Le document traite des séries de Fourier, en explorant leur convergence et leur application à des fonctions périodiques comme la fonction carrée. Il décrit les coefficients de Fourier, leur calcul, et les propriétés de périodicité des fonctions associées. Enfin, il aborde la représentation de différentes fonctions par ces séries et discute du phénomène de Gibbs.

1. Les séries de Fourier

2. Plan
Introduction
Approche avec des séries trigonométriques
Exemple : Fonction carrée
Approche avec les séries complexes
Convergence des séries de Fourier

3. Superposition d’ondes

4. Superposition d’ondes
Harmoniques
• Différences de
fréquences
• Décallages de
phase
• Différences
d’amplitude

5. Comment retrouver les différentes
fréquences et décalages qui
composent un signal harmonique?

6. Expression générale du mouvement
harmonique
y(x, t) = A sin( 2πx −
λ
2πt
T + φ)
o` y est le d´placement p´riodique de la vibration de l’objet , λ la p´riode dans
u e e e
l’espace , T la p´riode dans le temps et φ la phase. Fixons la variable x, nous
e
avons ici une fonction f (t) p´riodique de p´riode T .
e e
f (t) = A sin( 2πn t + φ)
T

7. Somme d’harmoniques
La somme finie, constitu´e des harmoniques de la p´riode fondamentale T
e e
N
2πn
est An sin( t + φn )
n=1
T
2πn 2πn 2πn
An sin( t + φn ) = An (sin( t) cos(φn ) + cos( t) sin(φn ))
T T T
2πn 2πn
= An sin(φn ) cos( t) + An cos(φn ) sin( t)
T T
on pose an = An sin(φn ) et bn = An cos(φn )
2πn 2πn
= an cos( t) + bn sin( t)
T T
a0
Et un terme constant
2
N
a0 2πn 2πn
+ (an cos( t) + bn sin( t))
2 n=1
T T

8. Périodicité
Une fonction est p´riodique de p´riode p s’il existe un nombre r´el positif le
e e e
plus petit possible p tel que f (x) = f (x + p)
Est-ce que la somme des fonctions p´riodiques est une fonction p´riodique ?
e e
Si oui, quelle est sa p´riode ?
e
Exemple 1:
1
s(x) = sin(4x) + sin(x) + sin( x) est bien p´riodique de 4π.
e
4
Exemple 2 :
s(x) = sin x + sin(πx) n’est pas p´riodique.
e

9. Lemme sur la périodicité à propos de l’intégrale
Soit f une fonction continue par morceau p´riodique de T .
e
a+T
L’int´grale
e f (x) dx ne d´pend pas du r´el a.
e e
a
En autres mots,
a+T T T
2
f (x) dx = f (x) dx = f (x) dx = · · ·
−T
a 0 2
D´monstration : Par l’additivit´ de l’int´grale,
e e e
a+T 0 T a+T
f (x) dx = f (x) dx + f (x) dx + f (x) dx
a a 0 T
Posons x = y + T ⇒ dx = dy
a+T a a
f (x) dx = f (y + t) dy = f (y) dy
T 0 0
0 a
Constatons que f (x) dx + f (y) dy = 0,
a+T a T 0
Donc f (x) dx = f (x) dx qui est ind´pendante de a
e
a 0

10. Série de Fourier d’une fonction périodique 2π
N
a0
f (x) = 2 + (an cos(nx) + bn sin(nx))
n=1
Quelles sont les expressions de a0 , an et bn ?
Pour les trouver, calculons d’abord (o` n, k ∈ Z)
u
π
• cos nx cos kx dx
−π
π
• sin nx sin kx dx
−π
π
• cos(nx) sin(kx) dx
−π

11. Si n = k:
π π
cos nx cos kx dx = 2 cos nx cos kx dx
−π 0
π
1
=2 (cos((n + k)x) + cos((n − k)x) dx
0 2
1 1
=( sin((n + k)x) + sin((n − k)x))|π
0
n+k n−k
1 1
=( sin((n + k)π) + sin((n − k)π)
n+k n−k
=0
π π
sin nx sin kx dx = 2 sin nx sin kx dx
−π 0
π
−1
=2 (cos((n + k)x) − cos((n − k)x) dx
0 2
−1 −1
=( sin((n + k)x) − sin((n − k)x))|π
0
n+k n−k
−1 −1
=( sin((n + k)π) − sin((n − k)π)
n+k n−k
=0

