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Tous les exercices
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100.01 Logique
Exercice 1
Soient R et S des relations. Donner la négation de R ⇒ S.                                                 [000104]




Exercice 2
Démontrer que (1 = 2) ⇒ (2 = 3).
Correction                                                                                                [000105]



Exercice 3
Soient les quatre assertions suivantes :

                        (a) ∃x ∈ R ∀y ∈ R     x+y  0    ;       (b) ∀x ∈ R ∃y ∈ R   x+y  0 ;

                          (c) ∀x ∈ R ∀y ∈ R    x+y  0       ;    (d) ∃x ∈ R ∀y ∈ R y2  x.
   1. Les assertions a, b, c, d sont-elles vraies ou fausses ?
   2. Donner leur négation.
Indication         Correction                                                                             [000106]



Exercice 4
Soit f une application de R dans R. Nier, de la manière la plus précise possible, les énoncés qui suivent :
   1. Pour tout x ∈ R f (x) ≤ 1.
   2. L’application f est croissante.
   3. L’application f est croissante et positive.
   4. Il existe x ∈ R+ tel que f (x) ≤ 0.
   5. Il existe x ∈ R tel que quel que soit y ∈ R, si x  y alors f (x)  f (y).
On ne demande pas de démontrer quoi que ce soit, juste d’écrire le contraire d’un énoncé.
Correction                                                                                                [000107]



Exercice 5
Compléter les pointillés par le connecteur logique qui s’impose : ⇔, ⇐, ⇒ .
   1. x ∈ R x2 = 4 . . . . . . x = 2 ;
   2. z ∈ C z = z . . . . . . z ∈ R ;
   3. x ∈ R x = π . . . . . . e2ix = 1.
Correction                                                                                                [000108]



Exercice 6
Dans R2 , on définit les ensembles F1 = {(x, y) ∈ R2 , y ≤ 0} et F2 = {(x, y) ∈ R2 , xy ≥ 1, x ≥ 0}. Évaluer les
propositions suivantes :
                                                  −−
                                                   −→
   1. ∀ε ∈]0, +∞[ ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2 /           ||M1 M2 ||  ε


                                                         1
−−
                                                        −→
   2. ∃M1 ∈ F1 ∃M2 ∈ F2       /   ∀ε ∈]0, +∞[        ||M1 M2 ||  ε
                                                       −−
                                                        −→
   3. ∃ε ∈]0, +∞[ /       ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2          ||M1 M2 ||  ε
                                                       −−
                                                        −→
   4. ∀M1 ∈ F1 ∀M2 ∈ F2       ∃ε ∈]0, +∞[ /          ||M1 M2 ||  ε
Quand elles sont fausses, donner leur négation.
Indication         Correction                                                                                    [000109]



Exercice 7
Nier la proposition : “tous les habitants de la rue du Havre qui ont les yeux bleus gagneront au loto et prendront
leur retraite avant 50 ans”.
Correction                                                                                                       [000110]



Exercice 8
Écrire la négation des assertions suivantes où P, Q, R, S sont des propositions.
   1. P ⇒ Q,
   2. P et non Q,
   3. P et (Q et R),
   4. P ou (Q et R),
   5. (P et Q) ⇒ (R ⇒ S).
Correction                                                                                                       [000111]



Exercice 9
Nier les assertions suivantes :
   1. tout triangle rectangle possède un angle droit ;
   2. dans toutes les écuries, tous les chevaux sont noirs ;
   3. pour tout entier x, il existe un entier y tel que, pour tout entier z, la relation z  x implique le relation
      z  x+1;
   4. ∀ε  0 ∃α  0 / |x − 7/5|  α ⇒ |5x − 7|  ε.
Correction                                                                                                       [000112]



Exercice 10 Le missionnaire et les cannibales
Les cannibales d’une tribu se préparent à manger un missionnaire. Désirant lui prouver une dernière fois leur
respect de la dignité et de la liberté humaine, les cannibales proposent au missionnaire de décider lui-même de
son sort en faisant une courte déclaration : si celle-ci est vraie, le missionnaire sera rôti, et il sera bouilli dans
le cas contraire. Que doit dire le missionnaire pour sauver sa vie ? (d’après Cervantès)                        [000113]




Exercice 11
La proposition P ∧ Q ⇒ (¬P) ∨ Q est-elle vraie ?                                                                 [000114]




Exercice 12
On suppose que la proposition P est vraie ainsi que les propositions suivantes :
   1. (¬Q) ∧ P ⇒ ¬S.
   2. S ⇒ (¬P) ∨ Q.
   3. P ⇒ R ∨ S.
   4. S ∧ Q ⇒ ¬P.
   5. R ∧ ¬(S ∨ Q) ⇒ T .
   6. R ⇒ (¬P) ∨ (¬Q).

                                                           2
La proposition T est-elle vraie ?                                                                         [000115]




Exercice 13
Ecrire la négation des phrases suivantes :
   1. (∀x)(∃n)/(x ≤ n).
   2. (∃M)/(∀n)(|un | ≤ M).
   3. (∀x)(∀y)(xy = yx).
   4. (∀x)(∃y)/(yxy−1 = x).
   5. (∀ε  0)(∃N ∈ N)/(∀n ≥ N)(|un |  ε).
   6. (∀x ∈ R)(∀ε  0)(∃α  0)/(∀ f ∈ F )(∀y ∈ R)(|x − y|  α ⇒ | f (x) − f (y)|  ε).
                                                                                                          [000116]



Exercice 14
Comparer les différentes phrases (sont-elles équivalentes, contraires, quelles sont celles qui impliquent les
autres...)
   1. (∀x)(∃y)/(x ≤ y).
   2. (∀x)(∀y)(x ≤ y).
   3. (∃x)(∃y)/(x ≤ y).
   4. (∃x)/(∀y)(x ≤ y).
   5. (∃x)/(∀y)(y  x).
   6. (∃x)(∃y)/(y  x).
   7. (∀x)(∃y)/(x = y).
                                                                                                          [000117]



Exercice 15
Si P(x) est une proposition dépendant de x ∈ X, on note P = {x ∈ X/P(x) est vraie}. Exprimer en fonction de
P et Q les ensembles ¬P, P ∧ Q, P ∨ Q, P ⇒ Q, P ⇔ Q.                                                  [000118]




Exercice 16
                                                           2n+1
Montrer que ∀ε  0, ∃N ∈ N tel que (n ≥ N ⇒ 2 − ε         n+2     2 + ε).
Indication        Correction                                                                              [000119]



Exercice 17
Soit f , g deux fonctions de R dans R. Traduire en termes de quantificateurs les expressions suivantes :
   1. f est majorée ;
   2. f est bornée ;
   3. f est paire ;
   4. f est impaire ;
   5. f ne s’annule jamais ;
   6. f est périodique ;
   7. f est croissante ;
   8. f est strictement décroissante ;
   9. f n’est pas la fonction nulle ;
 10. f n’a jamais les mêmes valeurs en deux points distcincts ;
 11. f atteint toutes les valeurs de N ;

                                                       3
12. f est inférieure à g ;
 13. f n’est pas inférieure à g.
Correction                                                                             [000120]




100.02 Ensemble
Exercice 18
Montrer que 0 ⊂ X, pour tout ensemble X.
            /                                                                          [000121]




Exercice 19
Montrer par contraposition les assertions suivantes, E étant un ensemble :
   1. ∀A, B ∈ P(E) (A ∩ B = A ∪ B) ⇒ A = B,
   2. ∀A, B,C ∈ P(E) (A ∩ B = A ∩C et A ∪ B = A ∪C) ⇒ B = C.
Correction                                                                             [000122]



Exercice 20
Soit A, B deux ensembles, montrer (A ∪ B) = A ∩ B et (A ∩ B) = A ∪ B.
Indication         Correction                                                          [000123]



Exercice 21
Soient E et F deux ensembles, f : E → F. Démontrer que :
∀A, B ∈ P(E) (A ⊂ B) ⇒ ( f (A) ⊂ f (B)),
∀A, B ∈ P(E) f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B),
∀A, B ∈ P(E) f (A ∪ B) = f (A) ∪ f (B),
∀A, B ∈ P(F) f −1 (A ∪ B) = f −1 (A) ∪ f −1 (B),
∀A ∈ P(F) f −1 (F  A) = E  f −1 (A).
Correction                                                                             [000124]



Exercice 22
A et B étant des parties d’un ensemble E, démontrer les lois de Morgan :

                                   A ∪ B = (A ∩ B) et      A ∩ B = (A ∪ B).

                                                                                       [000125]



Exercice 23
Démontrer les relations suivantes :

                     A ∪ (B ∩C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C) et A ∩ (B ∪C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C).

                                                                                       [000126]



Exercice 24
Montrer que si F et G sont des sous-ensembles de E :

                         (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = G) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∪ G = E).

En déduire que :
                          (F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = F) et (F ⊂ G ⇐⇒ F ∩ G = 0).
                                                                    /
                                                                                       [000127]



                                                       4
Exercice 25
Soit E et F des ensembles. Si A ⊂ E et B ⊂ F montrer que A × B ⊂ E × F.                                             [000128]




Exercice 26
Soit A = {a1 , a2 , a3 , a4 } et B = {b1 , b2 , b3 , b4 , b5 }. Écrire le produit cartésien A × B. Quel est le nombre de
parties de A × B ?                                                                                                 [000129]




Exercice 27
Soit E un ensemble à n éléments. Quel est le nombre d’éléments de E p ? Quel est le nombre de parties de E p ?
[000130]



Exercice 28
x, y, z étant des nombres réels, résoudre le système :

                                                       (x − 1)(y − 2)z = 0
                                                        (x − 2)(y − 3) = 0

Représenter graphiquement l’ensemble des solutions.                                                                 [000131]




Exercice 29
Soit A une partie de E, on appelle fonction caractéristique de A l’application f de E dans l’ensemble à deux
éléments {0, 1}, telle que :
                                                      0 si x ∈ A
                                                              /
                                            f (x) =
                                                      1 si x ∈ A
Soit A et B deux parties de E, f et g leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont
les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on déterminera :
    1. 1 − f .
    2. f g.
    3. f + g − f g.
                                                                                                                    [000132]



Exercice 30
Soit un ensemble E et deux parties A et B de E. On désigne par A B l’ensemble (A ∪ B)  (A ∩ B). Dans les
questions ci-après il pourra être commode d’utiliser la notion de fonction caractéristique.
    1. Démontrer que A B = (A  B) ∪ (B  A).
    2. Démontrer que pour toutes les parties A, B, C de E on a (A            B)   C = A (B C).
    3. Démontrer qu’il existe une unique partie X de E telle que pour toute partie A de E, A X = X A = A.
    4. Démontrer que pour toute partie A de E, il existe une partie A de E et une seule telle que A A =
       A A = X.
                                                                                                                    [000133]



Exercice 31
                                                                                                           √           1
    1. Écrire l’ensemble de définition de chacune des fonctions numériques suivantes : x →                   x, x →    x−1 ,
            √      1
       x → x + x−1 .
    2. Simplifier [1, 3] ∩ [2, 4] et [1, 3] ∪ [2, 4].


