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Chapitre : les algorithmes d’approximation                                        Enseignant : Mohamed SAYARI


                  LES ALGORITHMES D’APPROXIMATION
I. Introduction
     Les problèmes d’optimisation forment un ensemble très riche de possibilités : de la possibilité
d’approcher avec une précision arbitraire, à l’impossibilité de toute garantié sur la qualité de
l’approximation.
II. RecheRche du point fixe d’une fonction
1) Présentation
    En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est

       un point fixe de f si f(x) = x

      Dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A

      l’application inverse (définie sur l’ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : -1 et 1

      Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable est réelle) s’obtiennent en traçant la

       droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe représentative de f avec cette

       droite sont alors les points fixes de f.

      Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction

                     n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel x égal à x+1.

2) Activité
On désire écrire un programme en Pascal qui permet de résoudre l’équation sin(x)=1-x
a) Décomposer le problème en modules
b) Ecrire les analyses des modules, en déduire les algorithmes
c) Traduire en pascal la solution obtenue
      Sin(x)= 1-x  x= 1-sin(x)




  4ème SI                                                                                                    1
Chapitre : les algorithmes d’approximation                                              Enseignant : Mohamed SAYARI




        Tableaux de valeurs :
        X            0     0.111111 0.222222 0.333333 0.444444 0.555556 0.666667 0.777778 0.888889
  F(x)=1-sin(x)      1     0.889117 0.779602 0.672805 0.570044 0.472585 0.38163 0.298302 0.223628

     X            0.5      0.511111 0.522222 0.533333 0.544444 0.555556 0.566667 0.577778 0.588889
F(x)=1-sin(x)     0.520574 0.510853 0.501193 0.491593 0.482057 0.472585 0.463177 0.453836 0.444563

a) Analyse du programme principal :
   2) Résultat= Ecrire ("le point fixe est : ", x1, "trouvé après ", i, "itérations")
   1) (Pfixe,i)= [i  0, x1 1] Répéter
                                     i  i+1
                                      x2  x1
                                      x1  F(x1)
                                 Jusqu’à (ABS(x1-x2) <epsilon)



   4ème SI                                                                                                     2
Chapitre : les algorithmes d’approximation                                         Enseignant : Mohamed SAYARI

b) Algorithme du programme principal
   0) Début Point_fixe
   1) i  0
      x1 1
      Répéter
          i  i+1
         x2  x1
         x1  F(x1)
      Jusqu’à (ABS(x1-x2) <epsilon)
   2) Ecrire ("le point fixe est : ", x1, "trouvé après ", i, "itérations")
   3) Fin Point_Fixe
                                                       TDOG
                                                 Objet           Type/Nature
                                                   i                entier
                                                 X1, x2              Réel
                                                epsilon         Constante = 10-5
                                                   F               Fonction
c) Analyse de la fonction F
   1) Résultat= f  1- sin(x)
d) Algorithme de la fonction f
   0) Fonction F (x : réel) : Réel
   1) F 1- sin(x)
   2) fin F
                                                         TDOL
                                                 Objet            Type/Nature
                                                  X                   Réel

e) Traduction en Pascal




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Chapitre : les algorithmes d’approximation                                      Enseignant : Mohamed SAYARI


III. Calcul de valeurs approchées de constantes connus
      1) Activité
Il existe plusieurs constantes numériques :
      e (nombre de Neper) ≈ 2,718…
          (nombre Pi) ≈ 3,1616…
                                       ≈ 9.8066
Dans ce qui suit, nous allons présenter des algorithmes permettant de calculer des valeurs approchées pour les
constantes et e

    2) Valeur approchée de
      Il est impossible de connaître la valeur exacte de . En effet, il a été démontré par deux
       mathématiciens de la fin du XVIIIème siècle, Lambert et Legendre, qu'il ne peut exister aucune fraction
       [de deux entiers] égale à .
      Les hommes de science - Euler, Gauss, Leibniz, Machin, Newton, Viète - ont recherché toutes sortes
       de formules permettant de calculer une approximation de plus ou moins précise.
a) Valeur approchée par la formule d’Euler
   Ecrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé Pi_Euler, qui
   permet de calculer et d’afficher une valeur approchée de Pi en utilisant la formule d’Euler :




