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Chapitre 5
Compétences exigibles
i. Définition
ii. Théorème de Thales
iii. Conservation de coefficient de colinéarité de 2
vecteurs
Activite1
On suppose les fils des rayons du soleil prennent la direction de la
droite D et la droite   représente la surface du sol. L’ombre du
point A sur le sol est le point 'A l’intersection de la droite   avec la
droite passant par A et parallèlement à la droite D .( voir figure ci
contre).
2_ Vocabulaire
B
2
 Le point 'A est appelé projection du point A sur  
parallèlement à D .
  B  : B est son propre projeté sur  parallèlement à D .
3_ Définition :
Soient  D et   deux droites secantes et M un point du plan tel
que  M   .
Dire que le point 'M est la projection du point M sur 
parallèlement à D veut dire :      ' 'M et MM D  .
Cas particulier :
Si    D   : 'A est la projection orthogonale de A
sur   .
4_ Application :
3
On considère ( la figure ci contre)
Des points B ,C ,F sont alignes.
La droite  BC est parallèle à  D .
Les points E et F appartiennent à  .
I. Déterminer les projections des points , , , ,A B C E F sur  
parallèlement à D .
II. Représenter les projections des points , , , ,A B C E F sur  D
parallèlement à  .
III. Déterminer l’ensemble des points du plan dont la
projection sur   parallèlement à D est le pointF .
IV. Construire le point M tel que le point E est sa projection 
parallèlement à D et que le quadrilatèreECFM soit un
parallélogramme.
Ii_
4
Soient
Regarde figures :
5
Application :
ABC triangle tel que :
1. Enoncer le théorème de Thalès
2. A partir de l’égalité
AI AJ
AB AC

vérifier que 19x cm
3. A partir de l’ égalité
AI IJ
AB BC

vérifier que 4IJ cm
Réciproque du théorème de Thalès
( méthode pour prouver si 2 droites sont parallèles
Exercice résolu
ADE un triangle telque
   ;
4 ; 6
6 ; 9
B AD C AB
AB cm AD cm
AC cm AE cm
  

 
   voir figure :
6
Montrons que :    BC DE
Ona : donc
ona :
donc :    BC ED
d’après la réciproque du théorème de Thalès
exercice ; (voir figure ci contre) montrer que    BC DE
III_
Activité :
Soient  D et   deux droites sécantes en A . Les points , ,M N P
appartiennent à  talque : 2 ; 5 ; 3AM AC AN AC AP AC    et les
points ', ', 'M N P sont les projections respectives des points , ,M N P sur  
parallèlement à BC .
1. Faire une figure géométrique
2. En utilisant le théorème de Thalès établir que :
' ' '
2 ; 5 ; 3
AM AN AP
AB AB AB
  
3. En deduire que ' 2 ; ' 5 ; ' 3AM AB AN AB AP AB   
, ,
, ,
, , ; ;
2
3
A B D sont alignes
A C E sont alignes
A B D sont dansle memeordre que A C E
AB AC
AD AE




  

7
Si  M   et 'M son projeté sur  D parallèlement à BC telque
AM AC avec IR   . Quelle conjecture peut-on dire à propos des 2
vecteurs AM et AB .
R rregle :  D et   deux droites sécantes.
, , ,A B C D des points du plan et ', ', ', 'A B C D leurs projections (resp) sur
 D parallèlement à  .
Si ' ' ' 'AB k AC alors A B k A C 
Si ' ' ' 'CD k AB alors C D k A B 
2 cas :
Si : CD k AB alors ' ' ' 'C D k A B
8
Exercice résolu :
Soit ABC un triangle et  M AB tel que 1
3
AM AB et N le projeté de
M sur  AC parallèlement à  BC .
Montrons que : 1
3
AN AC
 A est sa propre projection sur  AC parallèlement à BC
 N est la projection de M sur  AC parallèlement à BC
 C est la projection de B sur  AC parallèlement à BC
Et comme 1
3
AM AB alors 1
3
AN AC car la projection conserve le
coefficient de colinéarité.
9
EXERCICE 1 :
ABC un triangle et E un point vérifiant 0EA EB 
1. Exprimer AE en fonction de AB
2. Soit F le projeté de E sur  AC
parallèlement à  BC
. Montrer que
4
5
AF AC
EXERCICE 2 :
ABCDest un trapèze tel que    AB CD
et AB CD.I le point d’intersection de
ses diagonales
- J est le projeté de I sur  AB
parallèlement à  BC
.
- K est le projeté de I sur  AD
parallèlement à  BC
.
1. Comparer
AJ
AB et
AI
AC
2. Montrer que    JK BD
.
EXERCICE 3 :
ABC un triangle et 'A le milieu de  BC
. Soit D un point tel que
3
'
4
AD AA
.
1. Construire les points E et F tel que E est le projeté de D sur  BC
parallèlement à  AB
et F est le projeté de D sur  BC
parallèlement à
 AC
.
2. Montrer que
3
'
4
BE BA
et
3
'
4
CF CA
10
3. En déduire que A est le milieu de  EF
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Cours math-chapitre-projection-pour-tronc-commun-bac-international-marocain

