Le document traite des fonctions causales et de la transformation de Laplace, en définissant des fonctions causales comme celles qui sont nulles pour des temps négatifs. Il explique également les propriétés des espaces de fonctions et la méthode pour calculer la transformation de Laplace, ainsi que des exemples concrets de ces transformations. Enfin, il aborde les caractéristiques de la transformation de Laplace, notamment la linéarité, la dilatation, la translation et la multiplication par la variable.

1. 2A 2010-2011
TRANSFORMATION DE LAPLACE
1 Dénition de l'espace -0
1.1 Fonctions causales
1.1.1 Dénition
Une fonction f est dite causale si f(t) = 0 pour tout t strictement négatif.
1.1.2 Exemple fondamental : la fonction de Heaviside
On appelle aussi
cette fonction, éche-
lon unité. Elle est
notée U et dénie
par :
U(t) = 0 si t 0
U(t) = 1 si t 0 −1
1
2
−2 −1 1 2 3 4 5 6
x
et ses translatées,
toutes aussi impor-
tantes sont dénies
par : t 7! U(t ),
réel positif et on a
donc :
U(t ) = 0 si t
U(t ) = 1 si t −1
1
2
y
−2 −1 1 2 3 4 5 6
x
La fonction U sert
à fabriquer des fonc-
tions causales comme
ci-contre : nous avons
sin(t) (en rouge) qui
n'est pas causale et
sin(t)U(t) (en bleu)
qui l'est.
−1
1
2
−2 −1 1 2 3 4 5 6
x
1 JMB

2. 2A 2010-2011
Ici nous avons
sin(t)U(t) (en bleu)
et sa translatée de
qui est donc :
sin(t )U(t ) (en
rouge)
−1
1
2
−2 −1 1 2 3 4 5 6
x
1.2 Les fonctions de -
1.2.1 Dénition
E0 est l'ensemble de toutes les combinaisons linéaires à coecients réels ou complexes des
fonctions de la forme t 7! U(t )tner t où est un réel positif, n un entier positif et r un
nombre complexe quelconque, c'est à dire que E0 est l'ensemble de toutes les fonctions qui
peuvent s'écrire comme somme de fonctions du type U(t )tner t avec devant ce genre de
fonctions des coecients réels ou complexes.
Exemple 1.
X la fonction t 7! t2
e tU(t 3) est une fonction de E0
X la fonction t 7! sin(t)U(t) est une fonction de E0. En eet,
sin(t)U(t) =
1
2i
eitU(t)
1
2i
e itU(t).
X la fonction t 7! sin(t )U(t ) est une fonction de E0. En eet
sin(t )U(t ) = U(t )
ei(t )
e i(t )
2i
#
=
e i
2i
eitU(t )
ei
2i
e itU(t )
1.2.2 Propriétés
1. Toute fonction de E0 est continue par morceaux sur 4 c'est à dire présentant un nombre
ni de discontinuité de 1ère espèce.
2. Si et

3. sont des réels positifs, r un nombre complexe et f une fonction appartenant
à E0, alors les fonctions t 7! f(t); t 7! f(t

4. ) et t 7! er tf(t) appartiennent aussi à
E0:
3. Soit f une fonction appartenant à E0 alors f et
Z t
0
f(x)dx appartiennent aussi à E0:
Exemple 2.
2 JMB

5. 2A 2010-2011
La fonction dénie par :
f(t) = tU(t) 2(t 1)U(t 1) +
(t 2)U(t 2)
appartient à E0. Sa représenta-
tion graphique est :
1
y
−1 1 2 3
x
Exemple 3.
La fonction dénie par :
g(t) = U(t) 2U(t 1) + U(t 2)
appartient à E0. Sa représenta-
tion graphique est :