   Cela signifie que :




   Cela signifie que :




      Analyse :
   2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", RacineCarrée(6 * S2))
   1) S2= [S2 1, i2] Répéter
                            S1  S2
                            S2  S1+1/carrée(i)
                             ii+1
                          jusqu’à (RacineCarée(6*S2) – RacineCarrée(6*S1)) < epsilon
                                                      TDO
                                             Objet          Type/Nature
                                               i             Entier long
                                             S1, S2             Réel


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Chapitre : les algorithmes d’approximation                                   Enseignant : Mohamed SAYARI

                                             epsilon   Constante = 10-5
      Algorithme
       0) Début Pi_Euler
       1) S2 1,
          i2
          Répéter
               S1  S2
               S2  S1+1/carrée(i)
               ii+1
          jusqu’à (RacineCarée(6*S2) – RacineCarrée(6*S1)) < epsilon
       2) Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", RacineCarrée(6 * S2))
       3) Fin Pi_Euler

      Traduction en PASCAL




b) Valeur approchée par la formule de Wallis
Ecrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé Pi_Wallis, qui permet
de calculer et d’afficher une valeur approchée de Pi en utilisant la formule de Wallis :




        Cela signifie que :




        Cela signifie que :




  4ème SI                                                                                             5
Chapitre : les algorithmes d’approximation                                      Enseignant : Mohamed SAYARI




    Analyse
   2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", 2* p2)
   1) P2= [i 1, P21] Répéter
                             P1  P2
                             P2  p1*((2*i)/(2*i-1))*((2*i)/(2*i+1))
                             ii+1
                     Jusqu’à (abs ((2*p2)-(2*p1)) <epsilon)
                                                       TDO
                                              Objet           Type/Nature
                                                i              Entier long
                                             P1, P2               Réel
                                             epsilon         Constante = 10-5
       Algorithme
       0) Début Pi_Wallis
       1) i 1,
          P21
           Répéter
          P1  P2
          P2  p1*((2*i)/ (2*i-1))*((2*i)/ (2*i+1))
          ii+1
          Jusqu’à (abs ((2*p2)-(2*p1)) <epsilon)
       2) Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", 2* p2)
       3) Fin Pi_Wallis

       Traduction en PASCAL




  4ème SI                                                                                              6
Chapitre : les algorithmes d’approximation                                       Enseignant : Mohamed SAYARI

     3) Valeur approchée de e
Ecrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé e, qui permet de
calculer et d’afficher une valeur approchée de e (nombre d’Euler, ou nombre Népérien) en utilisant la
formule suivante:




* Analyse du programme principal
2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de e est : ", S2)
1) S2= [S21, i1] Répéter
                      S1  S2
                      S2  S1 + 1/Fact(i)
                      ii+1
                   Jusqu’à (s2-s1<epsilon)

                                                      TDOG
                                                  Objet        Type/Nature
                                                     i            entier
                                                  S1, S2           Réel
                                                 epsilon      Constante = 10-5
                                                   Fact          Fonction
* Algorithme du programme principal
0) Début e
1) S21
    i1
   Répéter
      S1  S2
      S2  S1 + 1/Fact(i)
      ii+1
    Jusqu’à (s2-s1<epsilon)
2) Ecrire ("la valeur approchée de e est : ", S2)
3) Fin e

* Analyse de la fonction Fact
Résultat= Fact
1) Fact = [ ] Si a=0 alors Fact 1
         Sinon Fact  a* Fact(a-1)
         Fin Si
 Algorithme de la fonction Fact
   0) Fonction Fact (a : entier) : entier long
   1) Si a=0 alors Fact 1
         Sinon Fact  a* Fact(a-1)
        Fin Si
   2) Fin Fact




   4ème SI                                                                                              7
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       Traduction en PASCAL




IV. calcul d’aiRes
1) Introduction
Soit une fonction f continue sur l’intervalle [a, b].

                                      Signifie l'aire sous la courbe de la fonction entre a et b.


