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FI-GLSID Fatiha AKEF
UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA
ENSET - Mohemmadia
Analyse
Plan Général
2F. AKEF
› Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés
› Chapitre 2 : Equations différentielles
› Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier
› Chapitre 4 : Distributions
› Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes
› Chapitre 6 : Transformée de Laplace
› Chapitre 7 : Espaces de Hilbert
Chapitre 1 :
Espace Métriques  Espaces Normés
I. Distances et topologie métrique
II. Normes et espaces de Banach
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
4F. AKEF
Distance
› Définition :
› Soit E un ensemble différent de l’ensemble vide, on appelle distance sur E toute
application d : E  E ℝ+
› (x, y)  d(x, y) qui vérifie
i)d(x, y) = 0 x = y x, yE
ii)d(x, y) = d(y, x) x,yE
iii)d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) x,y,zE
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
5F. AKEF
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
6F. AKEF
Définition :
› On appelle espace métrique tout ensemble muni d’une distance
›
Proposition
› Soit (E, d) un espace métrique, alors :
› i) | d(x, z)  d(x, y) | d(y, z) x, y, zE
Démonstration
› i) d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) d(y, z) d(x, z)  d(x, y)  d(y, z).
› d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) d(x, y)  d(x, z)  d(z, y)
› donc | d(x, y)  d(x, z) | d(y, z) .
› ii)par récurrence
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
7F. AKEF
Boules
Définitions :
› Soient AE, r > 0, on appelle boule ouverte de centre a et de rayon r
l’ensemble
› B(a, r) = {aE tel que d(x, a) < r}.
On appelle boule fermée de centre a et de rayon r l’ensemble
› Bf(a, r) = {aE tel que d(x, a)  r}.
 On appelle la sphère de centre a et de rayon r S(a, r) = {aE tel que
d(x, a) = r}
› S(a, r) = Bf(a, r) CB(a, r)
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
8F. AKEF
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
Remarque
B(a, r) pour distance discrète soit {a}, soit
E
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
9F. AKEF
Distance d’un point par rapport à un ensemble borné
Définition
› Soit (E, d) espace métrique, soit AE, A  . Soit aE. On appelle de d(a, A) le
nombre suivant d(a, A) = inf.{d(x, a) tel que xA}
Remarque
› d(a, A) existe car cet ensemble (ci-dessus) est minoré non vide.
› Si aA d (a, A) = 0
› Si d (a, A) = 0  0 aA
› a = 2 A = {2, 3} d( 2, ]2, 3[ ) = 0 et 2  A.
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
10F. AKEF
Définition :
› On appelle diamètre d’un ensemble A différent du vide la quantité
› d(A) = sup{d(x, y) tel que (x, y)A2}
› Si d(A) est fini on dit que A est borné
› Par conversation  est borné
Proposition
› Soit A  E, A est dit bornée si et seulement si aE, r > 0 tel que A  Bf(a, r)
Preuve
› / ? Si A =  vrai
› Si A aA alors A  Bf(a, D(A))
› xA d(x, a) D (A)  x Df(a, D(A))
›  / ?A  Bf(a, r)
› Soit (x, y)A2 d(x, y)  d(x, a) + d(a, y)  r + r = 2r
› L’ensemble {D(x, y), x,yA} est majoré, non vide donc admet une borne
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
11F. AKEF
Propriété
› Soient A et B deux ensembles bornés, alors AB est borné
› Preuve
› Si A = ou B  AB =  résultat
› Si A  et B  soit x,yAB
› (x, y)A2 d(x, y) d(A) < + a
› (x, y)B2 d(x, y)  D(B) < + a
› xA, yB, soit (a1, a2)A  B d(x, y)  d(x, a1) + d(a1, a2) + d(a2, y)
 d(A) + D(B) + d(a1, a2)
{(d(x, y) tel que (x, y)(AB)2} non vide majoré donc admet une borne sup D(AB) .
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
12F. AKEF
Topologie Métrique
Définition :
› Soit (E, d) espace métrique
› On pose Td
= {E tel que xr > 0 tel que B(x, r)}
› Td= Td
{}
Proposition
› Td définie une topologie sur E
› Cette topologie est appelé topologie métrique associé à d
Preuve
› i)Td , ETd soit xE soit r > 0 B(x, r) E.
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
13F. AKEF
Preuve :
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
14F. AKEF
Proposition
› Toute boule ouverte est un ouvert, et toute boule fermée est un fermé et toute
sphère est un fermé
Preuve
› B(a, r) ouvert ?
› Soit xB(a, r)  ? r tel que B(a, r)  B(a, r)
› Soit r = r  rr‫ج‬ = d(a, x) alors B(x, r) B(a, r) car soit yB(r, r)
› d(y, a) d(y, x) + d(x, a) <  yB(a, r)
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
15F. AKEF
Continuité et continuité uniforme
Définition
› Soit (E, d) et (E, d) et f(E, d)  (E, d). On dit que f est continue en xoE si
> 0 > 0 d(xo, x) < d(f(x), f(xo)) <
> 0 > 0 tel que B(xo, )  f1(B(f(x), ))
› On dit que f est continue sur E si elle est continue en toute point de E.
› On dit que f uniformément continue sur E si
› > 0 > 0 tel que d(f(x), f(x)) <
Remarques
› i) Continuité uniforme  continuité
› ii) f continue sur E  f1 d’un ouvert est ouvert
› iii) f continue en x (xn) tel que xn x alors f(xn)  f(x)
›
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
16F. AKEF
Distances équivalentes
Définition
› Soit d et d deux distances sur E, on dit que d et d sont équivalents si
elles définissent la même topologie c’est à dire Td = Td (d  d)
›
Proposition
› i) d  d
› ii)> 0 xE ,> 0 tel que Bd(x, ) Bd(x, ) et Bd(x, d) Bd(x, )
› ii)> 0 xE yE ,> 0 tel que d(x, y) < d  d(x, y) <
› et d(y, x) < d(x, y) <
› iv)idE : (E, d)  (E, d) est continue ainsi que sa réciproque
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
17F. AKEF
Preuve
i)ii) d  dTd = TdTdTd et TdTd
› soit> 0 soit xE Bd(x, a)Td = Td> 0 tel que Bd(x, )Bd(x, )
› de même pour l’autre (échanger d et d).
ii)i) Td = Td? soit Tdx> tel que Bd (x, )
iii)d tel que Bd(x, d)Bd (x, )TdTdTd
› De même pour l’autre (Échanger d et d)
› Les autres sont évidentes
Proposition
› S’il existe M1> 0 et M2> 0 tel que M1d  d M2 d (M1d (x, y)  d(x, y) M1d(x, y)) pour tout
x,yE alors d  d
› Preuve
› d diii) (propriété précédente)
› Prendre  = et  = M1
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
18F. AKEF
Espaces métriques complets
Définition :
› Soit (E, d) un espace métrique, soit (xn) une suite d’éléments de E, on dit que
(xn) converge vers x pour d si :
› > 0 no tel que n  no d(xn, x) < .
Proposition
› La limite d’une suite convergente est unique
Preuve
› Supposons que x et x sont des limites de xn
›
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
19F. AKEF
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
20F. AKEF
Définition :
› On dit que (xn) est une suite de Cauchy dans (E, d) si > 0 no p > q  no
on a d(xp, xq) <
Remarque
› Si d  d et xn de Cauchy pour d ⇏ xn de Cauchy pour d
Exercice
› Sur ℝ d(x, y) = |x  y| d(x, y) =.
› Montrer que
› 1) ddistance
› 2) d  d
› 3) (xn) xn = n (xn) de Cauchy pour d
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
21F. AKEF
Définition
› On dit que (E, d) est un espace vectoriel complet si toute suite de Cauchy
dans E converge dans E
›  On dit que (E, d) est un espace métrique typologiquement complet si  d  d
tel que (E, d) soit complet
›  Soit (E, d) un espace métrique et f E  E on dit que f est une contraction ou
bien f est une fonction contractante s’il existe ]0, 1[ tel que d(f(x), f(y))d(x, y)pour
tout (x, y)E2
Théorème du point fixe
› Soit (E, d) un espace métrique complet et f contractante sur E, alors il existe
un unique xo tel que f(xo) = xo.
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
22F. AKEF
I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
Chapitre 1 :
Espace Métriques  Espaces Normés
I. Distances et topologie métrique
II. Normes et espaces de Banach
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
24F. AKEF
Normes
Définition
› Soit E un espace vectoriel, on appelle norme sur E toute application noté
› ||.|| : Eℝ+ vérifiant les trois conditions suivantes
i) || x || = 0  x = 0.
ii) ||  x || = |  | || x || xE, ℝ ou ℂ
iii) || x + y ||  || x || + || y || x,yE2
›
Proposition
› i) Cette norme est non bornée (E  {0})
Remarque
› On posant d(x, y) = || x  y || si || .|| est une norme, alors d est une distance.
› Réciproquement cette écriture ne nous donne pas le résultat
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
25F. AKEF
Proposition
› || .|| : E ℝ
› x  || x|| est uniformément continu
Preuve
› | f(x)  f(x) | = || x ||  || x ||  || x  x || = d(x, x)  fonction uniformément
continue ( Le ptsychienne k1 ).
Définition
› Si un espace normé est complet, on dit que c’est un espace de Banach
Proposition
› Soit E1, E2, …, En, n espace de Banach ( Ei muni de || . ||i) on pose
› est un Banach
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
26F. AKEF
Preuve
› Soit (xn)n  0 une suite de Cauchy dans (E, ||.||) c’est à dire> 0 no tel que
› Pq no ||xpxq || <
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
27F. AKEF
Normes équivalentes
Définition
› On dit que deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie
› ( || . ||1 || . ||2 d1 d2)
Proposition
› || . ||1 || . ||2M1, M2> 0 tels que M1|| . ||1 || . ||2 M2 || . ||1
Preuve
›  / M1||x  y ||1 || x  y ||2 M2 || x  y ||1
›  M1d1 d2  M2 d1
›  d1d2 . (d’après une proposition précédente)
›  || . ||1 || . ||2.
›  / || . ||1 || . ||2  d1 d2
› > 0 xE , > 0 tel que
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
28F. AKEF
Proposition
› Soit || . ||1 et || . ||2 deux normes équivalentes sur E alors
› ( (E, || . ||1) de Banach) ( (F, || . ||2) de Banach)
Preuve
› M1|| . ||1 || . || M2 || . ||1M1|| xp xq||1 || xp xq|| M2 || xp xq||1
›  (xn) de Cauchy pour || . ||1 (xn) de Cauchy pour || . ||2 d’où le
résultat
Proposition
› Sur ℝn, toutes les normes sont équivalentes
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
29F. AKEF
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
30F. AKEF
Isomorphismes d’espaces normés
Définition
› Soit E et F deux espaces normés et f : E  F linéaire, f est dite
isomorphisme d’espace normé si
› i) fℒ(E, F)
› ii)g(=f1) : F  E fog = IFet gof = IE et g continue
Théorème de Hann – Banach
› Soit E et F deux espaces de Banach et f : E  F linéaire continue et bijective,
alors f1 est continue
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
31F. AKEF
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
32F. AKEF
Proposition
› Soit f : E F isomorphisme d’espace normé alors E Banach  F Banach
Preuve
› Soit (xn) Cauchy dans E c’est à dire > 0 xo tel que ||xp xq || < pour
Pq xo fℒ(E, F) M tel que || f(x) ||  M || x || xE
›  || f(xp)  f(xq) ||  M ||xp xq ||
› (f(xn)) de Cauchy
› f(xn)  f(xo) = y car F de Banach
› f 1continue f 1(f(xn))  f 1(f(xo))
›  xn  xo
› L’autre implication se démontre de la même manière
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES
NORMÉS
33F. AKEF
Proposition
› Soit f : ℝn (F, || . || ) isomorphisme algébrique alors f est un isomorphisme
d’espaces normés
Preuve
› Soit xℝn, on pose (x) = || f(x) ||  norme sur ℝn
(x) = 0  || f(x) || = 0  f(x) = 0  x = 0
(x) = || f(x) || = | | . || f(x) || = |  | f(x)
(x + y) = || f(x + y) || = || f(x) + f(y) ||  || f(x) || + || f(y) || = (x) + (y)
› Soit || . ||une norme sur ℝn.
›  || . ||M1, M2> 0 tel que M1|| x ||(x) M2 || x ||
› 
› f1 continue f continue
› f(x) = y
› M1 || f1 (y) |||| y ||  || f1 (y) || || y ||
II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
Chapitre 2 :
Equations différentielles
I. Equations différentielles du 1er ordre
II. Equations différentielle du 2ème ordre
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
35F. AKEF
Définition
› Soient U et V deux intervalles de ℝ et g une fonction de U  V dans ℝ. On appelle
équation différentielle du 1er degré une équation de la forme : y = g(x, y) (1) où
› On appelle solution générale de (1) une solution quelconque.
