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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                                   Enoncés                                                                                                  1


Suites numériques                                                                              Calculs de limites
                                                                                               Exercice 8 [ 02254 ] [correction]
Convergence d’une suite numérique                                                              Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes :
                                                                                                        n      n          √                √
                                                                                               a) un = 3n −(−2)n b) un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1
                                                                                                       3 +(−2)
Exercice 1 [ 02247 ] [correction]                                                                          √
                                                                                                         n−√n2 +1                 1
                                                                                                                                           n
Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers     et    avec   < .                  c) un =   n+ n2 −1
                                                                                                                  d)       un =   n2           k
                                                                                                                                       k=1
Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn .

                                                                                               Exercice 9 [ 02255 ] [correction]
Exercice 2 [ 02248 ] [correction]                                                              Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants :
                                                                                                                          √
                                                                                                            1 n            n
Montrer que (un ) ∈ ZN converge si, et seulement si, (un ) est stationnaire.                   a) un = 1 + n b) un = n2
                                                                                                                  1/n                              n
                                                                                                           1                           n−1
                                                                                               c) un = sin n              d) un =      n+1


Exercice 3    [ 02249 ]   [correction]
                                                             n ∈ N, un    a et vn     b        Exercice 10 [ 02256 ] [correction]
Soit (a, b) ∈ R2 , (un ) et (vn ) deux suites telles que :                                     Déterminer par comparaison, la limite des suites (un ) suivantes :
                                                             un + vn → a + b                             sin n             n!
Montrer que un → a et vn → b.                                                                  a) un = n+(−1)n+1 b) un = nn
                                                                                                         n−(−1)n                 en
                                                                                               c) un =   n+(−1)n d)       un =   nn
                                                                                               e) un =   n
                                                                                                             2 + (−1)n
Exercice 4 [ 02250 ] [correction]
Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que (un + vn ) et (un − vn ) convergent.
Montrer que (un ) et (vn ) convergent.                                                         Exercice 11 [ 02257 ] [correction]
                                                                                               Déterminer les limites des sommes suivantes :
                                                                                                       n √              n
                                                                                                                            1
                                                                                               a) Sn =      kb) Sn =       √ .
                                                                                                                             k
                                                                                                         k=1                  k=1
Exercice 5 [ 02251 ] [correction]                                                                         n
                                                                                                                  1
                                                                                                                                       2n
                                                                                                                                           1
Soit (un ) et (vn ) deux suites convergentes. Etudier lim max(un , vn ).                       c) Sn =         n2 +k2 d)   Sn =           k2
                                                         n→+∞                                            k=1                       k=n+1
                                                                                                          n                        n
                                                                                                                 n                    √ 1
                                                                                               e) Sn =         n2 +k f)   Sn =         n2 +k
                                                                                                         k=1                      k=1
                                                                                                          n
Exercice 6 [ 02252 ] [correction]                                                              g) Sn =         (−1)n−k k!
                                                                                                         k=0
Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que u2 + un vn + vn → 0.
                                                    n
                                                                 2

Démontrer que (un ) et (vn ) convergent vers 0.
                                                                                               Exercice 12       [ 02258 ]   [correction]
                                                                                               Comparer
Exercice 7 [ 02253 ] [correction]                                                                                                      m                              m                        n
Soit (un ) et (vn ) deux suites telles que 0    un    1, 0    vn    1 et un vn → 1.                                              1                                1                        1
                                                                                                      lim       lim        1−              , lim       lim   1−           et   lim    1−
Que dire de ces suites ?                                                                            m→+∞ n→+∞                    n             n→+∞ m→+∞          n            n→+∞        n
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                   Enoncés                                                                      2

Exercice 13 [ 02259 ] [correction]                                             Exercice 17 [ 02263 ] [correction]
                                                               √
Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose n un → .        Déterminer la limite de
                                                                                                                          n         −1
a) Montrer que si < 1 alors un → 0.                                                                                             n
b) Montrer que si > 1 alors un → +∞.                                                                             un =
                                                                                                                         k=0
                                                                                                                                k
c) Montrer que dans le cas = 1 on ne peut rien conclure.

                                                                               Exercice 18 [ 02264 ] [correction]
Exercice 14 [ 02260 ] [correction]                                             Soit p ∈ N {0, 1}. Pour n ∈ N on pose
Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose
                                                                                                                          −1                n
                                          un+1                                                                   n+p
                                               →                                                         un =                  et Sn =            uk
                                           un                                                                       n                       k=1

a) Montrer que si < 1 alors un → 0.                                            a) Montrer que
b) Montrer que si > 1 alors un → +∞.                                                                 ∀n ∈ N, (n + p + 2)un+2 = (n + 2)un+1
c) Montrer que dans le cas = 1 on ne peut rien conclure.                       b) Montrer par récurrence
                                                                                                                 1
                                                                                                         Sn =       (1 − (n + p + 1)un+1 )
Exercice 15 [ 02261 ] [correction]                                                                              p−1
Pour tout n ∈ N, on pose
                                                                               c) On pose ∀n ∈ N vn = (n + p)un . Montrer que (vn ) converge vers 0.
                              n                            n                   d) En déduire lim Sn en fonction de p.
                                     1                          (−1)k−1
                       Sn =             et Sn =
                                    n+k                            k
                              k=1                         k=1
                                                                               Exercice 19 X MP [ 03039 ] [correction]
a) Etablir que pour tout p > 1,                                                Soit z ∈ C avec |z| < 1. Existence et calcul de
                                   p+1                     p                                                             n
                                         dx    1                dx                                                                      k
                                                                                                                 lim           1 + z2
                               p         x     p          p−1   x                                               n→+∞
                                                                                                                        k=0

En déduire la limite de (Sn ).
b) Etablir que S2n = Sn . En déduire la limite de (Sn ).                       Exercice 20 [ 03196 ] [correction]
                                                                               Etudier la convergence de deux suites réelles (un ) et (vn ) vérifiant

Exercice 16 [ 02262 ] [correction]                                                                 lim (un + vn ) = 0 et        lim (eun + evn ) = 2
                                                                                                  n→+∞                         n→+∞
Soit a ∈ R et pour n ∈ N,
                                              n
                                                          a
                                     Pn =           cos
                                                          2k
                                                                               Suites monotones et bornées
                                              k=1

Montrer que                                                                    Exercice 21 [ 02265 ] [correction]
                                    a     1                                    Soit (un ) une suite croissante de limite . On pose
                               sin n Pn = n sin a
                                   2     2
                                                                                                                        u1 + · · · + un
et déterminer lim Pn .                                                                                          vn =
              n→∞                                                                                                             n
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                                Enoncés                                                                                3

a) Montrer que (vn ) est croissante.                                                        Exercice 26    [ 02270 ]   [correction]
                      un +vn
b) Etablir que v2n       2   .                                                              On pose
c) En déduire que vn → .                                                                                                           1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1)
                                                                                                                            un =
                                                                                                                                     2 × 4 × 6 × · · · × (2n)
                                                                                            a) Exprimer un à l’aide de factoriels.
Exercice 22 [ 02266 ] [correction]                                                          b) Montrer que la suite (un ) converge.
Soit (un ) une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suite vn = sup up .        c) On pose
                                                                            p n
                                                                                                                              vn = (n + 1)u2
                                                                                                                                           n

                                                                                            Montrer que la suite (vn ) converge. En déduire la limite de la suite (un )
Exercice 23 [ 02267 ] [correction]                                                          d) Simplifier
                                                                                                                                2n
Soit (un ) une suite réelle bornée. On pose                                                                                             1
                                                                                                                                    1−
                                                                                                                                        k
                                                                                                                                      k=2
                             vn = sup up et wn = inf up
                                                        p n
                                  p n                                                       et comparer ce produit à        u2 .
                                                                                                                             n
                                                                                            e) En déduire que la limite C de la suite (vn ) est strictement positive.
Montrer que les suites (vn ) et (wn ) possèdent chacune une limite dans R et
comparer celles-ci.
                                                                                            Suites adjacentes
Exercice 24 [ 02268 ] [correction]                                                          Exercice 27 [ 02271 ] [correction]
[Somme harmonique]                                                                          Soit θ ∈ ]0, π/2[, un = 2n sin 2θ , vn = 2n tan 2θ .
                                                                                                                            n                n
Pour tout n ∈ N, on pose                                                                    Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. Quelle est leur limite
                                              n
                                                    1                                       commune ?
                                       Hn =
                                                    k
                                              k=1

Montrer que                                                                                 Exercice 28    [ 00325 ]   [correction]
                                                          1
                              ∀n ∈ N , H2n − Hn                                             On pose
                                                          2                                                             n
                                                                                                                            1   √           n
                                                                                                                                                1  √
En déduire que lim Hn = +∞.                                                                                   un =         √ − 2 n et vn =     √ −2 n+1
                n→∞                                                                                                    k=1
                                                                                                                             k             k=1
                                                                                                                                                 k
                                                                                            Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.
                                                                                            En déduire un équivalent de
Exercice 25 [ 02269 ] [correction]                                                                                                   n
                                                                                                                                         1
Soit (Hn ) la suite définie pour n ∈ N par                                                                                               √
                                                                                                                                    k=1
                                                                                                                                          k
                                              n
                                                    1
                                       Hn =
                                                    k
                                              k=1                                           Exercice 29    [ 02272 ]   [correction]
                                                                                                                                      n
                                                                                                                                          1                 1
a) Montrer que Hn → +∞.                                                                     Pour tout n ∈ N , on pose Sn =                k2   et Sn = Sn + n .
b) Soit (un ) une suite telle que n(un+1 − un ) → 1. Montrer que un → +∞.                                                           k=1
                                                                                            Montrer que les suites (Sn ) et (Sn ) sont adjacentes.
                                                                                            On peut montrer que leur limite commune est π 2 /6, mais c’est une autre histoire...
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                            Enoncés                                                                                  4

Exercice 30 [ 02273 ] [correction]                                                      Exercice 34 [ 02277 ] [correction]
[Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz]                            Soit (un ) une suite complexe telle que (u2n ), (u2n+1 ) et (u3n ) convergent. Montrer
Soit (un ) une suite de réels décroissante et de limite nulle.                          que (un ) converge.
                                   n
Pour tout n ∈ N, on pose Sn =          (−1)k uk .
                                 k=0
Montrer que les suites extraites (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes et en déduire que   Exercice 35 [ 02278 ] [correction]
(Sn ) converge.                                                                         Justifier que la suite de terme général cos n diverge.


