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1
NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 :
On donne un réel tel que : ( )
√
et ( )
√
.
Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de ) :
( )( )( ) et
( )( )
( )
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Mettre sous la forme (forme algébrique) les nombres complexes
( )
(
√
)
( )
( )
√ ( )( )
Allez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants
√ ( ) ( )
( ) ( )
, le nombre de module et d’argument .
le nombre de module et d’argument .
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués :
√
Pour , factoriser par
√ √
√
√
Pour , factoriser par
2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués.
( √ ) √ √ ( √ )
( )
( ) ( )
Indication :
Ecrire sous la forme ( )
Calculer
3. Calculer
2
(
√
)
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Effectuer les calculs suivants :
1. ( )( )
2. Produit du nombre complexe de module et d’argument par le nombre complexe de module et
d’argument .
3. Quotient du nombre complexe de modulo et d’argument par le nombre complexe de module et
d’argument .
Allez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Etablir les égalités suivantes :
1.
( ( ) ( )) (
√
) ( ) √ ( ( ) ( ))
2.
( ) ( ( ) ( )) (√ ) √ ( ( ) ( ))
3.
√ ( ( ) ( )) √
Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
Soit
√
1. Déterminer les modules de et .
2. Déterminer un argument de et un argument de .
3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de .
4. Déterminer le module et un argument de .
5. En déduire les valeurs de
( ) ( )
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Calculer le module et un argument de
√ √
En déduire le module et un argument de .
Allez à : Correction exercice 8 :
3
Exercice 9 :
Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.
( ) ( √ ) ( √ ) ( √ )
√
√
√ √
Allez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Calculer les racines carrées des nombres suivants.
√
Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
1. Calculer les racines carrées de
√
. En déduire les valeurs de ( ) et ( ).
2. Calculer les racines carrées de
√
. En déduire les valeurs de ( ) et ( ).
Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Résoudre dans les équations suivantes :
1. .
2. ( ) ( ) .
3. √ .
4. ( ) .
5. ( ) .
6. .
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. ( )( ) ( ) .
13. ( ) .
14. ( ) ( ) .
15. ( ) ( ) .
16. ( ) ( ) .
Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Résoudre l’équation :
( )
Allez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
( ) ( ) ( )
1. Montrer que cette équation admet une racine réelle.
2. Résoudre cette équation.
4
Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Résoudre dans l’équation
Indication : Poser et résoudre d’abord .
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Soit ( ) l’équation
( )
1. Montrer que ( ) admet des racines réelles.
2. Résoudre ( ).
Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
1. Résoudre
2. Résoudre
3. Résoudre
( )
On rappelle que √ .
Allez à : Correction exercice 17 :
Exercice 18 :
Soit l’équation ( )
1. Montrer que ( ) admet une racine réelle.
2. Déterminer les solutions de ( ).
Allez à : Correction exercice 18 :
Exercice 19 :
Soit √ √ √ √
1. Calculer , puis déterminer le module et un argument de , puis écrire sous forme trigonométrique.
2. En déduire le module et un argument de .
3. En déduire ( ) et ( ).
Allez à : Correction exercice 19 :
Exercice 20 :
1. Donner les solutions de :
Sous forme algébrique et trigonométrique.
2. Donner les solutions de :
( ) ( )
Sous forme algébrique.
Allez à : Correction exercice 20 :
Exercice 21 :
5
1. Donner les solutions complexes de .
2. Résoudre
√
3. Résoudre (
√
)
√
Allez à : Correction exercice 21 :
Exercice 22 :
Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le nombre complexe
(
√ ( )
)
Allez à : Correction exercice 22 :
Exercice 23 :
1. Déterminer le module et un argument de , calculer ( )
2. Déterminer le module et un argument de √ , calculer ( √ )
3. Calculer les puissances -ième des nombres complexes.
√ ( )
( )
( ) ( )
Allez à : Correction exercice 23 :
Exercice 24 :
Comment choisir l’entier naturel pour que (√ ) soit réel ? Imaginaire ?
Allez à : Correction exercice 24 :
Exercice 25 :
Soit un nombre complexe de module et d’argument , et soit son conjugué. Calculer
( )( ) ( )
En fonction de et . Et de ( ) ( ) ( )
Allez à : Correction exercice 25 :
Exercice 26 :
1. Pour quelles valeurs de a-t-on | | | |
2. On considère dans l’équation
( )
Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions.
3. Calculer les racines cubiques de
√
√
Allez à : Correction exercice 26 :
Exercice 27 :
Résoudre dans l’équation
( )
Allez à : Correction exercice 27 :
Exercice 28 :
6
Résoudre dans l’équation
(
√
)
Allez à : Correction exercice 28 :
Exercice 29 :
1. Déterminer les deux solutions complexes de √ .
2. Résoudre
( ) √
On explicitera les solutions sous forme algébrique.
Allez à : Correction exercice 29 :
Exercice 30 :
On appelle
√
1. Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique)
2. Montrer que
3. Montrer que
4. Montrer que
5. Calculer .
6. Calculer pour tout .
Allez à : Correction exercice 30 :
Exercice 31 :
Résoudre dans l’équation
( )
Et montrer qu’une seule de ces solutions a une puissance quatrième réelle.
Allez à : Correction exercice 31 :
Exercice 32 :
1. Donner les solutions complexes de .
2. Résoudre
√
3. Résoudre (
√
)
√
Allez à : Correction exercice 32 :
Exercice 33 :
Trouver les racines cubiques de .
Allez à : Correction exercice 33 :
Exercice 34 :
Calculer
√
√ ( )
7
Algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire ( ), ( ), ( ) et ( ).
Allez à : Correction exercice 34 :
Exercice 35 :
Trouver les racines quatrième de et de .
Allez à : Correction exercice 35 :
Exercice 36 :
Soit , un entier.
1.
a. Déterminer les complexes qui vérifient .
b. Déterminer les complexes qui vérifient .
2. Calculer la somme des complexes qui vérifient .
Allez à : Correction exercice 36 :
Exercice 37 :
1. Soient trois nombres complexes ayant le même cube.
Exprimer et en fonction de .
2. Donner, sous forme polaire (forme trigonométrique) les solutions dans de :
( )
Indication : poser et calculer ( ) .
Allez à : Correction exercice 37 :
Exercice 38 :
Déterminer les racines quatrième de .
Allez à : Correction exercice 38 :
Exercice 39 :
Résoudre les équations suivantes :
√
√ √
( ) ( )
Allez à : Correction exercice 39 :
Exercice 40 :
Résoudre dans :
1.
2.
3.
4.
Allez à : Correction exercice 40 :
Exercice 41 :
1. Calculer les racines -ième de et de .
2. Résoudre .
3. En déduire les racines de .
Allez à : Correction exercice 41 :
8
Exercice 42 :
1. Montrer que, pour tout et pour tout nombre , on a :
( )( )
Et en déduire que si , on a :
2. Vérifier que pour tout , on a ( ).
3. Soit . Calculer pour tout la somme :
( )
Et en déduire les valeurs de
( ) ( ) (( ) )
( ) ( ) (( ) )
Allez à : Correction exercice 42 :
Exercice 43 :
Soit une racine -ième de l’unité, ; calculer
Allez à : Correction exercice 43 :
Exercice 44 :
Résoudre dans , l’équation ( ) ( ) .
Allez à : Correction exercice 44 :
Exercice 45 :
Résoudre dans , l’équation où .
Allez à : Correction exercice 45 :
Exercice 46 :
Soit tel que et . Montrer que
Allez à : Correction exercice 46 :
Exercice 47 :
Linéariser :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Allez à : Correction exercice 47 :
Exercice 48 :
1. Déterminer l’ensemble des complexes tels que soit réel.
2. Déterminer l’ensemble des complexes z tels que soit imaginaire pur.
Allez à : Correction exercice 48 :
Exercice 49 :
1. Montrer que ( )
9
2. En déduire une solution de l’équation ( ) .
3. Ecrire les deux solutions de ( ) sous forme algébrique, et sous forme exponentielle.
4. Déduire de la première question une solution de l’équation ( ) .
Allez à : Correction exercice 49 :
Exercice 50 :
Soit définie par ( ) ( )
1. Déterminer les points fixes de c’est-à-dire résoudre ( ) .
2. Montrer que si | | alors | ( ) |
Indication : ( ) ( ) ( )
Allez à : Exercice 50 :
Exercice 51 :
Posons { }. Soit { } l’application définie pour tout par :
( )
1. Montrer que l’application est injective.
2. Montrer que pour tout on a ( ) .
3. Démontrer l’égalité
( ) { }
Que peut-on en déduire sur .
4. Soit . Montrer que
| ( )|
( )
| |
5. Notons l’ensemble des complexes de module . Montrer que l’on a
( ) { }
Allez à : Correction exercice 51 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
( )( )( )
√ √ (√ ) √ √
√
( ) ( ( )( )( )) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( ))
( ) ( ) ( )
Soit un argument de , ( )
√ √
et ( )
√ √
donc ( ) ( ) et
( ) ( ), on en déduit que
Par suite
( )
10
( )( )
( )
| | √( )
√ ( )
√ √
√
√
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
( )( )
( )
( ) (
( )( )
( )
) (
( )
) ( )
Autre méthode
( )
( )
( )
( )
( )
( )( ) ( )( )
( )( )
Autre méthode
( )
Or
( )( )
( )
Donc
( )
( )( )
( )
(
√
) ( ) ( ) (
√
) ( ) (
√
) (
√
)
√
( )
√ √ √
Autre méthode
(
√
) ( )
Ou encore
( )
( )
On peut toujours s’amuser à développer ( ) et ( ) mais franchement ce n’est pas une bonne
idée.
11
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) (
( )( )
( )
)
( )
( )
Autre méthode
( )
( )
(√ (
√ √
))
(√ (
√ √
))
(√ ) ( )
(√ ) ( )
(√ ) ( )
√
( √ )
( √ )
( √ ) √
Autre méthode
√ √
√
( )( )
( )( )
( )
( )
Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
( ( ) ( )) (
√
) √
√ ( ( ) ( )) √ ( ) √ ( )
( ( ) ( )) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) (
√
)
√
( )
(
√
)
√
( ( ) ( )) (
√
) √
12
( ( ) ( )) ( ) ( )
A moins de connaitre ( ) et ( ) on ne peut pas faire mieux.
Allez à : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
1. ( ) donc | | | | √ √
Si on ne met pas en facteur
| | √ √ √ √ √
C’est moins simple.
On appelle un argument de
( )
√ √
√
( )
√ √
√
Donc et √ , et √
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur
√ (
√ √
) √ (
√ √
) √ ( ( ) ( )) √
| | √( ) ( √ ) √ , soit un argument de
( ) ( )
√
Donc et
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur
(
√
) ( ( ) ( ))
Et
Pour la détermination du cosinus et du sinus n’est pas une bonne méthode.
Cette forme n’est pas la forme trigonométrique car est négatif, ce n’est donc pas le module, mais
, donc
( )
.
On aurait pu directement écrire que .
Et
Pour la détermination du cosinus et du sinus n’est pas une bonne méthode.
Et
C’est plus dur
( ) ( ) ( )
Comme , par conséquent ( ) , ce qui signifie que ( ) est bien le
module.
Et ( )
13
| | √ √ , soit un argument de
( )
√
√
( )
√
√
Donc et
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur
√ (
√ √
) √ (
√ √
) ( ( ) ( ))
Et
| | √ (√ ) √ , soit un argument de
( ) ( )
√
Donc et
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur
(
√
) ( ( ) ( ))
Et
| | √(√ ) √ , soit un argument de
( )
√
( )
Donc et
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur
(
√
) ( ( ) ( ))
Première méthode
√
√
√
√
√
√
Deuxième méthode
√
√
( √ )(√ )
(√ )
√ √
C’est plus dur
( ) ( ) ( )
Comme , par conséquent ( ) , ce qui signifie que ( ) est bien le
module.