2) Méthodes de rectangles
   a) Principe
Consiste à partager l'intervalle d'intégration en intervalles de même amplitude à partir desquels on construit des
rectangles dont on calcule la somme des aires.
On peut prouver que quand le nombre d'intervalles tend vers l'infini, la somme des aires tend vers l'intégrale de la
fonction.




             Méthode des rectangles à gauche                       Méthode des rectangles à droite

                        =                                                            =


   4ème SI                                                                                                     8
Chapitre : les algorithmes d’approximation                                       Enseignant : Mohamed SAYARI




                                             Méthode du point milieux

                                                         =

   b) Application

On se propose de calculer l’aire résultante de la courbe de la fonction f :   x              en utilisant la

méthode de rectangles
    Analyses
            Analyse du programme principal
2) Résultat = Ecrire ("une valeur approchée de l’intégrale est = ", FN CALCUL (a, b, n))
1) (a,b,n) = Proc saisir (a, b, n)

                                                  TDOG
                                       Objet                 Type/Nature
                                          n                     entier
                                         a, b                    Réel
                                       calcul                  Fonction
                                        saisir                procédure
            Analyse de la procédure saisir
Résultat= a,b , n
2) b= [ ] Répéter
           b= donnée ("b=")
    Jusqu’à (b >a)
1) a= donnée ("a=")
3) n= [ ] Répéter
           n= donnée ("n=")
    Jusqu’à (n >0)


  4ème SI                                                                                               9
Chapitre : les algorithmes d’approximation                                                  Enseignant : Mohamed SAYARI

              Analyse de la fonction calcul
3)    Résultat = calcul  somme * h
1)    h  (b-a)/n
2)    somme [somme  0, x a+h/2] Pour i de 1 à N Faire
                                             somme  somme + f(x)
                                              x  x+h
                                         Fin Pour
              Analyse de la fonction F
1)    Résultat = F  carré (x) / (1 + carrée (x))

          Algorithmes
               Algorithme du programme principal
                  0)   Début Rectangles
                  1)   Proc saisir (a, b, n)
                  2)   Ecrire ("une valeur approchée de l’intégrale est = ", FN CALCUL (a, b, n))
                  3)   Fin Rectangles
                Algorithme de la procédure saisir
                  0) Procédure saisir (var a,b : Réel ; var n :entier)
                  1) Ecrire ("a="), lire (a)
                  2) Répéter
                       Ecrire ("b=")
                       Lire (b)
                     Jusqu’à (b>a)
                  3) Répéter
                       Ecrire ("n=")
                       Lire (n)
                     Jusqu’à (n>0)
                  4) Fin saisir


                Algorithme de la fonction calcul
                  0. Fonction CALCUL (a,b : réel ; n :entier) : Réel
                  1. h  (b-a)/n
                  2. somme  0
                     x a+h/2
                      Pour i de 1 à N Faire
                          somme  somme + f(x)
                           x  x+h
                     Fin Pour
                  3. calcul  somme * h
                  4. Fin CALCUL
                Algorithme de la fonction f
                  0) Fonction f (x :réel) : réel
                  1) F  carré(x) / (1+ carré(x))
                  2) Fin f




     4ème SI                                                                                                      10
Chapitre : les algorithmes d’approximation            Enseignant : Mohamed SAYARI

       Traduction en PASCAL




                                             Méthode de milieu




  4ème SI                                                                   11
Chapitre : les algorithmes d’approximation                                        Enseignant : Mohamed SAYARI

3) Méthode de trapèze




On se propose de calculer l’aire résultante de la courbe de la fonction f : x       en utilisant la méthode de

trapèzes.