12. Si n = k
π π
cos nx cos kx dx = 2 cos2 nx dx
−π 0
π
1 + cos(2nx)
=2 dx
0 2
1 1
= 2( x + sin(2nx))|π
0
2 4n
1 1
= 2( π + sin(2nπ))
2 4n
=π
π π
sin nx sin kx dx = 2 sin2 nx dx
−π 0
π
1 − cos(2nx)
=2 dx
0 2
1 1
= 2( x − sin(2nx))|π
0
2 4n
1 1
= 2( π − sin(2nπ))
2 4n
=π

13. cos(nx) sin(kx) est impaire car
cos(nx) sin(kx) = − cos(−nx) sin(−kx)
π
cos(nx) sin(kx) dx = 0
−π

14. En r´sum´, pour n, k ∈ Z
e e
π
0 si n = k
cos nx cos kx dx =
π si n = k
−π
π
0 si n = k
sin nx sin kx dx =
−π π si n = k
π
cos(nx) sin(kx) dx = 0
−π

15. N
a0
Supposons que f (x) = + (an cos(nx) + bn sin(nx))
2 n=1
π π π N
a0
f (x) dx = dx + (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx
−π −π 2 −π n=1
π
N π
N π
a0
= dx + an cos(nx) dx + bn sin(nx) dx
−π 2 n=1 −π n=1 −π
N
an N
−bn
a0 π
= x|−π + sin(nx)|π +
−π cos(nx)|π
−π
2 n=1
n n=1
n
a0
= × 2π
2
= a0 π
π
1
a0 = f (x) dx
π −π

16. Pour an , multiplions par cos(kx) o` k est un entier positif, puis prenons
u
l’int´grale.
e
N
a0
f (x) cos(kx) = cos(kx) + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx))
2 n=1
π π π N
a0
f (x) cos(kx) dx = cos(kx) dx + (an cos(nx) cos(kx) + bn sin(nx) cos(kx)) dx
−π −π 2 −π n=1
π
N π
N π
a0
= cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx
−π 2 n=1 −π n=1 −π
π N
π N
π
a0
= cos(kx) dx + an cos(nx) cos(kx) dx + bn sin(nx) cos(kx) dx
2 −π n=1 −π n=1 −π
parmi les termes n, il existe un n ´gal ` k tel que
e a
π
N N π π
an cos(nx) cos(kx) dx = an cos(nx) cos(kx) dx+ak cos2 (kx) dx
n=1 −π n=1,n=k −π −π
π
f (x) cos(kx) dx = ak π
−π π
1
an = f (x) cos(nx) dx
π −π

17. Pour bn , faisons le mˆme proc´d´ mais avec sin(kx) o` k est un entier positif
e e e u
N
a0
f (x) sin(kx) = sin(kx) + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx))
2 n=1
π π π N
a0
f (x) sin(kx) dx = sin(kx) dx + (an cos(nx) sin(kx) + bn sin(nx) sin(kx)) dx
−π −π 2 −π n=1
π
N π
N π
a0
= sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx
−π 2 n=1 −π n=1 −π
π N
π N
π
a0
= sin(kx) dx + an cos(nx) sin(kx) dx + bn sin(nx) sin(kx) dx
2 −π n=1 −π n=1 −π
N
π N
π π
puisque bn sin(nx) sin(kx) dx = bn sin(nx) sin(kx) dx+bk sin2 (kx) dx
n=1 −π n=1,n=k −π −π
π
Alors f (x) sin(kx) dx = bk π
−π π
1
bn = f (x) sin(nx) dx
π −π

18. En résumé
Soit f une fonction p´riodique de p´riode 2π, si elle peut s’´crire sous forme
e e e
de s´rie de Fourier,
e
N
a0
+ (an cos(nx) + bn sin(nx))
2 n=1
Alors,
1 π
a0 = f (x) dx
π −π
π
1
an = f (x) cos(nx) dx
π −π
π
1
bn = f (x) sin(nx) dx
π −π