Et ( )
2. Faisons comme d’habitude
| | √ ( √ ) √ √ (√ ) √ √
Soit un argument de
14
( )
√ √
( )
√
√ √
L’ennui c’est que l’on ne connait pas d’angle dont le cosinus et le sinus valent ces valeurs.
Il faut être malin.
( √ ) √ √ (
√ √
) √ √ ( )
√ ( ) √ ( ) √ ( )
√ ( ) donc et | | √ ( )
Remarque :
√ ( ) √ √
Le module de est aussi √ ( ) √ √ et un argument est .
Faisons comme d’habitude
√ √ ( √ )
| | √(√ √ ) ( √ ) √ √ √ (√ ) √
Soit un argument de
( )
√ √
( )
√
L’ennui c’est que l’on ne connait pas d’angle dont le cosinus et le sinus valent ces valeurs.
Calculons
(√ √ ( √ ))
(√ √ ) (√ √ ) ( √ ) (√ √ ) ( ( √ ))
(√ √ ) ( ( √ )) √ √ ( ( √ )) ( ( √ ))
( √ ) √ √ ( √ ) ( √ )
( √ )( √ ) √ √ ( √ )( √ )
√ √ ( √ ) ( √ )
√ √ (( √ ) ( √ )( √ ) ( √ ) )
( √ ) ( ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ ) )
15
( √ ) ( √ )( √ ) ( √ )
√ ( √ )( √ )
( √ (√ ) (√ ) (√ ) )
√ ( √ )( √ ) ( √ )
√ ( √ √ ) √
( √ ) ( √ )( √ ) ( √ )
( √ ) ( √ )( √ )
( √ (√ ) (√ ) (√ ) )
√ ( √ ) √ √
( √ )
( √ )( √ ) ( )
Ensuite il faut trouver les solutions de
{
| |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
Parmi ces cinq complexes, le seul qui a une partie réelle positive et une partie imaginaire
négative est d’où donc un argument de est .
Le module de est et un argument est .
( )
( )
( ( ) )( ( ) )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ( ) ) ( ) ( )
( ) (
( )
( )
) ( )
( )
( )
( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( )
Le module de est et un argument est
Autre méthode
( )
( )
( ( ) )
( ( ) )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ( ) ( ))
( )
Un argument de est
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Si est tel que ( ) alors | | ( ) et un argument de est
Si est tel que ( ) alors | | ( ) et un argument de est
16
3. On sait que
√
donc
√
(
√
) ( ) ( ) ( )
Allez à : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
1. ( )( )
2.
( ) ( ) ( )
3.
( )
( )
Allez à : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
1.
( ( ) ( )) (
√
) ( ) √ (
√ √
) √
√
( )
√
( )
√ √ ( ( ) ( ))
2.
( ) ( ( ) ( )) (√ ) √ (
√ √
) ( ( ) ( )) (
√
)
√ √
( )
√
( )
√
√ ( ( ) ( ))
√ ( ( ) ( )) ( ) ( )
√ √
( )
( ) ( )
√
Allez à : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
1. | | √ √ et | | √( ) √
2.
√ (
√ √
) √
Donc un argument de est .
(
√
)
17
Donc un argument de est .
3. On cherche les solutions complexes de
{
| | √
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
admet trois racines cubiques
( ) ( )
4.
√ √ ( ) √ √
( ( ) ( ))
Et
√
( )( √ ) √ ( √ )
Par conséquent
{
√
( )
√
√
( )
√
{
( )
√
√
√ √
( )
√
√
√ √
Allez à : Exercice 7 :
Correction exercice 8 :
| |
|√ √ | √ √ √ √
√
√ √
√ (
√ √
√
) √ (
√ √ √
√
) √ (
√
) √
Donc | | √ et un argument de est .
| | √ ( ) √
√ (
√ √
) √
Donc | | √ et un argument de est .
√
√
( )
Donc | | et un argument de est .
Allez à : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
( )( )
( ) ( )
18
( √ ) ( (
√
)) ( )
( √ ) ( √ ) ( (
√
)) ( (
√
)) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
√
√
( √ )(√ )
(√ )
√ √ √ √
Autre méthode
√
√
(
√
)
(
√
)
( )
√ √ (√ √ )( )
( )
√ √ √ √ √ √ (√ √ )
√ √ (√ √ )
Remarque : il aurait mieux valu mettre
√
en facteur d’entrée.
Là on est mal parti, il va falloir trouver le module, puis le mettre en facteur,
√ √ (√ √ ) √
(√ (√ ))
| |
√
√(√ ) (√ )
√
√ √ √
√
√
√
√
√ √ √ √
( ) ( )
Mais on ne connait pas d’angle vérifiant cela. Il faut faire autrement
|√ √ | √(√ ) (√ ) √ √
| | √ ( ) √ √
√ √
√ (
√
)
√ (
√ √
)
( )
Allez à : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
On cherche les nombres complexes tels que
On cherche les nombres complexes tels que
√ √ √ √
On cherche les nombres complexes tels que √ (
√ √
)
C’est un peu insuffisant parce que l’on ne connait pas les valeurs de ( ) et de ( )
Autre méthode, on cherche tels que
19
( ) {
On rajoute l’équation
|( ) | | | | | √ (√ ) √ √
En faisant la somme de et de
√
√ √ √ √ √ √ √
En faisant la différence de et de
√
√ √ √ √ √ √ √
D’après et sont de même signe donc les deux solutions de sont
√ √ √ √ √ √ √ √
On cherche les nombres complexes tels que √ (
√ √
)
C’est un peu insuffisant parce que l’on ne connait pas les valeurs de ( ) et de ( )
Autre méthode, on cherche tels que
( ) {
On rajoute l’équation
|( ) | | | | | √( ) ( ) (√ ) √ √
En faisant la somme de et de
√
√ √ √ √ √ √ √
En faisant la différence de et de
√
√ √ √ √ √ √ √
D’après et sont de signes opposés donc les deux solutions de sont
√ √ √ √ √ √ √ √
On cherche les nombres complexes tels que √ (
√
)
√ √ (
√
)
√ √
√ √ (
√
)
√ √
On cherche les nombres complexes tels que
On pose , ( ) {
On rajoute l’équation | | | | √ √
Avec le système { , en faisant la somme des deux équations et , on trouve
, d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont ,
d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de même signe.
Si alors et et si alors et
Deuxième méthode
( ) et on retrouve le même résultat.
Troisième méthode
20
On reprend le système
{
{
( )
{ { {
{
Les solutions de sont et , donc ,
Si alors et alors , si alors et alors .
On cherche les nombres complexes tels que
On pose ,
( ) {
On rajoute l’équation
| | | | √( ) ( ) √ √
Avec le système { , en faisant la somme des deux équations et , on trouve
, d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de
sont , d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de
signe opposé.
Si alors et et si alors et
Deuxième méthode
( ) et on retrouve le même résultat.
Troisième méthode
On reprend le système
{
{
( )
{ {
{ {
Les solutions de sont et , donc ,
Si alors et alors , si alors et alors
.
On cherche les nombres complexes tels que , on peut refaire comme précédemment
mais on va prendre la méthode la plus simple
( )
Il y a deux solutions
On cherche les complexes tels que
Là encore, on va aller au plus simple
( )
Donc il y a deux solutions
Allez à : Exercice 10 :
Correction exercice 11 :
21
1. On cherche les complexes tels que
√
√ √
On pose ,
√ √ √ √
( )
√ √
{
√
√
On rajoute l’équation
| | |
√ √
| √(
√
) (
√
) √
Avec le système {
√
, en faisant la somme des deux équations et , on trouve
√ √
En faisant la différence de et de
√ √
Les valeurs possibles de sont
√ √
et les valeurs possibles de sont
√ √
, d’après l’équation
√ √
, on en déduit que et que donc et sont de même signe.
Si
√ √
alors
√ √
et
√ √ √ √
Et si
√ √
alors
√ √
et
√ √ √ √
D’autre part
√ √
Admet deux solutions ( ) ( ) et ( ) ( )
Comme ( ) et que ( ) ,
( ) ( )
√ √ √ √
{
( )
√ √
( )
√ √
2. On cherche les complexes tels que
√ √
On pose ,
√ √
( )
√
{
√
On rajoute l’équation
22
| | |
√
| √(
√
) ( ) √
Avec le système {
√
, en faisant la somme des deux équations et , on trouve
√ √
En faisant la différence de et de
√ √
Les valeurs possibles de sont
√ √
et les valeurs possibles de sont
√ √
, d’après l’équation
√ √
, on en déduit que et que donc et sont de même signe.
Si
√ √
alors
√ √
et
√ √ √ √
Et si
√ √
alors
√ √
et
√ √ √ √
D’autre part
√
Admet deux solutions ( ) ( ) et ( ) ( )
Comme ( ) et que ( ) ,
( ) ( )
√ √ √ √
{
( )
√ √
( )
√ √
Allez à : Exercice 11 :
Correction exercice 12 :
1.
( √ )
√
√
Allez à : Exercice 12 :
2. ( ) ( )
( ( )) ( ) ( ) ( )
( )
On cherche tels que
( ) {
√
En faisant on trouve que
En faisant on trouve que
23
D’après et sont de même signe donc ou
Autre méthode ( )
et alors
( ) ( )
Les solutions de l’équation sont
( )
( )
Allez à : Exercice 12 :
3. √
( )
√ √
(
√
)
√ √
(
√
)
Allez à : Exercice 12 :
4. ( )
( ) ( )
Allez à : Exercice 12 :
5. ( )
Le discriminant vaut
( ( )) ( ) ( )
Il y a deux solutions
( )
Allez à : Exercice 12 :
6.
Soit on résout « normalement », soit on ruse, rusons
Avec . Les solutions de sont connues (et puis on vient de les revoir dans 1°))
Par conséquent
Allez à : Exercice 12 :
7.
On pose , a pour discriminant
( ) ( )( ) ( )
24
On cherche tel que
( )
{
√( ) √ √
En faisant la somme de et de , on trouve que ,
En faisant la différence de et de , on trouve que ,
D’après , et sont de même signe donc a deux solutions
On peut résoudre de la même façon ou dire que est une équation à
coefficients réels et que donc si une racine complexe est solution alors son conjugué est aussi solution, par
conséquent et sont aussi solution, ce qui donne solutions pour une équation de
degré , il n’y en a pas plus, on les a toutes.
Allez à : Exercice 12 :
8.
On peut faire comme dans le 7°), mais rusons :
( ) ( ) [( ) ] [( ) ]
[(
√
) ] [(
√
) ] (
√
) (
√
) (
√
) (
√
)
( √ )( √ )( √ )( √ )
Les solutions sont
{√ √ √ √ }
Allez à : Exercice 12 :
9.
On pose
( )
On cherche tel que ( )
Il y a donc deux solutions et ( ) .
De même on cherche tel que ( )
Il y a donc deux solutions et ( ) .
Les solutions sont
{ }
Allez à : Exercice 12 :
10.
Il faudrait trouver des solutions (réelles ou complexes).
est solution évidente, mais ensuite cela ne vient pas, mais en regardant mieux on s’aperçoit que
premiers termes ressemblent fort au développement de ( ) donc
25
( ) ( )
{
|( ) |
(( ) ) ( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
{ } { }
Sont les solutions.
