FOIS

1. ECS1 DS no 6 (Concours Blanc) 25 mai 2021, 4h
Les calculatrices sont interdites. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements
seront prises en compte de manière importante dans l'appréciation des copies.
Exercice 1.
Soit n un entier naturel non nul. Soit fn la fonction dénie sur R+ par : ∀x ∈ R+, fn(x) = 1 − x − xn.
1. Montrer que l'équation fn(x) = 0 d'inconnue x possède une seule solution, notée un.
2. (a) Vérier que un appartient à ]0, 1[.
(b) En déduire le signe de fn+1(un) puis établir que la suite (un) est croissante.
(c) Conclure que la suite (un) converge et que sa limite appartient à [0, 1].
(d) Montrer par l'absurde que lim
n→+∞
un = 1.
3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose vn = 1 − un.
(a) Justier que vn est strictement positif, puis montrer que ln(vn) ∼ −nvn.
(b) Établir que lim
n→+∞
ln
− ln(vn)
nvn
− ln(vn)
= 0 et en déduire que : ln(vn) ∼ − ln(n).
(c) Montrer enn que : vn ∼ ln(n)
n .
4. Donner la nature des séries de termes généraux vn et v2
n.
Exercice 2.
Soit E = R3[X] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à 3.
1. Soit f l'application dénie sur E qui associe à tout polynôme P ∈ E, le polynôme f(P) déni
par :
f(P)(X) = −3XP(X) + X2
P0
(X), où P0
est la dérivée du polynôme P.
(a) Rappeler la base canonique de E, et en déduire dim(E).
(b) Montrer que f est un endomorphisme de E.
(c) Déterminer la matrice M de f dans 1a base canonique de E.
(d) La matrice M est-elle inversible? Calculer Mn pour tout n ∈ N∗.
(e) Déterminer une base de Ker(f).
(f) Déterminer une base de Im(f).
2. On note idE l'endomorphisme identité de E et 0E l'endomorphisme nul. Pour tout endomor-
phisme v de E, on pose v0 = idE et pour tout k ∈ N∗, vk = v ◦ vk−1.
Soit u un endomorphisme de E tel que u4 = 0E et u3 6= 0E. On pose g = idE + u + u2 + u3.
(a) Soit P un polynôme de E tel que P /
∈ Ker(u3). Montrer que la famille (P, u(P), u2(P), u3(P))
est une base de E.
(b) Déterminer la matrice de l'endomorphisme g dans cette base.
(c) Montrer que g est un automorphisme de E. Déterminer sa réciproque g−1 en fonction de u.
(d) Établir l'égalité Ker(g − idE) = Ker(u).
(e) Montrer que pour tout λ 6= 1, Ker(g − λidE) = {0}.