19. Exemple concret : la
fonction carrée

20. Fonction carr´e p´riodique de 2π, d´finie dans R comme :
e e e
1 si 2kπ ≤ x (2k + 1)π
f (x) =
−1 si (2k + 1)π ≤ x 2kπ

21. Calculons les coefficients

22. N
a0
+ (an cos(nx) + bn sin(nx)).
2 n=1
0 π
1
a0 = ( f (x) dx + f (x) dx)
π −π 0
0 π
1
= ( −1 dx + 1 dx)
π −π 0
1
= (π − π) = 0
π
1 π
an = f (x) cos(nx) dx
π −π
0 π
1
= ( − cos(nx) dx + cos(nx) dx)
π −π 0
1 −1 1
= ( sin(nx)|−π + sin(nx)|π )
0
0
π n n
1 −1 1
= ( (sin(0) − sin(−nπ)) + (sin(nπ) − sin(0)))
π n n
=0

23. π
1
bn = f (x) sin(nx) dx
π −π
0 π
1
= ( − sin(nx) dx + sin(nx) dx)
π −π 0
1 1 0 −1
= ( cos(nx)|−π + cos(nx)|π )
0
π n n
1 1 −1
= ( (cos(0) − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − cos(0)))
π n n
1 1 −1
= ( (1 − cos(−nπ)) + (cos(nπ) − 1))
π n n
2
= (1 − cos(nπ))
nπ
bn d´pend de la parit´ de n.
e e
2 1
Si n = 2k alors (1 − cos(nπ)) = (1 − cos(2kπ)) = 0
nπ kπ
2 2 4
Si n = 2k+1, alors (1−cos(nπ)) = (1−cos((2k+1)π)) =
nπ (2k + 1)π (2k + 1)π
0 si n est un entier pair
Donc on a bn = 4
si n est un entier impair
nπ

24. Nous avons donc trouv´ que la s´rie de Fourier de f (x) est
e e
N
4
sin((2k + 1)x)
(2k + 1)π
k=0
Deux questions se posent :
Combien de termes doit-on additionner afin d’obtenir exactement le graphe de
la fonction d´sir´e?
e e
Comment peut-on construire une fonction discontinue ` chaque x = kπ (o` k
a u
est un entier) ` l’aide de la somme de fonctions continues en tout point dans R?
a

25. N=1
N=5
N=11
N= 49

26. Phénomène de Gibbs

27. Conclusion
Plus le nombre N croˆ plus la fonction a l’air de coller au graphe de la
ıt,
fonction carr´e. De cette id´e intuitive, on peut d´duire que la s´rie de Fourier
e e e e
∞
4
associ´e ` cette fonction carr´e f (x) est
e a e sin((2k + 1)x)
(2k + 1)π
k=0

28. Pourquoi la s´rie est compos´e seulement de termes de sinus?
e e
Si une fonction est paire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de cosinus.
e
Si une fonction est impaire, alors sa s´rie de Fourier est une somme de sinus.
e

29. D´monstration : Si f (x) est paire, alors f (x) sin nx est impaire et f (x) cos nx
e
est paire.
π
2
a0 = f (x) dx
π 0
π
2
an = f (x) cos(nx) dx
π 0
π
1
bn = f (x) sin(nx) dx = 0
π −π
Si f (x) est impaire, alors f (x) sin nx est paire et f (x) cos nx est impaire.
π
1
a0 = f (x) dx = 0
π −π
π
1
an = f (x) cos(nx) dx = 0
π −π
π
2
bn = f (x) sin(nx) dx
π 0

30. Par cons´quent,
e
∞
a0
Si f (x) paire, la s´rie =
e + an cos(nx)
2 n=1
∞
Si f (x) impaire, la s´rie =
e bn sin(nx)
n=1

31. Une ´criture plus g´n´rale.
e e e
Si une fonction f (x) p´riodique de p´riode 2π peut ˆtre ´crite sous forme de
e e e e
s´rie de Fourier, alors cette s´rie est ´gale `
e e e a
∞
a0
+ (an cos(nx) + bn sin(nx))
2 n=1