Allez à : Exercice 12 :
11.
On voit que est une solution évidente (car ) donc on peut mettre en facteur.
( )( ) ( ) ( )
{ {
( )( )
Le discriminant de est ( )
Il y a deux solutions
Il y a donc deux solutions, et .
Allez à : Exercice 12 :
12.
( ) ( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( ) (( )( ))
( )( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
Allez à : Exercice 12 :
13. ( ) ( )
Il faut trouver tel que
Première méthode :
( ) c’est une identité remarquable. Donc ou
Deuxième méthode
On pose , ( ) {
On rajoute l’équation | | | | | |
Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve ,
d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après
l’équation , on en déduit que et que donc et sont de signe opposé.
Si alors et et si alors et . Ce sont bien les mêmes
solutions qu’avec la première méthode.
26
Troisième méthode
, donc les racines deuxièmes de sont √ √ ( ( ) ( ))
√ (
√ √
) et √ .
Pour résoudre ( ) , on n’a besoin que d’une racine deuxième, on prend, par
exemple .
Les deux solutions sont :
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
Allez à : Exercice 12 :
14.
( ( )) ( )( ) ( ) ( )
( )
On pose , ( )
{
On rajoute l’équation
| | | | | | | | √
√ √
Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve
, d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont ,
d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de même
signe.
Si alors et et si alors et
Deuxième méthode
( ) donc ou .
Troisième méthode
On reprend le système { {
( )
{ {
{ { , le discriminant de est
donc ses solutions sont et , donc il
n’y a pas de solution de , par contre admet deux solutions et .
Si alors et si alors , on retrouve les mêmes solutions.
Les solutions de ( ) ( ) sont :
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
Allez à : Exercice 12 :
15.
27
( ( )) ( )( ) ( ( ) ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
On pose ,
( ) {
On rajoute l’équation | | | | | | √( ) ( )
√ √
Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve
, d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont ,
d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de signe
opposé.
Si alors et et si alors et
Deuxième méthode
On reprend le système
{ {
( )
{ {
{ { , le discriminant de est
donc ses solutions sont et , donc il n’y a pas de
solution de , par contre admet deux solutions et .
Si alors et si alors , on retrouve les mêmes solutions.
Troisième méthode
( ) donc et
Les solutions de ( ) ( ) sont :
( ) ( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
Allez à : Exercice 12 :
16. ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
Si j’ai mis 64 en facteur, c’est que maintenant il suffit de trouver une racine deuxième de , ce qui est
beaucoup plus facile que de trouver une racine deuxième de .
On pose , ( ) {
On rajoute l’équation | | | | | | √ √
Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve ,
d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après
l’équation , on en déduit que et que donc et sont de même signe.
Si alors et et si alors et
Donc ( ) entraine que ( ) ( ) ( ( )) ( )
Deuxième méthode
( ) et on retrouve le même résultat.
28
Troisième méthode
On reprend le système
{
{
( )
{ { {
{
Les solutions de sont et , donc ,
Si alors et alors , si alors et alors .
Les solutions de ( ) ( ) sont
( )
( ) ( )
( )( )
( )
( ) ( )
( )( )
Allez à : Exercice 12 :
Correction exercice 13 :
On pose ,
( ) ( )
Le discriminant est
( ) ( )
Les racines carrés de :
( ) { {
On rajoute l’égalité des modules
√ √ √
En additionnant et , on trouve donc , c’est-à-dire .
En soustrayant à , on trouve donc , c’est-à-dire .
D’après , et ont le même signe donc les deux racines carrés de sont : et .
Les solutions de ( ) sont :
( ) ( )
Et
( ) ( )
Or ( ) donc a deux solutions :
Et
De plus ( ) donc a deux solutions :
Et
Allez à : Exercice 13 :
Correction exercice 14 :
29
1. On pose
( ) ( ) ( ) ( )
{
( )
Donc cette équation admet , et comme racine. Seul est solution de donc
il existe une unique solution réelle .
2. On factorise ( ) ( ) ( ) par . Il existe alors , et telle que :
( ) ( ) ( ) ( )( )
Or ( )( ) ( ) ( )
On en déduit que : {
( )
{
( )
D’où
( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( ) )
{
( ) ( )
Le discriminant de l’équation du second degré est :
( ) ( ) ( )
Les deux racines sont alors
( )
( )
( )
( )
L’ensemble des solutions est { }.
Allez à : Exercice 14 :
Correction exercice 15 :
( ) ( ) ( )
Les solutions de sont
( )
Les solutions de vérifient
√ {
| | √
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
{ }
Ou
{
| |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
Il y a donc trois solutions
30
Finalement il y a six solutions
{ }
Allez à : Exercice 15 :
Correction exercice 16 :
1. Soit une solution de ( )
( ) ( )
{
est solution de et est solution de
, donc ( ) admet deux solutions réelles, on peut mettre ( )( ) en facteur.
2. Il existe tels que
( ) ( )( )
On développe
( )( ) ( )
Par conséquent
{
{
( ) ( )( )
Il reste à trouver les solutions de
( ) ( )
Les racines carrées du discriminant sont ( )
Il y a deux solutions
( )
L’ensemble des solutions de ( ) est
{ }
Allez à : Exercice 16 :
Correction exercice 17 :
1. √ (
√
√
)
Donc
√ (
√
√
) {
| |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
√
( )
{ }
31
√ √ (
√ √
)
√
( )
√
√
( )
√
2.
{
| |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
( )
{ }
( )
(
√
) √
( )
(
√
) √
3. On pose
( ) ( )
Le discriminant de cette équation est :
( ) ( )
Les racines carrés de :
( ) { {
On rajoute l’égalité des modules
√ √ √
En additionnant et , on trouve donc , c’est-à-dire .
En soustrayant à , on trouve donc , c’est-à-dire .
D’après , et sont de signes différents donc les deux racines carrés de sont : et
.
L’équation du second degré a pour racine :
( ) ( )
Et
( ) ( )
Les six racines de
( )
Sont les six complexes trouvés en 1°) et 2°).
Allez à : Exercice 17 :
Correction exercice 18 :
1. Posons , ( ) ( ) {
32
2. On peut diviser par
( )
( )
a pour discriminant ( ) ( )
Les racines de ce polynôme sont :
( )
et
( )
Les solutions de ( ) sont , et .
Allez à : Exercice 18 :
Correction exercice 19 :
1.
(√ √ √ √ ) √ ( √ ) √ √ √ √
√ √( √ )( √ ) √ √ √
| | √( √ ) √ √
Si on pose ( ), ( ) √ √
et ( ) donc
Autre méthode :
√ (
√
) , donc .
2.
On déduit de la première question que | | donc | | et que | | . Et que les arguments
possible de sont ( ) , { }, donc ou . Mais
√ √ √ √ entraine que le cosinus et le sinus de ses arguments sont positifs, donc .
3. D’après la question précédente
√ √ √ √ ( ( ) ( )) √ √ √ √
( ) ( )
√ √ √ √
{
( )
√ √
( )
√ √
Allez à : Exercice 19 :
Correction exercice 20 :
1.
33
{
| | | |
( ) ( )
{
| |
( )
{
| | ( ) √
( ) { }
Il y a quatre solutions
√ √ (
√ √
)
√ √ (
√ √
)
√ √ (
√ √
) ̅̅̅
√ √ (
√ √
) ̅̅̅
2.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
On pose , il y a donc 4 solutions que l’on trouve en exprimant en fonction de .
( ) ( )
( )
( )
̅̅̅
̅̅̅
̅
̅̅̅
̅̅̅
̅
Allez à : Exercice 20 :
Correction exercice 21 :
1. Les racines quatrième de l’unité sont { }.
2.
√
donc
√
{
| | | |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
( )
{ }
Il y a quatre solutions :
√
( ) √
34
( ) √
( ) √
Autre solution
√
. Donc
√
. Or
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
D’où les solutions :
√
,
√
, (
√
)
√
et
√
3. On pose , l’équation est alors du second degré.
(
√
)
√
Le discriminant est
(
√
) (
√
)
√
√
√
(
√
)
Donc les solutions de sont
√ √ (
√
)
√
√ (
√
)
L’équation du second degré a alors deux solutions :
(
√
) (
√
)
√
Et
(
√
)
√
L’équation du huitième degré a pour solution :
{
√ √ √ √
}
Autre solution
(
√
)
√
( )
Les solutions de sont et
Donc et
Et on termine de la même façon.
Allez à : Exercice 21 :
Correction exercice 22 :
35
(
√ ( )
) (
√ ( √ )
)
( √ ( √ ))
( )
( √ ) ( √ ) ( √ )( √ )
√ ( √ ) ( ) √ (√ )
(√ ) √
(
√ ( )
) √ (
√
)
Autre méthode
(
√ ( )
) ( √ ) ( √
( )
) ( √ )
( √ ) ( (
√
)) ( ) (
√
)
√
Allez à : Exercice 22 :
Correction exercice 23 :
1.
( )
( )
Donc le module de est et un argument est .
( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( )
( )
2.
( √ ) ( (
√
)) ( ( ))
( )
3.
√
(
√
)
√ (
√ √
)
√ √
( )
( )
( ) ( )
36
Si , , ( ) ( )
Si , , ( ) ( )( ) √
Si , , ( ) ( ) ( ) √
Si , , ( ) ( ) ( )
Si , , ( ) ( ) √
Si , , ( ) ( ) √
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
( )
( ( ))
Remarque :
( ) n’est pas forcément le module de car ( ) n’est positif que pour certaine valeur de .
Allez à : Exercice 23 :
Correction exercice 24 :
(√ ) ( (
√
)) ( )
(√ ) (√ ) (√ ) ( )
(√ ) (√ ) (√ ) ( )
Allez à : Exercice 24 :
Correction exercice 25 :
( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
Allez à : Exercice 25 :
Correction exercice 26 :
1.
| | | | | | | | ( )( ) ( )( )
37
( )( ) ( )( )
2.
( ) |( ) | | | | | | | | |
On pose ( )
( )
( )
(ce qui est toujours possible puisque pour il existe un unique
tel que ( )) ainsi
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
Et ( )
( )
( )
ainsi
( ) { }
Donc les solutions sont
( ) { }
Avec ( )
3.
√
√
√
√
On peut aussi exprimer ce quotient sous forme algébrique et constater qu’il vaut .
On cherche les complexes tels que
{
| | | |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
Il y a trois racines cubique de
√
√
, { }
Allez à : Exercice 26 :
Correction exercice 27 :
On pose , les solutions de sont et (ce sont les racines quatrième de l’unité)
( ) ( )
Il y a solutions
38
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
Allez à : Exercice 27 :
Correction exercice 28 :
Il faut d’abord écrire
√
sous forme trigonométrique
√
√ (
√
√ )
(
√
)
√ √
( )
√
Première méthode
(
√
) (√ ) {
| | | |
( )
{
| |
( )
{
| | √
( ) { }
Il y a quatre solutions
√ √
( )
√ √
( )
√ √
( )
√
Deuxième méthode
On pose
√
( )( √ )
( √ )
√ √ √ √
(
√
) ( ) { } { }
(
√ √
)
√ √
√ √
√ √
Remarque :
En réunissant ces deux méthodes on pourrait en déduire les valeurs de
( )
{ }.
Allez à : Exercice 28 :
Correction exercice 29 :
1.
(
√
) (
√
) ( √ )
2. On pose
39
( ) ( ) ( )
Il y a deux solutions
√
√
√
√ √
√
√
√
√
√
√
√ ( √ )
(√ )
√
Allez à : Correction exercice 29 :
Correction exercice 30 :
1. , avec { }.