2. ECS1 DS no 6 (Concours Blanc), Page 2 sur 3 25 mai 2021, 4h
Exercice 3.
Pour tout x et y réels strictement positifs, on pose B(x, y) =
Z 1
0
tx−1
(1−t)y−1
dt et Γ(x) =
Z +∞
0
tx−1
e−t
dt.
1. Prouver la convergence des intégrales dénissant B(x, y) et Γ(x).
2. Prouver que ∀x 0, ∀y 0, B(x, y) = B(y, x).
3. (a) Montrer que ∀x 0, ∀y 0, B(x + 1, y) =
x
y
B(x, y + 1).
(b) Montrer que ∀x 0, ∀y 0, B(x, y + 1) = B(x, y) − B(x + 1, y). En déduire que :
B(x + 1, y) =
x
x + y
B(x, y).
(c) Montrer que ∀x 0, ∀n ∈ N, B(x, n + 1) =
n!
x(x + 1) . . . (x + n)
.
4. Soit n un entier naturel non nul. Soit x un réel strictement positif.
(a) Étudier le signe sur [0, 1] de la fonction g : t 7→ e−t − 1 + t. En déduire que pour tout
t ∈ [0, n],
1 −
t
n
n
6 e−t
.
(b) On admet que pour tout t ∈ [0, n],
1 −
t2
n
e−t 6
1 −
t
n
n
. Montrer que :
lim
n→∞
Z n
0
1 −
t
n
n
tx−1
dt = Γ(x).
5. Montrer que :
∀x 0, Γ(x) = lim
n→∞
nxn!
x(x + 1) . . . (x + n)
.
Exercice 4.
Soit f un endomorphisme de Rn.
1. Dans cette question f ◦ (f − Id)2 = 0, où Id désigne l'endomorphisme identité de Rn.
(a) Déterminer (f − Id)2 + f ◦ (2Id − f).
(b) En déduire que : ∀x ∈ Rn, x = (f − Id)2(x) + (f ◦ (2Id − f)) (x).
(c) Utiliser ce dernier résultat pour établir que Rn = Ker(f) ⊕ Im(f).
2. Dans cette question f ◦ (f − Id) ◦ (f − 4Id) = 0.
(a) Déterminer un polynôme P du premier degré vériant : 1
4(X − 1)(X − 4) + XP(X) = 1.
(b) En déduire que : Rn = Ker(f) ⊕ Im(f).
3. Dans cette question P est un polynôme annulateur de f, dont le degré est égal à p (avec p 2),
et tel que P(0) = 0 et P0(0) 6= 0.
(a) Montrer qu'il existe p réels a1, . . . , ap avec a1 6= 0, tels que P(X) = a1X + · · · + apXp.
(b) En déduire que Ker(f) ∩ Im(f) = {0}, puis établir que Rn = Ker(f) ⊕ Im(f).
(c) En quoi cette question est-elle une généralisation des deux questions précédentes?

3. ECS1 DS no 6 (Concours Blanc), Page 3 sur 3 25 mai 2021, 4h
Exercice 5.
Un mobile se déplace aléatoirement sur un axe dont l'origine est le point O d'abscisse 0. Au départ
(instant 0), le mobile est situé sur le point O. Le mobile se déplace selon la règle suivante : à l'instant
n (n ∈ N∗), il se place de façon équiprobable, sur l'un des points d'abscisses 0, 1, .. . , n.
Pour tout entier naturel n, on note Xn l'abscisse de ce point à l'instant n (on a donc X0 = 0).
On admet que Xn est une variable aléatoire dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) que l'on ne
cherchera pas à déterminer.
1. (a) Déterminer, pour tout entier naturel n non nul, la loi de Xn.
(b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, Xn possède une espérance et une variance,
puis déterminer E(Xn) et V (Xn).
2. On note Y le rang du premier retour à l'origine du mobile et on admet que Y est une variable
aléatoire dénie, elle aussi, sur (Ω, A, P).
(a) Pour tout entier naturel n non nul, exprimer l'événement [Y = n] à l'aide des variables
aléatoires X1, X2, .. . , Xn.
(b) En déduire que la loi de Y est dénie par : ∀n ∈ N∗ , P(Y = n) = 1
n(n+1) .
(c) Vérier par le calcul que l'on a :
P+∞
n=1 P(Y = n) = 1.
(d) La variable Y admet-elle une espérance ?
3. On note Z le rang du deuxième retour à l'origine du mobile et on admet que Z est une variable
aléatoire, dénie, elle aussi, sur (Ω, A, P).
(a) Déterminer pour tout i j, la probabilité P[Y =i](Z = j).
(b) Établir que : ∀i 6 j − 1, P[Y =i](Z = j) = i+1
j(j+1).
(c) Écrire, pour tout entier naturel j supérieur ou égal à 2, la probabilité P(Z = j) comme une
somme nie.
(d) La variable aléatoire Z possède-t-elle une espérance?
4. (a) Écrire des commandes Scilab calculant et achant la valeur de l'abscisse du mobile après
son n-ième déplacement, lorsque la valeur de n est entrée au clavier par l'utilisateur.
(b) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il permette d'acher dans cet ordre les valeurs
prises par les variables aléatoires Y et Z.
n=0; a=0 ;
while a2
n=n+1
if grand(1,1,`uin',0,n)==0 then a=a+1
if a==1 then y=n, end
end
end
disp(---,`y=') ; disp(---,`z=') ;