› On appelle solution particulière de (1) une solution qui est soumise à des conditions.
Exercice
› y = f(x). f continue sur ℝ
› Résoudre ou intégrer (1) c’est trouver toutes les solutions
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
36F. AKEF
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
37F. AKEF
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
38F. AKEF
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
39F. AKEF
Equations homogènes
› On appelle équation homogène du 1er ordre une équation de la forme y  = f (y/x) où f
est une fonction constante.
Méthode de résolution de cette équation
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
40F. AKEF
Equations linéaires
› On appelle équation différentielle linéaire du 1er degré une équation différentielle
de la forme :
› y = a(x) y + b(x) (1) où a et b sont des fonctions continues.
› L’équation y = a(x) y (2) s’appelle équation homogène associée à (1).
Proposition
› Si y1 et y2 sont solution de V alors y1 y2 est solution de (2)
› Preuve :
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
41F. AKEF
Proposition
› La solution de l’équation (1) est obtenue en ajoutant à une solution particulière
de (1) la solution générale de (2)
Preuve
› Soit yo solution particulier de (1) [on admet l’existence].
› Soit y une solution de (1) donc y  yo est solution de (2)
› On pose y  yo =  y =  +yo
› Réciproquement
› Si y = u + yo avec u solution de (2) et yo solution particulier de (1) on a
› y = u + = a(x) u + a(x) yo + b(x)
› (u + yo) = (x) (u + yo) + b(x)
› y solution de (1)
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
42F. AKEF
Proposition
› Soit y = a(x) y (2) avec a continué.
› Soit F une primitive de a alors la solution générale de (2) est de la forme
› Y(x) = K eF(x)
Preuve
› Soit yo définie par yo (x) = eF(x). Soit y une solution de (2)
› Posons u =  y = u yo .
› Y = uyo + u = a(x)y = a(x) u yo
›  U yo + u = a(x) u yo
›  Uyo + u a(x) yo = a(x) u yo.
›  U yo = 0
›  u = 0  u = K  y = K eF(x)
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
43F. AKEF
Exemple
› Intégrer l’équation y = 2y + x (1)
› Equation homogène y = 2y (2)
› y = K.e2x
› Solution particulière yo = ax + b = a
› a = 2ax + 2b + x 
› ( a = , b = )
› Solution générale de (1) y = K e2x  x 
Problème
› Donner une solution particulière ?
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
44F. AKEF
Méthode de la variation de la constante
› C’est pour trouver une solution particuliere de y = a(x) y + b(x) (1)
› Soit y1 = eF(x), F primitive de a. Soit y une solution de (1), on pose
Y = u y1, y = u y1 + u
U y1 + u = a(x) y + b(x)
I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
Chapitre 2 :
Equations différentielles
I. Equations différentielles du 1er ordre
II. Equations différentielle du 2ème ordre
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
46F. AKEF
Définition
› On appelle équation différentielle du 2ème ordre, toute équation qui est de la
forme y = f(x, y, y) où f est une fonction trois variables. Une telle équation
est dite linéaire si elle est de la forme : y + a(x) y + b(x) y = c(x) (1) où a, b, c
sont trois fonctions réelles.
› Si a et b sont des fonctions constantes, l’équation est dite linéaire à
coefficients constants
› L’équation : y + a(x) y + b(x) y = 0 (2) est dite équation homogène associée à (1)
Proposition
› La différence de deux solutions de l’équation (1) est une solution de l’équation
(2).
Proposition
› La solution générale de l’équation (1) est obtenu en ajoutant à la solution
générale de l’équation (2) une solution particulier de l’équation (1)
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
47F. AKEF
Résolution de : y + 2 by + cy = 0
› Proposition
› La solution de y + 2 by + cy = 0, vérifiant : y(0) = y(0) = 0 est y = 0
› Preuve
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
48F. AKEF
Proposition
› L’ensemble S des solutions de y + 2by + ay = 0 est un espace vectoriel sur ℝ de dim 
2.
Preuve
› Pour la structure on vérifie directement que c’est un sous-espace vectoriel de Ao (ℝ, ℝ)
› Montrons qu’il n’existe pas trois éléments des linéairement indépendants
› Soient y1, y2 et y3 trois éléments des linéairement indépendants
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
49F. AKEF
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
50F. AKEF
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
51F. AKEF
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
52F. AKEF
Proposition
› L’ensemble des solutions de y + 2b y + cy = 0 est un espace vectoriel de
dimension 2. Les conditions initiales y(0) = yo et y(0) = y1 déterminent une
solution unique
Preuve
› dim S = 2 (proposition précédente). Soit (y1, y2) une base de S, soit yS, ( 1, 2)
tel que y = 1y1+ 2 y2
› y est tel que y(0) = yo , y(0) = zo
› Question : Unicité de ( 1, 2) .
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
53F. AKEF
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
54F. AKEF
Solution particulière de y + 2b y + cy = f (1)
a) f polynôme de degré p
Proposition
› dans ce cas il existe une solution particulière sous la forme d’un polynôme de
degré.
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
55F. AKEF
II- EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
56F. AKEF
b) f(x) = eax P(x) oùP est un polynôme de degré p
› On pose y = eaxu
› y = a eaxu + ueax
› y = a2eaxu2 + 2a eax u + ueax
› y solution de (1)  y + 2by + cy = f(x)
eax u + ueax (2a + 2b) + u eax (a2 + 2ba + c) = f(x)
› Ainsi on se ramène au cas précédent.
c) f(x) = P(x) cos(x + ) où P est un polynôme de degré P
› Règle
› Dans ce cas on cherche une solution particulière sous la forme :
› yo = A cosx + B cosx où A et B sont deux polynômes de degré P si ix
est soumis du polynôme caractéristique de degré p+1 si i est soumis du
polynôme caractéristique
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
57F. AKEF
II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME
ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
58F. AKEF
II- EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
59F. AKEF
II- EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
Chapitre 3 :
Séries de Fourier et transformée de
Fourier
I. Séries de Fourier
II. Opérations sur les séries de Fourier
III. Transformation de Fourier
IV. Opération sur les transformées de Fourier
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
61F. AKEF
Certaines fonctions périodiques peuvent être représentées comme la somme d’une
série de fonctions trigonométriques
A cet effet, nous devons d’abord étudier les propriétés d’une telle série
1- Séries trigonométriques
› On appelle ainsi une série de fonctions dont le terme général est de la forme
xAn cos nx + Bnsin nx, où n’est un entier naturel, An et Bn des nombres réels. En
pratique, on omet le terme B0 sin 0x, nul quel que soit x. En un point où la
série est convergente, sa somme est notée.
ou encore
S(x) = Ao + A1 cosx + A2 cos 2x +…+ An cos nx +…+ B1 sinx + B2sin 2x +…+ Bn sin nx
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
62F. AKEF
› Les fonctions admettent toutes 2 pour période
› Si la série converge pour tout nombre réel x, un passage à la limite montre
facilement que la somme S admet encore 2 pour période
› Dans certaines applications, il est commode de ne faire apparaître que des sinus,
ou que des cosinus
› Ainsi
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
63F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
64F. AKEF
Fonctions orthogonales
› Considérons l’espace vectoriel E sur R des fonctions continues sur un même
intervalle [a,b] de R à valeurs réelles, où a < b
› Comme nous l’avons constaté au tome 2, l’application
› est une forme bilinéaire symétrique satisfaisant aux deux conditions suivantes
a) pour tout élément de E, le nombre réel est positif
b) le nombre réel est nul si et seulement si la fonction f est nulle
› Cette application possède donc les mêmes propriétés fondamentales que le
produit scalaire bien connu, que nous avons vu au tome 1. Nous sommes donc
amenés à dire que l’application définie par la formule (3) est un produit scalaire
sur E et que, muni de ce produit scalaire, l’espace vectoriel E est euclidien
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
65F. AKEF
3- Séries de Fourier
› Soit f une fonction définie sur ℝ à valeurs réelles, intégrable sur tout intégrable
sur tout intervalle de longueur 2. Nous nous proposons d’étudier l’existence et
l’unicité d’une série trigonométrique convergeant en tout point x de ℝ et telle
que
› Supposons d’abord qu’il existe une telle série trigonométrique. Nous allons
montrer que l’on peut déterminer les coefficients An et Bn d’une manière et
d’une seule. Nous aurons ainsi prouvé l’unicité de la série trigonométrique
cherchée
› Cette méthode nous fournira en même temps des formules constamment utilisées
en pratique pour le calcul effectif des coefficients
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
66F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
67F. AKEF
4- Théorème de Lejeune-Dirichlet
› Voici sans démonstration un théorème assurant l’existence d’un développement en
série de Fourier
› Soit f une fonction numérique définie sur R, admettant 2 pour période,
continûment dérivable sur le complémentaire d’une partie finie Q de . On suppose
que admettent des limites à gauche et des limites à droite en tout point de
Q
› Alors la série de Fourier de f converge en tout point x de R ; sa somme est
égale à
› c’est-à-dire à la somme des limites à gauche et à droite de f au point x. En
particulier, en tout point x où f est continue
› (En effet, dans ce cas les trois nombres sont égaux.)
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
68F. AKEF
› En outre, si f est continue sur la série de Fourier de f converge absolument
et uniformément vers f
› La plupart des fonction rencontrées dans les problèmes courants de la physique
vérifient les conditions de ce théorème. Nous n’aurons pas de difficultés soulevées
par des questions de convergence
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
69F. AKEF
Phénomène de Gibbs
› Nous venons de voir que si f n’est pas continue en un point x, la somme de
sa série de Fourier n’est pas égale à f(x) . Représentons f par la somme
partielle à l’ordre de sa série de Fourier :
› L’erreur commise est considérable, elle ne s’atténue par lorsque n augmente
indéfiniment. C’est le phénomène de Gibbs
› Sur la figure 1 on voit que dépasse la valeur l prise par d’environ 18 %
lorsque x est positif et voisin de 0. Si n augmente, ce dépassement ne disparaît
pas, mais l’abscisse du maximum se rapproche de 0
› Ce phénomène ne se présente pas lorsque est continûment dérivable
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
70F. AKEF
5- Cas d’une période quelconque
› Nous avons examiné jusqu’ici le cas de fonctions admettant une période T
› Pour tout nombre réel t
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
71F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
72F. AKEF
6 - Calcul pratique des coefficients de Fourier
› Le calcul des coefficients de Fourier d’une fonction périodique est généralement
long et fastidieux. Il est donc conseillé d’utiliser chaque fois que cela est
possible les remarques suivantes
A- Cas où la fonction est paire
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
73F. AKEF
› La série de Fourier d’une fonction paire ne comporte pas de terme en sinus
(Figure 2)
› On dit que l’on a développe f en série de cosinus. (Réciproquement, on
remarquera que la somme d’une série de cosinus est une fonction paire.)
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
74F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
75F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
76F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
77F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
78F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
79F. AKEF
I - SÉRIES DE FOURIER
Chapitre 3 :
Séries de Fourier et transformée de
Fourier
I. Séries de Fourier
II. Opérations sur les séries de Fourier
III. Transformation de Fourier
IV. Opération sur les transformées de Fourier
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
81F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
82F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
83F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
84F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
85F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
86F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
87F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
88F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
Chapitre 3 :
Séries de Fourier et transformée de
Fourier
I. Séries de Fourier
II. Opérations sur les séries de Fourier
III. Transformation de Fourier
IV. Opération sur les transformées de Fourier
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
90F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
91F. AKEF
1- Equations de convolution
› Où f est une fonction périodique inconnue. D’après ce qui précède, les
coefficients de Fourier de sont nécessairement définis par
› Pour résoudre les équations de convolution dans le cas des fonctions non
nécessairement périodiques, on est amené à associer à toute fonction non plus
une série trigonométrique, mais une intégrale. Nous allons indiquer comment
s’introduit cette intégrale, à l’aide d’un passage à la limite.
