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Exercice N° 1: (2points)
Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte.
Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1) Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et a et b deux
réel de I on à:
) ( ) 0 ) ( ) 0 ) ( ) 0
b b b
a a a
a f t dt b f t dt c f t dt≥ ≥ ≥∫ ∫ ∫
2) La limite de ln(1 )t
t
−
en zéro est égale à :
a) 1 b) -1 c) 2
3) La parabole d'équation x2
= 4 y à pour foyer le point de coordonnées :
a) F (0,-1) b) F(0,1) c) F(1,0)
4) L'intégrale
1
ln
x
t dt∫ pour tout ] [0,x ∈ + ∞ est égal à :
a) x lnx – x + 1 b) x ln x c) x ln x - x
Exercice N° 2: ( 3points)
Dans le plan muni d'un repère orthonormé on désigne par (H) l'ensemble des
points M(x, y) tels que: 2 2
12 4 48.x y− =
1) a- Montrer que (H) est une hyperbole de foyer F(4,0).
b- Déterminer les asymptotes de (H) puis tracer (H).
2) Soit M(x0,y0) un point de (H) non situé sur l'axe focal .La tangente (T) à
(H) en M coupe la droite D d'équation x = 1 en un point Q.
a- Calculer le produit scalaireFM FQ
uuuur uuur
.
b- En déduire une construction géométrique de la tangente à (H)
en un point M de (H).
Prof: Otay
Classe: 4eme
Maths
Durée :4 heures
Devoir de synthèse N° 2
MathématiquesLycée El aghaliba
Mars 2009
Exercice N° 3: (5points)
Soit OAB un triangle rectangle isocèle en O tels que ( ) [ ], 2
2
OA OB
π
π≡
uuur uuur
et OA = OB = 2 cm
On pose I = O * A , J = O * B et K = A* B.
On désigne par S la similitude directe tel que S(A) = K et S(K) = J.
A / 1) Déterminer le rapport et l'angle de S .
2) Montrer que O est le centre de S.
B / On considère le repère orthonormé ( , , )R O OI OJ=
uur uuur
.
1) Déterminer l'application complexe associée a S.
2) Soit P l'ensemble des points M(x,y) vérifiant: x2
+ y2
+ 2xy – 4x + 4y = 0 selon R.
a- Soit M'(x',y') tel que M' = S (M) . Montrer que
( ' ')
( ' ')
x x y
y y x
= +

= −
.
b- Donner une équation de P' l'image de P par S.
c- Montrer que P' est une parabole dont on précisera le foyer F' et la directrice D'.
d- En déduire que P est une parabole dont on pressera le foyer et la directrice.
( 5points):Exercice N°4
Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ln(x2
– 2x +2).
.On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
1) a- Dresser le tableau de variation de la fonction f
b- Montrer que la droite D d'équation x = 1 est un axe de symétrie pour (C).
c- Préciser la branche infinie de (C) au voisinage de + oo.
d- Tracer la courbe (C).
2) Soit F la fonction définie sur 0,
2
π 
  
Par
1 tan
2
1
( )
2 2
x
dt
F x
t t
+
=
− +∫
et que F'(x) = 1.0,
2
π 
  
a- Montrer que F est dérivable sur
b- En déduire que F(x) = x et que
2
2
1
2 2 4
dt
t t
π
=
− +∫
3) a-Montrer que
2 2 2
2
1 1
( ) 2ln 2 2
2 2
x x
f x dx dx
x x
−
= −
− +∫ ∫
2
2 2 2
1 1
, 1
2 2 2 2 2 2
x x x
x IR
x x x x x x
− −
∈ = + −
− + − + − +
b- Vérifier que pour tout
c-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites
d'équations x=1 et x= 2
( 5points):Exercice N°5
( )
1
2
0 1
n
n
x
I dx
x
=
+
∫On définie pour tout entier naturel non nul n l'intégrale
1) Montrer que la suite (In) est décroissante .Déduire qu'elle est convergente
lim n
n
I
→∞
.
