Les vecteurs seconde2020.pdf

Vecteurs
du plan
Mme REZGUI
Lycée Sainte Claire, Lille

Groupe α Groupe ∆ Groupe λ
1 1 1
Automatismes:
Le double, la moitié et le carré d’un réel

Automatismes:
Le double, la moitié et le carré d’un réel
1 1 1

Test
Exercice 1: ABC est un rectangle en B avec AB = 1km et BC = 4 km.
a. Calculer la valeur exacte de la longueur AC (en km)
b. Donner un encadrement d’amplitude 10 de AC, puis sa valeur
arrondie à 10
c. Donner un encadrement au millimètre de AC, puis sa valeur arrondie
au millimètre. 17 = 4,123105626
Exercice 2: Parmi les nombres suivants quels sont ceux qui appartiennent à ℤ
= 4 : = 3 − −4 + 5 ∗ 8 = 3 − −
Exercice 3 : Si elle existe, donner une écriture décimale de chacun des
nombres suivants.
D = − ∗ E= -2,62 * 10 F = ∗ G = 1+ ∶

Plan d’une séance de cours
Les caractéristiques d’un
vecteur
Automatismes : Le double, la moitié et le carré d’un nombre
Le cours : Les caractéristiques d’un vecteur
À retenir : Fonction en Python
Contenus à copier du tableau

Propriété: pour tout nombre réel a positif ou nul:
• Le double de a est + = ∗
• La moitié de a est
• Le carré de a est ∗ =
Exemple: si a= 12, alors
• Le double de a est 12 + 12= 2 4 3 = 4 3
(on peut aussi écrire 2* 12= 2 4 3 = 4 3)
• La moitié de a est 12/2 = 3
• Le carré de a est 12 * 12 =12 (on peut
aussi écrire 12 = )
Automatismes : Le double, la moitié et le carré d’un nombre

Cours : Les caractéristiques d’un vecteur
Exemples:

Comparer les trois vecteurs , et

Définition:
Caractéristiques du vecteur
1)
2)
3)

Le vecteur associé à la
translation qui transforme un
point en lui-même est le
vecteur est nul. Il est noté .
Définition: le vecteur nul:

Le vecteur est l’opposé du
vecteur
On note:
Définition: Le vecteur opposé:

Deux vecteurs sont égaux s’ils
ont les mêmes caractéristiques:
sens, direction et norme
Définition:
Egalité de deux vecteurs:

Compléter:
= ………… = - …………
= ………… = - …………
= ………… = - …………
= ………… = - …………
= ………
= ……..
= ……..
Exemple:

1 1 1
Automatismes:
Fonction en Python

Automatismes:
Fonction en Python
1 1 1

Les caractéristiques d’un
vecteur (suite)
Automatismes : Fonction en Python
Le cours : Les caractéristiques d’un vecteur
À retenir : Le théorème de Pythagore

Fonction x^3:
• Groupe α: écrire l’algorithme en
langage naturel
• Groupe Δ: écrire le code en langage
Python
Fonction x^2:
• Groupe λ: utiliser le site
https://trinket.io/python3 pour tracer
la courbe de x^2 à l’aide du code ci-
dessus
À retenir: Fonction en Python

= si et seulement si
ABCD est un parallélogramme
Théorème:

a. Tracer un triangle ABC. La
translation de vecteur
transforme C en M, et la translation
de vecteur transforme A en N.
Placer les point M et N.
b. Quelle est la nature du quadrilatère
AMBN? Justifier à l’aide d’égalités
vectorielles.
Exercice n°37 page108:

ABCDEF is a regular hexagone which center is G.
Simplify the following vector expressions.
 + + =
 + + =
 + + =
 + + =
Exercice n°41 page108:
G

Application:
1- Un oiseau posé au sol veut aller manger une cerise en haut
d'un arbre dont le pied est situé 20 mètres de lui.
L'arbre mesure 4 mètres de haut.
Quelle distance l'oiseau doit-il parcourir?

Automatismes:
Le théorème de Pythagore
1 1 1

1 1 1
Automatismes:
Le théorème de Pythagore

Un pavage du plan avec le
module Turtle de Python (1)
Automatismes : Le théorème de Pythagore
Le cours : Un pavage du plan (1)
À retenir : Equation simple du 1er degré

L’algorithme d’un pavage
https://pastebin.com/tYNYBHjr

Construction d’un losange
1. Déterminer les quatre instructions qui permettent de
déplacer la tortue de la position A à la position B, en
respectant son orientation finale
2. Utiliser le résultat de la question 1) afin d’achever la
construction du losange, avec une boucle for
3. Déterminer les instructions permettant de colorier le bord du
losange en blanc et l’intérieur en cyan.
4. Récupérer les instructions établies afin de créer une fonction
TracerLosange(CouleurBord, CouleurRemplissage), qui
permet de dessiner le losange
40
40
60
Objectif:
a. Écrire l’algorithme naturel
b. Le coder

