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                            MATHEMATIQUES

                       Mardi mai2006de 8 heures 12 heures
                           2                  à



Lescandidats doiventfaireusaged'aucundocument l'utilisation toutecalculatrice de tout
              ne                                ;         de                et
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              EM LYONest affiliée la Chambre Commerce de l'lndustrie
                                 à          de      et             de,Lyon.
ExnncrcB1

On considèfe les trois matrices de Mz(R) suivantes :


                 , : ( 3l ) , " : ( 3) ,u : ( lS )
                                    î
1.a. Quelles sont les valeurs propres de A ?
     b. Déterminer une matrice inversibleP telle que : A:   PDP-T.



                            canées d'ordredeuxtellesque:
On note.E l'ensemble matrices
                   des            M                                      AM:   MD.

2.a. Vérifier que .E est un sous-espace
                                     vectorielde Mz(IR).
                  /r u
     b. Soit M : l-. i I une matrice M2(lR).
                                    de
                  z t/
        Montrer queM appartientà ,E si et seulement :
                                                  si        z :0   et U : t.
     c. Étublir que (t/,,4) est une basede .8.
     d. Calculer produil IlA. Est-ce que(JAest élément E ?
               Ie                                    de




3.      On note / : Mz(R) ---+ M2(lR) I'application      pour toute M e M2(lR),par :
                                                  définie,
                         f W): AM- MD.

     a. Vérifier que ,f est linéaire.
     b. Déterminerle noyaude / et donnersa dimension.
     c. Quelleest la dimension l'imagede f ?
                              de
     d. Déterminerles matricesM de Mr(IR) telles qtref (M) - M.
        En déduireque 1 est valeurproprede /.
        Montrer que -1 est aussivaleurproprede /.
     e. Est-ceque "f est diagonalisable
                                      ?
     f; Montrer      f of "f :f.




                                                 214
Expncrcs 2

On note F: R2 ---+ IR I'application définie,pour tout (r,y) e IR2par :
                                  F ( r , y ) : ( r - t ) ( a- 2 ) ( r+ a - 6 ) .

I-.a. Montrer (4,2)et (2,3)sontdespoints
            que                         critiques F.
                                                de
     b. Est-ceque F présente extrémumlocal au point (4,2) ?
                             un
        Est-ceque F' présente extrémumlocal au point (2,3) ?
                            un

2.       On note p : lR ---+ IR l'applicationdéfinie,pour tout r € IR, par :
                                 ç@):r(r-2)(2r-5).

                    :
     a. M o n t r e r      Vc € [4 ;*o o [, (r - 2 )(2r- 5) > 4.
                 :
     b. En déduire Vr e [a;+oo[, ç@) 2 4r et ç@) e [a;+ool.

3.      On considèrela suite réelle (ur,)r,endéfinie pâr us : 4 et :
                                 Vn € lN, rtrn*r: F(l + un,un).


     a. Exprimer llnly en fonction de un à l'aide de la fonction yl

     b. Montrer :         Vn € IN, u,n2 4"*t.
        Quelle est la nature de la série de terme général a                      7
                                                                           U,,

     c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel n tel que
        un )- 1010.

4.      On note g : tL;*oo[--+ IR I'application définie,pour tout r e [a;+oo[, par :
                                10
                                 g(r) :
                                           ,6

     a. Montrerque l'intégrale [** n@)dr converge.
                                           J4

     b. T[ouver trois réelso, ô,c tels que :
                                 V r € [ 4 ; + o o [ ,( r ):
                                                   s           i. *+             ;-
                        /"+oo
     c. Calculer /              g(n) dr.
                Jt




                                                             3/4
Expnctcn 3

                                              Pnntlp A
1.      Soit t/ une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérancenulle et de varian." |'

     a. Rappelerl'expressiond'une densitéde U.

     b. En utilisant la définition de la variance de U,montrer que l'intégrul" /*-             r2e-'" dr   est
                                                                               Jo
                                  f*oo
                                                            {î
        convergente que
                 et                      r2e-, r ^ *    _        .
                                 JIo                         4
                                                             +



                                          Vr ( 0' F(r) : g
Soit ,F la fonction définie sur IR pa, {
                                        I Vr>0, F(t):L-e-"-


2.      Montrer que la fonction F définit une fonction de répartition d'une variable aléatoire dont
        on déterrninera une densité /.

3.      Soit X une variable aléatoire admettant / pour densité.

     a. Montrer que X admet une espéranceE(X) et que E(X) : +'

     b. Déterminer, pour tout réel g, la probabilité P(X2 ( y). OnJirringueralescas y ( 0 et y > 0.
     c. Montrer que la variable aléatoire X2 suit une loi exponentielledont on préciserale paramètre.
        En déduire que X admet une varianceV(X) et calculerV(X).


                                               Panun B
1.      Soit Z une variable aléatoire suivant la loi géométriquede paramèfte p.
        Ainsi, pour tout k € IN*, P(Z : k) : p (1 - p)o-t.
        Rappeler la valeur de I'espéranceE(Z) et celle de la varianceY(Z) de la variable aléatoireZ.

2.      Soient un entier n supérieur ou égal à 2 etn variables aléatoiresindépendantes21, Zz,. . . , Zn
        suivant toutes la loi géométriquede paramètre p.
        On considère variable aléatoireMn:
                      la                              + Zz * - . . + Z").
                                                 ;Q,
     a. Déterminer l'espérancem et l'écart-type on de Mr.