III - TRANSFORMATION DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
92F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
93F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
94F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
95F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE FOURIER
Chapitre 3 :
Séries de Fourier et transformée de
Fourier
I. Séries de Fourier
II. Opérations sur les séries de Fourier
III. Transformation de Fourier
IV. Opération sur les transformées de Fourier
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
97F. AKEF
1 - Premières opérations
› Voici quelques résultats élémentaires permettant de simplifier la recherche des
transformées de Fourier
Dérivation
› Soit f une fonction continûment dérivable sur R, intégrable sur R ainsi que sa
dérivée. Alors
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
98F. AKEF
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
99F. AKEF
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
100F. AKEF
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER
2 - Produit de convolution
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
101F. AKEF
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
102F. AKEF
3 – Produit :
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER
CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET
TRANSFORMÉE DE FOURIER
103F. AKEF
IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE
FOURIER
Chapitre 4 :
Distributions
I. Définitions
II. Opérations sur les distributions
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
105F. AKEF
Définition d’une distribution
› On appelle distribution toute fonctionnelle T : D ℝ
›  T,  linéaire, continue sur D où D : l’ensemble des fonctions indéfinie
duale à support borné
› Notation  , car le résultat est un scalaire
Premières propriétés d’une distribution
› Linéarité
›  T, 1, 2 =  T, 1 +  T, 2 
›  T,  =  T, 
› De sorte que T,  est une forme bilinéaire
I - DÉFINITIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
106F. AKEF
Continuité
› Si (n) , dans D
›  T, n  T, 
› i.e. : > 0 no n > no |  T1, n T1,  | <
3) Les distributions forment un espace vectoriel appelé D
› T1 +T2, n =  T1,  +  T2, 
› T,  =  T, 
› D est l’espace DUAL topologique de D
I - DÉFINITIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
107F. AKEF
I - DÉFINITIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
108F. AKEF
I - DÉFINITIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
109F. AKEF
I - DÉFINITIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
110F. AKEF
I - DÉFINITIONS
Chapitre 4 :
Distributions
I. Définitions
II. Opérations sur les distributions
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
112F. AKEF
› Addition et multiplication par un scalaire :
II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
113F. AKEF
Remarque
› La notion de translatée d’un distribution permet de définir les distributions
périodiques de période a par T(x  a) = T(x)
› T(x  a), (x)  = T(x), (x + )  car périodique T(x), (x)  donc
› i.e : T(x), (x + )  = T(x), (x) 
Transposition d’une distribution
II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
114F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
115F. AKEF
II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
116F. AKEF
Dérivation des distributions
› La parité essentielle des distributions et qu’elles sont infiniment de duale que toutes les
durées successives sont encore des distributions. Ceci rend l’utilisateur des distributions
extrêmement commode
› On sait que pour les fonctions, il en est autrement. En Mathématique, il y a des fonctions
continues mais non doubles
› Ceci prouve que les fonctions sont moins adaptées à représenter une réalité physique
II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS
117F. AKEF
Primitive d’une distribution
› S est primitive de T si S’ = T
Exemple
› H est primitive de
› On peut montrer que toute distribution admet une primitive, le produit de
convolution des distributions est un moyen simple pour obtenir les primitives de
distributions L’idée est la suivante
› Soient S, T deux distributions, leurs produit de convolution est la distribution
›  S * T,  =  S(x)  (y), (x + y)  où  est le produit tensoriel (ou direct)
› =  S(x),  T(y), (x + y)  =  T(y),  S(x), (x + y) 
› Par dérivation de S * T, on obtient
› (S * T) = S* T = S * T  d’où (H * T) = H* T = * T = T
› Une distribution donc T a pour primitive H * T
II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
Chapitre 5 :
Fonctions Holomorphes
I. Généralités et propriétés
II. Intégration sur un chemin et
conséquences
III. Résidus et application
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
119F. AKEF
› Dans tout le chapitre, la topologie considéré sur ℂ est la topologie définie par
la norme suivante : | z | = si z = x + iy
› Ainsi en identifiant d’une manière canonique ℂ et ℝ2, on voit que ℂ n’est autre
que ℝ2muni de la norme euclidienne
Définition
› Soit U un ouvert de ℂ et f : U ℂ. Soit zoU, on dit que f est dérivable en
zo si
› l est noté f (zo). Si f est dérivable en tout point de U, on dit que f est holomorphe sur
U
Remarque
› i) f dérivable en zo défini au voisinage de 0 tel que f(zo + h)  f(zo) ℓh = (h)
avec | (h) | =  (|h|) (h  0).
› ii) f dérivable en zo f continue en zo
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
120F. AKEF
Proposition :
› Soient f et g dérivables en z alors :
i) f + g dérivable en z et on a (f + g) (z) = f (z) + g(z)
ii) f, (ℂ) est dérivable en z et on a (f)(z) =  f (z)
iii) f.g dérivable en z et on a (f.g)(z) = f (z) g(z) + f(z) g(z)
Cette proposition se démontre de la même manière comme dans le cas d’un
variable réelle.
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
121F. AKEF
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
122F. AKEF
Proposition
› f : U V g : V ℂ
› avec f dérivable en z et g dérivable en f(z) alors gof dérivable au point z et
› (gof)(z) = g(f(z)) f (z)
Preuve
› Même preuve que dans ce cas d’une variable réelle
Proposition (Conditions de Cauchy)
› f : U ℂ
› z = x + iy  f(z) = P(x, y) + i Q(x, y) alors f dérivable en z si et seulement si P
et Q sont différentiables en (x, y) et :
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
123F. AKEF
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
124F. AKEF
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
125F. AKEF
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
126F. AKEF
Séries de Laurent :
I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
Chapitre 5 :
Fonctions Holomorphes
I. Généralités et propriétés
II. Intégration sur un chemin et
conséquences
III. Résidus et application
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
128F. AKEF
Définitions :
1) On appelle chemin sur ℂ, la donnée d’un intervalle [a, b] (a < b) et d’une
application  : [a, b] ℂ et  continue. On note (, [a, b]) ou pour simplifier
l’écriture on le note par  (, [a, b])
Exemples
› : [0, 2] ℂ
›  R ei
› (,[0, 2]) n’est que le cercle de centre O et de rayon R
› : [0, 4] ℂ
›  R ei
› (,[0, 4] ) ℂ
›  R ei
› (,[0, 4] ) est aussi le cercle de centre O et de rayon R
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
129F. AKEF
2) Soit (, [a, b]) un chemin, (a) est appelé origine du chemin et (b) extrémité du
chemin
›  On dit que le chemin (, [a, b]) est continument différenciable si  l’est
›  On dit que (, [a, b]) est continument différentiable par morceau si  l’est
›  On dit que (, [a, b]) est simple si  est injective
›  On dit que (, [a, b]) est fermé si (a) = (b)
›
3) Soit f : U ℂ (U ouvert de ℂ). Soit  (, [a, b]) un chemin continument
différentiable. On appelle intégrale de f sur  : la quantité
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
130F. AKEF
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
131F. AKEF
Définition
› Soit  (, [a, b]) un chemin donné, on appelle chemin inverse le chemin
(,[a, b] ) avec  : [a, b] ℂ
› t(a + b  t)
Proposition
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
132F. AKEF
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
133F. AKEF
Longueur d’un chemin
Définition
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
134F. AKEF
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
135F. AKEF
Définition
› Soit U un ouvert de ℂ, on dit que U est étoilé par rapport à zo où zoU si
zU le chemin [zo , z]  U
Remarque
› Convexe  étoilé par rapport à zo (la réciproque est fausse)
Proposition
› On suppose U étoilé par rapport à zo et f continue. On pose pour zU
› Alors F est une primitive de f sur U qui s’annule en z0
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
136F. AKEF
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
137F. AKEF
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
138F. AKEF
Proposition
› Soit f : U ℂ holomorphe, soit  un chemin fermé, simple et orienté
positivement tel que Int()  U, soit zoInt() alors f(zo) =
› Formule de Cauchy
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
139F. AKEF
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
140F. AKEF
Définition
› On dit que f est analytique en 0, si r > 0 tel que
Remarque
› f analytique en 0 f holomorphe sur D(0, r)
Proposition
› Soit f une fonction holomorphe sur D(0, R). Alors f est développable en série
entière sur D(0, R) (ou analytique en 0), plus exactement on a :
› où  est le cercle de centre 0 et de rayon r (0 < r < R), simple orienté
positivement
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
141F. AKEF
Définition
› Soit f : Uℂ on pose pour zoU g(z) = f(z + zo)
› On dit que f est analytique en zo si g est analytique en 0
› f analytique en zo g analytique en 0
Remarque
› f analytique en zo f holomorphe sur D(zo, R)
Preuve
› g(z) = f(z + zo) f holomorphe sur D(zo, R)  g holomorphe sur D(0, R)
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
142F. AKEF
Indice d’un chemin
Définition : Soit zoℂ, soit  un chemin fermé, on appelle indice de  par rapport à
zo(zo) la quantité
Proposition
› I(, zo)Z
› Preuve
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
143F. AKEF
Remarque
› Si zoExt (Ext : extérieur de ) alors I(, zo) = 0
Exemples
›  = C(0, r) simple  :  [0, 2} ℂ
t r eit
› : [0, 8] ℂ
› T  r eit
› On vérifie que I(, 0) = 4
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
144F. AKEF
Proposition
› Soit f : Uℂ holomorphe
› Soit  chemin fermé avec  U et Int U (Int : interieur de )
› Soit z0(U ) alors
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
145F. AKEF
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
146F. AKEF
Développement en série de Laurent
Rappel
› On dit que f est développable en série de Laurent sur la couronne C(0, R1, R2)
si :
On voit alors qu’une telle fonction est holomorphe donc analytique en tout point
de la couronne
Proposition
› Soit f analytique sur C(0,R1, R2) alors f est développable en série de Laurent sur
C(0,R1, R2) plus exactement on a
› de centre O et de rayon r (R1< r < R2) , simple orienté positivement
II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET
CONSÉQUENCES
Chapitre 5 :
Fonctions Holomorphes
I. Généralités et propriétés
II. Intégration sur un chemin et
conséquences
III. Résidus et application
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
148F. AKEF
Préliminaire
Définition
› Soit f : Uℂ, soit zoU, on dit que zo est un point singulier isolé de f si r > 0 tel
que f est analytique sur D(zo, r)  {zo}
› Exemple
› f(z) = 1/1-z , z = 1 point singulier
› Remarque
› Si zo est un point singulier isolé de f, alors r > 0 tel que f analytique sur D(zo, r){zo}
›  f développable en séries de Laurent sur D(zo, r){zo} c’est à dire
› g holomorphe sur D(zo, r)
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
149F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
150F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
151F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
152F. AKEF
Méthodes de calcul du Résidus dans certains cas
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
153F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
154F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
155F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
156F. AKEF
Application des Résidus
Introduction
› Une des utilités fondamentale des Résidus est le calcul de certains intégrales sans passer
par l’intermédiaire des primitives
› Méthode de calcul de :
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
157F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
158F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
159F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
160F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
Méthode de calcul de
› Proposition
› Soit f analytique sur ℂ{z1, z2, …, zn} où zi ( i{1,…,n} ) sont des points
singulier en nombres fini situés dans le demi-plan supérieure, on suppose
que
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
161F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
Pour la démonstration on a besoin du Lemme suivant
Lemme (Jordan)
› Soit f analytique sur ℂ et  un arc de cercle de centre O et de rayon R. On
pose :
›  est supposé dans le demi plan supérieur au sens large
› Démonstration de la proposition
› Soit  le chemin fermé simple suivant
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
162F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
163F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
Proposition
› Soit f vérifiant les hypothèses de la proposition précédente, et on suppose de plus
que 0 est un pôle simple de f alors
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
164F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
165F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
Logarithme Complexe
Problème
› Déterminer Z tel que eZ = z
› Z = x + iy , z =  ei
› eZ = z  exeiy = =  ei
› Z = ln  + i ( + 2k)
› Z = ln | z | + i ( + 2k)
› Remarque
›  0 < , z = xℝ+ , k = 0
› Z = ln x
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
166F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
Définition
› Soit U un ouvert convexe de ℂ*, une fonction sur U est dite une
détermination de logarithme sur U si :
i) f continue
ii) ef(z) = z zU
› Proposition
› Si f et g sont deux déterminations de logarithme sur un ouvert convexe U
de ℂ* alors kZ tel que f(z)  g(z) = 2ikzU
Preuve
CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES
167F. AKEF
III - RÉSIDUS ET APPLICATION
Proposition
› Soit f une détermination de logarithme sur un ouvert connexe U de ℂ*,
alors f est analytique sur U
Preuve
› Soit zoU
› f(z) = zU d’où le résultat
Chapitre 6 :
Transformée de Laplace
I. Transformation de Laplace
II. Propriété de la transformation de Laplace
III. Transformation de Laplace inverse
IV. Application aux équations différentielles
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée
de Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
169F. AKEF
1 - Définition
› Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur ℝ et supposée nulle
pour x < 0
› On appelle transformée de Laplace de f la fonction F définie par
› Où p est une variable réelle ou éventuellement complexe
› On écrira F(p) = ℒ(f(x))
› F(p) est appelée image de f, ce que l’on note parfois F(p)  f(x)
› f F transformation de Laplace
› La transformée de Laplace d’une fonction n’existe que si l’intégrale est
convergente.
