Le document aborde divers sujets mathématiques, notamment des séries réelles semi-convergentes, des développements asymptotiques, l'inégalité de Jensen, et le théorème de Weierstrass. Il inclut des démonstrations et calculs liés à des fonctions définies par intégrales, ainsi qu'à des propriétés des polynômes et de la continuité. Plusieurs problèmes de mathématiques avancées sont proposés, avec des instructions spécifiques pour chaque exercice.

1. 1. Questions de cours
(a) Formule de Taylor avec reste int´gral
e
(b) Continuit´ et d´rivabilit´ d’une int´grale d´pendant d’un param`tre
e
e
e
e
e
e
(c) Sommes de Riemann d’une fonction continue
2. Soit
un une s´rie r´elle semi-convergente (ie convergente sans ˆtre absolument convergente). Soit l ∈ R.
e
e
e
Montrer qu’il existe une permutation ϕ : N → N telle que
uϕ(n) converge vers l.
1
1
3. Faire un d´veloppement asymptotique ` l’ordre 3 des nombres harmoniques Hn = 1 + 2 + . . . + n .
e
a
4. In´galit´ de Jensen
e
e
1
Soit ϕ : R → R une fonction convexe continue, f : [0,1] → R une fonction continue. Comparer 0 ϕ(f (t))dt
1
et ϕ( 0 f (t)dt).
b
5. Soit n ∈ N∗ et f ∈ C 0 ([a,b[,R) telle que : ∀k ∈ N, k ≤ n, on ait : a tk f (t)dt = 0. Montrer que f admet au
moins n + 1 z´ros sur ]a,b[.
e
6. Lemme d’Hadamard
Soit f ∈ C ∞ (R,R). On d´finit g par : ∀x ∈ R∗ , g(x) = f (x)−f (0) , g(0) = f (0). Montrer que g est de classe
e
x
C ∞ sur R, et pr´ciser les d´riv´ees successives en 0.
e
e e
7. Pour tout a ∈] − 1, + ∞[, calculer :
π
2
F (a) =
0
ln(1 + a cos x)
dx.
cos x
8. Irrationnalit´ de π 2
e
(a) Soit g : R → R une fonction polynˆme ` coefficients entiers. On consid`re la fonction polynˆme
o
a
e
o
n
g(x)
h : x → x n! . Montrer que : ∀k ∈ N, h(k) (0) est entier.
(b) On suppose que π 2 est rationnel, ie π 2 = a/b, o` a et b sont des entiers. On pose :
u
fn : [0,1] → R
n
n .
x → x (1−x)
n!
1
Pour tout n ∈ N∗ , montrer que In = πan 0 fn (x) sin(πx)dx est un entier. Conclure.
9. Etude d’une fonction d´finie par une int´grale
e
e
x2 dt
On pose f (x) = x ln t .
- Domaine de d´finition de f ?
e
- D´riv´e de f , sens de variation.
e e
- Etude au voisinage du point 1 : continuit´? d´rivabilit´?
e e
e
- Mˆme ´tude en 0.
e
e
- Limite de f en +∞.
- Graphe de la fonction f .
1

2. 10. Th´or`me de Weierstrass : une preuve par la convolution
e e
On note E l’ev des fonction continues de R dans R et nulles en dehors d’un compact. On munit E du produit
de convolution en d´finissant, pour tout (f,g) ∈ E 2 la convol´e :
e
e
f
g: R → R
+∞
x → −∞ f (x − t)g(t)dt
(on pourra remarquer que l’int´grale est en fait ` borne finies)
e
a
(a) Montrer que la loi est commutative, et distributive par rapport ` l’addition.
a
(b) Que dire de la r´gularit´ de f g si :
e
e
- f et g sont continues.
- Une des deux fonctions est continue, et l’autre est C k .
(c) On appelle approximation de l’identit´ toute suite (χn ) de fonctions de E positives v´rifiant :
e
e
+∞
χn (t)dt = 1, et ∀α > 0
−∞
Soit f ∈ E. Montrer que la suite de fonctions (f
(d) Pour tout n ∈ N, on pose :
lim
n→+∞
χn ) converge uniform´ment vers f sur R.
e
1
(1 − t2 )n dt, pn : R → R t →
an =
−1
χn (t)dt = 0.
|t|>α
(1 − t2 )n /an
0
si |t| < 1
sinon.
Montrer que pn est une approximation de l’identit´. Montrer que si f est nulle en dehors de I =
e
[−1/2,1/2], f pn est une fonction polynˆme sur I.
o
(e) En d´duire le th´or`me de Weierstrass : si J est un segment de R et si f : J → R est continue, alors f
e
e e
est limite uniforme sur J d’une suite de fonctions polynˆmes.
o
1
(f) Application : Soit f : [0,1] → R une fonction continue, telle que, ∀n ∈ N, 0 f (t)tn dt = 0. Montrer que
f est la fonction nulle.
(g) Que dire d’une fonction f qui serait limite uniforme d’une suite de fonctions polynˆmes sur R.
o
2