NB : Même démarche que la méthode précédente, on s’intéresse à écrire l’analyse et l’algorithme de la fonction
CALCUL.
             Analyse de la fonction calcul
   3) Résultat = calcul  somme * h
   1) h  (b-a)/n
   2) somme [somme  (f(a) + f(a+h))/2, x a] Pour i de 1 à N-1 Faire
                                                   x  x+h
                                                    somme  somme + (f(x) + f(x+h))/2
                                                  Fin Pour

             Algorithme de la fonction calcul
                       0) Fonction CALCUL (a,b : réel ; n :entier) : Réel
                       1) h  (b-a)/n
                       2) somme  (f(a) + f(a+h))/2
                           x a
                         Pour i de 1 à N-1 Faire
                              x  x+h
                              somme  somme + (f(x) + f(x+h))/2
                         Fin Pour
                       3) calcul  somme * h
                       4) Fin CALCUL


  4ème SI                                                                                                 12
Chapitre : les algorithmes d’approximation   Enseignant : Mohamed SAYARI

    Traduction en PASCAL




  4ème SI                                                          13

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  • 1. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI LES ALGORITHMES D’APPROXIMATION I. Introduction Les problèmes d’optimisation forment un ensemble très riche de possibilités : de la possibilité d’approcher avec une précision arbitraire, à l’impossibilité de toute garantié sur la qualité de l’approximation. II. RecheRche du point fixe d’une fonction 1) Présentation  En mathématiques, pour une application f d’un ensemble E dans lui-même, un élément x de E est un point fixe de f si f(x) = x  Dans le plan, la symétrie par rapport à un point A admet un unique point fixe : A  l’application inverse (définie sur l’ensemble des réels non nuls) admet deux points fixes : -1 et 1  Graphiquement, les points fixes d’une fonction f (où la variable est réelle) s’obtiennent en traçant la droite d’équation y = x : tous les points d’intersection de la courbe représentative de f avec cette droite sont alors les points fixes de f.  Toutes les fonctions n’ont pas nécessairement de point fixe ; par exemple, la fonction n’en possède pas, car il n’existe aucun nombre réel x égal à x+1. 2) Activité On désire écrire un programme en Pascal qui permet de résoudre l’équation sin(x)=1-x a) Décomposer le problème en modules b) Ecrire les analyses des modules, en déduire les algorithmes c) Traduire en pascal la solution obtenue  Sin(x)= 1-x  x= 1-sin(x) 4ème SI 1
  • 2. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI Tableaux de valeurs : X 0 0.111111 0.222222 0.333333 0.444444 0.555556 0.666667 0.777778 0.888889 F(x)=1-sin(x) 1 0.889117 0.779602 0.672805 0.570044 0.472585 0.38163 0.298302 0.223628 X 0.5 0.511111 0.522222 0.533333 0.544444 0.555556 0.566667 0.577778 0.588889 F(x)=1-sin(x) 0.520574 0.510853 0.501193 0.491593 0.482057 0.472585 0.463177 0.453836 0.444563 a) Analyse du programme principal : 2) Résultat= Ecrire ("le point fixe est : ", x1, "trouvé après ", i, "itérations") 1) (Pfixe,i)= [i  0, x1 1] Répéter i  i+1 x2  x1 x1  F(x1) Jusqu’à (ABS(x1-x2) <epsilon) 4ème SI 2
