Le document propose une série d'exercices mathématiques destinés aux élèves de 4ème, abordant des thèmes tels que les intégrales, les hyperboles, et les fonctions continues. Chaque exercice est noté et implique des démonstrations, des calculs et des constructions géométriques. La correction des exercices est également fournie dans le document.

1. Exercice N° 1: (2points)
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1) Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et a et b deux
réel de I on à:
) ( ) 0 ) ( ) 0 ) ( ) 0
b b b
a a a
a f t dt b f t dt c f t dt≥ ≥ ≥∫ ∫ ∫
2) La limite de ln(1 )t
t
−
en zéro est égale à :
a) 1 b) -1 c) 2
3) La parabole d'équation x2
= 4 y à pour foyer le point de coordonnées :
a) F (0,-1) b) F(0,1) c) F(1,0)
4) L'intégrale
1
ln
x
t dt∫ pour tout ] [0,x ∈ + ∞ est égal à :
a) x lnx – x + 1 b) x ln x c) x ln x - x
Exercice N° 2: ( 3points)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on désigne par (H) l'ensemble des
points M(x, y) tels que: 2 2
12 4 48.x y− =
1) a- Montrer que (H) est une hyperbole de foyer F(4,0).
b- Déterminer les asymptotes de (H) puis tracer (H).
2) Soit M(x0,y0) un point de (H) non situé sur l'axe focal .La tangente (T) à
(H) en M coupe la droite D d'équation x = 1 en un point Q.
a- Calculer le produit scalaireFM FQ
uuuur uuur
.
b- En déduire une construction géométrique de la tangente à (H)
en un point M de (H).
Prof: Otay
Classe: 4eme
Maths
Durée :4 heures
Devoir de synthèse N° 2
MathématiquesLycée El aghaliba
Mars 2009

2. Exercice N° 3: (5points)
Soit OAB un triangle rectangle isocèle en O tels que ( ) [ ], 2
2
OA OB
π
π≡
uuur uuur
et OA = OB = 2 cm
On pose I = O * A , J = O * B et K = A* B.
On désigne par S la similitude directe tel que S(A) = K et S(K) = J.
A / 1) Déterminer le rapport et l'angle de S .
2) Montrer que O est le centre de S.
B / On considère le repère orthonormé ( , , )R O OI OJ=
uur uuur
.
1) Déterminer l'application complexe associée a S.
2) Soit P l'ensemble des points M(x,y) vérifiant: x2
+ y2
+ 2xy – 4x + 4y = 0 selon R.
a- Soit M'(x',y') tel que M' = S (M) . Montrer que
( ' ')
( ' ')
x x y
y y x
= +

= −
.
b- Donner une équation de P' l'image de P par S.
c- Montrer que P' est une parabole dont on précisera le foyer F' et la directrice D'.
d- En déduire que P est une parabole dont on pressera le foyer et la directrice.
( 5points):Exercice N°4
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ln(x2
– 2x +2).
.On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1) a- Dresser le tableau de variation de la fonction f
b- Montrer que la droite D d'équation x = 1 est un axe de symétrie pour (C).
c- Préciser la branche infinie de (C) au voisinage de + oo.
d- Tracer la courbe (C).
2) Soit F la fonction définie sur 0,
2
π 
  
Par
1 tan
2
1
( )
2 2
x
dt
F x
t t
+
=
− +∫
et que F'(x) = 1.0,
2
π 
  
a- Montrer que F est dérivable sur
b- En déduire que F(x) = x et que
2
2
1
2 2 4
dt
t t
π
=
− +∫
3) a-Montrer que
2 2 2
2
1 1
( ) 2ln 2 2
2 2
x x
f x dx dx
x x
−
= −
− +∫ ∫
2
2 2 2
1 1
, 1
2 2 2 2 2 2
x x x
x IR
x x x x x x
− −
∈ = + −
− + − + − +
b- Vérifier que pour tout
c-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites

3. d'équations x=1 et x= 2
( 5points):Exercice N°5
( )
1
2
0 1
n
n
x
I dx
x
=
+
∫On définie pour tout entier naturel non nul n l'intégrale
1) Montrer que la suite (In) est décroissante .Déduire qu'elle est convergente
lim n
n
I
→∞
.
1 1
;
4( 1) 1
nn IN I
n n
∗
∀ ∈ ≤ ≤
+ +
En déduire2) Montrer que
3) a) Montrer que
1 1
3
0
1 2
;
4( 1) 1 ( 1)
n
n
x
n IN I dx
n n x
+
∗
∀ ∈ = +
+ + +∫
1 1 1 2
( 1)
4 4( 2) 4 2
nn IN n I
n n
∗
∀ ∈ + ≤ + ≤ +
+ +
Déduire queb)
lim ( 1) n
n
n I
→∞
+ En déduire lim n
n
nI
→∞
c) Calculer
4) Pour tout entier naturel non nul on pose
1
3
1 0
( 1)
( 1)
n
k
n K
K
x
S I et I dx
x=
−
= − =
+
∑ ∫ :
a- Montrer que
1
8
I = −
b- Vérifier que [ ]
1
1
( 1)
0,1 : ( 1)
1 1
n nn
K K
K
x x
n IN et x x
x x
+
∗
=
− −
∀ ∈ ∀ ∈ − = +
+ +
∑
c- En déduire que
1 1
3
0
( 1) .
(1 )
n
n
n
x
S I dx
x
+
− = −
+∫
En déduire que (Sn) est convergente et déterminer sa limite.,d- Montrer que 1n nS I I +− ≤
………………………………. ……………………. ………………………………..

4. Correction du devoir de synthèse N° 2
Exercice N° 1:
1) b 2) b 3) b 4) a
Exercice N° 2:
1) a-
2 2
12 4
1
48 48
x y
− =
2 2
1
4 12
x y
− = donc a = 2 ; b= 2 3 et c= 4
(H) est une hyperbole de foyer F(4,0) et de directrice D: x = 1
b- D1 : y = 3 x et D2 : y = - 3 x
2) a- Q (1,yQ)
Q 0
0 0
: 1
4 12
M
xx yy
T∈ − = on conclu que 0
0 0
3 12
Q
x
y
y y
= −
0
0
4x
FM
y
− 
 
 
uuuur
et 0
0 0
1 4
3 12FQ x
y y
− 
 
 − 
 
uuur
Donc 0
0 0
0 0
3 12
( 4)( 3) ( ) .... 0
x
FM FQ x y
y y
= − − + = =
uuuuruuuur
b- 0FM FQ =
uuuuruuur
donne FM FQ⊥
uuuur uuur
on trace la perpendiculaire à (FM) passant par M.
Exercice N° 3:
A- 1) 2
2
k = et [ ]2
4
π
θ π≡
B) 1) S(M) = M'
Z' = a Z + b or S(O) = O donc b= 0 d' ou Z' = a Z = 4
2
2
i
e Z
π
1
' ( )
2 2
i
Z Z= +
2) a-Z = x + iy et Z' = x' + iy'
1
' ' ( )( ) ..........
2 2
i
x iy x iy+ = + + =
b- on obtient x= x' +y' et y= y' – x'
c- P' : y'2
= 2x' donc P' est une parabole de foyer (
1
'( ,0)
2
F et de directrice D': x'=
1
2
−
d- P' = S(P) donc P = S -1
(P) , S -1
est une similitude directe de centre O , de rapport
2 et d'angle
4
π
−
Soit M un point du plan et K son projeté orthogonal sur D' on note N = S-1
(M) ,
H = S-1
(K) et F = S-1
(F')