                                                                                                       1.r
     b. Montrer que                    * Mn --         * o,) existe et exprimer sa valeur à l'aide a" l' "-*dr.
                      ,li1-t(O                                                                        Jo




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EM Lyon 2006 Concours

  • 1. BANQUECOMMUNE D'EPREUVES CODE EPREUVE: 296 EML-MATE Concepteur EM LYON : 1"'"épreuve(option économique) MATHEMATIQUES Mardi mai2006de 8 heures 12 heures 2 à Lescandidats doiventfaireusaged'aucundocument l'utilisation toutecalculatrice de tout ne ; de et matérielélectronique interdite. est d'unerèglegraduéeestautorisée. SeuleI'utilisation TOURNEZ S.V.P. EM LYONest affiliée la Chambre Commerce de l'lndustrie à de et de,Lyon.
  • 2. ExnncrcB1 On considèfe les trois matrices de Mz(R) suivantes : , : ( 3l ) , " : ( 3) ,u : ( lS ) î 1.a. Quelles sont les valeurs propres de A ? b. Déterminer une matrice inversibleP telle que : A: PDP-T. canées d'ordredeuxtellesque: On note.E l'ensemble matrices des M AM: MD. 2.a. Vérifier que .E est un sous-espace vectorielde Mz(IR). /r u b. Soit M : l-. i I une matrice M2(lR). de z t/ Montrer queM appartientà ,E si et seulement : si z :0 et U : t. c. Étublir que (t/,,4) est une basede .8. d. Calculer produil IlA. Est-ce que(JAest élément E ? Ie de 3. On note / : Mz(R) ---+ M2(lR) I'application pour toute M e M2(lR),par : définie, f W): AM- MD. a. Vérifier que ,f est linéaire. b. Déterminerle noyaude / et donnersa dimension. c. Quelleest la dimension l'imagede f ? de d. Déterminerles matricesM de Mr(IR) telles qtref (M) - M. En déduireque 1 est valeurproprede /. Montrer que -1 est aussivaleurproprede /. e. Est-ceque "f est diagonalisable ? f; Montrer f of "f :f. 214
  • 3. Expncrcs 2 On note F: R2 ---+ IR I'application définie,pour tout (r,y) e IR2par : F ( r , y ) : ( r - t ) ( a- 2 ) ( r+ a - 6 ) . I-.a. Montrer (4,2)et (2,3)sontdespoints que critiques F. de b. Est-ceque F présente extrémumlocal au point (4,2) ? un Est-ceque F' présente extrémumlocal au point (2,3) ? un 2. On note p : lR ---+ IR l'applicationdéfinie,pour tout r € IR, par : ç@):r(r-2)(2r-5). : a. M o n t r e r Vc € [4 ;*o o [, (r - 2 )(2r- 5) > 4. : b. En déduire Vr e [a;+oo[, ç@) 2 4r et ç@) e [a;+ool. 3. On considèrela suite réelle (ur,)r,endéfinie pâr us : 4 et : Vn € lN, rtrn*r: F(l + un,un). a. Exprimer llnly en fonction de un à l'aide de la fonction yl b. Montrer : Vn € IN, u,n2 4"*t. Quelle est la nature de la série de terme général a 7 U,, c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel n tel que un )- 1010. 4. On note g : tL;*oo[--+ IR I'application définie,pour tout r e [a;+oo[, par : 10 g(r) : ,6 a. Montrerque l'intégrale [** n@)dr converge. J4 b. T[ouver trois réelso, ô,c tels que : V r € [ 4 ; + o o [ ,( r ): s i. *+ ;- /"+oo c. Calculer / g(n) dr. Jt 3/4
  • 4. Expnctcn 3 Pnntlp A 1. Soit t/ une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérancenulle et de varian." |' a. Rappelerl'expressiond'une densitéde U. b. En utilisant la définition de la variance de U,montrer que l'intégrul" /*- r2e-'" dr est Jo f*oo {î convergente que et r2e-, r ^ * _ . JIo 4 + Vr ( 0' F(r) : g Soit ,F la fonction définie sur IR pa, { I Vr>0, F(t):L-e-"- 2. Montrer que la fonction F définit une fonction de répartition d'une variable aléatoire dont on déterrninera une densité /. 3. Soit X une variable aléatoire admettant / pour densité. a. Montrer que X admet une espéranceE(X) et que E(X) : +' b. Déterminer, pour tout réel g, la probabilité P(X2 ( y). OnJirringueralescas y ( 0 et y > 0. c. Montrer que la variable aléatoire X2 suit une loi exponentielledont on préciserale paramètre. En déduire que X admet une varianceV(X) et calculerV(X). Panun B 1. Soit Z une variable aléatoire suivant la loi géométriquede paramèfte p. Ainsi, pour tout k € IN*, P(Z : k) : p (1 - p)o-t. Rappeler la valeur de I'espéranceE(Z) et celle de la varianceY(Z) de la variable aléatoireZ. 2. Soient un entier n supérieur ou égal à 2 etn variables aléatoiresindépendantes21, Zz,. . . , Zn suivant toutes la loi géométriquede paramètre p. On considère variable aléatoireMn: la + Zz * - . . + Z"). ;Q, a. Déterminer l'espérancem et l'écart-type on de Mr. 1.r b. Montrer que * Mn -- * o,) existe et exprimer sa valeur à l'aide a" l' "-*dr. ,li1-t(O Jo 414