  • 3. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI b) Algorithme du programme principal 0) Début Point_fixe 1) i  0 x1 1 Répéter i  i+1 x2  x1 x1  F(x1) Jusqu’à (ABS(x1-x2) <epsilon) 2) Ecrire ("le point fixe est : ", x1, "trouvé après ", i, "itérations") 3) Fin Point_Fixe TDOG Objet Type/Nature i entier X1, x2 Réel epsilon Constante = 10-5 F Fonction c) Analyse de la fonction F 1) Résultat= f  1- sin(x) d) Algorithme de la fonction f 0) Fonction F (x : réel) : Réel 1) F 1- sin(x) 2) fin F TDOL Objet Type/Nature X Réel e) Traduction en Pascal 4ème SI 3
  • 4. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI III. Calcul de valeurs approchées de constantes connus 1) Activité Il existe plusieurs constantes numériques :  e (nombre de Neper) ≈ 2,718…  (nombre Pi) ≈ 3,1616…  ≈ 9.8066 Dans ce qui suit, nous allons présenter des algorithmes permettant de calculer des valeurs approchées pour les constantes et e 2) Valeur approchée de  Il est impossible de connaître la valeur exacte de . En effet, il a été démontré par deux mathématiciens de la fin du XVIIIème siècle, Lambert et Legendre, qu'il ne peut exister aucune fraction [de deux entiers] égale à .  Les hommes de science - Euler, Gauss, Leibniz, Machin, Newton, Viète - ont recherché toutes sortes de formules permettant de calculer une approximation de plus ou moins précise. a) Valeur approchée par la formule d’Euler Ecrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé Pi_Euler, qui permet de calculer et d’afficher une valeur approchée de Pi en utilisant la formule d’Euler : Cela signifie que : Cela signifie que :  Analyse : 2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", RacineCarrée(6 * S2)) 1) S2= [S2 1, i2] Répéter S1  S2 S2  S1+1/carrée(i) ii+1 jusqu’à (RacineCarée(6*S2) – RacineCarrée(6*S1)) < epsilon TDO Objet Type/Nature i Entier long S1, S2 Réel 4ème SI 4
  • 5. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI epsilon Constante = 10-5  Algorithme 0) Début Pi_Euler 1) S2 1, i2 Répéter S1  S2 S2  S1+1/carrée(i) ii+1 jusqu’à (RacineCarée(6*S2) – RacineCarrée(6*S1)) < epsilon 2) Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", RacineCarrée(6 * S2)) 3) Fin Pi_Euler  Traduction en PASCAL b) Valeur approchée par la formule de Wallis Ecrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé Pi_Wallis, qui permet de calculer et d’afficher une valeur approchée de Pi en utilisant la formule de Wallis : Cela signifie que : Cela signifie que : 4ème SI 5
  • 6. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Analyse 2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", 2* p2) 1) P2= [i 1, P21] Répéter P1  P2 P2  p1*((2*i)/(2*i-1))*((2*i)/(2*i+1)) ii+1 Jusqu’à (abs ((2*p2)-(2*p1)) <epsilon) TDO Objet Type/Nature i Entier long P1, P2 Réel epsilon Constante = 10-5  Algorithme 0) Début Pi_Wallis 1) i 1, P21 Répéter P1  P2 P2  p1*((2*i)/ (2*i-1))*((2*i)/ (2*i+1)) ii+1 Jusqu’à (abs ((2*p2)-(2*p1)) <epsilon) 2) Ecrire ("la valeur approchée de Pi est ", 2* p2) 3) Fin Pi_Wallis  Traduction en PASCAL 4ème SI 6
  • 7. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI 3) Valeur approchée de e Ecrire une analyse, un algorithme et la traduction en Pascal d’un programme intitulé e, qui permet de calculer et d’afficher une valeur approchée de e (nombre d’Euler, ou nombre Népérien) en utilisant la formule suivante: * Analyse du programme principal 2) Résultat= Ecrire ("la valeur approchée de e est : ", S2) 1) S2= [S21, i1] Répéter S1  S2 S2  S1 + 1/Fact(i) ii+1 Jusqu’à (s2-s1<epsilon) TDOG Objet Type/Nature i entier S1, S2 Réel epsilon Constante = 10-5 Fact Fonction * Algorithme du programme principal 0) Début e 1) S21 i1 Répéter S1  S2 S2  S1 + 1/Fact(i) ii+1 Jusqu’à (s2-s1<epsilon) 2) Ecrire ("la valeur approchée de e est : ", S2) 3) Fin e * Analyse de la fonction Fact Résultat= Fact 1) Fact = [ ] Si a=0 alors Fact 1 Sinon Fact  a* Fact(a-1) Fin Si  Algorithme de la fonction Fact 0) Fonction Fact (a : entier) : entier long 1) Si a=0 alors Fact 1 Sinon Fact  a* Fact(a-1) Fin Si 2) Fin Fact 4ème SI 7