Exercice 31 [ 02274 ] [correction]
[Irrationalité du nombre de Néper]                                                      Exercice 36 [ 00327 ] [correction]
Soient                                                                                  Montrer que la suite de terme général sin n diverge.
                        n                  n
                            1                   1   1           1
                   an =        et bn =            +     = an +
                           k!                   k! n.n!        n.n!
                        k=0               k=0
                                                                                        Exercice 37 [ 02279 ] [correction]
a) Montrer que (an ) et (bn ) sont strictement monotones et adjacentes.                                                                              n+p
                                                                                        Soit (un ) une suite réelle telle que ∀n, p ∈ N , 0   un+p    np .   Montrer que
On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que e ∈ Q et pour
                                                                    /                   un → 0.
cela on raisonne par l’absurde en supposant e = p avec p ∈ Z, q ∈ N .
                                                  q
b) Montrer que aq < e < bq puis obtenir une absurdité.
                                                                                        Exercice 38 X MP [ 03234 ] [correction]
                                                                                        Soit (un ) une suite réelle vérifiant
Exercice 32 [ 02275 ] [correction]
[Moyenne arithmético-géométrique]                                                                                   un+1 − un → 0 et un → +∞
a) Pour (a, b) ∈ R+2 , établir :    √
                                   2 ab         a+b                                     Montrer qu’il existe une application ϕ : N → N strictement croissante vérifiant
b) On considère les suites de réels positifs (un ) et (vn ) définies par
                                                                                                                            uϕ(n) − n → 0
                                                    √                    un + vn
             u0 = a, v0 = b et ∀n ∈ N, un+1 =           un vn , vn+1   =
                                                                            2
                                                                                        Comparaison de suites numériques
Montrer que, pour tout n 1, un vn , un un+1 et vn+1 vn .
c) Etablir que (un ) et (vn ) convergent vers une même limite.
Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et           Exercice 39 [ 02280 ] [correction]
est notée M (a, b).                                                                     Classer les suites, dont les termes généraux, sont les suivants par ordre de
d) Calculer M (a, a) et M (a, 0) pour a ∈ R+ .                                          négligeabilité :
                                                                                                                                           √         n2
e) Exprimer M (λa, λb) en fonction de M (a, b) pour λ ∈ R+ .                            a) n , n2 , ln n , ln 2 , n ln n b) n, n2 , n ln n, n ln n, ln n .
                                                                                           1 1
                                                                                                     n      n
                                                                                                              n      1




Suites extraites                                                                        Exercice 40 [ 02281 ] [correction]
                                                                                        Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes et donner leur limite :
                                                                                                                                             √
                                                                                                                                2
Exercice 33 [ 02276 ] [correction]                                                      a) un = (n + 3 ln n)e−(n+1) b) un = ln(n +1) c) un = √n 2+n+1
                                                                                                                                                2
                                                                                                                               n+1           3
                                                                                                                                               n −n+1
On suppose que (un ) est une suite réelle croissante telle que (u2n ) converge.
Montrer que (un ) converge.
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                           Enoncés                                                                                          5

Exercice 41 [ 00236 ] [correction]                                                     a) Justifier que
Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes et donner leur limite :                                       1          √               √        1
         3
             √                                                                                                   √           2       n+1−            n   √
           − n2               3
                                −ln n+1         n!+en                                                                                                      n
a) un = nln n−2n+1 b) un = 2n n2 +1
                2                       c) un = 2n +3n                                                               n+1
                                                                                       b) Déterminer la limite √ (Sn ).
                                                                                                               de
                                                                                       c) On pose un = Sn − 2 n. Montrer que (un ) converge.
Exercice 42 [ 02282 ] [correction]                                                     d) Donner un équivalent simple de (Sn ).
Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes :
                             √        √
         1      1
a) un = n−1 − n+1 b) un = n + 1 − n − 1 c) un = ln(n + 1) − ln(n)
                                                                                       Exercice 48 [ 00301 ] [correction]
                                                                                       On étudie ici la suite (Sn ) de terme général
Exercice 43 [ 00235 ] [correction]
                                                                                                                                       n
Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes :                                                                                    1
             1                    1
a) un = sin √n+1 b) un = ln sin n c) un = 1 − cos n .1                                                                        Sn =
                                                                                                                                             k
                                                                                                                                       k=1

                                                                                       a) Etablir que pour tout t > −1, ln(1 + t)            t et en déduire
Exercice 44 [ 02283 ] [correction]
Déterminer la limite des suites (un ) suivantes :                                                                                           t
                                                                                                                           ln(1 + t)
                                                      n
                                                                      √                                                                    t+1
                       1                       1                      n n+1
a) un = n   ln 1 +   n2 +1     b) un = 1 + sin n           c) un =        √ .
                                                                     (n+1) n
                                                                                       b) Observer que
                                                                                                                      ln(n + 1)      Sn       ln n + 1

Exercice 45 [ 02287 ] [correction]                                                     et en déduire un équivalent simple de Sn .
Soit (un ) une suite décroissante de réels telle que un + un+1 ∼           1           c) Montrer que la suite un = Sn − ln n est convergente. Sa limite est appelée
                                                                           n.
a) Montrer que (un ) converge vers 0+ .                                                constante d’Euler et est usuellement notée γ.
b) Donner un équivalent simple de (un ).

                                                                                       Exercice 49 [ 02286 ] [correction]
Exercice 46 [ 02284 ] [correction]                                                     Soit (un ), (vn ), (wn ), (tn ) des suites de réels strictement positifs tels que un ∼ vn
Pour n ∈ N, on pose                                                                    et wn ∼ tn .
                                                                                       Montrer que un + wn ∼ vn + tn .
                                                                n
                            un = 0! + 1! + 2! + · · · + n! =         k!
                                                               k=0                     Limite de suite des solutions d’une équation
Montrer que un ∼ n!.
                                                                                       Exercice 50 [ 02289 ] [correction]
                                                                                       Soit n un entier naturel et En l’équation x + ln x = n d’inconnue x ∈ R+ .
Exercice 47    [ 02285 ]   [correction]                                                a) Montrer que l’équation En possède une solution unique notée xn .
On pose                                                                                b) Montrer que la suite (xn ) diverge vers +∞.
                                                  n
                                                      1                                c) Donner un équivalent simple de la suite (xn ).
                                          Sn =       √
                                                 k=1
                                                       k
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                           Enoncés                                                                                   6

Exercice 51 [ 02290 ] [correction]                                                     Exercice 57 [ 02295 ] [correction]
Soit n un entier naturel et En l’équation x + tan x = n d’inconnue x ∈ ]−π/2, π/2[.    Soit (zn ) une suite complexe telle que
a) Montrer que l’équation En possède une solution unique notée xn .
b) Montrer que la suite (xn ) converge et déterminer sa limite.                                                                          1
                                                                                                                        ∀n ∈ N, zn+1 =            z
                                                                                                                                           (zn + 2¯n )
                                                                                                                                         3
                                                                                       Montrer que (zn ) converge et exprimer sa limite en fonction de z0 .
Exercice 52 [ 02288 ] [correction]
Montrer que l’équation xex = n possède pour tout n ∈ N, une unique solution xn
dans R+ .
                                                                                       Exercice 58 [ 02296 ] [correction]
Etudier la limite de (xn ).
                                                                                       Soit (un ) et (vn ) les suites déterminées par u0 = 1, v0 = 2 et pour tout n ∈ N :

Exercice 53 [ 02291 ] [correction]                                                                               un+1 = 3un + 2vn et vn+1 = 2un + 3vn
Soit n un entier naturel non nul et En l’équation : xn ln x = 1 d’inconnue x ∈ R+ .
                                                                                       a) Montrer que la suite (un − vn ) est constante.
a) Montrer que l’équation En admet une unique solution xn , et que xn 1.
                                                                                       b) Prouver que (un ) est une suite arithmético-géométrique.
b) Montrer que la suite (xn ) est décroissante et converge vers 1.
                                                                                       c) Exprimer les termes généraux des suites (un ) et (vn ).

Exercice 54 [ 02292 ] [correction]
Soient n ∈ N et                                                                        Exercice 59 [ 02297 ] [correction]
                           En : xn + xn−1 + · · · + x = 1                              Soient ρ > 0 et θ ∈ ]0, π[.
                                                                                       On considère la suite complexe (zn ) définie par z0 = ρ eiθ et
a) Montrer que l’équation En possède une unique solution xn dans R+ et que
xn ∈ [1/2, 1]                                                                                                                             zn + |zn |
b) Montrer que (xn ) converge.                                                                                           ∀n ∈ N, zn+1 =
                                                                                                                                              2
c) Déterminer la limite de (xn ).
                                                                                       a) Exprimer zn sous forme d’un produit.
                                                                                       b) Déterminer lim zn .
                                                                                                      n→+∞
Expression du terme général d’une suite récurrente
Exercice 55 [ 02293 ] [correction]                                                     Exercice 60 X MP          [ 03048 ] [correction]
Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle        Etudier la suite (zn )n    0   définie par z0 ∈ C et
(un )n 0 définie par :
a) u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = 2un + 1                                                                                                       zn + |zn |
                                                                                                                         ∀n ∈ N, zn+1 =
b) u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = un2 .
                                +1
                                                                                                                                              2


Exercice 56 [ 02294 ] [correction]
                                                                                       Suites récurrentes linéaire d’ordre 2
Soit (xn ) et (yn ) deux suites réelles telles que
                                                                                       Exercice 61 [ 02298 ] [correction]
                                      xn − yn           xn + yn                        Donner l’expression du terme général de la suite récurrente complexe (un )n
                     ∀n ∈ N, xn+1   =         et yn+1 =                                                                                                               0
                                         2                 2                           définie par : u0 = 0, u1 = 1 + 4i et
En introduisant la suite complexe de terme général zn = xn + i.yn , montrer que
les suites (xn ) et (yn ) convergent et déterminer leurs limites.                                           ∀n ∈ N, un+2 = (3 − 2i)un+1 − (5 − 5i)un
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                              Enoncés                                                                                  7

Exercice 62 [ 02299 ] [correction]                                                        Exercice 69 [ 02308 ] [correction]
Donner l’expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes :           Etudier la suite (un ) définie par
a) (un )n 0 définie par u0 = 1, u1 = 0 et ∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 4un
                                                                                                                                                     1
b) (un )n 0 définie par u0 = 1, u1 = −1 et ∀n ∈ N, 2un+2 = 3un+1 − un                                                u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 =
c) (un )n 0 définie par u0 = 1, u1 = 2 et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 − un .                                                                               2 + un


                                                                                          Exercice 70 [ 02309 ] [correction]
Exercice 63 [ 02300 ] [correction]                                                        Soit (un ) la suite réelle définie par
Soit θ ∈ ]0, π[. Déterminer le terme général de la suite réelle (un ) définie par :                                                                     √
                                                                                                              u0 = a ∈ [−2, 2] et ∀n ∈ N, un+1 =           2 − un
                u0 = u1 = 1 et ∀n ∈ N, un+2 − 2 cos θun+1 + un = 0
                                                                                          a) Justifier que la suite (un ) est bien définie et

Etude de suites récurrentes                                                                                                ∀n ∈ N, un ∈ [−2, 2]
                                                                                          b) Quelles sont les limites finies possibles pour (un ) ?
Exercice 64 [ 02304 ] [correction]                                                        c) Montrer que (|un − 1|) converge puis que lim |un − 1| = 0. En déduire lim un .
Etudier la suite (un ) définie par

                         u0 = a ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = u2
                                                       n                                  Exercice 71 [ 02310 ] [correction]
                                                                                          Soit a ∈ C tel que 0 < |a| < 1 et (un ) la suite définie par
                                                                                                                                                    un
Exercice 65 [ 02305 ] [correction]                                                                                  u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 =
                                                                                                                                                  2 − un
Etudier la suite (un ) définie par
                                                                                          Montrer que (un ) est bien définie et |un | < 1. Etudier la limite de (un ).
                          u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = u2 + 1
                                                    n