                                                               5
3. Pour tout n ∈ N, on note nZ l’ensemble des entiers relatifs multiples de n : nZ = {np | p ∈ Z}. Simplifier
       2Z ∩ 3Z.
                                                                                                          [000134]



Exercice 32
On définit les cinq ensembles suivants :

                                        A1 =         (x, y) ∈ R2 , x + y  1
                                        A2 =         (x, y) ∈ R2 , |x + y|  1
                                        A3 =         (x, y) ∈ R2 , |x| + |y|  1
                                        A4 =         (x, y) ∈ R2 , x + y  −1
                                        A5 =         (x, y) ∈ R2 , |x − y|  1


    1. Représenter ces cinq ensembles.
    2. En déduire une démonstration géométrique de

                                      (|x + y|  1 et |x − y|  1) ⇔ |x| + |y|  1.

                                                                                                          [000135]



Exercice 33
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point
                                     +∞                            +∞
                                                    1                        1
                              I1 =         3, 3 +        et I2 =         −2 − , 4 + n2 .
                                     n=1
                                                    n2             n=1
                                                                             n

Correction                                                                                                [000136]



Exercice 34
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide ou réduit à un point
                                        +∞                               +∞
                                               1    1                            1
                                 I1 =         − ,2+          et I2 =           1+ ,n .
                                        n=1
                                               n    n                    n=1
                                                                                 n

Correction                                                                                                [000137]



Exercice 35
Soient E un ensemble et A, B,C trois parties de E telles que A ∪ B = A ∪C et A ∩ B = A ∩C. Montrer que B = C.
[000138]



Exercice 36
Soient E un ensemble et A, B,C trois parties de E.
Montrer que (A ∪ B) ∩ (B ∪C) ∩ (C ∪ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩C) ∪ (C ∩ A).                                      [000139]




Exercice 37
Donner les positions relatives de A, B,C ⊂ E si A ∪ B = B ∩C.                                             [000140]




Exercice 38
Est-il vrai que P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) ? Et P(A ∪ B) = P(A) ∪ P(B) ?                                      [000141]




                                                            6
Exercice 39
Montrer que A ∩ B = A ∩C ⇔ A ∩ B = A ∩ C.                                                                           [000142]




Exercice 40
Donner la liste des éléments de P(P({1, 2})).                                                                       [000143]




Exercice 41
Soient A, B ⊂ E. Résoudre les équations à l’inconnue X ⊂ E
   1. A ∪ X = B.
   2. A ∩ X = B.
Correction                                                                                                          [000144]



Exercice 42
Soient E, F, G trois ensembles. Montrer que (E × G) ∪ (F × G) = (E ∪ F) × G.                                        [000145]




Exercice 43
Soient E, F, G, H quatre ensembles. Comparer les ensembles (E × F) ∩ (G × H) et (E ∩ G) × (F ∩ H).                  [000146]




Exercice 44
Soit E l’ensemble des fonctions de N dans {1, 2, 3}. Pour i = 1, 2, 3 on pose Ai = { f ∈ E/ f (0) = i}. Montrer
que les Ai forment une partition de E.                                                                   [000147]




100.03 Absurde et contraposée
Exercice 45
            √
Montrer que 2 ∈ Q.
              /                                                                                                     [000148]




Exercice 46
Soit X un ensemble et f une application de X dans l’ensemble P(X) des parties de X. On note A l’ensemble
des x ∈ X vérifiant x ∈ f (x). Démontrer qu’il n’existe aucun x ∈ X tel que A = f (x).
                     /                                                                             [000149]




Exercice 47
Soit ( fn )n∈N une suite d’applications de l’ensemble N dans lui-même. On définit une application f de N dans
N en posant f (n) = fn (n) + 1. Démontrer qu’il n’existe aucun p ∈ N tel que f = f p .
Indication         Correction                                                                                       [000150]



Exercice 48
   1. Soit p1 , p2 , . . . , pr , r nombres premiers. Montrer que l’entier N = p1 p2 . . . pr + 1 n’est divisible par aucun
      des entiers pi .
   2. Utiliser la question précédente pour montrer par l’absurde qu’il existe une infinité de nombres premiers.
Indication         Correction                                                                                       [000151]




                                                            7
100.04 Récurrence
Exercice 49
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 106n+2 + 103n+1 + 1 est divisible par 111 quel que soit n ∈ N.
(Indication : 1000 = 9 × 111 + 1 ).                                                                   [000152]




Exercice 50
Montrer :
         n
               n(n + 1)
   1.   ∑k=                ∀n ∈ N∗ .
        k=1       2
         n
                 n(n + 1)(2n + 1)
   2.   ∑ k2 =                         ∀n ∈ N∗ .
        k=1             6
Correction                                                                                                       [000153]



Exercice 51
En quoi le raisonnement suivant est-il faux ?
Soit P(n) : n crayons de couleurs sont tous de la même couleur.
– P(1) est vraie car un crayon de couleur est de la même couleur que lui-même.
– Supposons P(n). Soit n + 1 crayons. On en retire 1. Les n crayons restants sont de la même couleur par
  hypothèse de récurrence.
  Reposons ce crayon et retirons-en un autre ; les n nouveaux crayons sont à nouveau de la même couleur. Le
  premier crayon retiré était donc bien de la même couleur que les n autres. La proposition est donc vraie au
  rang n + 1.
– On a donc démontré que tous les crayons en nombre infini dénombrable sont de la même couleur.
                                                                                                                 [000154]



Exercice 52
                                                        2
                                                     2xn − 3
Soit la suite (xn )n∈N définie par x0 = 4 et xn+1 =           .
                                                      xn + 2
   1. Montrer que : ∀n ∈ N      xn  3.
   2. Montrer que : ∀n ∈ N      xn+1 − 3  3 (xn − 3).
                                           2
                                         3 n
   3. Montrer que : ∀n ∈ N      xn       2   + 3.
   4. La suite (xn )n∈N est-elle convergente ?
Indication         Correction                                                                                    [000155]



Exercice 53
   1. Dans le plan, on considère trois droites ∆1 , ∆2 , ∆3 formant un “vrai” triangle : elles ne sont pas concou-
      rantes, et il n’y en a pas deux parallèles. Donner le nombre R3 de régions (zones blanches) découpées par
      ces trois droites.
   2. On considère quatre droites ∆1 , . . . , ∆4 , telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles.
      Donner le nombre R4 de régions découpées par ces quatre droites.
   3. On considère n droites ∆1 , . . . , ∆n , telles qu’il n’en existe pas trois concourantes, ni deux parallèles. Soit
      Rn le nombre de régions délimitées par ∆1 . . . ∆n , et Rn−1 le nombre de régions délimitées par ∆1 . . . ∆n−1 .
      Montrer que Rn = Rn−1 + n.
   4. Calculer par récurrence le nombre de régions délimitées par n droites en position générale, c’est-à-dire
      telles qu’il n’en existe pas trois concourantes ni deux parallèles.
Correction                                                                                                       [000156]




                                                           8
Exercice 54
Soit X un ensemble. Pour f ∈ F (X, X), on définit f 0 = id et par récurrence pour n ∈ N f n+1 = f n ◦ f .
   1. Montrer que ∀n ∈ N f n+1 = f ◦ f n .
   2. Montrer que si f est bijective alors ∀n ∈ N ( f −1 )n = ( f n )−1 .
Indication         Correction                                                                                          [000157]



Exercice 55
Montrer que
                                                                           n
                                                                  n+1
                                                ∀n ≥ 2, n! ≤                   .
                                                                   2
                                                                                                                       [000158]



Exercice 56
Pour tout entier naturel n, on pose

                                           Sn = 1 · 2 + 2 · 3 + · · · + (n − 1) · n

Démontrer que l’on a
                                                     1
                                                 Sn = n(n − 1)(n + 1)
                                                     3
                                                                                                                       [000159]



Exercice 57
Pour n ∈ N on considère la propriété suivante :

                                                      Pn :    2n  n2

   1. Pour quelles valeurs de n l’implication Pn =⇒ Pn+1 est-elle vraie ?
   2. Pour quelles valeurs de n la propriété Pn est-elle vraie ?
                                                                                                                       [000160]



Exercice 58
Que pensez-vous de la démonstration suivante ?
   1. Pour tout n ≥ 2, on considère la propriété :

                                  P(n) :    n points distincts du plan sont toujours alignés

   2. Initialisation : P(2) est vraie car deux points distincts sont toujours alignés.
   3. Hérédité : On suppose que P(n) est vraie et on va démontrer P(n + 1).
      Soit donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 des points distincts. D’après l’hypothèse de récurrence, A1 , A2 , . . . , An sont
      alignés sur une droite d, et A2 , . . . , An , An+1 sont alignés sur une droite d . Les deux droites d et d ayant
      n − 1 points communs A2 , . . . , An sont confondues. Donc A1 , A2 , . . . , An , An+1 sont alignés, ce qui montre
      l’hérédité de la propriété.
   4. Conclusion : la propriété P(n) est vraie pour tout n ≥ 2.
                                                                                                                       [000161]



Exercice 59
   1. Démontrer que pour tout entier naturel n, 9 divise 10n − 1.
   2. Soit k un entier strictement positif. Étudier la propriété suivante : pour tout entier naturel n, k divise
      (k + 1)n + 2.

