Le document présente un examen complexe en mathématiques, comprenant des questions sur les matrices, les applications linéaires, et les fonctions réelles. Les candidats doivent résoudre des problèmes variés liés aux valeurs propres, à la diagonalisabilité, et à la convergence des intégrales. De plus, il traite des variables aléatoires avec des lois normales et géométriques, imposant des calculs d'espérance et de variance.

1. BANQUECOMMUNE D'EPREUVES
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296
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MATHEMATIQUES
Mardi mai2006de 8 heures 12 heures
2 à
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2. ExnncrcB1
On considèfe les trois matrices de Mz(R) suivantes :
, : ( 3l ) , " : ( 3) ,u : ( lS )
î
1.a. Quelles sont les valeurs propres de A ?
b. Déterminer une matrice inversibleP telle que : A: PDP-T.
canées d'ordredeuxtellesque:
On note.E l'ensemble matrices
des M AM: MD.
2.a. Vérifier que .E est un sous-espace
vectorielde Mz(IR).
/r u
b. Soit M : l-. i I une matrice M2(lR).
de
z t/
Montrer queM appartientà ,E si et seulement :
si z :0 et U : t.
c. Étublir que (t/,,4) est une basede .8.
d. Calculer produil IlA. Est-ce que(JAest élément E ?
Ie de
3. On note / : Mz(R) ---+ M2(lR) I'application pour toute M e M2(lR),par :
définie,
f W): AM- MD.
a. Vérifier que ,f est linéaire.
b. Déterminerle noyaude / et donnersa dimension.
c. Quelleest la dimension l'imagede f ?
de
d. Déterminerles matricesM de Mr(IR) telles qtref (M) - M.
En déduireque 1 est valeurproprede /.
Montrer que -1 est aussivaleurproprede /.
e. Est-ceque "f est diagonalisable
?
f; Montrer f of "f :f.
214

3. Expncrcs 2
On note F: R2 ---+ IR I'application définie,pour tout (r,y) e IR2par :
F ( r , y ) : ( r - t ) ( a- 2 ) ( r+ a - 6 ) .
I-.a. Montrer (4,2)et (2,3)sontdespoints
que critiques F.
de
b. Est-ceque F présente extrémumlocal au point (4,2) ?
un
Est-ceque F' présente extrémumlocal au point (2,3) ?
un
2. On note p : lR ---+ IR l'applicationdéfinie,pour tout r € IR, par :
ç@):r(r-2)(2r-5).
:
a. M o n t r e r Vc € [4 ;*o o [, (r - 2 )(2r- 5) > 4.
:
b. En déduire Vr e [a;+oo[, ç@) 2 4r et ç@) e [a;+ool.
3. On considèrela suite réelle (ur,)r,endéfinie pâr us : 4 et :
Vn € lN, rtrn*r: F(l + un,un).
a. Exprimer llnly en fonction de un à l'aide de la fonction yl
b. Montrer : Vn € IN, u,n2 4"*t.
Quelle est la nature de la série de terme général a 7
U,,
c. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel n tel que
un )- 1010.
4. On note g : tL;*oo[--+ IR I'application définie,pour tout r e [a;+oo[, par :
10
g(r) :
,6
a. Montrerque l'intégrale [** n@)dr converge.
J4
b. T[ouver trois réelso, ô,c tels que :
V r € [ 4 ; + o o [ ,( r ):
s i. *+ ;-
/"+oo
c. Calculer / g(n) dr.
Jt
3/4

4. Expnctcn 3
Pnntlp A
1. Soit t/ une variable aléatoire suivant une loi normale d'espérancenulle et de varian." |'
a. Rappelerl'expressiond'une densitéde U.
b. En utilisant la définition de la variance de U,montrer que l'intégrul" /*- r2e-'" dr est
Jo
f*oo
{î
convergente que
et r2e-, r ^ * _ .
JIo 4
+
Vr ( 0' F(r) : g
Soit ,F la fonction définie sur IR pa, {
I Vr>0, F(t):L-e-"-
2. Montrer que la fonction F définit une fonction de répartition d'une variable aléatoire dont
on déterrninera une densité /.
3. Soit X une variable aléatoire admettant / pour densité.
a. Montrer que X admet une espéranceE(X) et que E(X) : +'
b. Déterminer, pour tout réel g, la probabilité P(X2 ( y). OnJirringueralescas y ( 0 et y > 0.
c. Montrer que la variable aléatoire X2 suit une loi exponentielledont on préciserale paramètre.
En déduire que X admet une varianceV(X) et calculerV(X).
Panun B
1. Soit Z une variable aléatoire suivant la loi géométriquede paramèfte p.
Ainsi, pour tout k € IN*, P(Z : k) : p (1 - p)o-t.
Rappeler la valeur de I'espéranceE(Z) et celle de la varianceY(Z) de la variable aléatoireZ.
2. Soient un entier n supérieur ou égal à 2 etn variables aléatoiresindépendantes21, Zz,. . . , Zn
suivant toutes la loi géométriquede paramètre p.
On considère variable aléatoireMn:
la + Zz * - . . + Z").
;Q,
a. Déterminer l'espérancem et l'écart-type on de Mr.
1.r
b. Montrer que * Mn -- * o,) existe et exprimer sa valeur à l'aide a" l' "-*dr.
,li1-t(O Jo
414