32. Et pour une période quelconque ?
Soit une fonction f (x) p´riodique de p´riode T quelconque, quelle est sa
e e
s´rie de Fourier ?
e
T T
changement de variable x = u tel que f ( u) soit p´riodique de periode 2π.
e
2π 2π
Ainsi on a
∞
T a0
f ( u) = + (an cos nu + bn sin nu)
2π 2 n=1
T T
On applique le changement de variable x = 2π u ⇒ dx = 2π du
π
1 T
a0 = f ( u) du
π −π 2π
T
1 2 2π
= f (x) dx
π −T 2
T
T T
2 2 2
= f (x) dx = f (x) dx
T −T 2
T 0

33. 1 π T
an = f ( u) cos(nu) du
π −π 2π
T
1 2 2πnx 2π
= f (x) cos( ) dx
π −T 2
T T
T T
2 2 2πnx 2 2πn
= f (x)cos( ) dx = f (x) cos( ) dx
T −T 2
T T 0 T
1 π T
bn = f ( u) sin(nu) du
π −π 2π
T
1 2 2πnx 2π
= f (x) sin( ) dx
π −T 2
T T
T T
2 2 2πnx 2 2πn
= f (x) sin( ) dx = f (x) sin( ) dx
T −T 2
T T 0 T
Et la s´rie de Fourier d’une fonction de p´riode quelconque T est
e e
∞
a0 2πn 2πn
+ (an cos x + bn sin x)
2 n=1
T T

34. Démonstration logicielle

35. Approche complexe des
séries de Fourier

36. Une autre ´criture de la s´rie de Fourier
e e
La relation d’Euler: eiπ + 1 = 0
De mani`re plus g´n´rale,
e e e
eiθ = cos θ + i sin θ
Comme corollaire
eiθ + e−iθ
cos θ =
2
eiθ − e−iθ
sin θ =
2i

37. a0
Sans se pr´occuper du terme constant , on peut remplacer ces expressions
e
2
dans la s´rie de Fourier trigonom´trique.
e e
∞
∞
einx + e−inx einx − e−inx
(an cos(nx) + bn sin(nx)) = (an + bn )
n=1 n=1
2 2i
∞
an
−inx ibn inx
= ( (e inx
+e )− (e − e−inx ))
n=1
2 2
∞
∞
inx an ibn −inx an ibn
= e ( − )+ e ( + )
n=1
2 2 n=1
2 2
∞
−1
inx an ibn inx a−n ib−n
= e ( − )+ e ( + )
n=1
2 2 n=−∞
2 2

38. Puisque la s´rie trigonom´trique donne une fonction r´elle, alors la somme
e e e
de ces deux sommes doit aussi donner quelque chose de r´el. La somme des
e
deux doit donc satisfaire la sym´trie complexe:
e
si on veut que la somme de deux nombres complexes soit un nombre r´el il faut
e
alors que si l’un est z, l’autre soit son conjugu´ z.
e
an − ibn a−n − ib−n
On pose que Cn = , donc C−n = , alors on a besoin que
2 2
an + ibn
le terme correspondant de Cn soit Cn = et que celui de C−n soit
2
a−n + ib−n
C−n =
2

39. La relation entre les constantes trigonom´triques et a−n et b−n .
e
π
1
a−n = f (x) cos(−nx) dx
π −π
π
1
= f (x) cos(nx) dx
π −π
= an
π
1
b−n = f (x) sin(−nx) dx
π −π
π
1
=− f (x) sin(nx) dx
π −π
= −bn

40. Par ces deux relations, nous pouvons constater que,
a−n − ib−n
C−n =
2
an + ibn
=
2
an − ibn
=
2
= Cn
Ceci nous montre bien que la somme des deux est bien r´elle puisqu’elles satis-
e
font Cn = C−n .
il nous manque le terme n = 0.
Puisqu’on sait que Cn = C−n , alors C0 = C−0 = C0 . Ca montre que C0 est un
a0
terme toujours r´el :
e
2

41. Finalement, continuons notre raisonnement, et posons
an − ibn a−n + ib−n
Cn = et Cn =
2 2
∞
∞
−1
a0 a0 inx an − ibn inx a−n + ib−n
+ (an cos(nx) + bn sin(nx)) = + e ( )+ e ( )
2 n=1
2 n=1
2 n=−∞
2
∞
−1
a0
= + Cn einx + Cn einx
2 n=1 n=−∞
et Cn = C−n et C0 = C−0 = C0 , donc
∞
= Cn einx
n−∞