ı
−1
1
y
−1 1 2 3 4
x
O
2 Transformation de Laplace dans -0
2.1 Propriété fondamentale
2.1.1 Dénition
Si une fonction g est de la forme t 7! g(t) = kU(t )tner t, c'est à dire que c'est l'un des
morceaux d'une fonction f appartenant à E0, alors le réel r est appelé exposant de la fonction
g.
2.1.2 Propriété
Soit f une fonction appartenant à E0, l'intégrale
Z +
0
f(t)e ptdt est absolument convergente
si p est un nombre réel appartenant à l'intervalle ](f); +1[ où (f) est la plus grande des
parties réelles des exposants des fonctions composants f. Le réel (f) est appelé abscisse de
convergence de la fonction f.
Exemple 4. Soit f la fonction dénie par : f(t) = e2t cos(3t)U(t) + tet sin(t)U(t )
f est bien une fonction de E0 car c'est une combinaison linéaire de fonction du type
t 7! U(t )tner t.
En eet on peut écrire
f(t) =
1
2
U(t)e(2+3i)t +
1
2
U(t)e(2 3i)t +
1
2i
tU(t )e(1+i)t 1
2i
tU(t )e(1 i)t:
Les exposants des fonctions qui composent cette combinaison linéaire sont donc respective-
ment : 2 + 3i;2 3i;1 + i;1 i. Les parties réelles sont donc 2 et 1, donc d'après la propriété
ci dessus, on sait que
Z +
0
f(t)e ptdt converge si le réel p 2 ]2; +1[
3 JMB

6. 2A 2010-2011
2.2 Dénition de la transformée de Laplace
Soit f une fonction appartenant à E0 d'abscisse de convergence (f).
La transformée de Laplace de f , notée F, est la fonction dénie sur ](f); +1[ par :
F(p) =
Z +
0
f(t)e ptdt
Elle est notée : F = L(f) ou F(p) = L(f) (p)
En théorie, on est donc censé, avant de calculer la transformée de Laplace d'une fonction f
causale, vérier que f 2 E0 et calculer son abscisse de convergence (f). Dans la pratique,
toutes les fonctions que nous manipulons dans ce chapitre appartiennent à E0 et leur abscisse
de convergence en général est égale à 0. Néanmoins, il est naturel d'avoir cette rigueur de
vérication, au cas où les calculs nous emmènent dans un espace plus compliqué!
2.3 Transformée de Laplace de l'échelon unité
L(U(t)) =
Z +
0
U(t)e ptdt =
Z +
0
e ptdt =
–
1
p
e pt
™+
0
= 0
‚
1
p
Œ
=
1
p
si p 0:
D'où : L(U(t)) =
1
p
si p 0
2.4 Transformée de Laplace de B(J) = Jn7(J)
F(p) =
Z +
0
tnU(t)e ptdt =
Z +
0
tne ptdt = In
En intégrant par partie, on obtient que In =
n
p
In 1
Or I0 =
Z +
0
U(t)e ptdt =
1
p
I1 =
1
p
I0 =
1
p2
I2 =
2
p
I1 =
2
p
1
p2
I3 =
3
p
I2 =
3
p
2
p
1
p2
d'où : L(tnU(t)) =
n!
pn+1
si p 0
2.5 Transformée de Laplace de B(J) = Art7(J)
F(p) =
Z +
0
ertU(t)e pt =
Z +
0
e(r p)tdt.
Cette intégrale est convergente si p e(r):
On a alors :
Z +
0
e(r p)tdt =
–
1
r p
e(r p)t
™+
0
= 0
1
r p
=
1
p r
.
D'où L(ertU(t)) =
1
p r
si p e(r)
4 JMB

7. 2A 2010-2011
2.6 Transformée de Laplace de B(J) = JArt7(J)
F(p) =
Z +
0
tertU(t)e pt =
Z +
0
te(r p)tdt.
Cette intégrale est convergente si p e(r):
On a alors, en intégrant par parties : L(tertU(t)) =
1
(p r)
2
si p e(r)
2.7 Propriétés de la transformation de Laplace
On suppose à partir dans tout ce paragraphe que p appartient à l'intervalle ](f); +1[
](g); +1[
2.7.1 Linéarité
Si f et g sont des fonctions appartenant à E0 de transformées de Laplace respectives F et G
et si et

