stabilité en BF              det(⇥I               BF )   = ⇥n +        1⇥
                                                                            n 1
                                                                                  + ... +         n 1⇥        +   n   =
v.p. imposées
                    det(⇥I               ⇥ + K) = (⇥                ⇥1 ) (⇥       ⇥2 ) . . . (⇥       ⇥n ) =          c   (⇥) = 0

Méthode           w = Px                         w (k + 1) = (⇥w                 wK   ) w (k) = ⇥wBF w (k)
constructive        ⇥
                    c   (⇥)          =     c   (⇥) = 0 =
     det(⇥I       ⇥wBF )             = ⇥n +       1⇥
                                                       n 1
                                                             + ... +      n 1⇥    +   n   =
                                                                                                          ⇥
det(⇥I   ⇥w +      wK
                         ⇥
                             )       = ⇥ + (a1 +
                                           n
                                                         K1 ) ⇥n 1
                                                          ⇥
                                                                       + . . . + an       1   +    ⇥
                                                                                                  Kn 1        ⇥ + (an + Kn )
                                                                                                                         ⇥



               Ki =              i    ai                u (k) =        K w (k) =              K P x (k)
                                                                                              ⇤⇥ ⌅
                                                                                                  K                            11
Formule d’Ackermann
                                                                                                        ⇥
K=KP =⇥
                          (   1      a1 ) (        2               a2 ) . . . (         n        an )       P

                                           ⇥                                                                     ⇥
K=        1           2       ...      n       P+                      a1         a2 . . .              an           P
                                                               ↵                    ⌦
                                                                                 eT    nP    1
                                                                                  n
                                               ⇤                             ⌅
                                                       eT
                                                        n
                                                                    n 1

                                           ⇥⌥
                                            ⌥          eT
                                                        n
                                                                    n 2
K=                            ...           ⌥                      .             + eT        n
          1           2                n
                                            ⇧                      .
                                                                   .         ⌃      n

                                                               eT I
                                                                n

K = eT
     n
          n
                  +          T
                          1 en
                                     n 1
                                           +      T
                                               2 en
                                                                   n 2
                                                                         + ... +               T
                                                                                            n en I
          ⇥                                                                                  ⇥
K=   eT
      n
                  n
                      +          1
                                     n 1
                                           +       2
                                                           n 2
                                                                       + ... +          nI
              ↵                                    ⌦
                                               c(          )
                                           ⇥
K=    0 0 ... 0 1                              G       1
                                                               c   ( )
                                           ⇥                                                                         ⇥   1
K=    0 0 ... 0 1                                  Ig                    g            ...            n 1
                                                                                                             g               c   ( )
                                                                                                                                       12
Résumé Commande d’état SIMO

Système à régler             x (k + 1)         =         x (k) + gu (k)
                                 y (k)         =        Cx (k) + Du (k)

Commande                               u (k) =          Kx (k)


Système en boucle              x (k + 1) = (                  gK) x (k) =           BF x (k)
fermée (BF)


   c   (⇥)   =       det (⇥I       bf )        =        (⇥        ⇥1 ) (⇥      ⇥2 ) . . . (⇥            ⇥n )
                                               =        ⇥n +       1⇥
                                                                        n 1
                                                                              + . . . ⇥an       1   +        n      =    0

Formule d’Ackermann

                                       ⇥
 K      =        0     ...     0   1       G   1
                                                    c   ( )
                                       ⇥                                                            ⇥    1
        =        0     ...     0   1           Ig             g         ...          n 1
                                                                                            g                  c   ( )
                                                                                                                             13
Double intégrateur (5.3.1)
                                         BF
                                         ⌅⇤    ⇥                           ⇥         ⇥               ⇤
 Système       x (k + 1)    =    (⇥           K) x (k)               1 h                 h   2
                                                                                                 2
 en BF                                                          =               =
                   y (k)    =    (C DK) x (k)                        0 1                     h
                                 ⇤ ⇥  ⌅
                                         CBF