1 1
;
4( 1) 1
nn IN I
n n
∗
∀ ∈ ≤ ≤
+ +
En déduire2) Montrer que
3) a) Montrer que
1 1
3
0
1 2
;
4( 1) 1 ( 1)
n
n
x
n IN I dx
n n x
+
∗
∀ ∈ = +
+ + +∫
1 1 1 2
( 1)
4 4( 2) 4 2
nn IN n I
n n
∗
∀ ∈ + ≤ + ≤ +
+ +
Déduire queb)
lim ( 1) n
n
n I
→∞
+ En déduire lim n
n
nI
→∞
c) Calculer
4) Pour tout entier naturel non nul on pose
1
3
1 0
( 1)
( 1)
n
k
n K
K
x
S I et I dx
x=
−
= − =
+
∑ ∫ :
a- Montrer que
1
8
I = −
b- Vérifier que [ ]
1
1
( 1)
0,1 : ( 1)
1 1
n nn
K K
K
x x
n IN et x x
x x
+
∗
=
− −
∀ ∈ ∀ ∈ − = +
+ +
∑
c- En déduire que
1 1
3
0
( 1) .
(1 )
n
n
n
x
S I dx
x
+
− = −
+∫
En déduire que (Sn) est convergente et déterminer sa limite.,d- Montrer que 1n nS I I +− ≤
………………………………. ……………………. ………………………………..
Correction du devoir de synthèse N° 2
Exercice N° 1:
1) b 2) b 3) b 4) a
Exercice N° 2:
1) a-
2 2
12 4
1
48 48
x y
− =
2 2
1
4 12
x y
− = donc a = 2 ; b= 2 3 et c= 4
(H) est une hyperbole de foyer F(4,0) et de directrice D: x = 1
b- D1 : y = 3 x et D2 : y = - 3 x
2) a- Q (1,yQ)
Q 0
0 0
: 1
4 12
M
xx yy
T∈ − = on conclu que 0
0 0
3 12
Q
x
y
y y
= −
0
0
4x
FM
y
− 
 
 
uuuur
et 0
0 0
1 4
3 12FQ x
y y
− 
 
 − 
 
uuur
Donc 0
0 0
0 0
3 12
( 4)( 3) ( ) .... 0
x
FM FQ x y
y y
= − − + = =
uuuuruuuur
b- 0FM FQ =
uuuuruuur
donne FM FQ⊥
uuuur uuur
on trace la perpendiculaire à (FM) passant par M.
Exercice N° 3:
A- 1) 2
2
k = et [ ]2
4
π
θ π≡
B) 1) S(M) = M'
Z' = a Z + b or S(O) = O donc b= 0 d' ou Z' = a Z = 4
2
2
i
e Z
π
1
' ( )
2 2
i
Z Z= +
2) a-Z = x + iy et Z' = x' + iy'
1
' ' ( )( ) ..........
2 2
i
x iy x iy+ = + + =
b- on obtient x= x' +y' et y= y' – x'
c- P' : y'2
= 2x' donc P' est une parabole de foyer (
1
'( ,0)
2
F et de directrice D': x'=
1
2
−
d- P' = S(P) donc P = S -1
(P) , S -1
est une similitude directe de centre O , de rapport
2 et d'angle
4
π
−
Soit M un point du plan et K son projeté orthogonal sur D' on note N = S-1
(M) ,
H = S-1
(K) et F = S-1
(F')
M ∈P' signifie que
'
1
MF
MK
=
Signifie que
2
1
2
NF
NH
=
Signifie que 1
NF
NH
=
Comme (MK) ⊥ D' en K alors (NH) ⊥ S-1
(D') en H
On pose D = S-1
(D')
1
NF
NH
= donc P est une parabole de foyer F et de directrice D avec F = S-1
(F')
xF= x'F' + yF' =
1
2
et yF = 0 -
1
2
= -
1
2
d’où F(
1
2
,-
1
2
) et D : x – y = -1
Exercice N° 4:
1) f est définie ssi 2
2 2 0x x− + f
or 2
2 2 0x x− + =
4 0∆ =− p sig 2
2 2 0x x− + f
Df =IR
2
2( 1)
'( )
2 2
x
f x
x x
−
=
− +
b-
c-
( )
lim 0
x
f x
x→+∞
= donc cf admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses
2) b- F'(x) =1 sig que F(x) = x + c or F(0) = 0 donc F(x) = x
2
2
1
( )
2 2 4 4
dt
F
t t
π π
= =
− +∫
2) a-
2
1
( )f x dx∫
u(x) = ln( x2
– 2x +2) u'(x) = 2
2 2
2 2
x
x x
−
− +
v'(x) = 1 v(x) = x
2
1
( )f x dx∫ = …………….=…..
