1. Bac blanc 5 de Mathématiques : 2BAC PC
BIOF : lycée prive Oum-Errabiaa à El-Jadida
Prof : ENNAJI AHMED
Exercice 1 : 8pts
I-soit 2
2 4 2ln 1g x x x x définie sur I= 1;
1-montrer que
2
1: '
1
x x
x g x
x
2-donner le tableau de variation de g sur I= 1; sans calculer les limites aux
bornes de I.
3-endeduire que 1; : 0x g x
II-soit
1 2ln 1
1
x
f x x
x
définie sur I= 1;
1-montrer que 1
lim
x
f x
et interpréter ce résultat géométriquement
2-montrer que lim
x
f x
et calculer lim
x
f x x
en déduire que la droite
: y x est une asymptote à la courbe fC au voisinage de
3-resoudre dans I. l’équation : 1 2ln 1 0x et étudier la position de fC par
rapport à
4-montrer que
21: '
1
g x
x f x
x
5-donner le tableau de variation de f
6-montrer que l’équation 0f x admet une solution unique dans l’intervalle
1; et que
1
0;
2
7-construire la courbe fC dans un repère orthonormé ; ;O i j (unité .: 2cm).
8-on admet que la droite 3
2
:T y x
e
est une tangente à fC au point
d’abscisse 0x . Déterminer la valeur de 0x
2. 9-resoudre graphiquement l’équation f x x m telque m IR
III-soit
2
2
ln 1 ln 1
2
x
F x x x définie sur I= 1;
a-montrer que F est une primitive de f sur I
b-calculer l’aire de la partie du plan limitée par fC l’axe des abscisses, les
droites d’équations 0 1x et x .
Exercice 2 : 3pts
1-Soit nu une suite définie par : 1 0
4
: 1
1
n
n
n
u
n IN u et u
u
a-montrer par récurrence que : :0 3nn IN u
b-étudier la monotonie de la suite nu
c-en déduire que la suite nu est convergente
2-soit la suite nv définie par :
3
: 1n
n
n IN v
u
a-montrer que la suite nv est géométrique de raison
1
4
b-écrire nv en fonction de n et déduire nu en fonction de n et calculer lim n
n
u
3-soitla suite nw définie par :
3
: n
n
n IN w
u
et on pose
0
n
n k
k
s w
a-montrer que : 1n nn IN w v
b-montrer que
1
8 1
: 1 1
3 4
n
nn IN s n
et calculer lim n
n
s
Exercice 3 : 3pts
L’espace rapporte à un repère orthonormé direct ; ; ;O i j k . On considère les
points 2;2;8 ; 6;6;0 ; 2; 1;0 0;1; 1A B C et D et (S) l’ensemble des points M
de l’espace tel que : . 0MAMB
1-calculer le triplet des coordonnées du vecteur OC OD
2-en déduire que : 2 2 0x y z est l’équation cartésienne du plan (OCD)
3. 3-verifier que (S) est la sphère de centre 2;4;4 et de rayon 6.
4-verifier que la sphère (S) est tangente au plan (OCD).
6-calculer .OAOBet déduire que O est le point d’intersection de (S) et (OCD).
Exercice 4 : 3pts
On considère une urne contenant 10 boules qui portent les nombres suivants 1 ;
2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4. Ces boules sont indiscernables au toucher. On
considère l’expérience suivante. On tire au hasard successivement et sans remise
deux boules de cette urne.
1-Soit A l évènements suivant : les deux boules tirées portent de nombres pairs
Montrer que
1
3
p A
2-On répète l’expérience précédente trois fois de suite tel que .on repose les
deux boules tirées dans l’urne après chaque expérience.
2-Soit X la variable aléatoire qui est égal au nombre de fois de réalisation de
l’évènement A.
a-montrer que :
4
1
9
p X et que
8
3
15
p X
b- donner la loi de probabilité
Exercice 5 : 3pts
1-resoudre dans l’équation suivante :
2
2 3 4 0z z
2-On considère dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé ; ;O u v les
points : A ; B ; C d’affixes respectifs :
3 ; 3 1 3 1 ; 1 3a i b i c i
1-verifier que c ia en déduire que : ; 2
2
OA OC et que OA OC
2- montrer que B est l’image de A par la translation de vecteurOC
3-verifier que 1b i a en déduire que :
5
2 2 arg 2
12
b et b
4-en déduire que :
5 6 2
cos
12 4