8. sont des nombres complexes quelconques alors si on note H la transformée de
Laplace de h = f +

9. g :
L(f +

10. g) = L(f) +

11. L(g)
H = f +

12. g
Déterminons les transformées de Laplace des fonctions f(t) = sin(t)U(t) et g(t) = cos(t)U(t)
Posons h1(t) = eitU(t) et h2(t) = e itU(t)
On a alors d'après Ÿ2.5 : H1(p) = L(h1(t)) =
1
p i
et H2(p) = L(h2(t)) =
1
p + i
Comme sin(t)U(t) =
1
2i
h1(t)
1
2i
h2(t) alors
L(sin(t)U(t)) =
1
2i
1
p i
1
2i
1
p + i
=
1
2
i
p + i
1
2
i
p i
=
1
p2
+ 1
Comme cos(t)U(t) =
1
2
h1(t) +
1
2
h2(t) alors L(cos(t)U(t)) =
1
2
1
p i
+
1
2
1
p + i
=
p
p2
+ 1
L(sin(t)U(t)) =
1
p2
+ 1
L(cos(t)U(t)) =
p
p2
+ 1
8p 0
2.7.2 Transformée de Laplace d'une dilatée : t 7! f(at) a 2 4+
Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L(f) alors
L(f(at)) =
1
a
F
p
a
‹
Démonstration : soit
Z A
0
f(at)e ptdt
5 JMB

13. 2A 2010-2011
En posant u = at on obtient :
Z A
0
f(at)e ptdt =
1
a
Z aA
0
f(u)e
p
a udu !A+
1
a
Z +
0
f(u)e
p
a udu =
1
a
F
p
a
‹
Soit h la fonction de E0dénie par h(t) = cos (!t) U(t) avec ! 0.
Soit f la fonction de E0dénie par f(t) = cos (t) U(t)
Alors f (!t) = cos (!t) U(!t) = cos (!t) U(t) = h(t) car ! 0
Or L(cos(t)U(t)) =
p
p2
+ 1
Donc L(h(t)) = L(cos (!t) U(t)) = H(p) =
1
!
p
!
€p
!
Š2
+ 1
=
p
p2
+ !2
De la même façon on obtient : L(sin (!t) U(t)) =
!
p2
+ !2
2.7.3 Transformée de Laplace d'une translatée : t 7! f(t ) avec 2 4+
Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L(f) alors
L(f(t )) = e pF(p)
Le terme e p s'appelle le facteur de retard.
En clair, lorsqu'une fonction est retardée d'un instant sa transformée de Laplace est mul-
tipliée par e p.
La démonstration de cette formule est la même que celle ci-dessus en eectuant le changement
de variable u = t .
On se propose de chercher la transformée de Laplace du signal ci-dessous :
−1
1
2
−1 1 2 3
t
Appelons f(t) ce signal. On peut alors écrire que :
f(t) = tU(t) tU(t 1) + U(t 1) U(t 2)
= tU(t) (t 1)U(t 1) U(t 1) + U(t 1) U(t 2)
= tU(t) (t 1)U(t 1) U(t 2)
donc
6 JMB

14. 2A 2010-2011
L(f(t)) = L(tU(t) (t 1)U(t 1) U(t 2)) =
L(tU(t)) L((t 1)U(t 1)) L(U(t 2)) =
1
p2
1
p2
e p 1
p
e 2p
2.7.4 Multiplication par la variable
Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L(f) alors
L( tf(t)) =
dF
dp
(p)
L(( t)
nf(t)) =
dnF
dpn (p)
Soit f(t) = tsin(!t)U(t). On sait que la transformée de Laplace de sin(!t)U(t) est : L(sin(!t)U(t)) =
!
p2
+ !2
.
Or
d
dp
–
!
p2
+ !2
™
=
2p
!
(p2
+ !2
)
2
#
donc L(tsin(!t)U(t)) = 2p
!
(p2
+ !2
)
2
2.7.5 Multiplication par e at où a est un réel quelconque
Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L(f) alors
L
€
f(t)e at
Š
= F(p + a)
Soit f la fonction dénie par : f(t) = e at cos(!t)U(t):
Nous savons que L(cos(!t)U(t)) =
p
p2
+ !2
= F(p)
Donc : L
€
e at cos(!t)U(t)
Š
= F(p + a) =
p + a
(p + a)
2
+ !2
.
2.7.6 Transformée de Laplace d'une dérivée
Soit f une fonction appartenant à E0 et soit F = L(f) alors si f est continue sur l'intervalle
]0; +1[
L(f(t)) = pF(p) f(0
+
)
où f(0
+
) = lim
t0+f(t)
de même si de plus f est continue sur l'intervalle ]0; +1[ alors :
L(f(t)) = p2
F(p) pf(0
+
) f(0
+
)
où f(0
+
) = lim
t0+f(t)
7 JMB

