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`                DEUXIEME PARTIE : Utilisation de polynˆmes                                                      o1. Soit ...
4. a) D´montrer, pour tout r´el ϕ ∈]0, π [ , les encadrements       e                    e          2                     ...
b) En d´duire que, pour tout entier n , on a          e                                       π 2 In                      ...
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c) En d´duire alors          e                                                 N       M                                  ...
7. a) Pour tout r´el x ∈]0, 1[ , d´montrer la relation                 e                e                                 ...
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  1. 1. ´ Capes externe de mathematiques : session 2007 ` Premiere composition INTRODUCTION L’objet du probl`me est l’´tude de la suite (sn )n≥1 d´finie par : e e e n 1 ∀n ≥ 1, sn = k=1 k2 Dans une premi`re partie, nous nous attacherons a d´montrer, de diff´rentes fa¸ons, e ` e e cpar des m´thodes ´l´mentaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantes e eeseront consacr´es ` la d´termination de sa limite S par divers moyens. Les parties 5 et e a e6 utiliseront la valeur de S pour calculer la somme de certaines s´ries num´riques. e e On rappelle que, pour tous entiers m , n v´rifiant m ≤ n , on note [[m, n]] l’intervalle ed’entiers [[m, n]] = {p ∈ Z | m ≤ p ≤ n} ` PREMIERE PARTIE : Convergence de la suite Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partiedu programme de Terminale S.1. Premi`re m´thode e e a) D´montrer que, pour tout entier k ≥ 2 , on a la majoration e 1 1 1 2 ≤ k−1 − k k b) En d´duire que la suite (sn )n≥1 est major´e. e e c) D´montrer que la suite (sn )n≥1 converge et donner un majorant de sa limite. e Dans toute la suite du probl`me, on notera S cette limite. e2. Deuxi`me m´thode e e On consid`re la suite (tn )n≥1 , d´finie par : e e 1 ∀n ≥ 1, tn = sn + n a) D´montrer que les suites (sn )n≥1 et (tn )n≥1 sont adjacentes. e b) Donner, en le justifiant, un encadrement d’amplitude 10−1 de S.3. Troisi`me m´thode e e Ecrire le texte d’un exercice de niveau terminale S d´montrant, par comparaison a e `une int´grale, la convergence de la suite (sn )n≥1 . e 1
  2. 2. ` DEUXIEME PARTIE : Utilisation de polynˆmes o1. Soit P ∈ C[X] un polynˆme de degr´ n ≥ 1 : P (X) = a0 +a1 X +a2 X 2 +· · ·+an X n . o e n Rappeler la formule permettant de calculer la somme σ1 = αi = α1 + · · · + αn i=1 des racines de P en fonction de ses coefficients ak , k ∈ [[0, n]].2. a) Soient p ∈ N et ϕ ∈ R . D´montrer l’´galit´ e e e p 2p+1 sin (2p + 1)ϕ = (−1)k cos2p−2k (ϕ) sin2k+1 (ϕ) 2k+1 k=0 2p+1 o` u d´signe le coefficient binˆmial pour k ∈ [[0, p]] . e o 2k+1 b) En d´duire que, pour tout entier p ∈ N et pour tout r´el ϕ ≡ 0[π] , on a e e p 2p+1 p−k 2p+1 sin (2p + 1)ϕ = sin (ϕ) (−1)k cotan 2 ϕ 2k+1 k=0 cos ϕ o` cotan ϕ = u . sin ϕ3. Soit p ∈ N∗ et P ∈ R[X] le polynˆme d´fini par : o e p 2p+1 P (X) = (−1)k X p−k 2k+1 k=0 kπ a) Pour tout entier k ∈ [[1, p]] , on pose γk = cotan 2 2p + 1 . Calculer P (γk ) pour tout k ∈ [[1, p]]. kπ b) V´rifier que, pour tout k ∈ [[1, p]] , le r´el e e appartient a l’intervalle ` 2p + 1 ]0, π [ . En d´duire que le polynˆme P poss`de p racines distinctes, que l’on 2 e o e d´terminera. e c) En d´duire les ´galit´s : e e e p kπ p(2p − 1) cotan 2 = 2p + 1 3 k=1 p 1 2p(p + 1) = kπ 3 k=1 sin2 2p + 1 2
