Le document présente un examen de mathématiques avec divers exercices abordant des thèmes tels que les fonctions, les suites, la géométrie dans l'espace, la probabilité et les équations complexes. Chaque exercice est structuré avec des questions nécessitant des démonstrations, des calculs et des études de variation ou de convergence. Ce bac blanc est destiné aux élèves du lycée privé Oum-Er-Rabiaa à El-Jadida.

1. Bac blanc 5 de Mathématiques : 2BAC PC
BIOF : lycée prive Oum-Errabiaa à El-Jadida
Prof : ENNAJI AHMED
Exercice 1 : 8pts
I-soit    2
2 4 2ln 1g x x x x     définie sur I= 1; 
1-montrer que  
 2
1: '
1
x x
x g x
x

  

2-donner le tableau de variation de g sur I= 1;  sans calculer les limites aux
bornes de I.
3-endeduire que    1; : 0x g x   
II-soit  
 1 2ln 1
1
x
f x x
x
 
 

définie sur I= 1; 
1-montrer que  1
lim
x
f x

  et interpréter ce résultat géométriquement
2-montrer que  lim
x
f x

  et calculer   lim
x
f x x

 en déduire que la droite
 : y x  est une asymptote à la courbe  fC au voisinage de 
3-resoudre dans I. l’équation :  1 2ln 1 0x   et étudier la position de fC par
rapport à  
4-montrer que  
 
 21: '
1
g x
x f x
x
  

5-donner le tableau de variation de f
6-montrer que l’équation   0f x  admet une solution unique  dans l’intervalle
 1;  et que
1
0;
2

 
  
7-construire la courbe  fC dans un repère orthonormé  ; ;O i j (unité .: 2cm).
8-on admet que la droite   3
2
:T y x
e
  est une tangente à  fC au point
d’abscisse 0x . Déterminer la valeur de 0x

2. 9-resoudre graphiquement l’équation  f x x m telque m IR  
III-soit      
2
2
ln 1 ln 1
2
x
F x x x     définie sur I= 1; 
a-montrer que F est une primitive de f sur I
b-calculer l’aire de la partie du plan limitée par  fC l’axe des abscisses, les
droites d’équations 0 1x et x  .
Exercice 2 : 3pts
1-Soit  nu une suite définie par : 1 0
4
: 1
1
n
n
n
u
n IN u et u
u   

a-montrer par récurrence que : :0 3nn IN u 
b-étudier la monotonie de la suite nu
c-en déduire que la suite  nu est convergente
2-soit la suite  nv définie par :
3
: 1n
n
n IN v
u
   
a-montrer que la suite nv est géométrique de raison
1
4
b-écrire nv en fonction de n et déduire nu en fonction de n et calculer lim n
n
u

3-soitla suite  nw définie par :
3
: n
n
n IN w
u
   et on pose
0
n
n k
k
s w

 
a-montrer que : 1n nn IN w v   
b-montrer que
1
8 1
: 1 1
3 4
n
nn IN s n

  
          
et calculer lim n
n
s

Exercice 3 : 3pts
L’espace rapporte à un repère orthonormé direct ; ; ;O i j k . On considère les
points        2;2;8 ; 6;6;0 ; 2; 1;0 0;1; 1A B C et D   et (S) l’ensemble des points M
de l’espace tel que : . 0MAMB 
1-calculer le triplet des coordonnées du vecteur OC OD
2-en déduire que : 2 2 0x y z   est l’équation cartésienne du plan (OCD)

3. 3-verifier que (S) est la sphère de centre  2;4;4 et de rayon 6.
4-verifier que la sphère (S) est tangente au plan (OCD).
6-calculer .OAOBet déduire que O est le point d’intersection de (S) et (OCD).
Exercice 4 : 3pts
On considère une urne contenant 10 boules qui portent les nombres suivants 1 ;
2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4. Ces boules sont indiscernables au toucher. On
considère l’expérience suivante. On tire au hasard successivement et sans remise
deux boules de cette urne.
1-Soit A l évènements suivant : les deux boules tirées portent de nombres pairs
Montrer que  
1
3
p A 
2-On répète l’expérience précédente trois fois de suite tel que .on repose les
deux boules tirées dans l’urne après chaque expérience.
2-Soit X la variable aléatoire qui est égal au nombre de fois de réalisation de
l’évènement A.
a-montrer que :  
4
1
9
p X   et que  
8
3
15
p X  
b- donner la loi de probabilité
Exercice 5 : 3pts
1-resoudre dans l’équation suivante :
2
2 3 4 0z z  
2-On considère dans le plan complexe rapporte au repère orthonormé  ; ;O u v les
points : A ; B ; C d’affixes respectifs :
   3 ; 3 1 3 1 ; 1 3a i b i c i       
1-verifier que c ia en déduire que    : ; 2
2
OA OC et que OA OC

 
2- montrer que B est l’image de A par la translation de vecteurOC
3-verifier que  1b i a  en déduire que :  
5
2 2 arg 2
12
b et b

 
4-en déduire que :
5 6 2
cos
12 4
  
 
 