Le document présente des concepts d'algorithmique et de programmation, notamment les algorithmes récurrents et la programmation modulaire en Pascal. Il détaille des exercices pratiques tels que le calcul de la somme d'une matrice, la suite de Thue-Morse, le triangle de Pascal, la suite de Fibonacci et le calcul du nombre d'or. Chaque exercice comprend une analyse des programmes principaux et des procédures nécessaires pour atteindre les résultats attendus.

1. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
LES ALGORITHMES RECURRENTS
I. Introduction
Un algorithme ou un traitement est dit récurrent s’il utilise un procédé itératif ou récursif pour
engendrer un résultat qui peut dépendre de p résultats précédents, nous parlons d’un algorithme ou d’un
traitement récurrent d’ordre p. (voir livre page 124).
II. Calcule de somme
ACTIVITE1 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet de remplir une matrice carré d’ordre
N (4≤N≤20) par des entiers aléatoires appartenant à l’intervalle [-30,30], calcule puis affiche la somme des
éléments de M.
a) Analyse du programme principal
2) Résultat = Ecrire ("la somme des éléments de la matrice =", FN SOMME (M, N))
1) (M, N) = Proc remplir (M, N)
Algorithme du programme principal
TDNT
0) Début SOMME_MATRICE
TYPE
1) Proc remplir (M, N)
Matrice = Tableau [1..50, 1..50] d’entiers
TDOG 2) Ecrire ("la somme des éléments de la matrice =",
Objet Type/Nature Rôle FN SOMME (M, N))
M matrice Contient des entiers 3) Fin SOMME_MATRICE
N Entier Taille de matrice
remplir Procédure Remplit la matrice
somme Fonction Calcule la somme
b) Analyse de la procédure remplir
DEF PROC REMPLIR (var M : matrice ; var N : entier)
Résultat= M, N
2) M= [ ] pour i de 1 à n faire
Pour j de 1 à n faire
M [i,j]  Hasard(30) – Hasard(30)
Fin Pour Algorithme de la procédure Remplir
Fin Pour
1) N = [ ] Répéter 0) DEF PROC REMPLIR (var M : matrice ; var n : entier)
1) Répéter
N= Donnée ("N=")
Ecrire ("N="), lire (N)
Jusqu’à (N dans [4..20])
Jusqu’à (N dans [4..20])
2) pour i de 1 à n faire
TDOL Pour j de 1 à n faire
M [i,j]  Hasard(30) – Hasard(30)
objet Type/Nature Rôle Fin Pour
I Entier Compteur Fin Pour
j Entier compteur 3) Fin Remplir
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2. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
c) Analyse de la fonction somme
DEF FN SOMME (M : matrice ; N : entier) : entier Algorithme de la fonction SOMME
2) Résultat = somme  S
0) DEF FN SOMME (M : matrice ; N : entier) : entier
1) S= [S0] pour i de 1 à n faire
1) S0
Pour j de 1 à n faire
Pour i de 1 à n faire
S  S + M [i,j]
Pour j de 1 à n faire
Fin pour
S  S + M [i,j]
Fin pour
Fin pour
TDOL Fin pour
2) Somme s
objet Type/Nature Rôle
3) Fin SOMME
I Entier Compteur
j Entier compteur
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3. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
III. Algorithmes récurrents sur les chaînes
ACTIVITE2 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet de calculer et d’afficher le N ième terme
de la suite de Thue-Morse à partir du premier terme U0 ("1" ou "0") avec 2≤N ≤100.
Exemples :
U0= "0" U0= "1"
U1= "01" U1= "10"
U2= "0110" U2= "1001"
U3= "01101001" U3= "10010110"
U4= "0110100110010110" U4= "1001011001101001"
 On remarque que ce traitement est récurrent d’ordre 1.