                                                                                          Exercice 72 [ 02312 ] [correction]
Exercice 66 [ 02303 ] [correction]                                                        Soit a > 0 et (un ) la suite définie par u0 > 0 et
Etudier la suite (un ) définie par
                                                                                                                                       1           a
                                                    √                                                                 ∀n ∈ N, un+1 =       un +
                         u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 =       1 + un                                                                         2          un
                                                                                          a) Etudier la convergence de la suite (un ).
Exercice 67 [ 02306 ] [correction]                                                        b) On pose pour tout n ∈ N                   √
                                                                                                                                  un − a
Etudier la suite (un ) définie par                                                                                           vn =       √
                                                                                                                                  un + a
                         u0   1 et ∀n ∈ N, un+1 = 1 + ln un                               Calculer vn+1 en fonction de vn , puis vn en fonction de v0 et n.
                                                                                                                  √
                                                                                          c) Montrer que, si u0 > a, on a
                                                                                                                                √            2n
Exercice 68 [ 02307 ] [correction]                                                                                       un − a        2u0 .v0
Etudier la suite (un ) définie par                                                                                                 √                       2n
                                                                                          Ainsi, un réalise une approximation de a à la précision 2u0 .v0 → 0.
                                                                                                                                                                    n∞   √
                         u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = eun − 1                                 On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de        a.
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                              Enoncés                                                               8

Exercice 73 [ 02313 ] [correction]                                                        Exercice 78 [ 03229 ] [correction]
On considère l’équation ln x + x = 0 d’inconnue x > 0.                                    Soit (un ) une suite réelle vérifiant
a) Montrer que l’équation possède une unique solution α.
b) Former, par l’algorithme de Newton, une suite récurrente réelle (un )                                                   ∀n ∈ N, un ∈ [1/2, 1]
convergeant vers α.
                                                                                          Soit (vn ) la suite déterminée par
                                                                                                                                              vn + un+1
Exercice 74 [ 02311 ] [correction]                                                                               v0 = u0 et ∀n ∈ N, vn+1 =
Déterminer le terme général de la suite (un ) définie par :                                                                                   1 + un+1 vn

                 u0 = a > 0, u1 = b > 0 et ∀n ∈ N, un+2 un = u2
                                                              n+1
                                                                                          Montrer que la suite (vn ) converge et déterminer sa limite.

A quelle condition (un ) converge ?


Exercice 75 [ 02301 ] [correction]
Soit a ∈ R+ . On définit une suite (un ) par
                                                               n
                            u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 =                   uk
                                                               k=0

a) Déterminer la limite de (un ).
b) Déterminer la limite de un+1 − un .


Exercice 76 [ 02302 ] [correction]
On considère la suite (un ) définie pour n            1 par

                                                                           √
                           un =   n+      (n − 1) + · · · +     2+               1

a) Montrer que (un ) diverge vers +∞.
b) Exprimer un+1 en fonction de un .
c) Montrer que un n puis que un = o(n).
d) Donner un équivalent simple de (un ).
                           √
e) Déterminer lim un − n.
               n→+∞



Exercice 77    [ 00094 ]   [correction]
Etablir
                                          √                        1
                             1+     1+        1 + ··· = 1 +            1
                                                              1+
                                                                        ..
                                                                   1+        .
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                            Corrections                                                                                                                      9

Corrections                                                                                Exercice 8 : [énoncé]
                                                                                                            n
                                                                                           a) un = 1−(−2/3)n → 1.
                                                                                                   1+(−2/3)
Exercice 1 : [énoncé]                                                                                       2n                                                2
                                                                                           b) un = √n2 +n+1+√n2 −n+1 =                                 1    1            1    1
                                                                                                                                                                                     → 1.
                                                                                                                                                    1+ n + n2 +       1− n + n2
Posons m = + . On a un → < m et donc ∃n0 ∈ N, ∀n
             2                                                    n0 , un < m et                     √
                                                                                                   1− 1+1/n2
∃n1 ∈ N, ∀n n1 , vn > m.                                                                   c) un = √          2
                                                                                                                → 0.
                                                                                                         1+ 1−1/n
Pour tout n max(n0 , n1 ) on a un < m < vn .                                                             (n+1)   1
                                                                                           d) un =         2n → 2


Exercice 2 : [énoncé]
Si (un ) est stationnaire, il est clair que cette suite converge.                          Exercice 9 : [énoncé]
                                                                                                                              1                                 1              1               ln(1+x)
Inversement, supposons que (un ) converge et notons sa limite.                             a) un = en(ln(1+1/n)) or n ln 1 + n =                               1/n   ln 1 +    n     → 1 car      x    −−
                                                                                                                                                                                                       −→    1. Par
                                                                                                                                                                                                       x→0
Montrons ∈ Z. Par l’absurde, si ∈ Z alors E( ) < < E( ) + 1 donc à partir
                                        /                                                  suite un → e.
                                                                                                     2
d’un certain rang E( ) < un < E( ) + 1. Or un ∈ Z. Absurde. Ainsi ∈ Z.                     b) un = e n ln n → 1 car ln n → 0.
                                                                                                                     n
Puisque un → et − 1 < < + 1, à partir d’un certain rang − 1 < un < + 1.                           1         1/n            1         1 1      1   1    1              1                             1/n
                                                                                           c) sin n              = e n ln(sin n ) or n ln sin n ∼ n ln n → 0 donc sin n                                   → 1.
Or un ∈ Z et ∈ Z donc un = . Finalement (un ) est stationnaire égale à .                                    n                                                                                        n
                                                                                                                = en ln(1− n+1 ) or n ln 1 − n+1 ∼ −2 → −2 donc n−1
                                                                                                                            2
                                                                                           d)     n−1
                                                                                                  n+1
                                                                                                                                                2
                                                                                                                                                                     n+1                                  → e−2 .

Exercice 3 : [énoncé]
0 a − un (a − un ) + (b − vn ) = (a + b) − (un + vn ) → 0 donc un → a puis                 Exercice 10 : [énoncé]
vn = (un + vn ) − un → (a + b) − a = b.                                                              1
                                                                                           a) |un | n−1 → 0 donc un → 0.
                                                                                                       1.2...n    1
                                                                                           b) 0 un     n.n...n    n → 0 donc un → 0.
                                                                                              n−1          n+1        n−1 n+1
                                                                                           c) n+1 un       n−1 avec n+1 , n−1 → 1 donc un → 1.
Exercice 4 : [énoncé]                                                                                  e e                  e
                                                                                           d) 0 un     1 × 1 × · · · × 1 × n → 0 donc un → 0.
                                                                                                       √2
Supposons un + vn → et un − vn → .                                                         e) 1 un     n       1
                                                                                                         3 = e n ln 3 → 1 donc un → 1.
                                                              −
     1
un = 2 (un + vn ) + 1 (un − vn ) → + et de même vn →
                    2              2                          2    .


                                                                                           Exercice 11 : [énoncé]
Exercice 5 : [énoncé]                                                                                       n
                1
max(un , vn ) = 2 ((un + vn ) + |un − vn |) → max(lim un , lim vn ).                       a) Sn                1 = n → +∞
                                                                                                         k=1
                                                                                                          n
                                                                                                                  1            √
                                                                                           b) Sn                 √
                                                                                                                   n
                                                                                                                       =           n → +∞.
                                                                                                         k=1
Exercice 6 : [énoncé]                                                                                             n
                                                                                                                       1                 n
0 (un + vn )2 = u2 + 2un vn + vn 2(u2 + un vn + vn ) → 0. Ainsi un + vn → 0
                                 2                    2                                    c) 0        Sn            n2 +1         =   n2 +1     → 0 donc un → 0.
                    n                    n
                                                                                                                 k=1
                       2    2            2
puis un vn = (un + vn ) − (un + un vn + vn ) → 0 et donc u2 + vn → 0 qui permet
                                                          n
                                                               2
                                                                                                                   2n
                                                                                                                                 1                n
de conclure un , vn → 0.                                                                   d) 0        Sn                      (n+1)2           (n+1)2   → 0.
                                                                                                                  k=n+1
                                                                                                  n                                n
                                                                                                        n                                n                n                   n2
                                                                                           e)          n2 +n          un               n2 +1    donc     n+1         un      n2 +1   puis un → 1.
                                                                                                 k=1                           k=1
Exercice 7 : [énoncé]                                                                                             n                                n
un vn un , vn 1. Par le théorème des gendarmes : lim un = lim vn = 1.                      f)    √ n        =          √ 1                 Sn            √ 1      =       √ n      par le théorème des
                                                                                                  n2 +n                 n2 +n                             n2 +1            n2 +1
                                                                                                                 k=1                              k=1
                                                                                           gendarmes            : Sn   → 1.
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                                  Corrections                                                                                          10

g) Sn = n! − (n − 1)! + (n − 2)! + · · · + (−1)n . Par regroupement de termes.                   Pour n    1,
                                                                                                                                   n+k+1                             n+k
Si n est pair alors Sn n! − (n − 1)! et si n est impair Sn n! − (n − 1)! − 1.                                                              dx          1                    dx
Puisque n! − (n − 1)! = (n − 1).(n − 1)! → +∞, on a Sn → +∞.                                                                   n+k         x          n+k         n+k−1     x
                                                                                                 donne en sommant
                                                                                                                                      2n+1                        2n
                                                                                                                                                dx                     dx
Exercice 12 : [énoncé]                                                                                                                                  Sn
          1 m                                             1 m                                                                        n+1        x                n     x
 lim 1 − n      = 1m et         lim         lim    1−     n    = 1.
n→+∞                        m→+∞ n→+∞                                                            Or
             1 m                                        1   m                                                                        2n+1
 lim    1−   n     = 0 et lim             lim      1−   n     = 0.                                                                             dx      2n + 1
m→+∞                       n→+∞ m→+∞                                                                                                              = ln        → ln 2
    1 n      n ln(1− n )
                     1
                             −1                                                                                                     n+1        x       n+1
 1− n     =e               →e     .
                                                                                                 et
                                                                                                                                                 2n
                                                                                                                                                      dx
                                                                                                                                                         = ln 2
Exercice 13 : [énoncé]                                                                                                                          n     x
a) Soit ρ = +1 de sorte que < ρ < 1.                                                             donc Sn → ln 2.
         √ 2                                             √
Comme n un → < ρ, il existe un rang N au delà duquel n un ρ donc                                 b) On a
           n
0 < un ρ . On a alors un → 0.
b) Même démarche mais par minoration.                                                                    1 1 1 1          1     1                        1 1         1              1 1         1
                                                                                                 S2n =    − + − +· · ·+       −   =                       + + ··· +    −2            + + ··· +
c) un = n, un = 1 et un = 1/n sont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.                        1 2 3 4        2n − 1 2n                        1 2        2n              2 4        2n