I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
170F. AKEF
1 - Définition
› Pour cela on est amené à imposer à f deux conditions
› Etre continue par morceaux sur tout fermé [0, xo].
› Etre d’ordre exponentiel à l’infini c’est à dire il existe M > 0 et  tels que :
› On démontre que si ces deux hypothèses sont vérifiées la transformée de
Laplace est définie pour p >, ou si p est complexe, pour Re(p) >
Remarque
› Ce sont des conditions suffisantes d’existence le domaine de convergence, ], +{
ou le demi plan complexe défini par Re(p) >
I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
171F. AKEF
I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
172F. AKEF
I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
Cette limite n’est pas une fonction. Elle définit
la distribution de Dirac notée (x)
On a
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
173F. AKEF
I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
174F. AKEF
I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
Chapitre 6 :
Transformée de Laplace
I. Transformation de Laplace
II. Propriété de la transformation de Laplace
III. Transformation de Laplace inverse
IV. Application aux équations différentielles
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée
de Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
176F. AKEF
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
177F. AKEF
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
178F. AKEF
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
179F. AKEF
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
180F. AKEF
Application : Transformée d’une fonction périodique
› Soit f une fonction périodique pour n > 0, de période T
› D’où en appliquant la linéarité et le
théorème du retard
› ℒ (f(x)) = ℒ [ fn(x) ]
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
181F. AKEF
4 - Transformée de la dérivée
Théorème fondamental
› Si f  est continue par morceau sur tout germé [0, xo] et si
› ℒ [f(x) ] = F(p) alors
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
182F. AKEF
Généralisation
› Si f  vérifie les hypothèses du théorème
› ℒ [f (x) ] = p ℒ [f (x) ]  f(O+)
› = p [p F(p) f(O+) ] f (O+)
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
183F. AKEF
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
184F. AKEF
II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE
LAPLACE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
185F. AKEF
1 - Définition
› Soit F(p) la transformée de Laplace d’une fonction f(x)
› On appelle transformée de Laplace inverse ou original de F(p) la fonction f(x)
› On note f(x) = ℒ1[F(p)] ou f(x)  F(p)
Exemples
III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
186F. AKEF
Propriétés de la transformation de Laplace inverse
Linéarité
› ℒ1 [f + g ] = ℒ1 [f] + ℒ1 [g]
› ainsi,
III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
187F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
188F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
189F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
190F. AKEF
III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
Chapitre 6 :
Transformée de Laplace
I. Transformation de Laplace
II. Propriété de la transformation de Laplace
III. Transformation de Laplace inverse
IV. Application aux équations différentielles
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée
de Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
192F. AKEF
1 - Equations différentielles linéaires
Soit l’équation différentielle linéaire à coefficient constants
› an y(n)(x) + an1y(n1)(x) + … + ao y(x) = f(x)
› siℒ[y(x)] = (p)
› ℒ[y(x)] = p (p)  y(0)
› ℒ[y(x)] = p2(p)  p y(0)  y(0)
› ℒ[y(n)(x)] = pn(p)  pn1 y(0)  y(n1) (0)
En appliquant donc la transformation de Laplace à l’équation différentielle
› (anpn+ an1pn1 + … + ao(p) + (p) = f(p)
› (p) : polynôme de do (n  1) en p contenant y(0), y(0), …, y(n1) (0)
On en déduit : (p) =
› Par conséquent : y(x) = ℒ1 [(p) ]
IV - APPLICATION AUX ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES
CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE
193F. AKEF
IV - APPLICATION AUX ÉQUATIONS
DIFFÉRENTIELLES
Chapitre 1 :
Espaces de Hilbert
I. Produit scalaire
II. Théorème de la projection orthogonale
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
195F. AKEF
Introduction
› Une espace de Hilbert est un espace de Banach dont la
norme est obtenue à partir d’un produit scalaire. Ce
produit scalaire donne la possibilité de généraliser
certaines notions fondamentales en géométrie
élémentaire (angles, perpendiculaires, orthogonalité,
bases ortho normales …)
I - PRODUIT SCALAIRE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
196F. AKEF
Définition :
Soit H un espace vectoriel réel
Un produit scalaire sur H est une application qui à chaque couple X , Y d’élément de H fait
correspondre un nombre réel noté X , Y , cette application ayant les propriétés suivantes :
› Symétrie : X, Y = Y, X(1)
› Linéarité : X1 + X2, Y = X1, Y + X2, Y
› = X, Y pour tout nombre réel (2)
› Positivité : X, Y 0 pour tout élément X de H
› X, Y = 0 X = 0(3)
On appelle souvent un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire un espace euclidien ou
espace préhilbertien
I - PRODUIT SCALAIRE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
197F. AKEF
I - PRODUIT SCALAIRE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
198F. AKEF
Propriétés élémentaires
Inégalité de Schwarz
Démonstration
› On développe le produit scalaire de X + Y par lui-même en utilisant les propriétés de
symétrie et de linéarité :
› D’après la première propriété de positivé, ce trinôme en  est toujours positif ou nul donc son
discriminant est toujours négatif ou nul, ce qui donne bien l’inégalité cherchée
› D’après la seconde propriété de positivité, l’égalité s’obtient si et seulement si X = 0 Y, c’est-
à-dire si X et Y sont proportionnels
I - PRODUIT SCALAIRE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
199F. AKEF
Conséquence
Définition d’un espace de Hilbert
› L’application qui à un élément X de H fait correspondre le nombre positif ou nul
, noté || X ||, définit une norme sur l’espace vectoriel H
› Si H muni de cette norme est complet, on dit que H a une structure d’espace de Hilbert
I - PRODUIT SCALAIRE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
200F. AKEF
Exemples d’espaces de Hilbert
› En reprenant les exemples d’espaces munis de produit scalaire donnés ci-dessus :
› Rk est un espace de Hilbert
› L’espace des fonction n’est pas un espace de Hilbert
(Il n’est pas complet pour la norme correspondante)
I - PRODUIT SCALAIRE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
201F. AKEF
Démonstration
› Suffit d’exprimer les normes au moyen des produits scalaires
› < X,Y > = 0, on obtient immédiatement la relation de Pythagore. En ajoutant ou tranchant
membre à membre, on obtient les deux identités cherchées
Orthogonalité
› Comme dans le cas de la géométrie ordinaire, on dit qu’un élément X est orthogonal à
l’élément Y de H si = 0. On note cette relation X
› On appelle orthogonal de l’élément X de H l’ensemble noté X des éléments de H
orthogonaux à X
I - PRODUIT SCALAIRE
Chapitre 1 :
Espaces de Hilbert
I. Produit scalaire
II. Théorème de la projection orthogonale
Chapitre 1 : Espace
Métriques  Espaces
Normés
Chapitre 2 : Equations
différentielles
Chapitre 3 : Séries de
Fourier et transformée de
Fourier
Chapitre 4 : Distributions
Chapitre 5 : Fonctions
Holomorphes
Chapitre 6 : Transformée de
Laplace
Chapitre 7 : Espaces de
Hilbert
ANALYSE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
203F. AKEF
Nous allons maintenant démontrer un résultat fondamental dans la théorie des espaces de
Hilbert. Il donne la généralisation de propriétés bien connues de la géométrie élémentaire dans
l’espace
Théorème
› Soit M un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H et soit X un élément
quelconque de H
› Il existe un élément Y de M et un seul ayant les propriétés suivantes :
( Y réalise la plus courte distance de X au sous-espace M )
› X – Y est orthogonal à tous les éléments Z de M, c’est-à-dire X – Y M
( Y est le pied de la perpendiculaire abaissée de X sur M )
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
204F. AKEF
Définition
› L’élément Y ainsi associé à X est appelé la projection orthogonale de X sur M
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
205F. AKEF
2 - X – Y est orthogonal à tous les éléments de M
› Soit Z un élément quelconque de M et soit  une constante réelle non nulle
› Evaluons la distance d de X à l’élément Y + Z de M :
› d2 = || X  Y Z ||2 =  X  Y Z, X  Y Z 
› = || X  Y ||2 2 Z, X  Y  + 2 || Z ||2
› Cette distance d est supérieure ou égale à : donc
›  2 Z, X  Y  + 2 || Z ||2 = d2 || X  Y ||2 0,
› D’où 2 Z, X  Y 2 || Z ||2.
› Quel que soit 0, on a || Z ||2
› En considérant une suite de valeurs de  qui converge vers zéro par valeurs supérieures, on en
déduit
› Quel que soit 0, on a || Z ||2
› En considérant une suite de valeurs de  qui converge vers zéro par valeurs inférieures, on en
déduit
› On a donc bien quel que soit Z M
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
206F. AKEF
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
207F. AKEF
Application projections orthogonales
Définitions
› Soit M un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Hilbert H. A un élément X de H, on peut
associer de façon unique d’après le théorème précédent sa projection orthogonale P(X) sur M. On
définit ainsi une application :
› P : H  M ou P : H H
› X  P(X) X  P(X)
› Appelée projection orthogonale sur M
› D’autre part, toujours d’après le théorème précédent, Q(X) = X  P(X) appartient à M
et est tel que Q(X) = P(X) est orthogonal à M. L’application :
› Q : H  M ou Q : H  H
› X  Q(X) = X  P(X) X  Q(X)
› est la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel fermé M
› D’après ces définitions, on a P(X) + Q(X) = X
› Compte tenu du fait que M M = {0}, cette relation donne immédiatement la proposition
suivante
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
208F. AKEF
Proposition
› Si M est un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Hilbert H
› Tout vecteur X de H se décompose d’une manière unique en un vecteur P(X) appartenant à M et un
vecteur Q(X) appartenant à M
› H est somme directe de M et M : H = M + M
Propriétés des projections orthogonales
› Considérons P et Q comme des applications de H dans H
a) P et Q ont pour image M et M et pour noyau M et M respectivement
› Cela résulte immédiatement des définitions
b) P et Q sont linéaires
› Soient X1 et X2deux éléments de H, 1 et 2 deux nombres réels
V = P (1X1+ 2X2) 1P(X1) 2 P(X2) appartient à M
› W = Q (1X1+ 2X2) 1Q(X1) 2 Q(X2) appartient à M
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE
CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT
209F. AKEF
Propriétés des projections orthogonales :
› En ajoutant ces deux vecteurs, la relation (1) montre que
› V + W = 1 X1 + 2 X21 X12 X2 = 0
› V = doit donc appartenir à la fois à M et à M et ne peut donc être que le vecteur nul On en déduit
bien que :
› P(1X1+ 2 X2 ) = 1P(X1) + 2 P(X2)
› Q(1X1+ 2 X2) = 1Q(X1) + 2 Q(X2)
c) P et Q sont continues
› En appliquant la relation de Pythagore aux vecteurs orthogonaux P(X) et Q(X)
› || P(X) ||2+ || Q(X) ||2= || X ||2 ,
› On voit que || P(X) || || X ||et || Q(X) || || X || ,
› P et Q sont bornées donc continues
› En prenant X dans M ou M (si ces espaces sont différents de {O} et H) , on a
II - THÉORÈME DE LA PROJECTION
ORTHOGONALE
FI-GLSID Fatiha AKEF
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Cours d'Analyse - FI-GL-SID

  • 1. FI-GLSID Fatiha AKEF UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA ENSET - Mohemmadia Analyse
  • 2. Plan Général 2F. AKEF › Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés › Chapitre 2 : Equations différentielles › Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier › Chapitre 4 : Distributions › Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes › Chapitre 6 : Transformée de Laplace › Chapitre 7 : Espaces de Hilbert
  • 3. Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés I. Distances et topologie métrique II. Normes et espaces de Banach Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 4. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 4F. AKEF Distance › Définition : › Soit E un ensemble différent de l’ensemble vide, on appelle distance sur E toute application d : E  E ℝ+ › (x, y)  d(x, y) qui vérifie i)d(x, y) = 0 x = y x, yE ii)d(x, y) = d(y, x) x,yE iii)d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) x,y,zE I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 5. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 5F. AKEF I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 6. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 6F. AKEF Définition : › On appelle espace métrique tout ensemble muni d’une distance › Proposition › Soit (E, d) un espace métrique, alors : › i) | d(x, z)  d(x, y) | d(y, z) x, y, zE Démonstration › i) d(x, z)  d(x, y) + d(y, z) d(y, z) d(x, z)  d(x, y)  d(y, z). › d(x, y)  d(x, z) + d(z, y) d(x, y)  d(x, z)  d(z, y) › donc | d(x, y)  d(x, z) | d(y, z) . › ii)par récurrence I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 7. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 7F. AKEF Boules Définitions : › Soient AE, r > 0, on appelle boule ouverte de centre a et de rayon r l’ensemble › B(a, r) = {aE tel que d(x, a) < r}. On appelle boule fermée de centre a et de rayon r l’ensemble › Bf(a, r) = {aE tel que d(x, a)  r}.  On appelle la sphère de centre a et de rayon r S(a, r) = {aE tel que d(x, a) = r} › S(a, r) = Bf(a, r) CB(a, r) I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 8. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 8F. AKEF I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE Remarque B(a, r) pour distance discrète soit {a}, soit E