42. Nous avons donc que si une fonction peut ˆtre ´crite sous forme de s´rie de
e e e
Fourier exponentielle, alors sa s´rie de Fourier serait
e
∞
Cn einx
n=−∞

43. Quelle est l’expression du coefficient Cn ?
an − ibn
Cn =
2
an − ibn
Cn =
2 π
π
1 1 i
= ( f (x) cos(nx) dx − f (x) sin(nx) dx)
2 π −π π −π
π
1
= f (x)(cos(nx) − isin(nx)) dx
2π −π
Par la relation d’Euler, on peut voir directement que
cos(nx) − isin(nx) = e−inx , donc
π
1
= f (x)e−inx dx
2π −π

44. Une autre m´thode:
e
Soit f p´riodique de 2π et supposons que
e
∞
f (x) = Cn einx
n=−∞
multiplions par e−ikx o` k est un entier
u
∞
f (x)e−ikx = e−ikx Cn einx
−∞
∞
e−ikx Cn einx = e−ikx (· · · + C−2 e−2ix + · · · + C1 eix + · · · + Ck eikx + · · · )
n=−∞
∞
= Cn ei(n−k)x + Ck
n=−∞,n=k
∞
Ck = − Cn ei(n−k)x + f (x)e−ikx
n=−∞n=k

45. Prenons int´grale sur une p´riode,
e e
π π π ∞
Ck , dx = f (x)e−ikx dx − Cn ei(n−k)x dx
−π −π −π n=−∞,n=k
prenons un terme de la somme que nous devons int´grer,
e
π π
Cn eix(n−k) dx = Cn eix(n−k) dx
−π −π
Cn
= ei(n−k)x |π
−π
i(n − k)
Cn
= (eiπ(n−k) − e−iπ(n−k) )
i(n − k)
= 0 (car eiπm = 1 pour un nombre m entier)

46. Finalement,
π π
Ck dx = f (x)e−ikx dx
−π −π
π
πCk = f (x)e−ikx dx
−π
∞
Si f (x) = Cn einx
−∞
π
1
Cn = f (x)e−inx dx
2π −π

47. Pour une p´riode quelconque ?
e
La s´rie de Fourier d’une fonction f (x) de p´riode quelconque T .
e e
T T
On pose x = u pour rendre f ( u) p´riodique de 2π.
e
2π 2π
∞
2πinx
Cn e T
n=−∞
o` le coefficient de Fourier
u
T
1 2 −2πinx
Cn = f (x)e T dx
T −T
2
ou
T
1 −2πinx
Cn = f (x)e T dx
T 0

48. Convergence
Simple

49. Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I, et
e
f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge simplement vers f sur I si ∀x ∈ I, la
e
suite (fn (x)) converge vers f (x). Autrement dit :
∀x ∈ I, ∀ 0, ∃n0 (, x) ∈ N, ∀n ≥ n0 ⇒ |fn (x) − f (x)|
O` la notation (, x) signifie que le choix du n0 d´pend et de , et du x
u e
d´termin´.
e e

50. Exemple 1 : Soit sur [0, 1], fn (x) = xn . Il est clair que la fonction fn
converge simplement vers la fonction d´finie par f (x) = 0 si x est dans [0, 1[ et
e
f (1) = 1.
MAIS la continuit´ n’est pas toujours pr´serv´e par la convergence simple. 1`re
e e e e
insuffisance.

51. Exemple 2 Soit la suite de fonctions d´finie sur [0,1] par
e
 2 1

fn (x) = n x, 0 ≤ x ≤ 2n
 fn (x) = n2 ( 1 − x), 1
≤x≤ n  1
n 2n
1
fn (x) = 0, x≥ n
1
Soit x 0. n → 0 lorsque n → ∞, donc ` partir d’un certain rang N ,
a
1
on a : n x. Donc ` partir du mˆme rang N , fn (x) = 0 et donc fn (x) → 0
a e
lorsque n → ∞.
Ainsi, la suite (fn (x)) converge simplement vers la fonction nulle sur [0,1].