                                                              9
[000162]



Exercice 60
Démontrer que pour n ≥ 1, le produit de n entiers impairs est un entier impair.                                  [000163]




Exercice 61
On considère une suite (un )n∈N telle que :

                                u0 = 0 et u1 = 1         et ∀n ≥ 1, un+1 = un + 2un−1

Démontrer que :
     1. ∀n ∈ N, un ∈ N,
                     1
     2. ∀n ∈ N, un = 3 (2n − (−1)n ).
                                                                                                                 [000164]



Exercice 62
Soit b ≥ 2 un entier fixé. Démontrer que pour tout N ∈ N∗ , il existe un entier n ∈ N et des entiers a0 , a1 , . . . , an
appartenant à { 0, 1, . . . , b − 1 } tels que ;

                                        N = a0 + a1 b + · · · + an bn   et an = 0

Démontrer que pour chaque N, le système (n, a0 , a1 , . . . , an ) est déterminé par la propriété ci-dessus.
On dit que a0 , a1 , . . . , an sont les chiffres de l’écriture du nombre N suivant la base b.                   [000165]




Exercice 63
Démontrer par récurrence que pour tout k ∈ N, k! divise le produit de k entiers consécutifs :

                                          ∀n ∈ N, k! | n(n + 1) · · · (n − k + 1)

                                                                                                                 [000166]



Exercice 64
Les propriétés
                                                Pn : 3 | 4n − 1 , ∀n ∈ N,
et
                                                Qn : 3 | 4n + 1 , ∀n ∈ N,
sont-elles vraies ou fausses ?                                                                                   [000167]



Exercice 65
     1. Calculer les restes de la division euclidienne de 1, 4, 42 , 43 par 3.
     2. Formuler, pour tout n ∈ N, une hypothèse P(n) concernant le reste de la division euclidienne de 4n par
        3. Démontrer que P(n) est vérifiée pour tout n ∈ N.
     3. Pour tout n ∈ N, le nombre 16n + 4n + 3 est-il divisible par 3.
                                                                                                                 [000168]



Exercice 66
Démontrer, en raisonnant par récurrence, que 32n+2 − 2n+1 est divisible par 7 quel que soit n ∈ N.               [000169]




Exercice 67


                                                            10
1. Démontrer par récurrence :
                                                        n
                                                                     n(n + 1)
                                                       ∑k=              2
                                                      k=0
   2. Calculer de deux manières différentes :
                                                     n+1             n
                                                     ∑ k3 − ∑ (k + 1)3 .
                                                     k=1            k=0

   3. En déduire :
                                                n
                                                            1
                                               ∑ k2 = 6 (2n3 + 3n2 + 3n).
                                              k=0
                                                                                        [000170]



Exercice 68
Montrer que pour tout entier n ≥ 1 :
                                        1   1            1       n
                                          +    +...+          =      .
                                       1.2 2.3       n.(n + 1) n + 1
                                                                                        [000171]



Exercice 69
Démontrer, en le déterminant qu’il existe un entier n0 tel que
                                             ∀n ≥ n0 , 2n ≥ (n + 2)2 .
                                                                                        [000172]



Exercice 70
Démontrer par récurrence sur n que pour tout n ≥ 2 l’implication
                                       [x  −1, x = 0] ⇒ [(1 + x)n  1 + nx]
est vraie.                                                                              [000173]



Exercice 71
   1. Soit n ∈ N ; montrer que pour tout entier k ≥ 1 on a
                                                    nk + knk−1 ≤ (n + 1)k .

   2. Soit b un réel positif ou nul. Montrer par récurrence, que pour tout n ≥ 1 on a
                                                            nb (nb)2         (nb)n
                                        (1 + b)n ≤ 1 +         +     + ... +       .
                                                            1!   2!            n!
                                                                                        [000174]



Exercice 72
Montrer par récurrence que pour tout entier n ∈ N,
                                                                n
                                             (a + b)n =      ∑ Cn ak bn−k ,
                                                                k
                                                            k=0

pour tout réel a et b.                                                                  [000175]




Exercice 73
On définit une suite (Fn ) de la façon suivante :
                                       Fn+1 = Fn + Fn−1 ;            F0 = 1, F1 = 1 .

                                                            11
1. Calculer Fn pour 1  n  10.
   2. Montrer que l’équation x2 = x + 1 admet une unique solution positive a que l’on calculera.
   3. Montrer que, pour tout n ≥ 2, on a
                                                    an−2  Fn  an−1 .

                                                                                                    [000176]



Exercice 74
Montrer que :
                                                 π                       √
                                         2 cos      =    2+     2 + . . . 2.
                                                 2n
                                                                                                    [000177]



Exercice 75
Pour n ∈ N, n ≥ 2, trouver une loi simplifiant le produit :
                                                     1        1
                                                 (1 − )...(1 − ).
                                                     4        n
                                                                                                    [000178]



Exercice 76
Pour n ∈ N, soient a0 , . . . , an des nombres réels de même signe tel que ai  −1, montrer que :

                                     (1 + a0 )...(1 + an )  1 + a0 + . . . + an .

                                                                                                    [000179]




100.05 Relation d’équivalence, relation d’ordre
Exercice 77
   1. Soit E = N × N, on définit R par : (a, b)R(a , b ) ⇔ a + b = b + a . Montrer que R est une relation
      d’équivalence. Identifier E/R.
   2. Mêmes questions avec E = Z × N∗ et (p, q)R(p , q ) ⇔ pq = p q.
                                                                                                    [000207]



Exercice 78
Dans R2 on définit la relation R par :
                                             (x, y)R(x , y ) ⇔ y = y .
   1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
   2. Déterminer la classe d’équivalence de (x, y) ∈ R2 .
                                                                                                    [000208]



Exercice 79
Dans C on définit la relation R par :
                                                 zRz ⇔ |z| = |z |.
   1. Montrer que R est une relation d’équivalence.
   2. Déterminer la classe d’équivalence de z ∈ C.


                                                          12
Indication        Correction                                                                                     [000209]



Exercice 80
Soit R une relation binaire sur un ensemble E, symétrique et transitive. Que penser du raisonnement suivant ?
                                       “xRy ⇒ yRx car R est symétrique,
                                  or (xRy et yRx) ⇒ xRx car R est transitive,
                                             donc R est réflexive.”
Indication        Correction                                                                                     [000210]



Exercice 81
Étudier la relation Re définie sur RR (l’ensemble des applications de R dans R) par :

                                f Re g ⇐⇒ ∃A  0, ∀x ∈ R, |x|  A ⇒ f (x) = g(x).

                                                                                                                 [000211]



Exercice 82
Montrer que la relation R définie sur R par :

                                                xRy ⇐⇒ xey = yex

est une relation d’équivalence. Préciser, pour x fixé dans R, le nombre d’éléments de la classe de x modulo R.
Indication        Correction                                                                                     [000212]



Exercice 83
La relation “divise” est-elle une relation d’ordre sur N ? sur Z ? Si oui, est-ce une relation d’ordre total ?   [000213]




Exercice 84
Étudier les propriétés des relations suivantes. Dans le cas d’une relation d’équivalence, préciser les classes ;
dans le cas d’une relation d’ordre, préciser si elle est totale, si l’ensemble admet un plus petit ou plus grand
élément.
   1. Dans P(E) : AR1 B ⇔ A ⊂ B ;           AR2 B ⇔ A ∩ B = 0.
                                                            /
   2. Dans Z : aR3 b ⇔ a et b ont la même parité         ;    aR4 b ⇔ ∃n ∈ N a − b = 3n ;         aR5 b ⇔ a − b est
      divisible par 3.
                                                                                                                 [000214]



Exercice 85
Soient (X, ≤) et (Y, ≤) deux ensembles ordonnés (on note abusivement les deux ordres de la même façon). On
définit sur X ×Y la relation (x, y) ≤ (x , y ) ssi (x  x ) ou (x = x et y ≤ y ). Montrer que c’est un ordre et qu’il
est total ssi X et Y sont totalement ordonnés.                                                               [000215]



Exercice 86
Un ensemble est dit bien ordonné si toute partie non vide admet un plus petit élément.
   1. Donner un exemple d’ensemble bien ordonné et un exemple d’ensemble qui ne l’est pas.
   2. Montrer que bien ordonné implique totalement ordonné.
   3. La réciproque est-elle vraie ?
                                                                                                                 [000216]



Exercice 87

                                                         13
Soit (E, ≤) un ensemble ordonné. On définit sur P(E)  {0} la relation R par XRY ssi (X = Y ou ∀x ∈ X ∀y ∈
                                                       /
Y x ≤ y). Vérifier que c’est une relation d’ordre.
Correction                                                                                               [000217]



Exercice 88
                      a+b
Montrer que a ∗ b =          est une l.c.i sur ] − 1, 1[ et déterminer ses propriétés.                   [000218]
                      1 + ab

Exercice 89 Congruence des carrés modulo 5
On définit la relation ∼ sur Z par x ∼ y ⇐⇒ x2 ≡ y2 mod 5.
   1. Déterminer l’ensemble quotient.
   2. Peut-on définir une addition quotient ? une multiplication quotient ?
                                                                                                         [003030]



Exercice 90 Produit cartésien
Soient deux relations d’équivalence : R sur E, et S sur F. On définit sur E × F :

                                       (x, y) ∼ (x , y ) ⇐⇒ xRx et yS y .

   1. Vérifier que ∼ est une relation d’équivalence.
   2. Soit φ : E × F → (E/R) × (F/S ), (x, y) → (x, y)
                                                  ˙ ˙
      Démontrer que φ est compatible avec ∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
                                                                                                         [003031]



Exercice 91 X ∪ A = Y ∪ A
Soit E un ensemble et A ⊂ E. On définit la relation sur P(E) :

                                           X ∼ Y ⇐⇒ X ∪ A = Y ∪ A.

   1. Montrer que c’est une relation d’équivalence.
   2. Soit φ : P(E) → P(E  A), X → X  A.
      Montrer que φ est compatible avec ∼, et que l’application quotient associée est une bijection.
                                                                                                         [003032]




Exercice 92 Équivalences sur E E
Soit E un ensemble non vide. On considère les relations sur F = E E :

                                       f ∼ g ⇐⇒ ∃ n ∈ N∗ tq f n = gn ,
                                       f ≈ g ⇐⇒ ∃ m, n ∈ N∗ tq f n = gm ,
                                       f ≡ g ⇐⇒ f (E) = g(E).