 Choix des valeurs propres                                1,2   = 0.8 ± 0.25j

               det ( I     ⇥ + K) = (              1) (     2)   =   2
                                                                         1.6 + 0.7

               ⇥                 ⇥   1
K=       0 1       Ig        g      ( )   c
               ⌅    ⇤           ⇤ ⇧ 1
             ⇥ h2 2         3h 2
                              2                         ⇥
K=       0 1                            2
                                            1.6 + 0.7I
                   h          h
                  ⌅              ⇤ ⇧ ⌃⌅        ⇧2       ⌅     ⇧       ⌅     ⇧⌥
             ⇥ 1       h     3h2 ⇤2       1 h             1 h           1 0
K=       0 1 h3                                     1.6         + 0.7
                      h        h2 2       0 1             0 1           0 1
     h           ⇤ i⌅              ⇧
         h   h 2
               2
                         0.1 0.4h                 ⇥             ⇥
K=                                   = h2
                                        0.1  0.35
                                                    = K 1 K2
            h3            0   0.1              h
                                                                                                     14
Double intégrateur (5.3.1)
% Modèle discret

h = 0.1;

phi = [ 1    h      ;
        0    1     ];

g   = [ h^2/2 ;
        h     ];

% Matrice de gouvernabilité

G   = [ g phi*g];

% Coefficient du polynôme caractéristique en BF

alpha1 = -1.6;
                                                                 Code Matlab
alpha2 =    0.7;

% Gain de contre-réaction

K = [0 1] * inv(G) * (phi^2 + alpha1 * phi + alpha2 * eye(2));

% Calcul direct avec Ackermann

L = [0.8+0.25*1i        0.8-0.25*1i];

Kbis = acker(phi,g,L);