5. M ∈P' signifie que
'
1
MF
MK
=
Signifie que
2
1
2
NF
NH
=
Signifie que 1
NF
NH
=
Comme (MK) ⊥ D' en K alors (NH) ⊥ S-1
(D') en H
On pose D = S-1
(D')
1
NF
NH
= donc P est une parabole de foyer F et de directrice D avec F = S-1
(F')
xF= x'F' + yF' =
1
2
et yF = 0 -
1
2
= -
1
2
d’où F(
1
2
,-
1
2
) et D : x – y = -1
Exercice N° 4:
1) f est définie ssi 2
2 2 0x x− + f
or 2
2 2 0x x− + =
4 0∆ =− p sig 2
2 2 0x x− + f
Df =IR
2
2( 1)
'( )
2 2
x
f x
x x
−
=
− +
b-
c-
( )
lim 0
x
f x
x→+∞
= donc cf admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses
2) b- F'(x) =1 sig que F(x) = x + c or F(0) = 0 donc F(x) = x
2
2
1
( )
2 2 4 4
dt
F
t t
π π
= =
− +∫
2) a-
2
1
( )f x dx∫
u(x) = ln( x2
– 2x +2) u'(x) = 2
2 2
2 2
x
x x
−
− +
v'(x) = 1 v(x) = x
2
1
( )f x dx∫ = …………….=…..
b-Réduire au même dénominateur
c-
2
2
1
ln( 2 2A x x dx= − +∫

6. =
2
2
1
ln( 2 2)x x dx− +∫
= 2ln2 - 2
2 2
2
1
2 2
x x
dx
x x
−
− +∫
= 2ln2 - 2
2
2 2
1
1 1
1
2 2 2 2
x
dx
x x x x
−
+ −
− + − +∫
= ………………
= (ln2 +
4
π
) ua
Exercice N° 5:
1)In+1 – In =……..≤0 or In est minoré par 0 d’où le résultat
2) 0 1 1 1 2x sig x≤ ≤ ≤ + ≤ sig 1 ≤(x+1)2
≤ 4 sig ………………
3) a-
1
2
0
(1 )
n
n
x
I dx
x
=
+∫ une intégration par partie avec
u(x) = 2
1
(1 )x+
u'(x) = 3
2
(1 )x
−
+
v'(x) = xn
v(x) =
1
1
n
x
n
+
+
nous donne le résultat
b- de même que la question n°2
c- 1
lim ( 1) ..........
4
n
n
n I
→+∞
+ = =
1
lim
4
n n
n
nI I
→+∞
+ = or lim 0n
n
I
→+∞
= donc
1
lim
4
n
n
nI
→+∞
=
4)a-
1
3
0
( 1)
x
I dx
X
−
=
+∫ une intégration par partie avec
u(x) = x u'(x) = 1
v'(x) = 3
1
( 1)x
−
+
v(x) = 2
1
2( 1)x +
nous donne I =
1
8
−
b-
1
1 ( )
( 1) ( )
1 ( )
nn
k k
k
x
x x
x=
− −
− = −
− −
∑ ,somme des termes consécutif d'une suite géométrique de
raison (-x) et de premier terme (-x).
1
1
( 1)
( 1)
1 1
n nn
k k
k
x x
x
x x
+
=
− −
− = +
+ +
∑
c- Sn- I =……..=
1
3
1
(1 )
0
( 1)
nn x
x
dx
+
+
− ∫

7. d- nS I− =
1
3
1
(1 )
0
n
x
x
dx
+
+∫ or (1+x)2
≤ (1+x)3
donc 3
1
(1 )x+
≤ 2
1
(1 )x+
sig
1
3
(1 )
n
x
x
+
+
≤
1
2
(1 )
n
x
x
+
+
sig
1 1
3
0
(1 )
n
x
dx
x
+
≤
+∫
1 1
2
0
(1 )
n
x
dx
x
+
+∫
d’où le résultat
1
lim
8
n
n
S I
→+∞
−
= =