1. Lycée de Benguardène Classe : 4ème SI
Série N°3 : La Récursivité
Ex1
Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer :
= 12 + 22 + 32 + 42 + ………… + n2
Ex2
Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer la somme des chiffres d’un entier positif:
Exemple :
N=528 la fonction renvoie 15 = 5 + 2 + 8
Ex3
Ecrire une fonction récursive qui permet de convertir un nombre décimal en binaire.
Ex4
Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer le nombre de voyelles dans une chaîne CH.
Exemple :
Si CH= BAC SI la fonction renvoie 2.
Ex5
Ecrire une fonction récursive SOMME_TAB qui permet de calculer la somme des éléments d’un
tableau contenant des entiers.
Ex6
Ecrire une fonction récursive VERIF_PAIR qui permet de vérifier si un entier est pair ou non.
Ex7
Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer le PGCD de deux entiers positifs.
Ex8
Ecrire une fonction récursive INVERSER qui permet d’inverser une chaîne de caractères CH.
Ex9
Ecrire une fonction récursive qui permet de vérifier l’existence d’un caractère dans une chaîne
CH.
Ex10
Ecrire une fonction récursive qui permet de vérifier si une chaîne de caractère est palindrome.
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2. Ex11
Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer la suite de Fibonnacci définie par :
Ses premiers termes sont donc : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 ...
Ex12
Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer la puissance an
Ex13
Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer a*b en utilisant le principe de la
multiplication russe.
La « multiplication Russe » est une méthode particulière permettant la multiplication de deux entiers A et B
en utilisant seulement la multiplication par 2, la division par 2 et l’addition.
Exemple : pour A =17 et B = 19, le produit de A par B se fait comme suit :
A B
17 19
Le premier nombre est divisé par 2 (division entière) et le deuxième est multiplié par 2 : on aura
8 38
Le processus se répète jusqu’à avoir dans la première colonne 1 :
17 19
8 38
4 76
2 152
304
1
Le résultat est la somme des nombres de la deuxième colonne qui sont en face des nombres impairs de la
première colonne (donc les nombres de la deuxième colonne qui sont en face des nombres pairs de la
première colonne seront ignorés).
17 19
8 38 ignoré
4 76 ignoré
2 152 ignoré
1 304
17*19= 19+304=323
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3. Ex14
Ecrire une fonction récursive qui permet de vérifier l’existence d’un élément dans un tableau en
utilisant le principe de recherche séquentielle.
Ex15
Ecrire une fonction récursive qui permet de vérifier l’existence d’un élément dans un tableau en
utilisant le principe de recherche dichotomique.
Ex16
Soit la fonction
0) Fonction SCALAIRE (A, B : tab ; n : entier) : entier
1) P  A[n] * B[n]
Pour i de n-1 à 1 (pas=-1) faire
P  p + A[i] * B[i]
Fin pour
2) Scalaire  p
3) Fin SCALAIRE
Questions :
1) Exécuter à la main la fonction pour les valeurs suivantes :
A 3 0 2 7
B 5 6 7 0
2) Préciser le rôle de cette fonction.
3) Transformer cette fonction en une fonction récursive.
Ex17
Ecrire une fonction récursive contigu (chaîne comporte deux occurrences successives de même
caractère) qui détermine si une chaîne comporte deux caractères contigus identiques.
Exemples :
Contigu (masse) renvoie vrai
Contigu (escalier) renvoie faux
Contigu (a) renvoie faux
Ex18
Ecrire une fonction récursive qui permet de tester si un tableau est symétrique ou non.
Ex19
Soit la fonction MacCarthy définie par :
Pour N>100 MacCarthy(n) = n-10
Pour N≤100 MacCarthy(n) = MacCarthy (MacCarthy (n+11))
Exemple :
MacCarthy(100) vaut 91
Ecrire une fonction récursive MacCarthy.
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4. Ex20
a) Ecrire une fonction récursive qui permet de calculer la somme suivante :
S(n) =
b) Ecrire une fonction récursive qui permet calculer le N ième terme de la suite U définie par :
Ex21
Ecrire l’analyse puis l’algorithme d’un module récursif qui permet d’afficher les caractères d’une
chaîne sous la forme indiquée dans l’exemple suivant :
Exemple : Soit la chaîne "TURBO"
TURBO
TURB
TUR
TU
T
Ex22
Ecrire une fonction récursive qui transforme une chaîne en majuscules.
Ex23
Ecrire une fonction récursive qui transforme une chaîne en minuscules.
EX24
Soit la fonction suivante :
0) Fonction Ghost (x, n :entier) : ……………………………
1) Si n=1 alors Ghost  (n=1)
Sinon si (x mod n = 0) alors Ghost  (x< n-1)
Sinon Ghost  Ghost (x, n-1)
Fin si
2) Fin Ghost
Questions :
1) Quel est le type de la fonction ?