a) Analyse du programme principal
2) Résultat= Ecrire ("la suite Thue Morse à partir de ", U0, "d’ordre ", N "=", FN Thue_Morse (U0, n))
1) (U0, N)= proc saisir (U0, N)
Algorithme du programme principal
TDOL 0) Début suite_thue_Morse
1) Proc saisir (U0, N)
objet Type/Nature Rôle 2) ("la suite Thue Morse à partir de ", U0, "d’ordre ", N "=", FN
N entier Nombre de terme Thue_Morse(U0, n))
U0 caractère Premier terme 3) Fin suite_thue_Morse
Thue_Morse Fonction suite
Algorithme de la procédure saisir
b) Analyse de la procédure saisir
0) DEF PROC SAISIR (var U0 : caractère ; var N : entier)
DEF PROC SAISIR (var U0 : caractère ; var N : entier)
1) Répéter
Résultat= U0, N Ecrire ("premier terme= "), lire (U0)
2) N= [ ] répéter Jusqu’à (U0 dans ["1", "0"])
N= Donnée ("N= ") 2) Répéter
Jusqu’à N dans [2..100] Ecrire ("N= "), lire (N)
1) U0= [ ] Répéter Jusquà N dans [2..100]
3) Fin SAISIR
U0= Donnée ("premier terme= ")
Jusqu’à U0 dans ["1", "0"]
Algorithme de la fonction Thue_Morse
c) Analyse de la fonction thue_morse 0) DEF FN Thue_Morse (u0 : caractère ; n : entier) : chaîne
DEF FN Thue_Morse (U0 : caractère ; n : entier) : chaîne 1) CH  U0
2) Résultat= Thue_Morse  ch Pour i de 1 à n faire
J 1
1) Ch= [ch  U0] pour i de 1 à n faire Tant que j≤long(ch) faire
J 1 Si ch[j]="0" alors insère ("1", ch, j+1)
Tant que j≤long (ch) faire Sinon insère ("0", ch, j+1)
J  j+2
Si ch[j]="0" alors insère ("1", ch, j+1) Fin tant que
Sinon insère ("0", ch, j+1) Fin pour
J  j+2 2) Thue_Morse  ch
Fin tant que 3) Fin Thue_Morse
Fin pour TDOL
Objet Type/Nature Rôle
I entier Compteur
J Entier Compteur
ch Chaîne Chaine finale Thue_Morse
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4. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
IV. Triangle de Pascal
ACTIVITE3 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet d’afficher les n premiers lignes du
triangle de Pascal (2≤N≤30).
a) Analyse du programme principal
2) Résultat= proc affiche (M, N)
1) (M, N)= proc remplir (M, N)
Algorithme du programme principal
TDNT
0) Début TRIANGLE_PASCAL
TYPE
1) Proc remplir (M, N)
Matrice = Tableau [1..50, 1..50] d’entiers
2) Proc Affiche (M, N)
TDOG 3) Fin TRIANGLE_PASCAL
Objet Type/Nature Rôle
M matrice Contient des entiers
N Entier Taille de matrice
remplir Procédure Remplit la matrice
affiche procédure Affiche la matrice
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5. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
Algorithme de la procédure Remplir
b) Analyse de la procédure remplir
0) DEF PROC Remplir (var M : matrice ; var n : entier)
DEF PROC Remplir (var M : matrice ; var n : entier)
1) répéter
Résultat= M, N
Ecrire ("N="), lire(N)
2) M= [M[1,1] 1 Jusqu’à N dans [2..50]
M[2,1] 1 2) M[1,1] 1
M[2,2] 1] pour i de 3 à n faire M[2,1] 1
M[1,i] 1 M[2,2] 1
M[i, 1] 1 pour i de 3 à n faire
Pour j de 2 à n faire M[1,i] 1
M[i,j]  M[i-1,j]+M[i-1,j-1] M[i, 1] 1
Fin Pour Pour j de 2 à n faire
Fin Pour M[i,j]  M[i-1,j]+M[i-1,j-1]
Fin Pour
1) N= [ ] répéter
Fin Pour
N= Donnée ("N=")
3) Fin Remplir
Jusqu’à N dans [2..50]
TDOL
objet Type/Nature Rôle
I Entier Compteur
j Entier compteur
c) Analyse de la procédure Affiche Algorithme de la procédure Affiche
DEF PROC Affiche (M : matrice ; n : entier)
0) DEF PROC Affiche (M : matrice ; n : entier)
Résultat= Affichage
1) pour i de 1 à n faire
1) Affichage= [ ] pour i de 1 à n faire
Pour j de 1 à i faire
Pour j de 1 à i faire
Ecrire (M [i,j])
Ecrire (M [i,j])
Fin pour
Fin pour
Fin pour
Fin pour 2) fin Affiche
TDOL
objet Type/Nature Rôle
I Entier Compteur
j Entier compteur
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6. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
V. Suite de Fibonnaci
ACTIVITE4 : écrire un programme modulaire en Pascal qui permet de calculer et d’afficher le Nième terme
de la suite de Fibonnaci définie par :
U1 = 1
U2=1
Un= Un-1+ Un-2
a) Analyse du programme principal
2) Résultat = Ecrire ("FIB (", N, ")=", FIB(N))
1) N= Proc saisir (N) Algorithme du programme principal
0) Début SUITE_FIB
TDOG 1) Proc saisir (N)
2) Ecrire ("FIB (", N, ")=", FIB(N))
objet Type/Nature Rôle
3) Fin SUITE_FIB