b-Réduire au même dénominateur
c-
2
2
1
ln( 2 2A x x dx= − +∫
=
2
2
1
ln( 2 2)x x dx− +∫
= 2ln2 - 2
2 2
2
1
2 2
x x
dx
x x
−
− +∫
= 2ln2 - 2
2
2 2
1
1 1
1
2 2 2 2
x
dx
x x x x
−
+ −
− + − +∫
= ………………
= (ln2 +
4
π
) ua
Exercice N° 5:
1)In+1 – In =……..≤0 or In est minoré par 0 d’où le résultat
2) 0 1 1 1 2x sig x≤ ≤ ≤ + ≤ sig 1 ≤(x+1)2
≤ 4 sig ………………
3) a-
1
2
0
(1 )
n
n
x
I dx
x
=
+∫ une intégration par partie avec
u(x) = 2
1
(1 )x+
u'(x) = 3
2
(1 )x
−
+
v'(x) = xn
v(x) =
1
1
n
x
n
+
+
nous donne le résultat
b- de même que la question n°2
c- 1
lim ( 1) ..........
4
n
n
n I
→+∞
+ = =
1
lim
4
n n
n
nI I
→+∞
+ = or lim 0n
n
I
→+∞
= donc
1
lim
4
n
n
nI
→+∞
=
4)a-
1
3
0
( 1)
x
I dx
X
−
=
+∫ une intégration par partie avec
u(x) = x u'(x) = 1
v'(x) = 3
1
( 1)x
−
+
v(x) = 2
1
2( 1)x +
nous donne I =
1
8
−
b-
1
1 ( )
( 1) ( )
1 ( )
nn
k k
k
x
x x
x=
− −
− = −
− −
∑ ,somme des termes consécutif d'une suite géométrique de
raison (-x) et de premier terme (-x).
1
1
( 1)
( 1)
1 1
n nn
k k
k
x x
x
x x
+
=
− −
− = +
+ +
∑
c- Sn- I =……..=
1
3
1
(1 )
0
( 1)
nn x
x
dx
+
+
− ∫
d- nS I− =
1
3
1
(1 )
0
n
x
x
dx
+
+∫ or (1+x)2
≤ (1+x)3
donc 3
1
(1 )x+
≤ 2
1
(1 )x+
sig
1
3
(1 )
n
x
x
+
+
≤
1
2
(1 )
n
x
x
+
+
sig
1 1
3
0
(1 )
n
x
dx
x
+
≤
+∫
1 1
2
0
(1 )
n
x
dx
x
+
+∫
d’où le résultat
1
lim
8
n
n
S I
→+∞
−
= =

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Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]

  • 1. Exercice N° 1: (2points) Pour chacune des questions suivantes une seule réponse est correcte. Indiquer sur votre copie le numéro de la question et la réponse choisie. 1) Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle I et a et b deux réel de I on à: ) ( ) 0 ) ( ) 0 ) ( ) 0 b b b a a a a f t dt b f t dt c f t dt≥ ≥ ≥∫ ∫ ∫ 2) La limite de ln(1 )t t − en zéro est égale à : a) 1 b) -1 c) 2 3) La parabole d'équation x2 = 4 y à pour foyer le point de coordonnées : a) F (0,-1) b) F(0,1) c) F(1,0) 4) L'intégrale 1 ln x t dt∫ pour tout ] [0,x ∈ + ∞ est égal à : a) x lnx – x + 1 b) x ln x c) x ln x - x Exercice N° 2: ( 3points) Dans le plan muni d'un repère orthonormé on désigne par (H) l'ensemble des points M(x, y) tels que: 2 2 12 4 48.x y− = 1) a- Montrer que (H) est une hyperbole de foyer F(4,0). b- Déterminer les asymptotes de (H) puis tracer (H). 2) Soit M(x0,y0) un point de (H) non situé sur l'axe focal .La tangente (T) à (H) en M coupe la droite D d'équation x = 1 en un point Q. a- Calculer le produit scalaireFM FQ uuuur uuur . b- En déduire une construction géométrique de la tangente à (H) en un point M de (H). Prof: Otay Classe: 4eme Maths Durée :4 heures Devoir de synthèse N° 2 MathématiquesLycée El aghaliba Mars 2009