Fonction Effet
turtle.setup(w,h) Ouvre une fenêtre de dessin de largeur w et de hauteur h
turtle.showturtle() Montrer la tortue
turtle.hideturtle() Cacher la tortue
turtle.reset() Effacer l’écran, remet la tortue au centre et réinitialise ses
paramètres
turtle.forward(n) Avance de n unités
turtle.back(n) Recule de n unités
turtle.right(n) Tourner à droite de n degrés
turtle.left(n) Tourner à gauche de n degrés
turtle.goto(x,y) Déplacer la tortue au point de coordonnées (x,y)
turtle.up() Lève la tortue (le stylo)
turtle.down() Baisse la Tortue (le stylo)
turtle.color(‘…’, ‘…’) Changer la couleur (en anglais) de la tortue (bien mettre la
couleur entre guillemets, par exemple: ‘red’). La première
couleur et celle du bord, la seconde celle de remplissage.
turtle.begin_fill() Commence le remplissage
turtle.end_fill() Termine le remplissage
turtle.done()

Test
Propriété:
Soit x une variable inconnue, et soient a, b, c et d des nombres
tels que a≠c. L’équation
ax + b = cx + d
admet une solution unique:
x=(d-b)/(a-c)
À retenir : Équation simple du 1er degré
Exemples:
Résoudre les équations
7x +8 = -4x + 7 ; 3x+5=3x-2; x+6=6

Automatismes:
Equation simple du 1er degré
1 1 1

1 1 1
Automatismes:
Equation simple du 1er degré

Un pavage du plan avec le
module Turtle de Python(2)
Automatismes : Equation simple du 1er degré
Le cours : Un pavage du plan(2)
À retenir : L’inverse et le produit de deux fractions

1. Le losange Cyan ci-dessus montre la position et l’orientation
de la tortue, à la fin de la construction du 1er losange. Quelle
instruction doit-on saisir pour orienter correctement la tortue
afin de pouvoir commencer le tracé du losange de gauche,
avec la fonction TracerLosange à nouveau.
2. A l’aide d’une boucle for et de la fonctionTracerLosange,
construire une fonction TracerMotif(ListeCouleurs) ayant en
paramètre une liste de quatre couleurs (la première
désignant la couleur du bord des losanges et les trois autres
celles de remplissage) permettant de construire le motif
précédent.
Construction d’un motif
Objectif:
b. Le coder

Construction d’une ligne
Objectif:
b. Le coder
1. Une fois le premier motif (le plus à gauche) tracé avec la
fonction TracerMotif, quelles instructions doit-on saisir pour
déplacer, sans tracer, la tortue au centre du prochain motif?
2. Une fois le second motif tracé, quelles instructions doit-on
saisir pour déplacer, sans tracer, la tortue au centre du
prochain motif ?
3. Donner les instructions permettant de dessiner les deux
premiers motifs et de placer la tortue dans la position
permettant de tracer le troisième motif avec la fonction
TracerMotif.
4. A l’aide d’une boucle for et de la fonction TracerMotif,
construire une fonction TracerLigne(ListeCouleurs) ayant en
paramètre une liste de quatre couleurs permettant de
construire la ligne de motifs ci-dessus.

1. Une fois la première ligne de motifs (la plus basse) tracée
avec la fonction TracerLigne, quelles instructions doit-on saisir
pour déplacer, sans tracer, la tortue au point de départ de la
prochaine ligne ?
2. A l’aide d’une boucleforet de votre fonctionTracerLigne,
construire une fonction TracerPavage(ListeCouleurs) ayant
en paramètre une liste de quatre couleurs permettant de
construire le pavage souhaité.
Construction du pavage
Objectif:
b. Le coder

Propriété1:
Soient a, b, c et d des entiers tels que a≠0, b≠0 et d ≠0, on a:
• L’inverse de est égal à
• × =
1°) Un plongeur descend à -120 m de profondeur puis remonte de 40m. Il se trouve alors à:
A -160m B 80m C 160m D -80m
2°) × =
A -0,4 B −
49
10
C −
2
5
D −
14
35
3°) L’inverse de -4 est
A -0,25 B 1/4 C 4 D -1/4

Automatismes:
L’inverse et le produit de deux fractions
1 1 1

1 1 1
Automatismes:
L’inverse et le produit de deux fractions

Correction du devoir maison n°4
Automatismes : L’inverse et le produit de deux fractions
Le cours : Correction du devoir maison n°4