N Entier Compteur
FIB Fonction Calculer la suite
saisir procédure Nième Terme
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7. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
b) Analyse de la procédure saisir Algorithme de la procédure saisir
DEF PROC SAISIR (var N : entier)
Résultat= N 0) DEF PROC SAISIR (var N : entier)
1) N= [ ] répéter 1) répéter
N= Donnée ("N=") Ecrire ("N="), lire (N)
Jusqu’à (N dans [1..100]) Jusqu’à (N dans [1..100])
2) fin SAISIR
c) Analyse de la fonction FIB1 (itérative)
DEF FN FIB1 (N : entier) : entier Algorithme de la fonction FIB1
2) Résultat = FIB1  F
0) DEF FN FIB1 (N : entier) : entier
1) F= [U11, U21] Si N≤2 alors F  1
1) U11
Sinon U21
Pour i de 3 à N faire Si n≤2 alors F  1
F  U1 + U2 Sinon
U2  U1 Pour i de 3 à N faire
F  U1 + U2
U1  F
U2  U1
Fin pour U1  F
Fin si Fin pour
Fin si
TDOL 2) FIB1  F
objet Type/Nature Rôle 3) Fin FIB1
U1 Entier Premier terme
U2 Entier Second terme
F Entier Valeur final de suite
i Entier compteur
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8. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
d) Analyse de la fonction FIB2 (itérative)
DEF FN FIB2 (N : entier) : entier Algorithme de la fonction FIB2
2) Résultat= FIB2  U[n] 0) DEF FN FIB2 (N : entier) : entier
1) U[n]= [U [1]1 1) U [1]1
U [2] 1] pour i de 3 à n faire U [2] 1
U[i]  U [i-1] + U [i-2] Pour i de 3 à n faire
Fin pour U[i]  U [i-1] + U [i-2]
Fin pour
TDNT 1) FIB2 U[n]
TYPE 2) Fin FIB2
TAB= tableau [1..100] d’entiers
TDOL
objet Type/Nature Rôle
i entier Compteur
U TAB Tableau contenant les termes
e) Analyse de la fonction FIB3 (récursive) Algorithme de la fonction FIB3
DEF FN FIB2 (N : entier) : entier
0) DEF FN FIB2 (N : entier) : entier
Résultat= FIB3
1) si N≤2 alors FIB3  1
1) FIB3= [ ] si N≤2 alors FIB3  1 Sinon FIB3  FIB3 (n-1) +
Sinon FIB3  FIB3 (n-1) + FIB3 (n-2) FIB3 (n-2)
Fin si Fin si
2) fin FIB3
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9. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
VI. Nombre d’or
VI.1 Définition
√
Le nombre d’or est la solution positive de l’équation x2 – x – 1 = 0. C’est le nombre
VI.2 Activité1 : compléter le tableau du livre page 139.
√
La suite Vn définie sur N*par semble convergente vers
VI.3 Activité2 :
Soient deux suites U et V définies par :
U1=1
U2=2
Un = Un-1 + Un-2 pour n≥3 Vn= pour n≥2
On suppose que la suite Vn tend vers nue valeur limite appelé nombre d’or. On suppose que le nième
terme de la suite V soit V, donc une valeur approchée du nombre d’or avec une précision e dés que
|Vn – Vn-1|<e.
Ecrire un programme modulaire en Pascal qui cherche Vn à 10-4 prés et son rang.
a) Analyse du programme principal
Algorithme du programme principal
2) Résultat= proc Affiche (v,n)
1) (V,n,u) = proc remplir (u, v, n) 0) Début Calcul
TDNT 1) proc remplir (u, v, n)
2) proc Affiche (v,n)
TYPE
3) fin
TAB1= tableau [1..100] de réel
TAB2= tableau [1..100] d’entier
TDOL
objet Type/Nature Rôle
n entier Taille maximale des vecteurs
U TAB2 Tableau contenant les termes
V TAB1 Tableau contenant les termes
affiche procédure affichage
remplir procédure Remplit V et U
Algorithme de la procédure REMPLIR
b) Analyse de la procédure REMPLIR
0) DEF PROC REMPLIR (var u : tab2 ; var v : tab1 ; var n : entier)
DEF PROC REMPLIR (var u : tab2 ; var v : tab1 ; var n : entier)
1) U [1]1
Résultat= u, v, n U [2] 2
1) (u, v, n)= [U [1]1 Répéter
n n+1
U [2] 2] répéter
U[n]  u [n-1] + u [n-2]
N  n+1 V[n]  u[n]/u [n-1]
U[n]  u [n-1] + u [n-2] Jusqu’à (abs (v[n]-v [n-1] <0.0001)
2) Fin REMPLIR
V[n]  u[n]/u [n-1]
Jusqu’à (abs (v[n]-v [n-1] <0.0001)
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10. Enseignant : Mohamed SAYARI 4 SI Algorithmique & Programmation
c) Analyse de la fonction Affiche
DEF PROC AFFICHE (v : tab1 ; n : entier)
0) Résultat= Ecrire ("le nombre d'or= ", v[n], " obtenu après ", n, " itérations")
Algorithme de la procédure Affiche
0) DEF PROC AFFICHE (v : tab1 ; n : entier)
1) Ecrire ("le nombre d'or= ", v[n], " obtenu après ", n, " itérations")
2) Fin AFFICHE
VII. Applications (livre 144-147)
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