   1. Montrer que ∼, ≈, ≡ sont des relations d’équivalence.
   2. Pour f ∈ F, on note f ∼ , f ≈ , f ≡ les classes d’équivalence de f modulo ∼, ≈, ≡.
       (a) Comparer f ∼ , f ≈ .
       (b) Montrer que toute classe d’équivalence pour ≈ est réunion de classes d’équivalence pour ∼.
       (c) Que pouvez-vous dire de f s’il existe g ∈ f ≈ injective ? surjective ?
       (d) Même question avec f ≡ .


                                                         14
[003033]



Exercice 93 Relation d’équivalence quotient
Soient R et S deux relations d’équivalence sur un ensemble E, telles que :

                                                     ∀ x, y ∈ E, xRy ⇒ xS y.

On définit S˙ sur E/R par : xS˙y ⇐⇒ xS y.
                             ˙ ˙
Vérifier que S˙ est une relation d’équivalence, puis définir une bijection entre (E/R)/S˙ et E/S .                   [003034]




Exercice 94 Complétion d’une relation réflexive et transitive
Soit R une relation binaire sur un ensemble E réflexive et transitive. On définit les deux relations :
                                                 xS y        ⇐⇒         (xRy et yRx),
                                                 xT y        ⇐⇒         (xRy ou yRx).

Est-ce que S et T sont des relations d’équivalence ?                                                               [003035]




Exercice 95 Parties saturées pour une relation d’équivalence
Soit ∼ une relation d’équivalence sur un ensemble E. Pour A ⊂ E, on définit s(A) =                    ˙
                                                                                                 x∈A x.
   1. Comparer A et s(A).
   2. Simplifier s(s(A)).
   3. Montrer que : ∀ x ∈ E, on a (x ∈ s(A)) ⇐⇒ (x ∩ s(A) = ∅). En déduire s(E  s(A)).
                                                 ˙
   4. Démontrer que s (        i∈I Ai )   =   i∈I s(Ai )   et s (   i∈I Ai )   ⊂   i∈I s(Ai ).
   5. Donner un exemple d’inclusion stricte.
                                                                                                                   [003036]



Exercice 96 Ordre sur les fonctions
Soit X un ensemble et E = RX . On ordonne E par : f ≤ g ⇐⇒ ∀ x ∈ X, f (x) ≤ g(x).
   1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.
   2. L’ordre est-il total ?
   3. Comparer les énoncés : “ f est majorée”, et “{ f } est majoré”.
   4. Soit ( fi )i∈I une famille majorée de fonctions de E. Montrer qu’elle admet une borne supérieure.
                                                                                                                   [003037]



Exercice 97 sup ◦ inf et inf ◦ sup
Soit f : R2 → R une fonction bornée. On définit les fonctions :

                                              g : R → R,t → sup{ f (t, y) tq y ∈ R}

                                              h : R → R,t → inf{ f (x,t) tq x ∈ R}
Montrer que g et h sont bornées, puis comparer sup h et inf g.                                                     [003038]




Exercice 98 Ordre lexicographique
On note E = [−1, 1]2 , et on définit sur E la relation :
(x, y) (x , y ) ⇐⇒ (x  x ) ou (x = x et y ≤ y )                                                 (ordre lexicographique).
   1. Pour (a, b) ∈ E, représenter graphiquement l’ensemble des majorants de (a, b).
   2. Soit A une partie non vide de E. Montrer que A admet une borne supérieure.

                                                                      15
[003039]



Exercice 99 Distance entre un point et une partie
Pour A ⊂ R non vide et bornée, et x ∈ R, on note :

                               d(x, A) = inf{|x − a| tq a ∈ A}       (distance de x à A).

Montrer que d(x, A) − d(y, A) ≤ |x − y|.                                                                  [003040]




Exercice 100 Parties adjacentes
Soient A, B ⊂ R vérifiant :
                                         ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, a ≤ b
                                         ∀ ε  0, ∃ a ∈ A, ∃ b ∈ B tq b − a ≤ ε
(on dit que A et B sont adjacentes). Montrer que sup(A) = inf(B).                                         [003041]




Exercice 101 borne sup ⇒ borne inf
Soit E ordonné tel que toute partie non vide et majorée admet une borne supérieure. Montrer que toute partie
non vide et minorée admet une borne inférieure.
Correction                                                                                                [003042]




Exercice 102 Ordre sur R2
On définit sur R2 : (x, y) (x , y ) ⇐⇒ |x − x| ≤ y − y.
   1. Vérifier que c’est une relation d’ordre.
   2. Dessiner les ensembles des majorants et des minorants d’un couple (a, b).
   3. L’ordre est-il total ?
   4. Soit A = {(x, y) ∈ R2 tq x2 + y2 ≤ 1}. Déterminer sup(A).
Correction                                                                                                [003043]



Exercice 103 Propriétés de sup et inf
Un treillis est un ensemble ordonné E dans lequel pour tous x, y ∈ E, sup(x, y) et inf(x, y) existent. Soit E un
treillis.
   1. Montrer que sup et inf sont des opérations associatives.
   2. A quelle condition ont-elles des éléments neutres ?
   3. Montrer que :

                        ∀ x, y ∈ E,                     sup x, inf(x, y) = inf x, sup(x, y) = x,
                        ∀ x, y, z ∈ E,                  x ≤ z ⇒ sup x, inf(y, z) ≤ inf sup(x, y), z ,
                        ∀ x, y, z ∈ E,                  inf x, sup(y, z) ≥ sup inf(x, y), inf(x, z) .

                                                                                                          [003044]



Exercice 104 Ordre déduit d’une loi idempotente
Soit · une opération commutative et associative sur E, telle que : ∀ x ∈ E, x · x = x.
On définit la relation ≤ sur E par : x ≤ y ⇐⇒ x · y = x
   1. Reconnaître ≤ quand · est ∩ sur P(X) (resp ∪).
   2. Montrer que ≤ est une relation d’ordre.
   3. Démontrer que : ∀ x, y ∈ E, x · y = inf(x, y).

                                                           16
[003045]



Exercice 105 Borne supérieure parmi les intervalles
Soit E l’ensemble des intervalles de R (y compris ∅) ordonné par l’inclusion.
Soient I, J deux intervalles. Qu’est-ce que inf(I, J) ? sup(I, J) ?                                    [003046]




Exercice 106 Prolongement d’applications
Soit E un ensemble et E = {(A, f ) tq A ⊂ E, A = ∅, et f ∈ E A }. On ordonne E par :

                                                      A⊂B
                               (A, f )   (B, g) ⇐⇒
                                                      ∀ x ∈ A, f (x) = g(x)
(c’est-à-dire que la fonction g, définie sur B, prolonge la fonction f , définie seulement sur A).
   1. Montrer que est une relation d’ordre. L’ordre est-il total ?
   2. Soient (A, f ) et (B, g) deux éléments de E . Trouver une CNS pour que la partie {(A, f ), (B, g)} soit
       majorée. Quelle est alors sa borne supérieure ?
   3. Même question avec minorée.
                                                                                                       [003047]



Exercice 107 Point fixe d’une fonction croissante
Soit f : [0, 1] → [0, 1] croissante. On note A = {x ∈ [0, 1] tq f (x) ≤ x}.
   1. Démontrer que A n’est pas vide.
   2. Démontrer que f (A) ⊂ A.
   3. Soit a = inf(A). Montrer que f (a) minore A.
   4. En déduire que f (a) = a.
Cela prouve que toute application croissante de [0, 1] dans lui-même admet un point fixe. Montrer que c’est
faux pour l’intervalle [0, 1[.                                                                      [003048]




Exercice 108 Relation d’ordre sur un ensemble quotient
Soit R une relation sur E réflexive et transitive. On définit la relation : x ∼ y ⇐⇒ xRy et yRx.
   1. Montrer que ∼ est une relation d’équivalence sur E.
      Sur E/ ∼ on pose : x ≤ y ⇐⇒ xRy.
                          ˙ ˙
   2. Montrer que cette définition est indépendante des représentants x et y choisis.
   3. Montrer que ≤ est une relation d’ordre sur E/ ∼.
                                                                                                       [003049]



Exercice 109 Pas de borne supérieure dans Q
Dans cet exercice, on admet que : ∀ x ∈ Q, x2 = 2.
  1. Soient A = { x ∈ Z+∗ tq x2  2 } et B = { x ∈ Z+∗ tq x2  2 }. Déterminer sup(A) et inf(B).
  2. Soient A = { x ∈ Q+∗ tq x2  2 } et B = { x ∈ Q+∗ tq x2  2 }. On veut démontrer que A n’admet pas
     de borne supérieure dans Q. Pour cela, on suppose au contraire que α = sup(A) existe (α ∈ Q), et on
                2
     pose β = α .
       (a) Montrer que β = inf(B).
       (b) Montrer que : ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B, ona a ≤ b. Que pouvez-vous en déduire pour α et β ?
                                                          α+β
       (c) Obtenir une contradiction en considérant γ =    2 .
                                                                                                       [003050]




                                                     17
100.99 Autre
Exercice 110
Quels sont les entiers n tels que 4n ≤ n! ?                                                                     [000180]




Exercice 111
Montrer que :
                                                                    n
                                                                         1
                                                  ∀n ≥ 2, un =     ∑ k ∈ N.
                                                                       /
                                                                   k=1

Indication : montrer que
                                                                               2pn + 1
                                         ∀n ≥ 2, ∃(pn , qn ) ∈ (N∗ )2 , un =           .
                                                                                2qn
                                                                                                                [000181]



Exercice 112
Soit f : N∗ → N∗ une application vérifiant :

                                               ∀n ∈ N∗ , f (n + 1)  f ( f (n)).