2) Exécuter à la main cette fonction pour x=7 et n=6. (laisser une trace d’exécution)
3) Quel est le rôle de la fonction si les paramètres d’appel sont x, x-1 : Ghost (x,x-1)
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5. EX25
program ex;
uses wincrt;
var
a,b:word;
function calcul (a,b:word):word;
begin
if b=0 then calcul:=0
else if (a mod b=0) then calcul:=b+calcul(a, b-1)
else calcul:=calcul(a,b-1);
end;
begin
repeat
write('Saisir un entier strictement positif: ');
readln(a);
until (a>0);
b:=a div 2;
write('Résultat= ',calcul(a,b));
end.
Travail demandé :
Compléter le tableau ci-dessous en exécutant manuellement le programme avec les différentes
valeurs de a.
Contenu de a Contenu de b Résultat
6
15
19
28
EX26
Soit la fonction Quoi suivante :
0) Fonction Quoi (n : ………………….) : ……………………….
1) Si n=0 alors quoi  "0"
Sinon si n=1 alors Quoi  "1"
Sinon Quoi  Quoi (n-1) + Quoi (n-2)
Fin si
2) Fin Quoi
Questions :
1) Compléter l’entête de cette fonction
2) Exécuter manuellement la fonction Quoi pour les exemples suivants Quoi (3) et Quoi (4).
3) Quel est l’ordre de récurrence de cette fonction ?
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6. EX27
Ecrire l’algorithme d’un module récursif qui permet de vérifier l’existence d’une chaîne CH1
dans une deuxième chaîne CH2 en respectant les conditions suivantes :
 CH1 et CH2 sont deux chaînes non vides.
 On ne dois pas utiliser des fonctions prédéfinies
Exemples :
CH1= "apta" existe dans la chaîne CH2="adaptable"
CH1= "apte" n’existe pas dans la chaîne CH2="adaptable"
EX28
Soit la fonction algorithmique suivante :
0) FONCTION TOTO (A, B : ENTIER) : ENTIER
1) SI A = 1
ALORS
TOTO  B
SINON
SI A MOD 2 = 1
ALORS
TOTO  B + TOTO (A DIV 2 , B * 2 )
SINON
TOTO  TOTO (A DIV 2 , B * 2 )
FINSI
2) FIN TOTO
Travail à faire :
a) Exécuter cette fonction pour les différentes valeurs de A et B suivantes :
A 20 6 5
B 10 6 13
Résultat de TOTO …………………….. …………………….. ……………………..
b) Quel est le rôle de cette fonction ?
EX29
Soit l’algorithme de la fonction suivante :
0) fonction inconnu (n : entier) : entier
1) S1
i 1
Répéter
i i + 2
S S+ i
Jusqu'à (i = 2*n -1)
2) inconnu  S
3) fin inconnu
Questions
a) Faire un tournage à la main de cet algorithme avec les valeurs de n suivantes : n= 3 et 4.
b) Quel est le rôle de cette fonction?
c) Réécrire l’algorithme de la fonction inconnu en utilisant un procédé récursif.
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7. EX30
Soit la fonction suivante :
Function quoi (CH:string; x:char; P:integer):integer;
Begin
If length (CH)=0 then quoi :=0
Else if CH [1] = X then quoi :=P
Else quoi :=quoi (copy (CH, 2, length (CH)-1), X, P+1);
End;
1. Exécuter, manuellement, la fonction quoi pour les exemples suivants de chaînes :
Quoi (‘Bonne’,’n’, 1) Quoi (‘chance’,’A’, 1) Quoi (‘4SI’,’S’, 1)
2. Déduire le rôle de la fonction. Et trouver quelle est la fonction prédéfinie par Pascal qui peut réaliser le
même traitement.
3. Lorsqu’on a exécuté le module quoi pour la chaîne suivante (‘’azertyuiopqsdfghjklm’’), et le caractère
(‘’b’’), la fenêtre ci-dessous s’est déclenchée. Expliquer pourquoi ?
Erreur
Runtime error 202 at 0001: 000D
4. En déduire la(es) limite(s) d’une solution récursive.
Ex31
Soit la fonction suivante :
0) Fonction Accepter (ch : ………….) : ……………….
1) i  1
test  vrai
répéter
Test  Majus(ch[i]) dans ["A".."Z"]
I I + 1
jusqu'à (test=faux) ou (i=long(ch))
2) Accepter  test
3) Fin Accepter
Questions :
1) Compléter les données manquantes
2) Quel est le rôle de cette fonction ?
3) Proposer une forme récursive de cette fonction.