                                                                                                 donc
                                                                                                                              2n           n            2n             n
                                                                                                                                    1           1               1            1
Exercice 14 : [énoncé]                                                                                                S2n =           −           =               =             = Sn
                                                                                                                                    k           k               k           n+k
a) Soit ρ = +1 de sorte que < ρ < 1.
              2
                                                                                                                              k=1         k=1          k=n+1          k=1
Comme uun → < ρ, il existe un rang N au delà duquel uun
          n+1                                         n+1
                                                            ρ.                                   Par suite S2n → ln 2. De plus S2n+1 = S2n +                     1
                                                                                                                                                                      → ln 2 donc
                                                                                                                                                               2n+1
On a alors
                          un un−1      uN +1
                0 un =             ···       uN ρn−N uN → 0                                                                                         Sn → ln 2
                         un−1 un−2      uN
donc un → 0.
b) Même démarche mais par minoration.
                                                                                                 Exercice 16 : [énoncé]
c) un = n, un = 1 et un = 1/n sont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire.
                                                                                                 En exploitant la formule sin 2x = 2 sin x cos x
                                                                                                                       a     1     a       a           a          1
                                                                                                                sin      Pn = sin n−1 cos n−1 · · · cos = . . . = n sin a
Exercice 15 : [énoncé]                                                                                                2n     2   2       2             2         2
a) On a                                                                                          Si a = 0 alors Pn = 1 → 1.
                                      p+1               p+1
                                              dx              dx   1                             Si a = 0 alors, pour n assez grand, sin(a/2n ) = 0 et
                                                                 =
                                 p            x     p         p    p
                                                                                                                                                  sin a     sin a
car la fonction décroissante x →          1
                                              est majorée par     1
                                                                       sur [p, p + 1].                                                Pn =                →
                                          x                       p                                                                             2n sin 2a
                                                                                                                                                        n     a
Par un argument semblable
                                      p                 p                                        car 2n sin 2a ∼ 2n 2a = a.
                                                                                                             n       n
                                              dx              dx   1
                                                                 =
                                      p−1     x     p−1       p    p
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Exercice 17 : [énoncé]                                                             Exercice 19 : [énoncé]
                                                                                              n
On a                                                                                                         k                                           n                 n+1
                                              n−2         −1                       (1 − z)          1 + z2        = (1 − z)(1 + z)(1 + z 2 ) . . . (1 + z 2 ) = (1 − z 2         ).
                                        1            n             1                         k=0
                            un = 1 +      +                    +     +1                     n+1
                                                                                                                        n             k
                                        n            k             n               Or z 2         → 0 donc lim               1 + z2       =    1
                                              k=2                                                                n→+∞ k=0                     1−z .
Or pour k ∈ {2, . . . , n − 2},

                                   n          n         n(n − 1)
                                                    =                              Exercice 20 : [énoncé]
                                   k          2            2                       Posons εn = un + vn . On a, par factorisation de l’exponentielle équilibrée
donc                                                                                                                                                            εn
                                  n−2         −1                                                         eun + evn = eun + eεn −un = 2eεn /2 ch un −
                                         n           2(n − 3)                                                                                                    2
                            0                                 →0
                                         k           n(n − 1)                      Puisque εn → 0 et eun + evn → 2, on a par opérations
                                  k=2
puis un → 2.                                                                                                                              εn
                                                                                                                              ch un −        →1
                                                                                                                                           2
Exercice 18 : [énoncé]                                                             et donc en composant avec la fonction argch
a)
                            n+p+2                              n+p+1                                                                      εn
                                              n+p+2                                                                              un −        →0
                                         =                                                                                                 2
                             n+2               n+2              n+1
                                                                                   On en déduit un → 0 puis vn → 0.
d’où la relation.
b) Par récurrence sur n ∈ N :
Pour n = 1 :
                                                                                   Exercice 21 : [énoncé]
                     1         1                     2            1
            S1 =           et     (1 − (p + 2)                )=                   a)
                   p+1        p−1              (p + 2)(p + 1)    p+1                                                           nun+1 − (u1 + · · · + un )
                                                                                                                 vn+1 − vn =                                   0
                        1                                                                                                             n(n + 1)

ok                                                                            donc (vn ) est croissante.
Supposons la propriété établie au rang n1.                                    b)
                                                                                                     u1 + · · · + un   un+1 + · · · + u2n  vn   un
                      1                            1                     1                    v2n =                  +                        +
Sn+1 = Sn +un+1 =         (1−(n+p+1)un+1 )+un+1 =     (1−(n+2)un+1 ) =      (1−(n+p+2)un+2 )              2n                 2n             2    2
                 HR p − 1                         p−1                  p − 1 c) On a v
                                                                                        n     pour tout n ∈ N et (vn ) croissante donc (vn ) converge vers un réel
Récurrence établie.                                                                 .
c)                                                                            La relation précédente, passée à la limite, donne 2         + ce qui permet de
                            n+p         n!p!       p!                         conclure vn → .
                0 vn =            =                    →0
                            n+p     (n + p − 1)!  n+1
                                   n
                                                                                   Exercice 22 : [énoncé]
d) Par opérations                                                                  (un ) converge donc (un ) est bornée. La suite (vn ) est donc bien définie et
                                                     1                             elle-même bornée.
                                         Sn →
                                                    p−1                            On a vn+1 vn donc (vn ) est décroissante et donc converge.
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                                      Corrections                                                                                                         12

Posons = lim un et = lim vn .                                                                        b) Il existe N ∈ N tel que pour tout n                        N,
vn un donc à la limite        .
Si > alors > 2 > .   +                                                                                                                                n(un+1 − un )        1/2
                                       +                 +
A partir d’un certain rang vn >        2     et un <     2    . Impossible. Il reste   = .           On a alors
                                                                                                                                         n                          n
                                                                                                                                                               1          1  1
                                                                                                                    un+1 − uN                uk+1 − uk                      = (Hn − HN −1 ) → +∞
Exercice 23 : [énoncé]                                                                                                                                         2          k  2
                                                                                                                                  k=N                              k=N
Pour tout n ∈ N
                                                                                                     puis un → +∞.
                             {up /p        n + 1} ⊂ {up /p        n}
donc vn+1 vn et wn+1 wn .
Les suites (vn ) et (wn ) sont respectivement décroissante et croissante. De plus                    Exercice 26 : [énoncé]
wn vn .                                                                                              a)
La suite (vn ) est décroissante et minorée par w0 donc elle converge vers une limite                                                                            (2n)!
                                                                                                                                                        un =
 .                                                                                                                                                             22n (n!)2
De même la suite (wn ) converge vers une limite m. Enfin wn vn donne à la                             b) On a
limite                                                                                                                            un+1   (2n + 2)(2n + 1)   2n + 1
                                                                                                                                       =                  =                             1
                                         m                                                                                         un       4(n + 1)2       2n + 2
                                                                                                     donc (un ) est décroissante. Or (un ) est minorée par 0 donc (un ) converge.
                                                                                                     c)
Exercice 24 : [énoncé]                                                                                                     vn+1    n + 2 u2       n + 2 2n + 1
                                                                                                                                                                   2
                                                                                                                                            n+1
On a                                                                                                                             =              =
                                       2n               2n                                                                  vn     n + 1 u2  n    n + 1 2n + 2
                                                1              1    n   1
                   H2n − Hn =                                    =    =                              or (n + 2)(2n + 1)2 − 4(n + 1)3 = −3n − 2 < 0 donc vn+1 − vn                             0.
                                                k             2n   2n   2
                                    k=n+1             k=n+1                                          (vn ) est décroissante et minorée par 0 donc (vn ) converge.
                                         1
(Hn ) est croissante car Hn+1 − Hn = n+1 0.                                                          Nécessairement lim un = 0 car sinon vn = (n + 1)u2 → +∞.
                                                                                                                                                          n
Si (Hn ) converge vers alors H2n − Hn → − = 0. Ceci est impossible puisque                           d) Par télescopage des facteurs
              1
H2n − Hn      2.                                                                                                                2n
Par suite (Hn ) diverge, et puisque (Hn ) est croissante, (Hn ) diverge vers +∞.                                                                  1         1 2        2n − 1    1
                                                                                                                                             1−        =     × × ... ×        =
                                                                                                                                                  k         2 3          2n     2n
                                                                                                                                k=2

                                                                                                     Parallèlement
Exercice 25 : [énoncé]
a) Sachant ln(1 + x) x, on a                                                                                         n               2                2 n                                         2n
                                                                                                                              1                   1               1              1            1              1
                                                                                                           u2
                                                                                                            n   =         1−                                  1−            1−              =           1−
                                                                                                                             2k                   2              2k            2k − 1         2              k
                         1                  1                                                                       k=1                                k=2                                        k=2
                               ln 1 +               = ln(k + 1) − ln k
                         k                  k                                                        e) On en déduit
                                                                                                                                                                        (n + 1)
donc
                                n
                                                                                                                                                      (n + 1)u2
                                                                                                                                                              n
                                                                                                                                                                          4n
                       Hn             ln(k + 1) − ln k = ln(n + 1)                                   et donc C 1/4.
                               k=1                                                                   On peut montrer que C = 1/π en exploitant dès la première question la formule
donc Hn → +∞.                                                                                        de Stirling (si celle-ci est connue. . . ).
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                                         Corrections                                                                                          13

Exercice 27 : [énoncé]                                                                                  Enfin
                                            θ        θ
Via sin 2a = 2 sin a cos a, un = 2n+1 sin 2n+1 cos 2n+1             un+1 .                                                                                     1
                                                                                                                                                bn − an =          →0
              2 tan a                 tan(θ/2    ) n+1                                                                                                        n.n!
Via tan 2a = 1−tan2 a donc vn = 2n+1 1−tan2 (θ/2n+1 ) vn+1 .
sin x ∼ x et tan x ∼ x donc un → θ et vn → θ d’où vn − un → 0.                                          b) On a
     x→0              x→0                                                                                                                 aq < aq+1       e     bq+1 < bq
Les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes de limite commune égale à θ.
                                                                                                        Par suite
                                                                                                                                                       p         1
                                                                                                                                                aq <     < aq +
Exercice 28 : [énoncé]                                                                                                                                 q        q.q!
                                                                                                        puis
                    1    √    √       1       2
     un+1 − un = √     −2 n+1− n = √     −√     √                                           0                                             q.q!aq < p.q! < q.q!aq + 1
                   n+1               n+1    n+1+ n                                                                                    q
                                                                                                                                           q!
De même vn+1 − vn 0 et aisément vn − un → 0 d’où l’adjacence de ces deux                                Or p.q! ∈ Z et q.q!.aq = q         k!   ∈ Z. Absurde.
                                                                                                                                     k=0
suites.
Notons leur limite commune, on a
                  n
                       1   √              √      √      √                                               Exercice 32 : [énoncé]
                      √ = 2 n + + o(1) = 2 n + o( n) ∼ 2 n                                                   √     √ 2
                  k=1
                        k                                                                               a)     a− b         0 donne l’inégalité demandée.
                                                                                                                               √               un−1 +vn−1
                                                                                                        b) Pour n 1, un = un−1 vn−1                 2      = vn en vertu de a.
                                                                                                                √
                                                                                                        un+1 = un vn          u2 = un et vn+1 = un +vn
                                                                                                                               n                      2
                                                                                                                                                             2vn
                                                                                                                                                              2 = vn .
Exercice 29 : [énoncé]
               1                       1           1        1         1             1                   c) La suite (un )n 1 est croissante et majorée par v1 donc elle converge vers une
Sn+1 − Sn = (n+1)2 , Sn+1 − Sn =     (n+1)2   +   n+1   −   n   =   (n+1)2   −   n(n+1)   0 et
          1
                                                                                                        limite notée .
Sn − Sn = n → 0.                                                                                        La suite (vn )n 1 est décroissante est minorée par u1 donc elle converge vers une
                                                                                                        limite notée .
                                                                                                        En passant la relation vn+1 = un +vn à la limite, on obtient = + d’où = .
                                                                                                                                            2                                  2
Exercice 30 : [énoncé]                                                                                  d) Si b = a alors les deux suites (un ) et (vn ) sont constantes égales à a et donc
S2(n+1) − S2n = u2n+2 − u2n+1 0, S2(n+1)+1 − S2n+1 = −u2n+3 + u2n+2 0 et                                M (a, a) = a.
S2n+1 − S2n = −u2n+1 → 0.                                                                               Si b = 0 alors la suite (un )n 1 est constante égale à 0 et donc M (a, 0) = 0.
Les suites (S2n+1 ) et (S2n ) étant adjacentes elles convergent vers une même limite                    e) Notons (un ) et (vn ) les suites définies par le procédé précédent à partir de
et par suite (Sn ) converge aussi vers cette limite.                                                    u0 = λa et v0 = λb.
                                                                                                        Par récurrence, un = λun et vn = λvn donc M (λa, λb) = λM (a, b).
Exercice 31 : [énoncé]
a)
                                                 1                                                      Exercice 33 : [énoncé]
                              an+1 − an =              >0                                               (un ) étant croissante, elle admet une limite, (u2n ) qui en est extraite a la même
                                              (n + 1)!
                                                                                                        limite. Puisque (u2n ) converge, il en est de même de (un ).
donc (an ) est strictement croissante.