( ) ( )
√
( ) ( )
√
2. ( )
3. , puisque est solution de , donc .
4. car et .
Autre solution (
√
) (
√
)
C’est moins bien car un résultat du cours est que la somme des racines -ième de l’unité est nul, et, ici
1, et sont les trois racines troisième de l’unité.
5. , car et .
6. La division euclidienne de par trois dit qu’il existe un unique couple ( ) { } tel que
, donc ( ) , autrement dit si , si ,
et si alors .
Allez à : Exercice 30 :
Correction exercice 31 :
( )
√
(
√ √
)
√
{
| | |
(√ )
|
( )
{
| |
(√ )
( ) {
| |
√
( ) { }
Il y a trois solutions
√
( )
{ }
√ √
( )
√ √
( )
√
( ) (
√
( )
) ( )
( )
40
( ) ( ) ( )
Il n’y a que dont la puissance quatrième est dans .
Allez à : Exercice 31 :
Correction exercice 32 :
1. Les racines quatrième de l’unité sont { }.
2.
√
donc
3.
√
{
| | | |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
( )
{ }
Il y a quatre solutions :
√
( ) √
( ) √
( ) √
Autre solution
√
. Donc
√
. Or
( )( ) ( )( ) ( )( )( )( )
D’où les solutions :
√
,
√
, (
√
)
√
et
√
On pose , l’équation est alors du second degré.
(
√
)
√
Le discriminant est
(
√
) (
√
)
√
√
√
(
√
)
Donc les solutions de sont √ √ (
√
)
√
et √ (
√
)
L’équation du second degré a alors deux solutions :
(
√
) (
√
)
√
Et
41
(
√
)
√
L’équation du huitième degré a pour solution :
{
√ √ √ √
}
Autre solution
(
√
)
√
( )
Les solutions de sont et
Donc et
Et on termine de la même façon.
Allez à : Exercice 32 :
Correction exercice 33 :
Là on a un problème parce qu’il n’est pas simple de mettre sous forme trigonométrique,
essayons tout de même :
| | √ √ √ √ √ (√ )
Si on appelle un argument de , on a
( )
√
( )
√
Il ne s’agit pas d’un angle connu. Donc il va falloir être malin, on cherche tel que
( ) ( ) ( ) ( )
( ) {
On sait aussi que
|( ) | | | | | (√ ) (√ ) (√ )
On remplace dans
( )
Il y a une racine presque évidente , si on ne la voit pas on peut aussi remplacer
dans
( )
Là c’est plus clair, est solution donc on peut factoriser par
( )( )
(C’est facile à factoriser)
Les racines de sont √ et √
Pour trouver les valeurs de correspondantes on réutilise l’équation
( ) ( ( ))
( )
√
( √ ) ( √ ) √ √
√
√
42
√
( √ ) ( √ ) √ √
√
√
Pour bien faire, il faudrait faire la réciproque (parce que les équivalences ne sont pas claires), admis.
admet trois racines cubiques
√
√
√
√
Allez à : Exercice 33 :
Correction exercice 34 :
√
√ ( )
( )
( ) ( )
√
√ ( )
( √ )
√ ( )
√
( √ )( ) √
( √ √ )
√
( √ )
√
( √ )
On déduit de ces deux égalités que
( )
√
( √ )
√ √
( )
√
( √ )
√ √
Puis que
( )
( )
( )
√
( √ )
√
( √ )
( √ )( √ )
( √ )( √ )
√
√
Et enfin que
( ) ( )
( ) √
√
( √ )( √ )
√
√
Allez à : Exercice 34 :
Correction exercice 35 :
On cherche les complexes tels que
( )( ) ( )( ( ) )
( )( )( )( )
Il y a racines quatrième de :
La même méthode ne marche pas pour les racines quatrième de .
{
| | | |
( ) ( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
Il y a racines quatrième de :
( )
{ }
43
(
√ √
) √ ( )
(
√ √
) √ ( )
(
√ √
) √ ( )
(
√ √
) √ ( )
Allez à : Exercice 35 :
Correction exercice 36 :
1.
a. , { }.
b.
{
| |
( ) ( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
Il y a solutions
( )
{ }
Soit encore
2. Première solution {
La somme des racines -ième de l’unité (qui est nulle) est la somme des racines -ième de l’unité
(qui est nulle) plus la somme des complexes qui vérifient , donc la somme des complexes
qui vérifient est nulle.
Deuxième solution
∑ ∑ ∑ ( )
( )
Car pour .
Allez à : Exercice 36 :
Correction exercice 37 :
1. On pose
{
| | | |
( ) ( )
{
| | | |
( ) ( )
{
| | | |
( ) ( ) { }
Donc
| | ( ( ) )
| | ( )
( )
Les solutions sont , et
44
De même les solutions de sont , et
2. ( )
On pose
( ) ( )
Le discriminant est
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
On cherche alors les tels que ( ) et les tels que
√ (
√ √
) ( )
D’après la première question
( ) { }
( ) { }
On peut arranger ces deux dernières solutions
( )
( )
Bref l’ensemble des solutions est
{ }
Allez à : Exercice 37 :
Correction exercice 38 :
On ne peut pas trouver la forme trigonométrique de .
( ) ( ) (( ) ) ( )
On cherche les qui vérifient ( )
( ) ( ) ( ( ) )( ( ) )
( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )( ( ) )
( ( ))( ( ))( ( ))( ( ))
L’ensemble des solutions est
{ }
Allez à : Exercice 38 :
Correction exercice 39 :
Il faut mettre
√
√
sous sa forme trigonométrique.
√
√
(
√
)
(
√
)
Autre méthode
√
√
( √ )
( √ )
√ √
45
√
√
{
| |
( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
Les solutions sont
( )
{ }
√
√ (
√ √
)
(
√
)
√ ( )
{
| |
( )
{
| |
( )
{
| | ( )
( ) { }
Il y a solutions
( )
{ }
{
| | | |
( ) ( )
{
| |
( )
{
| | ( ) √
( ) { }
Il y a solutions
√
( )
{ }
√ √ (
√
)
√
√ √
√ √ (
√
)
√
√ √ (
√
)
√
√ √
√ √ (
√
)
√
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
On pose
46
{
| | | |
( ) ( )
{
| |
( )
{
| | ( ) √
( ) { }
Il y a solutions
√
( )
{ }
Il faut alors trouver en fonction de ,
( ) ( )
Il y a solutions
( )( )
( )( )
| | ( )
| | ( )
| | ( )
| | ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
√
√
√
√
√ √
√ √
√
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√ √
√
√
√
√
Allez à : Exercice 39 :
Correction exercice 40 :
1. Ce sont les racines cinquième de l’unité, il vaut mieux connaitre la formule
{ }
Sinon il faut absolument retrouver la formule très rapidement
{
| | | |
( ) ( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
D’où { }, c’est-à-dire
47
2.
√ (
√ √
) {
| |
( )
{
| |
( )
{
| | ( )
( ) { }
( )
{ }
Il y a cinq solutions
√ ( )
( ) ( )
3.
√ (
√ √
) (√ ) {
| | (√ )
( )
{
| | (√ )
( )
{
| | √
( ) { }
Il y a trois solutions √
( )
{ }
√ √
( )
√ √
( )
√ √ √
4.
{
| | | |
( ) ( )
{
| | | |
( ) ( )
{
(| | )| |
( )
{
| | | |
( ) { }
{ {
| |
( ) { }
Il y a solutions : et { }
√ √
√ √
Allez à : Exercice 40 :
Correction exercice 41 :
1. On cherche les complexes tels que
{
| | | |
( ) ( )
{
| |
( )
{
| |
( ) { }
48
Les solutions sont les
( )
{ }
On cherche les complexes tels que
√ (
√ √
) √ {
| | √
( )
{
| | √
( )
{
| |
( ) { }
Les solutions sont les
( )
{ }
2.
Le discriminant vaut
( ) ( ) ( )
Il y a deux solutions
( )
3. , on pose
{ {
L’ensemble des solutions est
{
( )
{ }
( )
{ }}
Allez à : Exercice 41 :
Correction exercice 42 :
1.
( )( ) ( )
Donc
Il s’agit de la formule connue donnant la somme des termes d’une suite géométrique.
2.
( ) ( ) ( )
3.
49
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( (( ) ) (( ) ))
( )
( )
(( ) )
( )
( )
(( ) )
( )
( )
Comme
( )
On a
( ) ( ) (( ) ) (( ) )
( )
( )
Et
( ) ( ) (( ) ) (( ) )
( )
( )
Allez à : Exercice 42 :
Correction exercice 43 :
Soit la fonction définie par
( )
( )
( ( ) )( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
On prend cette fonction en , et on rappelle que (et que donc )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
Ce résultat est relativement satisfaisant mais on va tout de même l’écrire sous forme algébrique.
Comme | |
| | | |
Donc
( )( ) ( ) | | ( )
( )
Allez à : Exercice 43 :
Correction exercice 44 :
50
Pour
( ) ( )
( )
( )
( )
On pose ,
Par conséquent est une racine -ième de l’unité et donc { }
( ) ( ) ( )
Ces équivalences sont vraies si et . Il faut faire un cas particulier si car alors .
{ }
( )
( )
( )
( )
( )
Si , n’a pas de solution.
On trouve solutions, ce qui n’est pas une contradiction car
( ) ( ) ( ) ( )
Est une équation polynômiale de degré (puisque les se simplifient), est admet donc au plus
solutions.
Allez à : Exercice 44 :
Correction exercice 45 :
{
| | | |
( ) ( )
{
| | | |
( ) ( )
{
| | | |
( ) ( )
{
| |
( ) ( )
{
| |
( ) { }
Les solutions sont et les { }.
Allez à : Exercice 45 :
Correction exercice 46 :
On rappelle que
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )
( )
Cette solution n’est pas élégante du tout, il doit y avoir plus malin.
Allez à : Exercice 46 :
Correction exercice 47 :
51
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
Autre méthode en utilisant les formules trigonométriques
( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( )) ( )
( )
( )
En utilisant les formules
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
52
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
On peut toujours faire « comme d’habitude » améliorons un peu les choses
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( )
( ) (
( )
) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )
Alors on utilise des formules souvent inconnues des étudiants (et c’est fort dommage) ou on fait comme
d’habitude
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Allez, encore une autre technique !
On pose ainsi ( ) ( ) ( ) et ( ) ( ) ( )
Donc
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ( )) ( ( ))
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
53
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ( ) ( ))
( ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( )
Allez à : Exercice 47 :
Correction exercice 48 :
1. est réel si et seulement si ( )
( )( ) ( )( )
( ) | |
On pose
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Il s’agit du cercle de centre ( ) et de rayon
√
.
2. est imaginaire pur si et seulement si ( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
On pose
( )
Il s’agit de la droite d’équation : .
Allez à : Exercice 48 :
Correction exercice 49 :
1. ( ) ( ) (( ) ) ( )
2. ( ) (( ) ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3.
√ (
√ √
) √
√ (
√ √
) √ √
4.
(( ) ) ( ) ( )
(
√
) (
√
)
54
√ √
Allez à : Exercice 49 :
Correction exercice 50 :
1.
( ) ( ) ( )
2.
| ( ) | | ( ) | |( ) ( ) | | ( ) | |( ) |
| | ( )
Allez à : Correction exercice 50 :
Correction exercice 51 :
1. Pour tout différent de ,
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
Donc est injective.
2.
( )
( )
Donc
( )
3.
Si alors ( ) ce qui signifie que ( ) { }, ce al montre que
( ) { }
Si { } alors il faut montrer qu’il existe tel que ( ).