Montrer que f = IdN∗ . Indications : que dire de k ∈ N tel que f (k) = inf{ f (n)|n ∈ N} ? En déduire que ∀n 
0, f (n)  f (0). Montrer ensuite que ∀n ∈ N, on a : ∀m  n, f (m)  f (n) et ∀m ≤ n, f (m) ≥ m (on pourra
introduire k tel que f (k) soit le plus petit entier de la forme f (m) avec m  n). En déduire que f est strictement
croissante et qu’il n’existe qu’une seule solution au problème. Laquelle ?                                     [000182]




Exercice 113
                                     n
Pour p ∈ {1, 2, 3} on note S p = ∑ k p .
                                    k=0
   1. A l’aide du changement d’indice i = n − k dans S1 , calculer S1 .
   2. Faire de même avec S2 . Que se passe-t-il ?
   3. Faire de même avec S3 pour l’exprimer en fonction de n et S2 .
   4. En utilisant l’exercice 50, calculer S3 .
                                                                                                                [000183]



Exercice 114
Pour calculer des sommes portant sur deux indices, on a intérêt à représenter la zone du plan couverte par ces
indices et à sommer en lignes, colonnes ou diagonales... Calculer :
   1.      ∑       i j.
        1≤i≤ j≤n
   2.      ∑       i( j − 1).
        1≤i j≤n
   3.      ∑      (i − 1) j.
        1≤i j≤n
   4.      ∑      (n − i)(n − j).
        1≤i≤ j≤n

   5.     ∑    (p + q)2 (on posera k = p + q).
        1≤p,q≤n
                                                                                                                [000184]




                                                              18
101.01 Application
Exercice 115
Soient f : R → R et g : R → R telles que f (x) = 3x + 1 et g(x) = x2 − 1. A-t-on f ◦ g = g ◦ f ?
Indication         Correction                                                                             [000185]



Exercice 116
Soit l’application de R dans R, f : x → x2 .
   1. Déterminer les ensembles suivants : f ([−3, −1]), f ([−2, 1]), f ([−3, −1]∪[−2, 1]) et f ([−3, −1]∩[−2, 1]).
      Les comparer.
   2. Mêmes questions avec les ensembles f −1 (]−∞, 2]), f −1 ([1, +∞[), f −1 (]−∞, 2]∪[1, +∞[) et f −1 (]−∞, 2]∩[1, +∞[).
                                                                                                          [000186]



Exercice 117 Images directes et réciproques
Soit f : E → F une application, A, A ⊂ E et B, B ⊂ F.
   1. Simplifier f ( f −1 ( f (A))) et f −1 ( f ( f −1 (B))).
   2. Montrer que f (A ∩ f −1 (B)) = f (A) ∩ B.
   3. Comparer f (A ∆ A ) et f (A) ∆ f (A ).
   4. Comparer f −1 (B ∆ B ) et f −1 (B) ∆ f −1 (B ).
   5. A quelle condition sur f a-t-on : ∀ A ⊂ E, f (E  A) = F  f (A) ?
                                                                                                          [002889]




Exercice 118 (X ∩ A, X ∩ B)
Soit E un ensemble, et A, B deux parties fixées de E. Soit φ : P(E) → P(A) × P(B), X → (X ∩ A, X ∩ B).
   1. Qu’est-ce que φ (∅) ? φ (E  (A ∪ B)) ?
   2. A quelle condition sur A et B, φ est-elle injective ?
   3. Est-ce que le couple (∅, B) possède un antécédent par φ ?
   4. A quelle condition sur A et B, φ est-elle surjective ?
                                                                                                          [002890]



Exercice 119 Partie stable par une application
Soit f : E → E. Pour n ∈ N∗ , on note f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f , et f 0 = idE .
                                                       n fois
Soit A ⊂ E, An = f n (A), et B =       n∈N An .
   1. Montrer que f (B) ⊂ B.
   2. Montrer que B est la plus petite partie de E stable par f et contenant A.
                                                                                                          [002891]



Exercice 120 Factorisation d’une application

   1. Soit f : F → E et g : G → E deux applications. Montrer qu’il existe une application h : G → F telle que
      g = f ◦ h si et seulement si : g(G) ⊂ f (F).
      A quelle condition h est-elle unique ?
   2. Soit f : E → F et g : E → G deux applications. Montrer qu’il existe une application h : F → G telle que
      g = h ◦ f si et seulement si : ∀ x, y ∈ E, f (x) = f (y) ⇒ g(x) = g(y) .
      A quelle condition h est-elle unique ?


                                                                19
[002892]




Exercice 121 Propriétés des applications A → f (A) et B → f −1 (B)
Soit f : E → F. On considère les applications

                    Φ : P(E) → P(F), A → f (A)           et        Ψ : P(F) → P(E), B → f −1 (B).

Montrer que :
1) f est injective ⇐⇒ Φ est injective ⇐⇒ Ψ est surjective.                                                       [002893]

2) f est surjective ⇐⇒ Φ est surjective ⇐⇒ Ψ est injective.


Exercice 122 ϕ → f ◦ ϕ et ϕ → ϕ ◦ f
Soit f : E → F une application, et G un troisième ensemble ayant au moins deux éléments. On construit deux
nouvelles applications :

                          f∗ : E G → F G , ϕ → f ◦ ϕ          et           f ∗ GF → GE , ϕ → ϕ ◦ f

Montrer que :
   1. f est injective ⇐⇒ f∗ est injective ⇐⇒ f ∗ est surjective.
   2. f est surjective ⇐⇒ f∗ est surjective ⇐⇒ f ∗ est injective.
                                                                                                                 [002894]



Exercice 123
                                                                       f     g    h
[h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ h injectives et f ◦ h ◦ g surjective] Soient E → F → G → E trois applications telles que h ◦ g ◦ f
                                                                    − − −
et g ◦ f ◦ h sont injectives et f ◦ h ◦ g est surjective. Montrer que f , g, h sont bijectives.                 [002895]




Exercice 124 Parties saturées pour la relation d’équivalence associée à f
Soit f : E → F une application, et S = {X ⊂ E tq f −1 ( f (X)) = X}.
   1. Pour A ⊂ E, montrer que f −1 ( f (A)) ∈ S .
   2. Montrer que S est stable par intersection et réunion.
   3. Soient X ∈ S et A ⊂ E tels que X ∩ A = ∅. Montrer que X ∩ f −1 ( f (A)) = ∅.
   4. Soient X et Y ∈ S . Montrer que X et Y  X appartienent à S .
   5. Montrer que l’application S → P( f (E)), A → f (A) est une bijection.
                                                                                                                 [002896]



Exercice 125 Conjugaison
Soit E un ensemble et f : E → E bijective.
La conjugaison par f est l’application Φ f : E E → E E , φ → f ◦ φ ◦ f −1
   1. Montrer que Φ f est une bijection de E E .
   2. Simplifier Φ f ◦ Φg .
   3. Simplifier Φ f (φ ) ◦ Φ f (ψ).
   4. Soient I , S , les sous-ensembles de E E constitués des injections et des surjections. Montrer que I et
      S sont invariants par Φ f .
                                                          −1
   5. Lorsque φ est bijective, qu’est-ce que Φ f (φ )              ?




                                                          20
[002897]



Exercice 126 Ensembles équipotents
                                         E est moins puissant que F            s’il existe une injection    f : E →F
Soient E, F deux ensembles. On dit que : E est plus puissant que F             s’il existe une surjection   f : E →F
                                         E et F sont équipotents               s’il existe une bijection    f : E → F.
   1. Démontrer que : (E est moins puissant que F) ⇐⇒ (F est plus puissant que E).
   2. Montrer que N, N∗ , {n ∈ N tq n est divisible par 3}, et Z sont deux à deux équipotents.
   3. Démontrer que E est moins puissant que P(E).
   4. Soit f : E → P(E) quelconque et A = {x ∈ E tq x ∈ f (x)}. Prouver que A ∈ f (E).
                                                      /                       /
   5. Est-ce que E et P(E) peuvent être équipotents ?
   6. Soit G un troisième ensemble. Si E est moins puissant que F, démontrer que E G est moins puissant
      que F G .
                                                                                                                [002898]



Exercice 127 Affirmations
Soit f : E → F. Que pensez-vous des affirmations suivantes ?
   1. ∀ x ∈ E    ∀y∈F        f (x) = y.
   2. ∀ x ∈ E    ∃ y ∈ F tel que      f (x) = y.
   3. ∃ x ∈ E tel que     ∀y∈F        f (x) = y.
   4. ∃ x ∈ E tel que     ∃ y ∈ F tel que      f (x) = y.
   5. ∀ y ∈ F    ∀x∈E        f (x) = y.
   6. ∀ y ∈ F    ∃ x ∈ E tel que      f (x) = y.
   7. ∃ y ∈ F tel que     ∀x∈E        f (x) = y.
   8. ∃ y ∈ F tel que     ∃ x ∈ E tel que      f (x) = y.
                                                                                                                [002899]




101.02 Injection, surjection
Exercice 128
Donner des exemples d’applications de R dans R (puis de R2 dans R) injective et non surjective, puis surjective
et non injective.                                                                                        [000187]




Exercice 129
Soit f : R → R définie par f (x) = x3 − x.
f est-elle injective ? surjective ? Déterminer f −1 ([−1, 1]) et f (R+ ).                                       [000188]




Exercice 130
Les fonctions suivantes sont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?

                                    f : Z → Z, n → 2n       ;    f : Z → Z, n → −n

                                   f : R → R, x → x2        ;    f : R → R+ , x → x 2
                                                   f : C → C, z → z2 .
                                                                                                                [000189]




                                                            21
Exercice 131
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?
   1. f : N → N, n → n + 1
   2. g : Z → Z, n → n + 1
   3. h : R2 → R2 , (x, y) → (x + y, x − y)
                              x+1
   4. k : R  {1} → R, x →    x−1
Indication        Correction                                                                          [000190]



Exercice 132
Soit f : R → R définie par f (x) = 2x/(1 + x2 ).
   1. f est-elle injective ? surjective ?
   2. Montrer que f (R) = [−1, 1].
   3. Montrer que la restriction g : [−1, 1] → [−1, 1] g(x) = f (x) est une bijection.
   4. Retrouver ce résultat en étudiant les variations de f .
Indication        Correction                                                                          [000191]



Exercice 133
L’application f : C  {0} → C, z → z + 1/z est-elle injective ? surjective ? bijective ?
Donner l’image par f du cercle de centre 0 et de rayon 1.
Donner l’image réciproque par f de la droite iR.                                                      [000192]




Exercice 134
On considère quatre ensembles A, B,C et D et des applications f : A → B, g : B → C, h : C → D. Montrer que :

                                             g ◦ f injective ⇒ f injective,

                                            g ◦ f surjective ⇒ g surjective.
Montrer que :
                            g ◦ f et h ◦ g sont bijectives ⇔ f , g et h sont bijectives .