  • 2. Exercice N° 3: (5points) Soit OAB un triangle rectangle isocèle en O tels que ( ) [ ], 2 2 OA OB π π≡ uuur uuur et OA = OB = 2 cm On pose I = O * A , J = O * B et K = A* B. On désigne par S la similitude directe tel que S(A) = K et S(K) = J. A / 1) Déterminer le rapport et l'angle de S . 2) Montrer que O est le centre de S. B / On considère le repère orthonormé ( , , )R O OI OJ= uur uuur . 1) Déterminer l'application complexe associée a S. 2) Soit P l'ensemble des points M(x,y) vérifiant: x2 + y2 + 2xy – 4x + 4y = 0 selon R. a- Soit M'(x',y') tel que M' = S (M) . Montrer que ( ' ') ( ' ') x x y y y x = +  = − . b- Donner une équation de P' l'image de P par S. c- Montrer que P' est une parabole dont on précisera le foyer F' et la directrice D'. d- En déduire que P est une parabole dont on pressera le foyer et la directrice. ( 5points):Exercice N°4 Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = ln(x2 – 2x +2). .On désigne par (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé 1) a- Dresser le tableau de variation de la fonction f b- Montrer que la droite D d'équation x = 1 est un axe de symétrie pour (C). c- Préciser la branche infinie de (C) au voisinage de + oo. d- Tracer la courbe (C). 2) Soit F la fonction définie sur 0, 2 π     Par 1 tan 2 1 ( ) 2 2 x dt F x t t + = − +∫ et que F'(x) = 1.0, 2 π     a- Montrer que F est dérivable sur b- En déduire que F(x) = x et que 2 2 1 2 2 4 dt t t π = − +∫ 3) a-Montrer que 2 2 2 2 1 1 ( ) 2ln 2 2 2 2 x x f x dx dx x x − = − − +∫ ∫ 2 2 2 2 1 1 , 1 2 2 2 2 2 2 x x x x IR x x x x x x − − ∈ = + − − + − + − + b- Vérifier que pour tout c-Calculer l'aire du domaine limité par la courbe (C), l'axe des abscisses et les droites
  • 3. d'équations x=1 et x= 2 ( 5points):Exercice N°5 ( ) 1 2 0 1 n n x I dx x = + ∫On définie pour tout entier naturel non nul n l'intégrale 1) Montrer que la suite (In) est décroissante .Déduire qu'elle est convergente lim n n I →∞ . 1 1 ; 4( 1) 1 nn IN I n n ∗ ∀ ∈ ≤ ≤ + + En déduire2) Montrer que 3) a) Montrer que 1 1 3 0 1 2 ; 4( 1) 1 ( 1) n n x n IN I dx n n x + ∗ ∀ ∈ = + + + +∫ 1 1 1 2 ( 1) 4 4( 2) 4 2 nn IN n I n n ∗ ∀ ∈ + ≤ + ≤ + + + Déduire queb) lim ( 1) n n n I →∞ + En déduire lim n n nI →∞ c) Calculer 4) Pour tout entier naturel non nul on pose 1 3 1 0 ( 1) ( 1) n k n K K x S I et I dx x= − = − = + ∑ ∫ : a- Montrer que 1 8 I = − b- Vérifier que [ ] 1 1 ( 1) 0,1 : ( 1) 1 1 n nn K K K x x n IN et x x x x + ∗ = − − ∀ ∈ ∀ ∈ − = + + + ∑ c- En déduire que 1 1 3 0 ( 1) . (1 ) n n n x S I dx x + − = − +∫ En déduire que (Sn) est convergente et déterminer sa limite.,d- Montrer que 1n nS I I +− ≤ ………………………………. ……………………. ………………………………..