52. 1 1
2n
1
n
fn (x) = n2 xdx + n − n2 xdx = 1/4 (Ind´pendant de n)
e
1
0 0
1 1 2n 1
→ lim fn (x)dx = lim fn (x)dx = f (x)dx = 0.
n→∞ 0 0 n→∞ 0
Ces deux insuffisances motivent une nouvelle notion : la convergence uni-
forme.

53. Convergence
Uniforme

54. D´finition : Soient I un intervalle de R, (fn )n∈Z une suite de fonctions
e
d´finies sur I, et f d´finie sur I. On dit que (fn ) converge uniform´ment vers f
e e e
sur I si :
∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)| .

55. Toute suite de fonctions qui converge uniform´ment converge simplement.
e
R´solution de la seconde insuffisance :
e
Majoration par la d´finition de convergence uniforme :
e
b
|fn x − f (x)|dx ≤ (b − a)max|fn − f |
a
Quand n tend vers l’infini, le second membre tend vers 0, d’o` le premier
u
´galement - du fait de la valeur absolu - et
e
b b
lim fn (x)dx = f (x)dx
n→∞ a a

56. R´solution de la premi`re insuffisance :
e e
Nous savons que
∀ 0, ∃n0 () ∈ N, ∀x ∈ I, ∀n ≥ n0 , |fn (x) − f (x)|
Prenons x0 ∈ I (n’importe lequel), qui r´pond donc ` l’in´galit´, et fixons un
e a e e
nombre entier N qui caract´rise la fonction fN . Nous savons d’autre part que
e
(fN ) est continue en x0 , donc
∀x ∈ I, ∃δ(, x) 0, |x − x0 | δ ⇒ |fN (x) − fN (x0 )|
Et par l’in´galit´ triangulaire :
e e
|f (x) − f (x0 )| |f (x) − fN (x)| + |fN (x) − fN (x0 )| + |fN x0 − f (x0 )| 3.

57. Convergence
Normale

58. Soient I un intervalle de R et (fn )n∈Z une suite de fonctions d´finies sur I.
e
∞
On dit que (fn ) converge normalement sur I si la s´rie
e sup|fn (x)|, x ∈ I est
n≥0
convergente.
La convergence normale est encore plus exigeante que la convergence uni-
forme, dans le sens o` toute fonction qui converge normalement converge uni-
u
form´ment. Nous ne le d´montrerons pas.
e e

59. Séries trigonométriques
Proposition 1 Si les s´ries num´riques
e e |an | et |bn | convergent, alors la
2πn 2πn
s´rie trigonom´triques S(t) =
e e an cos( t) + bn sin( )t) converge nor-
T T
n≥0
malement (et donc uniform´ment) sur R
e
Preuve
Cela d´coule directement de l’in´galit´ : |an cos( 2πn t) + bn sin( 2πn )t)| ≤
e e e T T
|an | + |bn |
Corollaire
Si les s´ries num´rique |an | et |bn | convergent, alors la s´rie trigonom´trique
e e e e
S(t) est continue R.sur
Si les s´ries n |an | et n |bn | convergent, alors la somme S(t) est continue
e
sur R, ` d´riv´e continue.
a e e

60. Proposition 2
Si les suites num´riques (an )et(bn ) sont d´croissantes et tendent vers 0, alors
e e
la s´rie trigonom´trique S(t) est convergente pour t = k.T o` k ∈ Z
e e u
Nous ne d´montrons pas cette proposition.
e

61. Théorème de Dirichlet

62. Quelques notations et d´finitions
e
Notation
Nous noterons pour la suite f (a+ ) la limite ` droite en a et f (b− ) la limite
a
a
` gauche en b.
Fonction continue par morceau
Une fonction f : [a, b] → C est dite continue par morceau sur [a,b] si f est
continue sur [a,b] sauf ´ventuellement en un nombre fini de points qui admettent
e
des limites ` gauche et ` droite. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.
a a
Fonction lisse par morceaux
Une fonction f : [a, b] → C est dite lisse par morceau sur [a,b] si f et f sont
continues par morceaux sur [a,b]. En particulier, f (a+ )etf (b− ) existent.