                     1            1         1     n(n + 2) − (n + 1)2
    bn+1 − bn =           +               −     =                     <0                                Exercice 34 : [énoncé]
                  (n + 1)! (n + 1)(n + 1)! n.n!    n(n + 1)(n + 1)!
                                                                                                        u2n → , u2n+1 → et u3n → .
donc (bn ) est strictement décroissante.                                                                (u6n ) est extraite de (u2n ) et (u3n ) donc u6n →          et u6n →   . Par suite   =   .
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011                       Corrections                                                                            14

(u6n+3 ) est extraite de (u2n+1 ) et (u3n ) donc u6n+3 → et u6n+3 → . Par suite       Puisque un → +∞, ϕ(n) est bien défini en tant que plus petit élément d’une
   = .                                                                                partie non vide de N.
Il en découle = .                                                                     Il est immédiat par construction que ϕ est une application strictement croissante
Puisque les suites extraites (u2n ) et (u2n+1 ) convergent vers une même limite, la   de N vers N.
suite (un ) converge vers celle-ci.                                                   Il reste à vérifier
                                                                                                                        uϕ(n) − n → 0
                                                                                      Par construction, on a pour n ∈ N
Exercice 35 : [énoncé]
Par l’absurde, supposons cos n → ∈ R.                                                                                        uϕ(n)   n
                                                 p+q     p−q
                        cos p + cos q = 2 cos        cos                              et puisque ϕ(n) − 1 ∈ k ∈ N/k > ϕ(n − 1) et uϕ(n)
                                                                                                          /                                       n , on a
                                                  2       2
donne                                                                                                         ϕ(n) − 1 = ϕ(n − 1) ou uϕ(n)−1 < n
                       cos(n + 1) + cos(n − 1) = 2 cos n cos(1)
                                                                                      Observons qu’il ne peut y avoir qu’un nombre fini de n pour lesquels
A la limite on obtient 2 = 2 cos(1) d’où = 0.
Or cos 2n = 2 cos2 n − 1 donne alors à la limite 0 = −1. Absurde.                                                      ϕ(n − 1) = ϕ(n) − 1

                                                                                      Puisque un+1 − un → 0, à partir d’un rang N , on a
Exercice 36 : [énoncé]
                                                                                                                        |un+1 − un | < 1/2
Par l’absurde, supposons sin n → ∈ R.
                                                 p−q     p+q                          Par construction uϕ(N ) = N + α avec α 0.
                         sin p − sin q = 2 sin       cos                              On a alors
                                                  2       2
                                                                                                                  uϕ(N )+k N + α + k/2
donne
                       sin(n + 1) − sin(n − 1) = 2 sin(1) cos n                       Pour k assez grand, on a
                                                                                                                        uϕ(N )+k < N + k
A la limite, on obtient cos(n) → 0.
Or cos 2n = 2 cos2 n − 1 donne alors à la limite 0 = −1. Absurde.                     Or
                                                                                                                        uϕ(N +k)     N +k
                                                                                      donc
Exercice 37 : [énoncé]                                                                                                ϕ(N + k) = ϕ(N ) + k
         2n     2                          2n+1
0 u2n    n2 = n → 0 et 0        u2n+1     n(n+1)   → 0 donc un → 0.
                                                                                      Ainsi, il n’est pas possible que pour tout p ∈ {N + 1, . . . , N + k} on ait

                                                                                                                       ϕ(p) − 1 = ϕ(p − 1)
Exercice 38 : [énoncé]
On définit les valeurs de ϕ par récurrence en posant                                   et donc il existe p   N + 1 vérifiant

                                        ϕ(0) = 0                                                                    uϕ(p)−1 < p et uϕ(p)      p

et pour tout n ∈ N ,                                                                  et puisque uϕ(p) − uϕ(p−1) < 1/2, on a

                 ϕ(n) = min k ∈ N/k > ϕ(n − 1) et uϕ(k)           k                                                    uϕ(p) ∈ [p, p + 1/2[
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Suites numériques exercices corrigés