Indication        Correction                                                                          [000193]



Exercice 135
Soit f : X → Y . Montrer que
   1. ∀B ⊂ Y f ( f −1 (B)) = B ∩ f (X).
   2. f est surjective ssi ∀B ⊂ Y f ( f −1 (B)) = B.
   3. f est injective ssi ∀A ⊂ X f −1 ( f (A)) = A.
   4. f est bijective ssi ∀A ⊂ X f ( A) = f (A).
                                                                                                      [000194]



Exercice 136
Soit f : X → Y . Montrer que les trois propositions suivantes sont équivalentes :
   i. f est injective.
  ii. ∀A, B ⊂ X f (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B).


                                                          22
iii. ∀A, B ⊂ X A ∩ B = 0
                         /           f (A) ∩ f (B) = 0.
                                                     /
                                                                                                          [000195]



Exercice 137
Soit f : X → Y .On note fˆ : P(X) → P(Y ), Am apsto f (A) et f˜ : P(Y ) → P(X), B → f −1 (B). Montrer que :
   1. f est injective ssi fˆ est injective.
    2. f est surjective ssi f˜ est injective.
                                                                                                          [000196]



Exercice 138 Exponentielle complexe
Si z = x + iy, (x, y) ∈ R2 , on pose ez = ex × eiy .
    1. Déterminer le module et l’argument de ez .
    2. Calculer ez+z , ez , e−z , (ez )n pour n ∈ Z.
    3. L’application exp : C → C, z → ez , est-elle injective ?, surjective ?
Correction                                                                                                [000197]




 101.03 Bijection
Exercice 139
Soient a, b ∈ R avec a = 0, et fa,b : R → R telle que fa,b (x) = ax + b. Démontrer que fa,b est une permutation
et déterminer sa réciproque.
Correction                                                                                                [000198]



Exercice 140
Soit f : [0, 1] → [0, 1] telle que
                                                          x      si x ∈ [0, 1] ∩ Q,
                                             f (x) =
                                                          1−x    sinon.
Démontrer que f ◦ f = id.
Indication           Correction                                                                           [000199]



Exercice 141
Soit f : R → C, t → eit . Changer les ensembles de départ et d’arrivée afin que (la restriction de) f devienne
bijective.
Indication           Correction                                                                           [000200]



Exercice 142
On appelle demi-plan de Poincaré l’ensemble P des nombres complexes z tels que Im z  0, et disque unité
l’ensemble D des nombres complexes z tels que |z|  1. Démontrer que z → z−i est une bijection de P sur D.
                                                                         z+i
[000201]



Exercice 143
Soit f : [1, +∞[→ [0, +∞[ telle que f (x) = x2 − 1. f est-elle bijective ?
Indication           Correction                                                                           [000202]



Exercice 144
           f     g     h
Soient A → B → C → D. Montrer que si g ◦ f et h ◦ g sont bijectives alors f , g et h le sont également.
         − − −                                                                                            [000203]



                                                                23
Exercice 145
          f     g     h
Soient A → B → C → A. Montrer que si h ◦ g ◦ f et g ◦ f ◦ h sont injectives et f ◦ h ◦ g surjective alors f , g et h
          − − −
sont bijectives.                                                                                             [000204]




Exercice 146
Soit X un ensemble. Si A ⊂ X on note χA la fonction caractéristique associée. Montrer que Φ : P(X) →
F (X, {0, 1}), A → χA est bijective.                                                            [000205]




Exercice 147
Soit E un ensemble non vide. On se donne deux parties A et B de E et on définit l’application f :℘(E) →℘(E),
X → (A ∩ X) ∪ (B ∩ X c ). Discuter et résoudre l’équation f (X) = 0. En déduire une condition nécessaire pour
                                                                         /
que f soit bijective.
On suppose maintenant B = Ac . Exprimer f à l’aide de la différence symétrique ∆. Montrer que f est bijective,
préciser f −1 . f est-elle involutive (i.e. f 2 = id) ? Quelle propriété en déduit-on ?                 [000206]




101.99 Autre

102.01 Binôme de Newton et combinaison
Exercice 148
Démontrer que si p est un nombre premier, p divise Ck pour 1 ≤ k ≤ p − 1.
                                                    p                                                         [000219]




Exercice 149
En utilisant la fonction x → (1 + x)n , calculer :
                                        n                n              n
                                          k                 k                1  k
                                       ∑ Cn     ;       ∑ kCn      ;   ∑ k + 1 Cn .
                                       k=0              k=1            k=1

Indication          Correction                                                                                [000220]



Exercice 150
               k p−k       p
Démontrer que CnCn−k = Ck Cn (pour 0 ≤ k ≤ p ≤ n). En déduire que
                        p

                                                    n
                                                   k p−k
                                                ∑ CnCn−k = 2 pCnp .
                                                k=0

                                                                                                              [000221]



Exercice 151
En utilisant la formule du binôme, démontrer que :
   1. 2n + 1 est divisible par 3 si et seulement si n est impair ;
   2. 32n+1 + 24n+2 est divisible par 7.
Indication          Correction                                                                                [000222]



Exercice 152
               p    p     p−1
Démontrer que Cn = Cn−1 +Cn−1 pour 1 ≤ p ≤ n − 1.                                                             [000223]




                                                              24
Exercice 153
Montrer que, pour p et n entiers naturels non nuls tels que 1 ≤ p ≤ n, on a :
                                                    p     p−1
                                                  pCn = nCn−1 .

                                                                                                       [000224]



Exercice 154
   1. Montrer que :
                                                      p
                                                     k p−k
                                                  ∑ CnCn−k = 2 pCnp ,
                                                  k=0
      où p et n sont des entiers naturels avec 0 ≤ p ≤ n.
   2. Avec les mêmes notations, montrer que
                                                  p
                                                         k p−k
                                                 ∑ (−1)kCnCn−k = 0.
                                                 k=0

                                                                                                       [000225]



Exercice 155
   1. Soient n, p et q des entiers naturels tels que 0 ≤ p, q ≤ n.
                          p    q
   2. Montrer que l’on a Cn = Cn si et seulement si p = q ou p + q = n.
   3. Résoudre l’équation
                                                    3n−1        2
                                                            n −2n+3
                                                   C2n+4 = C2n+4 .
                                                                                                       [000226]



Exercice 156
Soient m, n ∈ N∗ et p ∈ N. En utilisant la formule du binôme, démontrer que m2p+1 + n2p+1 est divisible par
m + n.                                                                                               [000227]



Exercice 157
En utilisant la formule du binôme montrer :
                               n                           n
                        (a)   ∑ (−1)kCn = 0
                                      k
                                                   (b)    ∑ k2Cn = n(n − 1)2n−2 + n2n−1 .
                                                               k
                              k=0                         k=0

Correction                                                                                             [000228]



Exercice 158
Calculer le module et l’argument de (1 + i)n . En déduire les valeurs de
                                                  2   4   6
                                         S1 = 1 −Cn +Cn −Cn + · · ·
                                               1   3   5
                                         S2 = Cn −Cn +Cn − · · ·

Indication       Correction                                                                            [000229]



Exercice 159
Démontrer les formules suivantes :
   1. Cn = Cm (on pourra utiliser le fait que P(E) −→ P(E)A → Ac est une bijection.)
       m    n−m



                                                          25
m    m     m−1
   2. Cn = Cn−1 +Cn−1 ,
       m    m       m−1   m−2
   3. Cn = Cn−2 + 2Cn−2 +Cn−2 .
Correction                                                                                                   [000230]



Exercice 160
Soient E un ensemble non vide et X,Y une partition de E.
   1. Montrer que l’application suivante est une bijection :

                                               P(E) −→ P(X) × P(Y )

                                                   A → (A ∩ X, A ∩Y )

   2. Montrer que pour p, q, r ∈ N tel que r ≤ p + q on a :

                                                     ∑       CipCq = Cr .
                                                                 j
                                                                      p+q
                                                    i+ j=r


   3. En déduire que :
                                                       n
                                                      ∑ (Cn )2 = C2n .
                                                          k       n
                                                     k=0
                                                                                                             [000231]



Exercice 161
                                P(E) → P(E)
                                
                                
Soit E un ensemble, a ∈ E et f : X → X ∪ {a} si a ∈ X
                                                  /
                                
                                 X → X − {a} si a ∈ X
                                

   1. Montrer que f est une bijection.
   2. On suppose désormais que E est fini et Card(E) = n. On pose P0 (E) l’ensemble des parties de E de
      cardinal pair et P1 (E) l’ensemble des parties de E de cardinal impair. Montrer que Card(P0 (E)) =
      Card(P1 (E)).
                                                                  n
   3. Calculer ces cardinaux et en déduire la valeur de ∑ (−1)kCn .
                                                                k
                                                              k=0
                                                                                                             [000232]



Exercice 162
                                                                       n
En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que ∑ (−1)kCn = 0. En déduire la valeur de
                                                                 k                                            2k
                                                                                                           ∑ Cn .
                                                                      k=0                                0≤2k≤n
                                                                                                             [000233]



Exercice 163
Soient 0 ≤ p ≤ n.
                                          n
                                          p    p+1
   1. Montrer par récurrence sur n que ∑ Ck = Cn+1 .
                                         k=p

   2. Écrire ces égalités pour p = 2 et p = 3.
   3. En déduire les sommes

                             S2 = 1.2 + 2.3 + . . . + (n − 1).n             S2 = 12 + 22 + . . . + n2

                           S3 = 12 .2 + 22 .3 + . . . + (n − 1)2 .n          S3 = 13 + 23 + . . . + n3




                                                             26
[000234]



Exercice 164 Calcul de sommes
                        Cn     k
Calculer ∑n kCn et ∑n k+1 .
          k=0
              k
                    k=0
Correction                                                                                                [002900]



