exercices d'analyse complexe

1. Universit´e Larbi ben M’hidi Oum EL Bouaghi
D´epartement de sciences et de la technologie
Examen : MATHS 040
2i`eme
ann´ee ST
La date : 25− 05 − 2013
Dur´ee : 1h
: 30m
Exercice 1 :(6 points)
Montrer que les fonctions avec une variable complexe suivantes sont holomorphes :
a) z → cos z sur C
b) z → chz sur C
c) z → 2z3
sur C.
Exercice 2 : (7 points)
Soit les s´eries enti`eres suivantes :
f(z) =
+∞
n=0
(1 + i)n zn
n!
et g(z) =
+∞
n=0
(1 − i)n zn
n!
1) Calculer le rayon de convergence des s´eries enti`eres f et g.
2) Calculer la somme des s´eries enti`eres f et g.
3) En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere les fonctions suivantes
h(z) = ez
cos z et l(z) = ez
sin z.
Exercice 3 : (7 points)
Calculer les int´egrales suivantes :
1)
γ
dz
2z2 − 5z + 2
o`u γ d´esignant le cercle unit´e | z |= 1.
2)
γ
sin(πz2
) + cos(πz2
)
(z − 1)(z − 2)
dz
o`u γ d´esignant le cercle | z |= 3.
3)
+∞
−∞
dx
x2 + x + 1
.
Bon courage
Responsable de module Djeddi K amel.