63. Introduction au th´or`me
e e
n
ikx
Expression du noyau de Dirichlet : Dn (x) = e
k=−n
ix
Suite de raison e ; modifions l’´criture dans un cas g´n´ral :
e e e
n
2n
q 2n+1
qk = q −n q k = q −n
q−1
k=−n k=0
−1
Multiplions num´rateur et d´nominateur par q
e e 2 :
−n− 1 2n+1 n+ 1 −n− 1
q 2 q −1 q 2 −q 2
−1 = 1 −1
q 2 q−1 q2 − q 2
Et en r´injectant eix :
e
i(n+ 1 )x 1
−i(n+ 2 )x
e 2 −e
i( 1 )x
e 2 − −i( 1 )x
e 2

64. D’autre part, grˆce aux formules d’Euler, on trouve :
a
sin((n + 1 )x)
2
sin( x )
2
Et finalement, fort de savoir que le noyau est r´el, nous pouvons, en ne
e
conservant que les parties r´elles de l’expression complexe du noyau, trouver
e
une derni`re expression :
e
k=n
Dn (x) = 1+2 cos(kx) , qui nous permet de calculer facilement l’int´grale
e
k=1
de −π ` π (ce qui est quasi insoluble avec les autres expressions), ce qui nous
a
sera fort utile pour la d´monstration!
e
En r´sum´ :
e e
n
n
sin((n + 1 )x)
Dn (x) = eikx = 1 + 2 cos(kx) = 2
sin( x )
2
k=−n k=1
Et son int´grale de 0 ` π ´quivaut ` π.
e a e a

65. Th´or`me(Dirichlet, 1824) Si f : R → C est 2π-p´riodique et lisse par
e e e
morceau sur R, alors :
f 1
lim SN (x) = (f (x+ ) + f (x− )) pour tout x
N →∞ 2
En particulier,
f
lim SN (x) = f (x)
N →∞
f
pour tout x o` f est continue, avec
u SN (x) la s´rie de Fourier correspondant `
e a
la fonction.
Remarque : C’est donc des conditions pour une convergence simple vers la
fonction. Il peut exister des fonctions continues qui divergent en certains points
de x.

66. Preuve
p
Soit Sp (x) = ck eikx la somme partielle de la s´rie de Fourier en un
e
k=−p
point x fix´.
e
1
1. Calcul de Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− ))
2
2π
p
ikx 1
Sp (x) = e e−ikt f (t)dt
2π 0
k=−p
2π p
1
= eik(x−t) f (t)dt
2π 0
k=−p
2π
1
= Dp (x − t)f (t)dt
2π 0
2π−x
1
= Dp (u)f (u + x)du
2π −x
π
1
= Dp (u)f (u + x)du
2π −π

67. Nous pouvons alors ´crire, en se souvenant que l’int´grale du noyau sur la
e e
p´riode est 2π :
e π π
1 + − 1 1
Sp (x)− (f (x )+f (x )) = Dp (u)f (u+x)du− Dp (u)f (x+ )du−
π 2 2π −π 4π −π
1
Dp (u)f (x− )du
4π −π
Par la parit´ du noyau et l’additivit´ de l’int´grale :
e e e
π π 0
1 1 1
Dp (u)f (u + x)du − +
Dp (u)f (x )du − Dp (u)f (x− )du
2π −π 2π 0 2π −π
0 π
=
1
2π
( −π
Dp (u)(f (u + x) − f (x− ))du +
0
Dp (u)((f (u + x) − f (x+ ))du )

68. π
+
Calcul de lim Dp (u)((f (u + x) − f (x ))du
p→∞ 0
Exploitons le lemme suivant :
Lemme
Toute fonction f lisse par morceau sur [a, b] v´rifie :
e
b
lim f (x)sin(nx)dx = 0
n→∞ a
b
lim f (x)cos(nx)dx = 0
n→∞ a

