Cours de tron commun

1. 1
Chapitre 5
Compétences exigibles
i. Définition
ii. Théorème de Thales
iii. Conservation de coefficient de colinéarité de 2
vecteurs
Activite1
On suppose les fils des rayons du soleil prennent la direction de la
droite D et la droite   représente la surface du sol. L’ombre du
point A sur le sol est le point 'A l’intersection de la droite   avec la
droite passant par A et parallèlement à la droite D .( voir figure ci
contre).
2_ Vocabulaire
B

2. 2
 Le point 'A est appelé projection du point A sur  
parallèlement à D .
  B  : B est son propre projeté sur  parallèlement à D .
3_ Définition :
Soient  D et   deux droites secantes et M un point du plan tel
que  M   .
Dire que le point 'M est la projection du point M sur 
parallèlement à D veut dire :      ' 'M et MM D  .
Cas particulier :
Si    D   : 'A est la projection orthogonale de A
sur   .
4_ Application :

3. 3
On considère ( la figure ci contre)
Des points B ,C ,F sont alignes.
La droite  BC est parallèle à  D .
Les points E et F appartiennent à  .
I. Déterminer les projections des points , , , ,A B C E F sur  
parallèlement à D .
II. Représenter les projections des points , , , ,A B C E F sur  D
parallèlement à  .
III. Déterminer l’ensemble des points du plan dont la
projection sur   parallèlement à D est le pointF .
IV. Construire le point M tel que le point E est sa projection 
parallèlement à D et que le quadrilatèreECFM soit un
parallélogramme.
Ii_

4. 4
Soient
Regarde figures :

5. 5
Application :
ABC triangle tel que :
1. Enoncer le théorème de Thalès
2. A partir de l’égalité
AI AJ
AB AC

vérifier que 19x cm
3. A partir de l’ égalité
AI IJ
AB BC

vérifier que 4IJ cm
Réciproque du théorème de Thalès
( méthode pour prouver si 2 droites sont parallèles
Exercice résolu
ADE un triangle telque
   ;
4 ; 6
6 ; 9
B AD C AB
AB cm AD cm
AC cm AE cm
  

 
   voir figure :

6. 6
Montrons que :    BC DE
Ona : donc
ona :
donc :    BC ED
d’après la réciproque du théorème de Thalès
exercice ; (voir figure ci contre) montrer que    BC DE
III_
Activité :
Soient  D et   deux droites sécantes en A . Les points , ,M N P
appartiennent à  talque : 2 ; 5 ; 3AM AC AN AC AP AC    et les
points ', ', 'M N P sont les projections respectives des points , ,M N P sur  
parallèlement à BC .
1. Faire une figure géométrique
2. En utilisant le théorème de Thalès établir que :
' ' '
2 ; 5 ; 3
AM AN AP
AB AB AB
  
3. En deduire que ' 2 ; ' 5 ; ' 3AM AB AN AB AP AB   
, ,
, ,
, , ; ;
2
3
A B D sont alignes
A C E sont alignes
A B D sont dansle memeordre que A C E
AB AC
AD AE




  


7. 7
Si  M   et 'M son projeté sur  D parallèlement à BC telque
AM AC avec IR   . Quelle conjecture peut-on dire à propos des 2
vecteurs AM et AB .
R rregle :  D et   deux droites sécantes.
, , ,A B C D des points du plan et ', ', ', 'A B C D leurs projections (resp) sur
 D parallèlement à  .
Si ' ' ' 'AB k AC alors A B k A C 
Si ' ' ' 'CD k AB alors C D k A B 
2 cas :
Si : CD k AB alors ' ' ' 'C D k A B

8. 8
Exercice résolu :
Soit ABC un triangle et  M AB tel que 1
3
AM AB et N le projeté de
M sur  AC parallèlement à  BC .
Montrons que : 1
3
AN AC
 A est sa propre projection sur  AC parallèlement à BC
 N est la projection de M sur  AC parallèlement à BC
 C est la projection de B sur  AC parallèlement à BC
Et comme 1
3
AM AB alors 1
3
AN AC car la projection conserve le
coefficient de colinéarité.

9. 9
EXERCICE 1 :
ABC un triangle et E un point vérifiant 0EA EB 
1. Exprimer AE en fonction de AB
2. Soit F le projeté de E sur  AC
parallèlement à  BC
. Montrer que
4
5
AF AC
EXERCICE 2 :
ABCDest un trapèze tel que    AB CD
et AB CD.I le point d’intersection de
ses diagonales
- J est le projeté de I sur  AB
parallèlement à  BC
.
- K est le projeté de I sur  AD
parallèlement à  BC
.
1. Comparer
AJ
AB et
AI
AC
2. Montrer que    JK BD
.
EXERCICE 3 :
ABC un triangle et 'A le milieu de  BC
. Soit D un point tel que
3
'
4
AD AA
.
1. Construire les points E et F tel que E est le projeté de D sur  BC
parallèlement à  AB
et F est le projeté de D sur  BC
parallèlement à
 AC
.
2. Montrer que
3
'
4
BE BA
et
3
'
4
CF CA

10. 10
3. En déduire que A est le milieu de  EF

11. 11