  • 1. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 1 Suites numériques Calculs de limites Exercice 8 [ 02254 ] [correction] Convergence d’une suite numérique Déterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes : n n √ √ a) un = 3n −(−2)n b) un = n2 + n + 1 − n2 − n + 1 3 +(−2) Exercice 1 [ 02247 ] [correction] √ n−√n2 +1 1 n Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles convergeant vers et avec < . c) un = n+ n2 −1 d) un = n2 k k=1 Montrer qu’à partir d’un certain rang : un < vn . Exercice 9 [ 02255 ] [correction] Exercice 2 [ 02248 ] [correction] Déterminer les limites des suites dont les termes généraux sont les suivants : √ 1 n n Montrer que (un ) ∈ ZN converge si, et seulement si, (un ) est stationnaire. a) un = 1 + n b) un = n2 1/n n 1 n−1 c) un = sin n d) un = n+1 Exercice 3 [ 02249 ] [correction] n ∈ N, un a et vn b Exercice 10 [ 02256 ] [correction] Soit (a, b) ∈ R2 , (un ) et (vn ) deux suites telles que : Déterminer par comparaison, la limite des suites (un ) suivantes : un + vn → a + b sin n n! Montrer que un → a et vn → b. a) un = n+(−1)n+1 b) un = nn n−(−1)n en c) un = n+(−1)n d) un = nn e) un = n 2 + (−1)n Exercice 4 [ 02250 ] [correction] Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que (un + vn ) et (un − vn ) convergent. Montrer que (un ) et (vn ) convergent. Exercice 11 [ 02257 ] [correction] Déterminer les limites des sommes suivantes : n √ n 1 a) Sn = kb) Sn = √ . k k=1 k=1 Exercice 5 [ 02251 ] [correction] n 1 2n 1 Soit (un ) et (vn ) deux suites convergentes. Etudier lim max(un , vn ). c) Sn = n2 +k2 d) Sn = k2 n→+∞ k=1 k=n+1 n n n √ 1 e) Sn = n2 +k f) Sn = n2 +k k=1 k=1 n Exercice 6 [ 02252 ] [correction] g) Sn = (−1)n−k k! k=0 Soit (un ) et (vn ) deux suites réelles telles que u2 + un vn + vn → 0. n 2 Démontrer que (un ) et (vn ) convergent vers 0. Exercice 12 [ 02258 ] [correction] Comparer Exercice 7 [ 02253 ] [correction] m m n Soit (un ) et (vn ) deux suites telles que 0 un 1, 0 vn 1 et un vn → 1. 1 1 1 lim lim 1− , lim lim 1− et lim 1− Que dire de ces suites ? m→+∞ n→+∞ n n→+∞ m→+∞ n n→+∞ n
  • 2. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 2 Exercice 13 [ 02259 ] [correction] Exercice 17 [ 02263 ] [correction] √ Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose n un → . Déterminer la limite de n −1 a) Montrer que si < 1 alors un → 0. n b) Montrer que si > 1 alors un → +∞. un = k=0 k c) Montrer que dans le cas = 1 on ne peut rien conclure. Exercice 18 [ 02264 ] [correction] Exercice 14 [ 02260 ] [correction] Soit p ∈ N {0, 1}. Pour n ∈ N on pose Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. On suppose −1 n un+1 n+p → un = et Sn = uk un n k=1 a) Montrer que si < 1 alors un → 0. a) Montrer que b) Montrer que si > 1 alors un → +∞. ∀n ∈ N, (n + p + 2)un+2 = (n + 2)un+1 c) Montrer que dans le cas = 1 on ne peut rien conclure. b) Montrer par récurrence 1 Sn = (1 − (n + p + 1)un+1 ) Exercice 15 [ 02261 ] [correction] p−1 Pour tout n ∈ N, on pose c) On pose ∀n ∈ N vn = (n + p)un . Montrer que (vn ) converge vers 0. n n d) En déduire lim Sn en fonction de p. 1 (−1)k−1 Sn = et Sn = n+k k k=1 k=1 Exercice 19 X MP [ 03039 ] [correction] a) Etablir que pour tout p > 1, Soit z ∈ C avec |z| < 1. Existence et calcul de p+1 p n dx 1 dx k lim 1 + z2 p x p p−1 x n→+∞ k=0 En déduire la limite de (Sn ). b) Etablir que S2n = Sn . En déduire la limite de (Sn ). Exercice 20 [ 03196 ] [correction] Etudier la convergence de deux suites réelles (un ) et (vn ) vérifiant Exercice 16 [ 02262 ] [correction] lim (un + vn ) = 0 et lim (eun + evn ) = 2 n→+∞ n→+∞ Soit a ∈ R et pour n ∈ N, n a Pn = cos 2k Suites monotones et bornées k=1 Montrer que Exercice 21 [ 02265 ] [correction] a 1 Soit (un ) une suite croissante de limite . On pose sin n Pn = n sin a 2 2 u1 + · · · + un et déterminer lim Pn . vn = n→∞ n
  • 3. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 3 a) Montrer que (vn ) est croissante. Exercice 26 [ 02270 ] [correction] un +vn b) Etablir que v2n 2 . On pose c) En déduire que vn → . 1 × 3 × 5 × · · · × (2n − 1) un = 2 × 4 × 6 × · · · × (2n) a) Exprimer un à l’aide de factoriels. Exercice 22 [ 02266 ] [correction] b) Montrer que la suite (un ) converge. Soit (un ) une suite réelle convergente. Etudier la limite de la suite vn = sup up . c) On pose p n vn = (n + 1)u2 n Montrer que la suite (vn ) converge. En déduire la limite de la suite (un ) Exercice 23 [ 02267 ] [correction] d) Simplifier 2n Soit (un ) une suite réelle bornée. On pose 1 1− k k=2 vn = sup up et wn = inf up p n p n et comparer ce produit à u2 . n e) En déduire que la limite C de la suite (vn ) est strictement positive. Montrer que les suites (vn ) et (wn ) possèdent chacune une limite dans R et comparer celles-ci. Suites adjacentes Exercice 24 [ 02268 ] [correction] Exercice 27 [ 02271 ] [correction] [Somme harmonique] Soit θ ∈ ]0, π/2[, un = 2n sin 2θ , vn = 2n tan 2θ . n n Pour tout n ∈ N, on pose Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. Quelle est leur limite n 1 commune ? Hn = k k=1 Montrer que Exercice 28 [ 00325 ] [correction] 1 ∀n ∈ N , H2n − Hn On pose 2 n 1 √ n 1 √ En déduire que lim Hn = +∞. un = √ − 2 n et vn = √ −2 n+1 n→∞ k=1 k k=1 k Montrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. En déduire un équivalent de Exercice 25 [ 02269 ] [correction] n 1 Soit (Hn ) la suite définie pour n ∈ N par √ k=1 k n 1 Hn = k k=1 Exercice 29 [ 02272 ] [correction] n 1 1 a) Montrer que Hn → +∞. Pour tout n ∈ N , on pose Sn = k2 et Sn = Sn + n . b) Soit (un ) une suite telle que n(un+1 − un ) → 1. Montrer que un → +∞. k=1 Montrer que les suites (Sn ) et (Sn ) sont adjacentes. On peut montrer que leur limite commune est π 2 /6, mais c’est une autre histoire...
  • 4. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 4 Exercice 30 [ 02273 ] [correction] Exercice 34 [ 02277 ] [correction] [Critère spécial des séries alternées ou critère de Leibniz] Soit (un ) une suite complexe telle que (u2n ), (u2n+1 ) et (u3n ) convergent. Montrer Soit (un ) une suite de réels décroissante et de limite nulle. que (un ) converge. n Pour tout n ∈ N, on pose Sn = (−1)k uk . k=0 Montrer que les suites extraites (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes et en déduire que Exercice 35 [ 02278 ] [correction] (Sn ) converge. Justifier que la suite de terme général cos n diverge. Exercice 31 [ 02274 ] [correction] [Irrationalité du nombre de Néper] Exercice 36 [ 00327 ] [correction] Soient Montrer que la suite de terme général sin n diverge. n n 1 1 1 1 an = et bn = + = an + k! k! n.n! n.n! k=0 k=0 Exercice 37 [ 02279 ] [correction] a) Montrer que (an ) et (bn ) sont strictement monotones et adjacentes. n+p Soit (un ) une suite réelle telle que ∀n, p ∈ N , 0 un+p np . Montrer que On admet que leur limite commune est e . On désire montrer que e ∈ Q et pour / un → 0. cela on raisonne par l’absurde en supposant e = p avec p ∈ Z, q ∈ N . q b) Montrer que aq < e < bq puis obtenir une absurdité. Exercice 38 X MP [ 03234 ] [correction] Soit (un ) une suite réelle vérifiant Exercice 32 [ 02275 ] [correction] [Moyenne arithmético-géométrique] un+1 − un → 0 et un → +∞ a) Pour (a, b) ∈ R+2 , établir : √ 2 ab a+b Montrer qu’il existe une application ϕ : N → N strictement croissante vérifiant b) On considère les suites de réels positifs (un ) et (vn ) définies par uϕ(n) − n → 0 √ un + vn u0 = a, v0 = b et ∀n ∈ N, un+1 = un vn , vn+1 = 2 Comparaison de suites numériques Montrer que, pour tout n 1, un vn , un un+1 et vn+1 vn . c) Etablir que (un ) et (vn ) convergent vers une même limite. Cette limite commune est appelée moyenne arithmético-géométrique de a et b et Exercice 39 [ 02280 ] [correction] est notée M (a, b). Classer les suites, dont les termes généraux, sont les suivants par ordre de d) Calculer M (a, a) et M (a, 0) pour a ∈ R+ . négligeabilité : √ n2 e) Exprimer M (λa, λb) en fonction de M (a, b) pour λ ∈ R+ . a) n , n2 , ln n , ln 2 , n ln n b) n, n2 , n ln n, n ln n, ln n . 1 1 n n n 1 Suites extraites Exercice 40 [ 02281 ] [correction] Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes et donner leur limite : √ 2 Exercice 33 [ 02276 ] [correction] a) un = (n + 3 ln n)e−(n+1) b) un = ln(n +1) c) un = √n 2+n+1 2 n+1 3 n −n+1 On suppose que (un ) est une suite réelle croissante telle que (u2n ) converge. Montrer que (un ) converge.
  • 5. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 5 Exercice 41 [ 00236 ] [correction] a) Justifier que Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes et donner leur limite : 1 √ √ 1 3 √ √ 2 n+1− n √ − n2 3 −ln n+1 n!+en n a) un = nln n−2n+1 b) un = 2n n2 +1 2 c) un = 2n +3n n+1 b) Déterminer la limite √ (Sn ). de c) On pose un = Sn − 2 n. Montrer que (un ) converge. Exercice 42 [ 02282 ] [correction] d) Donner un équivalent simple de (Sn ). Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes : √ √ 1 1 a) un = n−1 − n+1 b) un = n + 1 − n − 1 c) un = ln(n + 1) − ln(n) Exercice 48 [ 00301 ] [correction] On étudie ici la suite (Sn ) de terme général Exercice 43 [ 00235 ] [correction] n Trouver un équivalent simple aux suites (un ) suivantes : 1 1 1 a) un = sin √n+1 b) un = ln sin n c) un = 1 − cos n .1 Sn = k k=1 a) Etablir que pour tout t > −1, ln(1 + t) t et en déduire Exercice 44 [ 02283 ] [correction] Déterminer la limite des suites (un ) suivantes : t ln(1 + t) n √ t+1 1 1 n n+1 a) un = n ln 1 + n2 +1 b) un = 1 + sin n c) un = √ . (n+1) n b) Observer que ln(n + 1) Sn ln n + 1 Exercice 45 [ 02287 ] [correction] et en déduire un équivalent simple de Sn . Soit (un ) une suite décroissante de réels telle que un + un+1 ∼ 1 c) Montrer que la suite un = Sn − ln n est convergente. Sa limite est appelée n. a) Montrer que (un ) converge vers 0+ . constante d’Euler et est usuellement notée γ. b) Donner un équivalent simple de (un ). Exercice 49 [ 02286 ] [correction] Exercice 46 [ 02284 ] [correction] Soit (un ), (vn ), (wn ), (tn ) des suites de réels strictement positifs tels que un ∼ vn Pour n ∈ N, on pose et wn ∼ tn . Montrer que un + wn ∼ vn + tn . n un = 0! + 1! + 2! + · · · + n! = k! k=0 Limite de suite des solutions d’une équation Montrer que un ∼ n!. Exercice 50 [ 02289 ] [correction] Soit n un entier naturel et En l’équation x + ln x = n d’inconnue x ∈ R+ . Exercice 47 [ 02285 ] [correction] a) Montrer que l’équation En possède une solution unique notée xn . On pose b) Montrer que la suite (xn ) diverge vers +∞. n 1 c) Donner un équivalent simple de la suite (xn ). Sn = √ k=1 k