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8. Ex32
Ecrire une fonction récursive de type booléen qui vérifie si un entier A est divisible par un entier B
ou non sans l’utilisation des opérateurs "/", "MOD", "DIV"
On suppose que A>0, B>0 et A>B
Ex33 (Ex1 session de contrôle 2009)
Soient T un vecteur de n entiers, m un autre entier et f une fonction définie de la fonction
suivante :
f(m, n, T)= VRAI si (T[n]=m)
= f (m, n-1, T) sinon pour tout n≠0.
f(m, 0, T) = FAUX
1. Donner la trace d’exécution de la fonction f pour les cas suivants :
 T 5 7 6 3 ; m=6 et n=4
1 2 3 4
 T 5 7 6 3 ; m=1 et n=4
1 2 3 4
Questions
2. En déduire le rôle de la fonction
3. Ecrire un algorithme récursif de la fonction f.
4. Donner sous forme d’un algorithme la itérative de la fonction f.
Ex34 (Ex1 session principale 2009)
Soit la fonction inconnu1 suivante :
0) Fonction inconnu1 (x :réel ; n :entier) : réel
1) Si (n=0) alors
Inconnu1  1
Sinon
Inconnu1  x * inconnu1 (x, n-1)
2) Fin inconnu1
Soit la fonction inconnu2 suivante :
0) Fonction inconnu2 (n, p : entier) : entier
1) Si (p=0) ou (p=n) alors
Inconnu2  1
Sinon
Inconnu2  inconnu2 (n-1, p) + inconnue (n-1, p-1)
Fin si
2) Fin inconnu2
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9. Questions :
1- Quel est l’ordre de récurrence de chacune des deux fonctions inconnu1 et inconnu2 ?
2- Exécuter manuellement inconnu1 (2,3) et inconnu2 (3,2).
3- Donner le rôle de chaque fonction
4- Ecrire un algorithme d’une procédure permettant d’afficher à l’écran le développement du
binôme (x+1)n en un polynôme en x pour un entier n donnée.
On rappelle que la formule du binôme est :
(x+1)n = xk = x0 + x1 + ……… + xn-1 + xn
Sur l’écran l’affichage du terme xk se fera sous la forme x^k.
Ex35 (Ex1 Examen synthèse 1-2009)
Soit la fonction f suivante:
function f (a,b: integer):integer;
begin
if (a=0) or (b=0) then
f :=0
else if b=1 then
f: =a
else
f:= a + f (a,b-1);
end;
Questions :
1- Indiquer le (les) condition (s) d’arrêt de cette fonction récursive.
2- Exécuter cette fonction pour : a=5, b=4. Quel est le rôle de cette fonction récursive ?
3- Ecrire le programme principal (en Pascal, qui fait appel à cette fonction tout en traitant les cas :
a et b négatifs, a ou b négatif, a et b positifs.
Ex36 (Ex2 Examen synthèse 2- 2009)
Soit la fonction suivante :
0) Fonction Anonyme (a, b : entier) : entier
1) Si (a>b) alors
Xa
Tant que (X mod b ≠ 0) faire
XX+a
Fin Tant que
Anonyme  X
Sinon
Anonyme  Anonyme (b, a)
Fin si
2) Fin Anonyme
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10. Questions :
1- Exécuter cette fonction pour les valeurs suivantes de a et b :
a=6 et b=4 a=2 et b=6
2- Déduire le rôle de cette fonction
3- Utiliser cette fonction pour écrire une analyse d’un module qui calcule la somme entre deux
fractions en déterminant un dénominateur commun.
Exemple :
NB : une fraction est une structure qui renferme deux champs : le numérateur et le dénominateur.
Ex37 (Ex1 Bac Blanc- 2009)
On demande d’analyser une fonction récursive CHTOVAL permettant de convertir une chaîne
formée de chiffres en sa valeur entière, sans utiliser la procédure prédéfinie VALEUR. On
suppose que la chaîne est formée uniquement de chiffres et qu’elle peut être vide.
NB : vous pouvez utiliser la fonction prédéfinie ORD
Exemples :
CHTOVAL ("147") = 147
CHTOVAL ("") = 0
Ex38 (Ex2 CONT THEO 2- 2009)
Soit la fonction suivante écrite en Pascal :
Function Inconnu (n: integer; T: tab): …………………………………………………;
Var
……………………………………………………………
……………………………………………………………
Begin
i := 0 ;
Repeat
i := i+1 ;
rep := T[i] > T[i+1];
until (i=n-1) or (Not rep);
Inconnu := rep;
End;
Questions
1. Compléter l’entête de la fonction ainsi que la partie déclaration.
2. Quel est le rôle de cette fonction ?
3. Ecrire une version récursive de cette fonction.
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