15. 2A 2010-2011
Soit f(t) = cos(!t)U(t) alors f(t) = ! sin(!t)U(t) + cos(!t)U(t)
Or U(t) = 0 sur l'intervalle ]0; +1[
Donc : f(t) = ! sin(!t)U(t) sur l'intervalle ]0; +1[
Donc L(f(t)) = p
p
p2
+ !2
cos(0) = p
p
p2
+ !2
1 =
p2
p2
+ !2
1 =
!2
p2
+ !2
c'est à dire L( ! sin(!t)U(t)) =
!2
p2
+ !2
donc on retrouve que L(sin(!t)U(t)) =
!
p2
+ !2
Soit f la fonction représentée par le graphe ci-dessous :

ı
−1
1
y
−1 1 2 3 4
x
O
On a donc f(t) = U(t) U(t 1) + ( t + 2)U(t 1) ( t + 2)U(t 2)
c'est à dire que f(t) = U(t) + ( t + 1)U(t 1) + (t 2)U(t 2)
f(t) = U(t) (t 1)U(t 1) + (t 2)U(t 2)
donc L(f(t)) =
1
p
1
p2
e p +
1
p2
e 2p = F(p).
Soit maintenant g la fonction dont le graphe est donné ci-dessous :

ı
−1
1
y
−1 1 2 3 4
x
O
On a donc g(t) = (U(t 1) U(t 2)) = U(t 1) + U(t 2)
Or, on a f(t) = g(t):
Donc L(f(t)) = L(g(t)) = pF(p) f(0
+
) = p
–
1
p
1
p2
e p +
1
p2
e 2p
™
1 =
1
p
e p +
1
p
e 2p
Le calcul direct nous donne : L (g(t)) =
1
p
e p +
1
p
e 2p
qui redonne la même transformée de Laplace!
8 JMB

16. 2A 2010-2011
2.8 Théorème de la valeur initiale et de la valeur nale
2.8.1 Théorème de la valeur initiale
Si une fonction f appartenant à l'ensemble E0 admet pour transformée de Laplace la fonction
F, alors
lim
p+F(p) = 0
lim
p+pF(p) = f(0
+
)
2.8.2 Théorème de la valeur nale
Si une fonction f appartenant à l'ensemble E0 admet pour transformée de Laplace la fonction
F et si lim
t+
f(t) existe et est nie, alors :
lim
p0
pF(p) = lim
t+
f(t)
Soit g(t) = (cos t) U(t) alors L(g(t)) = G(p) =
p
p2
+ 1
lim
p+pG(p) = lim
p+
p2
p2
+ 1
= 1 = g(0
+
) = cos 0 ce qui vérie le théorème de la valeur initiale
lim
p0
pF(p) = 0 = lim
t+
(cos t) U(t) cette limite n'existe pas , le théorème de la valeur nale
ne s'applique pas.
3 Produit de convolution dans -0
3.1 Dénition
On rappelle que le produit de convolution de deux fonctions f et g est une fonction h dénie
ci-dessous. Ce produit est noté . On a :
h(t) = (f g) (t) =
Z +
f(x)g(t x)dx
Si f est causale, l'intégrale devient :
h(t) = (f g) (t) =
Z +
0
f(x)g(t x)dx
Si de plus g est causale alors la fonction h l'est aussi et on a :
h(t) = 0 si t 0
h(t) =
Z t
0
f(x)g(t x)dx si t 0
9 JMB

