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Préparation à l’agrégation interne de mathématiques - Année 2011
         Espaces euclidiens, hermitiens et endomorphismes - 12 octobre 2011

   Ces exercices portent sur la section 6 du programme officiel (Algèbre linéaire euclidienne et her-
mitienne). Pour revoir/travailler ces notions, je renvoie aux références habituelles ([Mon06], [Mon07],
[Gri02] et [Gou94]) à adapter selon les habitudes et les goûts de chacun.
Exercice 1.      (matrices orthogonales, unitaires)
  1. Montrer qu’une matrice orthogonale (resp. unitaire) admet pour déterminant ±1 (resp. un
     nombre complexe de module 1).
  2. Montrer que toute valeur propre d’une matrice orthogonale (resp. unitaire) est de module 1.
  3. Montrer que 1 est valeur propre de toute matrice de SO(3, R). Que représente l’espace propre
     associé (discuter selon la dimension) ?

Exercice 2.      (une norme euclidienne sur l’espace des matrices carrées)
  1. Vérifier que l’application (A; B) −→ tr t AB définit un produit scalaire sur Mn (R).
     On note . la norme associée à ce produit scalaire.
  2. Exprimer la norme A d’une matrice A = (aij ) en fonction de ses coefficients.
  3. Vérifier que les «matrices indicatrices» Eij (coefficients tous nuls sauf celui d’indice (i, j) égal
     à 1) forment une base orthonormée de Mn (R).
                                                      √
  4. Vérifier qu’une matrice orthogonale est de norme n.
  5. Démontrer que, pour toute matrice symétrique A = (aij ) de Mn (R) de valeurs propres
     λ1 , . . . , λn , on a l’égalité
                                                 n           n
                                                     λ2 =
                                                      i             a2 .
                                                                     ij
                                             k=1            i,j=1

     Indication : Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale.
                                                                                                           t
  6. Adapter les questions précédentes à Mn (C) muni de la forme hermitienne (A; B) −→ tr                      AB .


 Exercice 3.     (projecteur orthogonal et moindres carrés)
On rappelle qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel E est un projecteur si p ◦ p = p, cette
condition étant équivalente à la décomposition E = ker(p) ⊕ ker(p − id).
On suppose pour la suite que (E, .; . ) est un espace vectoriel réel euclidien de norme associée . .
  1. Soit p un projecteur de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes
        (i) p est un endomorphisme symétrique
       (ii) ker p = (im p)⊥
     Indication : Pour (ii) ⇒ (i) : calculer p(x); y (resp. x; p(y) ) en décomposant y (resp. x).
     On parle alors de projecteur orthogonal (sur le sous-espace F = im p, parallélement à F ⊥ ).
  2. Exemple : si n est un vecteur non nul de E, décrire l’application p définie pour tout vecteur v
     de E par
                                                      v; n
                                         p (v) = v −        n.
                                                       n
  3. Soit p le projecteur orthogonal sur un sous-espace vectoriel F de E. Vérifier que, pour tout x
     dans E :

              p(x) − x = inf y − x = min y − x = inf                       p(x′ ) − x = min p(x′ ) − x .
                              y∈F          y∈F    ′              x ∈E                   ′
                                                                                       x ∈E

     Indication : Utiliser le théorème de Pythagore.



                                                      1
4. Application : détermination de la droite de régression linéaire d’un nuage de points.
     On considère n points {Ai (xi ; yi )}i=1,...,n dans R2 et on recherche une droite de R2 d’équation
     y = ax + b qui soit «la plus proche possible» des points Ai . On cherche à minimiser la distri-
     bution des écarts yi − (axi + b) au sens suivant : trouver a et b afin de minimiser la quantité
                                              n
                                                    (yi − (axi + b))2 .
                                              i=1
                                                          
                                      x1          y1           1
                                    .         .          .
     On considère les vecteurs x =  .  ; y =  .  et 1 =  .  de Rn et f l’application linéaire
                                       .           .            .
                                      xn          yn           1
     de R2 dans Rn définie par f (a; b) = ax + b1.
      (a) Montrer que le problème consiste à déterminer (a; b) tel que f (a; b) − y soit minimal.
      (b) Montrer que le couple (a; b) recherché vérifie
                                              a x; x + b 1; x        =     x; y
                                              a 1; x + b 1; 1        =     1; y
          Indication : Utiliser le projecteur orthogonal p de Rn sur im f et la famille génératrice
          {x; 1} de im f .
      (c) Résoudre le système précédent puis vérifier que
                   n             n          n                             n    2       n              n             n
               n   i=1 xi yi − ( i=1 xi ) ( i=1 yi )                      i=1 xi   (   i=1 yi ) − (   i=1 xi ) (    i=1 xi yi )
          a=                                               et   b=
                    n n x2 − ( n xi )2
                         i=1 i       i=1                                           n    n     2
                                                                                        i=1 xi − (
                                                                                                       n
                                                                                                       i=1 xi )
                                                                                                                2