  • 1. 1 Chapitre 5 Compétences exigibles i. Définition ii. Théorème de Thales iii. Conservation de coefficient de colinéarité de 2 vecteurs Activite1 On suppose les fils des rayons du soleil prennent la direction de la droite D et la droite   représente la surface du sol. L’ombre du point A sur le sol est le point 'A l’intersection de la droite   avec la droite passant par A et parallèlement à la droite D .( voir figure ci contre). 2_ Vocabulaire B
  • 2. 2  Le point 'A est appelé projection du point A sur   parallèlement à D .   B  : B est son propre projeté sur  parallèlement à D . 3_ Définition : Soient  D et   deux droites secantes et M un point du plan tel que  M   . Dire que le point 'M est la projection du point M sur  parallèlement à D veut dire :      ' 'M et MM D  . Cas particulier : Si    D   : 'A est la projection orthogonale de A sur   . 4_ Application :
  • 3. 3 On considère ( la figure ci contre) Des points B ,C ,F sont alignes. La droite  BC est parallèle à  D . Les points E et F appartiennent à  . I. Déterminer les projections des points , , , ,A B C E F sur   parallèlement à D . II. Représenter les projections des points , , , ,A B C E F sur  D parallèlement à  . III. Déterminer l’ensemble des points du plan dont la projection sur   parallèlement à D est le pointF . IV. Construire le point M tel que le point E est sa projection  parallèlement à D et que le quadrilatèreECFM soit un parallélogramme. Ii_
  • 5. 5 Application : ABC triangle tel que : 1. Enoncer le théorème de Thalès 2. A partir de l’égalité AI AJ AB AC  vérifier que 19x cm 3. A partir de l’ égalité AI IJ AB BC  vérifier que 4IJ cm Réciproque du théorème de Thalès ( méthode pour prouver si 2 droites sont parallèles Exercice résolu ADE un triangle telque    ; 4 ; 6 6 ; 9 B AD C AB AB cm AD cm AC cm AE cm          voir figure :
  • 6. 6 Montrons que :    BC DE Ona : donc ona : donc :    BC ED d’après la réciproque du théorème de Thalès exercice ; (voir figure ci contre) montrer que    BC DE III_ Activité : Soient  D et   deux droites sécantes en A . Les points , ,M N P appartiennent à  talque : 2 ; 5 ; 3AM AC AN AC AP AC    et les points ', ', 'M N P sont les projections respectives des points , ,M N P sur   parallèlement à BC . 1. Faire une figure géométrique 2. En utilisant le théorème de Thalès établir que : ' ' ' 2 ; 5 ; 3 AM AN AP AB AB AB    3. En deduire que ' 2 ; ' 5 ; ' 3AM AB AN AB AP AB    , , , , , , ; ; 2 3 A B D sont alignes A C E sont alignes A B D sont dansle memeordre que A C E AB AC AD AE        
  • 7. 7 Si  M   et 'M son projeté sur  D parallèlement à BC telque AM AC avec IR   . Quelle conjecture peut-on dire à propos des 2 vecteurs AM et AB . R rregle :  D et   deux droites sécantes. , , ,A B C D des points du plan et ', ', ', 'A B C D leurs projections (resp) sur  D parallèlement à  . Si ' ' ' 'AB k AC alors A B k A C  Si ' ' ' 'CD k AB alors C D k A B  2 cas : Si : CD k AB alors ' ' ' 'C D k A B
  • 8. 8 Exercice résolu : Soit ABC un triangle et  M AB tel que 1 3 AM AB et N le projeté de M sur  AC parallèlement à  BC . Montrons que : 1 3 AN AC  A est sa propre projection sur  AC parallèlement à BC  N est la projection de M sur  AC parallèlement à BC  C est la projection de B sur  AC parallèlement à BC Et comme 1 3 AM AB alors 1 3 AN AC car la projection conserve le coefficient de colinéarité.
  • 9. 9 EXERCICE 1 : ABC un triangle et E un point vérifiant 0EA EB  1. Exprimer AE en fonction de AB 2. Soit F le projeté de E sur  AC parallèlement à  BC . Montrer que 4 5 AF AC EXERCICE 2 : ABCDest un trapèze tel que    AB CD et AB CD.I le point d’intersection de ses diagonales - J est le projeté de I sur  AB parallèlement à  BC . - K est le projeté de I sur  AD parallèlement à  BC . 1. Comparer AJ AB et AI AC 2. Montrer que    JK BD . EXERCICE 3 : ABC un triangle et 'A le milieu de  BC . Soit D un point tel que 3 ' 4 AD AA . 1. Construire les points E et F tel que E est le projeté de D sur  BC parallèlement à  AB et F est le projeté de D sur  BC parallèlement à  AC . 2. Montrer que 3 ' 4 BE BA et 3 ' 4 CF CA
  • 10. 10 3. En déduire que A est le milieu de  EF
  • 11. 11