69. Preuve
Int´gration par partie :
e
b
f (x)sin(nx)dx
a
n−1 αk+1
= f (x)sinxdx
k=0 αk
n−1
αk+1 n−1
1 − 1
= +
(f (αk )cos(nαk ) − f (αk+1 )) + f (x)cos(nx)dx
n n αk
k=0 k=0
Lorsque n → ∞, l’expression → 0. ( Rappelons nous de l’hypoth`se de e
d´part : f est lisse par morceau → f et f sont continues, donc born´es.)
e e
Fort de ce lemme, nous pouvons prouver ce qui nous int´resse, en nous
e
rappelant que par l’hypoth`se du th´or`me de Dirichlet, la fonction f est lisse
e e e
sin((p+ 1 )x)
par morceau, et que Dp (x) = sin( x2) .
2
+
f (x+u)−f (x )
Posons g(u) = ,
qui est lisse par morceau sur [0, π]
sin( u )
2 π
1
Donc, par le lemme pr´c´dent, lim
e e g(u)sin((p + )u) = 0
p→∞ 0 2
Ce que l’on cherchait ` d´montrer.
a e

70. 3.Synth`se de la d´monstration du th´or`me de Dirichlet.
e e e e
Nous avons donc d´montr´ que :
e e
1
lim Sp (x) − (f (x+ ) + f (x− )) = 0
p→∞ 2
pour une fonction f lisse par morceau et de p´riode 2π.
e

71. x
f (x) = e si x ∈] − π; π[

72. Calcul de a0
π
1 eπ − e−π
a0 = ex dx =
π −π π
Calcul de an
Soit I = ex cos(nx)dx. Apr`s la premi`re int´gration par partie, nous
e e e
trouvons :
x
e sin(nx) 1
I= − ex sin(nx)
n n
Int´grons maintenant par partie J = ex sin(nx); nous trouvons :
e
x π
−e cos(nx) 1
J= + ex cos(nx)
n n −π
ex sin(nx) 1 −ex cos(nx) 1
Ainsi, I = − ( + I)
nx n x
n n
1 e sin(nx) e cos(nx)
⇔ I(1 + 2 ) = +
nx n x n2
n.e sin(nx) + e cos(nx)
⇔I=
π n2 + 1
eπ .cos(nπ) e−π .cos(nπ) cos(nπ) π
D`s lors,
e x
e cos(nx)dx = − = 2 (e − e−π )
−π n2 + 1 n2 + 1 n +1
1 cos(nπ) π
Et finalement, an = ( 2 (e − e−π ))
π n +1

73. Calcul de bn
π π
1 x 1
bn = e sin(nx)dx = ( ex(ni+1) )
π −π π −π
1 π x(ni+1) eπ(ni+1) e−π(ni+1)
⇒ e = −
π −π ni + 1 ni + 1
−ni + 1 π nπi
= 2 (e e − e−π e−nπi )
n +1
En prenant uniquement la partie imaginaire, en consid´rant bien que sin(nπ)
e
est de toute fa¸on nul, nous trouvons :
c
1 −n
bn = ( 2 (eπ cos(nπ) − e−π cos(nx)))
π n +1
1 ncos(nπ) −π
Et finalement, bn = ( 2 (e − eπ ))
π n +1
Et en groupant le tout, nous trouvons l’expression de la s´rie. (En con-
e
sid´rant bien que suivant que n est pair ou impair, cos(nπ) ´quivaudra ` 1 ou
e e a
-1)

74. S´rie de Fourier associ´e ` la fonction
e e a
π −π ∞
e −e (−1)n
f (x) = + (eπ − e−π )(cos(nx) − nsin(nx))
2π n=1
π(n2 + 1)
π −π ∞
e −e 1 (−1)n
= ( + 2 + 1)
(cos(nx) − nsin(nx))
π 2 n=1 π(n

75. Merci pour votre
attention

76. Fréquence
Une seconde

77. Applications en
téléphonie
Multiplexing
Compression
Numérotation
Suppression de l’écho

78. Structure:
- Approche son (fred)
- Séries trigonométriques (jie fang)
- Calculs des coefficients (Antoine) +
fonction carrée (jie fang)
- Application logicielle (fred) (gibbs)
- Complexes (Jie-Fang)
- convergence (antoine)

79. Le timbre
Qualité spécifique du son produit par un
instrument, indépendante de la hauteur et
l’amplitude
Cor
Trombone ténor
Clarinette