( ) ( ) ( )
( )
Il reste à montrer que , si
Donc ne peut être égal à . On a montré que si { } alors ( ) cela montre que
{ } ( )
On a bien montré l’égalité demandé.
On en déduit que est surjective et donc bijective.
4.
| ( )| | |
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
| | (| | )
| | | |
( )
| |
( )
| |
( )
| |
5. Si alors ( ) , d’après la question précédente
| ( )| | ( )|
55
Ce qui signifie que ( )
Comme ( ) , ( ) { }
On a montré que
( ) { }
Si { } l’image réciproque de est , il faut montrer que ce complexe est réel.
( )
( )( ) ( )( )
( )( )
| | | |
| |
| |
| |
Cela montre que . On a montré que si { } alors il existe tel que ( ).
Autrement dit
{ } ( )
D’où l’égalité demandée.
Allez à : Exercice 51 :

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Exercices corriges nombres_complexes

  • 1. 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne un réel tel que : ( ) √ et ( ) √ . Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de ) : ( )( )( ) et ( )( ) ( ) Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Mettre sous la forme (forme algébrique) les nombres complexes ( ) ( √ ) ( ) ( ) √ ( )( ) Allez à : Correction exercice 2 : Exercice 3 : Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants √ ( ) ( ) ( ) ( ) , le nombre de module et d’argument . le nombre de module et d’argument . Allez à : Correction exercice 3 : Exercice 4 : 1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués : √ Pour , factoriser par √ √ √ √ Pour , factoriser par 2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués. ( √ ) √ √ ( √ ) ( ) ( ) ( ) Indication : Ecrire sous la forme ( ) Calculer 3. Calculer
  • 2. 2 ( √ ) Allez à : Correction exercice 4 : Exercice 5 : Effectuer les calculs suivants : 1. ( )( ) 2. Produit du nombre complexe de module et d’argument par le nombre complexe de module et d’argument . 3. Quotient du nombre complexe de modulo et d’argument par le nombre complexe de module et d’argument . Allez à : Correction exercice 5 : Exercice 6 : Etablir les égalités suivantes : 1. ( ( ) ( )) ( √ ) ( ) √ ( ( ) ( )) 2. ( ) ( ( ) ( )) (√ ) √ ( ( ) ( )) 3. √ ( ( ) ( )) √ Allez à : Correction exercice 6 : Exercice 7 : Soit √ 1. Déterminer les modules de et . 2. Déterminer un argument de et un argument de . 3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de . 4. Déterminer le module et un argument de . 5. En déduire les valeurs de ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 7 : Exercice 8 : Calculer le module et un argument de √ √ En déduire le module et un argument de . Allez à : Correction exercice 8 :
  • 3. 3 Exercice 9 : Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle. ( ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ √ √ √ Allez à : Correction exercice 9 : Exercice 10 : Calculer les racines carrées des nombres suivants. √ Allez à : Correction exercice 10 : Exercice 11 : 1. Calculer les racines carrées de √ . En déduire les valeurs de ( ) et ( ). 2. Calculer les racines carrées de √ . En déduire les valeurs de ( ) et ( ). Allez à : Correction exercice 11 : Exercice 12 : Résoudre dans les équations suivantes : 1. . 2. ( ) ( ) . 3. √ . 4. ( ) . 5. ( ) . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. . 12. ( )( ) ( ) . 13. ( ) . 14. ( ) ( ) . 15. ( ) ( ) . 16. ( ) ( ) . Allez à : Correction exercice 12 : Exercice 13 : Résoudre l’équation : ( ) Allez à : Correction exercice 13 : Exercice 14 : ( ) ( ) ( ) 1. Montrer que cette équation admet une racine réelle. 2. Résoudre cette équation.
  • 4. 4 Allez à : Correction exercice 14 : Exercice 15 : Résoudre dans l’équation Indication : Poser et résoudre d’abord . Allez à : Correction exercice 15 : Exercice 16 : Soit ( ) l’équation ( ) 1. Montrer que ( ) admet des racines réelles. 2. Résoudre ( ). Allez à : Correction exercice 16 : Exercice 17 : 1. Résoudre 2. Résoudre 3. Résoudre ( ) On rappelle que √ . Allez à : Correction exercice 17 : Exercice 18 : Soit l’équation ( ) 1. Montrer que ( ) admet une racine réelle. 2. Déterminer les solutions de ( ). Allez à : Correction exercice 18 : Exercice 19 : Soit √ √ √ √ 1. Calculer , puis déterminer le module et un argument de , puis écrire sous forme trigonométrique. 2. En déduire le module et un argument de . 3. En déduire ( ) et ( ). Allez à : Correction exercice 19 : Exercice 20 : 1. Donner les solutions de : Sous forme algébrique et trigonométrique. 2. Donner les solutions de : ( ) ( ) Sous forme algébrique. Allez à : Correction exercice 20 : Exercice 21 :
  • 5. 5 1. Donner les solutions complexes de . 2. Résoudre √ 3. Résoudre ( √ ) √ Allez à : Correction exercice 21 : Exercice 22 : Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le nombre complexe ( √ ( ) ) Allez à : Correction exercice 22 : Exercice 23 : 1. Déterminer le module et un argument de , calculer ( ) 2. Déterminer le module et un argument de √ , calculer ( √ ) 3. Calculer les puissances -ième des nombres complexes. √ ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 23 : Exercice 24 : Comment choisir l’entier naturel pour que (√ ) soit réel ? Imaginaire ? Allez à : Correction exercice 24 : Exercice 25 : Soit un nombre complexe de module et d’argument , et soit son conjugué. Calculer ( )( ) ( ) En fonction de et . Et de ( ) ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 25 : Exercice 26 : 1. Pour quelles valeurs de a-t-on | | | | 2. On considère dans l’équation ( ) Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions. 3. Calculer les racines cubiques de √ √ Allez à : Correction exercice 26 : Exercice 27 : Résoudre dans l’équation ( ) Allez à : Correction exercice 27 : Exercice 28 :
  • 6. 6 Résoudre dans l’équation ( √ ) Allez à : Correction exercice 28 : Exercice 29 : 1. Déterminer les deux solutions complexes de √ . 2. Résoudre ( ) √ On explicitera les solutions sous forme algébrique. Allez à : Correction exercice 29 : Exercice 30 : On appelle √ 1. Résoudre dans , l’équation (donner les solutions sous forme algébrique et trigonométrique) 2. Montrer que 3. Montrer que 4. Montrer que 5. Calculer . 6. Calculer pour tout . Allez à : Correction exercice 30 : Exercice 31 : Résoudre dans l’équation ( ) Et montrer qu’une seule de ces solutions a une puissance quatrième réelle. Allez à : Correction exercice 31 : Exercice 32 : 1. Donner les solutions complexes de . 2. Résoudre √ 3. Résoudre ( √ ) √ Allez à : Correction exercice 32 : Exercice 33 : Trouver les racines cubiques de . Allez à : Correction exercice 33 : Exercice 34 : Calculer √ √ ( )
  • 7. 7 Algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire ( ), ( ), ( ) et ( ). Allez à : Correction exercice 34 : Exercice 35 : Trouver les racines quatrième de et de . Allez à : Correction exercice 35 : Exercice 36 : Soit , un entier. 1. a. Déterminer les complexes qui vérifient . b. Déterminer les complexes qui vérifient . 2. Calculer la somme des complexes qui vérifient . Allez à : Correction exercice 36 : Exercice 37 : 1. Soient trois nombres complexes ayant le même cube. Exprimer et en fonction de . 2. Donner, sous forme polaire (forme trigonométrique) les solutions dans de : ( ) Indication : poser et calculer ( ) . Allez à : Correction exercice 37 : Exercice 38 : Déterminer les racines quatrième de . Allez à : Correction exercice 38 : Exercice 39 : Résoudre les équations suivantes : √ √ √ ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 39 : Exercice 40 : Résoudre dans : 1. 2. 3. 4. Allez à : Correction exercice 40 : Exercice 41 : 1. Calculer les racines -ième de et de . 2. Résoudre . 3. En déduire les racines de . Allez à : Correction exercice 41 :
  • 8. 8 Exercice 42 : 1. Montrer que, pour tout et pour tout nombre , on a : ( )( ) Et en déduire que si , on a : 2. Vérifier que pour tout , on a ( ). 3. Soit . Calculer pour tout la somme : ( ) Et en déduire les valeurs de ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) Allez à : Correction exercice 42 : Exercice 43 : Soit une racine -ième de l’unité, ; calculer Allez à : Correction exercice 43 : Exercice 44 : Résoudre dans , l’équation ( ) ( ) . Allez à : Correction exercice 44 : Exercice 45 : Résoudre dans , l’équation où . Allez à : Correction exercice 45 : Exercice 46 : Soit tel que et . Montrer que Allez à : Correction exercice 46 : Exercice 47 : Linéariser : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Correction exercice 47 : Exercice 48 : 1. Déterminer l’ensemble des complexes tels que soit réel. 2. Déterminer l’ensemble des complexes z tels que soit imaginaire pur. Allez à : Correction exercice 48 : Exercice 49 : 1. Montrer que ( )
  • 9. 9 2. En déduire une solution de l’équation ( ) . 3. Ecrire les deux solutions de ( ) sous forme algébrique, et sous forme exponentielle. 4. Déduire de la première question une solution de l’équation ( ) . Allez à : Correction exercice 49 : Exercice 50 : Soit définie par ( ) ( ) 1. Déterminer les points fixes de c’est-à-dire résoudre ( ) . 2. Montrer que si | | alors | ( ) | Indication : ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 50 : Exercice 51 : Posons { }. Soit { } l’application définie pour tout par : ( ) 1. Montrer que l’application est injective. 2. Montrer que pour tout on a ( ) . 3. Démontrer l’égalité ( ) { } Que peut-on en déduire sur . 4. Soit . Montrer que | ( )| ( ) | | 5. Notons l’ensemble des complexes de module . Montrer que l’on a ( ) { } Allez à : Correction exercice 51 : CORRECTIONS Correction exercice 1 : ( )( )( ) √ √ (√ ) √ √ √ ( ) ( ( )( )( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Soit un argument de , ( ) √ √ et ( ) √ √ donc ( ) ( ) et ( ) ( ), on en déduit que Par suite ( )
  • 10. 10 ( )( ) ( ) | | √( ) √ ( ) √ √ √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 1 : Correction exercice 2 : ( )( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ( ) ) ( ( ) ) ( ) Autre méthode ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) Autre méthode ( ) Or ( )( ) ( ) Donc ( ) ( )( ) ( ) ( √ ) ( ) ( ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( √ ) √ ( ) √ √ √ Autre méthode ( √ ) ( ) Ou encore ( ) ( ) On peut toujours s’amuser à développer ( ) et ( ) mais franchement ce n’est pas une bonne idée.
