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Chapitre 5 
Compétences exigibles 
i. Définition 
ii. Théorème de Thales 
iii. Conservation de coefficient de colinéarité de 2 
vecteurs 
Activite1 
On suppose les fils des rayons du soleil prennent la direction de la 
droiteD et la droite  représente la surface du sol. L’ombre du 
point A sur le sol est le point A' l’intersection de la droite  avec la 
droite passant par A et parallèlement à la droiteD .( voir figure ci 
contre). 
2_ Vocabulaire 
B
2 
 Le point A' est appelé projection du point A sur  
parallèlement àD . 
 B : B est son propre projeté sur  parallèlement àD . 
3_ Définition : 
Soient D et  deux droites secantes et M un point du plan tel 
que M  . 
Dire que le point M 'est la projection du point M sur 
parallèlement àD veut dire :M 'et MM ' D . 
Cas particulier : 
Si D   : A' est la projection orthogonale de A 
sur  . 
4_ Application :
3 
On considère ( la figure ci contre) 
Des points B ,C , F sont alignes. 
La droite BC est parallèle à D . 
Les points E et F appartiennent à . 
I. Déterminer les projections des points A, B,C, E, F sur  
parallèlement àD . 
II. Représenter les projections des points A, B,C, E, F sur D 
parallèlement à . 
III. Déterminer l’ensemble des points du plan dont la 
projection sur  parallèlement àDest le point F . 
IV. Construire le point M tel que le point E est sa projection 
parallèlement àD et que le quadrilatère ECFM soit un 
parallélogramme. 
Ii_
4 
Soient Regarde figures :
5 
Application : 
ABC triangle tel que : 
1. Enoncer le théorème de Thalès 
2. A partir de l’égalité 
AI AJ 
AB AC 
 
vérifier que x 19 cm 
3. A partir de l’ égalité 
AI IJ 
AB BC 
 
vérifier que IJ  4cm 
 Réciproque du théorème de Thalès 
( méthode pour prouver si 2 droites sont parallèles 
Exercice résolu 
ADE un triangle telque 
  ;   
4 ; 6 
6 ; 9 
B AD C AB 
AB cm AD cm 
AC cm AE cm 
   
 
   
   
 voir figure :
6 
Montrons que : BC DE 
Ona : donc 
ona : 
donc : BC ED d’après la réciproque du théorème de Thalès 
exercice ; (voir figure ci contre) montrer que BC DE 
III_ 
Activité : 
Soient D et  deux droites sécantes en A . Les points M, N,P 
appartiennent à talque : AM  2AC ; AN  5AC ; AP  3AC et les 
pointsM ', N ', P' sont les projections respectives des pointsM, N,P sur  
parallèlement àBC . 
1. Faire une figure géométrique 
2. En utilisant le théorème de Thalès établir que : 
' ' ' 
2 ; 5 ; 3 
AM AN AP 
AB AB AB 
   
3. En deduire que AM'  2AB ; AN'  5AB ; AP'  3AB 
, , 
, , 
, , ; ; 
2 
3 
A B D sont alignes 
A C E sont alignes 
A B D sont dans lememeordre que A C E 
AB AC 
AD AE 
 
 
 
 
 
 
   

7 
Si M  et M ' son projeté sur D parallèlement àBC telque 
AM  AC avec IR . Quelle conjecture peut-on dire à propos des 2 
vecteurs AM et AB . 
R rregle : D et  deux droites sécantes. 
A, B,C,D des points du plan et A',B',C ',D' leurs projections (resp) sur 
D parallèlement à . 
Si AB  kAC alors A'B'  kA'C' 
Si CD  kAB alors C'D'  kA'B' 
2 cas : 
Si : CD  kAB alors C'D'  kA'B'
8 
Exercice résolu : 
Soit ABC un triangle et M AB tel que 1 
3 
AM  AB et N le projeté de 
M sur  ACparallèlement à BC . 
Montrons que : 1 
3 
AN  AC 
 A est sa propre projection sur  ACparallèlement àBC 
 N est la projection de M sur  ACparallèlement àBC 
 C est la projection de B sur  ACparallèlement àBC 
Et comme 1 
3 
AM  AB alors 1 
3 
AN  AC car la projection conserve le 
coefficient de colinéarité.
9 
EXERCICE 1 : 
ABC un triangle et E un point vérifiant EA EB  0 
1. Exprimer AE en fonction de AB 
2. Soit F le projeté de E sur  AC 
parallèlement à BC 
. Montrer que 
4 
5 
AF  AC 
EXERCICE 2 : 
ABCDest un trapèze tel que  AB CD 
et AB CD. I le point d’intersection de 
ses diagonales 
- J est le projeté de I sur  AB 
parallèlement à BC 
. 
- K est le projeté de I sur  AD 
parallèlement à BC 
. 
1. Comparer 
AJ 
AB et 
AI 
AC 
2. Montrer que  JK BD 
. 
EXERCICE 3 : 
ABC un triangle et A' le milieu de BC 
. Soit D un point tel que 
3 
' 
4 
AD  AA 
. 
1. Construire les points E et F tel que E est le projeté de D sur BC 
parallèlement à  AB 
et F est le projeté de D sur BC 
parallèlement à 
 AC 
. 
2. Montrer que 
3 
' 
4 
BE  BA 
et 
3 
' 
4 
CF  CA
10 
3. En déduire que A est le milieu de EF
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Chapitre projection pour tronc commun bac international marocain