  • 9. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 9F. AKEF Distance d’un point par rapport à un ensemble borné Définition › Soit (E, d) espace métrique, soit AE, A  . Soit aE. On appelle de d(a, A) le nombre suivant d(a, A) = inf.{d(x, a) tel que xA} Remarque › d(a, A) existe car cet ensemble (ci-dessus) est minoré non vide. › Si aA d (a, A) = 0 › Si d (a, A) = 0  0 aA › a = 2 A = {2, 3} d( 2, ]2, 3[ ) = 0 et 2  A. I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 10. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 10F. AKEF Définition : › On appelle diamètre d’un ensemble A différent du vide la quantité › d(A) = sup{d(x, y) tel que (x, y)A2} › Si d(A) est fini on dit que A est borné › Par conversation  est borné Proposition › Soit A  E, A est dit bornée si et seulement si aE, r > 0 tel que A  Bf(a, r) Preuve › / ? Si A =  vrai › Si A aA alors A  Bf(a, D(A)) › xA d(x, a) D (A)  x Df(a, D(A)) ›  / ?A  Bf(a, r) › Soit (x, y)A2 d(x, y)  d(x, a) + d(a, y)  r + r = 2r › L’ensemble {D(x, y), x,yA} est majoré, non vide donc admet une borne I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 11. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 11F. AKEF Propriété › Soient A et B deux ensembles bornés, alors AB est borné › Preuve › Si A = ou B  AB =  résultat › Si A  et B  soit x,yAB › (x, y)A2 d(x, y) d(A) < + a › (x, y)B2 d(x, y)  D(B) < + a › xA, yB, soit (a1, a2)A  B d(x, y)  d(x, a1) + d(a1, a2) + d(a2, y)  d(A) + D(B) + d(a1, a2) {(d(x, y) tel que (x, y)(AB)2} non vide majoré donc admet une borne sup D(AB) . I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 12. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 12F. AKEF Topologie Métrique Définition : › Soit (E, d) espace métrique › On pose Td = {E tel que xr > 0 tel que B(x, r)} › Td= Td {} Proposition › Td définie une topologie sur E › Cette topologie est appelé topologie métrique associé à d Preuve › i)Td , ETd soit xE soit r > 0 B(x, r) E. I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 13. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 13F. AKEF Preuve : I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 14. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 14F. AKEF Proposition › Toute boule ouverte est un ouvert, et toute boule fermée est un fermé et toute sphère est un fermé Preuve › B(a, r) ouvert ? › Soit xB(a, r)  ? r tel que B(a, r)  B(a, r) › Soit r = r  rr‫ج‬ = d(a, x) alors B(x, r) B(a, r) car soit yB(r, r) › d(y, a) d(y, x) + d(x, a) <  yB(a, r) I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 15. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 15F. AKEF Continuité et continuité uniforme Définition › Soit (E, d) et (E, d) et f(E, d)  (E, d). On dit que f est continue en xoE si > 0 > 0 d(xo, x) < d(f(x), f(xo)) < > 0 > 0 tel que B(xo, )  f1(B(f(x), )) › On dit que f est continue sur E si elle est continue en toute point de E. › On dit que f uniformément continue sur E si › > 0 > 0 tel que d(f(x), f(x)) < Remarques › i) Continuité uniforme  continuité › ii) f continue sur E  f1 d’un ouvert est ouvert › iii) f continue en x (xn) tel que xn x alors f(xn)  f(x) › I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 16. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 16F. AKEF Distances équivalentes Définition › Soit d et d deux distances sur E, on dit que d et d sont équivalents si elles définissent la même topologie c’est à dire Td = Td (d  d) › Proposition › i) d  d › ii)> 0 xE ,> 0 tel que Bd(x, ) Bd(x, ) et Bd(x, d) Bd(x, ) › ii)> 0 xE yE ,> 0 tel que d(x, y) < d  d(x, y) < › et d(y, x) < d(x, y) < › iv)idE : (E, d)  (E, d) est continue ainsi que sa réciproque I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 17. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 17F. AKEF Preuve i)ii) d  dTd = TdTdTd et TdTd › soit> 0 soit xE Bd(x, a)Td = Td> 0 tel que Bd(x, )Bd(x, ) › de même pour l’autre (échanger d et d). ii)i) Td = Td? soit Tdx> tel que Bd (x, ) iii)d tel que Bd(x, d)Bd (x, )TdTdTd › De même pour l’autre (Échanger d et d) › Les autres sont évidentes Proposition › S’il existe M1> 0 et M2> 0 tel que M1d  d M2 d (M1d (x, y)  d(x, y) M1d(x, y)) pour tout x,yE alors d  d › Preuve › d diii) (propriété précédente) › Prendre  = et  = M1 I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 18. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 18F. AKEF Espaces métriques complets Définition : › Soit (E, d) un espace métrique, soit (xn) une suite d’éléments de E, on dit que (xn) converge vers x pour d si : › > 0 no tel que n  no d(xn, x) < . Proposition › La limite d’une suite convergente est unique Preuve › Supposons que x et x sont des limites de xn › I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 19. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 19F. AKEF I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 20. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 20F. AKEF Définition : › On dit que (xn) est une suite de Cauchy dans (E, d) si > 0 no p > q  no on a d(xp, xq) < Remarque › Si d  d et xn de Cauchy pour d ⇏ xn de Cauchy pour d Exercice › Sur ℝ d(x, y) = |x  y| d(x, y) =. › Montrer que › 1) ddistance › 2) d  d › 3) (xn) xn = n (xn) de Cauchy pour d I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 21. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 21F. AKEF Définition › On dit que (E, d) est un espace vectoriel complet si toute suite de Cauchy dans E converge dans E ›  On dit que (E, d) est un espace métrique typologiquement complet si  d  d tel que (E, d) soit complet ›  Soit (E, d) un espace métrique et f E  E on dit que f est une contraction ou bien f est une fonction contractante s’il existe ]0, 1[ tel que d(f(x), f(y))d(x, y)pour tout (x, y)E2 Théorème du point fixe › Soit (E, d) un espace métrique complet et f contractante sur E, alors il existe un unique xo tel que f(xo) = xo. I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 22. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 22F. AKEF I - DISTANCES ET TOPOLOGIE MÉTRIQUE
  • 23. Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés I. Distances et topologie métrique II. Normes et espaces de Banach Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 24. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 24F. AKEF Normes Définition › Soit E un espace vectoriel, on appelle norme sur E toute application noté › ||.|| : Eℝ+ vérifiant les trois conditions suivantes i) || x || = 0  x = 0. ii) ||  x || = |  | || x || xE, ℝ ou ℂ iii) || x + y ||  || x || + || y || x,yE2 › Proposition › i) Cette norme est non bornée (E  {0}) Remarque › On posant d(x, y) = || x  y || si || .|| est une norme, alors d est une distance. › Réciproquement cette écriture ne nous donne pas le résultat II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 25. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 25F. AKEF Proposition › || .|| : E ℝ › x  || x|| est uniformément continu Preuve › | f(x)  f(x) | = || x ||  || x ||  || x  x || = d(x, x)  fonction uniformément continue ( Le ptsychienne k1 ). Définition › Si un espace normé est complet, on dit que c’est un espace de Banach Proposition › Soit E1, E2, …, En, n espace de Banach ( Ei muni de || . ||i) on pose › est un Banach II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 26. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 26F. AKEF Preuve › Soit (xn)n  0 une suite de Cauchy dans (E, ||.||) c’est à dire> 0 no tel que › Pq no ||xpxq || < II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 27. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 27F. AKEF Normes équivalentes Définition › On dit que deux normes sont équivalentes si elles définissent la même topologie › ( || . ||1 || . ||2 d1 d2) Proposition › || . ||1 || . ||2M1, M2> 0 tels que M1|| . ||1 || . ||2 M2 || . ||1 Preuve ›  / M1||x  y ||1 || x  y ||2 M2 || x  y ||1 ›  M1d1 d2  M2 d1 ›  d1d2 . (d’après une proposition précédente) ›  || . ||1 || . ||2. ›  / || . ||1 || . ||2  d1 d2 › > 0 xE , > 0 tel que II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 28. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 28F. AKEF Proposition › Soit || . ||1 et || . ||2 deux normes équivalentes sur E alors › ( (E, || . ||1) de Banach) ( (F, || . ||2) de Banach) Preuve › M1|| . ||1 || . || M2 || . ||1M1|| xp xq||1 || xp xq|| M2 || xp xq||1 ›  (xn) de Cauchy pour || . ||1 (xn) de Cauchy pour || . ||2 d’où le résultat Proposition › Sur ℝn, toutes les normes sont équivalentes II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 29. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 29F. AKEF II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 30. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 30F. AKEF Isomorphismes d’espaces normés Définition › Soit E et F deux espaces normés et f : E  F linéaire, f est dite isomorphisme d’espace normé si › i) fℒ(E, F) › ii)g(=f1) : F  E fog = IFet gof = IE et g continue Théorème de Hann – Banach › Soit E et F deux espaces de Banach et f : E  F linéaire continue et bijective, alors f1 est continue II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 31. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 31F. AKEF II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 32. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 32F. AKEF Proposition › Soit f : E F isomorphisme d’espace normé alors E Banach  F Banach Preuve › Soit (xn) Cauchy dans E c’est à dire > 0 xo tel que ||xp xq || < pour Pq xo fℒ(E, F) M tel que || f(x) ||  M || x || xE ›  || f(xp)  f(xq) ||  M ||xp xq || › (f(xn)) de Cauchy › f(xn)  f(xo) = y car F de Banach › f 1continue f 1(f(xn))  f 1(f(xo)) ›  xn  xo › L’autre implication se démontre de la même manière II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 33. CHAPITRE 1 : ESPACE MÉTRIQUES  ESPACES NORMÉS 33F. AKEF Proposition › Soit f : ℝn (F, || . || ) isomorphisme algébrique alors f est un isomorphisme d’espaces normés Preuve › Soit xℝn, on pose (x) = || f(x) ||  norme sur ℝn (x) = 0  || f(x) || = 0  f(x) = 0  x = 0 (x) = || f(x) || = | | . || f(x) || = |  | f(x) (x + y) = || f(x + y) || = || f(x) + f(y) ||  || f(x) || + || f(y) || = (x) + (y) › Soit || . ||une norme sur ℝn. ›  || . ||M1, M2> 0 tel que M1|| x ||(x) M2 || x || ›  › f1 continue f continue › f(x) = y › M1 || f1 (y) |||| y ||  || f1 (y) || || y || II - NORMES ET ESPACES DE BANACH
  • 34. Chapitre 2 : Equations différentielles I. Equations différentielles du 1er ordre II. Equations différentielle du 2ème ordre Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 35. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 35F. AKEF Définition › Soient U et V deux intervalles de ℝ et g une fonction de U  V dans ℝ. On appelle équation différentielle du 1er degré une équation de la forme : y = g(x, y) (1) où › On appelle solution générale de (1) une solution quelconque. › On appelle solution particulière de (1) une solution qui est soumise à des conditions. Exercice › y = f(x). f continue sur ℝ › Résoudre ou intégrer (1) c’est trouver toutes les solutions I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 36. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 36F. AKEF I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 37. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 37F. AKEF I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 38. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 38F. AKEF I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 39. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 39F. AKEF Equations homogènes › On appelle équation homogène du 1er ordre une équation de la forme y  = f (y/x) où f est une fonction constante. Méthode de résolution de cette équation I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 40. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 40F. AKEF Equations linéaires › On appelle équation différentielle linéaire du 1er degré une équation différentielle de la forme : › y = a(x) y + b(x) (1) où a et b sont des fonctions continues. › L’équation y = a(x) y (2) s’appelle équation homogène associée à (1). Proposition › Si y1 et y2 sont solution de V alors y1 y2 est solution de (2) › Preuve : I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 41. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 41F. AKEF Proposition › La solution de l’équation (1) est obtenue en ajoutant à une solution particulière de (1) la solution générale de (2) Preuve › Soit yo solution particulier de (1) [on admet l’existence]. › Soit y une solution de (1) donc y  yo est solution de (2) › On pose y  yo =  y =  +yo › Réciproquement › Si y = u + yo avec u solution de (2) et yo solution particulier de (1) on a › y = u + = a(x) u + a(x) yo + b(x) › (u + yo) = (x) (u + yo) + b(x) › y solution de (1) I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 42. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 42F. AKEF Proposition › Soit y = a(x) y (2) avec a continué. › Soit F une primitive de a alors la solution générale de (2) est de la forme › Y(x) = K eF(x) Preuve › Soit yo définie par yo (x) = eF(x). Soit y une solution de (2) › Posons u =  y = u yo . › Y = uyo + u = a(x)y = a(x) u yo ›  U yo + u = a(x) u yo ›  Uyo + u a(x) yo = a(x) u yo. ›  U yo = 0 ›  u = 0  u = K  y = K eF(x) I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 43. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 43F. AKEF Exemple › Intégrer l’équation y = 2y + x (1) › Equation homogène y = 2y (2) › y = K.e2x › Solution particulière yo = ax + b = a › a = 2ax + 2b + x  › ( a = , b = ) › Solution générale de (1) y = K e2x  x  Problème › Donner une solution particulière ? I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 44. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 44F. AKEF Méthode de la variation de la constante › C’est pour trouver une solution particuliere de y = a(x) y + b(x) (1) › Soit y1 = eF(x), F primitive de a. Soit y une solution de (1), on pose Y = u y1, y = u y1 + u U y1 + u = a(x) y + b(x) I - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU 1ER ORDRE