  • 11. 11 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )( ) ( ) ) ( ) ( ) Autre méthode ( ) ( ) (√ ( √ √ )) (√ ( √ √ )) (√ ) ( ) (√ ) ( ) (√ ) ( ) √ ( √ ) ( √ ) ( √ ) √ Autre méthode √ √ √ ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 2 : Correction exercice 3 : ( ( ) ( )) ( √ ) √ √ ( ( ) ( )) √ ( ) √ ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( √ ) √ ( ) ( √ ) √ ( ( ) ( )) ( √ ) √
  • 12. 12 ( ( ) ( )) ( ) ( ) A moins de connaitre ( ) et ( ) on ne peut pas faire mieux. Allez à : Exercice 3 : Correction exercice 4 : 1. ( ) donc | | | | √ √ Si on ne met pas en facteur | | √ √ √ √ √ C’est moins simple. On appelle un argument de ( ) √ √ √ ( ) √ √ √ Donc et √ , et √ Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur √ ( √ √ ) √ ( √ √ ) √ ( ( ) ( )) √ | | √( ) ( √ ) √ , soit un argument de ( ) ( ) √ Donc et Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur ( √ ) ( ( ) ( )) Et Pour la détermination du cosinus et du sinus n’est pas une bonne méthode. Cette forme n’est pas la forme trigonométrique car est négatif, ce n’est donc pas le module, mais , donc ( ) . On aurait pu directement écrire que . Et Pour la détermination du cosinus et du sinus n’est pas une bonne méthode. Et C’est plus dur ( ) ( ) ( ) Comme , par conséquent ( ) , ce qui signifie que ( ) est bien le module. Et ( )
  • 13. 13 | | √ √ , soit un argument de ( ) √ √ ( ) √ √ Donc et Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur √ ( √ √ ) √ ( √ √ ) ( ( ) ( )) Et | | √ (√ ) √ , soit un argument de ( ) ( ) √ Donc et Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur ( √ ) ( ( ) ( )) Et | | √(√ ) √ , soit un argument de ( ) √ ( ) Donc et Autre méthode (meilleure), on met le module en facteur ( √ ) ( ( ) ( )) Première méthode √ √ √ √ √ √ Deuxième méthode √ √ ( √ )(√ ) (√ ) √ √ C’est plus dur ( ) ( ) ( ) Comme , par conséquent ( ) , ce qui signifie que ( ) est bien le module. Et ( ) 2. Faisons comme d’habitude | | √ ( √ ) √ √ (√ ) √ √ Soit un argument de
  • 14. 14 ( ) √ √ ( ) √ √ √ L’ennui c’est que l’on ne connait pas d’angle dont le cosinus et le sinus valent ces valeurs. Il faut être malin. ( √ ) √ √ ( √ √ ) √ √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ ( ) donc et | | √ ( ) Remarque : √ ( ) √ √ Le module de est aussi √ ( ) √ √ et un argument est . Faisons comme d’habitude √ √ ( √ ) | | √(√ √ ) ( √ ) √ √ √ (√ ) √ Soit un argument de ( ) √ √ ( ) √ L’ennui c’est que l’on ne connait pas d’angle dont le cosinus et le sinus valent ces valeurs. Calculons (√ √ ( √ )) (√ √ ) (√ √ ) ( √ ) (√ √ ) ( ( √ )) (√ √ ) ( ( √ )) √ √ ( ( √ )) ( ( √ )) ( √ ) √ √ ( √ ) ( √ ) ( √ )( √ ) √ √ ( √ )( √ ) √ √ ( √ ) ( √ ) √ √ (( √ ) ( √ )( √ ) ( √ ) ) ( √ ) ( ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ ) )
  • 15. 15 ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ ) √ ( √ )( √ ) ( √ (√ ) (√ ) (√ ) ) √ ( √ )( √ ) ( √ ) √ ( √ √ ) √ ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ (√ ) (√ ) (√ ) ) √ ( √ ) √ √ ( √ ) ( √ )( √ ) ( ) Ensuite il faut trouver les solutions de { | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } Parmi ces cinq complexes, le seul qui a une partie réelle positive et une partie imaginaire négative est d’où donc un argument de est . Le module de est et un argument est . ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Le module de est et un argument est Autre méthode ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) Un argument de est ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si est tel que ( ) alors | | ( ) et un argument de est Si est tel que ( ) alors | | ( ) et un argument de est
  • 16. 16 3. On sait que √ donc √ ( √ ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 4 : Correction exercice 5 : 1. ( )( ) 2. ( ) ( ) ( ) 3. ( ) ( ) Allez à : Exercice 5 : Correction exercice 6 : 1. ( ( ) ( )) ( √ ) ( ) √ ( √ √ ) √ √ ( ) √ ( ) √ √ ( ( ) ( )) 2. ( ) ( ( ) ( )) (√ ) √ ( √ √ ) ( ( ) ( )) ( √ ) √ √ ( ) √ ( ) √ √ ( ( ) ( )) √ ( ( ) ( )) ( ) ( ) √ √ ( ) ( ) ( ) √ Allez à : Exercice 6 : Correction exercice 7 : 1. | | √ √ et | | √( ) √ 2. √ ( √ √ ) √ Donc un argument de est . ( √ )
  • 17. 17 Donc un argument de est . 3. On cherche les solutions complexes de { | | √ ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } admet trois racines cubiques ( ) ( ) 4. √ √ ( ) √ √ ( ( ) ( )) Et √ ( )( √ ) √ ( √ ) Par conséquent { √ ( ) √ √ ( ) √ { ( ) √ √ √ √ ( ) √ √ √ √ Allez à : Exercice 7 : Correction exercice 8 : | | |√ √ | √ √ √ √ √ √ √ √ ( √ √ √ ) √ ( √ √ √ √ ) √ ( √ ) √ Donc | | √ et un argument de est . | | √ ( ) √ √ ( √ √ ) √ Donc | | √ et un argument de est . √ √ ( ) Donc | | et un argument de est . Allez à : Exercice 8 : Correction exercice 9 : ( )( ) ( ) ( )
  • 18. 18 ( √ ) ( ( √ )) ( ) ( √ ) ( √ ) ( ( √ )) ( ( √ )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ ( √ )(√ ) (√ ) √ √ √ √ Autre méthode √ √ ( √ ) ( √ ) ( ) √ √ (√ √ )( ) ( ) √ √ √ √ √ √ (√ √ ) √ √ (√ √ ) Remarque : il aurait mieux valu mettre √ en facteur d’entrée. Là on est mal parti, il va falloir trouver le module, puis le mettre en facteur, √ √ (√ √ ) √ (√ (√ )) | | √ √(√ ) (√ ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( ) ( ) Mais on ne connait pas d’angle vérifiant cela. Il faut faire autrement |√ √ | √(√ ) (√ ) √ √ | | √ ( ) √ √ √ √ √ ( √ ) √ ( √ √ ) ( ) Allez à : Exercice 9 : Correction exercice 10 : On cherche les nombres complexes tels que On cherche les nombres complexes tels que √ √ √ √ On cherche les nombres complexes tels que √ ( √ √ ) C’est un peu insuffisant parce que l’on ne connait pas les valeurs de ( ) et de ( ) Autre méthode, on cherche tels que
  • 19. 19 ( ) { On rajoute l’équation |( ) | | | | | √ (√ ) √ √ En faisant la somme de et de √ √ √ √ √ √ √ √ En faisant la différence de et de √ √ √ √ √ √ √ √ D’après et sont de même signe donc les deux solutions de sont √ √ √ √ √ √ √ √ On cherche les nombres complexes tels que √ ( √ √ ) C’est un peu insuffisant parce que l’on ne connait pas les valeurs de ( ) et de ( ) Autre méthode, on cherche tels que ( ) { On rajoute l’équation |( ) | | | | | √( ) ( ) (√ ) √ √ En faisant la somme de et de √ √ √ √ √ √ √ √ En faisant la différence de et de √ √ √ √ √ √ √ √ D’après et sont de signes opposés donc les deux solutions de sont √ √ √ √ √ √ √ √ On cherche les nombres complexes tels que √ ( √ ) √ √ ( √ ) √ √ √ √ ( √ ) √ √ On cherche les nombres complexes tels que On pose , ( ) { On rajoute l’équation | | | | √ √ Avec le système { , en faisant la somme des deux équations et , on trouve , d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de même signe. Si alors et et si alors et Deuxième méthode ( ) et on retrouve le même résultat. Troisième méthode
  • 20. 20 On reprend le système { { ( ) { { { { Les solutions de sont et , donc , Si alors et alors , si alors et alors . On cherche les nombres complexes tels que On pose , ( ) { On rajoute l’équation | | | | √( ) ( ) √ √ Avec le système { , en faisant la somme des deux équations et , on trouve , d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de signe opposé. Si alors et et si alors et Deuxième méthode ( ) et on retrouve le même résultat. Troisième méthode On reprend le système { { ( ) { { { { Les solutions de sont et , donc , Si alors et alors , si alors et alors . On cherche les nombres complexes tels que , on peut refaire comme précédemment mais on va prendre la méthode la plus simple ( ) Il y a deux solutions On cherche les complexes tels que Là encore, on va aller au plus simple ( ) Donc il y a deux solutions Allez à : Exercice 10 : Correction exercice 11 :
  • 21. 21 1. On cherche les complexes tels que √ √ √ On pose , √ √ √ √ ( ) √ √ { √ √ On rajoute l’équation | | | √ √ | √( √ ) ( √ ) √ Avec le système { √ , en faisant la somme des deux équations et , on trouve √ √ En faisant la différence de et de √ √ Les valeurs possibles de sont √ √ et les valeurs possibles de sont √ √ , d’après l’équation √ √ , on en déduit que et que donc et sont de même signe. Si √ √ alors √ √ et √ √ √ √ Et si √ √ alors √ √ et √ √ √ √ D’autre part √ √ Admet deux solutions ( ) ( ) et ( ) ( ) Comme ( ) et que ( ) , ( ) ( ) √ √ √ √ { ( ) √ √ ( ) √ √ 2. On cherche les complexes tels que √ √ On pose , √ √ ( ) √ { √ On rajoute l’équation
  • 22. 22 | | | √ | √( √ ) ( ) √ Avec le système { √ , en faisant la somme des deux équations et , on trouve √ √ En faisant la différence de et de √ √ Les valeurs possibles de sont √ √ et les valeurs possibles de sont √ √ , d’après l’équation √ √ , on en déduit que et que donc et sont de même signe. Si √ √ alors √ √ et √ √ √ √ Et si √ √ alors √ √ et √ √ √ √ D’autre part √ Admet deux solutions ( ) ( ) et ( ) ( ) Comme ( ) et que ( ) , ( ) ( ) √ √ √ √ { ( ) √ √ ( ) √ √ Allez à : Exercice 11 : Correction exercice 12 : 1. ( √ ) √ √ Allez à : Exercice 12 : 2. ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) On cherche tels que ( ) { √ En faisant on trouve que En faisant on trouve que
  • 23. 23 D’après et sont de même signe donc ou Autre méthode ( ) et alors ( ) ( ) Les solutions de l’équation sont ( ) ( ) Allez à : Exercice 12 : 3. √ ( ) √ √ ( √ ) √ √ ( √ ) Allez à : Exercice 12 : 4. ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 12 : 5. ( ) Le discriminant vaut ( ( )) ( ) ( ) Il y a deux solutions ( ) Allez à : Exercice 12 : 6. Soit on résout « normalement », soit on ruse, rusons Avec . Les solutions de sont connues (et puis on vient de les revoir dans 1°)) Par conséquent Allez à : Exercice 12 : 7. On pose , a pour discriminant ( ) ( )( ) ( )
  • 24. 24 On cherche tel que ( ) { √( ) √ √ En faisant la somme de et de , on trouve que , En faisant la différence de et de , on trouve que , D’après , et sont de même signe donc a deux solutions On peut résoudre de la même façon ou dire que est une équation à coefficients réels et que donc si une racine complexe est solution alors son conjugué est aussi solution, par conséquent et sont aussi solution, ce qui donne solutions pour une équation de degré , il n’y en a pas plus, on les a toutes. Allez à : Exercice 12 : 8. On peut faire comme dans le 7°), mais rusons : ( ) ( ) [( ) ] [( ) ] [( √ ) ] [( √ ) ] ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ ) ( √ )( √ )( √ )( √ ) Les solutions sont {√ √ √ √ } Allez à : Exercice 12 : 9. On pose ( ) On cherche tel que ( ) Il y a donc deux solutions et ( ) . De même on cherche tel que ( ) Il y a donc deux solutions et ( ) . Les solutions sont { } Allez à : Exercice 12 : 10. Il faudrait trouver des solutions (réelles ou complexes). est solution évidente, mais ensuite cela ne vient pas, mais en regardant mieux on s’aperçoit que premiers termes ressemblent fort au développement de ( ) donc
  • 25. 25 ( ) ( ) { |( ) | (( ) ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } { } { } Sont les solutions. Allez à : Exercice 12 : 11. On voit que est une solution évidente (car ) donc on peut mettre en facteur. ( )( ) ( ) ( ) { { ( )( ) Le discriminant de est ( ) Il y a deux solutions Il y a donc deux solutions, et . Allez à : Exercice 12 : 12. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) (( )( )) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Allez à : Exercice 12 : 13. ( ) ( ) Il faut trouver tel que Première méthode : ( ) c’est une identité remarquable. Donc ou Deuxième méthode On pose , ( ) { On rajoute l’équation | | | | | | Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve , d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de signe opposé. Si alors et et si alors et . Ce sont bien les mêmes solutions qu’avec la première méthode.