  • 6. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 6 Exercice 51 [ 02290 ] [correction] Exercice 57 [ 02295 ] [correction] Soit n un entier naturel et En l’équation x + tan x = n d’inconnue x ∈ ]−π/2, π/2[. Soit (zn ) une suite complexe telle que a) Montrer que l’équation En possède une solution unique notée xn . b) Montrer que la suite (xn ) converge et déterminer sa limite. 1 ∀n ∈ N, zn+1 = z (zn + 2¯n ) 3 Montrer que (zn ) converge et exprimer sa limite en fonction de z0 . Exercice 52 [ 02288 ] [correction] Montrer que l’équation xex = n possède pour tout n ∈ N, une unique solution xn dans R+ . Exercice 58 [ 02296 ] [correction] Etudier la limite de (xn ). Soit (un ) et (vn ) les suites déterminées par u0 = 1, v0 = 2 et pour tout n ∈ N : Exercice 53 [ 02291 ] [correction] un+1 = 3un + 2vn et vn+1 = 2un + 3vn Soit n un entier naturel non nul et En l’équation : xn ln x = 1 d’inconnue x ∈ R+ . a) Montrer que la suite (un − vn ) est constante. a) Montrer que l’équation En admet une unique solution xn , et que xn 1. b) Prouver que (un ) est une suite arithmético-géométrique. b) Montrer que la suite (xn ) est décroissante et converge vers 1. c) Exprimer les termes généraux des suites (un ) et (vn ). Exercice 54 [ 02292 ] [correction] Soient n ∈ N et Exercice 59 [ 02297 ] [correction] En : xn + xn−1 + · · · + x = 1 Soient ρ > 0 et θ ∈ ]0, π[. On considère la suite complexe (zn ) définie par z0 = ρ eiθ et a) Montrer que l’équation En possède une unique solution xn dans R+ et que xn ∈ [1/2, 1] zn + |zn | b) Montrer que (xn ) converge. ∀n ∈ N, zn+1 = 2 c) Déterminer la limite de (xn ). a) Exprimer zn sous forme d’un produit. b) Déterminer lim zn . n→+∞ Expression du terme général d’une suite récurrente Exercice 55 [ 02293 ] [correction] Exercice 60 X MP [ 03048 ] [correction] Donner l’expression du terme général et la limite de la suite récurrente réelle Etudier la suite (zn )n 0 définie par z0 ∈ C et (un )n 0 définie par : a) u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = 2un + 1 zn + |zn | ∀n ∈ N, zn+1 = b) u0 = 0 et ∀n ∈ N, un+1 = un2 . +1 2 Exercice 56 [ 02294 ] [correction] Suites récurrentes linéaire d’ordre 2 Soit (xn ) et (yn ) deux suites réelles telles que Exercice 61 [ 02298 ] [correction] xn − yn xn + yn Donner l’expression du terme général de la suite récurrente complexe (un )n ∀n ∈ N, xn+1 = et yn+1 = 0 2 2 définie par : u0 = 0, u1 = 1 + 4i et En introduisant la suite complexe de terme général zn = xn + i.yn , montrer que les suites (xn ) et (yn ) convergent et déterminer leurs limites. ∀n ∈ N, un+2 = (3 − 2i)un+1 − (5 − 5i)un
  • 7. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 7 Exercice 62 [ 02299 ] [correction] Exercice 69 [ 02308 ] [correction] Donner l’expression du terme général des suites récurrentes réelles suivantes : Etudier la suite (un ) définie par a) (un )n 0 définie par u0 = 1, u1 = 0 et ∀n ∈ N, un+2 = 4un+1 − 4un 1 b) (un )n 0 définie par u0 = 1, u1 = −1 et ∀n ∈ N, 2un+2 = 3un+1 − un u0 > 0 et ∀n ∈ N, un+1 = c) (un )n 0 définie par u0 = 1, u1 = 2 et ∀n ∈ N, un+2 = un+1 − un . 2 + un Exercice 70 [ 02309 ] [correction] Exercice 63 [ 02300 ] [correction] Soit (un ) la suite réelle définie par Soit θ ∈ ]0, π[. Déterminer le terme général de la suite réelle (un ) définie par : √ u0 = a ∈ [−2, 2] et ∀n ∈ N, un+1 = 2 − un u0 = u1 = 1 et ∀n ∈ N, un+2 − 2 cos θun+1 + un = 0 a) Justifier que la suite (un ) est bien définie et Etude de suites récurrentes ∀n ∈ N, un ∈ [−2, 2] b) Quelles sont les limites finies possibles pour (un ) ? Exercice 64 [ 02304 ] [correction] c) Montrer que (|un − 1|) converge puis que lim |un − 1| = 0. En déduire lim un . Etudier la suite (un ) définie par u0 = a ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = u2 n Exercice 71 [ 02310 ] [correction] Soit a ∈ C tel que 0 < |a| < 1 et (un ) la suite définie par un Exercice 65 [ 02305 ] [correction] u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = 2 − un Etudier la suite (un ) définie par Montrer que (un ) est bien définie et |un | < 1. Etudier la limite de (un ). u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = u2 + 1 n Exercice 72 [ 02312 ] [correction] Exercice 66 [ 02303 ] [correction] Soit a > 0 et (un ) la suite définie par u0 > 0 et Etudier la suite (un ) définie par 1 a √ ∀n ∈ N, un+1 = un + u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 1 + un 2 un a) Etudier la convergence de la suite (un ). Exercice 67 [ 02306 ] [correction] b) On pose pour tout n ∈ N √ un − a Etudier la suite (un ) définie par vn = √ un + a u0 1 et ∀n ∈ N, un+1 = 1 + ln un Calculer vn+1 en fonction de vn , puis vn en fonction de v0 et n. √ c) Montrer que, si u0 > a, on a √ 2n Exercice 68 [ 02307 ] [correction] un − a 2u0 .v0 Etudier la suite (un ) définie par √ 2n Ainsi, un réalise une approximation de a à la précision 2u0 .v0 → 0. n∞ √ u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = eun − 1 On peut alors par des calculs élémentaires, déterminer une approximation de a.
  • 8. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Enoncés 8 Exercice 73 [ 02313 ] [correction] Exercice 78 [ 03229 ] [correction] On considère l’équation ln x + x = 0 d’inconnue x > 0. Soit (un ) une suite réelle vérifiant a) Montrer que l’équation possède une unique solution α. b) Former, par l’algorithme de Newton, une suite récurrente réelle (un ) ∀n ∈ N, un ∈ [1/2, 1] convergeant vers α. Soit (vn ) la suite déterminée par vn + un+1 Exercice 74 [ 02311 ] [correction] v0 = u0 et ∀n ∈ N, vn+1 = Déterminer le terme général de la suite (un ) définie par : 1 + un+1 vn u0 = a > 0, u1 = b > 0 et ∀n ∈ N, un+2 un = u2 n+1 Montrer que la suite (vn ) converge et déterminer sa limite. A quelle condition (un ) converge ? Exercice 75 [ 02301 ] [correction] Soit a ∈ R+ . On définit une suite (un ) par n u0 = a et ∀n ∈ N, un+1 = uk k=0 a) Déterminer la limite de (un ). b) Déterminer la limite de un+1 − un . Exercice 76 [ 02302 ] [correction] On considère la suite (un ) définie pour n 1 par √ un = n+ (n − 1) + · · · + 2+ 1 a) Montrer que (un ) diverge vers +∞. b) Exprimer un+1 en fonction de un . c) Montrer que un n puis que un = o(n). d) Donner un équivalent simple de (un ). √ e) Déterminer lim un − n. n→+∞ Exercice 77 [ 00094 ] [correction] Etablir √ 1 1+ 1+ 1 + ··· = 1 + 1 1+ .. 1+ .
  • 9. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Corrections 9 Corrections Exercice 8 : [énoncé] n a) un = 1−(−2/3)n → 1. 1+(−2/3) Exercice 1 : [énoncé] 2n 2 b) un = √n2 +n+1+√n2 −n+1 = 1 1 1 1 → 1. 1+ n + n2 + 1− n + n2 Posons m = + . On a un → < m et donc ∃n0 ∈ N, ∀n 2 n0 , un < m et √ 1− 1+1/n2 ∃n1 ∈ N, ∀n n1 , vn > m. c) un = √ 2 → 0. 1+ 1−1/n Pour tout n max(n0 , n1 ) on a un < m < vn . (n+1) 1 d) un = 2n → 2 Exercice 2 : [énoncé] Si (un ) est stationnaire, il est clair que cette suite converge. Exercice 9 : [énoncé] 1 1 1 ln(1+x) Inversement, supposons que (un ) converge et notons sa limite. a) un = en(ln(1+1/n)) or n ln 1 + n = 1/n ln 1 + n → 1 car x −− −→ 1. Par x→0 Montrons ∈ Z. Par l’absurde, si ∈ Z alors E( ) < < E( ) + 1 donc à partir / suite un → e. 2 d’un certain rang E( ) < un < E( ) + 1. Or un ∈ Z. Absurde. Ainsi ∈ Z. b) un = e n ln n → 1 car ln n → 0. n Puisque un → et − 1 < < + 1, à partir d’un certain rang − 1 < un < + 1. 1 1/n 1 1 1 1 1 1 1 1/n c) sin n = e n ln(sin n ) or n ln sin n ∼ n ln n → 0 donc sin n → 1. Or un ∈ Z et ∈ Z donc un = . Finalement (un ) est stationnaire égale à . n n = en ln(1− n+1 ) or n ln 1 − n+1 ∼ −2 → −2 donc n−1 2 d) n−1 n+1 2 n+1 → e−2 . Exercice 3 : [énoncé] 0 a − un (a − un ) + (b − vn ) = (a + b) − (un + vn ) → 0 donc un → a puis Exercice 10 : [énoncé] vn = (un + vn ) − un → (a + b) − a = b. 1 a) |un | n−1 → 0 donc un → 0. 1.2...n 1 b) 0 un n.n...n n → 0 donc un → 0. n−1 n+1 n−1 n+1 c) n+1 un n−1 avec n+1 , n−1 → 1 donc un → 1. Exercice 4 : [énoncé] e e e d) 0 un 1 × 1 × · · · × 1 × n → 0 donc un → 0. √2 Supposons un + vn → et un − vn → . e) 1 un n 1 3 = e n ln 3 → 1 donc un → 1. − 1 un = 2 (un + vn ) + 1 (un − vn ) → + et de même vn → 2 2 2 . Exercice 11 : [énoncé] Exercice 5 : [énoncé] n 1 max(un , vn ) = 2 ((un + vn ) + |un − vn |) → max(lim un , lim vn ). a) Sn 1 = n → +∞ k=1 n 1 √ b) Sn √ n = n → +∞. k=1 Exercice 6 : [énoncé] n 1 n 0 (un + vn )2 = u2 + 2un vn + vn 2(u2 + un vn + vn ) → 0. Ainsi un + vn → 0 2 2 c) 0 Sn n2 +1 = n2 +1 → 0 donc un → 0. n n k=1 2 2 2 puis un vn = (un + vn ) − (un + un vn + vn ) → 0 et donc u2 + vn → 0 qui permet n 2 2n 1 n de conclure un , vn → 0. d) 0 Sn (n+1)2 (n+1)2 → 0. k=n+1 n n n n n n2 e) n2 +n un n2 +1 donc n+1 un n2 +1 puis un → 1. k=1 k=1 Exercice 7 : [énoncé] n n un vn un , vn 1. Par le théorème des gendarmes : lim un = lim vn = 1. f) √ n = √ 1 Sn √ 1 = √ n par le théorème des n2 +n n2 +n n2 +1 n2 +1 k=1 k=1 gendarmes : Sn → 1.