  • 1. 1 Chapitre 5 Compétences exigibles i. Définition ii. Théorème de Thales iii. Conservation de coefficient de colinéarité de 2 vecteurs Activite1 On suppose les fils des rayons du soleil prennent la direction de la droiteD et la droite  représente la surface du sol. L’ombre du point A sur le sol est le point A' l’intersection de la droite  avec la droite passant par A et parallèlement à la droiteD .( voir figure ci contre). 2_ Vocabulaire B
  • 2. 2  Le point A' est appelé projection du point A sur  parallèlement àD .  B : B est son propre projeté sur  parallèlement àD . 3_ Définition : Soient D et  deux droites secantes et M un point du plan tel que M  . Dire que le point M 'est la projection du point M sur parallèlement àD veut dire :M 'et MM ' D . Cas particulier : Si D   : A' est la projection orthogonale de A sur  . 4_ Application :
  • 3. 3 On considère ( la figure ci contre) Des points B ,C , F sont alignes. La droite BC est parallèle à D . Les points E et F appartiennent à . I. Déterminer les projections des points A, B,C, E, F sur  parallèlement àD . II. Représenter les projections des points A, B,C, E, F sur D parallèlement à . III. Déterminer l’ensemble des points du plan dont la projection sur  parallèlement àDest le point F . IV. Construire le point M tel que le point E est sa projection parallèlement àD et que le quadrilatère ECFM soit un parallélogramme. Ii_
  • 4. 4 Soient Regarde figures :
  • 5. 5 Application : ABC triangle tel que : 1. Enoncer le théorème de Thalès 2. A partir de l’égalité AI AJ AB AC  vérifier que x 19 cm 3. A partir de l’ égalité AI IJ AB BC  vérifier que IJ  4cm  Réciproque du théorème de Thalès ( méthode pour prouver si 2 droites sont parallèles Exercice résolu ADE un triangle telque   ;   4 ; 6 6 ; 9 B AD C AB AB cm AD cm AC cm AE cm            voir figure :
  • 6. 6 Montrons que : BC DE Ona : donc ona : donc : BC ED d’après la réciproque du théorème de Thalès exercice ; (voir figure ci contre) montrer que BC DE III_ Activité : Soient D et  deux droites sécantes en A . Les points M, N,P appartiennent à talque : AM  2AC ; AN  5AC ; AP  3AC et les pointsM ', N ', P' sont les projections respectives des pointsM, N,P sur  parallèlement àBC . 1. Faire une figure géométrique 2. En utilisant le théorème de Thalès établir que : ' ' ' 2 ; 5 ; 3 AM AN AP AB AB AB    3. En deduire que AM'  2AB ; AN'  5AB ; AP'  3AB , , , , , , ; ; 2 3 A B D sont alignes A C E sont alignes A B D sont dans lememeordre que A C E AB AC AD AE          
  • 7. 7 Si M  et M ' son projeté sur D parallèlement àBC telque AM  AC avec IR . Quelle conjecture peut-on dire à propos des 2 vecteurs AM et AB . R rregle : D et  deux droites sécantes. A, B,C,D des points du plan et A',B',C ',D' leurs projections (resp) sur D parallèlement à . Si AB  kAC alors A'B'  kA'C' Si CD  kAB alors C'D'  kA'B' 2 cas : Si : CD  kAB alors C'D'  kA'B'
  • 8. 8 Exercice résolu : Soit ABC un triangle et M AB tel que 1 3 AM  AB et N le projeté de M sur  ACparallèlement à BC . Montrons que : 1 3 AN  AC  A est sa propre projection sur  ACparallèlement àBC  N est la projection de M sur  ACparallèlement àBC  C est la projection de B sur  ACparallèlement àBC Et comme 1 3 AM  AB alors 1 3 AN  AC car la projection conserve le coefficient de colinéarité.
  • 9. 9 EXERCICE 1 : ABC un triangle et E un point vérifiant EA EB  0 1. Exprimer AE en fonction de AB 2. Soit F le projeté de E sur  AC parallèlement à BC . Montrer que 4 5 AF  AC EXERCICE 2 : ABCDest un trapèze tel que  AB CD et AB CD. I le point d’intersection de ses diagonales - J est le projeté de I sur  AB parallèlement à BC . - K est le projeté de I sur  AD parallèlement à BC . 1. Comparer AJ AB et AI AC 2. Montrer que  JK BD . EXERCICE 3 : ABC un triangle et A' le milieu de BC . Soit D un point tel que 3 ' 4 AD  AA . 1. Construire les points E et F tel que E est le projeté de D sur BC parallèlement à  AB et F est le projeté de D sur BC parallèlement à  AC . 2. Montrer que 3 ' 4 BE  BA et 3 ' 4 CF  CA
  • 10. 10 3. En déduire que A est le milieu de EF
  • 11. 11