  • 26. 26 Troisième méthode , donc les racines deuxièmes de sont √ √ ( ( ) ( )) √ ( √ √ ) et √ . Pour résoudre ( ) , on n’a besoin que d’une racine deuxième, on prend, par exemple . Les deux solutions sont : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 12 : 14. ( ( )) ( )( ) ( ) ( ) ( ) On pose , ( ) { On rajoute l’équation | | | | | | | | √ √ √ Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve , d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de même signe. Si alors et et si alors et Deuxième méthode ( ) donc ou . Troisième méthode On reprend le système { { ( ) { { { { , le discriminant de est donc ses solutions sont et , donc il n’y a pas de solution de , par contre admet deux solutions et . Si alors et si alors , on retrouve les mêmes solutions. Les solutions de ( ) ( ) sont : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Allez à : Exercice 12 : 15.
  • 27. 27 ( ( )) ( )( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On pose , ( ) { On rajoute l’équation | | | | | | √( ) ( ) √ √ Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve , d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de signe opposé. Si alors et et si alors et Deuxième méthode On reprend le système { { ( ) { { { { , le discriminant de est donc ses solutions sont et , donc il n’y a pas de solution de , par contre admet deux solutions et . Si alors et si alors , on retrouve les mêmes solutions. Troisième méthode ( ) donc et Les solutions de ( ) ( ) sont : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 12 : 16. ( ( ) ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si j’ai mis 64 en facteur, c’est que maintenant il suffit de trouver une racine deuxième de , ce qui est beaucoup plus facile que de trouver une racine deuxième de . On pose , ( ) { On rajoute l’équation | | | | | | √ √ Avec le système { , en faisant la somme des deux équations, on trouve , d’où l’on tire . Les valeurs possibles de sont et les valeurs possibles de sont , d’après l’équation , on en déduit que et que donc et sont de même signe. Si alors et et si alors et Donc ( ) entraine que ( ) ( ) ( ( )) ( ) Deuxième méthode ( ) et on retrouve le même résultat.
  • 28. 28 Troisième méthode On reprend le système { { ( ) { { { { Les solutions de sont et , donc , Si alors et alors , si alors et alors . Les solutions de ( ) ( ) sont ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Allez à : Exercice 12 : Correction exercice 13 : On pose , ( ) ( ) Le discriminant est ( ) ( ) Les racines carrés de : ( ) { { On rajoute l’égalité des modules √ √ √ En additionnant et , on trouve donc , c’est-à-dire . En soustrayant à , on trouve donc , c’est-à-dire . D’après , et ont le même signe donc les deux racines carrés de sont : et . Les solutions de ( ) sont : ( ) ( ) Et ( ) ( ) Or ( ) donc a deux solutions : Et De plus ( ) donc a deux solutions : Et Allez à : Exercice 13 : Correction exercice 14 :
  • 29. 29 1. On pose ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) Donc cette équation admet , et comme racine. Seul est solution de donc il existe une unique solution réelle . 2. On factorise ( ) ( ) ( ) par . Il existe alors , et telle que : ( ) ( ) ( ) ( )( ) Or ( )( ) ( ) ( ) On en déduit que : { ( ) { ( ) D’où ( ) ( ) ( ) ( )(( ) ( ) ) { ( ) ( ) Le discriminant de l’équation du second degré est : ( ) ( ) ( ) Les deux racines sont alors ( ) ( ) ( ) ( ) L’ensemble des solutions est { }. Allez à : Exercice 14 : Correction exercice 15 : ( ) ( ) ( ) Les solutions de sont ( ) Les solutions de vérifient √ { | | √ ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } { } Ou { | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } Il y a donc trois solutions
  • 30. 30 Finalement il y a six solutions { } Allez à : Exercice 15 : Correction exercice 16 : 1. Soit une solution de ( ) ( ) ( ) { est solution de et est solution de , donc ( ) admet deux solutions réelles, on peut mettre ( )( ) en facteur. 2. Il existe tels que ( ) ( )( ) On développe ( )( ) ( ) Par conséquent { { ( ) ( )( ) Il reste à trouver les solutions de ( ) ( ) Les racines carrées du discriminant sont ( ) Il y a deux solutions ( ) L’ensemble des solutions de ( ) est { } Allez à : Exercice 16 : Correction exercice 17 : 1. √ ( √ √ ) Donc √ ( √ √ ) { | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } √ ( ) { }
  • 31. 31 √ √ ( √ √ ) √ ( ) √ √ ( ) √ 2. { | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } ( ) { } ( ) ( √ ) √ ( ) ( √ ) √ 3. On pose ( ) ( ) Le discriminant de cette équation est : ( ) ( ) Les racines carrés de : ( ) { { On rajoute l’égalité des modules √ √ √ En additionnant et , on trouve donc , c’est-à-dire . En soustrayant à , on trouve donc , c’est-à-dire . D’après , et sont de signes différents donc les deux racines carrés de sont : et . L’équation du second degré a pour racine : ( ) ( ) Et ( ) ( ) Les six racines de ( ) Sont les six complexes trouvés en 1°) et 2°). Allez à : Exercice 17 : Correction exercice 18 : 1. Posons , ( ) ( ) {
  • 32. 32 2. On peut diviser par ( ) ( ) a pour discriminant ( ) ( ) Les racines de ce polynôme sont : ( ) et ( ) Les solutions de ( ) sont , et . Allez à : Exercice 18 : Correction exercice 19 : 1. (√ √ √ √ ) √ ( √ ) √ √ √ √ √ √( √ )( √ ) √ √ √ | | √( √ ) √ √ Si on pose ( ), ( ) √ √ et ( ) donc Autre méthode : √ ( √ ) , donc . 2. On déduit de la première question que | | donc | | et que | | . Et que les arguments possible de sont ( ) , { }, donc ou . Mais √ √ √ √ entraine que le cosinus et le sinus de ses arguments sont positifs, donc . 3. D’après la question précédente √ √ √ √ ( ( ) ( )) √ √ √ √ ( ) ( ) √ √ √ √ { ( ) √ √ ( ) √ √ Allez à : Exercice 19 : Correction exercice 20 : 1.
  • 33. 33 { | | | | ( ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) √ ( ) { } Il y a quatre solutions √ √ ( √ √ ) √ √ ( √ √ ) √ √ ( √ √ ) ̅̅̅ √ √ ( √ √ ) ̅̅̅ 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On pose , il y a donc 4 solutions que l’on trouve en exprimant en fonction de . ( ) ( ) ( ) ( ) ̅̅̅ ̅̅̅ ̅ ̅̅̅ ̅̅̅ ̅ Allez à : Exercice 20 : Correction exercice 21 : 1. Les racines quatrième de l’unité sont { }. 2. √ donc √ { | | | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } ( ) { } Il y a quatre solutions : √ ( ) √
  • 34. 34 ( ) √ ( ) √ Autre solution √ . Donc √ . Or ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) D’où les solutions : √ , √ , ( √ ) √ et √ 3. On pose , l’équation est alors du second degré. ( √ ) √ Le discriminant est ( √ ) ( √ ) √ √ √ ( √ ) Donc les solutions de sont √ √ ( √ ) √ √ ( √ ) L’équation du second degré a alors deux solutions : ( √ ) ( √ ) √ Et ( √ ) √ L’équation du huitième degré a pour solution : { √ √ √ √ } Autre solution ( √ ) √ ( ) Les solutions de sont et Donc et Et on termine de la même façon. Allez à : Exercice 21 : Correction exercice 22 :
  • 35. 35 ( √ ( ) ) ( √ ( √ ) ) ( √ ( √ )) ( ) ( √ ) ( √ ) ( √ )( √ ) √ ( √ ) ( ) √ (√ ) (√ ) √ ( √ ( ) ) √ ( √ ) Autre méthode ( √ ( ) ) ( √ ) ( √ ( ) ) ( √ ) ( √ ) ( ( √ )) ( ) ( √ ) √ Allez à : Exercice 22 : Correction exercice 23 : 1. ( ) ( ) Donc le module de est et un argument est . ( ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) 2. ( √ ) ( ( √ )) ( ( )) ( ) 3. √ ( √ ) √ ( √ √ ) √ √ ( ) ( ) ( ) ( )
  • 36. 36 Si , , ( ) ( ) Si , , ( ) ( )( ) √ Si , , ( ) ( ) ( ) √ Si , , ( ) ( ) ( ) Si , , ( ) ( ) √ Si , , ( ) ( ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) Remarque : ( ) n’est pas forcément le module de car ( ) n’est positif que pour certaine valeur de . Allez à : Exercice 23 : Correction exercice 24 : (√ ) ( ( √ )) ( ) (√ ) (√ ) (√ ) ( ) (√ ) (√ ) (√ ) ( ) Allez à : Exercice 24 : Correction exercice 25 : ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 25 : Correction exercice 26 : 1. | | | | | | | | ( )( ) ( )( )
  • 37. 37 ( )( ) ( )( ) 2. ( ) |( ) | | | | | | | | | On pose ( ) ( ) ( ) (ce qui est toujours possible puisque pour il existe un unique tel que ( )) ainsi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Et ( ) ( ) ( ) ainsi ( ) { } Donc les solutions sont ( ) { } Avec ( ) 3. √ √ √ √ On peut aussi exprimer ce quotient sous forme algébrique et constater qu’il vaut . On cherche les complexes tels que { | | | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } Il y a trois racines cubique de √ √ , { } Allez à : Exercice 26 : Correction exercice 27 : On pose , les solutions de sont et (ce sont les racines quatrième de l’unité) ( ) ( ) Il y a solutions
  • 38. 38 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 27 : Correction exercice 28 : Il faut d’abord écrire √ sous forme trigonométrique √ √ ( √ √ ) ( √ ) √ √ ( ) √ Première méthode ( √ ) (√ ) { | | | | ( ) { | | ( ) { | | √ ( ) { } Il y a quatre solutions √ √ ( ) √ √ ( ) √ √ ( ) √ Deuxième méthode On pose √ ( )( √ ) ( √ ) √ √ √ √ ( √ ) ( ) { } { } ( √ √ ) √ √ √ √ √ √ Remarque : En réunissant ces deux méthodes on pourrait en déduire les valeurs de ( ) { }. Allez à : Exercice 28 : Correction exercice 29 : 1. ( √ ) ( √ ) ( √ ) 2. On pose
  • 39. 39 ( ) ( ) ( ) Il y a deux solutions √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( √ ) (√ ) √ Allez à : Correction exercice 29 : Correction exercice 30 : 1. , avec { }. ( ) ( ) √ ( ) ( ) √ 2. ( ) 3. , puisque est solution de , donc . 4. car et . Autre solution ( √ ) ( √ ) C’est moins bien car un résultat du cours est que la somme des racines -ième de l’unité est nul, et, ici 1, et sont les trois racines troisième de l’unité. 5. , car et . 6. La division euclidienne de par trois dit qu’il existe un unique couple ( ) { } tel que , donc ( ) , autrement dit si , si , et si alors . Allez à : Exercice 30 : Correction exercice 31 : ( ) √ ( √ √ ) √ { | | | (√ ) | ( ) { | | (√ ) ( ) { | | √ ( ) { } Il y a trois solutions √ ( ) { } √ √ ( ) √ √ ( ) √ ( ) ( √ ( ) ) ( ) ( )