                                                                               15
Double intégrateur (5.3.1)

Simulation avec
   Simulink




                                16
Double intégrateur (5.3.1)




            17

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  • 1. Systèmes discrets linéaires et stationnaires Solution k 1 x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k) = ⇥k k0 x (k0 ) + ⇥k l 1 u (l) ⌅ ⇤⇥ ⇧ y (k) = Cx (k) + Du (k) l=k0 R´ponse libre e ⌅ ⇤⇥ ⇧ R´ponse forc´e e e Matrice de transfert et stabilité ⇥ 1 Y (z) = C (zI ⇥) + D U (z) = H (z) U (z) ⇤ ⌅ H11 (z) . . . H1r (z) ⇥ ⌥ . . Hij (z) H (z) = ⇧ . . . . ⌃ = [Hij (z)] = det (zI ) Hp1 (z) · · · Hpr (z) Pˆles zi des Hij solution de: det (zI o )=0 Valeurs propres vi de solution de: det ( I )=0 zi = vi Asymptotiquement stable si: |vi | < 1 pour i = 1, . . . , n Denis Gillet @ EPFL 1
  • 2. Commande d’état Système x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) x (k + 1) ˜ = ⇥˜ (k) + u (k) x ˜ à régler y (k) = Cx (k) + Du (k) y (k) ˜ = C x (k) + D˜ (k) ˜ u Régulateur u (k) = Kx (k) u (k) = ˜ K x (k) ˜ ¯ u ¯ y y (k) u (k) ˜ y (k) ˜ u (k) Système à Système à + - régler avec régler avec AD & DA u (k) AD & DA y (k) x (k) x (k) - -K ¯ x x (k) ˜ -K 2
  • 3. Commande d’état Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) y (k) = Cx (k) + Du (k) Régulateur u (k) = Kx (k) BF ⌅⇤ ⇥ Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k) fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k) ⇤ ⇥ ⌅ CBF 1 X (z) = (zI BF ) zx (0) = W (z) x (0) Xi (z) = Wi1 (z) x1 (0) + . . . + Wij (z) xj (0) + . . . + Win (z) xn (0) Z −1 ⎡Wij ( z ) ⎤ = ∑ ci zik + 2∑ ci* ri k cos ( kω i + ϕ i ) + ∑ ⎡ c1i zik + c2i kzik −1 + …⎤ ⎣ ⎦ ⎣ ' ' ⎦ i i i La commande d’état ramène l’état à zéro x (k) 0 pour k ⇥ En variables écart, la commande d’état x (k) ˜ 0 ou x (k) x pour k ¯ ⇥ ramène l’état à l’état nominal 3
  • 4. Principe de synthèse de la commande d’état Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) y (k) = Cx (k) + Du (k) Régulateur u (k) = Kx (k) BF ⌅⇤ ⇥ Système en boucle x (k + 1) = (⇥ K) x (k) fermée (BF) y (k) = (C DK) x (k) ⇤ ⇥ ⌅ CBF det(⇥I ⇥BF ) = det(⇥I ⇥ + K) = c (⇥) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = = ⇥n + 1⇥ n 1 + ... + n 1⇥ + n = 0 Identification terme à terme dans le cas SIMO (une entrée) 4
  • 5. Double intégrateur (5.1.2) BF ⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤ Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2 2 en BF = = y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h ⇤ ⇥ ⌅ CBF det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) =0 Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j ⌅⌃ ⌥ ⌃ ⌥ ⌃ ⇤ ⌥ ⇧ 0 1 h h 2 2 ⇥ det + K1 K2 =( 0.8 0.25j) ( 0.8 + 0.25j) 0 0 1 h ⇤ ⌅⇥ h2 h2 1+ 2 K1 h+ 2 K2 det = 2 1.6 + 0.7 hK1 1 + hK2 2 ⇥ 2 ⇥ h h 2 + hK2 + K1 2 + K1 hK2 + 1 = 2 1.6 + 0.7 2 2 ⇧ ⌅⇤ ⌃ ⇧ ⌅⇤ ⌃ 1.6 0.7 K1 = 0.1 h2 = 10 et K2 = 0.35/h = 3.5 pour h = 0.1s 5