  • 10. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Corrections 10 g) Sn = n! − (n − 1)! + (n − 2)! + · · · + (−1)n . Par regroupement de termes. Pour n 1, n+k+1 n+k Si n est pair alors Sn n! − (n − 1)! et si n est impair Sn n! − (n − 1)! − 1. dx 1 dx Puisque n! − (n − 1)! = (n − 1).(n − 1)! → +∞, on a Sn → +∞. n+k x n+k n+k−1 x donne en sommant 2n+1 2n dx dx Exercice 12 : [énoncé] Sn 1 m 1 m n+1 x n x lim 1 − n = 1m et lim lim 1− n = 1. n→+∞ m→+∞ n→+∞ Or 1 m 1 m 2n+1 lim 1− n = 0 et lim lim 1− n = 0. dx 2n + 1 m→+∞ n→+∞ m→+∞ = ln → ln 2 1 n n ln(1− n ) 1 −1 n+1 x n+1 1− n =e →e . et 2n dx = ln 2 Exercice 13 : [énoncé] n x a) Soit ρ = +1 de sorte que < ρ < 1. donc Sn → ln 2. √ 2 √ Comme n un → < ρ, il existe un rang N au delà duquel n un ρ donc b) On a n 0 < un ρ . On a alors un → 0. b) Même démarche mais par minoration. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S2n = − + − +· · ·+ − = + + ··· + −2 + + ··· + c) un = n, un = 1 et un = 1/n sont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire. 1 2 3 4 2n − 1 2n 1 2 2n 2 4 2n donc 2n n 2n n 1 1 1 1 Exercice 14 : [énoncé] S2n = − = = = Sn k k k n+k a) Soit ρ = +1 de sorte que < ρ < 1. 2 k=1 k=1 k=n+1 k=1 Comme uun → < ρ, il existe un rang N au delà duquel uun n+1 n+1 ρ. Par suite S2n → ln 2. De plus S2n+1 = S2n + 1 → ln 2 donc 2n+1 On a alors un un−1 uN +1 0 un = ··· uN ρn−N uN → 0 Sn → ln 2 un−1 un−2 uN donc un → 0. b) Même démarche mais par minoration. Exercice 16 : [énoncé] c) un = n, un = 1 et un = 1/n sont des exemples prouvant qu’on ne peut rien dire. En exploitant la formule sin 2x = 2 sin x cos x a 1 a a a 1 sin Pn = sin n−1 cos n−1 · · · cos = . . . = n sin a Exercice 15 : [énoncé] 2n 2 2 2 2 2 a) On a Si a = 0 alors Pn = 1 → 1. p+1 p+1 dx dx 1 Si a = 0 alors, pour n assez grand, sin(a/2n ) = 0 et = p x p p p sin a sin a car la fonction décroissante x → 1 est majorée par 1 sur [p, p + 1]. Pn = → x p 2n sin 2a n a Par un argument semblable p p car 2n sin 2a ∼ 2n 2a = a. n n dx dx 1 = p−1 x p−1 p p
  • 11. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Corrections 11 Exercice 17 : [énoncé] Exercice 19 : [énoncé] n On a k n n+1 n−2 −1 (1 − z) 1 + z2 = (1 − z)(1 + z)(1 + z 2 ) . . . (1 + z 2 ) = (1 − z 2 ). 1 n 1 k=0 un = 1 + + + +1 n+1 n k n k n Or z 2 → 0 donc lim 1 + z2 = 1 k=2 n→+∞ k=0 1−z . Or pour k ∈ {2, . . . , n − 2}, n n n(n − 1) = Exercice 20 : [énoncé] k 2 2 Posons εn = un + vn . On a, par factorisation de l’exponentielle équilibrée donc εn n−2 −1 eun + evn = eun + eεn −un = 2eεn /2 ch un − n 2(n − 3) 2 0 →0 k n(n − 1) Puisque εn → 0 et eun + evn → 2, on a par opérations k=2 puis un → 2. εn ch un − →1 2 Exercice 18 : [énoncé] et donc en composant avec la fonction argch a) n+p+2 n+p+1 εn n+p+2 un − →0 = 2 n+2 n+2 n+1 On en déduit un → 0 puis vn → 0. d’où la relation. b) Par récurrence sur n ∈ N : Pour n = 1 : Exercice 21 : [énoncé] 1 1 2 1 S1 = et (1 − (p + 2) )= a) p+1 p−1 (p + 2)(p + 1) p+1 nun+1 − (u1 + · · · + un ) vn+1 − vn = 0 1 n(n + 1) ok donc (vn ) est croissante. Supposons la propriété établie au rang n1. b) u1 + · · · + un un+1 + · · · + u2n vn un 1 1 1 v2n = + + Sn+1 = Sn +un+1 = (1−(n+p+1)un+1 )+un+1 = (1−(n+2)un+1 ) = (1−(n+p+2)un+2 ) 2n 2n 2 2 HR p − 1 p−1 p − 1 c) On a v n pour tout n ∈ N et (vn ) croissante donc (vn ) converge vers un réel Récurrence établie. . c) La relation précédente, passée à la limite, donne 2 + ce qui permet de n+p n!p! p! conclure vn → . 0 vn = = →0 n+p (n + p − 1)! n+1 n Exercice 22 : [énoncé] d) Par opérations (un ) converge donc (un ) est bornée. La suite (vn ) est donc bien définie et 1 elle-même bornée. Sn → p−1 On a vn+1 vn donc (vn ) est décroissante et donc converge.
  • 12. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Corrections 12 Posons = lim un et = lim vn . b) Il existe N ∈ N tel que pour tout n N, vn un donc à la limite . Si > alors > 2 > . + n(un+1 − un ) 1/2 + + A partir d’un certain rang vn > 2 et un < 2 . Impossible. Il reste = . On a alors n n 1 1 1 un+1 − uN uk+1 − uk = (Hn − HN −1 ) → +∞ Exercice 23 : [énoncé] 2 k 2 k=N k=N Pour tout n ∈ N puis un → +∞. {up /p n + 1} ⊂ {up /p n} donc vn+1 vn et wn+1 wn . Les suites (vn ) et (wn ) sont respectivement décroissante et croissante. De plus Exercice 26 : [énoncé] wn vn . a) La suite (vn ) est décroissante et minorée par w0 donc elle converge vers une limite (2n)! un = . 22n (n!)2 De même la suite (wn ) converge vers une limite m. Enfin wn vn donne à la b) On a limite un+1 (2n + 2)(2n + 1) 2n + 1 = = 1 m un 4(n + 1)2 2n + 2 donc (un ) est décroissante. Or (un ) est minorée par 0 donc (un ) converge. c) Exercice 24 : [énoncé] vn+1 n + 2 u2 n + 2 2n + 1 2 n+1 On a = = 2n 2n vn n + 1 u2 n n + 1 2n + 2 1 1 n 1 H2n − Hn = = = or (n + 2)(2n + 1)2 − 4(n + 1)3 = −3n − 2 < 0 donc vn+1 − vn 0. k 2n 2n 2 k=n+1 k=n+1 (vn ) est décroissante et minorée par 0 donc (vn ) converge. 1 (Hn ) est croissante car Hn+1 − Hn = n+1 0. Nécessairement lim un = 0 car sinon vn = (n + 1)u2 → +∞. n Si (Hn ) converge vers alors H2n − Hn → − = 0. Ceci est impossible puisque d) Par télescopage des facteurs 1 H2n − Hn 2. 2n Par suite (Hn ) diverge, et puisque (Hn ) est croissante, (Hn ) diverge vers +∞. 1 1 2 2n − 1 1 1− = × × ... × = k 2 3 2n 2n k=2 Parallèlement Exercice 25 : [énoncé] a) Sachant ln(1 + x) x, on a n 2 2 n 2n 1 1 1 1 1 1 u2 n = 1− 1− 1− = 1− 2k 2 2k 2k − 1 2 k 1 1 k=1 k=2 k=2 ln 1 + = ln(k + 1) − ln k k k e) On en déduit (n + 1) donc n (n + 1)u2 n 4n Hn ln(k + 1) − ln k = ln(n + 1) et donc C 1/4. k=1 On peut montrer que C = 1/π en exploitant dès la première question la formule donc Hn → +∞. de Stirling (si celle-ci est connue. . . ).
  • 13. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Corrections 13 Exercice 27 : [énoncé] Enfin θ θ Via sin 2a = 2 sin a cos a, un = 2n+1 sin 2n+1 cos 2n+1 un+1 . 1 bn − an = →0 2 tan a tan(θ/2 ) n+1 n.n! Via tan 2a = 1−tan2 a donc vn = 2n+1 1−tan2 (θ/2n+1 ) vn+1 . sin x ∼ x et tan x ∼ x donc un → θ et vn → θ d’où vn − un → 0. b) On a x→0 x→0 aq < aq+1 e bq+1 < bq Les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes de limite commune égale à θ. Par suite p 1 aq < < aq + Exercice 28 : [énoncé] q q.q! puis 1 √ √ 1 2 un+1 − un = √ −2 n+1− n = √ −√ √ 0 q.q!aq < p.q! < q.q!aq + 1 n+1 n+1 n+1+ n q q! De même vn+1 − vn 0 et aisément vn − un → 0 d’où l’adjacence de ces deux Or p.q! ∈ Z et q.q!.aq = q k! ∈ Z. Absurde. k=0 suites. Notons leur limite commune, on a n 1 √ √ √ √ Exercice 32 : [énoncé] √ = 2 n + + o(1) = 2 n + o( n) ∼ 2 n √ √ 2 k=1 k a) a− b 0 donne l’inégalité demandée. √ un−1 +vn−1 b) Pour n 1, un = un−1 vn−1 2 = vn en vertu de a. √ un+1 = un vn u2 = un et vn+1 = un +vn n 2 2vn 2 = vn . Exercice 29 : [énoncé] 1 1 1 1 1 1 c) La suite (un )n 1 est croissante et majorée par v1 donc elle converge vers une Sn+1 − Sn = (n+1)2 , Sn+1 − Sn = (n+1)2 + n+1 − n = (n+1)2 − n(n+1) 0 et 1 limite notée . Sn − Sn = n → 0. La suite (vn )n 1 est décroissante est minorée par u1 donc elle converge vers une limite notée . En passant la relation vn+1 = un +vn à la limite, on obtient = + d’où = . 2 2 Exercice 30 : [énoncé] d) Si b = a alors les deux suites (un ) et (vn ) sont constantes égales à a et donc S2(n+1) − S2n = u2n+2 − u2n+1 0, S2(n+1)+1 − S2n+1 = −u2n+3 + u2n+2 0 et M (a, a) = a. S2n+1 − S2n = −u2n+1 → 0. Si b = 0 alors la suite (un )n 1 est constante égale à 0 et donc M (a, 0) = 0. Les suites (S2n+1 ) et (S2n ) étant adjacentes elles convergent vers une même limite e) Notons (un ) et (vn ) les suites définies par le procédé précédent à partir de et par suite (Sn ) converge aussi vers cette limite. u0 = λa et v0 = λb. Par récurrence, un = λun et vn = λvn donc M (λa, λb) = λM (a, b). Exercice 31 : [énoncé] a) 1 Exercice 33 : [énoncé] an+1 − an = >0 (un ) étant croissante, elle admet une limite, (u2n ) qui en est extraite a la même (n + 1)! limite. Puisque (u2n ) converge, il en est de même de (un ). donc (an ) est strictement croissante. 1 1 1 n(n + 2) − (n + 1)2 bn+1 − bn = + − = <0 Exercice 34 : [énoncé] (n + 1)! (n + 1)(n + 1)! n.n! n(n + 1)(n + 1)! u2n → , u2n+1 → et u3n → . donc (bn ) est strictement décroissante. (u6n ) est extraite de (u2n ) et (u3n ) donc u6n → et u6n → . Par suite = .
  • 14. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD édité le 31 août 2011 Corrections 14 (u6n+3 ) est extraite de (u2n+1 ) et (u3n ) donc u6n+3 → et u6n+3 → . Par suite Puisque un → +∞, ϕ(n) est bien défini en tant que plus petit élément d’une = . partie non vide de N. Il en découle = . Il est immédiat par construction que ϕ est une application strictement croissante Puisque les suites extraites (u2n ) et (u2n+1 ) convergent vers une même limite, la de N vers N. suite (un ) converge vers celle-ci. Il reste à vérifier uϕ(n) − n → 0 Par construction, on a pour n ∈ N Exercice 35 : [énoncé] Par l’absurde, supposons cos n → ∈ R. uϕ(n) n p+q p−q cos p + cos q = 2 cos cos et puisque ϕ(n) − 1 ∈ k ∈ N/k > ϕ(n − 1) et uϕ(n) / n , on a 2 2 donne ϕ(n) − 1 = ϕ(n − 1) ou uϕ(n)−1 < n cos(n + 1) + cos(n − 1) = 2 cos n cos(1) Observons qu’il ne peut y avoir qu’un nombre fini de n pour lesquels A la limite on obtient 2 = 2 cos(1) d’où = 0. Or cos 2n = 2 cos2 n − 1 donne alors à la limite 0 = −1. Absurde. ϕ(n − 1) = ϕ(n) − 1 Puisque un+1 − un → 0, à partir d’un rang N , on a Exercice 36 : [énoncé] |un+1 − un | < 1/2 Par l’absurde, supposons sin n → ∈ R. p−q p+q Par construction uϕ(N ) = N + α avec α 0. sin p − sin q = 2 sin cos On a alors 2 2 uϕ(N )+k N + α + k/2 donne sin(n + 1) − sin(n − 1) = 2 sin(1) cos n Pour k assez grand, on a uϕ(N )+k < N + k A la limite, on obtient cos(n) → 0. Or cos 2n = 2 cos2 n − 1 donne alors à la limite 0 = −1. Absurde. Or uϕ(N +k) N +k donc Exercice 37 : [énoncé] ϕ(N + k) = ϕ(N ) + k 2n 2 2n+1 0 u2n n2 = n → 0 et 0 u2n+1 n(n+1) → 0 donc un → 0. Ainsi, il n’est pas possible que pour tout p ∈ {N + 1, . . . , N + k} on ait ϕ(p) − 1 = ϕ(p − 1) Exercice 38 : [énoncé] On définit les valeurs de ϕ par récurrence en posant et donc il existe p N + 1 vérifiant ϕ(0) = 0 uϕ(p)−1 < p et uϕ(p) p et pour tout n ∈ N , et puisque uϕ(p) − uϕ(p−1) < 1/2, on a ϕ(n) = min k ∈ N/k > ϕ(n − 1) et uϕ(k) k uϕ(p) ∈ [p, p + 1/2[