Les coordonnées d’un
vecteur(1)
Automatismes : L’inverse et le produit de deux fractions
Le cours : Les coordonnées d’un vecteur(1)
À retenir : L’ensemble

A(2;0)
B(2;3,)
C(-1;2)
D(-1;-1)
E(-3;-1)
Définition:
Un repère orthonormé du plan (O, ⃗, ⃗ ) est déterminé :
par 3 points O, I et J non alignés, tels que (OI) ⊥ (OJ) et OI=OJ.
O est l’origine du repère et on note = ⃗ et = ⃗
Dessinez un repère sur
une page entière

A(2;0)
B(2;3,)
C(-1;2)
D(-1;-1)
E(-3;-1)
Définition:
Pour tout vecteur , il existe un unique couple (x ; y) de
nombres réels tels que = ⃗ + ⃗ . On dit alors que le
vecteur a pour coordonnées (x; y) dans la base (⃗, ⃗).

Application numérique:
… .
…
…
… .
Conclure:
…………………
…………………
Propriété:
Si on note A( ; ) et B( ; ) les coordonnées de
A et B dans le repère (O, ⃗ , ⃗ ), alors le vecteur a
pour coordonnées :

Définition:
L’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la
forme , avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ, est appelé ensemble
des nombres décimaux. Cet ensemble se note ⅅ.
À retenir : L’ensemble ⅅ
Exemple:
1°) Calcul mental
154 × 0,01 0,025× 1000
1,04
0,1
0,02
10
2°) Parmi les nombres rationnels suivants, lesquels appartiennent à ⅅ
3
2
5
12
4
3
7
4
−
35
25
13
20

Automatismes:
L’ensemble ⅅ
1 1 1

1 1 1
Automatismes:
L’ensemble ⅅ

Les coordonnées d’un
vecteur (2)
Automatismes : L’ensemble ⅅ
Le cours : Les coordonnées d’un vecteur (2)
À retenir : les identités remarquables

…
…
….
….
= ……………
= ……………
= ……………
Comparer:
( + )et
Conclure:
…………………………………………
……………………………………….
Propriété: Si on note
les coordonnées du
vecteur dans le repère
(O, ⃗, ⃗), alors il a pour norme:
= +

 Déterminer graphiquement
I = A*B et J= E*D
I (…..;……)
J (…..;……)
 Calculer les coordonnées
de I ( ; ) et J ( ; )
= … … … … … … … … . .
=…………………….
=……………………..
=……………………
I (…..;……) et J (…..;……)
Propriété:
coordonnées du milieu de AB
Si I = A* B alors:
=
+
=
+

Tracer le vecteur +
Tracer le vecteur −

L’égalité + = est connue sous le
nom de la Relation de Chasles.

Pour tous nombres a et b on a:
• ( + ) = + 2 +
• ( − ) = − 2 +
• (a + b) (a – b) = −
À retenir : Les identités remarquables
Calculer:
Factoriser:
• 4 − 7 = 2 − 7 = (2 + 7 b)(2 − 7 b)
• − 2 5 + 5 = (a − 5 )
5 10

Automatismes:
Les identités remarquables
1 1 1

1 1 1
Automatismes:

Correction des exercices sur
les vecteurs
Automatismes : Les identités remarquables
Le cours : Corrections des exercices
À retenir : Les identités remarquables

Vecteurs colinéaires
Automatismes : Les identités remarquables
Le cours : Vecteurs colinéaires
À retenir : Interpréter une valeur absolue

Soient et deux vecteurs du plan.
Propriétés:
• + =
• − =
• =
• - =
• = ⟺
=
=
Définition: vecteurs colinéaires
Deux vecteurs et ⃗ sont dits colinéaires s’ils ont
la même direction.
Dans ce cas, il existe un nombre réel k tel que
= ⃗
Exemples et
figures sur
tableau

Soient et deux vecteurs du plan mené d’une
base orthonormée.
Définition: Le déterminant
Le déterminant des vecteurs est le
nombre réel ∗ − ∗ .
On note det( , ) = = −
Propriétés:
• sont colinéaires si seulement si det( , ) =0
• Les points A, B et C sont alignés si et seulement si
les vecteurs sont colinéaires.
• Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et
seulement si les vecteurs sont
colinéaires.
Exemples et
figures sur
tableau

1 1 1
Automatismes:
− ≤
−
Exemple (livre):
Savoir-faire 3 page 19

Automatismes:
Interpréter une valeur absolue
1 1 1

Exercices sur les
vecteurs colinéaires
Automatismes : Interpréter une valeur absolue
Le cours : Exercices - vecteurs colinéaires

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