  • 6. FT → Modèle d’état (2.5) Y (z) b0 + b1 z 1 + b2 z 2 + . . . + bn z n H (z) = = U (z) 1 + a1 z 1+a z 2 2 + ... + a z n n ⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an 1 ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃ ⇧ . . . . ⌃ w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧ ⇧ . . ⌃ ⌃ u (k) ⇧ ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ . . .. ⌃ ⇤ ⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅ 0 ... 0 1 0 0 ⌥ ⌦ ⌥ ⌦ w gw ⇥ y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 ... bn an b0 w (k) + b0 u (k) ⇧ ⌅⇤ ⌃ cT w det ( I w) = n + a1 n 1 + a2 n 2 + . . . + an + an = 0 6
  • 7. Modèle d’état physique → artificiel (A.1.2) x (k + 1) = x (k) + gu (k) w = Px Transformation y (k) = c x (k) + du (k) T x = P 1 w P 1 w (k + 1) = P 1 w (k) + gu (k) y (k) = cT P 1 w (k) + du (k) w (k + 1) = P P 1 w (k) + P gu (k) y (k) = cT P 1 w (k) + du (k) Quelle matrice de transformation P choisir ? w (k + 1) = P ⇤⇥ ⇧ w (k) + P g u (k) ⌅ P 1 ⌅⇤⇥⇧ ? ? y (k) = cT ⇤⇥ ⇧ w (k) + du (k) ⌅ P 1 ? 7
  • 8. Modèle d’état physique → artificiel ⇥ ⇥ eT 1 eT n n 1 ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ ⇥ ⇧ eT ⌃ 2 ⇧ eT n n 2 ⌃ G= Ig g ... n 1 g G 1 ⇧ . ⌃ =⇧ P =⇧ . ⌃ . ⌃ ⇤ . ⌅ ⇧ ⇤ . . ⌃ ⌅ eT n eT I n Construction de Pg ⇥ ⇥ 1 0 ... 0 eT Ig 1 eT 1 g ... eT 1 n 1 g ⇧ ⇧ .. . ⌃ ⇧ T . ⌃ ⇧ e Ig ⌃ ⇧ 0 1 . . ⌃ ⇧ 2 eT 2 g ... eT 2 n 1 g ⌃ ⌃ I=G 1 G ⇧ . .. .. ⌃=⇧ . . . ⌃ ⇧ . . . . ⇤ . . . 0 ⌃ ⇧ . ⌅ ⇤ . . ⌃ ⌅ 0 ... 0 1 eT Ig n eT g n eT n n 1 g ⇥ ⇥ eT n n 1 g 1 ⇧ T n 2 ⌃ ⇧ 0 ⌃ ⇧ en g ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ Pg = ⇧ ⌃=⇧ . ⌃ . . ⌃ ⇧ . . ⌃ ⇤ . ⌅ ⇤ ⌅ eT Ig n 0 8
  • 9. Modèle d’état physique → artificiel ⇥ ⇥ ⇥ eT n 1 1 0 ... 0 eT n 1 P 1 n n ⇧ ⌃ ⇧ .. . ⌃ ⇧ ⌃ eT ⇧ . . ⌃ ⇧ n 2 ⇧ n ⌃ ⇧ 0 1 . ⌃ ⇧ eT n n 2 P 1 ⌃ I = PP 1 =⇧ . ⌃P 1 ⇧ . ⌃=⇧ . ⌃ ⇧ . . ⌃ ⇧ . .. .. ⌃ ⇤ . . ⌃ ⇤ ⌅ ⇤ . . . 0 ⌅ ⌅ eT I n 0 ... 0 1 eT P n 1 Construction de ⇥ ⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an eT n 1 eT n P 1 ⇧ ⌃ ⇧ n ⌃ ⇧ n ⌃ ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ eT n 2 ⌃ ⇧ eT n 1 P 1 ⌃ ⇧ . . . . ⌃ P P 1 =⇧ n . ⌃ P 1 =⇧ n . ⌃=⇧ 0 1 . . ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ ⌃ ⇤ . ⌅ ⇤ . ⌅ ⇧ ⇧ . . .. ⌃ ⌃ ⇤ . . 0 0 ⌅ eT I n eT n P 1 0 ... 0 1 0 ⇥ eT n n P 1 = a1 a2 ... an 1 an 9