  • 45. Chapitre 2 : Equations différentielles I. Equations différentielles du 1er ordre II. Equations différentielle du 2ème ordre Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 46. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 46F. AKEF Définition › On appelle équation différentielle du 2ème ordre, toute équation qui est de la forme y = f(x, y, y) où f est une fonction trois variables. Une telle équation est dite linéaire si elle est de la forme : y + a(x) y + b(x) y = c(x) (1) où a, b, c sont trois fonctions réelles. › Si a et b sont des fonctions constantes, l’équation est dite linéaire à coefficients constants › L’équation : y + a(x) y + b(x) y = 0 (2) est dite équation homogène associée à (1) Proposition › La différence de deux solutions de l’équation (1) est une solution de l’équation (2). Proposition › La solution générale de l’équation (1) est obtenu en ajoutant à la solution générale de l’équation (2) une solution particulier de l’équation (1) II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 47. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 47F. AKEF Résolution de : y + 2 by + cy = 0 › Proposition › La solution de y + 2 by + cy = 0, vérifiant : y(0) = y(0) = 0 est y = 0 › Preuve II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 48. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 48F. AKEF Proposition › L’ensemble S des solutions de y + 2by + ay = 0 est un espace vectoriel sur ℝ de dim  2. Preuve › Pour la structure on vérifie directement que c’est un sous-espace vectoriel de Ao (ℝ, ℝ) › Montrons qu’il n’existe pas trois éléments des linéairement indépendants › Soient y1, y2 et y3 trois éléments des linéairement indépendants II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 49. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 49F. AKEF II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 50. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 50F. AKEF II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 51. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 51F. AKEF II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 52. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 52F. AKEF Proposition › L’ensemble des solutions de y + 2b y + cy = 0 est un espace vectoriel de dimension 2. Les conditions initiales y(0) = yo et y(0) = y1 déterminent une solution unique Preuve › dim S = 2 (proposition précédente). Soit (y1, y2) une base de S, soit yS, ( 1, 2) tel que y = 1y1+ 2 y2 › y est tel que y(0) = yo , y(0) = zo › Question : Unicité de ( 1, 2) . II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 53. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 53F. AKEF II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 54. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 54F. AKEF Solution particulière de y + 2b y + cy = f (1) a) f polynôme de degré p Proposition › dans ce cas il existe une solution particulière sous la forme d’un polynôme de degré. II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 55. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 55F. AKEF II- EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 56. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 56F. AKEF b) f(x) = eax P(x) oùP est un polynôme de degré p › On pose y = eaxu › y = a eaxu + ueax › y = a2eaxu2 + 2a eax u + ueax › y solution de (1)  y + 2by + cy = f(x) eax u + ueax (2a + 2b) + u eax (a2 + 2ba + c) = f(x) › Ainsi on se ramène au cas précédent. c) f(x) = P(x) cos(x + ) où P est un polynôme de degré P › Règle › Dans ce cas on cherche une solution particulière sous la forme : › yo = A cosx + B cosx où A et B sont deux polynômes de degré P si ix est soumis du polynôme caractéristique de degré p+1 si i est soumis du polynôme caractéristique II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 57. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 57F. AKEF II - EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 58. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 58F. AKEF II- EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 59. CHAPITRE 2 : EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 59F. AKEF II- EQUATIONS DIFFÉRENTIELLE DU 2ÈME ORDRE
  • 60. Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier I. Séries de Fourier II. Opérations sur les séries de Fourier III. Transformation de Fourier IV. Opération sur les transformées de Fourier Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 61. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 61F. AKEF Certaines fonctions périodiques peuvent être représentées comme la somme d’une série de fonctions trigonométriques A cet effet, nous devons d’abord étudier les propriétés d’une telle série 1- Séries trigonométriques › On appelle ainsi une série de fonctions dont le terme général est de la forme xAn cos nx + Bnsin nx, où n’est un entier naturel, An et Bn des nombres réels. En pratique, on omet le terme B0 sin 0x, nul quel que soit x. En un point où la série est convergente, sa somme est notée. ou encore S(x) = Ao + A1 cosx + A2 cos 2x +…+ An cos nx +…+ B1 sinx + B2sin 2x +…+ Bn sin nx I - SÉRIES DE FOURIER
  • 62. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 62F. AKEF › Les fonctions admettent toutes 2 pour période › Si la série converge pour tout nombre réel x, un passage à la limite montre facilement que la somme S admet encore 2 pour période › Dans certaines applications, il est commode de ne faire apparaître que des sinus, ou que des cosinus › Ainsi I - SÉRIES DE FOURIER
  • 63. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 63F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 64. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 64F. AKEF Fonctions orthogonales › Considérons l’espace vectoriel E sur R des fonctions continues sur un même intervalle [a,b] de R à valeurs réelles, où a < b › Comme nous l’avons constaté au tome 2, l’application › est une forme bilinéaire symétrique satisfaisant aux deux conditions suivantes a) pour tout élément de E, le nombre réel est positif b) le nombre réel est nul si et seulement si la fonction f est nulle › Cette application possède donc les mêmes propriétés fondamentales que le produit scalaire bien connu, que nous avons vu au tome 1. Nous sommes donc amenés à dire que l’application définie par la formule (3) est un produit scalaire sur E et que, muni de ce produit scalaire, l’espace vectoriel E est euclidien I - SÉRIES DE FOURIER
  • 65. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 65F. AKEF 3- Séries de Fourier › Soit f une fonction définie sur ℝ à valeurs réelles, intégrable sur tout intégrable sur tout intervalle de longueur 2. Nous nous proposons d’étudier l’existence et l’unicité d’une série trigonométrique convergeant en tout point x de ℝ et telle que › Supposons d’abord qu’il existe une telle série trigonométrique. Nous allons montrer que l’on peut déterminer les coefficients An et Bn d’une manière et d’une seule. Nous aurons ainsi prouvé l’unicité de la série trigonométrique cherchée › Cette méthode nous fournira en même temps des formules constamment utilisées en pratique pour le calcul effectif des coefficients I - SÉRIES DE FOURIER
  • 66. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 66F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 67. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 67F. AKEF 4- Théorème de Lejeune-Dirichlet › Voici sans démonstration un théorème assurant l’existence d’un développement en série de Fourier › Soit f une fonction numérique définie sur R, admettant 2 pour période, continûment dérivable sur le complémentaire d’une partie finie Q de . On suppose que admettent des limites à gauche et des limites à droite en tout point de Q › Alors la série de Fourier de f converge en tout point x de R ; sa somme est égale à › c’est-à-dire à la somme des limites à gauche et à droite de f au point x. En particulier, en tout point x où f est continue › (En effet, dans ce cas les trois nombres sont égaux.) I - SÉRIES DE FOURIER
  • 68. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 68F. AKEF › En outre, si f est continue sur la série de Fourier de f converge absolument et uniformément vers f › La plupart des fonction rencontrées dans les problèmes courants de la physique vérifient les conditions de ce théorème. Nous n’aurons pas de difficultés soulevées par des questions de convergence I - SÉRIES DE FOURIER
  • 69. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 69F. AKEF Phénomène de Gibbs › Nous venons de voir que si f n’est pas continue en un point x, la somme de sa série de Fourier n’est pas égale à f(x) . Représentons f par la somme partielle à l’ordre de sa série de Fourier : › L’erreur commise est considérable, elle ne s’atténue par lorsque n augmente indéfiniment. C’est le phénomène de Gibbs › Sur la figure 1 on voit que dépasse la valeur l prise par d’environ 18 % lorsque x est positif et voisin de 0. Si n augmente, ce dépassement ne disparaît pas, mais l’abscisse du maximum se rapproche de 0 › Ce phénomène ne se présente pas lorsque est continûment dérivable I - SÉRIES DE FOURIER
  • 70. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 70F. AKEF 5- Cas d’une période quelconque › Nous avons examiné jusqu’ici le cas de fonctions admettant une période T › Pour tout nombre réel t I - SÉRIES DE FOURIER
  • 71. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 71F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 72. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 72F. AKEF 6 - Calcul pratique des coefficients de Fourier › Le calcul des coefficients de Fourier d’une fonction périodique est généralement long et fastidieux. Il est donc conseillé d’utiliser chaque fois que cela est possible les remarques suivantes A- Cas où la fonction est paire I - SÉRIES DE FOURIER
  • 73. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 73F. AKEF › La série de Fourier d’une fonction paire ne comporte pas de terme en sinus (Figure 2) › On dit que l’on a développe f en série de cosinus. (Réciproquement, on remarquera que la somme d’une série de cosinus est une fonction paire.) I - SÉRIES DE FOURIER
  • 74. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 74F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 75. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 75F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 76. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 76F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 77. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 77F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 78. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 78F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 79. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 79F. AKEF I - SÉRIES DE FOURIER
  • 80. Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier I. Séries de Fourier II. Opérations sur les séries de Fourier III. Transformation de Fourier IV. Opération sur les transformées de Fourier Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 81. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 81F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 82. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 82F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 83. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 83F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 84. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 84F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 85. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 85F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 86. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 86F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 87. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 87F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 88. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 88F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES SÉRIES DE FOURIER
  • 89. Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier I. Séries de Fourier II. Opérations sur les séries de Fourier III. Transformation de Fourier IV. Opération sur les transformées de Fourier Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 90. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 90F. AKEF III - TRANSFORMATION DE FOURIER
  • 91. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 91F. AKEF 1- Equations de convolution › Où f est une fonction périodique inconnue. D’après ce qui précède, les coefficients de Fourier de sont nécessairement définis par › Pour résoudre les équations de convolution dans le cas des fonctions non nécessairement périodiques, on est amené à associer à toute fonction non plus une série trigonométrique, mais une intégrale. Nous allons indiquer comment s’introduit cette intégrale, à l’aide d’un passage à la limite. III - TRANSFORMATION DE FOURIER
  • 92. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 92F. AKEF III - TRANSFORMATION DE FOURIER
  • 93. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 93F. AKEF III - TRANSFORMATION DE FOURIER
  • 94. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 94F. AKEF III - TRANSFORMATION DE FOURIER
  • 95. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 95F. AKEF III - TRANSFORMATION DE FOURIER
  • 96. Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier I. Séries de Fourier II. Opérations sur les séries de Fourier III. Transformation de Fourier IV. Opération sur les transformées de Fourier Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 97. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 97F. AKEF 1 - Premières opérations › Voici quelques résultats élémentaires permettant de simplifier la recherche des transformées de Fourier Dérivation › Soit f une fonction continûment dérivable sur R, intégrable sur R ainsi que sa dérivée. Alors IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE FOURIER
  • 98. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 98F. AKEF IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE FOURIER
  • 99. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 99F. AKEF IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE FOURIER
  • 100. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 100F. AKEF IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE FOURIER 2 - Produit de convolution
  • 101. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 101F. AKEF IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE FOURIER
  • 102. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 102F. AKEF 3 – Produit : IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE FOURIER
  • 103. CHAPITRE 3 : SÉRIES DE FOURIER ET TRANSFORMÉE DE FOURIER 103F. AKEF IV - OPÉRATION SUR LES TRANSFORMÉES DE FOURIER
  • 104. Chapitre 4 : Distributions I. Définitions II. Opérations sur les distributions Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 105. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 105F. AKEF Définition d’une distribution › On appelle distribution toute fonctionnelle T : D ℝ ›  T,  linéaire, continue sur D où D : l’ensemble des fonctions indéfinie duale à support borné › Notation  , car le résultat est un scalaire Premières propriétés d’une distribution › Linéarité ›  T, 1, 2 =  T, 1 +  T, 2  ›  T,  =  T,  › De sorte que T,  est une forme bilinéaire I - DÉFINITIONS
  • 106. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 106F. AKEF Continuité › Si (n) , dans D ›  T, n  T,  › i.e. : > 0 no n > no |  T1, n T1,  | < 3) Les distributions forment un espace vectoriel appelé D › T1 +T2, n =  T1,  +  T2,  › T,  =  T,  › D est l’espace DUAL topologique de D I - DÉFINITIONS