  • 8. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Traduction en PASCAL IV. calcul d’aiRes 1) Introduction Soit une fonction f continue sur l’intervalle [a, b]. Signifie l'aire sous la courbe de la fonction entre a et b. 2) Méthodes de rectangles a) Principe Consiste à partager l'intervalle d'intégration en intervalles de même amplitude à partir desquels on construit des rectangles dont on calcule la somme des aires. On peut prouver que quand le nombre d'intervalles tend vers l'infini, la somme des aires tend vers l'intégrale de la fonction. Méthode des rectangles à gauche Méthode des rectangles à droite = = 4ème SI 8
  • 9. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI Méthode du point milieux = b) Application On se propose de calculer l’aire résultante de la courbe de la fonction f : x en utilisant la méthode de rectangles  Analyses  Analyse du programme principal 2) Résultat = Ecrire ("une valeur approchée de l’intégrale est = ", FN CALCUL (a, b, n)) 1) (a,b,n) = Proc saisir (a, b, n) TDOG Objet Type/Nature n entier a, b Réel calcul Fonction saisir procédure  Analyse de la procédure saisir Résultat= a,b , n 2) b= [ ] Répéter b= donnée ("b=") Jusqu’à (b >a) 1) a= donnée ("a=") 3) n= [ ] Répéter n= donnée ("n=") Jusqu’à (n >0) 4ème SI 9
  • 10. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Analyse de la fonction calcul 3) Résultat = calcul  somme * h 1) h  (b-a)/n 2) somme [somme  0, x a+h/2] Pour i de 1 à N Faire somme  somme + f(x) x  x+h Fin Pour  Analyse de la fonction F 1) Résultat = F  carré (x) / (1 + carrée (x))  Algorithmes  Algorithme du programme principal 0) Début Rectangles 1) Proc saisir (a, b, n) 2) Ecrire ("une valeur approchée de l’intégrale est = ", FN CALCUL (a, b, n)) 3) Fin Rectangles  Algorithme de la procédure saisir 0) Procédure saisir (var a,b : Réel ; var n :entier) 1) Ecrire ("a="), lire (a) 2) Répéter Ecrire ("b=") Lire (b) Jusqu’à (b>a) 3) Répéter Ecrire ("n=") Lire (n) Jusqu’à (n>0) 4) Fin saisir  Algorithme de la fonction calcul 0. Fonction CALCUL (a,b : réel ; n :entier) : Réel 1. h  (b-a)/n 2. somme  0 x a+h/2 Pour i de 1 à N Faire somme  somme + f(x) x  x+h Fin Pour 3. calcul  somme * h 4. Fin CALCUL  Algorithme de la fonction f 0) Fonction f (x :réel) : réel 1) F  carré(x) / (1+ carré(x)) 2) Fin f 4ème SI 10
  • 11. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Traduction en PASCAL Méthode de milieu 4ème SI 11
  • 12. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI 3) Méthode de trapèze On se propose de calculer l’aire résultante de la courbe de la fonction f : x  en utilisant la méthode de trapèzes. NB : Même démarche que la méthode précédente, on s’intéresse à écrire l’analyse et l’algorithme de la fonction CALCUL.  Analyse de la fonction calcul 3) Résultat = calcul  somme * h 1) h  (b-a)/n 2) somme [somme  (f(a) + f(a+h))/2, x a] Pour i de 1 à N-1 Faire x  x+h somme  somme + (f(x) + f(x+h))/2 Fin Pour  Algorithme de la fonction calcul 0) Fonction CALCUL (a,b : réel ; n :entier) : Réel 1) h  (b-a)/n 2) somme  (f(a) + f(a+h))/2 x a Pour i de 1 à N-1 Faire x  x+h somme  somme + (f(x) + f(x+h))/2 Fin Pour 3) calcul  somme * h 4) Fin CALCUL 4ème SI 12
  • 13. Chapitre : les algorithmes d’approximation Enseignant : Mohamed SAYARI  Traduction en PASCAL 4ème SI 13