      (d) Vérifier (avec quelques points) qu’une calculatrice ou un tableur fournit la même droite
          de régression linéaire.

Exercice 4.     (la dimension 2) L’espace R2 est muni de la structure euclidienne canonique.
                                                                             cos θ − sin θ
  1. Démontrer que les matrices de SO(2, R) sont les matrices de la forme                    .
                                                                             sin θ cos θ
  2. Vérifier que le groupe SO(2, R) est commutatif. Est-ce le cas du groupe O(2, R) ?
                                                                 √
                                                      1 √  1 − 3
  3. Décomposer l’endomorphisme défini par la matrice 2                 en produit de deux réflexions
                                                            3    1
     dont on donnera les matrices dans le base canonique.

Exercice 5.      (la dimension 3) L’espace R3 est muni de la structure euclidienne canonique.
                                                                     
                                                          2 −1 2
                                                      1
  1. Décrire l’endomorphisme défini par la matrice 3  2        2 −1.
                                                          −1 2      2
  2. Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan d’équation x−2y+2z = 0.
     Indication : Cette symétrie s’écrit 2p − id avec p un certain projecteur ortogonal.
  3. Déterminer la matrice de la rotation d’angle 2π autour de l’axe dirigé et orienté par le vec-
                                                     3
           
            1
     teur 1.
            1

Références
[Gou94] Xavier Gourdon. Algèbre. Les maths en tête. Ellipses, Paris, 1994.
[Gri02] Joseph Grifone. Algèbre linéaire. Cépaduès-Éditions, Toulouse, 2002.
[Mon06] Jean-Marie Monier. Algèbre MPSI, Cours, méthodes et exercices corrigés, 4e édition. J’in-
        tègre. Dunod, Paris, 2006.
[Mon07] Jean-Marie Monier. Algèbre et géométrie MP, Cours, méthodes et exercices corrigés
        5e édition. J’intègre. Dunod, Paris, 2007.