  3. 3. 4. a) D´montrer, pour tout r´el ϕ ∈]0, π [ , les encadrements e e 2 0 < sin ϕ < ϕ < tan ϕ b) En d´duire que, pour tout entier p ≥ 1 , on a l’encadrement e p p(2p − 1) (2p + 1)2 1 2p(p + 1) < 2 < 3 π2 k=1 k 3 π2 c) D´montrer que S = e . 65. Montrer que les suites (un )n≥1 , (vn )n≥1 et (wn )n≥1 d´fines par : e n n n 1 1 (−1)k+1 ∀n ≥ 1, un = vn = wn = k=1 (2k)2 k=0 (2k + 1)2 k=1 k2sont convergentes et d´terminesr les valeurs exactes de leurs limites, respectivement enot´es U , V et W. e ` TROISIEME PARTIE : Utilisation des int´grales de Wallis e Pour tout entier n ∈ N , on pose π π 2 2n 2 4n (n!)2 In = cos t dt, Jn = t2 cos2n t dt et Kn = Jn 0 0 (2n)!1. Calculer les int´grales I0 et J0 . e 2n + 12. a) D´montrer que pour tout n ∈ N, on a : In+1 = e In 2n + 2 (Indication : on pourra penser a une int´gration par parties.) ` e (2n)! π b) En d´duire que pour tout n ∈ N, on a : In = e 4n (n!)2 23. Soit n ≥ 1 . a) D´montrer la relation In = n(2n − 1)Jn−1 − 2n2 Jn e π b) En d´duire que Kn−1 − Kn = 2 e 4n n π 1 c) D´montrer la relation e = J0 − Kn 4 k=1 k2 π4. a) D´montrer que, pour tout r´el x ∈ [0, π ] , on a : x ≤ e e 2 sin x 2 3
  4. 4. b) En d´duire que, pour tout entier n , on a e π 2 In π3 0 ≤ Jn ≤ puis 0 ≤ Kn ≤ 8(n + 1) 16(n + 1) c) Retrouver la valeur de S. ` QUATRIEME PARTIE : Noyau de Dirichlet Pour tout entier n ≥ 1 , on note Dn le noyau de Dirichlet, d´fini par : e n 1 ∀x ∈ R, Dn (x) = + cos(kx) 2 k=11. D´montrer que, pour tout entier n ≥ 1 et tout r´el x ≡ 0[2π] , on a e e 1 sin n+ x 1 2 Dn (x) = x 2 sin 22. Pour tout entier n ≥ 1 , on note Ln l’int´grale e π Ln = xDn (x) dx 0 π a) Calculer l’int´grale e x cos(kx) dx pour tout entier k ≥ 1 . 0 b) En d´duire que e n n π2 1 1 Ln = − 2 + (−1)k 2 4 k k k=1 k=13. On note f le prolongement par continuit´ en 0 de la fonction d´finie sur l’intervalle e e ]0, π] par : x → x x . sin 2 D´montrer que la fonction f est de classe C1 sur l’intervalle [0, π] . e4. Soit φ : [0, π] → R une fonction de classe C1 sur [0, π] . D´montrer que e π lim φ(x) sin(λx) dx = 0 λ→+∞ 0 (Indication : on pourra penser a une int´gration par parties.) ` e5. a) D´montrer que e lim Ln = 0. n→+∞ b) Retrouver la valeur de S. (On utilisera la relation entre W et S obtenue a la ` question 5 de la deuxi`me partie) e 4
  5. 5. ` CINQUIEME PARTIE : Une somme double L’objet de cette partie est de calculer la limite de la somme double N M 1 lim lim M →+∞ N →+∞ n=1 m=1 nm(n + m − 1) N 1 On pose, pour tout entier N ≥ 1, HN = n=1 n1. a) D´montrer que pour tout entier N ≥ 1, on a : ln(1 + N ) ≤ HN ≤ 1 + ln(N ) e HN b) En d´duire que lim e =0 N →+∞ N c) D´montrer que pour tout entier M ≥ 2, on a : e M −1 M Hm 1 HM = m(m + 1) m=1 m2 − M m=1 +∞ Hm d) En d´duire que la s´rie e e converge et d´terminer sa limite. e m=1 m(m + 1)2. Pour tous entier N ≥ 1 et pour tout entier m ≥ 2, on pose N 1 ZN,m = n=1 n(n + m − 1) a) D´montrer que pour tout entier m ≥ 2 e N +m−1 1 1 ZN,m = Hm−1 − m−1 n n=N +1 Hm−1 b) En d´duire que e lim ZN,m = N →+∞ m−13. a) Montrer que pour tout entier N ≥ 1 et pour tout entier M ≥ 2 on a : N M N M 1 1 ZN,m = 2 + n=1 m=1 nm(n + m − 1) n=1 n m=2 m b) Montrer que N M M 1 π2 Hm−1 lim = + N →+∞ n=1 m=1 nm(n + m − 1) 6 m=2 m(m − 1) 5
  6. 6. c) En d´duire alors e N M 1 lim lim M →+∞ N →+∞ n=1 m=1 nm(n + m − 1) ` SIXIEME PARTIE : La fonction Dilogarithme Pour tout r´el x ∈ [−1, 1[ , on consid`re l’int´grale e e e x ln(1 − t) Li (x) = − dt 0 t1. Justifier l’existence de cette int´grale pour tout r´el x ∈ [−1, 1[ . e e2. On d´finit la fonction Dilogarithme e [−1, 1[ −→ R Li : x −→ Li (x) D´montrer que la fonction Li est prolongeable par continuit´ en 1 . On notera e eencore Li ce prolongement par continuit´. e3. a) Montrer que pour tout x ∈] − 1, 1[, on a +∞ xn Li (x) = n=1 n2 b) En d´duire la valeur de Li (1). e4. a) Pour x ∈]0, 1[ , calculer la d´riv´e de Li (x) + Li (1 − x) e e b) D´montrer la relation fonctionnelle e π2 ∀x ∈]0, 1[, Li (x) + Li (1 − x) = − ln(1 − x) ln(x) 6 +∞ 15. D´duire de la question pr´c´dente, la valeur de la somme e e e n 2 n=1 2 n6. a) Pour tout r´el x ∈] − 1, 1[ , d´montrer la relation e e 1 Li (x) + Li (−x) = Li (x2 ) 2 +∞ (−1)n b) Retrouver la valeur de la somme n=1 n2 6
  7. 7. 7. a) Pour tout r´el x ∈]0, 1[ , d´montrer la relation e e 1−x x−1 π2 1+x Li (x) − Li (−x) + Li − Li = + ln ln(x) 1+x 1+x 4 1−x +∞√ ( 2 − 1)2n+1 b) En d´duire la valeur de la somme e n=0 (2n + 1)2 7

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