Exercice 165 Calcul de sommes
Soient n, p ∈ N∗ avec n ≥ p.
                   k p    p k−p
   1. Vérifier que CnCk = Cn Cn−p pour p ≤ k ≤ n.
                        k p
   2. Calculer ∑n (−1)kCnCk .
                k=0
   3. En déduire ∑n (−1)kCn k p = 0 si p  n.
                  k=0
                          k

Correction                                                                                                [002901]



Exercice 166 Calcul de sommes
                              p
Soient n, p ∈ N∗ . Simplifier ∑k=0 (−1)kCn .
                                        k

Correction                                                                                                [002902]



Exercice 167 Sommes de cardinaux
Soit E un ensemble fini de cardinal n. Calculer ∑A⊂E Card (A), ∑A,B⊂E Card (A ∩ B), ∑A,B⊂E Card (A ∪ B).
Correction                                                                                                [002903]



Exercice 168 Sommes d’entiers
Soit n ∈ N. Calculer ∑ i j et ∑               i jk.
                      i+ j=n       i+ j+k=n
Correction                                                                                                [002904]



Exercice 169 Combinaisons avec répétitions
                          p
Soient n, p ∈ N. On note Γn le nombre de n-uplets (x1 , . . . , xn ) ∈ Nn tels que x1 + · · · + xn = p.
   1. Déterminer Γ0 , Γ1 , Γ2 , Γn .
                  n    n    n    2
                      p+1   p      p+1
   2. Démontrer que Γn+1 = Γn+1 + Γn (on classera les (n + 1)-uplets tels que x1 + · · · + xn+1 = p + 1 suivant
      que x1 = 0 ou non).
                      p    p
   3. En déduire que Γn = Cn+p−1 .
Correction                                                                                                [002905]



Exercice 170 Sommes de coefficients du binôme
                                  p     p+1
Soient n, p ∈ N. Montrer que ∑n Cp+k = Cp+n+1 .
                              k=0                                                                         [002906]



              p
Exercice 171 Cn maximal
                                                              p                                      p   p+1
Soit n ∈ N fixé. Déterminer pour quelle valeur de p le nombre Cn est maximal (on étudiera le rapport Cn /Cn ).
Correction                                                                                                [002907]



                           p
Exercice 172 Parité de Cn
Soit p ∈ N∗ , et n = 2 p .
                                                 k     k−1
   1. Soit k ∈ {1, . . . , n − 1}. Vérifier que kCn = nCn−1 .
                                                  k
   2. En déduire que : ∀ k ∈ {1, . . . , n − 1}, Cn est pair.
                                                  k
   3. En déduire que : ∀ k ∈ {0, . . . , n − 1}, Cn−1 est impair.

                                                           27
[002908]



Exercice 173 Formule de Vandermonde
                                       k c−k
Soient a, b, c ∈ N. Démontrer que ∑c CaCb = Ca+b . . .
                                             c
                                   k=0
   1. En calculant de deux manières (1 + x)a (1 + x)b .
   2. En cherchant le nombre de parties de cardinal c dans E ∪ F, où E et F sont des ensembles disjoints de
      cardinaux a et b.
                                                     k=0
                                                         k p+k p+q
   3. Application : Soient n, p, q ∈ N. Montrer que ∑q CqCn = Cn+q .
                                                                                                       [002909]



Exercice 174 Formule d’inversion
Soit (xn ) une suite de réels. On pose yn = ∑n Cn xk . Montrer que (−1)n xn = ∑n (−1)kCn yk .
                                             k=0
                                                 k
                                                                               k=0
                                                                                       k               [002910]




Exercice 175 Suite de Fibonacci
               p
Soit un = ∑n Cn−p . Montrer que u0 = u1 = 1 et : ∀ n ∈ N, un+2 = un+1 + un (suite de Fibonacci).
           p=0                                                                                         [002911]




102.02 Cardinal
Exercice 176
Montrer que Z est dénombrable en utilisant l’application :

                                                  n → 2n − 1     si n  0 ;
                                     φ :N→Z
                                                  n → −2n        sinon.
                                                                                                       [000235]



Exercice 177
Pour A, B deux ensembles de E on note A∆B = (A ∪ B)  (A ∩ B). Pour E un ensemble fini, montrer :

                                 Card A∆B = Card A + Card B − 2Card A ∩ B.


Indication       Correction                                                                            [000236]



Exercice 178
Soit E un ensemble à n éléments, et A ⊂ E un sous-ensemble à p éléments. Quel est le nombre de parties de E
qui contiennent un et un seul élément de A ?
Indication       Correction                                                                            [000237]



Exercice 179
Déterminer le nombre de mots distincts que l’on peut former avec 6 voyelles et 20 consonnes, chaque mot étant
composé de 3 consonnes et 2 voyelles, en excluant les mots qui renferment 3 consonnes consécutives. [000238]


Exercice 180
On considère les mains de 5 cartes que l’on peut extraire d’un jeu de 32 cartes.
   1. Combien y a-t-il de mains différentes ?
   2. Combien y a-t-il de mains comprenant un as ?
   3. Combien y a-t-il de mains comprenant au moins un valet ?

                                                      28
4. Combien y a-t-il de mains comprenant (à la fois) au moins un roi et au moins une dame ?
                                                                                                          [000239]



Exercice 181
Soient A, A , B, B quatre ensembles tels que :

                               Card(A) = Card(A ) = a et Card(B) = Card(B ) = b.

   1. Déterminer le nombre de bijections de A × B sur A × B .
   2. Supposons maintenant que {A, B}, {A , B } forment deux partitions de E, un ensemble. Déterminer le
      nombre de bijections f : E −→ E telles que f (A) = A et f (B) = B .
                                                                                                          [000240]



Exercice 182
Soient A et B deux sous ensembles finis d’un ensemble E.
   1. Montrer que : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B).
   2. Montrer par récurrence que si (Fi )1≤i≤n est une famille de sous-ensembles finis de E alors :
                                                          n          n
                                                  Card(       Fi ) ≤ ∑ Card(Fi )
                                                        i=1         i=1

      avec égalité si les Fi sont deux à deux disjoints.
                                                                                                          [000241]



Exercice 183
Soient 1 ≤ k ≤ n. Déterminer le nombre de k-uplets (i1 , . . . , ik ) tels que 1 ≤ i1  . . .  ik ≤ n.   [000242]




Exercice 184 Permutations
Combien y a-t-il de bijections f de {1, . . . , 12} dans lui-même possédant :
   1. la propriété : n est pair ⇒ f (n) est pair ?
   2. la propriété : n est divisible par 3 ⇒ f (n) est divisible par 3 ?
   3. ces deux propriétés à la fois ?
   4. Reprendre les questions précédentes en remplaçant bijection par application.
Correction                                                                                                [002912]



Exercice 185 Permutations de couples
On doit placer autour d’une table ronde un groupe de 2n personnes, n hommes et n femmes, qui constituent n
couples. Combien existe-t-il de dispositions . . .
   1. au total ?
   2. en respectant l’alternance des sexes ?
   3. sans séparer les couples ?
   4. en remplissant les deux conditions précédentes ?
Correction                                                                                                [002913]



Exercice 186 Nombre d’opérations
   1. Combien existe-t-il d’opérations internes sur un ensemble à n éléments ?
   2. Combien sont commutatives ?

                                                              29
3. Combien ont un élément neutre ?
   4. Combien sont commutatives et ont un élément neutre ?
Correction                                                                                                       [002914]



Exercice 187 Formule du crible
Soient A1 , . . . , An n ensembles finis.
   1. (a) Calculer Card (A1 ∪ A2 ∪ A3 ) et Card (A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ A4 ).
       (b) Suggérer une formule pour Card (A1 ∪ · · · ∪ An ).
                                                     n                                           1   si x ∈ Ai
   2. Démonstration de la formule : On note E =      i=1 Ai ,   et pour x ∈ E on pose fi (x) =
                                                                                                 0    sinon.
       (a) Soient x1 , . . . , xn ∈ R. Développer complètement p = (1 − x1 ) × · · · × (1 − xn ).
       (b) En considérant la somme ∑x∈E (1 − f1 (x)) . . . (1 − fn (x)), démontrer la formule 1b.
   3. Applications :
       (a) Déterminer le nombre d’applications f : {1, . . . , p} → {1, . . . , n} non surjectives.
       (b) Déterminer le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments ayant au moins un point fixe.
Correction                                                                                                       [002915]



Exercice 188 Inégalités pour la formule du crible
Soient A1 , . . . , An n ensembles finis, et E = n Ai .
                                                i=1
                                     n
   1. Montrer que Card (E) ≤ ∑i=1 Card (Ai ). Cas d’égalité ?
   2. Montrer que Card (E) ≥ ∑n Card (Ai ) − ∑1≤i j≤n Card (Ai ∩ A j ). Cas d’égalité ?
                                     i=1
Correction                                                                                                       [002916]




Exercice 189 Couples (A, B) tels que A ∪ B = E
Soit E un ensemble fini à n éléments, et E = {(A, B) ∈ (P(E))2 tq A ∪ B = E}. Chercher card(E ).
Correction                                                                                                       [002917]



Exercice 190 Parties ne contenant pas d’éléments consécutifs
   1. Quel est le nombre de parties à p éléments de {1, . . . , n} ne contenant pas d’éléments consécutifs ?
   2. Soit tn le nombre de parties de {1, . . . , n} de cardinal quelconque sans éléments consécutifs.
                                                       2    2            2   2
       (a) Montrer que tn+2 = tn+1 + tn , t2n+1 = tn + tn−1 , et t2n = tn − tn−2 .
       (b) Calculer t50 .
Indication       Correction                                                                                      [002918]



Exercice 191 Nombre de relations d’équivalence
Soit Rn le nombre de relations d’équivalence sur un ensemble à n éléments.
   1. Trouver une relation de récurrence entre Rn et les Rk , k  n
      (fixer un élément, et raisonner sur la classe d’équivalence de cet élément).
   2. Calculer Rn pour n ≤ 6.
Correction                                                                                                       [002919]



Exercice 192 Equivalence entre fonctions
Soient E, F, deux ensembles non vides. On définit deux relations sur X = F E par :
                         f ∼g     ⇐⇒      ∃ φ : F → F bijective tq g = φ ◦ f ,
                         f ≡g     ⇐⇒       ∀ x, y ∈ E, f (x) = f (y) ⇐⇒ g(x) = g(y) .