  • 10. Modèle d’état physique → artificiel ⇥ ⇥ eT 1 eT n n 1 ⇧ ⌃ ⇧ T n ⌃ ⇥ ⇧ eT 2 ⌃ ⇧ en 2 ⌃ G= Ig g ... n 1 g G 1 =⇧ . ⌃ P =⇧ . ⌃ ⇧ ⇤ . . ⌃ ⌅ ⇧ ⇤ . . ⌃ ⌅ eT n eT I n w = Px ⇥ ⇥ a1 a2 ... an 1 an 1 ⇧ 1 0 ... 0 0 ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ ⌃ ⇧ 0 ⌃ ⇧ . . . . ⌃ w (k + 1) = ⇧ 0 1 . . ⌃ w (k) + ⇧ ⇧ . . ⌃ ⌃ u (k) ⇧ ⌃ ⇧ . ⌃ ⇧ . . .. ⌃ ⇤ ⇤ . . 0 0 ⌅ 0 ⌅ 0 ... 0 1 0 0 ⌥ ⌦ ⌥ ⌦ w =P P 1 gw = P g ⇥ y (k) = b1 a1 b0 b2 a2 b0 . . . bn an b0 w (k) + b0 u (k) ⇧ ⌅⇤ ⌃ cT = cT P 1 w det ( I w) = det ( I )= n + a1 n 1 + a2 n 2 + . . . + an + an = 0 10
  • 11. Commande d’état Système à régler x (k + 1) = ⇥x (k) + u (k) SIMO y (k) = Cx (k) + Du (k) =g Commande u (k) = Kx (k) x (k + 1) = (⇥ K) x (k) = ⇥BF x (k) Stabilité en BO det( I )= n + a1 n 1 + . . . + an 1 + an = 0 Stabilité en BF det(⇥I BF ) = ⇥n + 1⇥ n 1 + ... + n 1⇥ + n = v.p. imposées det(⇥I ⇥ + K) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = c (⇥) = 0 Méthode w = Px w (k + 1) = (⇥w wK ) w (k) = ⇥wBF w (k) constructive ⇥ c (⇥) = c (⇥) = 0 = det(⇥I ⇥wBF ) = ⇥n + 1⇥ n 1 + ... + n 1⇥ + n = ⇥ det(⇥I ⇥w + wK ⇥ ) = ⇥ + (a1 + n K1 ) ⇥n 1 ⇥ + . . . + an 1 + ⇥ Kn 1 ⇥ + (an + Kn ) ⇥ Ki = i ai u (k) = K w (k) = K P x (k) ⇤⇥ ⌅ K 11
  • 12. Formule d’Ackermann ⇥ K=KP =⇥ ( 1 a1 ) ( 2 a2 ) . . . ( n an ) P ⇥ ⇥ K= 1 2 ... n P+ a1 a2 . . . an P ↵ ⌦ eT nP 1 n ⇤ ⌅ eT n n 1 ⇥⌥ ⌥ eT n n 2 K= ... ⌥ . + eT n 1 2 n ⇧ . . ⌃ n eT I n K = eT n n + T 1 en n 1 + T 2 en n 2 + ... + T n en I ⇥ ⇥ K= eT n n + 1 n 1 + 2 n 2 + ... + nI ↵ ⌦ c( ) ⇥ K= 0 0 ... 0 1 G 1 c ( ) ⇥ ⇥ 1 K= 0 0 ... 0 1 Ig g ... n 1 g c ( ) 12
  • 13. Résumé Commande d’état SIMO Système à régler x (k + 1) = x (k) + gu (k) y (k) = Cx (k) + Du (k) Commande u (k) = Kx (k) Système en boucle x (k + 1) = ( gK) x (k) = BF x (k) fermée (BF) c (⇥) = det (⇥I bf ) = (⇥ ⇥1 ) (⇥ ⇥2 ) . . . (⇥ ⇥n ) = ⇥n + 1⇥ n 1 + . . . ⇥an 1 + n = 0 Formule d’Ackermann ⇥ K = 0 ... 0 1 G 1 c ( ) ⇥ ⇥ 1 = 0 ... 0 1 Ig g ... n 1 g c ( ) 13
  • 14. Double intégrateur (5.3.1) BF ⌅⇤ ⇥ ⇥ ⇥ ⇤ Système x (k + 1) = (⇥ K) x (k) 1 h h 2 2 en BF = = y (k) = (C DK) x (k) 0 1 h ⇤ ⇥ ⌅ CBF Choix des valeurs propres 1,2 = 0.8 ± 0.25j det ( I ⇥ + K) = ( 1) ( 2) = 2 1.6 + 0.7 ⇥ ⇥ 1 K= 0 1 Ig g ( ) c ⌅ ⇤ ⇤ ⇧ 1 ⇥ h2 2 3h 2 2 ⇥ K= 0 1 2 1.6 + 0.7I h h ⌅ ⇤ ⇧ ⌃⌅ ⇧2 ⌅ ⇧ ⌅ ⇧⌥ ⇥ 1 h 3h2 ⇤2 1 h 1 h 1 0 K= 0 1 h3 1.6 + 0.7 h h2 2 0 1 0 1 0 1 h ⇤ i⌅ ⇧ h h 2 2 0.1 0.4h ⇥ ⇥ K= = h2 0.1 0.35 = K 1 K2 h3 0 0.1 h 14
  • 15. Double intégrateur (5.3.1) % Modèle discret h = 0.1; phi = [ 1 h ; 0 1 ]; g = [ h^2/2 ; h ]; % Matrice de gouvernabilité G = [ g phi*g]; % Coefficient du polynôme caractéristique en BF alpha1 = -1.6; Code Matlab alpha2 = 0.7; % Gain de contre-réaction K = [0 1] * inv(G) * (phi^2 + alpha1 * phi + alpha2 * eye(2)); % Calcul direct avec Ackermann L = [0.8+0.25*1i 0.8-0.25*1i]; Kbis = acker(phi,g,L); 15