  • 40. 40 ( ) ( ) ( ) Il n’y a que dont la puissance quatrième est dans . Allez à : Exercice 31 : Correction exercice 32 : 1. Les racines quatrième de l’unité sont { }. 2. √ donc 3. √ { | | | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } ( ) { } Il y a quatre solutions : √ ( ) √ ( ) √ ( ) √ Autre solution √ . Donc √ . Or ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) D’où les solutions : √ , √ , ( √ ) √ et √ On pose , l’équation est alors du second degré. ( √ ) √ Le discriminant est ( √ ) ( √ ) √ √ √ ( √ ) Donc les solutions de sont √ √ ( √ ) √ et √ ( √ ) L’équation du second degré a alors deux solutions : ( √ ) ( √ ) √ Et
  • 41. 41 ( √ ) √ L’équation du huitième degré a pour solution : { √ √ √ √ } Autre solution ( √ ) √ ( ) Les solutions de sont et Donc et Et on termine de la même façon. Allez à : Exercice 32 : Correction exercice 33 : Là on a un problème parce qu’il n’est pas simple de mettre sous forme trigonométrique, essayons tout de même : | | √ √ √ √ √ (√ ) Si on appelle un argument de , on a ( ) √ ( ) √ Il ne s’agit pas d’un angle connu. Donc il va falloir être malin, on cherche tel que ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { On sait aussi que |( ) | | | | | (√ ) (√ ) (√ ) On remplace dans ( ) Il y a une racine presque évidente , si on ne la voit pas on peut aussi remplacer dans ( ) Là c’est plus clair, est solution donc on peut factoriser par ( )( ) (C’est facile à factoriser) Les racines de sont √ et √ Pour trouver les valeurs de correspondantes on réutilise l’équation ( ) ( ( )) ( ) √ ( √ ) ( √ ) √ √ √ √
  • 42. 42 √ ( √ ) ( √ ) √ √ √ √ Pour bien faire, il faudrait faire la réciproque (parce que les équivalences ne sont pas claires), admis. admet trois racines cubiques √ √ √ √ Allez à : Exercice 33 : Correction exercice 34 : √ √ ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ ( ) ( √ ) √ ( ) √ ( √ )( ) √ ( √ √ ) √ ( √ ) √ ( √ ) On déduit de ces deux égalités que ( ) √ ( √ ) √ √ ( ) √ ( √ ) √ √ Puis que ( ) ( ) ( ) √ ( √ ) √ ( √ ) ( √ )( √ ) ( √ )( √ ) √ √ Et enfin que ( ) ( ) ( ) √ √ ( √ )( √ ) √ √ Allez à : Exercice 34 : Correction exercice 35 : On cherche les complexes tels que ( )( ) ( )( ( ) ) ( )( )( )( ) Il y a racines quatrième de : La même méthode ne marche pas pour les racines quatrième de . { | | | | ( ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } Il y a racines quatrième de : ( ) { }
  • 43. 43 ( √ √ ) √ ( ) ( √ √ ) √ ( ) ( √ √ ) √ ( ) ( √ √ ) √ ( ) Allez à : Exercice 35 : Correction exercice 36 : 1. a. , { }. b. { | | ( ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } Il y a solutions ( ) { } Soit encore 2. Première solution { La somme des racines -ième de l’unité (qui est nulle) est la somme des racines -ième de l’unité (qui est nulle) plus la somme des complexes qui vérifient , donc la somme des complexes qui vérifient est nulle. Deuxième solution ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) Car pour . Allez à : Exercice 36 : Correction exercice 37 : 1. On pose { | | | | ( ) ( ) { | | | | ( ) ( ) { | | | | ( ) ( ) { } Donc | | ( ( ) ) | | ( ) ( ) Les solutions sont , et
  • 44. 44 De même les solutions de sont , et 2. ( ) On pose ( ) ( ) Le discriminant est ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On cherche alors les tels que ( ) et les tels que √ ( √ √ ) ( ) D’après la première question ( ) { } ( ) { } On peut arranger ces deux dernières solutions ( ) ( ) Bref l’ensemble des solutions est { } Allez à : Exercice 37 : Correction exercice 38 : On ne peut pas trouver la forme trigonométrique de . ( ) ( ) (( ) ) ( ) On cherche les qui vérifient ( ) ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ) )( ( ) ) ( ( ))( ( ))( ( ))( ( )) L’ensemble des solutions est { } Allez à : Exercice 38 : Correction exercice 39 : Il faut mettre √ √ sous sa forme trigonométrique. √ √ ( √ ) ( √ ) Autre méthode √ √ ( √ ) ( √ ) √ √
  • 45. 45 √ √ { | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } Les solutions sont ( ) { } √ √ ( √ √ ) ( √ ) √ ( ) { | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) ( ) { } Il y a solutions ( ) { } { | | | | ( ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) √ ( ) { } Il y a solutions √ ( ) { } √ √ ( √ ) √ √ √ √ √ ( √ ) √ √ √ ( √ ) √ √ √ √ √ ( √ ) √ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On pose
  • 46. 46 { | | | | ( ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) √ ( ) { } Il y a solutions √ ( ) { } Il faut alors trouver en fonction de , ( ) ( ) Il y a solutions ( )( ) ( )( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) | | ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ Allez à : Exercice 39 : Correction exercice 40 : 1. Ce sont les racines cinquième de l’unité, il vaut mieux connaitre la formule { } Sinon il faut absolument retrouver la formule très rapidement { | | | | ( ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) { } D’où { }, c’est-à-dire
  • 47. 47 2. √ ( √ √ ) { | | ( ) { | | ( ) { | | ( ) ( ) { } ( ) { } Il y a cinq solutions √ ( ) ( ) ( ) 3. √ ( √ √ ) (√ ) { | | (√ ) ( ) { | | (√ ) ( ) { | | √ ( ) { } Il y a trois solutions √ ( ) { } √ √ ( ) √ √ ( ) √ √ √ 4. { | | | | ( ) ( ) { | | | | ( ) ( ) { (| | )| | ( ) { | | | | ( ) { } { { | | ( ) { } Il y a solutions : et { } √ √ √ √ Allez à : Exercice 40 : Correction exercice 41 : 1. On cherche les complexes tels que { | | | | ( ) ( ) { | | ( ) { | | ( ) { }
  • 48. 48 Les solutions sont les ( ) { } On cherche les complexes tels que √ ( √ √ ) √ { | | √ ( ) { | | √ ( ) { | | ( ) { } Les solutions sont les ( ) { } 2. Le discriminant vaut ( ) ( ) ( ) Il y a deux solutions ( ) 3. , on pose { { L’ensemble des solutions est { ( ) { } ( ) { }} Allez à : Exercice 41 : Correction exercice 42 : 1. ( )( ) ( ) Donc Il s’agit de la formule connue donnant la somme des termes d’une suite géométrique. 2. ( ) ( ) ( ) 3.
  • 49. 49 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( (( ) ) (( ) )) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) (( ) ) ( ) ( ) Comme ( ) On a ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) Et ( ) ( ) (( ) ) (( ) ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 42 : Correction exercice 43 : Soit la fonction définie par ( ) ( ) ( ( ) )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On prend cette fonction en , et on rappelle que (et que donc ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Ce résultat est relativement satisfaisant mais on va tout de même l’écrire sous forme algébrique. Comme | | | | | | Donc ( )( ) ( ) | | ( ) ( ) Allez à : Exercice 43 : Correction exercice 44 :
  • 50. 50 Pour ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On pose , Par conséquent est une racine -ième de l’unité et donc { } ( ) ( ) ( ) Ces équivalences sont vraies si et . Il faut faire un cas particulier si car alors . { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Si , n’a pas de solution. On trouve solutions, ce qui n’est pas une contradiction car ( ) ( ) ( ) ( ) Est une équation polynômiale de degré (puisque les se simplifient), est admet donc au plus solutions. Allez à : Exercice 44 : Correction exercice 45 : { | | | | ( ) ( ) { | | | | ( ) ( ) { | | | | ( ) ( ) { | | ( ) ( ) { | | ( ) { } Les solutions sont et les { }. Allez à : Exercice 45 : Correction exercice 46 : On rappelle que ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) Cette solution n’est pas élégante du tout, il doit y avoir plus malin. Allez à : Exercice 46 : Correction exercice 47 :
  • 51. 51 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Autre méthode en utilisant les formules trigonométriques ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) En utilisant les formules ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 52. 52 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) On peut toujours faire « comme d’habitude » améliorons un peu les choses ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) Alors on utilise des formules souvent inconnues des étudiants (et c’est fort dommage) ou on fait comme d’habitude ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Allez, encore une autre technique ! On pose ainsi ( ) ( ) ( ) et ( ) ( ) ( ) Donc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
  • 53. 53 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) Allez à : Exercice 47 : Correction exercice 48 : 1. est réel si et seulement si ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) | | On pose ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Il s’agit du cercle de centre ( ) et de rayon √ . 2. est imaginaire pur si et seulement si ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) On pose ( ) Il s’agit de la droite d’équation : . Allez à : Exercice 48 : Correction exercice 49 : 1. ( ) ( ) (( ) ) ( ) 2. ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3. √ ( √ √ ) √ √ ( √ √ ) √ √ 4. (( ) ) ( ) ( ) ( √ ) ( √ )
  • 54. 54 √ √ Allez à : Exercice 49 : Correction exercice 50 : 1. ( ) ( ) ( ) 2. | ( ) | | ( ) | |( ) ( ) | | ( ) | |( ) | | | ( ) Allez à : Correction exercice 50 : Correction exercice 51 : 1. Pour tout différent de , ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) Donc est injective. 2. ( ) ( ) Donc ( ) 3. Si alors ( ) ce qui signifie que ( ) { }, ce al montre que ( ) { } Si { } alors il faut montrer qu’il existe tel que ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) Il reste à montrer que , si Donc ne peut être égal à . On a montré que si { } alors ( ) cela montre que { } ( ) On a bien montré l’égalité demandé. On en déduit que est surjective et donc bijective. 4. | ( )| | | ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) | | (| | ) | | | | ( ) | | ( ) | | ( ) | | 5. Si alors ( ) , d’après la question précédente | ( )| | ( )|
  • 55. 55 Ce qui signifie que ( ) Comme ( ) , ( ) { } On a montré que ( ) { } Si { } l’image réciproque de est , il faut montrer que ce complexe est réel. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) | | | | | | | | | | Cela montre que . On a montré que si { } alors il existe tel que ( ). Autrement dit { } ( ) D’où l’égalité demandée. Allez à : Exercice 51 :