                                                       30
1. Montrer que ce sont des relations d’équivalence.
    2. Montrer que f ∼ g ⇒ f ≡ g.
    3. On suppose f ≡ g. Montrer que f ∼ g dans les cas suivants :
           (a) F est fini et f est surjective.
           (b) F est fini et f est quelconque.
           (c) E est fini.
    4. Chercher un contrexemple pour E = F = N.
                                                                                                                      [002920]



Exercice 193 Très bon ordre
Soit E un ensemble ordonné dans lequel toute partie non vide possède un plus grand et un plus petit élément.
Montrer que E est totalement ordonné et fini.                                                            [002921]




Exercice 194 Élément maximal
Soit E un ensemble ordonné. Un élément a ∈ E est dit maximal s’il n’existe pas de b ∈ E tq b  a.
    1. Si E est totalement ordonné, montrer que : maximal ⇐⇒ maximum.
    2. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ordonné par la divisibilité. Chercher les éléments maximaux.
    3. Si E est fini, montrer qu’il existe un élément maximal.
    4. Si E est fini et n’a qu’un seul élément maximal, montrer que cet élément est maximum.
                                                                                                                      [002922]



Exercice 195 Nombres de Catalan
Soient x1 , . . . , xn n réels. Pour calculer la somme x1 + · · · + xn , on place des parenthèses de façon à n’avoir que
des additions de deux nombres à effectuer. Soit tn le nombre de manières de placer les parenthèses (on pose
t1 = 1).
    1. Déterminer t2 ,t3 ,t4 .
    2. Trouver une relation de récurrence entre tn et t1 , . . . ,tn−1 .
Correction                                                                                                            [002923]




 102.99 Autre
Exercice 196
    1. (principe des bergers) Soient E, F deux ensembles avec F ensemble fini, et f une surjection de E sur F
       vérifiant :
                                             ∀y ∈ F, Card( f −1 (y)) = p
         Montrer que E est alors un ensemble fini et Card(E) = pCard(F).
    2. (principe des tiroirs) Soient α1 , α2 , . . . , α p , p élements distincts d’un ensemble E, répartis entre une
       famille de n sous-ensembles de E. Si n  p montrer qu’il existe au moins un ensemble de la famille
       contenant au moins deux éléments parmi les αi .(on pourra raisonner par l’absurde)
                                                                                                                      [000243]



Exercice 197
                                                                                    n
Montrer par récurrence sur n que si A1 , . . . , An ⊂ E alors Card(A1 ∪. . .∪An ) = ∑ (−1)k+1         ∑           Card(Ai1 ∩
                                                                                   k=1          1≤i1 ...ik ≤n
. . . ∩ Aik ).                                                                                                        [000244]



                                                             31
Exercice 198
Soit pn (k) le nombre de permutations de {1, ..., n} ayant k points fixes, montrer alors que :
                                                   n
                                                  ∑ kpn (k) = n!.
                                                  k=0

Interpréter.                                                                                                 [000245]




Exercice 199
Soit E un ensemble de cardinal nm ∈ N∗ , où (n, m) ∈ (N∗ )2 , et Pn,m l’ensemble des partitions de E en n parties
à m éléments chacune. Montrer que :
                                                                   (nm)!
                                          Nn,m = card(Pn,m ) =            .
                                                                  n!(m!)n
(Indication : on peut procéder par récurrence.)                                                              [000246]




Exercice 200
L’histoire : n personnes apportent chacune un cadeau à une fête, et chacun tire au sort un cadeau dans le
tas formé par tous les présents apportés. Quelle est la probabilité qu’au moins une personne reparte avec son
cadeau ? Que devient cette probabilité quand le nombre de personnes devient très grand, i.e. : n → ∞ ? (On
remarquera que l’intuition met en évidence deux effets contradictoires : plus de personnes c’est plus de proba
qu’une personne ait son cadeau car... il y a plus de personnes, mais c’est aussi plus de cadeaux, donc une
proportion plus élevée de cadeaux “acceptables”).
Soit Sn = σ ({1, . . . , n}). On dit que σ ∈ Sn est un dérangement si ∀i ∈ {1, . . . , n} σ (i) = i. On note Ai =
{σ ∈ Sn /σ (i) = i} et Dn l’ensemble des dérangements.
   1. Calculer Card(Ai ).
   2. Exprimer Sn − Dn en fonction des Ai .
   3. En déduire Card(Dn ) (on pourra utiliser l’exercice 197).
                              CardDn                                          n
   4. Déterminer la limite de        . (on rappelle que lim (1 + x + . . . + x ) = ex ).
                                                                             n!
                              CardSn                     n→+∞
                                                                                                             [000247]



Exercice 201
Soit E un ensemble de cardinal n, Re une relation d’équivalence sur E, avec k classes d’équivalences et r couples
(x, y) ∈ E 2 tels que x Re y. Montrer que n2 ≤ kr.                                                          [000248]




Exercice 202 Dénombrement de N2
Soit

                                        f : N2 → N,
                                                 1
                                        (p, q) → (p + q)(p + q + 1) + p.
                                                 2
   1. Montrer pour q  0 : f (p + 1, q − 1) = f (p, q) + 1 et f (0, p + 1) = f (p, 0) + 1.
   2. Montrer que : f (0, p + q) ≤ f (p, q)  f (0, p + q + 1).
   3. Montrer que g : n → f (0, n) est strictement croissante.
   4. Montrer que f est injective (on supposera f (p, q) = f (p , q ) et on montrera dans un premier temps que
      p + q = p + q ).
   5. Montrer que f est surjective.

                                                        32
[003051]



Exercice 203 Parties dénombrables
Soit (nk ) une suite d’entiers naturels. On dit que la suite est :
- presque nulle s’il existe p ∈ N tq ∀ k ≥ p, nk = 0
- stationnaire s’il existe p ∈ N tq ∀ k ≥ p, nk = n p .
Montrer que les ensembles des suites presque nulles et des suites stationnaires sont dénombrables.               [003052]




Exercice 204 Propriétés du pgcd et du ppcm
Soient a, b ∈ N. On pose m = ppcm(a, b) et d = pgcd(a, b).
   1. Soit x un multiple commun à a et b. En écrivant la division euclidienne de x par m, montrer que m | x.
   2. Soit x un diviseur commun à a et b. Montrer que ppcm(x, d) est aussi un diviseur commun à a et b. En
      déduire x | d.
   3. Comment qualifier m et d pour la relation d’ordre de divisibilité ?
                                                                                                                 [003053]



Exercice 205 Bases de numération
Soit b ∈ N  {0, 1} et p ∈ N. Montrer que pour tout entier n ∈ {0, . . . , b p − 1}, il existe un unique p-uplet
(n0 , . . . , n p−1 ) d’entiers naturels tel que :
                                                                               p−1
                                  ∀ k  p, nk ∈ {0, . . . , b − 1},   et n =    ∑ nk bk .
                                                                               k=0

                                                                                                                 [003054]



Exercice 206 Bases de numération
                                                                                                 p
Soit n ∈ N∗ . Montrer qu’il existe p ∈ N et n0 , n1 , . . . , n p ∈ {1, 2} uniques tels que n = ∑k=0 nk 2k .     [003055]




Exercice 207 Bases de numération
Soient n, p ∈ N∗ avec n  p!. Montrer qu’il existe un unique p-uplet (n1 , . . . , n p ) d’entiers naturels tel que
                                                                          p
                                         ∀ k ≤ p, nk ≤ k,      et n =    ∑ nk k!.
                                                                         k=1

                                                                                                                 [003056]



Exercice 208 Récurrence d’ordre 2
On note an = 25n + 23n+4 .
   1. Trouver a, b ∈ Z tels que : ∀ n ∈ N, an+2 = a.an+1 + b.an .
   2. En déduire que : ∀ n ∈ N, an est divisible par 17.
Correction                                                                                                       [003057]




Exercice 209 Ordre sur NN
Soit E = NN . Pour f , g ∈ E avec f = g, on note n f ,g = min{k tq f (k) = g(k)}.
On ordonne E par :
                            ∀ f , g ∈ E, f  g ⇐⇒ ( f = g) ou f (n f ,g )  g(n f ,g ) .
   1. Montrer que c’est une relation d’ordre total.
   2. Montrer que toute partie de E non vide admet une borne inférieure et toute partie de E non vide et majorée
      admet une borne supérieure.

                                                            33
[003058]




Exercice 210 f ◦ f (n) = n + k
On veut montrer qu’il n’existe pas d’application f : N → N vérifiant : ∀ n ∈ N, f ( f (n)) = n + 1987.
(Olympiades 1987)
Soit f une telle application. On pose :

                    E = {0, . . . , 1986},   F = N  E,      G = f (N) ∩ E,       H = E  G.

Démontrer successivement :
   1. f est injective,
   2. f (F) ⊂ F,
   3. f −1 (F) = F ∪ G,
   4. f −1 (G) = H,
puis obtenir une contradiction.                                                                            [003059]




Exercice 211 f ( f (n))  f (n + 1)
Soit f : N → N telle que : ∀ n ∈ N, f ( f (n))  f (n + 1). On veut montrer que f = idN .
(Olympiades 1977)
   1. Montrer que ∀ n ∈ N, ∀ x ≥ n, f (x) ≥ n.
   2. Soit n ∈ N et a ≥ n tel que f (a) = min{ f (x) tq x ≥ n}. Montrer que a = n.
   3. En déduire que f est strictement croissante, puis conclure.
Correction                                                                                                 [003060]




103.01 Divisibilité, division euclidienne
Exercice 212
Combien 15! admet-il de diviseurs ?
Indication         Correction                                                                              [000249]



Exercice 213
Trouver le reste de la division par 13 du nombre 1001000 .
Indication         Correction                                                                              [000250]



Exercice 214
Sachant que l’on a 96842 = 256 × 375 + 842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre
96842 par chacun des nombres 256 et 375.
Indication         Correction                                                                              [000251]



Exercice 215
Soient m ≥ 1 et n ≥ 2 des entiers ; montrer que :
   1. n − 1|nm − 1 ;
   2. (n − 1)2 |nm − 1 si et seulement si n − 1|m.
                                                                                                           [000252]



Exercice 216


                                                       34
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