  • 107. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 107F. AKEF I - DÉFINITIONS
  • 108. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 108F. AKEF I - DÉFINITIONS
  • 109. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 109F. AKEF I - DÉFINITIONS
  • 110. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 110F. AKEF I - DÉFINITIONS
  • 111. Chapitre 4 : Distributions I. Définitions II. Opérations sur les distributions Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 112. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 112F. AKEF › Addition et multiplication par un scalaire : II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
  • 113. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 113F. AKEF Remarque › La notion de translatée d’un distribution permet de définir les distributions périodiques de période a par T(x  a) = T(x) › T(x  a), (x)  = T(x), (x + )  car périodique T(x), (x)  donc › i.e : T(x), (x + )  = T(x), (x)  Transposition d’une distribution II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
  • 114. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 114F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
  • 115. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 115F. AKEF II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
  • 116. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 116F. AKEF Dérivation des distributions › La parité essentielle des distributions et qu’elles sont infiniment de duale que toutes les durées successives sont encore des distributions. Ceci rend l’utilisateur des distributions extrêmement commode › On sait que pour les fonctions, il en est autrement. En Mathématique, il y a des fonctions continues mais non doubles › Ceci prouve que les fonctions sont moins adaptées à représenter une réalité physique II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
  • 117. CHAPITRE 4 : DISTRIBUTIONS 117F. AKEF Primitive d’une distribution › S est primitive de T si S’ = T Exemple › H est primitive de › On peut montrer que toute distribution admet une primitive, le produit de convolution des distributions est un moyen simple pour obtenir les primitives de distributions L’idée est la suivante › Soient S, T deux distributions, leurs produit de convolution est la distribution ›  S * T,  =  S(x)  (y), (x + y)  où  est le produit tensoriel (ou direct) › =  S(x),  T(y), (x + y)  =  T(y),  S(x), (x + y)  › Par dérivation de S * T, on obtient › (S * T) = S* T = S * T  d’où (H * T) = H* T = * T = T › Une distribution donc T a pour primitive H * T II - OPÉRATIONS SUR LES DISTRIBUTIONS
  • 118. Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes I. Généralités et propriétés II. Intégration sur un chemin et conséquences III. Résidus et application Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 119. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 119F. AKEF › Dans tout le chapitre, la topologie considéré sur ℂ est la topologie définie par la norme suivante : | z | = si z = x + iy › Ainsi en identifiant d’une manière canonique ℂ et ℝ2, on voit que ℂ n’est autre que ℝ2muni de la norme euclidienne Définition › Soit U un ouvert de ℂ et f : U ℂ. Soit zoU, on dit que f est dérivable en zo si › l est noté f (zo). Si f est dérivable en tout point de U, on dit que f est holomorphe sur U Remarque › i) f dérivable en zo défini au voisinage de 0 tel que f(zo + h)  f(zo) ℓh = (h) avec | (h) | =  (|h|) (h  0). › ii) f dérivable en zo f continue en zo I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 120. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 120F. AKEF Proposition : › Soient f et g dérivables en z alors : i) f + g dérivable en z et on a (f + g) (z) = f (z) + g(z) ii) f, (ℂ) est dérivable en z et on a (f)(z) =  f (z) iii) f.g dérivable en z et on a (f.g)(z) = f (z) g(z) + f(z) g(z) Cette proposition se démontre de la même manière comme dans le cas d’un variable réelle. I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 121. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 121F. AKEF I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 122. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 122F. AKEF Proposition › f : U V g : V ℂ › avec f dérivable en z et g dérivable en f(z) alors gof dérivable au point z et › (gof)(z) = g(f(z)) f (z) Preuve › Même preuve que dans ce cas d’une variable réelle Proposition (Conditions de Cauchy) › f : U ℂ › z = x + iy  f(z) = P(x, y) + i Q(x, y) alors f dérivable en z si et seulement si P et Q sont différentiables en (x, y) et : I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 123. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 123F. AKEF I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 124. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 124F. AKEF I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 125. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 125F. AKEF I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 126. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 126F. AKEF Séries de Laurent : I - GÉNÉRALITÉS ET PROPRIÉTÉS
  • 127. Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes I. Généralités et propriétés II. Intégration sur un chemin et conséquences III. Résidus et application Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 128. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 128F. AKEF Définitions : 1) On appelle chemin sur ℂ, la donnée d’un intervalle [a, b] (a < b) et d’une application  : [a, b] ℂ et  continue. On note (, [a, b]) ou pour simplifier l’écriture on le note par  (, [a, b]) Exemples › : [0, 2] ℂ ›  R ei › (,[0, 2]) n’est que le cercle de centre O et de rayon R › : [0, 4] ℂ ›  R ei › (,[0, 4] ) ℂ ›  R ei › (,[0, 4] ) est aussi le cercle de centre O et de rayon R II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 129. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 129F. AKEF 2) Soit (, [a, b]) un chemin, (a) est appelé origine du chemin et (b) extrémité du chemin ›  On dit que le chemin (, [a, b]) est continument différenciable si  l’est ›  On dit que (, [a, b]) est continument différentiable par morceau si  l’est ›  On dit que (, [a, b]) est simple si  est injective ›  On dit que (, [a, b]) est fermé si (a) = (b) › 3) Soit f : U ℂ (U ouvert de ℂ). Soit  (, [a, b]) un chemin continument différentiable. On appelle intégrale de f sur  : la quantité II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 130. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 130F. AKEF II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 131. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 131F. AKEF Définition › Soit  (, [a, b]) un chemin donné, on appelle chemin inverse le chemin (,[a, b] ) avec  : [a, b] ℂ › t(a + b  t) Proposition II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 132. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 132F. AKEF II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 133. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 133F. AKEF Longueur d’un chemin Définition II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 134. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 134F. AKEF II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 135. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 135F. AKEF Définition › Soit U un ouvert de ℂ, on dit que U est étoilé par rapport à zo où zoU si zU le chemin [zo , z]  U Remarque › Convexe  étoilé par rapport à zo (la réciproque est fausse) Proposition › On suppose U étoilé par rapport à zo et f continue. On pose pour zU › Alors F est une primitive de f sur U qui s’annule en z0 II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 136. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 136F. AKEF II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 137. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 137F. AKEF II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 138. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 138F. AKEF Proposition › Soit f : U ℂ holomorphe, soit  un chemin fermé, simple et orienté positivement tel que Int()  U, soit zoInt() alors f(zo) = › Formule de Cauchy II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 139. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 139F. AKEF II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 140. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 140F. AKEF Définition › On dit que f est analytique en 0, si r > 0 tel que Remarque › f analytique en 0 f holomorphe sur D(0, r) Proposition › Soit f une fonction holomorphe sur D(0, R). Alors f est développable en série entière sur D(0, R) (ou analytique en 0), plus exactement on a : › où  est le cercle de centre 0 et de rayon r (0 < r < R), simple orienté positivement II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 141. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 141F. AKEF Définition › Soit f : Uℂ on pose pour zoU g(z) = f(z + zo) › On dit que f est analytique en zo si g est analytique en 0 › f analytique en zo g analytique en 0 Remarque › f analytique en zo f holomorphe sur D(zo, R) Preuve › g(z) = f(z + zo) f holomorphe sur D(zo, R)  g holomorphe sur D(0, R) II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 142. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 142F. AKEF Indice d’un chemin Définition : Soit zoℂ, soit  un chemin fermé, on appelle indice de  par rapport à zo(zo) la quantité Proposition › I(, zo)Z › Preuve II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 143. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 143F. AKEF Remarque › Si zoExt (Ext : extérieur de ) alors I(, zo) = 0 Exemples ›  = C(0, r) simple  :  [0, 2} ℂ t r eit › : [0, 8] ℂ › T  r eit › On vérifie que I(, 0) = 4 II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 144. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 144F. AKEF Proposition › Soit f : Uℂ holomorphe › Soit  chemin fermé avec  U et Int U (Int : interieur de ) › Soit z0(U ) alors II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 145. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 145F. AKEF II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 146. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 146F. AKEF Développement en série de Laurent Rappel › On dit que f est développable en série de Laurent sur la couronne C(0, R1, R2) si : On voit alors qu’une telle fonction est holomorphe donc analytique en tout point de la couronne Proposition › Soit f analytique sur C(0,R1, R2) alors f est développable en série de Laurent sur C(0,R1, R2) plus exactement on a › de centre O et de rayon r (R1< r < R2) , simple orienté positivement II - INTÉGRATION SUR UN CHEMIN ET CONSÉQUENCES
  • 147. Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes I. Généralités et propriétés II. Intégration sur un chemin et conséquences III. Résidus et application Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 148. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 148F. AKEF Préliminaire Définition › Soit f : Uℂ, soit zoU, on dit que zo est un point singulier isolé de f si r > 0 tel que f est analytique sur D(zo, r)  {zo} › Exemple › f(z) = 1/1-z , z = 1 point singulier › Remarque › Si zo est un point singulier isolé de f, alors r > 0 tel que f analytique sur D(zo, r){zo} ›  f développable en séries de Laurent sur D(zo, r){zo} c’est à dire › g holomorphe sur D(zo, r) III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 149. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 149F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 150. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 150F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 151. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 151F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 152. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 152F. AKEF Méthodes de calcul du Résidus dans certains cas III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 153. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 153F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 154. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 154F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 155. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 155F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 156. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 156F. AKEF Application des Résidus Introduction › Une des utilités fondamentale des Résidus est le calcul de certains intégrales sans passer par l’intermédiaire des primitives › Méthode de calcul de : III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 157. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 157F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 158. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 158F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 159. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 159F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 160. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 160F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION Méthode de calcul de › Proposition › Soit f analytique sur ℂ{z1, z2, …, zn} où zi ( i{1,…,n} ) sont des points singulier en nombres fini situés dans le demi-plan supérieure, on suppose que
  • 161. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 161F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION Pour la démonstration on a besoin du Lemme suivant Lemme (Jordan) › Soit f analytique sur ℂ et  un arc de cercle de centre O et de rayon R. On pose : ›  est supposé dans le demi plan supérieur au sens large › Démonstration de la proposition › Soit  le chemin fermé simple suivant
  • 162. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 162F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 163. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 163F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION Proposition › Soit f vérifiant les hypothèses de la proposition précédente, et on suppose de plus que 0 est un pôle simple de f alors
  • 164. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 164F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION
  • 165. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 165F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION Logarithme Complexe Problème › Déterminer Z tel que eZ = z › Z = x + iy , z =  ei › eZ = z  exeiy = =  ei › Z = ln  + i ( + 2k) › Z = ln | z | + i ( + 2k) › Remarque ›  0 < , z = xℝ+ , k = 0 › Z = ln x