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Euclidien12octobre

  • 1. Préparation à l’agrégation interne de mathématiques - Année 2011 Espaces euclidiens, hermitiens et endomorphismes - 12 octobre 2011 Ces exercices portent sur la section 6 du programme officiel (Algèbre linéaire euclidienne et her- mitienne). Pour revoir/travailler ces notions, je renvoie aux références habituelles ([Mon06], [Mon07], [Gri02] et [Gou94]) à adapter selon les habitudes et les goûts de chacun. Exercice 1. (matrices orthogonales, unitaires) 1. Montrer qu’une matrice orthogonale (resp. unitaire) admet pour déterminant ±1 (resp. un nombre complexe de module 1). 2. Montrer que toute valeur propre d’une matrice orthogonale (resp. unitaire) est de module 1. 3. Montrer que 1 est valeur propre de toute matrice de SO(3, R). Que représente l’espace propre associé (discuter selon la dimension) ? Exercice 2. (une norme euclidienne sur l’espace des matrices carrées) 1. Vérifier que l’application (A; B) −→ tr t AB définit un produit scalaire sur Mn (R). On note . la norme associée à ce produit scalaire. 2. Exprimer la norme A d’une matrice A = (aij ) en fonction de ses coefficients. 3. Vérifier que les «matrices indicatrices» Eij (coefficients tous nuls sauf celui d’indice (i, j) égal à 1) forment une base orthonormée de Mn (R). √ 4. Vérifier qu’une matrice orthogonale est de norme n. 5. Démontrer que, pour toute matrice symétrique A = (aij ) de Mn (R) de valeurs propres λ1 , . . . , λn , on a l’égalité n n λ2 = i a2 . ij k=1 i,j=1 Indication : Une matrice symétrique réelle est diagonalisable dans une base orthonormale. t 6. Adapter les questions précédentes à Mn (C) muni de la forme hermitienne (A; B) −→ tr AB . Exercice 3. (projecteur orthogonal et moindres carrés) On rappelle qu’un endomorphisme d’un espace vectoriel E est un projecteur si p ◦ p = p, cette condition étant équivalente à la décomposition E = ker(p) ⊕ ker(p − id). On suppose pour la suite que (E, .; . ) est un espace vectoriel réel euclidien de norme associée . . 1. Soit p un projecteur de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes (i) p est un endomorphisme symétrique (ii) ker p = (im p)⊥ Indication : Pour (ii) ⇒ (i) : calculer p(x); y (resp. x; p(y) ) en décomposant y (resp. x). On parle alors de projecteur orthogonal (sur le sous-espace F = im p, parallélement à F ⊥ ). 2. Exemple : si n est un vecteur non nul de E, décrire l’application p définie pour tout vecteur v de E par v; n p (v) = v − n. n 3. Soit p le projecteur orthogonal sur un sous-espace vectoriel F de E. Vérifier que, pour tout x dans E : p(x) − x = inf y − x = min y − x = inf p(x′ ) − x = min p(x′ ) − x . y∈F y∈F ′ x ∈E ′ x ∈E Indication : Utiliser le théorème de Pythagore. 1
  • 2. 4. Application : détermination de la droite de régression linéaire d’un nuage de points. On considère n points {Ai (xi ; yi )}i=1,...,n dans R2 et on recherche une droite de R2 d’équation y = ax + b qui soit «la plus proche possible» des points Ai . On cherche à minimiser la distri- bution des écarts yi − (axi + b) au sens suivant : trouver a et b afin de minimiser la quantité n (yi − (axi + b))2 . i=1       x1 y1 1  . . . On considère les vecteurs x =  .  ; y =  .  et 1 =  .  de Rn et f l’application linéaire . . . xn yn 1 de R2 dans Rn définie par f (a; b) = ax + b1. (a) Montrer que le problème consiste à déterminer (a; b) tel que f (a; b) − y soit minimal. (b) Montrer que le couple (a; b) recherché vérifie a x; x + b 1; x = x; y a 1; x + b 1; 1 = 1; y Indication : Utiliser le projecteur orthogonal p de Rn sur im f et la famille génératrice {x; 1} de im f . (c) Résoudre le système précédent puis vérifier que n n n n 2 n n n n i=1 xi yi − ( i=1 xi ) ( i=1 yi ) i=1 xi ( i=1 yi ) − ( i=1 xi ) ( i=1 xi yi ) a= et b= n n x2 − ( n xi )2 i=1 i i=1 n n 2 i=1 xi − ( n i=1 xi ) 2 (d) Vérifier (avec quelques points) qu’une calculatrice ou un tableur fournit la même droite de régression linéaire. Exercice 4. (la dimension 2) L’espace R2 est muni de la structure euclidienne canonique. cos θ − sin θ 1. Démontrer que les matrices de SO(2, R) sont les matrices de la forme . sin θ cos θ 2. Vérifier que le groupe SO(2, R) est commutatif. Est-ce le cas du groupe O(2, R) ? √ 1 √ 1 − 3 3. Décomposer l’endomorphisme défini par la matrice 2 en produit de deux réflexions 3 1 dont on donnera les matrices dans le base canonique. Exercice 5. (la dimension 3) L’espace R3 est muni de la structure euclidienne canonique.   2 −1 2 1 1. Décrire l’endomorphisme défini par la matrice 3  2 2 −1. −1 2 2 2. Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan d’équation x−2y+2z = 0. Indication : Cette symétrie s’écrit 2p − id avec p un certain projecteur ortogonal. 3. Déterminer la matrice de la rotation d’angle 2π autour de l’axe dirigé et orienté par le vec- 3   1 teur 1. 1 Références [Gou94] Xavier Gourdon. Algèbre. Les maths en tête. Ellipses, Paris, 1994. [Gri02] Joseph Grifone. Algèbre linéaire. Cépaduès-Éditions, Toulouse, 2002. [Mon06] Jean-Marie Monier. Algèbre MPSI, Cours, méthodes et exercices corrigés, 4e édition. J’in- tègre. Dunod, Paris, 2006. [Mon07] Jean-Marie Monier. Algèbre et géométrie MP, Cours, méthodes et exercices corrigés 5e édition. J’intègre. Dunod, Paris, 2007. 2