  • 4. Correction du devoir de synthèse N° 2 Exercice N° 1: 1) b 2) b 3) b 4) a Exercice N° 2: 1) a- 2 2 12 4 1 48 48 x y − = 2 2 1 4 12 x y − = donc a = 2 ; b= 2 3 et c= 4 (H) est une hyperbole de foyer F(4,0) et de directrice D: x = 1 b- D1 : y = 3 x et D2 : y = - 3 x 2) a- Q (1,yQ) Q 0 0 0 : 1 4 12 M xx yy T∈ − = on conclu que 0 0 0 3 12 Q x y y y = − 0 0 4x FM y −      uuuur et 0 0 0 1 4 3 12FQ x y y −     −    uuur Donc 0 0 0 0 0 3 12 ( 4)( 3) ( ) .... 0 x FM FQ x y y y = − − + = = uuuuruuuur b- 0FM FQ = uuuuruuur donne FM FQ⊥ uuuur uuur on trace la perpendiculaire à (FM) passant par M. Exercice N° 3: A- 1) 2 2 k = et [ ]2 4 π θ π≡ B) 1) S(M) = M' Z' = a Z + b or S(O) = O donc b= 0 d' ou Z' = a Z = 4 2 2 i e Z π 1 ' ( ) 2 2 i Z Z= + 2) a-Z = x + iy et Z' = x' + iy' 1 ' ' ( )( ) .......... 2 2 i x iy x iy+ = + + = b- on obtient x= x' +y' et y= y' – x' c- P' : y'2 = 2x' donc P' est une parabole de foyer ( 1 '( ,0) 2 F et de directrice D': x'= 1 2 − d- P' = S(P) donc P = S -1 (P) , S -1 est une similitude directe de centre O , de rapport 2 et d'angle 4 π − Soit M un point du plan et K son projeté orthogonal sur D' on note N = S-1 (M) , H = S-1 (K) et F = S-1 (F')
  • 5. M ∈P' signifie que ' 1 MF MK = Signifie que 2 1 2 NF NH = Signifie que 1 NF NH = Comme (MK) ⊥ D' en K alors (NH) ⊥ S-1 (D') en H On pose D = S-1 (D') 1 NF NH = donc P est une parabole de foyer F et de directrice D avec F = S-1 (F') xF= x'F' + yF' = 1 2 et yF = 0 - 1 2 = - 1 2 d’où F( 1 2 ,- 1 2 ) et D : x – y = -1 Exercice N° 4: 1) f est définie ssi 2 2 2 0x x− + f or 2 2 2 0x x− + = 4 0∆ =− p sig 2 2 2 0x x− + f Df =IR 2 2( 1) '( ) 2 2 x f x x x − = − + b- c- ( ) lim 0 x f x x→+∞ = donc cf admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses 2) b- F'(x) =1 sig que F(x) = x + c or F(0) = 0 donc F(x) = x 2 2 1 ( ) 2 2 4 4 dt F t t π π = = − +∫ 2) a- 2 1 ( )f x dx∫ u(x) = ln( x2 – 2x +2) u'(x) = 2 2 2 2 2 x x x − − + v'(x) = 1 v(x) = x 2 1 ( )f x dx∫ = …………….=….. b-Réduire au même dénominateur c- 2 2 1 ln( 2 2A x x dx= − +∫
  • 6. = 2 2 1 ln( 2 2)x x dx− +∫ = 2ln2 - 2 2 2 2 1 2 2 x x dx x x − − +∫ = 2ln2 - 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x dx x x x x − + − − + − +∫ = ……………… = (ln2 + 4 π ) ua Exercice N° 5: 1)In+1 – In =……..≤0 or In est minoré par 0 d’où le résultat 2) 0 1 1 1 2x sig x≤ ≤ ≤ + ≤ sig 1 ≤(x+1)2 ≤ 4 sig ……………… 3) a- 1 2 0 (1 ) n n x I dx x = +∫ une intégration par partie avec u(x) = 2 1 (1 )x+ u'(x) = 3 2 (1 )x − + v'(x) = xn v(x) = 1 1 n x n + + nous donne le résultat b- de même que la question n°2 c- 1 lim ( 1) .......... 4 n n n I →+∞ + = = 1 lim 4 n n n nI I →+∞ + = or lim 0n n I →+∞ = donc 1 lim 4 n n nI →+∞ = 4)a- 1 3 0 ( 1) x I dx X − = +∫ une intégration par partie avec u(x) = x u'(x) = 1 v'(x) = 3 1 ( 1)x − + v(x) = 2 1 2( 1)x + nous donne I = 1 8 − b- 1 1 ( ) ( 1) ( ) 1 ( ) nn k k k x x x x= − − − = − − − ∑ ,somme des termes consécutif d'une suite géométrique de raison (-x) et de premier terme (-x). 1 1 ( 1) ( 1) 1 1 n nn k k k x x x x x + = − − − = + + + ∑ c- Sn- I =……..= 1 3 1 (1 ) 0 ( 1) nn x x dx + + − ∫
  • 7. d- nS I− = 1 3 1 (1 ) 0 n x x dx + +∫ or (1+x)2 ≤ (1+x)3 donc 3 1 (1 )x+ ≤ 2 1 (1 )x+ sig 1 3 (1 ) n x x + + ≤ 1 2 (1 ) n x x + + sig 1 1 3 0 (1 ) n x dx x + ≤ +∫ 1 1 2 0 (1 ) n x dx x + +∫ d’où le résultat 1 lim 8 n n S I →+∞ − = =