  • 166. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 166F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION Définition › Soit U un ouvert convexe de ℂ*, une fonction sur U est dite une détermination de logarithme sur U si : i) f continue ii) ef(z) = z zU › Proposition › Si f et g sont deux déterminations de logarithme sur un ouvert convexe U de ℂ* alors kZ tel que f(z)  g(z) = 2ikzU Preuve
  • 167. CHAPITRE 5 : FONCTIONS HOLOMORPHES 167F. AKEF III - RÉSIDUS ET APPLICATION Proposition › Soit f une détermination de logarithme sur un ouvert connexe U de ℂ*, alors f est analytique sur U Preuve › Soit zoU › f(z) = zU d’où le résultat
  • 168. Chapitre 6 : Transformée de Laplace I. Transformation de Laplace II. Propriété de la transformation de Laplace III. Transformation de Laplace inverse IV. Application aux équations différentielles Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 169. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 169F. AKEF 1 - Définition › Soit f une fonction de la variable réelle x définie sur ℝ et supposée nulle pour x < 0 › On appelle transformée de Laplace de f la fonction F définie par › Où p est une variable réelle ou éventuellement complexe › On écrira F(p) = ℒ(f(x)) › F(p) est appelée image de f, ce que l’on note parfois F(p)  f(x) › f F transformation de Laplace › La transformée de Laplace d’une fonction n’existe que si l’intégrale est convergente. I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 170. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 170F. AKEF 1 - Définition › Pour cela on est amené à imposer à f deux conditions › Etre continue par morceaux sur tout fermé [0, xo]. › Etre d’ordre exponentiel à l’infini c’est à dire il existe M > 0 et  tels que : › On démontre que si ces deux hypothèses sont vérifiées la transformée de Laplace est définie pour p >, ou si p est complexe, pour Re(p) > Remarque › Ce sont des conditions suffisantes d’existence le domaine de convergence, ], +{ ou le demi plan complexe défini par Re(p) > I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 171. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 171F. AKEF I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 172. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 172F. AKEF I - TRANSFORMATION DE LAPLACE Cette limite n’est pas une fonction. Elle définit la distribution de Dirac notée (x) On a
  • 173. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 173F. AKEF I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 174. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 174F. AKEF I - TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 175. Chapitre 6 : Transformée de Laplace I. Transformation de Laplace II. Propriété de la transformation de Laplace III. Transformation de Laplace inverse IV. Application aux équations différentielles Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 176. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 176F. AKEF II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 177. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 177F. AKEF II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 178. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 178F. AKEF II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 179. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 179F. AKEF II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 180. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 180F. AKEF Application : Transformée d’une fonction périodique › Soit f une fonction périodique pour n > 0, de période T › D’où en appliquant la linéarité et le théorème du retard › ℒ (f(x)) = ℒ [ fn(x) ] II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 181. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 181F. AKEF 4 - Transformée de la dérivée Théorème fondamental › Si f  est continue par morceau sur tout germé [0, xo] et si › ℒ [f(x) ] = F(p) alors II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 182. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 182F. AKEF Généralisation › Si f  vérifie les hypothèses du théorème › ℒ [f (x) ] = p ℒ [f (x) ]  f(O+) › = p [p F(p) f(O+) ] f (O+) II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 183. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 183F. AKEF II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 184. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 184F. AKEF II - PROPRIÉTÉ DE LA TRANSFORMATION DE LAPLACE
  • 185. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 185F. AKEF 1 - Définition › Soit F(p) la transformée de Laplace d’une fonction f(x) › On appelle transformée de Laplace inverse ou original de F(p) la fonction f(x) › On note f(x) = ℒ1[F(p)] ou f(x)  F(p) Exemples III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
  • 186. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 186F. AKEF Propriétés de la transformation de Laplace inverse Linéarité › ℒ1 [f + g ] = ℒ1 [f] + ℒ1 [g] › ainsi, III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
  • 187. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 187F. AKEF III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
  • 188. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 188F. AKEF III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
  • 189. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 189F. AKEF III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
  • 190. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 190F. AKEF III - TRANSFORMATION DE LAPLACE INVERSE
  • 191. Chapitre 6 : Transformée de Laplace I. Transformation de Laplace II. Propriété de la transformation de Laplace III. Transformation de Laplace inverse IV. Application aux équations différentielles Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 192. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 192F. AKEF 1 - Equations différentielles linéaires Soit l’équation différentielle linéaire à coefficient constants › an y(n)(x) + an1y(n1)(x) + … + ao y(x) = f(x) › siℒ[y(x)] = (p) › ℒ[y(x)] = p (p)  y(0) › ℒ[y(x)] = p2(p)  p y(0)  y(0) › ℒ[y(n)(x)] = pn(p)  pn1 y(0)  y(n1) (0) En appliquant donc la transformation de Laplace à l’équation différentielle › (anpn+ an1pn1 + … + ao(p) + (p) = f(p) › (p) : polynôme de do (n  1) en p contenant y(0), y(0), …, y(n1) (0) On en déduit : (p) = › Par conséquent : y(x) = ℒ1 [(p) ] IV - APPLICATION AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
  • 193. CHAPITRE 6 : TRANSFORMÉE DE LAPLACE 193F. AKEF IV - APPLICATION AUX ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
  • 194. Chapitre 1 : Espaces de Hilbert I. Produit scalaire II. Théorème de la projection orthogonale Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 195. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 195F. AKEF Introduction › Une espace de Hilbert est un espace de Banach dont la norme est obtenue à partir d’un produit scalaire. Ce produit scalaire donne la possibilité de généraliser certaines notions fondamentales en géométrie élémentaire (angles, perpendiculaires, orthogonalité, bases ortho normales …) I - PRODUIT SCALAIRE
  • 196. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 196F. AKEF Définition : Soit H un espace vectoriel réel Un produit scalaire sur H est une application qui à chaque couple X , Y d’élément de H fait correspondre un nombre réel noté X , Y , cette application ayant les propriétés suivantes : › Symétrie : X, Y = Y, X(1) › Linéarité : X1 + X2, Y = X1, Y + X2, Y › = X, Y pour tout nombre réel (2) › Positivité : X, Y 0 pour tout élément X de H › X, Y = 0 X = 0(3) On appelle souvent un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire un espace euclidien ou espace préhilbertien I - PRODUIT SCALAIRE
  • 197. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 197F. AKEF I - PRODUIT SCALAIRE
  • 198. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 198F. AKEF Propriétés élémentaires Inégalité de Schwarz Démonstration › On développe le produit scalaire de X + Y par lui-même en utilisant les propriétés de symétrie et de linéarité : › D’après la première propriété de positivé, ce trinôme en  est toujours positif ou nul donc son discriminant est toujours négatif ou nul, ce qui donne bien l’inégalité cherchée › D’après la seconde propriété de positivité, l’égalité s’obtient si et seulement si X = 0 Y, c’est- à-dire si X et Y sont proportionnels I - PRODUIT SCALAIRE
  • 199. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 199F. AKEF Conséquence Définition d’un espace de Hilbert › L’application qui à un élément X de H fait correspondre le nombre positif ou nul , noté || X ||, définit une norme sur l’espace vectoriel H › Si H muni de cette norme est complet, on dit que H a une structure d’espace de Hilbert I - PRODUIT SCALAIRE
  • 200. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 200F. AKEF Exemples d’espaces de Hilbert › En reprenant les exemples d’espaces munis de produit scalaire donnés ci-dessus : › Rk est un espace de Hilbert › L’espace des fonction n’est pas un espace de Hilbert (Il n’est pas complet pour la norme correspondante) I - PRODUIT SCALAIRE
  • 201. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 201F. AKEF Démonstration › Suffit d’exprimer les normes au moyen des produits scalaires › < X,Y > = 0, on obtient immédiatement la relation de Pythagore. En ajoutant ou tranchant membre à membre, on obtient les deux identités cherchées Orthogonalité › Comme dans le cas de la géométrie ordinaire, on dit qu’un élément X est orthogonal à l’élément Y de H si = 0. On note cette relation X › On appelle orthogonal de l’élément X de H l’ensemble noté X des éléments de H orthogonaux à X I - PRODUIT SCALAIRE
  • 202. Chapitre 1 : Espaces de Hilbert I. Produit scalaire II. Théorème de la projection orthogonale Chapitre 1 : Espace Métriques  Espaces Normés Chapitre 2 : Equations différentielles Chapitre 3 : Séries de Fourier et transformée de Fourier Chapitre 4 : Distributions Chapitre 5 : Fonctions Holomorphes Chapitre 6 : Transformée de Laplace Chapitre 7 : Espaces de Hilbert ANALYSE
  • 203. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 203F. AKEF Nous allons maintenant démontrer un résultat fondamental dans la théorie des espaces de Hilbert. Il donne la généralisation de propriétés bien connues de la géométrie élémentaire dans l’espace Théorème › Soit M un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H et soit X un élément quelconque de H › Il existe un élément Y de M et un seul ayant les propriétés suivantes : ( Y réalise la plus courte distance de X au sous-espace M ) › X – Y est orthogonal à tous les éléments Z de M, c’est-à-dire X – Y M ( Y est le pied de la perpendiculaire abaissée de X sur M ) II - THÉORÈME DE LA PROJECTION ORTHOGONALE
  • 204. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 204F. AKEF Définition › L’élément Y ainsi associé à X est appelé la projection orthogonale de X sur M II - THÉORÈME DE LA PROJECTION ORTHOGONALE
  • 205. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 205F. AKEF 2 - X – Y est orthogonal à tous les éléments de M › Soit Z un élément quelconque de M et soit  une constante réelle non nulle › Evaluons la distance d de X à l’élément Y + Z de M : › d2 = || X  Y Z ||2 =  X  Y Z, X  Y Z  › = || X  Y ||2 2 Z, X  Y  + 2 || Z ||2 › Cette distance d est supérieure ou égale à : donc ›  2 Z, X  Y  + 2 || Z ||2 = d2 || X  Y ||2 0, › D’où 2 Z, X  Y 2 || Z ||2. › Quel que soit 0, on a || Z ||2 › En considérant une suite de valeurs de  qui converge vers zéro par valeurs supérieures, on en déduit › Quel que soit 0, on a || Z ||2 › En considérant une suite de valeurs de  qui converge vers zéro par valeurs inférieures, on en déduit › On a donc bien quel que soit Z M II - THÉORÈME DE LA PROJECTION ORTHOGONALE
  • 206. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 206F. AKEF II - THÉORÈME DE LA PROJECTION ORTHOGONALE
  • 207. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 207F. AKEF Application projections orthogonales Définitions › Soit M un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Hilbert H. A un élément X de H, on peut associer de façon unique d’après le théorème précédent sa projection orthogonale P(X) sur M. On définit ainsi une application : › P : H  M ou P : H H › X  P(X) X  P(X) › Appelée projection orthogonale sur M › D’autre part, toujours d’après le théorème précédent, Q(X) = X  P(X) appartient à M et est tel que Q(X) = P(X) est orthogonal à M. L’application : › Q : H  M ou Q : H  H › X  Q(X) = X  P(X) X  Q(X) › est la projection orthogonale sur le sous-espace vectoriel fermé M › D’après ces définitions, on a P(X) + Q(X) = X › Compte tenu du fait que M M = {0}, cette relation donne immédiatement la proposition suivante II - THÉORÈME DE LA PROJECTION ORTHOGONALE
  • 208. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 208F. AKEF Proposition › Si M est un sous-espace vectoriel fermé de l’espace de Hilbert H › Tout vecteur X de H se décompose d’une manière unique en un vecteur P(X) appartenant à M et un vecteur Q(X) appartenant à M › H est somme directe de M et M : H = M + M Propriétés des projections orthogonales › Considérons P et Q comme des applications de H dans H a) P et Q ont pour image M et M et pour noyau M et M respectivement › Cela résulte immédiatement des définitions b) P et Q sont linéaires › Soient X1 et X2deux éléments de H, 1 et 2 deux nombres réels V = P (1X1+ 2X2) 1P(X1) 2 P(X2) appartient à M › W = Q (1X1+ 2X2) 1Q(X1) 2 Q(X2) appartient à M II - THÉORÈME DE LA PROJECTION ORTHOGONALE
  • 209. CHAPITRE 1 : ESPACES DE HILBERT 209F. AKEF Propriétés des projections orthogonales : › En ajoutant ces deux vecteurs, la relation (1) montre que › V + W = 1 X1 + 2 X21 X12 X2 = 0 › V = doit donc appartenir à la fois à M et à M et ne peut donc être que le vecteur nul On en déduit bien que : › P(1X1+ 2 X2 ) = 1P(X1) + 2 P(X2) › Q(1X1+ 2 X2) = 1Q(X1) + 2 Q(X2) c) P et Q sont continues › En appliquant la relation de Pythagore aux vecteurs orthogonaux P(X) et Q(X) › || P(X) ||2+ || Q(X) ||2= || X ||2 , › On voit que || P(X) || || X ||et || Q(X) || || X || , › P et Q sont bornées donc continues › En prenant X dans M ou M (si ces espaces sont différents de {O} et H) , on a II - THÉORÈME DE LA PROJECTION ORTHOGONALE
  • 210. FI-GLSID Fatiha AKEF UNIVERSITE HASSAN II DE CASABLANCA ENSET - Mohemmadia Analyse