17. 2A 2010-2011
D'où la dénition suivante :
Soient f et g deux fonctions appartenant à E0:On appelle convolée des fonctions f et g dans cet ordre,
la fonction causale h dénie pour tout t positif par :
h(t) = (f g) (t) =
Z t
0
f(x)g(t x)dx
3.2 Propriétés du produit de convolution
Le produit de convolution est commutatif, associatif et distributif par rapport à l'addition.
De plus le produit de convolution est une loi dite interne, c'est à dire que l'on a :
X f g = g f
X (f g) h = f (g h)
X Si f et g appartiennent toutes deux à E0 alors h = f g appartient aussi à E0:
(démonstrations laissées au lecteur!)
3.3 Transformée de Laplace d'un produit de convolution
Si f et g appartiennent toutes deux à E0 alors la convolée h = f g a pour transformée de
Laplace le produit des transformée de Laplace de f et g, c'est à dire que l'on a :
L(f g) = L(f) L(g)
Cette propriété nous permettra d'obtenir la transformée de Laplace de fonctions qu'on ne
peut calculer grâce aux propriétés déjà vues dans le paragraphe 2.7.
3.4 Transformée de Laplace de
Z x
B(J)@J
Soit f une fonction appartenant à l'ensemble E0 et U la fonction échelon unité alors on a :
8x 0 (U f) (x) =
Z x
0
f(t)U(x t)dt =
Z x
0
f(t)dt
Si on note F = L(f(t)) et en rappelant que L(U(t)) =
1
p
, alors en utilisant le théorème ci
dessus on obtient :
L
Z x
0
f(t)dt
‹
=
F(p)
p
10 JMB

18. 2A 2010-2011
4 Transformée de Laplace de l'impulsion unité
On considère la fonction fn dénie par : fn(t) = n si 0 6 t 6 1
n
et
fn(t) = 0 sinon
dont voici la représentation graphique ci-contre pour quelques n
= 1, 2 et 4.
Si on note Fn(p) = L(fn(t)) et en remarquant que fn(t) = nU(t)
nU(t
1
n
) alors on a Fn(p) =
n
p
n
p
e
p
n

ı
1
2
3
4
y
−1 1 2
x
O
Maintenant si on fait tendre n ! +1, alors on obtient une pseudo
fonction, qui est en fait ce qu'on appelle en mathématiques une
distribution, mais qui n'est plus une fonction, qu'on appelle im-
pulsion unité ou plus simplement Dirac, impossible à représenter,
si ce n'est en faisant un schéma que tous les électroniciens uti-
lisent :
Cette distribution est notée et on a : L((t)) = lim
n+Fn(p) = lim
n+
n
p
n
p
e
p
n = 1
5 Transformation de Laplace des fonctions périodiques
Soit f une fonction T-périodique, causale, n'appartenant pas forcément à E0: Soit f0 la
fonction dénie par : f0(t) = f(t) si 0 t T et f0(t) = 0 sinon telle que f0 appartiennent
à E0 alors on a :
L(f(t)) =
L(f0(t))
1 e pT
Exemple 5.
Déterminer la transformée de Laplace de la fonction f T-
périodique, causale, dénie sur [0; T[ par f(t) = t.
f0(t) = tU(t) tU(t T) = tU(t) (t T)U(t T) TU(t T)
donc L(f0(t)) =
1
p2
1
p2
e pT T
1
p
e pT
et donc L(f(t)) =
1
p2
1
p2 e pT T 1
pe pT
1 e pT

ı
1
2
3
4
y
−1 1 2 3 4
x
O
Exemple 6.
Le train d'impulsion
Cela correspond, en électronique à des ashs éclairs périodiques.
alors on a L(f(t)) =
1
1 e pT car L((t)) = 1
11 JMB